Функции случайных величин. Законы распределения функций случайных величин

Если каждой паре возможных значений случ величин X и Y соответствует одно возможное значение случайной величины Z, то Z называют функцией двух случ аргументов X и Y: Z=φ(X, Y).

1. Пусть X и Y – дискретные независимые случ величины.

Для того, чтобы составить закон распределения функции Z=X+Y, надо найти все возможные значения Z и их вероятности. Т.к. X и Y независимые случ величины, то zi=xi+yi, pz=px*py. Если zi=zj, то их вероятности складываются.

2. Пусть X и Y – непрерывные случ величины. Доказано: если X и Y независимы, то плотность распределения g(z) суммы Z=X+Y (при условии, что плотность хотя бы одного из аргументов задана на интервале(-∞;∞) одной формулой) может быть найдена с помощью формулы:

Где f1, f2 – плотности распределения аргументов.

Если возможные значения аргументов неотрицательны, то g(z) находят по формуле:

Плотность распределения суммы независимых случ величин называют композицией, а закон распределения вероятностей называют устойчивым, если композиция таких законов есть тот же закон. M(z)=M(x)+M(y); D(z)=D(x)+D(y).

Вы также можете найти интересующую информацию в научном поисковике Otvety.Online. Воспользуйтесь формой поиска:

Еще по теме 26. Функция двух случайных аргументов.:

1. 15. Частные производные функции двух аргументов, их геометрический смысл.
2. 23. Наименьшее и наибольшее значения функции двух аргументов в замкнутой области.
3. Математическое ожидание скалярной функции случайных аргументов. Двумерный дискретный случай.
4. 31. Функция распределения системы двух случайных величин
5. 120. Покажите на примере и объясните суть приёмов в споре «аргумент к публике», «аргумент к жалости», «аргумент к невежеству», «аргумент к «тщеславию» и «аргумент к личности». Проиллюстрируйте примером и объясните логический термин «верификация».

Если каждой паре возможных значений случайных величин X и Y соответствует одно возможное значение случайной величины Z, то Z называют функцией двух случайных аргументов X и Y:

Z = j (X, Y ).

Далее на примерах будет показано, как найти распределение функции Z = X + Y по известным распределениям слагаемых. Такая задача часто встречается на практике. Например, если X - погрешность показаний измерительного прибора (распределена нормально), Y - погрешность округления показаний до ближайшего деления шкалы (распределена равномерно), то возникает задача - найти закон распределения суммы погрешностей Z=X + Y.

1. Пусть X и Y -дискретные независимые случайные величины. Для того чтобы составить закон распределения функции Z = X + Y, надо найти все возможные значения Z и их вероятности.

Пример 1. Дискретные независимые случайные величины заданы распределениями:

Составить распределение случайной величины Z = X+Y.

Решение. Возможные значения Z есть суммы каждого возможного значения X со всеми возможными значениями Y:

z 1 = 1+ 3= 4; z 2 = 1+ 4= 5; z 3 = 2+ 3= 5; z 4 = 2+ 4= 6.

Найдем вероятности этих возможных значений. Для того чтобы Z = 4, достаточно, чтобы величина X приняла значение x 1 =1 и величина Y - значение y 1 = 3. Вероятности этих возможных значений, как следует из данных законов распределения, соответственно равны 0,4 и 0,2.

Аргументы X и Y независимы, поэтому события Х= 1и Y = 3 независимы и, следовательно, вероятность их совместного наступления (т. е. вероятность события Z = 1+3 = 4) по теореме умножения равна 0,4*0,2 = 0,08.

Аналогично найдем:

P (Z= 1+ 4= 5) = 0, 4* 0, 8= 0, 32;

Р (Z = 2 + 3 = 5) = 0, 6* 0, 2 = 0, 12;

Р (Z = 2 + 4 = 6)= 0, 6* 0, 8 = 0, 48.

Напишем искомое распределение, сложив предварительно вероятности несовместных событий Z = z 2 , Z = z 3 (0,32+0,12 = 0,44):

Контроль: 0,08 + 0,44+0,48=1.

2. Пусть X и Y - непрерывные случайные величины. Доказано: если X и Y независимы, то плотность распределения g (z ) суммы Z = X + Y (при условии, что плотность хотя бы одного из аргументов задана на интервале() одной формулой) может быть найдена с помощью равенства

(*)

либо с помощью равносильного равенства

(**)

где f 1 , f 2 - плотности распределения аргументов.

Если возможные значения аргументов неотрицательны, то g (z )находят по формуле

(***)

либо по равносильной формуле

(****)

Плотность распределения суммы независимых случайных величин называют композицией.

Закон распределения вероятностей называют устойчивым, если композиция таких законов есть тот же закон (отличающийся, вообще говоря, параметрами). Нормальный закон обладает свойством устойчивости: композиция нормальных законов также имеет нормальное распределение (математическое ожидание и дисперсия этой композиции равны соответственно суммам математических ожиданий и дисперсий слагаемых). Например, если X и Y - независимые случайные величины, распределенные нормально с математическими ожиданиями и дисперсиями, соответственно равными а 1 = З, а 2 = 4, D 1 =1, D 2 = 0, 5, то композиция этих величин (т. е. плотность вероятности суммы Z = X + Y )также распределена нормально, причем математическое ожидание и дисперсия композиции соответственно равны а = 3 + 4 = 7; D =l +0,5=1,5.

Пример 2. Независимые случайные величины X и Y заданы плотностями распределений:

f (x )= ;

f (y )= .

Найти композицию этих законов, т. е. плотность распределения случайной величины Z = X+Y.

Решение. Возможные значения аргументов неотрицательны, Поэтому воспользуемся формулой (***)

Заметим, что здесь z 0, так как Z=X+Y и, по условию, возможные значения X и Y неотрицательны.

Распределение «хи квадрат»

Пусть X i (i = 1, 2, ..., п )- нормальные независимые случайные величины, причем математическое ожиданиекаждой из них равно нулю, а среднее квадратическоеотклонение-единице. Тогда сумма квадратов этих величин

распределена по закону («хи квадрат») с k = п степенями свободы; если же эти величины связаны одним линейным соотношением, например , то число степеней свободы k=n- 1.

Плотность этого распределения

где - гамма-функция; в частности,

(n+ 1)=n!.

Отсюда видно, что распределение «хи квадрат» определяется одним параметром - числом степеней свободы k.

С увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному.

Распределение Стьюдента

Пусть Z -нормальная случайная величина, причем M (Z ) = 0, s(Z )= 1, a V -независимая от Z величина, которая распределена по закону с k степенями свободы. Тогда величина

имеет распределение, которое называют t- распределением или распределением Стьюдента (псевдоним английского статистика В. Госсета), с k степенями свободы.

Итак, отношение нормированной нормальной величины к квадратному корню из независимой случайной величины, распределенной по закону «хи квадрат» с k степенями свободы, деленной на k, распределено по закону Стьюдента с k степенями свободы.

С возрастанием числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному. Дополнительные сведения об этом распределении приведены далее (см. гл. XVI, § 16).

§ 15. Распределение F Фишера - Снедекора

Если U и V -независимые случайные величины, распределенные по закону со степенями свободы k 1 и k 2 , то величина

имеет распределение, которое называют распределением F Фишера-Снедекора со степенями свободы k 1 и k 2 (иногда его обозначают через V 2).

Плотность этого распределения

Мы видим, что распределение F определяется двумя параметрами-числами степеней свободы. Дополнительные сведения об этом распределении приведены далее (см. гл. XIX, § 8).

Задачи

1. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X, зная ее плотность распределения:

а) при остальных значениях x;

б) f (x )= 1/ 2l при а - l x a+l , f (x )= 0при остальных значениях х.

Отв. a ) М (Х )= 0, D (X ) = l/2; б ) М (Х ) = а, D (X )= l 2 / 3.

2. Случайная величина X распределена нормально. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 6 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (4,8).

Отв. 0,6826.

3. Случайная величина распределена нормально. Среднее квадратическое отклонение этой величины равно 0,4. Найти вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине будет меньше 0,3.

Отв. 0,5468.

4. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением s=1 мм и математическим ожиданием а = 0. Найти вероятность того, что из двух независимых наблюдений ошибка хотя бы одного из них не превзойдет по абсолютной величине 1,28 мм.

Отв. 0,96.

5. Валики, изготовляемые автоматом, считаются стандартными, если отклонение диаметра валика от проектного размера не превышает 2 мм. Случайные отклонения диаметра валиков подчиняются нормальному закону со средним квадратическим отклонением s = 1,6 мм и математическим ожиданием а = 0. Сколько процентов стандартных валиков изготовляет автомат?

Отв. Примерно 79%.

6. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения .

Если x .- случайная величина, то функция F (x ) = F x (x ) = P (x < x ) называется функцией распределения случайной величины x . Здесь P (x < x ) - вероятность того, что случайная величина x принимает значение, меньшее x .

Важно понимать, что функция распределения является “паспортом” случайной величины: она содержит всю информация о случайной величине и поэтому изучение случайной величины заключается в исследовании ее функции распределения, которую часто называют просто распределением .

Функция распределения любой случайной величины обладает следующими свойствами:

функция двух случайных аргументов:Если каждой паре возможных значений случайных величин и соответствует одно возможное значение случайной величины, то называют функцией двух случайных аргументов и и пишут:

Если и - дискретные независимые случайные величины, то для того, чтобы найти распределение функции, надо найти все возможные значения, для чего достаточно сложить каждое возможное значение со всеми возможными значениями; вероятности же найденных значений равны произведениям вероятностей складываемых из значений и.

19. Закон больших чисел. теоремы закона больших чисел устанавливают зависимость между случайностью и необходимостью.

Закон больших чисел- это обобщенное название нескольких теорем, из которых следует, что при неограниченном увеличении числа испытаний средние величины стремятся к некоторым постоянным.

Неравенство Чебышева.

Лемма: Если случайная величина Х имеет конечные математическое ожидание М(Х) и дисперсию Д(Х), то для любого положительного eсправедливо неравенство

Теорема Чебышева: При достаточно большом числе независимых случайных величин Х 1 , Х 2 , Х 3 , ..., Х n , дисперсия каждой из которых не превышает одного и того же постоянного числа В, для произвольного сколько угодно малого числа e справедливо неравенство

Из теоремы следует, что среднее арифметичес­кое случайных величин при возрастании их числа проявляет свойство устойчивости, т. е. стремится по вероятности к неслучайной величине, которой является среднее арифметическое математических ожиданий этих величин, т.е. вероятность отклонения по абсолютной величине среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий меньше чем на e при неограниченном возрастании n стремится к 1, т.е. становится практически достоверным событием.

частный случай теоремы Чебышева:Пусть при n испытаниях наблюдаются n значений случайной величины X, имеющей математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X). Полученные значения можно рассматривать как случайные величины Х 1 , Х 2 , Х 3 , ..., Х n ,. Это следует понимать так. Серия из п испытаний проводится неоднократно. Поэтому в результате i-го испытания, i=l, 2, 3, ..., п, в каждой серии испытаний появится то или иное значение случайной величины X, не известное заранее. Следовательно, i-e значение x i случайной величины, полученное в i-м испытании, изменяется случайным образом, если переходить от одной серии испытаний к другой. Таким образом, каждое значение x i можно считать случайной величиной X i .

Теорема Бернулли. Теорема Бернулли: Если вероятность события А в каждом из п независимых испытаний постоянна и равна р, то при достаточно большом п для произвольного e >0 справедливо неравенство

Переходя к пределу, имеем Теорема Бернулли устанавливает связь между вероятностью появления события и его относительной частотой появления и позволяет при этом предсказать, какой примерно будет эта частота в п испытаниях. Из теоремы видно, что отношение т/п обладает свойством устойчивости при неограниченном росте числа испытаний.

Иногда (при решении практических задач) требуется оценить вероятность того, что отклонение числа т появления события в п испытаниях от ожидаемого результата пр не превысит определенного числа e. Для данной оценки неравенство переписывают в виде

20.Центра́льные преде́льные теоре́мы (Ц.П.Т.) - класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы (ни одно из слагаемых не доминирует, не вносит в сумму определяющего вклада), имеет распределение, близкое к нормальному.

Так как многие случайные величины в приложениях формируются под влиянием нескольких слабо зависимых случайных факторов, их распределение считают нормальным. При этом должно соблюдаться условие, что ни один из факторов не является доминирующим. Центральные предельные теоремы в этих случаях обосновывают применение нормального распределения.

Формула свертки. Устойчивость нормального распределения.

o Если каждой паре возможных значений случайных величин X и Y соответствует одно возможное значение случайной величины Z, то Z называют функцией двух случайных аргументов X и Y:

Далее на примерах будет показано, как найти распределение функции по известным распределениям слагаемых. Такая задача часто встречается на практике. Например, если Х-погрешность показаний измерительного прибора (распределена равномерно), то возникает задача-найти закон распределения суммы погрешностей.

Случай 1. Пусть Х и Y-дискретные независимые случайные величины . Для того чтобы составить закон распределения функции Z=X+Y, надо найти все возможные значения Z и их вероятности. Иными словами, составляется ряд распределения случайной величины Z.

Пример 1. Дискретные независимые случайные величины Х и Y, заданы распределениями

Составить распределение случайной величины Z=X+Y.

Возможные значения Z есть суммы каждого возможного значения Х со всеми возможными значениями Х.

Найдем вероятность этих возможных значений. Для того чтобы Z=4 достаточно, чтобы величина Х приняла значения х 1 =1 и величина Y-значение y 1 =3. Вероятности этих возможных значений, как следует из данных законов распределения, соответственно равно 0,4 и 0,2.

Поскольку случайные величины Х и Y независимы, то события Х=1 и Y=3 независимы и, следовательно, вероятность их совместного наступления (т.е вероятность события Z=1+3=4) по теореме умножения равна 0,4·0,2=0,08.

Аналогично найдем

Напишем искомое распределение, сложив предварительно вероятности несовместимых событий Z=z 2 и Z=z 3 . (0,32+0,12=0,44)

Контроль: 0,08+0,44+0,48=1.

Рассмотрим общий случай:

Пусть Х и Y-независимые случайные величины, принимающие значения. Обозначим через, .

Z=X+Н. Обозначим через

Таким образом, -формула свертки.

Случай 2. Пусть Х и Y-непрерывные случайные величины.

Теорема. Если Х и Y-независимые непрерывные случайные величины, то случайная величина Z=X+Y-также непрерывна, причем плотность распределения случайной величины Z -формула свертки.

o Плотность распределения суммы независимых случайных величин называется композицией.

Замечание. Если возможные значения X и Y неотрицательны, то формула свертки .

o Закон распределения вероятностей называется устойчивым , если композиция таких законов есть тот же закон распределения (отличающийся, вообще говоря, параметрами). Нормальный закон обладает свойствами устойчивости, т.е. композиция нормальных законов также имеет нормальное распределение, причем математическое ожидание и дисперсия этой композиции равны соответственно суммам математических ожиданий и дисперсий слагаемых:

В частности, если Х~N(0,1) и Y~N(0,1), то Z=X+Y~N(0,2).

Пример 2. Пусть случайная величины Х 1 ,…,Х k -независимы и имеют показательное распределение с параметром λ>0, т.е. .

Найти плотность распределения.

Если x≤0, то.

Проводя аналогичные рассуждения, получим:

Числовые характеристики системы

Двух случайных величин.

Для описания системы двух случайных величин кроме математических ожиданий и дисперсий используют и другие характеристики. К их числу относятся ковариация и коэффициент коррекции.

o Ковариацией между случайными величинами Х и Y называется число, где.

Для непрерывных случайных величин X и Y используют формулу.

Покажем, что если случайные величины Х и Y независимы, то. Пусть Х и Y-непрерывные случайные величины

o Коэффициентом корреляции между случайными величинами Х и Y называется число.

Свойства корреляции.

Свойство 1. Абсолютная величина коэффициента корреляции не превосходит единицы, т.е. .

Свойство 2. Для того чтобы необходимо и достаточно, чтобы случайные величины Х и Y были связанны линейной зависимостью. Т.е. с вероятностью 1.

Свойство 3. Если случайные величины независимы, то они некоррелированы, т.е. r=0.

Пусть Х и Y-независимы, тогда по свойству математического ожидания

o Две случайные величины Х и Y называют коррелированными , если их коэффициент корреляции отличен от нуля.

o Случайные величины Х и Y называют некоррелированными если их коэффициент корреляции равен 0.

Замечание. Из коррелированности двух случайных величин следует их зависимость, но из зависимости еще не вытекает коррелированность. Из независимости двух случайных величин следует их некоррелированность, но из некоррелированности еще нельзя заключить о независимости этих величин.

Коэффициент корреляции характеризует тенденцию случайных величин к линейной зависимости. Чем больше по абсолютной величине коэффициент корреляции, тем больше тенденция к линейной зависимости.