А.Г.Трифонов. Стандартные алгоритмы

Данный раздел Стандартные алгоритмы представляет собой введение в простановку задач различных методов оптимизации и включает в себя описание алгоритмов средней размерности (т.е. стандартных алгоритмов), используемых в данном тулбоксе. Указанные алгоритмы были выбраны вследствие их достаточно высокой устойчивости и итерационной эффективности. Выбор постановки задачи (например, без наличия ограничений, метод наименьших квадратов, при наличии ограничений, задача минимакса, многоцелевая задача или задача достижения цели) определяется сущностью решаемой задачи и требуемой эффективностью решения.

Данный раздел включает в себя следующие пункты.

Примечание. Термин средней размерности не является общестандартным термином и используется только как для введения отличия используемых алгоритмов от алгоритмов большой размерности, представленных в разделе "Алгоритмы большой размерности".

Обзор методов оптимизации

Методы оптимизации используются для того, что бы найти некий набор параметров х={x 1 , х 2 , … х n } которые в некотором смысле могут быть определены как оптимальными. В узком смысле это может быть поиск минимума или максимума некой функции как параметра от х={x 1 , х 2 , … х n }. В более широком смысле эта формулировка представляет собой минимизацию или максимизацию целевой функции, f(x) , при наличии ограничений в форме

Равенств

или неравенств

а также и/или ограничений,

на пределы изменения параметров.

Общая формулировка (GP) задачи параметрической оптимизации представляется следующим образом: следует найти вектор х={x 1 , х 2 , … х n }, обеспечивающий

при условии

где х - вектор оптимизируемых параметров (), f(x) - скалярная целевая функция (критерий) векторного аргумента (), G(x) - также некоторые скалярные функции векторного аргумента как некие функции от х () (при этом задача максимизации может сводиться к задаче минимизации при замене f(x) на -f(x) ).

Эффективность и точность решений данной задачи зависит как от числа параметров и ограничений, так и от вида целевой функции. При линейных ограничениях и линейной целевой функции приведенная задача оптимизации называется задачей линейного программирования (LP). Задача квадратичного программирования (QP) представляет собой минимизацию или максимизацию квадратичной (по аргументам) целевой функции при наличии ограничений линейного вида. Постановки задач типа (LP) и (QP) представляют собой достаточно реалистически достижимыми задачами. Более сложной является обобщающая задача нелинейного программирования (NP), когда целевая функция и ограничения представляют собой некие нелинейные функции от исходных аргументов. (NP), в общем случае, решается с помощью итерационных методов с коррекцией направления поиска на каждой итерации. Такая постановка задачи обычно решается через решение отдельных промежуточных задач (LP) и (QP)/

Оптимизация без наличия ограничений

Существующие алгоритмы оптимизации без наличия ограничений могут быть разделены на две группы - алгоритмы, базирующиеся на использовании производных минимизируемой функции (градиентные и методы второго порядка), и алгоритмы, использующие только значения функции (безградиентные).

Безградиентные методы (например, симплексный метод Нелдера-Мида ) более пригодны для задач, где минимизируемая функция является существенно нелинейной функцией или имеет разрывы. Градиентные методы (методы первого порядка) обычно эффективны в случаях целевых функций, непрерывных вместе с первыми производными. Методы второго порядка, такие как метод Ньютона, применяются реже, поскольку требуют больших вычислительных затрат для расчета матриц вторых производных.

Градиентные методы используют информацию о наклоне функции для выбора направления поиска экстремума. В одном из таких методов - наискорейшего спуска - на каждой итерации движение к точке минимума осуществляется в направлении (где - вектор-градиент целевой функции f(x) . Этот метод весьма неэффективен в ситуациях, когда поверхность целевой функции имеет узкие "овраги", как, например, у известной функции Розенброка

Минимальное значение данной функции, как нетрудно видеть, равно нулю при . Графическое представление изолиний данной функции приведено на Рис. 3, где также представлено траектория продвижения по направлению к точке минимума согласно метолу наискорейшего спуска из начальной точки [-1.9,2].

Рис. 3-1: Метод наискорейшего спуска для функции Розенброка (уравнение 3-2).

Оптимизация была прервано после 1000 итераций, хотя все еще на значительном расстоянии от точки минимума. Пунктиром представлены области, где согласно данному методу проходит непрерывный зигзагообразный переход с одной стороны оврага на другую. Отметим, что при направлении к центру данного графика число увеличенных шагов отмечается в случае, когда они лежат точно в центре оврага. Эту функцию из-за своеобразной формы линий равного уровня часто называют "банановой" функцией и используют как тестовую при проверке различных методов оптимизации. Изолинии представлены с экспоненциальным приращением вследствие резкого изменения наклона для U-образных оврагов.

В данном разделе рассматриваются задачи оптимизации, возникающие в многоэтапных (многошаговых) процессах принятия решений, излагается метод оптимизации Р. Веллмана и анализируются условия его применимости. Приводятся примеры и практические задачи, решаемые по этому методу, который называется динамическим программированием. Некоторые из этих задач рассматриваются и в последующих разделах при изложении методов линейного и нелинейного программирования, что позволяет оценить сравнительные возможности различных методов. Кроме того, излагается модификация метода Веллмана «Динамическое программирование на множествах Парето», которая для широкого круга задач более эффективна, чем оригинальный метод. Приводятся практические задачи из различных областей, которые решаются с помощью нового метода.

Многоэтапные процессы принятия решений

Динамическое программирование - это особый метод оптимизации, наиболее эффективный при решении задач, распадающихся на ряд последовательных этапов (шагов), таких как планирование производства и инвестиций на ряд временных интервалов (лет, кварталов, месяцев), последовательность тестовых испытаний при контроле аппаратуры, поиск оптимальной траектории движения и др. В любом случае, речь идет о процессах, в которых окончательное решение (план, проект, последовательность управляющих воздействий, обеспечивающая нужную траекторию и т. д.) вырабатывается последовательно (по шагам), причем на каждом шаге приходится решать однотипные задачи, которые существенно проще, чем решение исходной задачи в целом. В этом и состоит основная идея метода: свести решение одной сложной задачи к решению множества однотипных, иногда совсем простых задач, например выборка чисел из массива, суммирование и сравнение результатов.

Возникновение динамического программирования связано с исследованием многошаговых процессов, возникающих в теории создания запасов и распределения ресурсов.

Основная идея, которая привела к созданию вычислительного метода, была сформулирована в начале 50-х годов прошлого века Р. Веллманом (R. Bellman), сделавшим самый большой вклад в развитие метода, который он назвал «динамическое программирование» , но который чаще называют просто методом Веллмана.

Метод не является универсальным, причем далеко не всегда в конкретной практической задаче удается обосновать без дополнительного анализа возможность его применения, а тем более отсутствие такой возможности.

Реализация метода для каждого конкретного многошагового процесса принятия решений, как правило, требует разработки нового алгоритма. Многие практические задачи, которые можно решать с помощью этого метода, были рассмотрены его автором совместно с Дрейфусом (S. Dreyfus) .

Первоначально метод предлагался для решения сравнительно узкого класса задач, возникающих в процессах, которые развиваются во времени. Отсюда и название: динамическое программирование, причем слово программирование скорее означало планирование, чем разработку компьютерных программ. Фактически этот метод, как и рассматриваемый ниже симплекс-метод Данцига для решения задач линейного программирования, был разработан на заре «компьютерной эры», то есть до массового применения вычислительной техники. Тогда слово «programming» на русский язык переводилось как «планирование», и метод Р. Веллмана первоначально назывался «динамическое планирование». Через некоторое время после появления первых работ Р. Веллмана выяснилось, что для многих задач, которые не являются многоэтапными в явном виде, эту многоэтапность можно организовать искусственно и применить метод Веллмана.

Для изложения основной идеи метода рассмотрим сначала простую задачу поиска оптимального пути на двумерной прямоугольной сетке, в которой разрешены переходы из одного узла в другой только по горизонтали (вправо) или по вертикали (вверх). Заданы затраты на каждый из возможных переходов и требуется найти путь с минимальными суммарными затратами из левого нижнего угла сетки (рис. 2.1 точка А) в правый верхний угол (точка В). Такой путь называется оптимальным. Узлы сетки пронумерованы так, как показано на рис. 2.1, где шип задают соответственно вертикальный и горизонтальный размеры сетки (число шагов по вертикали и горизонтали соответственно).

Затраты на переход в узел i, j по горизонтали (из узла i, j-1) обозначим как gy ; а по вертикали (из узла i-1, j) - vy. В точке А соответствующие величины равны нулю. Таким образом, исходными данными в этой задаче являются: m, п и все шаговые затраты gy и vy (i = 0, 1,2, ..., m; j = 0, 1,2, ..., п). Всего n(m + 1) чисел gy и m(n + 1) чисел vy, то есть всего 2mn + m + п переходов и соответствующих им затрат.

Рис. 2.1.

При небольших размерах сетки можно попытаться решить задачу методом полного перебора вариантов возможных путей из точки А в точку В. Однако эта идея абсолютно бесперспективна уже при величинах шип порядка 10 из-за резкого роста числа вариантов возможных путей из точки А в точку В с увеличением размеров сетки. Действительно, каждому варианту пути из точки А в точку В соответствует ровно m шагов по вертикали и ровно п шагов по горизонтали, но последовательность этих шагов для каждого варианта своя. Если шагу по горизонтали поставить в соответствие 0, а шагу по вертикали 1, то очевидно, что вариант пути - это выбор размещения m единиц по m + п возможным местам (оставшиеся п мест займут нули). Для размещения первой единицы имеется m + п возможностей, для второй - m + n - I возможностей и т. д. В итоге получаем формулу для числа вариантов пути N.

Уже при m = п = 10 N = 184756.

Следующая идея состоит в том, чтобы из точки А идти в том направлении, которое требует минимальных затрат на первом шаге (первый ход), не думая о затратах на последующих шагах, и так в каждой точке. То есть рассматривать только затраты на данном шаге и выбирать тот переход, для которого на данном шаге затраты минимальны. Легко убедиться в ошибочности этой идеи даже при m = n = 1 (рис. 2.2).

Действительно, если первый шаг выбрать по вертикали в точку С (затраты 2 против 7), то в итоге после второго шага получим суммарные затраты, равные 12, а при выборе на первом шаге «неоптимального» решения (точка D) суммарные затраты равны всего лишь 8.

Рис. 2.2.

Приходим к выводу об ошибочности этой простой идеи принятия решения без учета его последствий. Иначе говоря, надо смотреть далее, чем на один ход вперед.

Поиск оптимального пути можно рассматривать как многошаговый процесс. На первом шаге находимся в точке А и имеем две возможности: пойти вверх или направо. Мы убедились на рассмотренном примере (рис. 2.2), что сделать выбор нельзя, так как нужно учитывать последствия этого выбора. При любом выборе попадем мы в точку (0, 1) или (1, 0), встанет та же задача выбора из двух возможностей и опять выбор сделать нельзя и т. д. Однако существуют точки, находясь в которых мы не имеем выбора. Эти точки С и D находятся в одном шаге от последней точки В и имеют координаты (m, n- 1) и (т- 1, п) (рис. 2.3).

Рис. 2.3.

Для каждой из этих точек запомним затраты на оставшийся до точки В путь и рассмотрим предпоследний шаг. В двух шагах от финиша мы можем быть в точках Е, F или G. В точках Е и G выбора нет, и мы просто запомним для каждой из них суммарные затраты на весь оставшийся путь. На рис. 2.3 это 10 для точки Е и 8 для точки G. А что делать, если мы в двух шагах от финиша окажемся в точке F? Ответ кажется простым: надо идти в точку С, а не в точку D, так как несмотря на то, что на предпоследнем шаге затраты больше (2 против 1), но с учетом затрат на оставшийся путь (4 против 7) суммарные затраты на путь до точки В окажутся меньше (6 против 8). Конечно, из точки F надо идти в точку С, но при одном непременном условии: ничто не может помешать нам это сделать, нет никакой связи с тем, как мы попали в данную точку, или, как говорят, нет «предыстории». В нашей задаче такой связи нет, но в более сложных задачах она вполне возможна. Например, могло быть задано дополнительное условие: суммарное количество изменений направления (поворотов) не больше заданного числа. Тогда мы, во-первых, должны знать, сколько было сделано поворотов до попадания в точку F и каким образом (по горизонтали или по вертикали) мы попали в эту точку, то есть должны знать предысторию. Может оказаться, что мы попали в точку F по горизонтали и уже исчерпали заданный «лимит» поворотов, тогда переход из точки F в точку С просто невозможен, так как это уже лишний поворот. Получается, что сделать оптимальный выбор в точке F нам может помешать предыстория.

Продолжим поиск оптимального пути в нашей задаче, в которой таких осложнений нет и предыстория не имеет значения. В точке F мы запомним затраты на весь оставшийся путь при условии, что выбран оптимальный вариант: переход в точку С. Сделав еще шаг назад, то есть оказавшись за три шага до финиша, мы увидим, что ситуация полностью аналогична предыдущей. Выбора или нет (точки на крайней верхней или крайней правой стороне сетки), или есть две возможности, но для каждой из них уже известны последствия выбора. Так, оказавшись в точке М, мы выберем не точку F, для которой затраты до конца пути равны 6, а казавшуюся бесперспективной точку Е, для которой эти затраты равны 10, но суммарные затраты на весь оставшийся путь меньше (13 против 14). При этом выборе мы решаем совсем простую задачу: суммируем затраты на каждый из возможных переходов на данном шаге (в точку Е или в точку F) с уже известными затратами на дальнейший путь по оптимальному для выбранной точки варианту. Поступая аналогичным образом, мы рано или поздно в своем обратном движении придем в начальную точку А (рис. 2.4). Но при этом уже будут известны последствия для каждого из вариантов выбора (пойти по вертикали в точку К или по горизонтали в точку L), так как для каждой из них уже вычислены и записаны затраты на весь оставшийся путь до точки В. Это ситуация аналогична той, что представлена на рис. 2.4.

Теперь ничто не мешает нам сделать выбор, куда идти из точки А. Просуммируем затраты из А в К с тем, что записано для точки К на весь оставшийся путь от К до В. Затем просуммируем затраты из А в L с тем, что записано для L на путь из Lb В, выберем наименьшую из сумм, которая и будет равна суммарным затратам по оптимальному пути. В примере на рис. 2.4 получаем для точки

Рис. 2.4.

К число 99, а для точки L 100, и, следовательно, теперь ясно, что идти надо в точку К. Но нам нужны не только эти минимальные из всех возможных затраты, но и сам оптимальный путь. Пока мы знаем, куда идти из точки А на первом шаге. А дальше? Дальше знаем только затраты на весь оставшийся путь. Чтобы не оказаться в такой ситуации неопределенности, при записи затрат на оставшийся путь в каждой из промежуточных точек (С, D, Е, F, G, М и т. д., рис. 2.3) нужно записывать и сделанный выбор: куда идти из этих точек. Если это сделано, то при выборе, куда идти из точки А: в точку К или L, в любой из них уже будет записано, куда идти дальше (по вертикали или по горизонтали, то есть 1 или 0) и т. д. Обратным разворотом мы дойдем до точки В и восстановим оптимальный путь.

Заметим, что если при сравнении вариантов на любом из этапов попадутся два варианта с равными затратами, то можно выбрать любой из них. Это означает, что оптимальный путь может быть не единственным, но каждому из таких оптимальных путей соответствует одно и то же минимальное из всех возможных в заданных условиях значение суммарных затрат.

В данной задаче мы исследовали многошаговый процесс от последнего шага к первому. Но ничто не мешает развернуть его и рассмотреть шаги в прямом направлении, то есть от точки А к точке В, ничего не меняя в методе Р. Веллмана по существу.

Применительно к рассматриваемой нами задаче поиска оптимального пути на двумерной сетке алгоритм примет следующий вид.

• 1. Из точки А делаем шаг в каждом из возможных направлений, запоминаем в точках К и L затраты и направление, по которому пришли в эту точку (0 по горизонтали и 1 - по вертикали). Соответственно для точки К запомним 12 и 1, а для точки L 5 и 0.
• 2. На втором и всех последующих шагах, кроме последнего, если в точку ведет один путь (шаги по левой и нижней сторонам сетки), то просто запоминаем суммарные затраты на путь от начала и направление, откуда пришли, а если в точке сходятся два варианта (на рис. 2.4 это точка Н, а на рис. 2.3 точки М, F и др.), то сравниваем две возможности: придти в эту точку по горизонтали или по вертикали. Для каждой из них вычисляем суммарные затраты на путь от начала до данной точки, выбираем тот вариант, для которого эти суммарные затраты минимальны, запоминаем их и соответствующее им направление. Таким образом, происходит отбраковка вариантов, сходящихся в точке: вариант с наибольшими затратами отбрасывается и все его продолжения далее не анализируются. Естественно, это можно сделать только в таких простых задачах «без предыстории», как наша, когда совпадают множества возможных продолжений сравниваемых вариантов и отбраковка варианта никак не влияет на возможности выбора в дальнейшем.
• 3. На последнем шаге в точку В ведут два направления, и по каждому из них все известно: для каждой точки (на рис. 2.3 это точки С и D) записаны затраты на весь путь от начала и направление, откуда пришли в эту точку. Снова суммируем затраты по вариантам, выбираем наименьшие, а затем обратным разворотом восстанавливаем оптимальный путь.

В реальных задачах многоэтапные процессы могут иметь не один исход (точку финиша) или начало (точку старта), а несколько. Однако это не мешает применить метод Р. Веллмана.

Во-первых, для упрощения алгоритма всегда можно ввести еще один фиктивный этап с нулевыми затратами на нем. Например, ввести единственную фиктивную точку финиша, которая достигается из реальных точек финиша без дополнительных затрат.

Во-вторых, можно просто сравнить варианты финиша в каждой из точек, если их несколько. Аналогично можно поступить и при наличии нескольких точек старта, но в этом случае необходимо либо добавить фиктивную точку старта, из которой затраты на первый шаг равны нулю, либо, что одно и то же, сразу рассматривать несколько вариантов и анализировать их продолжения.

Исследование алгоритма оптимизации

2.1 Описание алгоритма оптимизации

Для культурного алгоритма, основанного на эволюционном программировании для решения ограниченных проблем оптимизации.

Такой подход позволяет включение знаний об этой проблеме во время поиска. Такие знания включение позволяет значительному сокращению числа фитнес-функций оценки требуемых алгоритму.

Справочная информация культурной эволюции общества позволяет развиваться и адаптироваться к среде на более высокий уровень, чем биологической эволюции основаны Преимущества и недостатки на генетических наследование только коммуникационный протокол и с течением времени люди разработали уникальный набор возможностей, которые поддерживают алгоритм формирования, Кодирования и передачи общие черты культурной информации.

Культура есть система символически кодируется концептуальных методов явления, которые являются социально и исторически, передаваемых в рамках Преимущества и недостатки культурных алгоритмов вычислительных моделей культурной эволюции протокола и связи. Другие методы культурных алгоритмов эволюционных алгоритмов, которые поддерживают будущие направления дополнительного механизма для извлечения информации в ходе исполнения приложения алгоритма, избегая необходимости кодирования

Алгоритм уменьшает необходимость для незрелых людей тратить энергию в обход проб и ошибок итераций, как правило, требуется получить информацию об окружающей среде. Он позволяет передачу больше информации, чем любые недостатки индивидуального генома мая реально содержит коммуникационный протокол алгоритма и культуры населения, дает общие черты культурной информации может передаваться быстрее, чем генетические материалы. Стабильность - культура способна упорно за жизнь одного человека протоколов.

Культурные связи протокола взаимодействия между населением и убеждений пространстве культурного алгоритма - лучших людей из населения может обновить веру пространства алгоритмов. Связанные с помощью функции обновления техники знания категорий убеждений пространстве может повлиять на население путем изменения генома или действия отдельных лиц Преимущества и недостатки протокола и алгоритма общие черты

С эволюционной точки зрения культурного алгоритма в микроэволюционной перспективе - передаче поведение между индивидуумами в области народонаселения и с макроэволюционной точки зрения (формирование обобщенных Преимущества и убеждений на основе индивидуального опыта) Недостатки коммуникации каждый человек может быть описан: алгоритм набора признаков. Общие черты лица опыта прошлого и прогнозы относительно будущего коммуникационные протоколы или обобщенного описания своего опыта вложение.

Основные культурные алгоритма инициализировать народонаселения космической POP (т), а также справочную и инициализировать убеждений космической BLF и повторяется до тех пор, пока прекращение состояния достигнуто. Преимущества и недостатки выполнять действия отдельных лиц в POP (т); протокола и связи оценки каждого отдельного используя функции; Алгоритм выбирает лучших людей стать родителями; Общие черты создать новое поколение потомков путем мутации и кроссовер; Другие лучшие люди могут обновить BLF (т) - признание функции.

Двойного наследования (по крайней населения и уровня знаний) соответствующие знания по методам руководства эволюции населения англ. Поддерживает иерархическую структуру населения и убеждений. Преимущества и области знаний, отделяется от лиц Недостатки Сообщение поддерживает себя адаптации на различных уровнях протокола и алгоритма эволюции может происходить с разной скоростью на разных уровнях общие черты (В алгоритме развивается 10 раз быстрее, чем биологические коммуникационные протоколы поддерживает гибридные подходы к решению проблем вложении Другие методы вычислительной в рамках которой многие все будущие направления различных моделей культурные изменения могут быть выражены

Алгоритм может поддержать возникновение иерархических структур в обоих алгоритмов. Похожие убеждений и населения методам нахождения количество доменных знаний (например, сдерживается смежным методам оптимизации проблем сложных систем, в которых адаптация может происходить на различных уровнях Справочная информация и на различных курсов в области народонаселения и убеждений пространстве и знания в различных формах и должна быть мотивированным минусы, по-разному коммуникационный протокол и гибридных систем, которые требуется сочетание Алгоритм поиска и базы знаний, основанные общие черты Подходит Проблемы проблема требует решения многочисленных групп населения и многочисленных коммуникационных пространств убеждений и их взаимодействие протоколов вложении Другие иерархически структурированной среде, где проблема Методы иерархическую структуру населения и знание элементов

Признание Функция культуры Алгоритм - все люди используются для обновления ограничений знаний культурныхх алгоритмов. Похожие рейтинг 20% (видный человек) являются использование используются методы обновления от нормативного знания использовать помехи для корректировки правил активных клеток. Недостатки Сообщение осуществимо протокола и невозможно Алгоритм полу-возможные общие черты Подходит Проблемы адаптации иерархическая структура, основанная на вышеупомянутое сообщение Протоколы сплит полу-возможно клеток на более мелкие ячейки, когда число вложении Другие лица становится слишком высокой Будущие направления слиянии невозможно детей в первоначальном родителей;

Похожие методы руководства миграции людей из менее продуктивными клеток, чтобы те, которые являются более продуктивными-это возможно и практически осуществимо клеток с видными Преимущества и недостатки отдельных лиц и коммуникационный протокол свидетельствует миграция из обычной клетки для выдающихся Алгоритм клеток общие черты как мало видных клеток коммуникационные протоколы перемещения лиц в невозможно клетки для них осуществимо вложении перехода от обычных людей на видных клеток

Население культурных моделей, используемых алгоритмов - генетических алгоритмов. Похожие методы англ. Недостатки Сообщение Эволюция стратегий (Робот играет в футбол) и Протокол Алгоритм Memetic моделей (Развитие сельского хозяйства) Общие черты агент на основе моделирования (Эволюция состояния окружающей среды Подходит Проблемы коммуникации воздействия)

Вариации культуры Алгоритм - генетических алгоритмов. Похожие методы англ. и космической руководствуясь генетические алгоритмы (VGA)

Микро-эволюционный процесс моделируетсяс использованием генетических алгоритмов.Недостатки протокола и убеждений пространство представляет схемы и обобщения отдельных хромосом, основанных на их поведении. Подходят будущие направления культуры Алгоритм - генетических алгоритмов. Похожие методы нескольких представлениях и народонаселения Преимущества и недостатки убеждений космической эволюции протокола Проектирование и культурных систем Алгоритм общие черты и структуры и решении проблем окружающей среды.

Использование доменов информации для повышения эффективности алгоритмов. Похожие эволюционного алгоритма. , коммуникационный протокол и разнообразию и изменениям в окружающей среде в популяциях.

Рисунок 1.Алгоритм культурного обмена.

2.1.2 Основные идеи алгоритма культурного обмена

Культурные алгоритмы используют базовый набор знаний, источников, связанных друг к знаниям наблюдается в различных животных. Эти знания источников, то в сочетании с прямым решением отдельных агентов в решении проблем оптимизации Этот алгоритм, основанный на аналогии со стоимостью маргинальных теорем для руководства интеграции этих различных источников знаний для прямого агента населения. Применяется алгоритм, чтобы найти оптимальный в динамичной среде в составе мобильных ресурсов конусами. Это свидетельствует о том, что некоторые этапы решения проблемы возникают вместе со связанными с ролью каждого решения в ходе процесса.

Знания об эволюционном информация не использовал эффективно в области генетического алгоритма. В то время как традиционные культурные алгоритмы, имеющих двойное наследование структуры сходятся медленно, потому что эволюционный программирование выбирается для населения, модели и оператора мутации только будет принят населения в пространстве. Роман культурных алгоритмов, основанный на генетических алгоритмов предлагается четыре вида знания воды. Результаты моделирования по базового одного пика оптимизации функций свидетельствуют о том, что эффективность этого метода гораздо лучше, чем традиционные культурные алгоритмы специально для "простой функции". С целью многолетних пиков оптимизации проблему, нескольких окон культурного алгоритм и нескольких окон культурного алгоритм, основанный на генетический алгоритм вводятся. Результаты моделирования по базового многолетних пиков функция указывает на то, что последний является более эффективным средством оптимизации производительности, чем первого.

Ежедневно поколения графика гидротермальных систем энергоснабжения играет важную роль в функционировании энергосистемы для экономики и безопасности, которая является крупномасштабных динамичный нелинейной оптимизации сдерживается проблемой. Очень трудно решить с помощью традиционных методов оптимизации. В настоящем документе предлагается новый культурный алгоритм для решения ежедневных поколения оптимального планирования гидротермальных систем энергоснабжения. Подход принимает водном транспорте времени задержки связаны между водохранилища во внимание и удобная возможность заниматься сложной гидравлической связью одновременно. Например используется для проверки правильности и эффективности предлагаемых культурных алгоритм, по сравнению с обеих Лагранжа метод и метод генетических алгоритмов. Результаты моделирования показывают, что предлагаемый алгоритм имеет быстрого сближения скорость и точность выше решение. Таким образом, эффективным методом оказывается решить оптимальным ежедневно поколения графика гидротермальной системы.

Программисты часто используют, основанной на знаниях эвристические подходы в применении решения проблем программирования.

Программа нарезки является одним из средств, используемых для получения таких знаний в области программного обеспечения для поддержки отладка, испытания, техническое обслуживание и понимание программ.

Программа нарезки является определение множества всех заявлений в программу, которая прямо или косвенно влияет на значение переменной происшествия. Генетическое программирование на процесс использования эволюционных методов для выявления информации, которая может быть использована для определения местоположения проблемы в программный код. Мы считаем, что в рамках культурного Алгоритм базы, анализ агент тестирования могут быть реализованы с использованием методов нарезания в целях получения более точных метрик программы.

Скопление интеллекта (СИ) является вычислительная техника разветки с участием исследования коллективного поведения в децентрализованных системах.

Такие системы основаны на население простых людей, взаимодействующих на месте с другом и с окружающей их средой. Несмотря на то, как правило, нет централизованного контроля диктовать поведение отдельных лиц, местных взаимодействий между людьми часто приводят к глобальной структуры выйти. Примерами таких систем, как этого можно найти в природе, в том числе колоний муравьев, птиц, животных, выпас скота, мед пчел, и многое другое.

Культурные алгоритм с дифференциальной эволюции населения, предложенных в этом документе. Этот алгоритм использует культурные различными источниками знаний оказывать влияние на изменение оператором дифференциальной эволюции алгоритм, с тем чтобы сократить количество фитнес-функция оценок, необходимых для получения конкурентоспособных результатов. Сравнения предоставляются в отношении трех методов, которые являются репрезентативными для самой современной в области. Результаты, полученные наш алгоритм похожи (по качеству) с результатами, полученными в других подходов, в отношении которых было сравнивать. Однако наш подход требует меньшего числа фитнес-функций оценки, чем другие.

В этой статье мы предлагаем культурный алгоритм, где источниками знаний изменить вариации оператора дифференциальной эволюции алгоритма.

Эволюция используется в качестве основы для населения, изменение и отбор процессов. Выполняться эксперименты показывают, что культурный ди erential эволюция способна уменьшить количество фитнес-функция оценок, необходимых для получения хорошей апроксимацией по оптимальной стоимости ограничены в режиме реального параметра оптимизации. Сравнения предоставляются в отношении трех методов, которые являются репрезентативными для самой современной в области. Конференция: Генетические и Эволюционные вычисления конференции - GECCO

Культура, будучи разнообразных проявлений массового социального организма человечества, является одновременно и вирусных фрактала в природе.

Каждая группа людей, неизбежно приходит на целый ряд общих ценностей, верований, моды, анекдоты, страхи, сексуальные привычки, ненависти и т.д. Это достигается путем смешивания стилей и мнений среди членов группы, чистка группу лиц с нежелательных признаков, или определенное сочетание обоих тактику. Этот процесс достигнет критической массы, когда некоторые из этих общих признаков, достаточно укоренились в жизни группы, о том, что группа начинает ritualistically распространять эти общие черты его молодым. На данный момент трансцендентного, сбор общих черт становится алгоритм для создания новых членов группы и могут быть надлежащим образом помечены как "культура". Наша культура заражает нас через различные стадии инкубации (например, туалет подготовки, Girl Guides, и среднюю школу) до тех пор, пока каждый из нас становится уникальным переросли итерации нашей культуры Алгоритм, содержащие выражения, и такие понятия, как врожденное человека, стук танцы, реальность ТВ, а другие в разной пропорции. Как только это будет завершено, мы становимся reseeded сумму, которая в то подключено к следующей итерации инициирует культурные (то есть наших детей). Культура, таким образом, передает в двух разных векторов. Очевидно, она распространяется биологически, расширяется в геометрической прогрессии за счет окружающей среды, постоянно растет. Не менее важно, однако, она распространяется психо-духовно, расширяя н-dimensionally в каждой новой итерации смесей и пересекается с существующим веб-итераций из прошлых и нынешних умов - подобно галактике зеркал превратилась сталкиваться друг с другом. Как указывалось выше, тем ниже.

Как уже говорилось, элементы нашей культуры алгоритма куски знания важное значение группы; важно, чтобы ingrain в последующих поколениях. Мы обучаем детей, такие, как полезно infobits "Все вороны черные", "собаки приятно питомец" и "Играть хорошо с другими детьми". Эти семена справочных данных, чтобы помочь новой человеческой понять, плавание, и манипулировать его или ее окружающей среды. Несмотря на свою полезность, разумный человек не ожидает этих nuggets истины быть абсолютным, вечным и нерушимым. В реальном мире некоторые вороны имеют пятна, некоторые собаки кусают, а некоторые дети jerks, которые хотят принять наши деньги молока. Связаны ли эти факты жизни отрицать информативное значение этих семян? Абсолютно нет. Дети, которые являются жизнеспособными культурных инициирует не вдаваться apoplectic подходит Увидев ворона с белыми перьями, больше, чем они покинут свои руки в рот собаки на продолжение жевания или сидеть contently виду бабочек, хотя игровая запугивать ударов смол из них. В конечном счете, даже культурной алгоритм является лишь планом: идеального взаимопонимания по умолчанию группа в мире и себя. Он карт из грубой формы, но и мелкие детали можно только опытным путем, непосредственно жизни, дыхание человеку. Мы похожи на путешественников в странный город, оснащенных изношенные-от карту, как мы берем знаний и подготовки кадров культуры инфицированных нам и спотыкаются на основе существования как мы можем лучше. Как мы выяснили, больше данных подается обратно в культуру и алгоритм получает обновляться по мере потребности, но почему-то всегда представляется более мы не знаем…

Скорость и качество с учетом человеческой способности, чтобы выразить свою культуру Алгоритм с точки зрения постоянно меняющихся переменных реальной жизни на планете Земля то, что мы называем "интеллект". Кроме того, качество культура может быть выражено как функция, каким оно является благоприятной для реализации интеллектуальных, то есть насколько эффективно оно может быть применен к реальной жизни сценарии для достижения позитивных результатов.

В сноске, постоянного члена сочетание признаков имеет важное значение для культуры для сохранения культурной памяти и ремонтировать повреждения целостности группы, которые могут возникнуть в связи с массовой депопуляции в результате войны или чумы, внутренний политический раскол, ревность, возникающие в связи с мате отбора, и другие несчастного случая.

Постоянная обратная связь с окружающей средой хранит культуру конкурентоспособной в мире с ограниченными ресурсами, конкурирующих культур, а так же и других угроз.

Постоянное признак совместного использования и экологических обратной связи сильны bellwether признаки культуры по-прежнему здоровья. Потеря психических группы сплоченности и изолированность являются двумя основными симптомами, что культура находится в состоянии упадка.

2.1.3 Эффективность итерационных методов решения

Эффективность итерационных методов решения зависит главным образом от моделирования. Прекрасная настройка характеристик никогда не будет сохранять в равновесии плохой выбор структуры окрестности или реальной функции. Наоборот, эффективное моделирование должно привести к устойчивым методам, которые малочувствительны к настройке различных параметров. В этом разделе мы дадим некоторые рекомендации по проектированию эффективных методов решения.

Эффективные вычисления. На каждом шаге итерационного процесса решения должны быть оценены многими способами. Важно выполнять эти вычисления эффективным способом.

Следовательно,

Проверяя правильность нашего метода, мы используем некоторые тестовые функции которые часто используются в литературе с их помощью можно определить эффективность данного метода.

Характерные функции, которые используются следующие:

Приводим к:

Приводим к:

Приводим к:

Раскрываем:

И приводим к:

Таблица 1:Сравнивая результаты для тестовых функций. Наши приближения наз. САЕР(Cultural Algorithm with Evolutionary Programming).

Также ещё проводились исследование метода

Пусть нам дана функция

Проведём вычисления и сравним их с нулём

Таблица 2:Результаты для тестовых фунций

Интенсификация поиска. Чтобы углубить поиск в перспективных областях, мы должны возвратиться к одному из уже найденных лучшему решению. Тогда размер списка запретов может быть просто сокращен для «малого» числа итераций. В некоторых случаях могут быть использованы более сложные методики. Некоторые проблемы оптимизации могут быть разделены на подпроблемы.

Решение этих подпроблем оптимально и объединение частных решений приводит к оптимальному решению. Трудность такой стратегии, очевидно, состоит в нахождении хорошего разделения. Как упомянуто ранее, для основы, связанной с вычислительным временем, быстрые эвристики и окрестность рационального размера используется на каждом шаге TS. Методы по углублению поиска используют или более продуманные эвристики или методы строгого сглаживания или расширенную окрестность. Также возможно выполнить интенсификацию, основанную на долгосрочной памяти. Каждое решение или перемещение может быть характеризовано набором компонентов. Компоненты «хороших» перемещений или «хороших» решений запоминаются. В течении фазы интенсификации решения и перемещения оцениваются принятым во внимание количеством «хороших» компонентов. Эта долгосрочная память может быть рассмотрена, как своего рода процесс обучения.

Исследование математической (аналитической и имитационной) модели регулировочного участка цеха

В приложении 2 представлена детальная схема моделирующего алгоритма. Блоки 1-4 данного алгоритма инициализируют элементы, составляющие модель. Блок 2 и 3 устанавливает флаги занятости устройств К1 и К2 в значение лож...

Метод Зойтендейка

Метод Золотого сечения на Delphi

1. Ввод переменных a,b,dx и функции f(x); 2. Вычисление значений Xi на отрезке a,b с шагом h. Продолжение цикла до конца отрезка а,b 3. Вывод всех значений F(xi) в массив; 4. Вычисление F(xi) и вывод в массив; 5. Проверка на значение натурального логарифма; 6...

Модель экспертной оценки

В данном разделе наводятся алгоритмы для нахождения победителей выборов. Для определения победителей Борда и Копленда воспользуемся непосредственно приведенными выше правилами, то есть реализуем их программно. Сложность алгоритмов...

Определение оптимальных складских запасов

Для нахождения оптимального решения задачи в зависимости от вида и структуры целевой функции и ограничений используются следующие методы теории оптимальных решений (методы математического программирования): 1)Линейное программирование -...

Поиск оптимальных условий

Существует достаточно большое количество численных методов оптимизации. Рассмотрим два метода поисковой оптимизации: «Метод Гауса-Зайделя» и «Метод наказанием случайностью». Первый метод относится к многомерной безградиентной оптимизации...

До этого момента в работе использовались данные о биржевых котировках валютного курса, по которым не совершаются сделки, поэтому, чтобы приблизить модель к реальности, необходимо каким-то образом это учитывать...

Разработка и исследование вероятностных эволюционных алгоритмов для моделирования и оптимизации сложных систем

Разработка и создание автоматизированной системы обработки информации

Первым делом выбираем среду программирования. Для нас приемлемой будет среда Borland Delphi, поскольку программные продукты - исполняемые файлы с расширением ехе. Следующий этап - мы строим диаграмму будущего проекта - это будет 3 таблицы...

1.При запуске программы пользователю предлагается ввести количество запасов и запросов А) Выполняется проверка на правильность ввода. Если введены числа то Б) Рисуется таблица 2...

В зависимости от природы процесса, от характера ма­тематической модели, от наличия информации о процес­се, от постановки задачи применяются различные ме­тоды оптимизации процессов (табл. 22.1).

При решении конкретной задачи исследователь дол­жен выбрать тот метод оптимизации, который при на­именьших затратах на вычисления давал бы наибольший объем информации об искомом процессе.

Таблица 22.1

Дадим краткую характеристику наиболее часто при­меняющимся методам оптимизации для детерминиро­ванных процессов. Методы исследования функций с по­мощью классического анализа являются наиболее из­вестными способами решения несложных задач оптими­зации.

Эти методы применяются для решения задач с из­вестным аналитическим выражением критерия оптималь­ности, Приравнивая нулю производные и решая конеч­ную систему уравнений, определяют экстремальные значения параметра оптимизации.

Метод множителей Лагранжа используется для ре­шения таких же задач, как и задач, решаемых методом исследования функций, но при наличии ограничений на независимые переменные. Порядок системы уравнений, которые решаются при нахождении экстремумов параме­тра оптимизации, повышается на число ограничений. В остальном процедура поиска решений аналогична.

Методы вариационного исчисления обычно применяют для решения задач с критерием оптимальности в виде функционалов. Вариационными методами решение зада­чи сводится к интегрированию системы дифферен­циальных уравнений Эйлера второго порядка с гра­ничными условиями. Число уравнений системы равно числу неизвестных функций.

Динамическое программирование является эффек­тивным методом решения задач оптимизации ди­скретных многостадийных процессов, для которых об­щий критерий оптимизации является функцией критериев оптимальности, отдельных стадий.

Принцип максимума Понтрягина применяется для оптимизации процессов, описываемых системами диффе­ренциальных уравнений. Оптимальное решение находит­ся путем интегрирования системы дифференциальных уравнений процесса и системы вспомогательных функ­ций с ограничением на обоих концах интервала инте­грирования.

Линейное программирование используется для реше­ния задач оптимизации с линейным выражением для кри­терия оптимальности и линейными ограничениями на область изменения переменных факторов. Это задача оп­тимального планирования производства с ограниченным количеством ресурсов, транспортные задачи и др. Уни­версальный алгоритм решения задач линейного програм­мирования содержится в симплексном методе, позволяю­щем за конечное число операций найти оптимальное решение большинства задач.

Методы нелинейного (динамического) программирова­ния применяют для решения задач оптимизации с нели­нейными функциями параметра оптимизации с огра­ничениями и без ограничений на независимые пере­менные.

Для оптимизации стохастических процес­сов используются экспериментально-статистические ме­тоды. Различают пассивный и активный эксперимент. Пассивный эксперимент, или, как его часто назьюают, пас­сивное наблюдение, использует методы математической статистики для обработки информации с целью изучения закономерностей технологического процесса. При этом сбор исходных данных проводится на действующем объекте без введения в процесс искусственных изменений. Обработка данных с целью получения математической модели процесса проводится в основном методами классического регрессионного и корреляционного методов ана­лиза.

Активный эксперимент основан на применении плани­рования эксперимента. Планирование эксперимента - это проведение эксперимента по заранее составленному пла­ну (матрице), обладающему оптимальными свойствами. При планировании учитываются одновременно все фак­торы, влияющие на процесс, что позволяет выявить сразу и силу взаимодействия факторов, и резко сократить об­щее число опытов для определения оптимальных параме­тров. Как в пассивном, так и в активном эксперименте математической моделью является функция отклика, связывающая параметр оптимизации с факторами, влияющими на процесс.

Один из способов решить сложную проблему оптимизации - сначала свести её к соответствующей, но более простой задаче, а затем постепенно увеличивать сложность, каждый раз решая новую проблему, и, в свою очередь, используя это решение в качестве руководства к решению последующей задачи. Такой подход, кажется, довольно хорошо работает на практике, но он никогда не был описан и подтвержден теоретически.

Эта последовательность графиков иллюстрирует применение метода исследователей к реальной проблеме компьютерного зрения. Решение каждой задачи (красные шарики) используется для инициализации (зеленые стрелки) поиска решения в последующей.

В январе на Международной конференции по методам геометрической оптимизации в компьютерном зрении и распознавании образов, Хоссейн Мобэхи (Hossein Mobahi), учёный, проводящий докторские исследования в Массачусетском технологическом институте информатики и лаборатории искусственного интеллекта (Computer Science and Artificial Intelligence Laboratory - CSAIL), и Джон Фишер (John Fisher), старший научный сотрудник в CSAIL, описали способ генерации последовательности упрощенных функций, что гарантирует наилучшее приближение у применяемого в настоящее время метода.

«На некоторые фундаментальные вопросы об этом методе мы отвечаем впервые», - говорит Мобэхи. - «Например, я сказал вам, что надо начинать с простой задачи, но не сказал, как выбрать эту простую задачу. Существует бесконечно много функций, с которых вы можете начать. Какая из них лучше? Даже если я скажу вам с какой функции стоит начать, есть бесконечно много способов её преобразования для определенной задачи. И это преобразование влияет на то, что вы получите в конце».

Достижение минимума

Чтобы понять, как работает оптимизация, предположим, что вы ритейлер консервированных продуктов. Вы пытаетесь сэкономить деньги на стали и хотите, чтобы соотношение площади поверхности банки к её объёму сводилось к минимуму. Это соотношение является функцией от высоты и радиуса, так что если вы сможете найти минимальное значение функции, то будете знать оптимальные размеры банки. Если вы дизайнер автомобилей, который старается сбалансировать затраты на компоненты, изготовленные из различных материалов, с весом и аэродинамическим сопротивлением автомобиля, ваша функция - известная в оптимизации как «функция затрат» - будет намного сложнее, но принцип останется все тем же.

Алгоритмы машинного обучения часто пытаются выявить особенности наборов данных, что полезно для задач классификации - скажем, визуальные черты, характерные для автомобилей. Поиск наименьшего такого набора функций с наибольшей прогностической ценностью также является проблемой оптимизации.

«Большинство эффективных алгоритмов, которые применяются в настоящее время для решения задач оптимизации, работают на основе локального поиска. При этом на начальном этапе вам необходимо задать им какое-либо значение, являющееся предполагаемым решением. Далее алгоритмы определяют в каком направлении стоит двигаться, чтобы улучшить его, а затем осуществляют этот шаг», - говорит Мобэхи. - «Используя эту технику, они могут сходиться к значению под названием ‘локальный минимум’, который является точкой, которая в сравнении с соседними, лежащими в окрестности, находится ниже. Но найденное решение не будет являться глобальным минимумом: может существовать, которая находится намного ниже, но дальше».

Однако локальный минимум гарантированно будет глобальным, если функция - выпуклая вниз. Функция f(x) = x 2 выпуклая, так как описывает параболу с центром в начале координат. Функция f(x) = sin х - нет, так как описывает синусоиду, которая колеблется вверх и вниз.

Сглаживание

Метод Мобэхи и Фишера пытается найти выпуклую аппроксимацию задачи оптимизации, используя технику, называемую сглаживание (фильтром) Гаусса. Сглаживание Гаусса преобразует функцию затрат в зависимую функцию, которая дает не значение, описывающее функцию стоимости, а взвешенное среднее всех ближайших значений. Это позволяет сглаживать резкие спады или подъемы на графике функции затрат.

Веса, присвоенные близлежащим значениям, определяются функцией Гаусса или нормальным распределением - колоколообразной кривой, знакомой из статистики. Близлежащие значения рассчитываются преимущественно по средним, а не отдаленным значениям.

Ширина гауссовой функции определяется одним параметром. Мобэхи и Фишер начали с очень широкого гауссиана (Gaussian) , который при определенных условиях дает выпуклую функцию. Затем они постепенно уменьшали ширину гауссиана, создавая серию промежуточных задач. На каждом этапе они используют решение последней задачи для инициализации поиска решения последующей. К тому времени, когда ширина распределения сократилась до нуля, они восстановили первоначальную функцию затрат, так как каждое значение представляло собой просто среднее значение.

«Метод продолжения оптимизации на самом деле широко используется в практике, в компьютерном зрении, для решения проблемы выравнивания, отслеживания и во многих других задачах, но сам он не очень понятный», - говорит Джон Райт (John Wright), доцент кафедры электротехники в Колумбийском университете. - «Самое интересное в работе Хоссейна в целом, и этой статье, в частности, в том, что он действительно копается в этом методе и пытается узнать, что можно сказать о нем с точки зрения аналитики».

«Практическая польза состоит в том, что может быть любое число различных способов, которыми вы могли бы пойти при выполнении сглаживания или попытке осуществить «грубо-точную» оптимизацию», - добавляет Райт. - «Но если вы заранее знаете о правильном пути, то вам не нужно тратить много времени на неверные методы. У вас уже есть рецепт, так зачем искать что-то иное?»