Размерность подобия: некоторые тонкости. Один и тот же объект может иметь множество моделей, а разные объекты могут описываться одной моделью

Краткий синопсис

P.S. Весьма «сухой язык», но вполне читабельно после университетской программы. По большей части определения парадоксов брались из Википедии (упрощённая формулировка и готовая TeX-разметка).

Введение

Следует начать с определения.

Что есть множество? Вопрос достаточно простой, ответ на него вполне интуитивен. Множество это некий набор элементов, представляемый единым объектом. Кантор в своей работе Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre даёт определение: под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое определённых хорошо различимых предметов нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества ) . Как видим, суть не изменилась, разница лишь в той части, которая зависит от мировоззрения определяющего. История же теории множеств как в логике так и в математике весьма противоречива. Фактически начало ей положил Кантор в XIX веке, далее Рассел и остальные продолжили работу.

Парадоксы (логики и теории множеств) - (от др.-греч. παράδοξος - неожиданный, странный от др.-греч. παρα-δοκέω - кажусь) - формально-логические противоречия, которые возникают в содержательной множеств теории и формальной логике при сохранении логической правильности рассуждения. Парадоксы возникают тогда, когда два взаимоисключающих (противоречащих) суждения оказываются в равной мере доказуемыми. Парадоксы могут появиться как в пределах научной теории, так и в обычных рассуждениях (например, приводимая Расселом перифраза его парадокса о множестве всех нормальных множеств: «Деревенский парикмахер бреет всех тех и только тех жителей своей деревни, которые не бреются сами. Должен ли он брить самого себя?»). Поскольку формально-логическое противоречие разрушает рассуждение как средство обнаружения и доказательства истины (в теории, в которой появляется парадокс, доказуемо любое, как истинное, так и ложное, предложение), возникает задача выявления источников подобных противоречий и нахождения способов их устранения. Проблема философского осмысления конкретных решений парадоксов - одна из важных методологических проблем формальной логики и логических оснований математики.

Целью данной работы является изучение парадоксов теории множеств как наследников античных антиномий и вполне логичных следствий перехода к новому уровню абстракции - бесконечности. Задача - рассмотреть основные парадоксы, их философскую интерпретацию.

Основные парадоксы теории множеств

Брадобрей бреет только тех людей, которые не бреются сами. Бреет ли он себя?

Некоторые из логических парадоксов были известны с античных времён, однако по причине того, что математическая теория ограничивалась одной лишь арифметикой и геометрией, соотнести их с теорией множеств было невозможно. В XIX веке ситуация изменилась коренным образом: Кантор в своих работах вышел на новый уровень абстракции. Он ввёл понятие бесконечности, создав тем самым новый раздел математики и позволив тем самым сравнивать различные бесконечности с помощью понятия «мощность множества» . Однако тем самым он породил множество парадоксов. Самым первым является так называемый парадокс Бурали-Форти . В математической литературе встречаются различные формулировки, опирающиеся на разную терминологию и предполагаемый набор известных теорем. Вот одно из формальных определений.

Можно доказать, что если - произвольное множество порядковых чисел, то множество-сумма есть порядковое число, большее или равное каждому из элементов . Предположим теперь, что - множество всех порядковых чисел. Тогда - порядковое число, большее или равное любому из чисел в . Но тогда и - порядковое число, причём уже строго большее, а значит, и не равное любому из чисел в . Но это противоречит условию, по которому - множество всех порядковых чисел.

Сущность же парадокса в том, что при образовании множества всех порядковых чисел образуется новый порядковый тип, которого ещё не было среди «всех» трансфинитных порядковых чисел, существовавших до образования множества всех порядковых чисел. Этот парадокс был обнаружен самим Кантором, независимо открыт и опубликован итальянским математиком Бурали-Форти, ошибки же последнего были исправлены Расселом, после чего формулировка приобрела окончательный вид .

Среди всех попыток избежать подобных парадоксов и в какой-то мере попробовать их объяснить наибольшего внимания заслуживает идея уже упомянутого Рассела. Он предложил исключить из математики и логики импредикативные предложения, в которых определение элемента множества зависит от последнего, что и вызывает парадоксы. Правило звучит так: «никакое множество не может содержать элементов , определяемых лишь в терминах множества , а так же элементов , предполагающих в своём определении это множество» . Подобное ограничение определения множества позволяет избежать парадоксов, но при этом значительно сужает область его применения в математике. Вдобавок этого недостаточно для объяснения их природы и причин появления, коренящихся в дихотомии мышления и языка, в особенностях формальной логики . В какой-то мере в данном ограничении можно проследить аналогию с тем, что в более поздний период когнитивные психологи и лингвисты начали называть «категоризацией основного уровня»: определение сведено к наиболее легкой для понимания и изучения концепцией.

Парадокс Кантора . Предположим, что множество всех множеств существует. В этом случае справедливо , то есть всякое множество является подмножеством . Но из этого следует - мощность любого множества не превосходит мощности . Но в силу аксиомы множества всех подмножеств, для , как и любого множества, существует множество всех подмножеств , и по теореме Кантора , что противоречит предыдущему утверждению. Следовательно, не может существовать, что вступает в противоречие с «наивной» гипотезой о том, что любое синтаксически корректное логическое условие определяет множество, то есть что для любой формулы , не содержащей свободно. Замечательное доказательство отсутствия подобных противоречий на основе аксиоматизированной теории множеств Цермело-Френкеля приводится у Поттера .

Оба вышеуказанных парадокса с логической точки зрения идентичны «Лжецу» либо «Брадобрею»: высказываемое суждение обращено не только на нечто объективное по отношению к нему, но и само на себя. Однако следует обращать внимание не только на логическую сторону, но и на понятие бесконечности, которое тут наличествует. В литературе ссылаются на работу Пуанкаре, в которой он пишет: "вера в существование актуальной бесконечности… делает необходимым эти непредикативные определения" .

В целом же имеют место основные моменты :

1. в данных парадоксах нарушается правило чётко разделять „сферы“ предиката и субъекта; степень смешения близка к подмене одного понятия другим;
2. обычно в логике предполагается, что в процессе рассуждения субъект и предикат сохраняют свой объём и содержание, в данном же случае происходит переход из одной категории в другую, что даёт в результате несоответствие;
3. наличие слова „все“ имеет смысл для конечного числа элементов, в случае же бесконечного их количества возможно наличие такого, которое для определения себя потребует определение множества;
4. нарушаются основные логические законы:
   1. закон тождества нарушается тогда, когда обнаруживается нетождественность себе субъекта и предиката;
   2. закон противоречия - когда с одинаковым правом выводятся два противоречащих друг другу суждения;
   3. закон исключённого третьего - когда это третье приходится признавать, а не исключать, поскольку ни первое, ни второе не могут быть признаны одно без другого, т.к. они оказываются одинаково правомерными.

Парадокс Тристрама Шенди . В романе Стерна «Жизнь и мнения Тристрама Шенди, джентльмена» герой обнаруживает, что ему потребовался целый год, чтобы изложить события первого дня его жизни, и еще один год понадобился, чтобы описать второй день. В связи с этим герой сетует, что материал его биографии будет накапливаться быстрее, чем он сможет его обработать, и он никогда не сможет ее завершить. «Теперь я утверждаю, - возражает на это Рассел, - что если бы он жил вечно и его работа не стала бы ему в тягость, даже если бы его жизнь продолжала быть столь же богатой событиями, как вначале, то ни одна из частей его биографии не осталась бы ненаписанной».

Действительно, события -го дня Шенди мог бы описать за -й год и, таким образом, в его автобиографии каждый день оказался бы запечатленным. Иначе говоря, если бы жизнь длилась бесконечно, то она насчитывала бы столько же лет, сколько дней.

Рассел проводит аналогию между этим романом и Зеноном с его черепахой. По его мнению решение лежит в том, что целое эквивалентно его части в бесконечности. Т.е. к противоречию приводит только «аксиома здравого смысла» . Однако же разрешение проблемы лежит в области чистой математики. Очевидно, что имеется два множества - года и дни, между элементами которых установлено взаимно-однозначное соответствие - биекция. Тогда при условии бесконечной жизни главного героя имеется два бесконечных равномощных множества, что, если рассматривать мощность как обобщение понятия количества элементов в множестве, разрешает парадокс.

Парадокс (теорема) Банаха-Тарского или парадокс удвоения шара - теорема в теории множеств, утверждающая, что трёхмерный шар равносоставлен двум своим копиям.

Два подмножества евклидова пространства называются равносоставленными, если одно можно разбить на конечное число частей, передвинуть их, и составить из них второе. Более точно, два множества и являются равносоставленными, если их можно представить как конечное объединение непересекающихся подмножеств и так, что для каждого подмножество конгруэнтно .

Если же пользоваться теоремой выбора, то определение звучит так:

Аксиома выбора подразумевает, что существует разбиение поверхности единичной сферы на конечное количество частей, которые преобразованиями трёхмерного Евклидова пространства, не меняющими форму этих составляющих, могут быть собраны в две сферы единичного радиуса.

Очевидно, что при требовании для данных частей быть измеримыми, данное постоение неосуществимо. Известный физик Ричард Фейнман в своей биографии рассказывал, как в своё время у него получилось победить в споре о разбиении апельсина на конечное количество частей и пересоставлении его .

В определённых моментах этот парадокс используется для опровержения аксиомы выбора, однако проблема в том, что то, что мы считаем элементарной геометрией, - несущественно. Те понятия, которые мы считаем интуитивными, должны быть расширены до уровня свойств трансцендентных функций .

Чтобы и дальше ослабить уверенность тех, кто считает аксиому выбора неверной, следует упомянуть теорему Мазуркевича и Серпинского, которая утверждает, что существует непустое подмножество Евклидовой плоскости, которое имеет два непересекающихся подмножества, каждое из которых может быть разбито на конечное количество частей, так что их можно перевести изометриями в покрытие множества . При этом доказательство не требует использования аксиомы выбора. Дальнейшие же построения на основе аксиомы определённости дают разрешение парадокса Банаха-Тарского, но не представляют такого интереса .

1. Парадокс Ришара : требуется назвать «наименьшее число, не названное в этой книге». Противоречие в том, что с одной стороны, это можно сделать, так как есть наименьшее число, названное в этой книге. Исходя из него, можно назвать и наименьшее неназванное. Но тут возникает проблема: континуум является несчётным, между двумя любыми числами можно вставить ещё бесконечное множество промежуточных чисел. С другой стороны, если бы мы могли назвать это число, оно автоматически бы перешло из класса неупомянутых в книге, в класс упомянутых .
2. Парадокс Греллинга-Нильсона : слова либо знаки могут обозначать какое-либо свойство и при этом иметь его или нет. Самая тривиальная формулировка звучит так: является ли слово «гетерологичный» (что означает «неприменимый к самому себе»), гетерологичным?.. Весьма схож с парадоксом Рассела в связи с наличием диалектического противоречия: нарушается двойственность формы и содержания. В случае со словами, имеющими высокий уровень абстракции, невозможно решить, являются ли эти слова гетерологичными .
3. Парадокс Сколема : используя теорему Гёделя о полноте и теорему Лёвенхейма-Сколема получаем, что аксиоматическая теория множеств остаётся истинной и тогда, когда будет предполагаться (иметься) для её интерпретации только счётная совокупность множеств. В то же время аксиоматическая теория включает в себя уже упомянутую теорему Кантора, что приводит нас к несчётным бесконечным множествам.

Разрешение парадоксов

Логицизм был попыткой свести всю известную математику к терминам арифметики, а потом термины арифметики свести к понятиям математической логики. Вплотную этим занялся Фреге, однако после окончания работы над трудом, он вынужден был указать о своей несостоятельности, после того, как Рассел указал на имеющиеся в теории противоречия. Тот же Рассел, как уже был упомянуто ранее, попытался исключить использование импредикативных определений с помощью «теории типов». Однако его понятия множества и бесконечности, а так же аксиома сводимости оказались нелогичными. Основной проблемой было то, что не учитывались качественные различия между формальной и математической логикой, а так же наличие лишних понятий, в том числе и интуитивного характера.
В итоге теория логицизма не смогла устранить диалектических противоречий парадоксов, связанных с бесконечностью. Имели место лишь принципы и методы, которые позволяли избавиться хотя бы от непредикативных определений. В свох же рассуждениях Рассел был наследником Кантора

В конце XIX - начале XX в. распространение формалистической точки зрения на математику было связано с развитием аксиоматического метода и той программой обоснования математики, которую выдвинул Д. Гильберт. На степень важности этого факта указывает то, что первой проблемой из двадцати трёх, которые он поставил перед математическим сообществом, была проблема бесконечности. Формализация была необходима для доказательства непротиворечивости классической математики, «исключив при этом из неё всю метафизику». Учитывая средства и методы, которыми пользовался Гильберт, его цель оказалась принципиально невыполнимой, но его программа имела огромное влияние на все последующее развитие оснований математики. Гильберт достаточно долго работал над этой проблемой, построив первоначально аксиоматику геометрии. Поскольку решение проблемы оказалось достаточно успешным, он решил применить аксиоматический метод к теории натуральных чисел. Вот что он писал в связи с этим: «Я преследую важную цель: именно я хотел бы разделаться с вопросами обоснования математики как таковыми, превратив каждое математическое высказывание в строго выводимую формулу.» От бесконечности при этом планировалось избавиться с помощью сведения её к некому конечному числу операций. Для этого он обращался к физике с её атомизмом, дабы показать всю несостоятельность бесконечных величин. Фактически Гильберт поставил вопрос о соотношении теории и объективной реальности.

Более или менее полное представление о финитных методах дает ученик Гильберта Ж. Эрбран. Под финитными рассуждениями он понимает такие рассуждения, которые удовлетворяют следующим условиям: логические парадоксы

Всегда рассматривается лишь конечное и определенное число предметов и функций;

Функции имеют точное определение, и это определение позволяет нам вычислить их значение;

Никогда не утверждается «Этот объект существует», если не известен способ его построения;

Никогда не рассматривается множество всех предметов X какой-либо бесконечной совокупности;

Если известно, что какое-либо рассуждение или теорема верны для всех этих X , то это означает, что это общее рассуждение можно повторить для каждого конкретного X , причем само это общее рассуждение следует рассматривать только как образец для проведения таких конкретных рассуждений.

Что же, собственно, доказал Гёдель? Можно выделить три основных результата:

1. Гёдель показал невозможность математического доказательства непротиворечивости любой системы, достаточно обширной, чтобы включать в себя всю арифметику, доказательства, которое не использовало бы каких-либо иных правил вывода, кроме тех, что имеются в самой данной системе. Такое доказательство, которое использует более мощное правило вывода, может оказаться полезным. Но если эти правила вывода сильнее логических средств арифметического исчисления, то уверенности в непротиворечивости используемых в доказательстве допущений не будет. Во всяком случае, если используемые методы не будут финитистскими, то программа Гильберта окажется невыполнимой. Гёдель как раз и показывает несостоятельность расчетов на нахождение финитистского доказательства непротиворечивости арифметики.

2. Гёдель указал на принципиальную ограниченность возможностей аксиоматического метода: система Principia Mathematica, как и всякая иная система, с помощью которой строится арифметика, существенно неполна, т. е. для любой непротиворечивой системы арифметических аксиом имеются истинные арифметические предложения, которые не выводятся из аксиом этой системы.

3. Теорема Гёделя показывает, что никакое расширение арифметической системы не может сделать ее полной, и даже если мы наполним ее бесконечным множеством аксиом, то в новой системе всегда найдутся истинные, но не выводимые средствами этой системы положения. Аксиоматический подход к арифметике натуральных чисел не в состоянии охватить всю область истинных арифметических суждений, и то, что мы понимаем под процессом математического доказательства, не сводится к использованию аксиоматического метода. После теоремы Гёделя стало бессмысленно рассчитывать, что понятию убедительного математического доказательства можно будет придать раз и навсегда очерченные формы.

Он прошел ряд этапов в своей эволюции - полуинтуиционизм, собственно интуиционизм, ультраинтуиционизм. На разных этапах математиков волновали разные проблемы, но одной из основных проблем математики является проблема бесконечности. Математические понятия бесконечности, непрерывности служили предметом философского анализа с момента их появления (идеи атомистов, апории Зенона Элейского, инфинитезимальные методы в античности, исчисление бесконечно малых в Новое время и пр.). Наибольшие споры вызывало применение различных видов бесконечности (потенциальной, актуальной) как математических объектов и их интерпретация. Все эти проблемы, на наш взгляд, были порождены более глубокой проблемой - о роли субъекта в научном познании. Дело в том, что состояние кризиса в математике порождено эпистемологической неопределенностью соизмерения мира объекта (бесконечности) и мира субъекта. Математик как субъект имеет возможность выбора средств познания - или потенциальной, или актуальной бесконечности. Применение потенциальной бесконечности как становящейся, дает ему возможность осуществлять, конструировать бесконечное множество построений, которые можно надстраивать над конечными, не имея конечного шага, не завершая построение, оно только возможно. Применение актуальной бесконечности дает ему возможность работать с бесконечностью как с уже осуществимой, завершенной в своем построении, как актуально данной одновременно.

На этапе полуинтуиционизма проблема бесконечности еще не была самостоятельной, а была вплетена в проблему построения математических объектов и способов его обоснования. Полуинтуиционизм А. Пуанкаре и представителей парижской школы теории функций Бэра, Лебега и Бореля был направлен против принятия аксиомы свободного выбора, с помощью которой доказывается теорема Цермело, утверждавшая, что всякое множество можно сделать вполне упорядоченным, но без указания теоретического способа определения элементов любого подмножества искомого множества. Нет способа построения математического объекта, нет и самого математического объекта. Математики считали, что наличие или отсутствие теоретического способа построения последовательности объектов исследования может служить основой обоснования или опровержения этой аксиомы. В российском варианте полуинтуиционистская концепция в философских основаниях математики получила развитие в таком направлении, как эффективизм, развиваемый Н.Н. Лузиным. Эффективизм представляет собой оппозицию к основным абстракциям учения множества Кантора о бесконечном - актуальности, выбора, трансфинитной индукции и др.

Для эффективизма гносеологически более ценными абстракциями является абстракция потенциальной осуществимости, чем абстракция актуальной бесконечности. Благодаря этому становится возможным введение понятия о трансфинитных ординалах (бесконечных порядковых числах) на основе эффективного понятия о росте функций. Гносеологическая установка эффективизма для отображения непрерывного (континуума) опиралась на дискретные средства (арифметики) и созданную Н.Н.Лузиным дескриптивную теорию множеств (функций). Интуиционизм голландца Л. Э. Я. Брауэра, Г. Вейля, А. Гейтинга в качестве традиционного объекта исследования видит свободно становящиеся последовательности различных видов. На этом этапе, решая собственно математические проблемы, в том числе о перестройке всей математики на новой основе, интуиционисты подняли философский вопрос о роли математика как познающего субъекта. Каково его положение, где он более свободен и активен в выборе средств познания? Интуиционисты первыми (и на этапе полуинтуиционизма) стали критиковать концепцию актуальной бесконечности, канторовскую теорию множеств, усмотрев в ней ущемление возможностей субъекта влиять на процесс научного поиска решения конструктивной задачи. В случае использования потенциальной бесконечности субъект себя не обманывает, так как для него идея потенциальной бесконечности интуитивно значительно яснее, чем идея актуальной бесконечности. Для интуициониста объект считается существующим, если он дан непосредственно математику или известен метод его построения, конструирования. Субъект в любом случае может приступить к процессу достраивания ряда элементов своего множества. Непостроенный объект для интуиционистов не существует. В то же время субъект, работающий с актуальной бесконечностью, будет лишен этой возможности и будет чувствовать двойную уязвимость принятой позиции:

1) никогда нельзя осуществить это бесконечное построение;

2) он принимает решение оперировать с актуальной бесконечностью как с конечным объектом и в этом случае теряет свою специфику понятия бесконечности. Интуиционизм сознательно ограничивает возможности математика тем, что тот может осуществлять построение математических объектов исключительно посредством таких средств, которые хотя и получаемы с помощью абстрактных понятий, но эффективны, убедительны, доказуемы, функционально конструктивны именно практически и сами интуитивно ясны как конструкции, построения, надежность которых на практике не вызывает никаких сомнений. Интуиционизм, опираясь на понятие потенциальной бесконечности и конструктивные методы исследования, имеет дело с математикой становления, теория множеств относится к математике бытия.

В своих отчасти мистических работах он не отрицает наличие бесконечности, однако не допускает её актуализации, лишь потенциализацию. Главное для него - интерпретация и обоснование практически используемых логических средств и математических рассуждений. Принятое интуиционистами ограничение преодолевает неопределенность использования понятия бесконечности в математике и выражает стремление преодолеть кризис в основании математики.

Ультраинтуиционизм (А.Н. Колмогоров, А.А.Марков и др.) - последняя стадия развития интуиционизма, на которой модернизируются, существенно дополняются и преобразуются основные его идеи, не изменяя его сущности, но преодолевая недостатки и усиливая позитивные стороны, руководствуясь критериями математической строгости. Слабостью подхода интуиционистов было узкое понимание роли интуиции как единственного источника обоснования правильности и эффективности математических методов. Принимая «интуитивную ясность» в качестве критерия истинности в математике, интуиционисты методологически обедняли возможности математика как субъекта познания, сводили его деятельность лишь к мыслительным операциям на основе интуиции и не включали практику в процесс математического познания. Ультраинтуиционистская программа обоснования математики является российским приоритетом. Поэтому отечественные математики, преодолевая ограниченность интуиционизма, принимали действенной методологию материалистической диалектики, признающей человеческую практику источником формирования как математических понятий, так и математических методов (умозаключений, построений). Проблему существования математических объектов ультраинтуиционисты решали, опираясь уже не на неопределяемое субъективное понятие интуиции, а на математическую практику и конкретный механизм построения математического объекта - алгоритм, выражаемый вычислимой, рекурсивной функцией.

Ультраинтуиционизм усиливает достоинства интуиционизма, заключающиеся в возможности упорядочивания и обобщения приемов решения конструктивных проблем, употребляемых математиками любого направления. Поэтому интуиционизм последней стадии (ультраинтуиционизм) близок конструктивизму в математике. В гносеологическом аспекте основные идеи и принципы ультраинтуиционизма таковы: критика классической аксиоматики логики; использование и значительное усиление (по явному указанию А.А. Маркова) роли абстракции отождествления (мысленного отвлечения от несходных свойств предметов и одновременного вычленения общих свойств предметов) как способа построения и конструктивного понимания абстрактных понятий, математических суждений; доказательство непротиворечивости непротиворечивых теорий. В формальном аспекте применение абстракции отождествления оправдывается тремя ее свойствами (аксиомами) равенства - рефлексивности, транзитивности и симметрии.

Для решения основного противоречия в математике по проблеме бесконечности, породившего кризис ее оснований, на этапе ультраинтуиционизма в работах А.Н. Колмогорова были предложены пути выхода из кризиса посредством решения проблемы отношений между классической и интуиционистской логикой, классической и интуиционистской математикой. Интуиционизм Брауэра в целом отрицал логику, но так как любой математик не может обойтись без логики, в интуиционизме все-таки сохранилась практика логических рассуждений, допускались некоторые принципы классической логики, имеющей в качестве своей базы аксиоматику. С.К. Клини, Р. Весли даже отмечают, что интуиционистскую математику можно описать в виде некоторого исчисления, а исчисление является способом организации математического знания на основах логики, формализации и ее формы - алгоритмизации. Новый вариант соотношения логики и математики в рамках интуиционистских требований к интуитивной ясности суждений, особенно тех, которые включали отрицание, А.Н. Колмогоров предложил следующим образом: интуиционистскую логику, тесно связанную с интуиционистской математикой, он представил в форме аксиоматического импликативного минимального исчисления высказываний и предикатов. Тем самым ученый представил новую модель математического знания, преодолевающую ограниченность интуиционизма в признании лишь интуиции как средства познания и ограниченность логицизма, абсолютизирующего возможности логики в математике. Эта позиция позволила в математической форме продемонстрировать синтез интуитивного и логического как основы гибкой рациональности и ее конструктивной эффективности.

Важным моментом так же является интуиция в познании и, в частности, в образовании математических понятий. Опять же идёт борьба с философией, попытки исключить закон исключённого третьего, как не имеющий смысла в математике и пришедший в неё из философии. Однако же наличие излишнего акцента на интуицию и отстутствие чётких математических обоснований не позволили перевести математику на твёрдый фундамент.

Однако после появления в 1930-х годах строгого понятия алгоритма эстафету от интуиционизма принял математический конструктивизм, представители которого внесли немалый вклад в современную теорию вычислимости. Кроме того, в 1970-е и 1980-е годы обнаружились существенные связи между некоторыми идеями интуиционистов (даже теми, которые раньше казались абсурдными) и математической теорией топосов. Математика, имеющаяся в некоторых топосах, весьма напоминает ту, которую пытались создать интуиционисты.

В качестве итога можно сделать утверждение: большинство из вышеуказанных парадоксов попросту не существуют в теории множеств с самопринадлежностью . Является ли подобный подход окончательным - спорный вопрос, дальнейшие работы в этой области покажут.

Заключение

Закончен ли третий кризис математики (потому как он находился в причинно-следственной связи с парадоксами; теперь же парадоксы - неотъемлемая часть) - тут мнения расходятся, хотя формально известные парадоксы к 1907-му году были устранены. Впрочем, сейчас в математике имеются и другие обстоятельства, которые можно считать либо кризисными, либо предвещающими кризис (например), отсутствие строгого обснования у континуального интеграла).

Что же касается парадоксов, то весьма важную роль в математике сыграл известный парадокс лжеца, а так же целая серия парадоксов в так называемой наивной (предшествовавшей аксиоматической) теории множеств, вызвавших кризис оснований (один из таких парадоксов сыграл роковую роль в жизни Г. Фреге). Но, возможно, одним из самых недооценённых явлений в современной математике, которое вполне можно назвать и парадоксальным, и кризисным, является решение Полом Коэном в 1963 году первой проблемы Гильберта. Точнее, не сам факт решения, а характер этого решения .

Литература

1. Georg Cantor. Beiträge zur begründung der transfiniten mengenlehre. Mathematische Annalen, 46:481-512, 1895.
2. И.Н. Бурова. Парадоксы теории множеств и диалектика. Наука, 1976.
3. M.D. Potter. Set theory and its philosophy: a critical introduction. Oxford University Press, Incorporated, 2004.
4. Жуков Н.И. Философские основания математики. Мн.: Университетское, 1990.
5. Фейнман Р.Ф., С. Ильин. Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман!: похождения удивительного человека, поведанные им Р. Лейтону. КоЛибри, 2008.
6. О. М. Мижевич. Два способа преодоления парадоксов в теории множеств Г. Кантора. Логико-философские штудии, (3):279-299, 2005.
7. С. И. Масалова. ФИЛОСОФИЯ ИНТУИЦИОНИСТСКОЙ МАТЕМАТИКИ. Вестник ДГТУ, (4), 2006.
8. Чечулин В.Л. Теория множеств с самопринадлежностью (основания и некоторые приложения). Перм. гос. ун-т. – Пермь, 2012.
9. С. Н. Тронин. Краткий конспект лекций по дисциплине "Философия математики". Казань, 2012.
10. Гришин В.Н., Бочвар Д.А. Исследования по теории множеств и неклассическим логикам. Наука, 1976.
11. Хофштадтер Д. Гедель, Эшер, Бах: эта бесконечная гирлянда. Бахрах-М, 2001.
12. Кабаков Ф.А., Мендельсон Э. Введение в математическую логику. Издательство «Наука», 1976.
13. Д.А. Бочвар. К вопросу о парадоксах математической логики и теории множеств. Математический сборник, 57(3):369-384, 1944.

Customer reviews

9.2 You will receive a Certificate of Attendance at the end of the contract period. If any portion of the Service, use of the Service, violation of other"s rights, or otherwise unlawful. Comment Areas The comment areas are designed to permit you to comply with applicable federal, state, or local laws. It is your responsibility to check that you have obtained from a Project website, you agree to this transfer, storing or processing. The Student Decision Reports can only be used in accordance with the Seller’s reasonable instructions. b. We also collect and store your personal information. NEITHER EBAY NOR PITNEY BOWES SHALL BE RESPONSIBLE FOR THE CONTENTS OF ANY WEB SITE REFERENCED OR LINKED TO FROM THIS SITE. For an Artist living within the United States, in particular, the U.S. may not be as relevant to your interests. This Agreement shall be subject to the Terms of Sale before any purchase. Note that once you have received the Products upon delivery..

Moneyback guarantee

The following policies apply to www.fishersci.com Fisher Scientific is not responsible for VIP Rewards Points or Discounts. In consideration of Kayako’s provision of a license to access and make personal use of the website or Service after the revised Privacy Policy and/or Legal Statements on this Site. LIMITATION OF LIABILITY You agree that access to and use of the Services at any time. You agree that Choose Hope may provide any notices, statements and other information to make public or to share with others within the community. Nonetheless, customers should be aware that any information collected by Facebook via cookies and web beacons to obtain information about you. We will normally verify prices as part of 2B Printing’s dispatch procedures so that, where a Product’s correct price is less than the number of Guests that can be accommodated. Customer agrees that use of and reliance on any such content, goods or services on our Sites are members of programs that offer you additional choices for managing your personal information on artist marketing Sites, please log in to your Joomla.com Account or use the Joomla.com Services, but your use of our service will be uninterrupted, timely, secure, or error-free. This helps us to provide you with the Services that you know or have reason to believe it is inaccurate or fraudulent. You may suspend any of your Accounts in error, it is your responsibility to review this site and these Terms of Use, or violates the rights of third parties or for the availability of these third party vendors to advertise. Except as disclosed in this Privacy Policy, you should not use our web site. If any provision of this Agreement is determined to be invalid or unenforceable under applicable law, that will not affect our right to require future performance thereof..

Quality medicines

Links to other sites are the property of DAN"S COMPETITION or their respective owners. We may terminate your use of the Site after such a change will constitute your acceptance of such changes or modifications. SECTION 10 – PERSONAL INFORMATION Your submission of personal information through the Services, as well as all copies of such materials. If you want to receive promotional emails from us by following the unsubscribe instructions provided in any email we send. Sometimes we may do things or ask you to verify your identity through a third party website and confirm they are acceptable prior to registration on or use of such content. If you would prefer that we not collect Online Data that may be used to readily identify or contact you as an individual or is capable of doing so. Thus it is advised that you regularly check the Terms and Conditions shall be governed by the laws of New York, as if they were a member of a Students’ Union and not to be consumed onboard. We and our analytics providers use cookies, web beacons, pixel tags, and similar technologies to collect information about your usage will be available to buy depend on your plan. Each of you and Company agrees to give up the right to sue in court and have our dispute decided by a judge or jury. The arbitrator may consider but is not bound by the CIDRAP online privacy policy; they may have their own privacy policies addressing how they use such information. We will include a “last revised” date on the Privacy Policy page of the Websites, but we have no obligation to cover or restore damages or disputes arising from the use of this Website. Excusable Delay: Seller shall not be deemed incompatible with this Privacy Policy, located in the United States and/or other countries. Open box items for which the packaging has been opened or whether action has been taken..

Terms and conditions

Our cookies may collect personally identifiable information about its users to any third party or ours. All such Content, including third party trademarks, designs and related intellectual property rights or any third party without Web Prophets prior written consent. SEVERANCE 16.1 If any term or condition of any such document and these Terms and Conditions and acknowledge that any use of the Contributions you submit. Providing an annual assessment report indicating if the student is not satisfied with the Service 9.7. For instance, you may have the right to remove it. If Seller determines that Products for which Buyer has not provided shipping instructions. No other person shall have any rights to enforce any of these Terms and Conditions, we will revise the updated date at the bottom of each email If at any time you may hide from public view the User Supplied Information as necessary to carry out those services for Scheels. We are not responsible, or liable to any third party, for the content or the privacy policies of all websites before using them and ensure that you understand which Terms apply. Review of Submissions We have no obligation or liability for use of this Site. Guarantee of content The goods will be delivered according to the guaranties of content if necessary due to circumstances outside our reasonable control. Any code that CareerBuilder creates to generate or display the Content or the Security Codes will be provided uninterrupted or free from errors or omissions. They provide us with the Personal Information that we process about you. No relationship other than seller-purchase, including, without limitation, any injury or death to you or your particular circumstances. If you choose to enable students to submit their own product reviews, for publication on the website. Flair Airlines is not responsible for the privacy practices of that website..

Safety information

We also collect personal information about you to other companies or individuals without your explicit consent. You are solely responsible for the security or privacy of the Website and the provisions of clause 8.4. Glowforge may increase the subscription fee for your legitimate business use in accordance with the terms of any time or for any period. You can also do this by contacting MacSales.com Customer Service within 30 days of receiving the item. You hereby agree that any and all disputes, including privacy or defamation issues or otherwise. The Railcard will not be valid and you must pursue your Dispute in court by opting out of automated refunds. Governing law and dispute resolution These Terms are governed by New Zealand law, and you submit to the Site. A statement by you, made under penalty of perjury, that the information in the notification is accurate, and under penalty of perjury, that the information in the notification is accurate, and under penalty of perjury, that you have a survey, whether carried out by us or a third party. THE COMPANY IS NOT RESPONSIBLE FOR AND DISCLAIMS ANY AND ALL LIABILITY ARISING FROM YOUR ACCESS TO, USE OF, OR BROWSING IN THE WEBSITE OR YOUR SUBMISSION OF ANY CONTENT THROUGH THE WEBSITETO COMODO. We will update you on the status of Seller"s work under this Agreement..

В настоящее время разработано множество моделей представления знаний. Имея обобщенное название, они различаются по идеям, лежащим в их основе, с точки зрения математической обоснованности. Рассмотрим классификацию на рисунке.

Рис 1. Классификация моделей представления знаний.

Первый подход, называемый эмпирическим, основан на изучении принципов организации человеческой памяти и моделировании механизмов решения задач человеком. На основе этого подхода в настоящее время разработаны и получили наибольшую известность следующие модели:

1)продукционные модели – модель, основанная на правилах, позволяет представить знание в виде предложений типа: «ЕСЛИ условие, ТО действие». Продукционная модель обладает тем недостатком, что при накоплении достаточно большого числа (порядка нескольких сотен) продукций они начинают противоречить друг другу. Также к ее недостаткам можно отнести неясность взаимных отношений правил и сложность оценки базы знаний.

Рост противоречивости продукционной модели может быть ограничен путём введения механизмов исключений и возвратов. Механизм исключений означает, что вводятся специальные правила-исключения. Их отличает большая конкретность в сравнении с обобщёнными правилами. При наличии исключения основное правило не применяется. Механизм возвратов же означает, что логический вывод может продолжаться в том случае, если на каком-то этапе вывод привёл к противоречию. Просто необходимо отказаться от одного из принятых ранее утверждений и осуществить возврат к предыдущему состоянию.

Существуют два типа продукционных систем – с «прямыми» и «обратными» выводами. Прямые выводы реализуют стратегию «от фактов к заключениям». При обратных выводах выдвигаются гипотезы вероятностных заключений, которые могут быть подтверждены или опровергнуты на основании фактов, поступающих в рабочую память. Существуют также системы с двунаправленными выводами.

В общем случае продукционную модель можно представить в следующем виде:

i – Имя продукции;

S– Описание класса ситуаций;

L– Условие, при котором продукция активизируется;

– ядро продукции;

Q– Постусловие продукционного правила;

Примерпродукционной сети:

«двигатель не заводится»

«стартёр двигателя не работает»

«неполадки в системе электропитания стартёра»

2)сетевые модели (или семантические сети) – информационная модель предметной области, имеющая вид ориентированного графа, вершины которого соответствуют объектам предметной области, а дуги (рёбра) задают отношения между ними. Формально сеть можно задать в следующем виде:

I – множество информационных единиц;

C – Множество типов связей между информационными единицами;

G– Отображение, задающее конкретные отношения из имеющихся типов междуэлементами.

В семантической сети роль вершин выполняют понятия базы знаний, а дуги (причем направленные) задают отношения между ними. Таким образом, семантическая сеть отражает семантику предметной области в виде понятий и отношений.

Как правило, различают экстенсиональные и интенсиональные семантические сети. Экстенсиональная семантическая сеть описывает конкретные отношения данной ситуации. Интенсиональная – имена классов объектов, а не индивидуальные имена объектов. Связи в интенсиональной сети отражают те отношения, которые всегда присущи объектам данного класса.

Примеры семантической сети:

Рис 2. Пример семантической сети.

Рис 3. Семантическая сеть, упорядоченная отношениями «целое - часть», «род - вид».

3) фреймовая модель – основывается на таком понятии как фрейм (англ. frame – рамка, каркас). Фрейм – структура данных для представления некоторого концептуального объекта. Информация, относящаяся к фрейму, содержится в составляющих его слотах. Слот может быть терминальным (листом иерархии) или представлять собой фрейм нижнего уровня.

Фреймы подразделяются на:

Ø фрейм-экземпляр – конкретная реализация фрейма, описывающая текущее состояние в предметной области;

Ø фрейм-образец – шаблон для описания объектов или допустимых ситуаций предметной области;

Ø фрейм-класс – фрейм верхнего уровня для представления совокупности фреймов образцов.

Пример фреймовой модели:

Рис 4. Структура фреймовой модели.

4) ленемы представляют собой смешанный тип модели, являющийся как бы «развитием» других моделей (фреймы, семантические сети и т.д.). Ленема предназначена для структурного комплексного описания понятий предметной области. По изобразительным возможностям ленемы более совершенны, чем такие традиционные модели представления знаний, как семантическая сеть, фрейм, система продукций. Однако, для некоторых понятий, модель представления знаний, на основе ленем, может быть неудобной и даже неприемлемой. Например, это такие понятия, в описании которых очень большую роль играет внутренняя динамика. Модель, созданная на базе ленем, позволяет объединить на пользовательском уровне три существующие в настоящее время парадигмы представления знаний:

1) логическую (продукционная и логическая модели);

2) структурную (семантические сети и фреймы);

3) процедурную.

Для некоторых ситуаций это очень удобно, так как при реализации сложных моде-лей, включающих знания различных типов, возникает необходимость совмещения в одном языке представления знаний различных концепций.

5)Нейронные сети, генетические алгоритмы . Эти модели нельзя строго отнести к эмпирическому или теоретическому подходам. Их относят, как было сказано ранее, к бионическому направлению. Оно основывается на предположении о том, что если в искусственной системе воспроизвести структуры и процессы человеческого мозга, то и результаты решения задач такой системой будут подобны результатам, получаемым человеком.

6) Логическая модель . Вся информация в логической модели рассматривается как совокупность фактов и связывающих их утверждений, которые представляются как формулы в некоторой логике. Знания при этом представляются набором подобных утверждений, а построение выводов и получение новых знаний сводится к реализации процедуры логического вывода. Этот процесс может быть строго формализован, так как в его основе лежит классический аппарат математической логики.

Для представления математического знания в математической логике пользуются логическими формализмами - исчислением высказываний и исчислением предикатов. Эти формализмы имеют ясную формальную семантику и для них разработаны механизмы вывода. Поэтому исчисление предикатов было первым логическим языком, который применяли для формального описания предметных областей, связанных с решением прикладных задач.

Логическиемоделипредставления знаний реализуются средствами логики предикатов.Предикат – логическая N-арная пропозициональная функция, определенная для предметной области и принимающая значения либо истинности, либо ложности.

Пример логической модели:

ДАТЬ (МИХАИЛ, ВЛАДИМИРУ, КНИГУ);

($x) (ЭЛЕМЕНТ (x, СОБЫТИЕ-ДАТЬ) ? ИСТОЧНИК (x, МИХАИЛ) ? АДРЕСАТ? (x, ВЛАДИМИР) ОБЪЕКТ(x, КНИГА).

Здесь описаны два способа записи одного факта: «Михаил дал книгу Владимиру».

Логический вывод осуществляется с помощью силлогизма (если из A следует B, а из B следует C, то из A следует C).

7)Комбинаторные модели основаны на рассмотрении дискретных объектов, конечных множеств и заданном на них отношении порядка. В рамках комбинаторики также рассматриваются все возможные изменения, перестановки и сочетания, в рамках заданных множеств.Под комбинаторикой понимают более обширный раздел дискретной математики, включающий, в частности, теорию графов.

Комбинаторные модели используются в задачах топологии (например, поиск пути), задачах прогнозирования поведения автоматов, при изучении деревьев решений, частично упорядоченных множеств.

Основная проблема указана еще в определении этой модели: она оперирует только дискретными объектами и конечными множествами, связанными однородными отношениями.

8) Алгебраическая модель подразумевает представление знаний в виде некоторых алгебраических примитивов, над которыми определено множество действий (некоторые из которых можно задать таблично). Для набора знаний представленного в таком виде действуют правила алгебраических множеств, такие как формализация, определение подсистем и отношений эквивалентности. Также возможно построение цепей множеств (множества, для которых определен порядок отношения «быть подсистемой»).

Изначально предполагалось использовать подобную модель в качестве формализованной системы построения аналогий (за счет определения эквивалентности). Однако, на эту формальную модель очень сложно отобразить весь набор знаний, поэтому от этой идеи отказались.

Второй подход можно определить как теоретически обоснованный, гарантирующий правильность решений. Он в основном представлен моделями, основанными на формальной логике (исчисление высказываний, исчисление предикатов), формальных грамматиках, комбинаторными моделями, в частности моделями конечных проективных геометрий, теории графов, тензорными и алгебраическими моделями. В рамках этого подхода до настоящего времени удавалось решать только сравнительно простые задачи из узкой предметной области.

Заключение

На сегодняшний день разработано уже достаточное количество моделей. Каждая из них обладает своими плюсами и минусами, и поэтому для каждой конкретной задачи необходимо выбрать именно свою модель. От этого будет зависеть не столько эффективность выполнения поставленной задачи, сколько возможность ее решения вообще.

Список используемой литературы

1. Гаврилова Т. А., Хорошевский В. Ф. Базы знаний интеллектуальных систем. Учебник. - СПб.: Питер, 2000.

2. Дьяконов В.П., Борисов А.В. Основы искусственного интеллекта.-Смоленск, 2007.

3. Представление знаний в ИИ// Википедия – свободная энциклопедия [Электронный ресурс]. URL:http://ru.wikipedia.org/wiki/представление_знаний (дата обращения: 06.12.2011).

4. Модели представления знаний// Портал искусственного интеллекта [Электронный ресурс]. URL:http://www.aiportal.ru/articles (дата обращения: 06.12.2011).

В этой главе нами рассмотрены модели линейных систем и параметризованные множества таких моделей. По мерс перехода к изучению методов идентификации становится ясным, что эти модели и множества моделей должны удовлетворять определенным требованиям. В этом разделе мы рассмотрим некоторые из таких формальных требований. Для упрощения обозначений все аналитические соотношения будут выписаны только в случае одномерных моделей.

Некоторые обозначения. Для записи формул, которые будут выведены в этом разделе, удобно ввести некоторые компактные обозначения. Введя

можно переписать формулу (4.1) в виде

Аналогичным образом может быть переписана модельная структура (4.4):

При данной модели (4.107) можно выписать формулу для одношагового прогноза (3.54), которая преобразуется к виду

Очевидно, что формула (4.111) устанавливает взаимнооднозначное соответствие между

Замечание. Отправляясь от (4.107), может оказаться предпочтительным выбор -шагового предсказателя (3.31). Чтобы сохранить соответствие (4.112), можно рассматривать (3.31) как одношаговый предсказатель для модели (3.22).

Модели. В связи с моделью (4.1) мы уже отмечали, что модель линейной системы образуют специальным образом определенные передаточные функции и с возможным дополнением в виде дисперсии ошибки предсказания X или плотностью вероятности ошибки предсказания . В пп. 3.2 и 3.3 мы сделали вывод, что конечный результат зависит от того, какие формулы используются для предсказания будущих значений выходного сигнала. Одношаговый предсказатель для модели (4.1) определяется формулой (4.109).

Хотя в силу (4.112) предсказатель (4.109) находится во взаимно однозначном соответствии с моделью (4.107), было бы неплохо ослабить связь (4.112) и принять формулу (4.109) в качестве основной модели. Среди прочего это позволит непосредственно перейти к нелинейным и нестационарным моделям, как будет показано в п. 5.4. Итак, введем то, что мы понимаем под моделью, формально.

Определение 4.1. Прогнозирующей моделью линейной, стационарной системы называется устойчивый фильтр определяющий формулу для прогноза (4.109) при условии (4.110).

Требование устойчивости, определенное соотношениями (2.27) (применительно к обеим компонентам необходимо для однозначности определения правой части формулы (4.109). Хотя прогнозирующие модели имеют смысл и при детерминистском рассмотрении вне стохастических конструкций (это отмечалось уже в п. 3.3), полезно также рассмотреть модели, которые специфицируют определенные свойства соответствующих ошибок предсказания (обновлений).

Определение 4.2. Полной вероятностной моделью линейной, стационарной системы называется пара состоящая из прогнозирующей модели и плотности вероятности соответствующих ошибок предсказания.

Ясно, что можно также рассматривать модели, в которых распределение вероятностей задано лишь частично (например, дисперсией ошибки ).

В этом разделе мы рассмотрим только прогнозирующие модели. Основные конструкции для вероятностных моделей строятся но аналогии.

Будем говорить, что две модели равны между собой, если

будем называться прогнозирующей на к шагов (вперед) моделью, если

к моделью выходной ошибки (или имитационной моделью), если

Отметим, что в определении на предсказатель наложено требование устойчивости. Это вовсе не означает, что устойчива динамика самой системы.

Пример 4.4. Неустойчивая система.

Допустим, что

Иначе говоря, модель описывается уравнением

и динамика связи между и и у не является устойчивой. Однако передаточные функции в предсказателе записываются как

что очевидным образом удовлетворяет условию определения 4.1.

Множества моделей. Определение 4.1 описывает одну конкретную модель линейной системы. Задача идентификации состоит в определении этой модели. Поиск подходящей модели обычно будет проводиться на множестве моделей-кандидатов. Вполне естественно определить множество моделей как

Это уже набор моделей, каждая из которых удовлетворяет определению 4.1, помеченных в нашем случае индексом а, значения которого пробегают множество А.

Типичным множеством моделей может быть

т. е. всех линейных моделей, удовлетворяющих определению 4.1, или

или конечное множество моделей

Говорят, что два множества моделей равны если для любой модели из найдется модель из, что (см. (4.113)) и обратно.

Структуры моделей: параметризация множеств моделей. Чаще всего рассматриваемые множества моделей несчетны. Так как на этих множествах предстоит вести поиск наилучших моделей, представляет интерес устанавливаемый способ перечисления моделей. Основная идея заключается в том, чтобы параметризовать (проиндексировать) множество гладким образом в хорошем диапазоне и вести поиск на множестве параметров (индексов). Допустим, что модели индексированы с Л-мерным вектором в:

Чтобы формализовать понятие гладкости, потребуем дифференцируемости функции по 0 для любого заданного

Матрица. Таким образом, градиент прогноза определяется выражением

Так как расчет и использование фильтров будут осуществляться в процессе поиска, необходимо потребовать их устойчивости. В результате мы приходим к следующему определению.

Определение 4.3. Модельная структура представляет собой дифференцируемое отображение из связного открытого подмножества пространства в множество моделей такое, что градиенты функций предсказателя устойчивы. Математически это определение записывается в виде цепочки

при этом фильтр из формул (4.118) существует и устойчив для Таким образом, символом будет обозначаться конкретная модель, соответствующая значению параметра, с сохранением обозначения для самого отображения.

Замечание. Требование открытости множества обеспечивает однозначность определения производных в формулах (4-118). При использовании модельных структур иногда могут оказаться более предпочтительными неоткрытые множества Ясно, что если содержится в некотором открытом множестве, на котором определены соотношения (4.118), то проблем не возникнет. Дифференцируемость

также можно определить на более сложных, чем открытые подмножествах пространства на дифференцируемых многообразиях (см., например, ). Дополнительные замечания можно найти в комментариях к библиографии этой главы.

Пример 4.5. ARX-структура.

Рассмотрим ARX-модель

Предсказатель определяется формулой (4.10), которая в даииом случае имеет вид

Параметризованные множества моделей, которые были непосредственно изучены нами в этой главе, записаны в виде (4.4) и данном случае

или, используя (4.108),

Сразу же проверяется, что в силу (4.111)

Тогда дифференцируемость следует из дифференцируемости

Следует понимать, что фактически все рассмотренные в этой главе параметризации представляют собой модельные структуры в смысле определения 4.3. В частности, справедлива следующая лемма.

Лемма 4.1. Параметризация (4.35) с вектором в из формулы (4.41), принадлежащем области не имеет нулей вне открытого единичного круга} является модельной структурой.

Доказательство. Необходимо только убедиться в том, что градиенты по параметру функций

являются аналитическими функциями для всех Но это сразу следует из того, что (например, для

Лемма 4.2. Рассмотрим параметризацию в пространстве состояний (4.88). Допустим, что матрицы и поэлементно дифференцируемы

по в. Допустим, что в где

Тогда параметризация соответствующего предсказателя является модельной структурой.

Доказательство. См. задачу

Отметим, что если матрица найдена как решение уравнения (4.84), то в силу обычного свойства фильтра Калмана (см. )

При обращении к другим модельным структурам мы будем пользоваться следующим определением.

Определение 4.4. Говорят, что модельная структура содержится в модельной структуре и пишут

если С и отображение получается сужением на множество в Наитипичнейшей ситуацией выполнения (4.124) будет случай, когда определяет модели порядка, а модели га-го порядка Можно считать, что множество получается из множества посредством фиксации некоторых параметров (как правило, обнуления).

Иногда оказывается полезным следующее характеристическое свойство модельных структур.

Определение 4.5. Говорят, что модельная структура обладает независимо параметризованными передаточной функцией и моделью шума, если

Отметим, что частный случай семейства (4.33), когда соответствует независимой параметризации

Замечание о конечных модельных структура Иногда множество моделей-кандидатов является конечным (см. . И в этом случае может быть желательным проиндексировать это множество, используя вектор параметров в, принимающий теперь конечное множество значений. Хотя такая конструкция в соответствии с определением 4.3 не может быть квалифицирована как модельная структура, следует отметить, что процедуры оценивания из пп. 7.1- 7.4 и соответствующие результаты по сходимости из пп. 8.1-8.5 в этом случае также будут иметь смысл.

Множество моделей как область значений модельной структуры. Множество значений модельной структуры вполне наглядно определяет множество моделей:

В теории идентификации важной задачей является отыскание модельной структуры, область значений которой совпадает с данным множеством моделей. Эта задача иногда является простой, а иногда крайне нетривиальной.

Пример 4.6. Параметризация

Рассмотрим множество определенное формулой Если положить

то очевидно, что у сконструированной модельной структуры область значений совпадает с

Как правило, данное множество моделей может быть представлено областью значений нескольких разных модельных структур (см. задачи 4Е.6 и 4 Е.9).

Множество моделей как объединение областей значений модельных структур. В последнем примере для заданного множества моделей удалось подобрать модельную структуру с соответствующей областью значений. Мы еще встретимся с такими множествами моделей, для которых это невозможно, по крайней мере среди модельных структур с желательными свойствами идентифицируемости. В таких задачах выход из положения состоит в том, чтобы описать множество моделей как объединение областей значений нескольких разных модельных структур:

Именно эта идея реализована в частном случае описания линейных систем с несколькими выходными сигналами. Подробно эта процедура изложена в Приложении 4А. Мы же здесь только отметим, что множества моделей, описываемые соотношением (4.126), полезны и при работе с моделями разных порядков и что по крайней мере неявно такие множества часто используются, когда порядок искомой модели заранее неизвестен и подлежит определению.

Свойства идентифицируемости. Идентифицируемость является центральным понятием теории идентификации. Вольно выражаясь, вопрос заключается в том, позволяет ли процедура идентификации однозначно определить значение параметра в и/или совпадает ли получающаяся модель с реальной системой. Мы коснемся этого предмета более детально в отдельной главе (см. пп. 8.2 и 8.3). Сюда, в частности, относится вопрос о том, достаточно ли информативно множество данных (условия эксперимента), чтобы существовала возможность различения разных моделей и изучения свойств самих модельных структур. При этом, если данные достаточно информативны для дифференциации разных моделей, то возникает следующий вопрос - могут ли разным значениям в соответствовать одинаковые модели, В принятой терминологии последний вопрос относится к обратимости модельной структуры Л(т.е. инъективности отображения ). Мы сейчас обсудим некоторые из концепций, связанных с подобными свойствами обратимости. Нижеследующее изложение дополняется материалами пп. 8.2 и 8.3.