Электростатическое поле заряженной сферы напряженность поля сферы. Электрическое поле заряженной сферы

КОНЦЕНТРИЧЕСКИЕ ЗАРЯЖЕННЫЕ СФЕРЫ

Читатель :Внутри сплошного проводника есть полость произвольной формы (рис. 12.1). Проводнику сообщили некоторый заряд Q. Как распределится заряд по проводнику?

Предположим, что некоторый заряд q находится на внутренней поверхности проводника. Рассмотрим мысленно замкнутую поверхность S , внутри которой окажется заряд q (рис. 12.2). Тогда поток вектора напряженности через эту поверхность будет равен

Но поскольку в любой точке нашей поверхности, то Ф = 0, а тогда и q = 0. Значит, на внутренней поверхности полости заряда нет, и остается единственная возможность: весь заряд находится на наружной поверхности проводника.

Читатель : Раз мы доказали, что заряда на внутренней поверхности полости нет, то и никакого поля внутри полости быть не может.

Автор : Не обязательно. Например, две плоские пластины с зарядами +q и –q в сумме имеют нулевой заряд, но между ними существует электрическое поле (рис. 12.3). Поэтому если на внутренней поверхности полости есть положительные и отрицательные заряды (пусть при этом q + + q – = 0!), то электрическое поле внутри полости вполне может существовать.

Читатель : Действительно.

Предположим, что на поверхности полости есть заряды +q и –q и между ними существует электрическое поле (рис. 12.4). Возьмем замкнутую линию L , такую, что внутри полости эта линия совпадает с силовой линией электрического поля, а остальная часть линии проходит через проводник.

Мысленно переместим заряд +q вдоль этой линии по замкнутому контуру. Тогда работа поля на участке внутри полости будет явно положительная, так как сила там будет в любом месте сонаправлена с перемещением (мы выбрали именно такую траекторию движения заряда). А на том участке, где линия проходит через проводник, работа равна нулю, так как внутри проводника .

Таким образом, общая работа по перемещению заряда вдоль нашего замкнутого контура, совершенная силами электростатического поля, положительна ! Но мы знаем, что на самом деле эта работа должна равняться нулю: иначе у нас получился бы вечный двигатель. Мы пришли к противоречию, значит, внутри полости поля нет!

Заметим, что из наших рассуждений следует важный практический вывод: внутри металлического ящика электрического поля быть не может, а значит, в металлическом ящике можно спрятаться от сильных внешних полей!

СТОП! Решите самостоятельно: А4–А7, В13.

Читатель : Так как заряд на внутренней поверхности сферы отсутствует, то шар зарядиться не может.

Читатель : . Если r ® ¥, то j = 0.

Читатель : Потенциалу на поверхности: , где R – радиус сферы, а Q – ее заряд.

Читатель : Вы хотите сказать, что шар зарядится? Но откуда же возьмутся заряды, если на внутренней поверхности сферы их нет?!

Читатель : Мы уже выяснили, что на внутренней поверхности полости проводника никаких зарядов быть не может. Наш шар вместе с проволочкой, соединяющей его со сферой, представляет собой как бы часть внутренней поверхности полости сферы. А значит, заряд с шарика должен целиком перейти на наружную поверхность сферы, независимо от того, заряжена она или нет!

СТОП! Решите самостоятельно: А9.

Задача 12.1 . Внутри незаряженной металлической сферы с внешним радиусом R находится точечный заряд q . Как распределится индуцированный заряд по внешней и внутренней поверхности сферы? Рассмотреть случаи, когда: а) заряд находится в центре сферы (рис. 12.8,а ); б) заряд смещен от центра (рис. 12.8,б ).

Решение .

Случай а . Прежде всего заметим, что сейчас на внутренней поверхности сферы должен появиться заряд, индуцированный (наведенный) точечным зарядом q , так как заряд q притягивает к себе заряды противоположного знака, а по металлу заряды могут перемещаться свободно.

Обозначим величину заряда на внутренней поверхности сферы х , а на внешней – у . Рассмотрим поверхность S , целиком лежащую в металле (рис. 12.9). Согласно теореме Гаусса поток через эту поверхность будет равен

так как в металле. Тогда . Поскольку в целом сфера не заряжена, то

х + у = 0 Þ у = –х = –(–q ) = +q .

Итак, x = –q ; у = +q . Ясно, что из соображения симметрии и по внешней, и по внутренней поверхностям заряд распределен равномерно.

Случай б . Если заряд будет смещен от центра, то величина индуцированных зарядов х и у от этого не изменится. Но очевидно, что чем ближе заряд q будет к внутренней поверхности сферы, тем сильнее он будет притягивать к себе свободные заряды, а значит, тем выше будет их поверхностная плотность . То есть заряд на внутренней поверхности сферы будет распределен неравномерно (рис. 12.10).

Читатель : Наверное, примерно такая же картина будет и на наружной поверхности сферы (рис. 12.11)?

Читатель : Честно говоря, не понятно.

Рис. 12.11 Рис. 12.12

Автор : А давайте предположим, что распределение зарядов на наружной поверхности действительно неравномерное, как на рис. 12.11. Тогда ясно, что поле, созданное этими зарядами, будет больше там, где больше плотность зарядов, и меньше там, где эта плотность меньше (рис. 12.13).

Возьмем контур ABCD и мысленно переместим по нему заряд +q . На участке АВ работа поля будет положительной, а на участке CD – отрицательной, причем так как Е В >Е С , то |A AB | > |A CD |.

На участках ВС и BD работа, очевидно, равна 0. Значит, общая работа на всем пути положительна! А этого быть не может. Следовательно, наше предположение о том, что заряд на наружной поверхности распределен неравномерно, ошибочно. То есть правильная картина распределения заряда показана на рис. 12.12.

СТОП! Решите самостоятельно: А8, В21, С5, С7, С15.

Задача 12.2. Два заряженных шара соединили длинным тонким проводником (рис. 12.14). Первый шар имеет заряд q и радиус r , второй – заряд Q и радиус R . Найти: 1) потенциалы шаров j 1 и j 2 до соединения и и после соединения; 2) заряды шаров и после соединения; 3) поверхностные плотности зарядов σ 1 и σ 2 до соединения и и после соединения; 4) энергию системы W до соединения и W ¢ после соединения; 5) количество выделившейся теплоты Q т.

Q , R , q , r	Рис. 12.14 Решение. До соединения : 1) ; ; 2) ; (площадь поверхности шара радиуса rS = 4πr 2); 3) W = W 1 + W 2 = (энергия сферы радиуса r и заряда q равна ).
j 1 , j 2 = ? , = ? , = ? σ 1 , σ 2 , = ? , = ? W , W ¢ = ? Q т = ?

После соединения потенциалы шаров стали равны, так как поверхность единого проводника всегда эквипотенциальная:

Общая сумма зарядов при этом не изменилась: q + Q = q ¢ + Q ¢. Мы получили систему с двумя неизвестными q ¢ и Q ¢:

Выразим из (1) Q ¢:

СТОП! Решите самостоятельно: В1, В2, В5, В7.

Вычислим поверхностные плотности зарядов после соединения:

;

Заметим, что если r ® 0, то , т.е. при уменьшении размеров маленького шарика плотность зарядов на нем будет неограниченно возрастать. Вот почему наибольшая плотность зарядов наблюдается на остриях металлических предметов.

СТОП! Решите самостоятельно: В9, В15.

Энергия шаров после соединения равна

Количество выделившегося тепла равно убыли энергии электрического поля:

Проведя несложные алгебраические преобразования, нетрудно получить

Читатель :Из этой формулы следует, что если qR ¹ Qr , то Q т > 0, если же qR = Qr , то Q т = 0. Почему?

СТОП! Решите самостоятельно: В23, С3.

Задача 12.3. Даны две концентрические металлические сферы радиусами R 1 и R 2 и зарядами q 1 и q 2 соответственно. Определить потенциалы: а) в центре сфер; б) на поверхности второй сферы; в) на расстоянии r > R 2 от центра.

Потенциал общего поля этих сфер является алгебраической суммой потенциалов каждого из полей, созданных сферами.

1. Напряженность электростатического поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью.

Пусть сферическая поверхность радиуса R (рис. 13.7) несет на себе равномерно распределенный заряд q, т.е. поверхностная плотность заряда в любой точке сферы будет одинакова.

2. Электростатическое поле шара.

Пусть имеем шар радиуса R, равномерно заряженный с объемной плотностью.

В любой точке А, лежащей вне шара на расстоянии r от его центра (r>R), его поле аналогично полю точечного заряда , расположенного в центре шара. Тогда вне шара

(13.10)

а на его поверхности (r=R)

(13.11)

В точке В, лежащей внутри шара на расстояний r от его центра (r>R), поле определяется лишь зарядом , заключенным внутри сферы радиусом r. Поток вектора напряженности через эту сферу равен

с другой стороны, в соответствии с теоремой Гаусса

Из сопоставления последних выражений следует

(13.12)

где- диэлектрическая проницаемость внутри шара. Зависимость напряженности поля, создаваемого заряженной сферой, от расстояния до центра шара приведена на (рис.13.10)

3. Напряженность поля равномерно заряженной бесконечной прямолинейной нити (или цилиндра).

Предположим, что полая цилиндрическая поверхность радиуса R заряжена с постоянной линейной плотностью .

Проведем коаксиальную цилиндрическую поверхность радиуса Поток вектора напряженности через эту поверхность

По теореме Гаусса

Из последних двух выражений определяем напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной нитью:

(13.13)

Пусть плоскость имеет бесконечную протяженность и заряд на единицу площади равен σ. Из законов симметрии следует, что поле направлено всюду перпендикулярно плоскости, и если не существует никаких других внешних зарядов, то поля по обе стороны плоскости должны быть одинаковы. Ограничим часть заряженной плоскости воображаемым цилиндрическим ящиком, таким образом, чтобы ящик рассекался пополам и его образующие были перпендикулярны, а два основания, имеющие площадь S каждое, параллельны заряженной плоскости (рис 1.10).

Суммарный поток вектора; напряженности равен вектору , умноженному на площадь S первого основания, плюс поток вектора через противоположное основание. Поток напряженности через боковую поверхность цилиндра равен нулю, т.к. линии напряженности их не пересекают. Таким образом, С другой стороны по теореме Гаусса

Следовательно

но тогда напряженность поля бесконечной равномерно заряженной плоскости будет равна

>>Физика: Силовые линии электрического поля. Напряженность поля заряженного шара

Электрическое поле не действует на органы чувств . Его мы не видим.
Однако мы можем получить некоторое представление о распределении поля, если нарисуем векторы напряженности поля в нескольких точках пространства (рис.14.9 , слева). Картина будет более наглядной, если нарисовать непрерывные линии, касательные к которым в каждой точке, через которую они проходят, совпадают по направлению с векторами напряженности. Эти линии называют силовыми линиями электрического поля или линиями напряженности (рис.14.9 , справа).

Направление силовых линий позволяет определить направление вектора напряженности в различных точках поля, а густота (число линий на единицу площади) силовых линий показывает, где напряженность поля больше. Так, на рисунках 14.10-14.13 густота силовых линий в точках А больше, чем в точках В . Очевидно, .
Не следует думать, что линии напряженности существуют в действительности вроде растянутых упругих нитей или шнуров, как предполагал сам Фарадей . Линии напряженности помогают лишь наглядно представить распределение поля в пространстве. Они не более реальны, чем меридианы и параллели на земном шаре.
Однако силовые линии можно сделать видимыми. Если продолговатые кристаллики изолятора (например, хинина) хорошо перемешать в вязкой жидкости (например, в касторовом масле) и поместить туда заряженные тела, то вблизи этих тел кристаллики выстроятся в цепочки вдоль линий напряженности.
На рисунках приведены примеры линий напряженности: положительно заряженного шарика (см. рис.14.10 ); двух разноименно заряженных шариков (см. рис.14.11 ); двух одноименно заряженных шариков (см. рис.14.12 ); двух пластин, заряды которых равны по модулю и противоположны по знаку (см. рис.14.13 ). Последний пример особенно На рисунке 14.13 видно, что в пространстве между пластинами ближе к середине силовые линии параллельны: электрическое поле здесь одинаково во всех точках.

Электрическое поле, напряженность которого одинакова во всех точках пространства, называется однородным . В ограниченной области пространства электрическое поле можно считать приближенно однородным, если напряженность поля внутри этой области меняется незначительно.
Однородное электрическое поле изображается параллельными линиями, расположенными на равных расстояниях друг от друга.
Силовые линии электрического поля не замкнуты, они начинаются на положительных зарядах и оканчиваются на отрицательных. Силовые линии непрерывны и не пересекаются, так как пересечение означало бы отсутствие определенного направления напряженности электрического поля в данной точке.
Поле заряженного шара. Рассмотрим теперь вопрос о электрическом поле заряженного проводящего шара радиусом R . Заряд q равномерно распределен по поверхности шара. Силовые линии электрического поля, как вытекает из соображений симметрии, направлены вдоль продолжений радиусов шара (рис.14.14, а ).

Обратите внимание! Силовые линии вне шара распределены в пространстве точно так же, как и силовые линии точечного заряда (рис.14.14, б ). Если совпадают картины силовых линий, то можно ожидать, что совпадают и напряженности полей. Поэтому на расстоянии r>R от центра шара напряженность поля определяется той же формулой (14.9), что и напряженность поля точечного заряда, помещенного в центре сферы:

Внутри проводящего шара (r) напряженность поля равна нулю . В этом мы скоро убедимся. На рисунке 14.14, в показана зависимость напряженности электрического поля заряженного проводящего шара от расстояния до его центра.
Картина силовых линий наглядно показывает, как направлена напряженность электрического поля в различных точках пространства. По изменению густоты линий можно судить об изменении модуля напряженности поля при переходе от точки к точке.

???
1. Что называют силовыми линиями электрического поля?
2. Во всех ли случаях траектория заряженной частицы совпадает с силовой линией?
3. Могут ли силовые линии пересекаться?
4. Чему равна напряженность поля заряженного проводящего шара?

Г.Я.Мякишев, Б.Б.Буховцев, Н.Н.Сотский, Физика 10 класс

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку,

Рассмотрим теперь с помощью теоремы Гаусса, поле, создаваемое равномерно заряженной тонкой сферической оболочки. Опять начнем с рассмотрения симметрии поля. Очевидно, что поле, также как распределение зарядов имеет сферическую симметрию. Это означает, что модуль вектора напряженности зависит только от расстояния до центра сферы (или во всех точках, находящихся от центра сферы на одном расстоянии, модуль напряженности постоянен), а направление − радиальное, от центра сферы к точке наблюдения.
Выберем в качестве замкнутой поверхности, к которой применим теорему Гаусса, сферу, концентрическую с заряженной оболочкой (рис. 251).

Рис. 251
Пусть радиус сферы r больше радиуса оболочки. Тогда во всех точках этой сферы вектор напряженности направлен вдоль нормали к поверхности, а его модуль постоянен. Поэтому поток вектора напряженности через сферу равен произведению модуля напряженности на площадь сферы Ф E = E × 4πr 2 . По теореме Гаусса это поток равен заряду сферы, деленному на электрическую постоянную Ф E = Q/ε o . Из равенства этих выражений получаем зависимость напряженности поля от расстояния

Полученная формула, соответствует формуле закона Кулона для точечного заряда, следовательно, вне сферы, поле равномерно заряженной сферы, совпадает с полем точечного заряда, помещенного в центре сферы. Таким образом, результат, на доказательство которого И. Ньютон затратил несколько лет, получен нами почти автоматически. Подчеркнем, что для доказательства формулы (1) помимо теоремы К. Гаусса, потребовалось рассмотреть симметрию поля.
Поле внутри заряженной сферической оболочки также должно обладать сферической симметрией. Поэтому, поток вектора напряженности электрического поля через сферу, концентрическую с заряженной оболочкой и расположенную внутри нее (рис. 252)

рис. 252
также выражается формулой Ф E = E × 4πr 2 . Однако внутри этой сферы электрических зарядов нет, поэтому, из теоремы К. Гаусса следует, что напряженность поля внутри сферы равна нулю. Подчеркнем, если бы теорема Гаусса была не справедлива, то внутри равномерно заряженной оболочки существовало бы электрическое поле.
Таким образом, функция, описывающая напряженность поля равномерно заряженной сферы радиуса r , имеет вид (график этой функции показан на рисунке 253)

рис. 253

Бесконечная плоскость, заряженная с поверхностной плотностью заряда : для расчета напряженности электрического поля, созданного бесконечной плоскостью, выделим в пространстве цилиндр, ось которого перпендикулярна заряженной плоскости, а основания – параллельны ей и одно из оснований проходит через интересующую нас точку поля. Согласно теореме Гаусса поток вектора напряженности электрического поля сквозь замкнутую поверхность равен:

Ф= , с другой стороны он же: Ф=E

Приравняем правые части уравнений:

Выразим = - через поверхностную плотность заряда и найдем напряженность электрического поля:

Найдем напряженность электрического поля между разноименно заряженными пластинами с одинаковой поверхностной плотностью:

(3)

Найдем поле вне пластин:

; ; (4)

Напряженность поля заряженной сферы

(1)

Ф= (2) т. Гаусса

для r < R

; , т.к. (внутри сферы нет зарядов)

Для r = R

( ; ; )

Для r > R

Напряженность поля, созданного шаром, заряженным равномерно по всему объему

Объемная плотность заряда,

распределенного по шару:

Для r < R

( ; Ф= )

Для r = R

Для r > R

РАБОТА ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ ПО ПЕРЕМЕЩЕНИЮ ЗАРЯДА

Электростатическое поле - эл. поле неподвижного заряда.
Fэл, действующая на заряд, перемещает его, совершая раборту.
В однородном электрическом поле Fэл = qE - постоянная величина

Работа поля (эл. силы)не зависит от формы траектории и на замкнутой траектории = нулю.

В случае, если в электростатическом поле точечного заряда Q из точки 1 в точку 2 вдоль какой-либо траектории (рис. 1) двигается другой точечный заряд Q 0 , то сила, которая приложена к заряду, совершает некоторую работу. Работа силы F на элементарном перемещении dl равна Так как dl /cosα=dr, то

Работа при перемещении заряда Q 0 из точки 1 в точку 2 (1) от траектории перемещения не зависит, а определяется только положениями начальной 1 и конечной 2 точек. Значит, электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а электростатические силы - консервативными Из формулы (1) видно, что работа, которая совершается при перемещении электрического заряда во внешнем электростатическом поле по произвольному замкнутому пути L, равна нулю, т.е. (2) Если в качестве заряда, которого перемещают в электростатическом поле, взять единичный точечный положительный заряд, то элементарная работа сил поля на пути dl равна Еdl = E l dl , где E l = Ecosα - проекция вектора Е на направление элементарного перемещения. Тогда формулу (2) можно представить в виде

(3) Интеграл

называется циркуляцией вектора напряженности. Значит, циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю. Силовое поле, которое обладает свойством (3), называетсяпотенциальным. Из равенства нулю циркуляции вектора Е следует, что линии напряженности электростатического поля не могут быть замкнутыми, они обязательно начинаются и кончаются на зарядах (на положительных или отрицательных) или же идут в бесконечность. Формула (3) верна только для электростатического поля. В дальнейшем будет показано, что с случае поля движущихся зарядов условие (3) не верно (для него циркуляция вектора напряженности отлична от нуля).

Теорема о циркуляции для электростатического поля.

Поскольку электростатическое поле является центральным, то силы, действующие на заряд в таком поле, являются консервативными. Так как представляет собой элементарную работу, которую силы поля производят над единичным зарядом, то работа консервативных сил на замкнутом контуре равна

Потенциал

Система "заряд - электростатическое поле" или "заряд - заряд" обладает потенциальной энергией, подобно тому, как система "гравитационное поле - тело" обладает потенциальной энергией.

Физическая скалярная величина, характеризующая энергетическое состояние поля называетсяпотенциалом данной точки поля. В поле помещается заряд q, он обладает потенциальной энергией W. Потенциал - это характеристика электростатического поля.

Вспомним потенциальную энергию в механике. Потенциальная энергия равна нулю, когда тело находится на земле. А когда тело поднимают на некоторую высоту, то говорят, что тело обладает потенциальной энергией.

Касательно потенциальной энергии в электричестве, то здесь нет нулевого уровня потенциальной энергии. Его выбирают произвольно. Поэтому потенциал является относительной физической величиной.

Потенциальная энергия поля - это работа, которую выполняет электростатическая сила при перемещении заряда из данной точки поля в точку с нулевым потенциалом.

Рассмотрим частный случай, когда электростатическое поле создается электрическим зарядом Q. Для исследования потенциала такого поля нет необходимости в него вносить заряд q. Можно высчитать потенциал любой точки такого поля, находящейся на расстоянии r от заряда Q.

Диэлектрическая проницаемость среды имеет известное значение (табличное), характеризует среду, в которой существует поле. Для воздуха она равна единице.

Разность потенциалов

Работа поля по перемещению заряда из одной точки в другую, называется разностью потенциалов

Эту формулу можно представить в ином виде

Принцип суперпозиции

Потенциал поля, созданного несколькими зарядами, равен алгебраической (с учетом знака потенциала) сумме потенциалов полей каждого поля в отдельности

Это энергия системы неподвижных точечных зарядов, энергия уединенного заряженного проводника и энергия заряженного конденсатора.

Если имеется система двух заряженных проводников (конденсатор), то полная энергия системы равна сумме собственных потенциальных энергий проводников и энергии их взаимодействия:

Энергия электростатического поля системы точечных зарядов равна:

Равномерно заряженная плоскость.
Напряжённость электрического поля, создаваемого бесконечной плоскостью, заряженной с поверхностной плотностью заряда , можно рассчитать, воспользовавшись теоремой Гаусса.

Из условий симметрии следует, что вектор E везде перпендикулярен плоскости. Кроме того, в симметричных относительно плоскости точках вектор E будет одинаков по величине и противоположен по направлению.
В качестве замкнутой поверхности выберем цилиндр, ось которого перпендикулярна плоскости, а основания расположены симметрично относительно плоскости, как показано на рисунке.
Так как линии напряжённости параллельны образующим боковой поверхности цилиндра, то поток через боковую поверхность равен нулю. Поэтому поток вектораЕ через поверхность цилиндра

где - площадь основания цилиндра. Цилиндр вырезает из плоскости заряд . Если плоскость находится в однородной изотропной среде с относительной диэлектрической проницаемостью , то

Когда напряженность поля не зависит от расстояния между плоскостями, такое поле называют однородным. График зависимости E (x ) для плоскости.

Разность потенциалов между двумя точками, находящимися на расстояниях R 1 и R 2 от заряженной плоскости, равна

Пример 2. Две равномерно заряженные плоскости.
Рассчитаем напряжённость электрического поля, создаваемого двумя бесконечными плоскостями. Электрический заряд распределен равномерно с поверхностной плотностями и . Напряженность поля найдем как суперпозицию напряжённостей полей каждой из плоскостей. Электрическое поле отлично от нуля только в пространстве между плоскостями и равно .

Разность потенциалов между плоскостями , где d - расстояние между плоскостями.
Полученные результаты могут быть использованы для приближённого расчета полей, создаваемых плоскими пластинами конечных размеров, если расстояния между ними много меньше их линейных размеров. Заметные погрешности таких расчётов появляются при рассмотрении полей вблизи краев пластин. График зависимости E (x ) для двух плоскостей.

Пример 3. Тонкий заряженный стержень.
Для расчёта напряжённости электрического поля, создаваемого очень длинным заряженным с линейной плотностью заряда стержнем, используем теорему Гаусса.
На достаточно больших расстояниях от концов стержня линии напряжённости электрического поля направлены радиально от оси стержня и лежат в плоскостях, перпендикулярных этой оси. Во всех точках, равноудалённых от оси стержня, численные значения напряжённости одинаковы, если стержень находится в однородной изотропной среде с относительной диэлектрической
проницаемостью .

Для расчета напряженности поля в произвольной точке, находящейся на расстоянииr от оси стержня, проведём через эту точку цилиндрическую поверхность
(см. рисунок). Радиус этого цилиндра равен r , а его высота h .
Потоки вектора напряжённости через верхнее и нижнее основания цилиндра будут равны нулю, так как силовые линии не имеют составляющих, нормальных к поверхностям этих оснований. Во всех точках боковой поверхности цилиндра
Е = const.
Следовательно, полный поток вектора E через поверхность цилиндра будет равен

По теореме Гаусса, поток вектора E равен алгебраической сумме электрических зарядов, находящихся внутри поверхности (в данном случае цилиндра) делённой на произведение электрической постоянной и относительной диэлектрической проницаемости среды

где заряд той части стержня, которая находится внутри цилиндра. Следовательно, напряжённость электрического поля

Разность потенциалов электрического поля между двумя точками, находящимися на расстояниях R 1 и R 2 от оси стержня, найдём, пользуясь связью между напряжённостью и потенциалом электрического поля. Так как напряжённость поля изменяется только в радиальном направлении, то

Пример 4. Заряженная сферическая поверхность.
Электрическое поле, создаваемое сферической поверхностью, по которой равномерно распределён электрический заряд с поверхностной плотностью , имеет центрально-симметричный характер.

Линии напряжённости направлены по радиусам от центра сферы, а модуль вектораE зависит только от расстояния r от центра сферы. Для расчёта поля выберем замкнутую сферическую поверхность радиуса r .
При r o Е = 0.
Напряжённость поля равна нулю, так как внутри сферы заряд отсутствует.
При r > R (вне сферы), согласно теореме Гаусса

где - относительная диэлектрическая проницаемость среды, окружающей сферу.

Напряжённость уменьшается по тому же закону, что и напряженность поля точечного заряда, т. е. по закону .
При r o .
При r > R (вне сферы) .
График зависимости E (r ) для сферы.

Пример 5. Заряженный по объему шар из диэлектрика.
Если шар радиусом R из однородного изотропного диэлектрика с относительной проницаемостью равномерно заряжен по объёму с плотностью , то создаваемое им электрическое поле также является центрально-симметричным.
Как и в предыдущем случае, выберем замкнутую поверхность для расчёта потока вектора E в виде концентрической сферы, радиус которой r может изменяться от 0 до .
При r < R поток вектора E через эту поверхность будет определяться зарядом

Так что

При r < R (внутри шара) .
Внутри шара напряжённость возрастает прямо пропорционально расстоянию от центра шара. Вне шара (при r > R ) в среде с диэлектрической проницаемостью , поток вектора E через поверхность будет определяться зарядом .
При r o >R o (вне шара) .
На границе "шар - окружающая среда" напряжённость электрического поля изменяется скачком, величина которого зависит от соотношения диэлектрических проницаемостей шара и среды. График зависимости E (r ) для шара ().

Вне шара (r > R ) потенциал электрического поля меняется по закону

Внутри шара (r < R ) потенциал описывается выражением

В заключение, приведем выражения для расчета напряженностей полей заряженных тел, различной формы

Разность потенциалов

Напряжение - разность значений потенциала в начальной и конечнойточках траектории. Напряжение численно равно работе электростатического поля при перемещении единичного положительного заряда вдоль силовых линий этого поля. Разность потенциалов (напряжение) не зависит от выбора системы координат!
Единица разности потенциалов Напряжение равно 1 В, если при перемещении положительного заряда в 1 Кл вдоль силовых линий поле совершает работу в 1 Дж.

Проводник – это твердое тело, в котором имеются “свободные электроны”, перемещающиеся в пределах тела.

Металлические проводники в целом являются нейтральными: в них поровну отрицательных и положительных зарядов. Положительно заряженные – это ионы в узлах кристаллической решетки, отрицательные – электроны, свободно перемещающиеся по проводнику. Когда проводнику сообщают избыточное количество электронов, он заряжается отрицательно, если же у проводника «отбирают» какое-то количество электронов, он заряжается положительно.

Избыточный заряд распределяется только по внешней поверхности проводника.

1 . Напряженность поля в любой точке внутри проводника равна нулю.

2 . Вектор на поверхности проводника направлен по нормали к каждой точке поверхности проводника.

Из того факта, что поверхность проводника эквипотенциальна следует, что непосредственно у этой поверхности поле направлено по нормали к ней в каждой точке (условие 2 ). Если бы это было не так, то под действием касательной составляющей заряды пришли бы в движение по поверхности проводника. т.е. равновесие зарядов на проводнике было бы невозможным.

Из 1 следует, что поскольку

Внутри проводника избыточных зарядов нет .

Заряды распределяются только на поверхности проводника с некоторой плотностью s и находятся в очень тонком поверхностном слое (его толщина около одного-двух межатомных расстояний).

Плотность заряда - это количество заряда, приходящееся на единицу длины, площади или объёма, таким образом определяются линейная, поверхностная и объемная плотности заряда, которые измеряются в системе СИ: в Кулонах на метр [Кл/м], в Кулонах на квадратный метр [Кл/м²] и в Кулонах на кубический метр [Кл/м³], соответственно. В отличие от плотности вещества, плотность заряда может иметь как положительные, так и отрицательные значения, это связано с тем, что существуют положительные и отрицательные заряды.

Общая задача электростатики

Вектор напряженности ,

по теореме Гаусса

- уравнение Пуассона.

В случае - нет зарядов между проводниками, получаем

- уравнение Лапласа.

Пусть известны граничные условия на поверхностях проводников: значения ; тогда данная задача имеет единственное решение согласно теореме единственности.

При решении задачи определяется значение и затем поле между проводниками определяется распределение зарядов на проводниках (по вектору напряженности у поверхности).

Рассмотрим пример. Найдем напряженность в пустой полости проводника.

Потенциал в полости удовлетворяет уравнению Лапласа;

потенциал на стенках проводника .

Решение уравнения Лапласа в этом случае тривиальное, и по теореме единственности других решений нет

, т.е. поля в полости проводника нет.

Уравне́ние Пуассо́на - эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных, которое, среди прочего, описывает

· электростатическое поле,

· стационарное поле температуры,

· поле давления,

· поле потенциала скорости в гидродинамике.

Оно названо в честь знаменитого французского физика и математика Симеона Дени Пуассона.

Это уравнение имеет вид:

где - оператор Лапласа или лапласиан, а - вещественная или комплексная функция на некотором многообразии.

В трёхмерной декартовой системе координат уравнение принимает форму:

В декартовой системе координат оператор Лапласа записывается в форме и уравнение Пуассона принимает вид:

Если f стремится к нулю, то уравнение Пуассона превращается в уравнение Лапласа (уравнение Лапласа - частный случай уравнения Пуассона):

Уравнение Пуассона может быть решено с использованием функции Грина; см., например, статью экранированное уравнение Пуассона. Есть различные методы для получения численных решений. Например, используется итерационный алгоритм - «релаксационный метод».

Будем рассматривать уединенный проводник, т. е. проводник, значительно удаленный от других проводников, тел и зарядов. Его потенциал, как известно, прямо пропорционален заряду проводника. Из опыта известно, что разные проводники, будучи при этом одинаково заряженными, имеют различные потенциалы. Поэтому для уединенного проводника можно записать Величину (1) называют электроемкостью (или просто емкостью) уединенного проводника. Емкость уединенного проводника задается зарядом, сообщение которого проводнику изменяет его потенциал на единицу. Емкость уединенного проводника зависит от его размеров и формы, но не зависит от материала, формы и размеров полостей внутри проводника, а также его агрегатного состояния. Причиной этому есть то, что избыточные заряды распределяются на внешней поверхности проводника. Емкость также не зависит ни от заряда проводника, ни от его потенциала. Единица электроемкости - фарад (Ф): 1 Ф - емкость такого уединенного проводника, у которого потенциал изменяется на 1 В при сообщении ему заряда 1 Кл. Согласно формуле потенциала точечного заряда, потенциал уединенного шара радиуса R, который находится в однородной среде с диэлектрической проницаемостью ε, равен Применяя формулу (1), получим, что емкость шара (2) Из этого следует, что емкостью 1 Ф обладал бы уединенный шар, находящийся в вакууме и имеющий радиус R=C/(4πε 0)≈9 10 6 км, что примерно в 1400 раз больше радиуса Земли (электроемкость Земли С≈0,7 мФ). Следовательно, фарад - довольно большая величина, поэтому на практике применяются дольные единицы - миллифарад (мФ), микрофарад (мкФ), нанофарад (нФ), пикофарад (пФ). Из формулы (2) следует также, что единица электрической постоянной ε 0 - фарад на метр (Ф/м) (см. (78.3)).

Конденса́тор (от лат. condensare - «уплотнять», «сгущать») - двухполюсник с определённым значением ёмкости и малой омической проводимостью; устройство для накоплениязаряда и энергии электрического поля. Конденсатор является пассивным электронным компонентом. Обычно состоит из двух электродов в форме пластин (называемых обкладками ), разделённых диэлектриком, толщина которого мала по сравнению с размерами обкладок.

Мкость

Основной характеристикой конденсатора является его ёмкость , характеризующая способность конденсатора накапливать электрический заряд. В обозначении конденсатора фигурирует значение номинальной ёмкости, в то время как реальная ёмкость может значительно меняться в зависимости от многих факторов. Реальная ёмкость конденсатора определяет его электрические свойства. Так, по определению ёмкости, заряд на обкладке пропорционален напряжению между обкладками (q = CU ). Типичные значения ёмкости конденсаторов составляют от единиц пикофарад до тысяч микрофарад. Однако существуют конденсаторы (ионисторы) с ёмкостью до десятков фарад.

Ёмкость плоского конденсатора, состоящего из двух параллельных металлических пластин площадью S каждая, расположенных на расстоянии d друг от друга, в системе СИ выражается формулой: , где -относительная диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство между пластинами (в вакууме равна единице), - электрическая постоянная, численно равная 8,854187817·10 −12 Ф/м. Эта формула справедлива, лишь когда d много меньше линейных размеров пластин.

Для получения больших ёмкостей конденсаторы соединяют параллельно. При этом напряжение между обкладками всех конденсаторов одинаково. Общая ёмкость батареи параллельно соединённых конденсаторов равна сумме ёмкостей всех конденсаторов, входящих в батарею.

Если у всех параллельно соединённых конденсаторов расстояние между обкладками и свойства диэлектрика одинаковы, то эти конденсаторы можно представить как один большой конденсатор, разделённый на фрагменты меньшей площади.

При последовательном соединении конденсаторов заряды всех конденсаторов одинаковы, так как от источника питания они поступают только на внешние электроды, а на внутренних электродах они получаются только за счёт разделения зарядов, ранее нейтрализовавших друг друга. Общая ёмкость батареи последовательно соединённых конденсаторов равна

Или

Эта ёмкость всегда меньше минимальной ёмкости конденсатора, входящего в батарею. Однако при последовательном соединении уменьшается возможность пробоя конденсаторов, так как на каждый конденсатор приходится лишь часть разницы потенциалов источника напряжения.

Если площадь обкладок всех конденсаторов, соединённых последовательно, одинакова, то эти конденсаторы можно представить в виде одного большого конденсатора, между обкладками которого находится стопка из пластин диэлектрика всех составляющих его конденсаторов.

[править]Удельная ёмкость

Конденсаторы также характеризуются удельной ёмкостью - отношением ёмкости к объёму (или массе) диэлектрика. Максимальное значение удельной ёмкости достигается при минимальной толщине диэлектрика, однако при этом уменьшается его напряжение пробоя.

В электрических цепях применяются различные способы соединения конденсаторов . Соединение конденсаторов может производиться: последовательно , параллельно и последовательно-параллельно (последнее иногда называют смешанное соединение конденсаторов). Существующие виды соединения конденсаторов показаны на рисунке 1.

Рисунок 1. Способы соединения конденсаторов.