§17. Бесконечно удаленная особая точка

Определение. Бесконечно удаленная точка комплексной плоскости называетсяизолированной особой точкой однозначной аналитической функцииf (z ), есливне круга некоторого радиуса R ,

т.е. при , нет ни одной конечной особой точки функцииf (z ).

Для исследования функции в бесконечно удаленной точке сделаем замену
Функция

будет иметь особенность в точкеζ = 0, причем эта точка будет изолированной, так как

внутри круга
других особых точек по условию нет. Являясь аналитической в этом

круге (за исключением т. ζ = 0), функция
может быть разложена в ряд Лорана по степенямζ . Классификация, описанная в предыдущем параграфе полностью сохраняется.

Однако, если вернуться к исходной переменной z , то ряды по положительным и отрицательным степенямz ‘поменяются’ местами. Т.е. классификация бесконечно удаленных точек будет выглядеть следующим образом:

Примеры. 1.
. Точкаz = i − полюс 3-го порядка.

2.
. Точкаz = ∞ − существенно особая точка.

§18. Вычет аналитической функции в изолированной особой точке.

Пусть точка z 0 является изолированной особой точкой однозначной аналитической функции

f (z ) . Согласно предыдущему, в окрестности этой точкиf (z ) может быть представлена единственным образом рядом Лорана:
где

Определение. Вычетом аналитической функцииf (z ) в изолированной особой точкеz 0

называется комплексное число, равное значению интеграла
, взятому в положительном направлении по любому замкнутому контуру, лежащему в области аналитичности функции и содержащему внутри себя единственную особую точкуz 0 .

Вычет обозначается символом Res [f (z ),z 0 ].

Нетрудно видеть, что вычет в правильной или устранимой особой точке равен нулю.

В полюсе или существенно особой точке вычет равен коэффициенту с -1 ряда Лорана:

.

Пример. Найти вычет функции
.

{Пусть Легко видеть, что

коэффициент с -1 получится при умножении слагаемых приn = 0:Res[f (z ),i ] =
}

Часто удается вычислять вычеты функций более простым способом. Пусть функция f (z ) имеет в т.z 0 полюс первого порядка. В этом случае разложение функции в ряд Лорана имеет вид (§16):. Умножим это равенство на (z−z 0) и перейдем к пределу при
. В результате получим:Res[f (z ),z 0 ] =
Так, в

последнем примере имеем Res[f (z ),i ] =
.

Для вычисления вычетов в полюсах более высокого порядка следует умножить функцию

на
(m − порядок полюса) и продифференцировать полученный ряд (m − 1) раз.

В этом случае имеем: Res[f (z ),z 0 ]

Пример. Найти вычет функции
в т.z= −1.

{Res[f (z ), −1] }

Мы определили окрестности этой точки как внешности кругов с центром в начале координат: U (∞, ε ) = {z ∈ | | z | > ε}. Точка z = ∞ является изолированной особой точкой аналитической функции w = f (z ), если в некоторой окрестности этой точки нет других особых точек этой функции. Для определения типа этой особой точки сделаем замену переменной , при этом точка z = ∞ переходит в точку z 1 = 0, функция w = f (z ) примет вид . Типом особой точки z = ∞ функции w = f (z ) будем называть тип особой точки z 1 = 0 функции w = φ (z 1). Если разложение функции w = f (z ) по степеням z в окрестности точки z = ∞, т.е. при достаточно больших по модулю значениях z , имеет вид , то, заменив z на , получим . Таким образом, при такой замене переменной главная и правильная части ряда Лорана меняются местами, и тип особой точки z = ∞ определяется количеством слагаемых в правильной части разложения функции в ряд Лорана по степеням z в окрестности точки z = 0. Поэтому
1. Точка z = ∞ - устранимая особая точка, если в этом разложении правильная часть отсутствует (за исключением, возможно, члена A 0);
2. Точка z = ∞ - полюс n -го порядка, если правильная часть заканчивается слагаемым A n ·z n ;
3. Точка z = ∞ - существенно особая точка, если правильная часть содержит бесконечно много членов.

При этом остаются справедливыми признаки типов особых точек по значению : если z = ∞ - устранимая особая точка, то этот предел существует и конечен, если z = ∞ - полюс, то этот предел бесконечен, если z = ∞ - существенно особая точка, то этот предел не существует (ни конечный, ни бесконечный) .

Примеры: 1. f (z ) = -5 + 3 z 2 - z 6 . Функция уже является многочленом по степеням z , старшая степень - шестая, поэтому z
Этот же результат можно получить по-другому. Заменим z на , тогда . Для функции φ (z 1) точка z 1 = 0 - полюс шестого порядка, поэтому для f (z ) точка z = ∞ - полюс шестого порядка.
2. . Для этой функции получить разложение по степеням z затруднительно, поэтому найдём : ; предел существует и конечен, поэтому точка z
3. . Правильная часть разложения по степеням z содержит бесконечно много слагаемых, поэтому z = ∞ - существенно особая точка. По другому этот факт можно установить исходя из того, что не существует.

Вычет функции в бесконечно удалённой особой точке .

Для конечной особой точки a , где γ - контур, не содержащий других, кроме a , особых точек, проходимый так, что область, им ограниченная и содержащая особую точку, остаётся слева (против часовой стрелке).

Определим аналогичным образом: , где Γ − - контур, ограничивающий такую окрестность U (∞, r ) точки z = ∞, которая не содержит других особых точек, и проходимый так, что эта окрестность остаётся слева (т.е. по часовой стрелке). Таким образом, все остальные (конечные) особые точки функции должны находиться внутри контура Γ − . Изменим направление обхода контура Γ − : . По основной теореме о вычетах , где суммирование ведётся по всем конечным особым точкам. Поэтому, окончательно,

,

т.е. вычет в бесконечно удалённой особой точке равен сумме вычетов по всем конечным особым точкам, взятой с противоположным знаком .

Как следствие, имеет место теорема о полной сумме вычетов : если функция w = f (z ) аналитична всюду в плоскости С , за исключением конечного числа особых точек z 1 , z 2 , z 3 , …, z k , то сумма вычетов во всех конечных особых точках и вычета в бесконечности равна нулю.

Отметим, что если z = ∞ - устранимая особая точка, то вычет в ней может быть отличен от нуля. Так для функции , очевидно, ; z = 0 - единственная конечная особая точка этой функции, поэтому , несмотря на то, что , т.е. z = ∞ - устранимая особая точка.

Прежде всего отметим, что проективная плоскость в отличие от евклидовой плоскости не имеет бесконечной протяженности. Давайте выясним, в чем же различие между ними, а с другой стороны, как они между собой связаны? Для этого давайте уточним, какие положения евклидовой плоскости используются в проективной геометрии. В основе проективной геометрии лежит своя система аксиом. И хотя логические построения на аксиоматическом фундаменте являются замечательной иллюстрацией математического метода, однако, будучи при этом оторванным от евклидовой геометрии, такое изложение проективной геометрии излишне абстрактно. Поэтому для большей конкретности и наглядности целесообразно исходить из модели евклидовой плоскости.

Известно, что прямая на евклидовой плоскости продолжается в обе стороны бесконечно и что между точками прямой и всеми действительными числами можно установить взаимно однозначное соответствие, при котором естественной упорядоченности точек на прямой отвечает упорядоченность чисел но их величине.

Дополним теперь прямую «слева и справа» одной и той же условной точкой которую назовем бесконечно удаленной точкой.

Понятно, что возникает сомнение - а можно ли говорить о реальности несуществующих точек? Однако в современных теориях это встречается часто. Так, например, хотя среди действительных чисел нет бесконечно больших чисел, в математическом анализе применяется символ правда не в качестве числа, а для обозначения неограниченного роста. (В этом же смысле символ употребляется по отношению к тригонометрическим функциям.) После добавления к обычной прямой бесконечно удаленной точки «пополненная» прямая становится замкнутой. Давайте теперь прибавим к: каждой обычной прямой по бесконечно удаленной точке, причем условимся, что когда прямые параллельны, то добавляемые к ним точки совпадают, когда же прямые не параллельны, то их бесконечно удаленные точки различны.

Две пересекающиеся на евклидовой плоскости прямые пересекаются в обычной точке, причем бесконечно удаленные точки этих прямых не совпадают. Следовательно, в этой новой геометрии параллельных прямых не существует, каждые две прямые обязательно

пересекаются в одной точке. Семейство параллельных между собой в обычной геометрии прямых имеет одну общую бесконечно удаленную точку, разнонаправленные же прямые имеют разные бесконечно удаленные точки. В связи с этим бесконечно удаленных точек бесконечно много.

Множество этих бесконечно удаленных точек, опять-таки по определению, составляет одну так называемую бесконечно удаленную прямую

Таким образом мы получаем геометрию, в которой к евклидовой плоскости добавляется одна бесконечно удаленная прямая.

По существу, эта геометрия пока не очень отличается от евклидовой геометрии. Вместо положения о параллельности двух прямых вводится положение об их пересечении в бесконечно удаленной точке.

Основные аксиомы, принятые в проективной геометрии, утверждают, что две точки определяют одну прямую (если обе точки - бесконечно удаленные, то они определяют бесконечно удаленную прямую и что две прямые всегда пересекаются в одной точке. И хотя положения этих двух аксиом весьма важны, но до тех пор пока мы выделяем

некоторые точки в одну бесконечно удаленную прямую, мы практически не меняем сути евклидовой геометрии и не привносим в геометрию ничего нового.

В. ЖВИРБЛИС

Бездонный ночной небосвод и неумолчный шум прибоя обычно помимо воли заставляют задуматься о бесконечности. Бесконечности пространства и бесконечности времени.

Бесконечность, впрочем, не столько привлекает, сколько пугает. Право, мороз подирает по коже, когда пытаешься ее представить наглядно. И видимо, поэтому человек, начиная с древнейших времен и кончая сегодняшним днем, неустанно ищет и мысленно создает вокруг себя уютный конечный мир.

Поначалу, дабы оградить мир, человек помещал плоскую Землю на трех китах или на трех слонах и придумал легенду о сотворении мира и конце света. Но так же, как в старину, никто не мог дать ответа на вопрос о том, где плавают киты или на чем стоят слоны, что было до сотворения мира и что будет после конца света, так и сейчас, несмотря на существование многих изощренных теорий мироздания, физический смысл простого, казалось бы, понятия «бесконечность» продолжает оставаться весьма туманным, и никто, кажется, еще не отыскал способа представить бесконечность по-настоящему наглядно.

Хотя математики такие же люди, как и все, они давно храбро бродят по необозримым просторам бесконечности.

Как им это удается? Что нужно, скажем, для того, чтобы абсолютно точно записать число е , обозначающее основание натуральных логарифмов?

На этот вопрос может быть два ответа.

Ответ первый: бесконечно большой лист бумаги и бесконечно большое время, ибо сколь мелко и быстро мы бы ни писали цифры, заполнять ими бесконечно большую поверхность бесконечным рядом e = 2,71828... придется бесконечно долго. В этом случае говорят о потенциальной бесконечности, то есть бесконечности, которая существует только потенциально, так сказать, в принципе, но реально никогда не может завершиться.

Ответ второй: любой клочок бумаги и несколько секунд, за которые можно набросать формулу, позволяющую вычислить число e с любой наперед заданной точностью. Для этого в формулу (ее можно найти в справочнике) нужно лишь по очереди подставлять возрастающие до бесконечности числа натурального ряда. Такую операцию принято обозначать сочетанием символов n → ∞; в этом случае бесконечность называют актуальной, то есть как бы раз и навсегда реально завершенной, реально существующей, хотя и не равной ничему определенному.

Хитрость последнего приема заключается в том, что вся бесконечность упрятывается в короткое сочетание символов, в котором время участвует в замаскированном виде: ведь n надо все время увеличивать! А вот физики, имеющие дело с реальным миром, никак не могут последовать примеру математиков, которые поступают по-своему логично, вовсе игнорируя время.

В физических формулах бесконечность возникает то и дело, и, чтобы от нее избавиться (ведь в реальном мире все величины должны быть конечными), физики в какой-то мере лукавят, молчаливо подменяя бесконечно большие величины очень большими, но все же конечными, а бесконечно малые величины просто игнорируют. Как говорится, если нет бесконечности, то нет и связанных с нею проблем.

Такое «округление» бесконечностей правомерно, когда речь идет об истолковании экспериментальных результатов (ведь точность измерений всегда конечна), но совершенно недопустимо в «чистой» теории. Например, сплошь и рядом приходится сталкиваться с совершенно бессмысленными, по сути дела, выражениями типа «бесконечно большая (малая) масса» или и «бесконечно малая (большая) скорость». Ведь это означает, что масса все время возрастает или убывает, что скорость все время уменьшается или увеличивается, то есть что масса и энергия неизвестно откуда берутся или неизвестно куда деваются. Можем ли мы представить себе ракету, скорость которой непрерывно растет, но двигатели которой не расходуют никакого горючего?

Значит, здесь в действительности имеются в виду не истинно бесконечно большие или бесконечно малые величины, а величины конечные – либо невообразимо большие, либо пренебрежимо малые. Иначе как могли бы физики описывать ситуации, которые никогда не реализуются?

Само слово «бесконечность» говорит, казалось бы, о том, что это нечто, не имеющее ни начала, ни конца. Бесконечная линия, бесконечная плоскость, бесконечное пространство... Это – наглядный образ потенциальной бесконечности. А может ли считаться бесконечным конечный отрезок? Скажем, длиной в один сантиметр?

С точки зрения чистой математики, актуально бесконечно большим может считаться и отрезок длиной в один сантиметр, и отрезок, равный диаметру атома водорода или электрона. И вообще любой, сколь угодно малый, но конечный отрезок – все дело лишь в том, чем его измерять. Ведь если единица измерения бесконечно мала (вернее, стремится к нулю), то бесконечно велик (точнее, стремится к бесконечности) и размер любого измеренного с ее помощью отрезка.

Другими словами, бесконечно большая величина вовсе не обязана быть невообразимо большой, она может иметь любые конечные (и даже крайне малые с нашей точки зрения) размеры, если для ее измерения используется величина бесконечно малая, то есть непрерывно уменьшающаяся во времени; но та же конечная величина может считаться и бесконечно малой, если она измеряется с помощью бесконечно возрастающей во времени величины.

То есть, по сути, у реальной физической бесконечности должны быть две неразрывно связанные друг с другом области – область бесконечно больших и область бесконечно малых, – и поэтому ее невозможно подразделять на потенциальную и актуальную. Такая бесконечность должна просто существовать.

В самом Деле, мы знаем, что вещество состоит из молекул, молекулы построены из атомов, атомы – из электронов и ядер, ядра – из протонов и нейтронов. А из чего построены сами электроны, протоны и нейтроны? Из кварков? А те из чего построены? То есть, как бы глубоко мы ни проникали в структуру частиц материи, мы сможем до бесконечности задавать один и тот же сакраментальный вопрос: из чего?

Оказывается, киты и слоны водятся не только в области бесконечно большого, но и в области бесконечно малого...

Всем прекрасно известно, что в космических просторах действуют вовсе не те физические законы, что в микромире. Там – теория относительности, специальная и общая: тут – квантовая механика. И хотя обе теории объединяет релятивистская квантовая механика, легче от этого не становится: все эти неклассические теории верно отражают результаты реальных экспериментов, но наглядно представить себе релятивистские и квантовые эффекты невозможно, потому что мысленно можно представить лишь явления, происходящие в ограниченном житейском мире умеренных размеров и скоростей, описываемом с точки зрения так называемого «здравого смысла» (читай – физического смысла) классической механики Ньютона. А коли так, то разве можно пытаться представить себе наглядно реальную физическую бесконечность?

Релятивистская квантовая отличается от классической лишь тем, что содержит два дополнительных постулата – о конечности и инвариантности скорости света и конечности кванта действия – постоянной Планка. Чем больше скорость тела и чем меньше его масса, тем необычнее становится его поведение. И наоборот: чем больше масса тела и чем меньше его скорость, тем точнее его поведение описывается классической механикой и тем легче мысленно его себе представить. Точно так же классическая механика тем точнее описывала бы поведение физических объектов, чем больше была бы скорость света и чем меньше – постоянная Планка.

Так что же тогда описывает классическая механика? Получается, что она вроде бы не описывает ничего: она годится лишь для описания либо реально не существующих объектов (с бесконечно большой массой и бесконечно малой скоростью), находящихся в реальном мире, либо реально существующих объектов, находящихся в реально не существующем мире (с бесконечно малой постоянной Планка и бесконечно большой скоростью света)...

Не правда ли, странный вывод? Однако его можно истолковать и так: классическая механика дает нам чисто умозрительную модель реального мира, как бы увиденного наблюдателем «извне», из бесконечности. Естественно, что свойства такой модели невозможно изучать экспериментально, поскольку наблюдатель не может ставить реальные опыты над воображаемыми или бесконечно удаленными от него объектами. А вот неклассические теории описывают тот же самый мир, но только как бы «изнутри», с точки зрения реального наблюдателя, составляющего единое целое с изучаемой им системой и способного на нее активно воздействовать: в этом случае теория и эксперимент дают строго согласующиеся между собой результаты, но только эти результаты уже невозможно представить себе умозрительно, в точном соответствии со «здравым смыслом».

Иначе говоря, взгляд на мир «изнутри» дает наблюдателю лишь относительно истинные сведения о наблюдаемом объекте, неизбежно искаженные тем, что наблюдатель и объект составляют единую физическую систему и влияют друг на друга. В отличие от этого взгляд на мир «извне», из бесконечности, дал бы наблюдателю абсолютно истинные сведения об объекте. Но ведь чтобы удалиться в бесконечность, необходимо бесконечно большое время... Не в этом ли заключается конкретный физический смысл философских соображений о бесконечности процесса познания абсолютной истины?

Мир един – различны лишь точки зрения на него. Но если абсолютно истинную картину мира невозможно наблюдать принципиально, то, может быть, ее можно вычислить? Например, найдя преобразования координат, подобные галилеевым или лоренцевым, которые позволили бы инвариантно переходить с точки зрения на мир «извне» на точку зрения на мир «изнутри» и наоборот. Не окажется ли тогда, что странные, на наш житейский взгляд, постулаты и выводы неклассических теорий – лишь неявный и не самый лучший способ избавиться от не менее странных, на взгляд современного физика-теоретика, бесконечностей классической модели мира?

Люди чаще всего задумываются о бесконечности, глядя в безлунное звездное небо. Но бесконечность неба – лишь, так сказать, половина настоящей физической бесконечности, простирающейся не только в области бесконечно больших, но и в область бесконечно малых величин. И даже не половина, а ее бесконечно малая часть.

С образом настоящей физической бесконечности людям приходилось сталкиваться не на просторе, а в уютной домашней обстановке, при модном в старину гадании на зеркалах. Делалось это так: в абсолютной тишине и полном одиночестве девица садилась за стол, поставив перед собой одно зеркало, а позади – другое; по бокам она ставила зажженные свечи, освещавшие лицо мерцающим светом. И потом пристально вглядывалась в свое до бесконечности повторяющееся отражение, задумав вопрос, на который хотела бы получить ответ. Вопрос, естественно, касался замужества...

Говорят, спустя некоторое время гадавшей начинало чудиться неизвестно что и, если она вовремя не набрасывала на одно из зеркал специально приготовленное на такой случай полотенце, то с перепугу падала в обморок.

Не смейтесь, попробуйте-ка сами посидеть в тишине и полумраке меж двух зеркал хотя бы минут пятнадцать, вглядываясь в шевелящуюся бесконечность, и вы – современный, рационально мыслящий человек – тоже почувствуете себя очень и очень неуютно. Рано или поздно перестанете понимать, где находитесь вы, а где – ваше отражение, а затем и потеряете чувство реальности, запутавшись в бесконечном ряду одинаковых лиц...

С еще более точным образом реальной физической бесконечности я сам случайно столкнулся в далеком детстве, в довоенные годы. Мне, тогда четырехлетнему, почтальон принес очередной номер «Мурзилки», на обложке которого была напечатана такая картинка: комната, в ней на диване сидит мальчик и разглядывает журнал «Мурзилка», на обложке которого изображена снова та же самая комната и снова на том же самом диване сидит мальчик с «Мурзилкой» в руках – и так, видимо, до бесконечности.

И вдруг я подумал: но ведь я тоже мальчик, и тоже сижу на диване в очень похожей комнате, и тоже рассматриваю журнал «Мурзилка». А что, если и я сам нарисован на обложке такого же журнала и ее разглядывает мальчик, который тоже сидит на таком же диване в такой же комнате и сам нарисован на обложке журнала «Мурзилка»? Тут от ужаса я заревел, бросил журнал и старался больше его не видеть, хотя почему-то страстно тянуло посмотреть на обложку еще раз...

Но откинем вздорные суеверия в сторону, обойдемся без рискованных психологических опытов и будем рассуждать без излишних эмоций. Будем считать, что сам я был мальчиком порядкового номера n и держал в руках журнал, на обложке которого изображен мальчик порядкового номера n – 1. И в то же время я нарисован на обложке журнала, который держит в руках мальчик порядкового номера n + 1. При этом будем считать, что n непрерывно возрастает, стремится к бесконечности. То есть что возрастает число миров, вложенных друг в друга, подобно матрешкам. Однако каким бы большим ни число n , в своем мире я всегда останусь самим собой и не смогу заметить, что оно все время возрастает; более того, я могу вообще не знать о существовании миров с порядковыми номерами n + 1 и n – 1. Более того, я могу изорвать в мелкие клочки журнал с напугавшей меня обложкой, враз уничтожив бесконечно большое число миров...

Но что от этого изменится? Если журнал был издан тиражом, скажем, в 1000000 экземпляров, то 999999 бесконечностей сохранится; если даже и эти экземпляры исчезнут, то ведь в 999999 мирах порядкового номера n + 1 сохранится 999999 · 1000000 экземпляров журнала, а число миров порядкового номера n + 1, в свою очередь, также равно 1000000 – и так далее, до бесконечности. Словом, в такой бесконечности не только порядковых номеров бесконечно много, но и каждый из номеров представлен бесконечно большим числом экземпляров.

Такая бесконечность может показаться пугающей не столько своей необозримостью и неисчерпаемостью, неуничтожаемостью и, так сказать, несоздаваемостью, сколько простотой, доходящей до абсурда. (Не потому ли ощущение бесконечности зачастую возникает у человека при тяжелой болезни? Вспомните описание бреда князя Болконского.) Иными словами, реальная физическая бесконечность – все то, что есть в нашем мире, – не может быть ни уничтожена, ни создана: она либо не существует вообще (что невозможно себе представить), либо существует всегда, вечно (что представить себе тоже невозможно). Так что вопрос – было ли у мира начало и будет ли у него конец – не имеет не только ответа, но и смысла, и прав был незабвенный Козьма Прутков, оставивший по этому поводу следующую притчу: «Однажды, когда ночь покрыла небеса невидимою своею епанчою, знаменитый французский философ Декарт, у ступенек домашней лестницы своей сидящий и на мрачный горизонт с превеликим вниманием смотрящий, – некий прохожий подступил к нему с вопросом: «Скажи, мудрец, сколько звезд на сем небе?» – «Мерзавец! – ответил сей, – никто необъятного объять не может! Сии с превеликим огнем произнесенные слова возымели на прохожего желаемое действие».

Мы, конечно, живем не на плоской обложке журнала, а в геометрически трехмерном мире, как мы условились, с порядковым номером n . И очень может быть, что этот мир – лишь ничтожный кирпичик мира с порядковым номером n + 1, а наш мир, в свою очередь, состоит из невообразимо большего числа миров с порядковыми номерами n – 1, которые мы называем частицами. И так до бесконечности – как вширь, так и вглубь. О такой бесконечности писал Валерий Брюсов в стихотворении «Мир электрона»; в наши дни физики высказывают серьезные гипотезы, согласно которым существуют частицы типа «черных дыр» (например, «фридмоны» академика М.А. Маркова), по устройству неотличимые от нашей Вселенной, и гипотезы, согласно которым вся наша Вселенная представляет собой «черную дыру» – частицу какого-то другого, невообразимо большего мира...

По-видимому, только такая бесконечность и может реально существовать: это Большая Бесконечность, где-то в середине которой (хотя какая середина может быть у бесконечности?) затерян и наш мир; все миры Большой Бесконечности, вместе взятые, существуют как бы вне времени, поскольку если оно течет бесконечно, то бесконечно удаленным от начала, которого никогда не было, может считаться любой миг, как может он считаться слившимся с началом.

И если математика, не боящаяся никаких бесконечностей, описывает именно Большую Бесконечность, то физика описывает лишь ее неизмеримо малую часть, в которой непременно есть и самое малое, и самое большое.

Куда бы ни обратился наш взор, мы увидим вещество. В каждом его грамме содержится примерно 10 частиц – электронов, протонов, нейтронов. Если каждая из этих частиц – мир порядкового номера n – 1, то, значит, внутри каждой из них горят мириады звезд, освещающих неисчислимое множество планет, среди которых могут быть и такие, на которых живут существа, способные размышлять о бесконечности.

Только все в этом мире происходит неизмеримо быстрее, чем в нашем, – наверное, во столько раз, во сколько наш мир больше электрона (если вслед за Брюсовым считать, что мир электрона неотличим от нашего) примерно в 10 41 раз. Тогда если для нас мгновение длится 0,1 секунды, то в мире порядкового номера n – 1 за это время пройдет примерно 10 23 миллиардов лет, а те 10 миллиардов лет, что существует наш мир, в масштабе времени мира с порядковым номером n + 1 промелькнут за 10 –24 секунды – неизмеримо короче нашего мгновения.

Эти бесчисленные миры трепещут и в каждом язычке пламени свечи, и в каждой клеточке нашего тела. Число миров лавиной растет до бесконечности при движении и вширь и в глубь материи, от одного ее структурного уровня к другому. Все эти миры живут полнокровной жизнью, и даже если Земля – единственная колыбель разума, то это вовсе не значит, что мы одиноки во Вселенной: даже в каждой ничтожной пылинке, содержащей несчетное множество миров, должно быть заключено бесконечно большое число планет, населенных разумными существами. И быть может, каждый акт рождения электрон-позитронной пары – акт рождения бесчисленного множества миров, а каждый акт аннигиляции – свидетельство их гибели?

Все это наводит на слишком грустные размышления. Вернемся-ка лучше на нашу маленькую Землю, где днем светит солнце, а ночью – звезды, где есть и море и небо, И где есть близкие и друзья, рядом с которыми можно вовсе не думать ни о бесконечности, ни о том, что все, что имеет начало, имеет, к сожалению, и конец.

Бесконечность: в математике...

А. ФОМЕНКО

Каждая область современной математики (геометрия, алгебра и т.д.) обладает своим «рисунком бесконечности», связывает с этой идеей свой набор психологических образов и эмоций. Естественно, что нагляднее всего эти образы в геометрии. Геометрическая бесконечность наиболее доступна для демонстрации и в то же время чрезвычайно сложна, поскольку часто вступает в конфликт с нашей геометрической интуицией, основанной на повседневном опыте. Дело в том, что физиологические механизмы восприятия, вероятно, не в состоянии адекватно реагировать на абстрактное интеллектуальное задание «представить геометрическую бесконечность», и наш мозг вынужден подменять «подлинную бесконечность» интуитивно более понятным и грубым геометрическим объектом, иногда совершая при этом незаметную ошибку, подстановку. Поэтому геометрическая интуиция, являясь мощным средством постижения математической истины, может иногда коварно приводить к серьезным ошибкам, от которых, как показывает опыт, не застрахованы и опытные исследователи. Возьмем, к примеру, еще со школы знакомое понятие линии. Если, не спеша, более тщательно его продумать, то оно вскоре обнаружит всю свою сложность. На языке математики линия (кривая) является «одномерным объектом», имеет «одно измерение». Евклид пытался определить линию как «длину без ширины». Классическая механика XVIII...XIX вв., опиравшаяся на конкретные эксперименты, выработала следующее естественное представление о линии (кривой). Если рассмотреть движущееся в пространстве тело достаточно малых размеров (бесконечно малую точку), то траекторию его движения можно назвать линией. Таким образом, линия (кривая) – это след движущейся точки. При этом, конечно, в первую очередь заслуживает изучения случай «непрерывного движения», когда точка не делает мгновенных неожиданных скачков, то есть когда ее след не имеет разрывов. Поскольку движение точки происходит во времени, то, выражаясь языком математики, можно сказать, что линия является образом отрезка времени при непрерывном отображении (отрезка) в пространство. До тех пор, пока мы имеем дело с обычными, не очень сложными механическими системами, такое понятие линии нас вполне устраивает. Интуитивно ясно, что непрерывное, не очень сложное движение точки изображается одномерным объектом – линией. Однако стоит перейти к рассмотрению «бесконечных процессов», как сразу обнаруживается недостаточность нашей формулировки и, следовательно, ограниченность нашей геометрической и механической интуиции, на которой было основано это понятие. Дело в том, что указанные линии изображают лишь «не очень извилистое» движение точки. А теперь предположим, что она начинает очень часто менять направление своего движения, и пусть число таких «изломов» нарастает и стремится к бесконечности (все это можно описать совершенно точно). Тогда сложный след точки может оказаться совершенно непохожим на обычную одномерную линию. Например, он может оказаться квадратом, сферой, шаром или даже так называемой n -мерной фигурой, где «размерность» n может быть сколь угодно велика. Опять-таки, прибегая к языку математики, можно сказать, что все эти объекты являются непрерывными образами одномерного отрезка. В то же время они согласно нашему первоначальному определению являются линиями. Столь странное обстоятельство было впервые подмечено итальянским математиком Д. Пеано в 1890 году в честь него описанные «кривые» и называются кривыми Пеано. Итак, наша геометрическая интуиция (рисующая нам «одномерные траектории движения точки») терпит поражение при столкновении с бесконечным процессом построения достаточно сложной линии.

Современная геометрия знает много примеров подобного рода, и во всех них, так или иначе присутствует бесконечная процедура (актуальная бесконечность), разрушающая в итоге наши привычные представления, сложившиеся на основе повседневного, «конечного» опыта. Этим обстоятельством удачно воспользовался при создании своих замечательных графических работ известный французский художник М.К. Эшер, гравюры которого неоднократно публиковались в нашей научно-популярной прессе. С одной стороны, он изображал «бесконечно сложные объекты», а с другой – «невозможные объекты» (вечные двигатели и проч.), умело эксплуатируя несовершенство и ограниченность нашей геометрической интуиции. При этом он опирался на математические конструкции, применяемые в современной алгебре, геометрии, кристаллографии и т.п. Именно глубоким проникновением в природу геометрической бесконечности и объясняется сильное воздействие на зрителя «математических» работ Эшера. Да и вообще, сильно развитое чувство бесконечности окружающего пространства, присутствующее в работах многих крупных художников, не имеющих специального математического образования, коренится в том обстоятельстве, что каждый из них создавал свои приемы изображения бесконечности «конечными средствами». Ведь на полотне можно изобразить лишь иллюзию бесконечности, но не саму бесконечность, и тот, кому удается лучше всего «обмануть зрителя», достигает наибольшего эффекта. Поэтому-то, начиная с эпохи Возрождения, многие живописцы серьезно изучали не только теорию перспективы, но и более глубокие математические конструкции, пытаясь проникнуть за границы, которые ставит конечность нашего «уютного мира».

В заключение отмечу, что в современной математике есть много понятий таких же глубоких, как понятие бесконечности, и заслуживающих того, чтобы каждому из них был посвящен свой «рассказ».

...и в физике

М. ГЕРЦЕНШТЕЙН

Лирика и математика – что, казалось, может быть противоположнее. Но противоположности часто сходятся, а иногда лирики задают математикам глубокие вопросы. Как правило, математики (а вместе с ними и физики – ведь физики без математики сегодня нет и быть не может) от этих вопросов просто отмахиваются. Но иногда, спустя время, вдруг оказывается, что вопросы лириков имели такой подтекст, о котором ученые даже не подозревали.

В статье известного физика Е. Вигнера «Непостижимая эффективность математики в естественных науках» отмечается, что математика – это наука о хитроумных операциях, производимых по специально разработанным правилам над специально придуманными понятиями. Какое отношение это имеет к реальному миру? И где и когда строгое соблюдение правил, придуманных математиками, может привести физиков к ошибочному результату?

Возьмем, к примеру, мир целых вещественных чисел. Мы знаем, что к любому целому числу можно прибавить единичку и получить еще большее число. Если выполнять эту операцию n → ∞ раз, то получится бесконечность; то же самое получится, если удваивать число. Вместе с тем любое число можно разделить пополам, получив меньшее вещественное число, которое можно и дальше делить пополам, повторяя эту операцию хоть n → ∞ раз.

Но в реальном мире, увы, не удается совершить переход n → ∞. Например, если мы начнем удваивать отрезок длиной всего 1 см, то всего лишь после примерно 100 подобных операций получим отрезок, равный размеру всей нашей Вселенной, и его дальнейшее удвоение потеряет физический смысл. И наоборот, если мы начнем делить пополам отрезок длиной 1 см, то спустя всего около 50 таких операций получим отрезок, равный границе малых расстояний, к которым экспериментально приблизилась современная физика. Так почему же математика, пользующаяся явно невыполнимыми в реальном мире операциями с бесконечностями, все-таки дает физике правильные ответы на вопросы о том же реальном мире? В этом-то и заключается суть вопроса, поставленного Вигнером, если его отнести к проблеме бесконечности.

Лирику тут самое время позлорадствовать: если вы, физики, размышляя, прибегаете к невыполнимым в реальном мире операциям, то стоит ли удивляться, если в ваших теориях получаются бесконечности, а не разумные конечные величины? В оправдание можно сказать, что и в самой математике есть проблемы, связанные с бесконечностями.

А именно, до недавнего времени математики были искренне убеждены, что в их строжайшей науке, основанной на конечной системе аксиом, невозможно ничего ни прибавить, ни убавить. Ан нет, оказалось, что в рамках конечной системы аксиом могут существовать утверждения, истинность или ложность которых нельзя установить, и поэтому к математике можно добавлять сколь угодно много новых аксиом, и ее стройность от этого не нарушится...

Лирик, по-моему, зря «лягает» физиков, написав пусть даже в сослагательном наклонении: «...получается, что классическая механика вроде бы не описывает ничего». Любое описание природы есть относительная истина, всегда лишь приближенная к неизвестной нам истине абсолютной. Приближенная как вследствие причин принципиального характера (неточности уравнений классической механики), так и вследствие довольно прозаических причин (для практики излишняя точность описания подчас так же вредна, как и недостаточная).

Не понравились мне и слова о взглядах на мир «извне» и «изнутри». Мне кажется, что они излишне подчеркивают роль наблюдателя. Но в последнем виноваты и мы, физики: о роли наблюдателя слишком много говорят при изложении основ квантовой механики и теории относительности.

И в квантовой механике, и в теории относительности мы, прежде всего, должны как-то связать пространство и время с объектами, которыми занимаются математики – в простейшем случае с числами. Но как? Вакуум – не поверхность Земли, в нем не расставишь верстовые столбы! Конечно, можно оставить в покое какой-либо предмет и считать его точкой отсчета. Но если этот предмет движется по инерции с какой-то начальной скоростью, то за время, пока ведется наблюдение, точка отсчета может сместиться в неизвестном направлении на неизвестное расстояние. Что делать в этой ситуации? Как перебросить мост между физикой и математикой?

Поэтому в теории относительности и приходится говорить о координатной системе того или иного наблюдателя, не вдаваясь в подробности того, что это значит. Тем не менее именно такой подход позволил получить интересные выводы, подтвержденные экспериментально. Замечу, что некоторые особенности моста, соединяющего математику с реальностью, были выяснены сравнительно недавно: например, оказалось, что, невзирая на лоренцево сокращение, движущийся шар выглядит не эллипсоидом, а шаром, и это тоже удалось экспериментально подтвердить!

Волновые свойства электрона определяют характер спектра излучения атома, а ведь спектр излучения не зависит от того, будет ли его кто-либо наблюдать. Естественно, что если квант поглотится в одном месте, то он не может одновременно поглотиться где-либо еще. Если на пути кванта поместить экран с двумя отверстиями, то квант, как любая волна, будет проникать сразу через оба отверстия и давать интерференционную картину, которую удается наблюдать даже на космических расстояниях. Но если за отверстиями расположить приемники фотонов, то квант заставит сработать только один из них, спрашивается – как второй приемник узнал (со сверхсветовой скоростью, мгновенно!) о том, что сработал первый?

Тем не менее, и квантовая механика, и теория относительности – это теории без внутренних противоречий и, несмотря на то, что они противоречат так называемому «здравому смыслу», представляют собой твердо установленные относительные истины.

В завершение несколько слов о мирах-матрешках. Спору нет, сама по себе идея красива, и она часто обсуждается в серьезной физической литературе. Но, по моему мнению, она лишь свидетельствует о бедности фантазии авторов. Количественные изменения всегда приводят к изменениям качественным: матрешки не могут быть совершенно одинаковыми по своим свойствам, различаясь только размерами. Действительно, из этой поэтической гипотезы пока не удалось извлечь никаких конкретных следствий, доступных экспериментальной проверке, – скорее ее некоторые выводы противоречат уже известным фактам.

Лирические мысли о бесконечности оказались достаточно глубокими и позволили поговорить о том, что находится на переднем крае современной науки. Надо надеяться, что этот разговор будет продолжен. Но, конечно, не до бесконечности.

Источник информации:

«Техника – молодежи», №12, 1990.

Определение
Последовательность { β n } называется бесконечно большой последовательностью , если для любого, сколь угодно большого числа M , существует такое натуральное число N M , зависящее от M , что для всех натуральных n > N M выполняется неравенство
|β n | > M .
В этом случае пишут
.
Или при .
Говорят, что стремится к бесконечности, или сходится к бесконечности .

Если , начиная с некоторого номера N 0 , то
( сходится к плюс бесконечности ).
Если же , то
( сходится к минус бесконечности ).

Запишем эти определения с помощью логических символов существования и всеобщности:
(1) .
(2) .
(3) .

Последовательности с пределами (2) и (3) являются частными случаями бесконечно большой последовательности (1). Из этих определений следует, что если предел последовательности равен плюс или минус бесконечности, то он также равен и бесконечности:
.
Обратное, естественно, не верно. Члены последовательности могут иметь чередующиеся знаки. При этом предел может равняться бесконечности, но без определенного знака.

Заметим также, что если какое-то свойство выполняется для произвольной последовательности с пределом равным бесконечности, то это же свойство выполняется и для последовательности, чей предел равен плюс или минус бесконечности.

Во многих учебниках по математическому анализу, в определении бесконечно большой последовательности указывается, что число M является положительным: M > 0 . Однако это требование является лишним. Если его отменить, то никаких противоречий не возникает. Просто малые или отрицательные значения для нас не представляют никакого интереса. Нас интересует поведение последовательности при сколь угодно больших положительных значениях M . Поэтому, если возникнет необходимость, то M можно ограничить снизу любым, наперед заданным числом a , то есть считать, что M > a .

Когда же мы определяли ε - окрестность конечной точки, то требование ε > 0 является важным. При отрицательных значениях, неравенство вообще не может выполняться.

Окрестности бесконечно удаленных точек

Когда мы рассматривали конечные пределы, то ввели понятие окрестности точки. Напомним, что окрестностью конечной точки является открытый интервал, содержащий эту точку. Также мы можем ввести понятия окрестностей бесконечно удаленных точек.

Пусть M - произвольное число.
Окрестностью точки "бесконечность" , , называется множество .
Окрестностью точки "плюс бесконечность" , , называется множество .
Окрестностью точки "минус бесконечность" , , называется множество .

Строго говоря, окрестностью точки "бесконечность" является множество
(4) ,
где M 1 и M 2 - произвольные положительные числа. Мы будем использовать первое определение, , поскольку оно проще. Хотя, все сказанное ниже, также справедливо и при использовании определения (4).

Теперь мы можем дать единое определение предела последовательности, которое относится как к конечным, так и к бесконечным пределам.

Универсальное определение предела последовательности .
Точка a (конечная или бесконечно удаленная) является пределом последовательности , если для любой окрестности этой точки существует такое натуральное число N , что все элементы последовательности с номерами принадлежат этой окрестности.

Таким образом, если предел существует, то за пределами окрестности точки a может находиться только конечное число членов последовательности, или пустое множество. Это условие является необходимым и достаточным. Доказательство этого свойства, точно такое, как для конечных пределов.

Свойство окрестности сходящейся последовательности
Для того, чтобы точка a (конечная или бесконечно удаленная) являлась пределом последовательности , необходимо и достаточно, чтобы за пределами любой окрестности этой точки находилось конечное число членов последовательности или пустое множество.
Доказательство .

Также иногда вводят понятия ε - окрестностей бесконечно удаленных точек.
Напомним, что ε - окрестностью конечной точки a называется множество .
Введем следующее обозначение. Пусть обозначает ε - окрестность точки a . Тогда для конечной точки,
.
Для бесконечно удаленных точек:
;
;
.
Используя понятия ε - окрестностей, можно дать еще одно универсальное определение предела последовательности:

Точка a (конечная или бесконечно удаленная) является пределом последовательности , если для любого положительного числа ε > 0 существует такое натуральное число N ε , зависящее от ε , что для всех номеров n > N ε члены x n принадлежат ε - окрестности точки a :
.

С помощью логических символов существования и всеобщности, это определение запишется так:
.

Примеры бесконечно больших последовательностей

Сначала мы рассмотрим три простых похожих примера, а затем решим более сложный.

Пример 1

.

.
Выпишем определение бесконечно большой последовательности:
(1) .
В нашем случае
.

Вводим числа и , связав их неравенствами:
.
По свойствам неравенств , если и , то
.
Заметим, что при это неравенство выполняется для любых n . Поэтому можно выбрать и так:
при ;
при .

Итак, для любого можно найти натуральное число , удовлетворяющее неравенству . Тогда для всех ,
.
Это означает, что . То есть последовательность является бесконечно большой.

Пример 2

Пользуясь определением бесконечно большой последовательности показать, что
.

(2) .
Общий член заданной последовательности имеет вид:
.

Вводим числа и :
.
.

Тогда для любого можно найти натуральное число, удовлетворяющее неравенству , так что для всех ,
.
Это означает, что .

.

Пример 3

Пользуясь определением бесконечно большой последовательности показать, что
.

Выпишем определение предела последовательности, равному минус бесконечности:
(3) .
Общий член заданной последовательности имеет вид:
.

Вводим числа и :
.
Отсюда видно, что если и , то
.

Поскольку для любого можно найти натуральное число, удовлетворяющее неравенству , то
.

При заданном , в качестве N можно взять любое натуральное число, удовлетворяющее следующему неравенству:
.

Пример 4

Пользуясь определением бесконечно большой последовательности показать, что
.

Выпишем общий член последовательности:
.
Выпишем определение предела последовательности, равному плюс бесконечности:
(2) .

Поскольку n есть натуральное число, n = 1, 2, 3, ... , то
;
;
.

Вводим числа и M , связав их неравенствами:
.
Отсюда видно, что если и , то
.

Итак, для любого числа M можно найти натуральное число, удовлетворяющее неравенству . Тогда для всех ,
.
Это означает, что .

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.