Определение. Отношение рода и вида между понятиями

Понятие рода и вида.

Совершать операции обобщения и ограничения понятий можно только с теми понятиями, которые связаны родо-видовыми отношениями.

Нельзя совершать данные операции с понятиями, которые представляют между собой связь части и целого.

К примеру: факультет – университет; звезда – созвездие и т.д.

2.6. Упражнения

1. Укажите, какие группы слов выражают понятия, а какие – нет.

Студент, светает, человек смеется; человек, который смеется, действие или бездействие; деяние есть действие или бездействие.

2. Определите, какие операции произведены с понятиями и правильно ли они произведены:

парламентская республика → республика → форма правления;

общество → классовое общество → интеллигенция;

юридический факультет – факультет → университет;

море → Балтийское море → Финский залив;

Полярная звезда → созвездие Малой Медведицы → созвездие.

3. Обобщите и ограничьте понятия:

кража, ВУЗ, планет, школа, Уголовный кодекс, воспитание, судья.

4. Укажите ближайший род для следующих понятий:

автократия, клевета͵ студент, преступление, коллектив, понятие.

5. Укажите ближайший вид для следующих понятий:

деяние, коллектив, преступление, дивизия, коллектив МГУ, демократия.

3.Виды понятий

Все понятия можно разделить по следующим признакам:

I. По характеру признаков.

II. По числу элементов объёма понятий.

III. По характеру элементов объёма.

3.1.По характеру признаков.

а) Положительные и отрицательные.

Положительным принято называть понятие, в основном содержании которого встречаются только положительные признаки.

Отрицательным принято называть понятие, в основном содержании которого встречается хотя бы один отрицательный признак.

Понятие "преступление" является положительным, так как в его содержание входят только положительные признаки: "предусмотренность уголовным законом", "быть деянием" и "быть общественно "опасным"; понятие "человек" – положительное, так как признаки: "обладать разумом, речью, способностью к орудийной, целœесообразной деятельности" - ϶ᴛᴏ положительные признаки.

Понятие "автократия" – отрицательное, так как будучи разновидностью монархии, при этой форме правления отсутствуют подлинно представительные учреждения, ᴛ.ᴇ. наличествует отрицательный признак.

б) Относительные и абсолютные.

Абсолютным принято называть понятие, в основном содержании которого встречаются только признаки – свойства. К примеру, квадрат - ϶ᴛᴏ прямоугольный равносторонний четырехугольник.

Относительным принято называть понятие, в основном содержании которого встречается хотя бы один признак – отношение.

К примеру: должник – кредитор, истец – ответчик, мать – ребенок и т.п.

3.2. По числу элементов объёма.

а) пустые

б) единичные

Пустым принято называть понятие, объём которого представляет собой пустое множество, ᴛ.ᴇ. не содержит в себе ни одного предмета.

Это – вечный двигатель, круглый квадрат, русалка и др.

Единичным принято называть понятие, в объём которого входит ровно один элемент. Это – "Луна", "первый космонавт", "нынешний президент России".

Общим принято называть понятие, в объём которого входит более одного элемента. Это – "спутник Земли", "президент", "космонавт" и т.д.

3.3. По характеру элементов объёма

а) Собирательные и разделительные.

Собирательным принято называть понятие, элементы объёма которого сами составляют множества однородных объектов.

К примеру, понятие "толпа" является собирательным, поскольку элементами объёма являются отдельные толпы, которые, в свою очередь, состоят из однородных предметов – людей.

Понятие "библиотека" – собирательное, поскольку элементы объёма этого понятия состоят из однородных предметов – книᴦ.

Разделительным принято называть понятие, элементы объёма которых не представляют из себямножеств однородных объектов.

К примеру, человек, студент, стул, логика, преступление и т.п.

б) Абстрактные и конкретные.

Абстрактными называются понятия, элементами объёма которых являются свойства или отношения.

Примеры: "Справедливость", "белизна", "преступность", "отцовство" – всœе это абстрактные понятия.

Конкретными называются понятия, элементами объёма которых являются сами предметы.

Примеры: "Стул", "стол", "тень", "преступление", "музыка" – всœе это конкретные понятия.

Понятие рода и вида. - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Понятие рода и вида." 2017, 2018.

Математические понятия могут находиться в разных отноше­ниях.

Понятия находятся в отношении рода и вида, если объем одного понятия включает объем другого понятия, но не совпадает с ним.

1)Квадрат и прямоугольник находятся в отношении рода и вида, где прямоугольник - родовое понятие, а квадрат - видовое поня­тие, так как все квадраты являются прямоугольниками, но не все прямоугольники являются квадратами.

2) Отрезок и прямая не находятся в отношении рода и вида, так как отрезок - это часть прямой, а не ее разновидность. Они нахо­дятся в отношении части и целого .

Уже в дошкольном возрасте дети рано начинают понимать ро­довидовые отношения, не называя их явно. Например, выполняя задание: «Назови одним словом» (рис. 4), они подразумевают, что понятия «квадрат», «прямоугольник», «трапеция», «ромб»,

«параллелограмм» являются видовыми по отношению к понятию «четырехугольника.

Если объемы понятий совпадают, то эти понятия тождественны.

Например, понятия «равносторонний треугольник» и «равно­угольный треугольник» тождественны. В школе на уроках русского языка дети изучают понятие «синонимы» - слова, различные по звучанию, но тождественные по смыслу.

Некоторые особенности родовидовых отношений между понятиями

1) Понятия рода и вида относительны. Одно и то же понятие мо­жет быть родовым по отношению к одному понятию и видовым по отношению к другому. Например: понятие «прямоугольник» - ро­довое к понятию «квадрат», но видовое к понятию «четырехуголь­ник».

2) Для данного понятия часто можно указать несколько родовых понятий. Например, для понятия «квадрате родовыми являются по­нятия «прямоугольник», «ромб», «четырехугольник», «многоуголь­ник», «геометрическая фигура».

3) Видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия. Например: квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника.

4) Если два понятия находятся в отношении рода и вида, то между их объемами и содержаниями существует взаимосвязь: если объем больше, то содержание меньше, и наоборот. Например, объем понятия «прямоугольник» больше, чем объем понятия «квадрат», так как все объекты второго понятия являются и объектами первого понятия. Содержание понятия «прямоугольник» меньше, чем содер­жание понятия «квадрат», так как квадрат обладает всеми свойства­ми прямоугольника и еще другими свойствами, присущими только ему.

Задание 2

Назовите, какие из перечисленных понятий находятся в отношении рода и вида: круг, ломаная, треугольник, отрезок, многоугольник, радиус, окружность.

Определение понятий

Для распознавания объекта необязательно проверять у него существенные свойства, достаточно лишь некоторых. Этим полются, когда понятию дают определение.

Определение понятия - это логическая операция, которая укрывает содержание понятия либо устанавливает значение терм

Определение понятия позволяет отличать определяемые проекты от других объектов. Так, например, определение понятий «прямоугольный треугольник» позволяет отличить его от др: треугольников.

Существуют различные виды определений. Различают явные и неявные определения (рис. 5).

Явные определения имеют форму равенства двух понятий. С из них называют определяемым , другое - определяющим.

Например: «Прямоугольный треугольник - это треугольна которого есть прямой угол». Здесь определяемое понятие - «примоугольный треугольник», а определяющее - «треугольник, у кого есть прямой угол».

Самый распространенный вид явных определений - это о деление через род и видовое отличие. Приведенное выше определение прямоугольного треугольника относится к таким определяем. Понятие «треугольник», содержащееся в определяющем птиц, является ближайшим родовым понятием по отношению понятию «прямоугольный треугольник», а свойство «иметь пругол» позволяет из всех треугольников выделить один из вид прямоугольный треугольник.

Видовое отличие - существенное свойство, которое отличае видовое понятие от всего рода.

Структура определения через род и видовое отличие изобра; схематично на рисунке 6. По данной схеме можно строить ощления понятий не только в математике, но и в других науках.

Основные правила определения через род и видовое отличие

1) Определение должно быть соразмерным.

Это означает, что объемы определяемого и определяющего по­нятий должны совпадать. Например, в определении «Квадрат - это четырехугольник с равными сторонами» допущена ошибка. Здесь объем определяемого понятия меньше объема определяющего поня­тия (в объеме определяющего понятия содержатся ромбы, которые необязательно являются квадратами).

2) В определении (или их системе) не должно быть порочного кру­га.

Круг возникает, когда определяемое понятие определяется через само себя. Круг в системе определений означает, что определяемое понятие определяется через определяющее, а определяющее через определяемое. Например: «Перпендикулярные прямые - это пря­мые, которые при пересечении образуют прямые углы. Прямые углы - это углы, которые образуются при пересечении перпендикулярных прямых».

3) Определение должно быть ясным.

Смысл всех терминов, входящих в определяющую часть, должен быть ясен и четко определен. Например, если дети не знакомы с прямым углом, им нельзя давать такое определение: «Прямоуголь­ник - это четырехугольник, у которого все углы прямые».

4) Определяемый объект должен существовать.

Иногда, давая определения по аналогии, допускают ошибки. Например: «Прямоугольный треугольник - это треугольник, у кото­рого все углы прямые». Для испрачения оплошности можно пред­ложить им нарисовать этот объект.

5) Принято называть ближайшее родовое понятие.

Для распознавания объекта необязательно проверять у него все существенные свойства, достаточно лишь некоторых. Этим пользу­ются, когда понятию дают определение.

Определение понятия - это логическая операция, которая рас­крывает содержание понятия либо устанавливает значение термина.

Определение понятия позволяет отличать определяемые объ­екты от других объектов. Так, например, определение понятия «прямоугольный треугольник» позволяет отличить его от других треугольников.

Существуют различные виды определений. Различают явные и неявные определения (рис. 5). Явные определения имеют форму равенства двух понятий. Одно из них называют определяемым, другое - определяющим.

Например: «Прямоугольный треугольник - это треугольник, у которого есть прямой угол». Здесь определяемое понятие - «прямо­угольный треугольник», а определяющее - «треугольник, у которого есть прямой угол».

Самый распространенный вид явных определений - это опре­деление через род и видовое отличие. Приведенное выше опреде­ление прямоугольного треугольника относится к таким определени­ям. Понятие «треугольник», содержащееся в определяющем поня­тии, является ближайшим родовым понятием по отношению к понятию «прямоугольный треугольник», а свойство «иметь прямой угол» позволяет из всех треугольников выделить один из видов - прямоугольный треугольник.

Видовое отличие - существенное свойство, которое отличает ви­довое понятие от всего рода.

Структура определения через род и видовое отличие изображена схематично на рисунке 6. По данной схеме можно строить опреде­ления понятий не только в математике, но и в других науках.

Для понятия часто существует несколько родовых понятий, так, например, для понятия «квадрат» можно сформулировать разные определения:

Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны;

Это ромб, у которого все углы прямые;

Это четырехугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые;

Это многоугольник, у которого 4 равные стороны и 4 пря­мых угла.

Удобным считается первое определение, так как «прямоуголь­ник» - ближайшее родовое понятие по отношению к понятию «квадрат».

6) Желательно, чтобы определяющее не содержало избыточных свойств.

Удобно перечислить многие существенные свойства, но опреде­ление становится громоздким. При работе с детьми иногда это пра­вило нарушают. Например, ребенок спешит сообщить все сущест­венные свойства квадрата и дает такое определение: «Квадрат - это четырехугольник, у которого 4 прямых угла и 4 равные стороны».

Задание 4

Имеются пи логические ошибки в следующих определениях:

параллельные прямые - прямые, не имеющие общих точек или совпадающие;

смежные углы - это углы, которые в сумме составляют 180 гра­дусов;

прямоугольник - это четырехугольник, у которого все углы пря­мые, а противоположные стороны равны;

тупоугольный треугольник - это треугольник, у которого все углы тупые;

перпендикулярные прямые - это прямые, которые перпен­дикулярны.

При формировании у детей начальных математических пред­ставлений чаще всего применяют неявные определения , которые не имеют формы равенства двух понятий, например остенсивные и контекстуальные определения.

Остенсивное определение - это неявное определение, при кото­ром называют и показывают объект, термин для которого вводят.

Например:

Это круг (рис. 7).

Определения посредством показа отличаются неза­вершенностью, неокончательностью, но именно они связывают слова с вещами.

При ознакомлении дошкольников и младших школьников с математическими понятиями, особенно Рис 7 в начале обучения, в основном используются остенсивные определения. Однако в дальнейшем это требу­ет изучения существенных свойств объектов, то есть формирования у детей представлений об объеме и содержании понятий, первоначально определенных остенсивно.

Контекстуальное определение - неявное определение, в котором содержание нового понятия раскрывается в контексте - отрывке текста.

Например, при формировании у дошкольников счетной дея­тельности детей учат правильно использовать количественные и по­рядковые числительные: «Чтобы ответить на вопрос «сколько?», надо считать так: один, два, три, - это количественный счет, а что­бы ответить на вопрос «который?», надо считать так: первый, вто­рой, третий, - это порядковый счет».

Контекстуальные определения остаются в значительной мере неполными, нечеткими, поэтому необходимо выявление существен­ных свойств таким образом определенного понятия.

Математические предложения

Взаимосвязи между объектами и свойствами выражаются с по­мощью предложений. Предложения могут быть сформулированы при помощи слов и записаны при помощи математических символов:

Составные предложения образуются из элементарных с по­мощью союзов «и», «или», частицы «не» и др. Эти слова называются логическими связками.

Примеры составных предложений различных по структуре при­ведены на рисунке 8:

Задание 5

Определите структуру предложений и выявите в них элементар­ные предложения:

- «Параллельные прямые не пересекаются»;

- «Противоположные стороны прямоугольника параллельны и равны»;

- «Число оканчивается нулем или пятерной».

Во-первых, понятия рода и вида относительны : одно и то же понятие может быть родовым по отношению к одному понятию и видовым по отношению к другому. Например , понятие «прямоугольник» – родовое по отношению к понятию «квадрат» и видовое по отношению к понятию «четырехугольник».

Во-вторых , для данного понятия часто можно указать несколько родовых понятий. Так, для понятия «прямоугольник» родовыми являются понятия «четырехугольник», «параллелограмм», «многоугольник». Среди них можно указать ближайшее. Для понятия «прямоугольник» ближайшим является понятие «параллелограмм».

В–третьих , видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия. Например , квадрат, являясь видовым понятием по отношению к понятию «прямоугольник», обладает всеми свойствами, присущими прямоугольнику.

Так как объем понятия – множество, удобно, устанавливая отношения между объемами понятий, изображать их при помощи кругов Эйлера.

Объемы понятий не пересекаются, так как ни про один отрезок нельзя сказать, что он является прямой, и ни одна прямая не может быть названа отрезком. Следовательно, данные понятия не находятся в отношении рода и вида.

О понятиях «прямая» и «отрезок» можно сказать, что они находятся в отношении целого и части: отрезок – часть прямой, а не ее вид.

Замечание.Если видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия, то часть не обязательно обладает всеми свойствами целого.

Например , отрезок не обладает такими свойствами прямой, как ее бесконечность.

3. Определение понятий

Появление в математике новых понятий, а значит, и новых терминов, обозначающих эти понятия, предполагает их определение.

Определением обычно называют предложение, разъясняющее суть нового термина (или обозначения). Как правило, делают это на основе ранее введенных понятий. Например, прямоугольник можно определить так: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые». В этом определении есть две части – определяемое понятие (прямоугольник) и определяющее понятие (четырехугольник, у которого все углы прямые). Если обозначить через а первое понятие, а через b – второе, то данное определение можно представить в таком виде:

а есть (по определению) b

Слова «есть (по определению)» обычно заменяют символом , и тогда определение выглядит так: а b

Читают: «а равносильно b по определению». Можно прочитать эту запись еще и так: «а тогда и только тогда, когда b».

Определения, имеющие такую структуру, называются явными . Рассмотрим их подробнее.

Обратимся опять к определению прямоугольника, вернее, к его второй части – определяющему понятию. В нем можно выделить:

1) понятие «четырехугольник», которое является родовым по отношению к понятию «прямоугольник»,

2) свойство «иметь все углы прямые», которое позволяет выделить из всевозможных четырехугольников один вид – прямоугольники; поэтому его называют видовым отличием .

Определение. Видовое отличие – это свойства (одно или несколько), которые позволяют выделять определяемые объекты из объема родового понятия.

Итоги нашего анализа можно представить в виде схемы

Определяющее понятие

Заметим, что в наглядном представлении структуры определения через род и видовое отличие мы допустили некоторые неточности. Во–первых , слова «родовое понятие» означают, что речь идет о родовом понятии по отношению к определяемому. Во-вторых , не совсем ясно, что означает знак «+», который, как известно, используется для обозначения сложения чисел. Смысл этого знака станет понятным немного позже, когда мы рассмотрим математический смысл союза «и». А пока познакомимся с еще одной возможностью наглядного представления определения через род и видовое отличие. Если определяемое понятие обозначить буквой а , определяющее буквой b, родовое понятие (по отношению к определяемому) – буквой с , а видовое отличие – буквой Р , то определение через род и видовое отличие можно представить так:

а

Почему видовое отличие обозначено заглавной буквой, мы узнаем позже.

Нам известно, что любое понятие имеет объем. Если понятие а определено через род и видовое отличие, то о его объеме – множестве А – можно сказать, что в нем содержатся такие объекты, которые принадлежат множеству С (объему родового понятия с) и обладают свойством Р: А= { х | хÎ С и Р (х)}.

Например , если дано определение: «Острым углом называется угол, который меньше прямого», - то объем понятия «острый угол» – это подмножество множества всех углов плоскости, которые обладают свойством «быть меньше прямого».

Так как определение понятия через род и видовое отличие является по существу условным соглашением о введении нового термина для замены какой – либо совокупности известных терминов, то об определении нельзя сказать, верное оно или неверное; его не доказывают и не опровергают. Но, формулируя определения, придерживаются ряда правил. Назовем основные.

Требования к определению понятий

Определение должно быть соразмерным.

Это означает, что объемы определяемого и определяющего понятий должны совпадать. Это правило вытекает из того, что определяемое и определяющее понятия взаимозаменяемы.

Соразмерны, например, понятия «прямоугольник» и «четырехугольник, в котором все углы прямые». Если же объем определяющего понятия включает в себя объем понятия определяемого, то говорят об ошибке слишком широкого определения. Так, определение «Прямые a и b называются параллельными, если они не имеют общих точек или совпадают» слишком широко, поскольку ему удовлетворяют и скрещивающие прямые. Если же объем определяющего понятия уже объема определяемого понятия, то имеет место ошибка слишком узкого определения. Например , определение «Прямые a и b называются параллельными, если они не имеют общих точек» слишком узко, поскольку ему не удовлетворяют совпадающие прямые.

В определении (или их системе) не должно быть порочного круга.

Это означает, чтонельзя определять понятие через само себя (в определении не должно содержатся определяемого термина) или определять его через другое понятие, которое определяется через него.

Возьмем такие понятия начальной математики, как “умножение” и “произведение”, и дадим им следующие определения:

Умножением чисел называется действие, при помощи которого находят произведение этих чисел.

Произведением чисел называется результат их умножения.

Видим, что умножение определяется через понятие произведение, а произведение – через понятие умножения. Определения образовали, как говорят в математике, порочный круг. В результате цепочка последовательных определений, выстроенных в рамках курса, прерывается.

Порочный круг содержится и в таком определении: «Решением уравнения называется число, которое является его решением». Здесь понятие «решение уравнения» определяется, по сути дела, через решение уравнения.

Определение должно быть ясным.

Это на первый взгляд очевидное правило, но означает оно многое. Прежде всего, требуется, чтобы значения терминов, входящих в определяющее понятие, были известны к моменту введения определения нового понятия.

Например, нельзя определять прямоугольник как параллелограмм с прямым углом, если понятие «параллелограмм» еще не рассмотрено.

К условиям ясности определения относят также рекомендацию включать в видовое отличие лишь столько свойств, сколько необходимо и достаточно для выделения определяемых объектов из объема родового понятия.

Рассмотрим, например, такое определение прямоугольника: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые и противоположные стороны равны».

Нетрудно убедится в том, что это определение соразмерное и в нем нет порочного круга. Но можно показать, что включенное в определение свойство «в прямоугольнике противоположные стороны равны» вытекает из свойства «в прямоугольнике все углы прямые». В этом случае считают, что в данном определении прямоугольника второе свойство избыточное. Следовательно, правильнее определять прямоугольник таким образом: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые».

Замечание. Чтобы определение было ясным, желательно, чтобы оно не содержало избыточных свойств в определяющей части, т.е. таких свойств, которые могут быть выделены из других, включенных в это определение. Однако иногда для простаты изложения это правило нарушают.

Для обеспечения ясности определения важно также наличие понятия, родового по отношению к определяемому. Пропуск родового понятия делает определение несоразмерным. Неприемлемо, например, такое определение квадрата: «Квадрат – это когда все стороны равны».

К сказанному следует добавить, что, формулируя определение, надо стремиться в определяющем указать не просто родовое по отношению к определяемому понятие, а ближайшее. Это часто позволяет сократить количество свойств, включаемых в видовое отличие.

Например , если для определения квадрата в качестве родового выбрать понятие «четырехугольник», то тогда надо будет включать в видовое отличие два свойства: «иметь все прямые углы» и «иметь все равные стороны». В результате получим определение: «Квадратом называется четырехугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны».

Если же в качестве родового выбрать ближайшее для квадрата родовое понятие – прямоугольник, то получим более короткое определение квадрата: «Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны».

Одно и то же понятие определить через род и видовое отличие, соблюдая сформулированные выше правила, можно по-разному.

Так, квадрат можно определить как:

а) прямоугольник, у которого соседние стороны равны;

б) прямоугольник, у которого есть прямой угол;

в) ромб, у которого есть прямой угол;

г) параллелограмм, у которого все стороны равны, а углы прямые.

Различные определения одного и того же понятия возможны потому, что из большего числа свойств, входящих в содержание понятия, в определение включаются только некоторые. И когда из возможных определений выбирают одно, исходят из того, какое из них проще и целесообразнее для дальнейшего построения теории.

Если же одному и тому же понятию даются, например , два различных определения, то необходимо доказывать их равносильность, т.е. убеждаться в том, что из свойств, включенных в одно определение, вытекают свойства, включенные в другое, и наоборот.

Завершая рассмотрение определений понятий через род и видовое отличие, назовем ту последовательность действий, которую мы должны соблюдать, если хотим воспроизвести определение знакомого понятия или построить определение нового:

1. Назвать определяемое понятие (термин).

2. Указать ближайшее родовое (по отношению к определяемому) понятие.

3. Перечислить свойства, выделяющие определяемые объекты из объема родового, т.е. сформулировать видовое отличие.

4. Проверить, выполнены ли правила определения понятия (соразмерно ли оно, нет ли порочного круга и т.д.).

Примеров явных родо-видовых отношений среди множества математических понятий, которые рассматриваются в начальных классах, не так уже и много. Но с учетом важности определения через род и видовой признак в дальнейшем обучении желательно добиваться понимания учениками сущности определения этого вида уже в начальных классах.

5. Неявные определения

При изучении математики в начальных классах определения через род и видовое отличие используются редко. Связано это как с особенностями курса, так и с возможностями детей. Но понятий в начальном курсе математики очень много – об этом мы говорили в начале лекции. Как же их определяют?

При изучении математики в начальной школе чаще всего используют так называемые неявные определения. В их структуре нельзя выделить определяемое и определяющее.

В обучении младших школьников особый интерес среди неявных определений составляют контекстуальные и остенсивные определения.

Вконтекстуальныхопределениях содержание нового понятияраскрывается через отрывок текста, через контекст, через анализ конкретнойситуации, описывающей смысл определяемого понятия с другими,известными, и тем самым косвенно раскрывается его содержание . Например , употребляя в работе с детьми такие выражения, как «найти значения выражения», «сравнить значение выражений 5 + а и (а - 3) × 2, если а = 7», «прочитать выражения, которые являются суммами», «прочитать выражения, и потом прочитать уравнения», мы раскрываем понятие «математическое выражение» как запись, которая складывается из чисел или переменных и знаков действий.

Или, примером контекстуального определения может быть определение уравнения и его решения, приведенного в учебнике математики для 3 класса. Здесь после записи ð + 6= 15 и перечня чисел 0,5,9,10 идет текст: «К какому числу надо прибавить 6, чтобы получилось 15? Обозначим неизвестное число латинской буквой х (икс):

Х + 6 = 15 – это уравнение.

Решить уравнение – значит найти неизвестное число. В данном уравнении неизвестное число равно 9, так как 9+6=15.

Объясни, почему числа 0; 5 и 10 не подходят».

Из приведенного текста следует, что уравнение – это равенство, в котором есть неизвестное число. Оно может быть обозначено буквой х и это число надо найти. Кроме того, из этого текста следует, что решение уравнения – это число, которое при подстановке вместо х обращает уравнение в верное равенство.

Почти все определения, с которыми мы встречаемся в повседневной жизни - это контекстуальные определения. Услышав, неизвестное слово, мы стараемся сами установить его значение на основании всего сказанного.

Подобное имеет место и в обучении младших школьников. Много математических понятий в начальной школе определяются через контекст. Это, например , такие понятия, как «большой - маленький», «какой-нибудь», «любой», «один», «много», «число», «арифметическое действие», «уравнение», «задача» и т.д.

Контекстуальные определения остаются большей частью неполными и незавершенными. Они применяются в связи с неподготовленностью младшего школьника к усвоению полного и тем более научного определения.

Остенсивные определния - это определения путем демонстрации . Они напоминают обычные контекстуальные определения, но контекстом здесь есть не отрывок какого-либо текста, а ситуация, в которой оказывается объект, обозначенный понятием.

Например , учитель показывает квадрат (рисунок или бумажную модель) и говорит «Смотрите - это квадрат». Это типичное остенсивное определение.

Они используются также для введения терминов путем показа объектов, которые этими терминами обозначают. Например, таким способом можно определить в начальной школе понятия равенства и неравенства:

2 × 7 > 2 × 6 9×3 = 27

78- 9 < 78 6 × 4 = 4 × 6

37+ 6 > 37 17 - 5 = 8 + 4

В начальных классах остенсивные определения применяются при рассмотрении таких понятий как «красный (белый, черный и т.д.) цвет», «левый - правый», «слева направо», «цифра», «предшествующее и следующее число», «знаки арифметических действий», «знаки сравнения», «треугольник», «четырехугольник», «куб» и т.д.

На основе усвоения остенсивным путем значений слов есть возможность вводить в словарь ребенка уже вербальное значение новых слов и словосочетаний. Остенсивные определения - и только они - связывают слово с вещами. Без них язык - лишь словесное кружево, которое не имеет объективного, предметного содержания.

Остенсивные определения, как и контекстуальные, характеризуются некоторой незавершенностью. Действительно, определение посредством показа не выделяет понятие из других предложений, в нем не указываются свойства, характерные для данных понятий. Поэтому после контекстуального или остенсивного определения понятия необходимо дальнейшее изучение свойств так определенных объектов.

Заметим, что в начальных классах допустимые определения наподобие «Словом «пятиугольник» мы будем называть многоугольник с пятью сторонами». Это так называемое «номинальное определение » .

Отдельные определения могут рассматривать понятие и по способу его образования или возникновения. Определение такого типа называют генетическими .

Примеры генетических определений : «Угол - это лучи, которые выходят с одной точки», «Диагональ прямоугольника - отрезок, который соединяет противоположные вершины прямоугольника». В начальных классах генетические определения применяют для таких понятий, как «отрезок», «ломаная», «прямой угол», «круг».

К генетическим понятиям можно отнести и определение через перечень .

Например , «Натуральный ряд чисел - это числа 1, 2, 3, 4 и т.д.».

Некоторые понятия в начальных классах вводят только через термин.

Например , единицы времени год, месяц, час, минута.

Есть в начальных классах понятия, которые подаются символическим языком в виде равенства, например, а ×1 = а, а × 0 = 0

В начальных классах много математических понятий сначала усваиваются поверхностно, расплывчато. При первом ознакомлении школьники узнают только о некоторых свойствах понятий, очень узко представляют их объем. И это закономерно. Не все понятия легко усвоить. Но бесспорно, что понимание и своевременное использование учителем тех или других видов определений математических понятий - одна из условий формирования у учеников твердых знаний об этих понятиях.

Математические понятия

Понятия, которые изучаются в начальном курсе математики, обычно представляют в виде четырех групп. В первую включаются понятия, связанные с числами и операциями над ними: число, сложение, слагаемое, больше и др. Во вторую входят алгебраические понятия: выражение, равенство, уравнения и др. Третью группу составляют геометрические понятия: прямая, отрезок, треугольник и т.д. Четвертую группу образуют понятия, связанные с величинами и их измерением.

Чтобы изучать все разнообразие понятий, надо иметь представление о понятии как логической категории и особенностях математических понятий.

В логике понятия рассматривают как форму мысли , отражающую объекты (предметы и явления) в их существенных и общих свойствах. Языковой формой понятия является слово (термин) или группа слов.

Составить понятие об объекте – это значит уметь отличить его от других сходных с ним объектов. Математические понятия обладают рядом особенностей. Главная заключается в том, что математические объекты, о которых необходимо составить понятие, в реальности не существуют. Математические объекты созданы умом человека. Это идеальные объекты, отражающие реальные предметы или явления. Например, в геометрии изучают форму и размеры предметов, не принимая во внимание другие свойства: цвет, массу, твердость и т.д. От всего этого абстрагируются. Поэтому в геометрии вместо слова «предмет» говорят «геометрическая фигура».

Результатом абстрагирования являются и такие математические понятия, как «число» и «величина».

Вообще математические объекты существуют лишь в мышлении человека и в тех знаках и символах, которые образуют математический язык.

К сказанному можно добавить, что, изучая пространственные формы и количественные отношения материального мира , математика не только пользуется различными приемами абстрагирования, но и само абстрагирование выступает как многоступенчатый процесс. В математике рассматривают не только понятия, появившиеся при изучении реальных предметов, но и понятия, возникшие на основе первых. Например, общее понятие функции как соответствия является обобщением понятий конкретных функции, т.е. абстракцией от абстракций.

1. Объем и содержание понятия. Отношения между понятиями

Всякий математический объект обладает определенными свойствами. Например, квадрат имеет четыре стороны, четыре прямых угла, равные диагонали. Можно указать и другие его свойства.

Среди свойств объекта различают существенные и несущественные . Свойство считают существенным для объекта, если оно присуще этому объекту и без него он не может существовать . Например, для квадрата существенными являются все свойства, названные выше. Несущественно для квадрата АВСD свойство «сторона АВ горизонтальна».

Когда говорят о математическом понятии, то обычно имеют в виду множество объектов, обозначаемых одним термином (словом или группой слов). Так, говоря о квадрате, имеют в виду все геометрические фигуры, являющиеся квадратами. Считают, что множество всех квадратов составляет объем понятия «квадрат».

Вообще, объем понятия – это множество всех объектов, обозначаемых одним термином.

Любое понятие имеет не только объем, но и содержание.

Рассмотрим, например, понятие «прямоугольник».

Объем понятия – это множество различных прямоугольников, а в его содержание входят такие свойства прямоугольников, как «иметь четыре прямых угла», «иметь равные противоположные стороны», «иметь равные диагонали» и т.д.

Между объемом понятия и его содержанием существует взаимосвязь: если увеличивается объем понятия, то уменьшается его содержание, и наоборот . Так, например, объем понятия «квадрат» является частью объема понятия «прямоугольник», а в содержании понятия «квадрат» содержится больше свойств, чем в содержании понятия «прямоугольник» («все стороны равны», «диагонали взаимно перпендикулярны» и др.).

Любое понятие нельзя усвоить, не осознав его взаимосвязи с другими понятиями. Поэтому важно знать, в каких отношениях могут находиться понятия, и уметь устанавливать эти связи.

Отношения между понятиями тесно связаны с отношениями между их объемами, т.е. множествами.

Условимся понятия обозначать строчными буквами латинского алфавита: а, b, c, d, …, z.

Пусть заданы два понятия а и b. Объемы их обозначим соответственно А и В.

Если А ⊂ В (А ≠ В), то говорят, что понятие а – видовое по отношению к понятию b, а понятие b – родовое по отношению к понятию а.

Например, если а – «прямоугольник», b – «четырехугольник», то их объемы А и В находятся в отношении включения (А ⊂ В и А ≠ В), поэтому всякий прямоугольник является четырехугольником. Поэтому можно утверждать, что понятие «прямоугольник» - видовое по отношению к понятию «четырехугольник», а понятие «четырехугольник» - родовое по отношению к понятию «прямоугольник».

Если А = В, то говорят, что понятия А и В тождественны.

Например, тождественны понятия «равносторонний треугольник» и «равнобедренный треугольник», так как их объемы совпадают.

Рассмотрим подробнее отношение рода и вида между понятиями.

1. Во-первых, понятия рода и вида относительны: одно и то же понятие может быть родовым по отношению к одному понятию и видовым по отношению к другому. Например, понятие «прямоугольник» - родовое по отношению к понятию «квадрат» и видовое по отношению к понятию «четырехугольник».

2. Во-вторых, для данного понятия часто можно указать несколько родовых понятий. Так, для понятия «прямоугольник» родовыми являются понятия «четырехугольник», «параллелограмм», «многоугольник». Среди указанных можно указать ближайшее. Для понятия «прямоугольник» ближайшим является понятие «параллелограмм».

3. В-третьих, видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия. Например, квадрат, являясь видовым понятием по отношению к понятию «прямоугольник», обладает всеми свойствами, присущими прямоугольнику.

Так как объем понятия – множество, удобно, устанавливая отношения между объемами понятий, изображать их при помощи кругов Эйлера.

Установим, например, отношения между следующими парами понятий а и b, если:

1) а – «прямоугольник», b – «ромб»;

2) а – «многоугольник», b – «параллелограмм»;

3) а – «прямая», b – «отрезок».

Отношения между множествами отображены на рисунке соответственно

2. Определение понятий . Определяемые и неопределяемые понятия.

Появление в математике новых понятий, а значит, и новых терминов, обозначающих эти понятия, предполагает их определение.

Определением обычно называют предложение, разъясняющее суть нового термина (или обозначения). Как правило, делают это на основе ранее введенных понятий. Например, прямоугольник можно определить так: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые». В этом определении есть две части – определяемое понятие (прямоугольник) и определяющее понятие (четырехугольник, у которого все углы прямые). Если обозначить через а первое понятие, а через b – второе, то данное определение можно представить в таком виде:

а есть (по определению) b.

Слова «есть (по определению)» обычно заменяют символом ⇔, и тогда определение выглядит так:

Читают: «а равносильно b по определению». Можно прочитать эту запись еще и так: «а тогда и только тогда, когда b.

Определения, имеющие такую структуру, называются явными . Рассмотрим их подробнее.

Обратимся ко второй части определения «прямоугольник».

В нем можно выделить:

1) понятие «четырехугольник», которое является родовым по отношению к понятию «прямоугольник».

2) свойство «иметь все углы прямые», которое позволяет выделить из всевозможных четырехугольников один вид – прямоугольники; поэтому его называют видовым отличием.

Вообще видовое отличие – это свойства (одно или несколько), которые позволяют выделить определяемые объекты из объема родового понятия.

Итоги нашего анализа можно представить в виде схемы:

Знак «+» используется как замена частица «и».

Нам известно, что любое понятие имеет объем. Если понятие а определено через род и видовое отличие, то о его объеме – множестве А – можно сказать, что в нем содержатся такие объекты, которые принадлежат множеству С (объему родового понятия с) и обладают свойством Р:

А = {х/ х ∈ С и Р(х)}.

Так как определение понятия через род и видовое отличие является по существу условным соглашением о введении нового термина для замены какой-либо совокупности известных терминов, то об определении нельзя сказать, верное оно или неверное; его не доказывают и не опровергают. Но, формулируя определения, придерживаются ряда правил. Назовем их.

1. Определение должно быть соразмерным . Это означает, что объемы определяемого и определяющего понятий должны совпадать.

2. В определении (или их системе) не должно быть порочного круга . Это означает, что нельзя определять понятие через само себя.

3. Определение должно быть ясным . Требуется, например, чтобы значения терминов, входящих в определяющее понятие, были известны к моменту введения определения нового понятия.

4. Одно и то же понятие определить через род и видовое отличие, соблюдая сформулированные выше правила, можно по-разному . Так, квадрат можно определить как:

а) прямоугольник, у которого соседние стороны равны;

б) прямоугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны;

в) ромб, у которого есть прямой угол;

г) параллелограмм, у которого все стороны равны, а углы прямые.

Различные определения одного и того же понятия возможны потому, что из большого числа свойств, входящих в содержание понятия, в определение включаются только некоторые. И тогда из возможных определений выбирают одно, исходят из того, какое из них проще и целесообразнее для дальнейшего построения теории.

Назовем ту последовательность действий, которую мы должны соблюдать, если хотим воспроизвести определение знакомого понятия или построить определение нового:

1. Назвать определяемое понятие (термин).

2. Указать ближайшее родовое понятие (по отношению к определяемому) понятие.

3. Перечислить свойства, выделяющие определяемые объекты из объема родового, т.е сформулировать видовое отличие.

4. Проверить, выполнены ли правила определения понятия (соразмерно ли оно, нет ли порочного круга и т.д.).

Материал из Юнциклопедии

Определение - математическое предложение, предназначенное для введения нового понятия на основе уже известных нам понятий. В определении обычно содержится слово «называется». Например, определение ромба формулируется следующим образом: «Ромбом называется параллелограмм, две смежные стороны которого равны между собой». В этом определении новое понятие «ромб» введено на основе ряда понятий, уже известных к этому времени: «параллелограмм», «сторона», «смежные стороны», «равенство отрезков». Эти ранее введенные понятия, в свою очередь, определяются через предыдущие. Например, «параллелограмм» определяется через ранее введенные понятия «четырехугольник», «противоположные стороны четырехугольника», «параллельные прямые». В конце концов мы приходим к небольшому числу первоначальных понятий, через которые можно определить все встречающиеся в курсе геометрии понятия. Сами же первоначальные понятия не определяются, а их свойства описываются аксиомами.

Данное выше определение ромба можно записать в виде:

(дан параллелограмм ABCD) (АВ = ВС) опр⇒ (ABCD- ромб).

Эта запись похожа на запись теоремы (см. Необходимое и достаточное условия), но здесь назначение частей этой записи иное. Первая часть записи (аналогичная разъяснительной части теоремы) указывает родовое понятие, с помощью которого вводится новое понятие. В данном случае родовым понятием является параллелограмм, т.е. ромбы выделяются из множества всех параллелограммов. Вторая часть определения (аналогичная условию теоремы) указывает видовые отличия, т.е. те свойства, которыми должен обладать параллелограмм, чтобы его можно было назвать ромбом. Наконец, третья часть определения (аналогичная заключению теоремы) вводит новый термин, т.е. название вводимого понятия-в данном случае «ромб». То, что ABCD является ромбом (при выполнении видовых отличий), доказывать не нужно-это справедливо по определению. Поэтому под знаком => ставят запись «опр.», которая указывает, что мы имеем дело с определением, а не с теоремой.

Еще один пример: квадратом называется ромб, один из углов которого-прямой. Это можно записать так:

(дан ромб ABCD) (∠A = 90°) опр⇒ (ABCD-квадрат).

Здесь родовое понятие - ромб, видовое отличие задается равенством ∠А = 90° (т. е. один из углов - прямой), а новый термин (т.е. название вводимого понятия) - квадрат (рис. 1).

Аналогично могут быть рассмотрены и другие определения. Например, при рассмотрении поля родовым понятием является множество, а видовыми отличиями-аксиомы поля (см. Аксиоматика и аксиоматический метод).

В принципе можно обойтись вовсе без определений, излагая какую-либо математическую теорию. Например, можно изгнать термин «гипотенуза» из школьного курса геометрии, заменив его всюду на «сторона треугольника, лежащая против прямого угла». Уже из этого примера видно, насколько такая замена удлиняет текст (и осложняет его понимание), а ведь мы заменяем только одно слово! Легко представить себе, что было бы, если бы мы захотели излагать геометрию (и не только геометрию) вовсе без определений!

Давая определения, нужно следить за тем, чтобы не возникло порочного круга. Такой порочный круг возникнет, например, если мы определим простое число как число, не являющееся составным, а затем определим составное число как число, не являющееся простым. Ясно, что такие «определения», по сути дела, ничего не определяют. Другими словами, нельзя, чтобы какое-то понятие А 1 определялось через A 2 , А 2 - через А 3 , ..., А k-1 - через Ак, а А k - снова через А 1 .