Реферат на тему "алгебраические фракталы". Фрактальная геометрия мира

При слове «геометрия» у нас из глубин памяти всплывают цилиндры, треугольники, гипотенузы, биссектрисы углов, «найдите площадь фигуры», грифельные доски и ломающийся мел. Проблема в том, что все, приходящее на ум, - это язык для описания крайне узкого набора явлений окружающего мира. Дома, может быть, иногда и близки к параллелепипеду, но деревья - не цилиндры, горы - не конусы, а форму облака непонятно с чем и сравнить.

Если мы приглядимся внимательно, то в окружающем нас мире эта школьная геометрия (мы будем называть ее евклидовой) описывает не столь уж и многое. И в большинстве своем описывает формы, созданные человеком (оцените круговую логику - неудивительно, что дом, построенный с помощью евклидовой геометрии, успешно можно этой геометрией описать). Но как быть со всем остальным миром, как можно описать форму дерева или очертания острова, форму комка земли или ветвящуюся структуру бронхов?

Этим вопросом ученые задавались давно, но, поскольку не находили убедительного ответа, записывали эти формы в «неупорядоченные», «монструозные», «неисследуемые». Глобальный перелом произошел только в 1960–1970-х годах, когда французский математик Бенуа Мандельброт придумал и развил свою теорию фракталов. Это была новая, фрактальная геометрия, взявшая за объект исследования все то неровное, изломанное и шершавое, что нас окружает (то есть почти все). И Мандельброт нашел в сложных формах природы свой удивительный порядок.

На фото красным отмечены формы, описываемые фрактальной геометрией.
Синим, описываемые эвклидовой геометрией.
То же разделение работает
 и для пары рукотворный/нерукотворный.

Бенуа Мандельброт
(1924–2010)

Французский математик. Основатель фрактальной геометрии. Во время войны уехал из Франции в Америку и остался там. Долгое время был изгоем и не признавался широкими научными кругами, но в конце 1970-х годов обрел признание и славу одного из самых оригинальных математиков. В 1977 году выпустил книгу «Фракталы: форма, случай и размерность», в 1982 году вышло переиздание - культовая книга «Фрактальная геометрия природы». В течение 35 лет работал в компании IBM.

Впервые о том, что не стоит записывать в неупорядоченное то, что мы не можем описать евклидовой геометрией, высказался еще Ричард Бентли, британский ученый XVII века:

«Вся красота относительна... Мы не должны думать, что берега океана искажены и деформированы, потому что они не похожи на ровную стену; и мы не должны думать, что горы имеют неправильную форму, потому что они не являются правильными пирамидами или конусами; и мы не должны думать, что звезды неумело расположены на небе, раз они находятся на разном расстоянии от нас. Это не природные неточности - они кажутся такими только по нашему капризу».

Примеры фрактального построения растений

Мандельброт вводит термин «фрактал»

Бенуа Мандельброт, наш главный герой, придумал и впервые употребил термин «фрактал» (от лат. fractus - изломанный) совсем недавно - в 1975 году. Nomen est numen, вспоминает Мандельброт латинское выражение: «назвать - значит понять». С этого момента можно вести отсчет современной фрактальной геометрии.
Приблизительное определение фрактала таково: это самоподобная фигура (часть похожа на целое), чье фрактальное измерение больше топологического.
Что такое фрактальное измерение и чем оно отличается от топологического (это обычное, евклидово измерение, где 0 - точка, 1 - линия, 2 - плоскость, 3 - объемная фигура), мы разберемся позже. Сейчас нам важно только то, что любая часть фрактала похожа на весь фрактал в целом. Так, отдельная ветка на дереве напоминает по строению все дерево, а часть листа папоротника - весь лист.
Похожие объекты многократно всплывали в истории математики, но именно Мандельброт объединил разрозненные события в одну стройную систему - теорию неровностей и шероховатостей. Она описывала некоторый порядок в формах, до того считавшихся неупорядоченными. В форме облака, в строении дерева или очертании береговой линии Мандельброт находит измеряемые параметры - законы упорядоченности в хаосе.

Историческое отступление: любовь
к целым числам

Причина, по которой фрактальная геометрия возникла так поздно, конечно, заключается, среди прочего, в отсутствии до 70-х годов ХХ века нормальных вычислительных мощностей. Также она может быть обусловлена историческим и околорелигиозным наследием евклидовой геометрии.Ключевыми фигурами в геометрии еще со времен Платона, считавшего их строительным материалом этого мира, считались пять фигур: тетраэдр (четыре грани, рис. 1), куб (шесть), октаэдр (восемь), додекаэдр (12, рис. 2) и икосаэдр (20). Другие формы находились вне плоскости изучения геометрии. В лучшем случае они считались тенями - неточными воплощениями идеальных божественных фигур. В худшем - просто отбрасывались как патологические.
В простых пропорциях целых чисел искали отблески небесной гармонии и строители готических соборов, считая, что «музыка сфер» крайне гармонична, так как использует именно простые пропорции. При таком взгляде иррациональные пропорции дерева, например, не обладали божественной гармонией - только ее отблесками.
Это последствия антропоцентричного мышления. Простые музыкальные аккорды, приятные нашему слуху, имеют простые пропорции -> значит, и небеса построены на этих пропорциях, ведь это отражение высшей гармонии, -> значит, и все остальное надо измерять, отталкиваясь от этих пропорций.
К сожалению, эти пропорции отражают разве что устройство человеческого уха и психики. Шум листвы - это не кварта, а песня соловья строится не по нами определенным нотам. Открытие Мандельброта понадобилось, чтобы показать, что в изломанных формах природы есть значительно более сложный и интересный порядок.
Самый близкий его пример - прямо у вас в груди. Сердечный ритм имеет ярко фрактальную структуру. В нас отблеск не божественной простоты и гармонии, которую мы выдумали сами, а изначального хаоса этой вселенной.

Открытие Мандельброта: бесконечные острова

Одно из самых ранних открытий ученого - бесконечная длина береговой линии любого острова. Именно так. Но как же так, спросим мы? Что за глупость? Давайте успокоимся
и посмотрим на наши измерительные приборы, говорит нам наш герой:
Оказывается, если наша линейка длиной в 100 м - вокруг острова поместятся 19 штук,
и длина его береговой линии будет 1900 м. Если наша линейка длиной в 10 м, она сможет промерить более мелкие впадины и бухты - на береговой линии поместятся 242 штуки,
а длина береговой линии составит 2420 м. Если мы возьмем линейку в 1 мм, то сможем промерить каждый камушек - длина береговой линии при таком измерении будет
5423 м - втрое больше первой величины.

Условные измерительные линейки длинной
в 100м, 10м и 1мм.

Какая же длина правильная, спросим мы? «Никакая, длина береговой линии бесконечна», - усмехнется Бенуа. Чем меньше будет наша линейка, тем больше будет длина. При линейке, стремящейся к нулю, длина линии будет бесконечной для любого острова, хоть для Цейлона, хоть для крошечного острова Сипадан.
Мандельброт задался вопросом, как сравнить два острова, если очевидно, что они разные. И ввел новую величину - фрактальную размерность (на самом деле это переосмысленная им размерность Хаусдорфа).
Фрактальная размерность - мера детализации, изломанности, неровности фрактального объекта. Размерность у фрактального объекта всегда больше топологической (обычной) размерности и может быть (чаще всего и является) дробной.

Еще один важный сдвиг (для меня - самый важный) происходит в наших представлениях о том, что такое простые вещи, а что такое сложные.

Пример кривой Пеано.
Здесь показан порядок обхода квадратиков 1-6 уровня.

О простом и сложном в природе.
Почему папоротник проще сферы

В нашем повседневном представлении самыми простыми кажутся вещи, наиболее просто описываемые евклидовой геометрией. Стол - это просто. Бетонный куб - еще проще. Стальной шар кажется самой воплощенной простотой (есть даже анекдот про «один сломал, другой потерял», в массовом сознании металлический шар - неделимый предмет).
Но тогда зададимся вопросом, почему большинство простых вещей сделаны человеком? Почему деревья, рыбы, грибы или легкие человека - не правильные сферы или кубы, ведь природа, идеальный оптимизатор, должна была найти максимально простую форму.
На самом деле формы живой природы действительно довольно простые, надо только взглянуть на них совсем с другой стороны - развернуться на 180°.
Чтобы совсем запутаться и забыть о наших привычных представлениях о простом и сложном, давайте рассмотрим самую известную из фрактальных форм - множество Мандельброта. Оно задается крошечной формулой:

Даже капли дождя -
не идеальные сферы. Они даже
не «каплевидной формы» - скорее похожи на пельмени.
Нас снова обманули, как
с кедровыми орехами, которые
на самом деле сосновые семечки.

Но вот в чем подвох: если мы проделаем эту операцию бесконечное количество раз -
мы получим бесконечно сложное множество. То есть мы получим объект, части которого можно приближать и приближать, в нем будут все новые и новые формы. В каждой точке этого объекта содержится целый мир причудливых форм, и в каждой точке этих миров
те же бесконечности.
Как с этим разобраться? Формула проще некуда (удовлетворяет наше евклидово представление о простоте), а сам объект - бесконечно сложный. Мандельброт предлагает взглянуть на это скорее со стороны алгоритма, чем со стороны конечного объекта (ведь его и нет как такового во фрактале, он бесконечно строится), - описывать не сложность объекта, а сложность процесса построения.

В пример понимания простоты / сложности с точки зрения алгоритмов Мандельброт приводит фрактальную кривую Коха.
Притом что она выглядит сложной, алгоритм ее построения, как пишет Мандельброт, на самом деле проще, чем алгоритм построения окружности. Со стороны алгоритмов (с той стороны, с которой на это дело смотрит природа вокруг нас) эта кривая - более простая форма.

Кривая Коха

Мне всегда помогает аналогия с кулинарным рецептом. Представьте, что в кулинарной книге перечислено все, что должно быть в супе: 234 кусочка картошки (и размер каждого из них), 134 кусочка лука (и размеры), 23 кусочка мяса. Вот так же нам бы пришлось описывать финальную форму папоротника. Вместо этого мы описываем алгоритм - порежьте, нарубите, покрошите. И у нас все равно получается суп, пусть и с вариациями - в одной кастрюле 234 куска, в другой - 219 кусков картошки. Высчитывая алгоритм ветвления папоротника, можно получить слегка разные, но все же папоротники.
Тому, как с помощью цепей обратных связей и градиентов концентрации создаются законы развития жизни, посвящена книга прекрасного русского биолога Александра Маркова «Рождение сложности» , которую я настоятельно рекомендую прочесть.

Заключение

Мы совсем немного углубились в тему фрактальной геометрии - основной геометрии живой природы. Я буду считать свою работу успешно выполненной, если при взгляде на дерево перед домом вы вспомните, что дерево и дом описываются разной геометрией. Дерево - снизу вверх, геометрией фракталов и алгоритмов, описывающей как сделать. Дом - сверху вниз, сперва он был вычерчен в финальном своем виде архитектором. Такая геометрия описывает, что сделать, а не как.
Чем больше я смотрю на это, тем больше мне хочется говорить и узнавать про фрактальную геометрию, про которую я толком еще ничего не знаю, а теперь, надеюсь, толком ничего не знаете и вы. Ведь это язык, на котором говорит живой мир, благодаря которому мои легкие наполняются кислородом, а кровеносные сосуды несут кровь к рукам.
И чем больше я об этом узнаю, тем сложнее и многограннее кажется мне этот мир.
В одной книге про бабочек автор сравнивал увлечение ими с добавлением себе в жизнь еще одного измерения. Могу подтвердить - так и есть. Параллельно с жизнью городской улицы со снующими людьми у вас добавляется измерение, в котором вон та свежевылупившаяся боярышница летит над крышами машин вот к той рябине - откладывать на свое кормовое растение яйца. Точно так же шрифтовые дизайнеры погружаются в измерение городских шрифтов, а профессиональный электрик наверняка видит отдельное измерение в системе проводов, опутывающих здание.
Также и фрактальная геометрия, открытая Бенуа Мандельбротом, добавляет в наш мир еще одно измерение - типизируемых, описываемых, сложных ломаных форм, которые до этого были не названы и сливались с окружающей действительностью. Теперь же, названные и описанные, они отделились от общей массы, чтобы мы могли разглядеть их во всей красе. Чудеса там, куда ты пристально вгляделся.
Спасибо Мандельброту, открывшему для нас новый, прекрасный и подвижный мир фракталов, по которому мы делаем только первые шаги. Действительно, nomen est numen, назвать - значит узнать.

Постскриптум

Надо признать, что не везде в мире господствует евклидова геометрия. Рон Эглэш, исследуя африканскую архитектуру и обычаи, обнаружил там огромное количество скрытых ранее фракталов. Сперва в очевидных местах - в узорах. Потом в чуть менее в очевидных - в прическах. А потом и в совсем неочевидных - даже в построении деревень он обнаружил самоподобие.
Так, структура деревень некоторых африканских племен представляет собой круг, в котором находятся маленькие круги - дома, внутри которых еще маленькие круги - дома духов.
Я могу предположить, что это последствия близости жителей этих племен к природе - они переняли именно ее законы. Так, для жителя этой деревни ветка с дерева, я думаю, будет казаться более простым предметом, чем стальной шар. «Ветка - она вот, пошел, сломал, а шар где я достану и как сделаю?» - может подумать он.

Некоторые типы

фрактальной

организации

поселений

Материалы по теме

Бенуа Мандельброт
«Фрактальная геометрия природы»
Первое, что я рекомендовал бы прочесть незамедлительно, - классическая книга основоположника фрактальной геометрии, вышедшая в 1982 году. Она до сих пор остается центральным ознакомительным трудом по теме.
Сложность: ⅘
Требуемая математическая подготовка:
выше среднего.

Глейк Д. Хаос 
«Создание новой науки»
Еще одна классическая книга по теме, рассказывающая, как в 70-е годы медленно зарождается новая наука - теория хаоса. Главные герои - молодые ученые Лоренц, Фейгенбаум, Мандельброт, поглощенные и очарованные новым миром хаоса, который перед ними открывается. Это книга, после чтения которой я понял, что же такое эффект бабочки, открытый Лоренцом и, соответственно, почему так сильно врут прогнозы погоды (виноваты не синоптики, они стараются, виновата сильная зависимость от начальных условий). Великая книга.
Сложность: ⅗

ФИЛЬМЫ
NOVA «Фракталы. Поиски новых размерностей»
Неплохой документальный фильм - обзорная экскурсия по миру фракталов, от прически Мандельброта до антенны в вашем мобильном.
Сложность: ⅕
Требуемая математическая подготовка:
не требуется.

BBC «Тайный код жизни»
Трехсерийная документалка BBC про математические законы нашего мира. Почему соты - шестигранники (эффективное заполнение пространства), а периодические цикады появляются каждые 17 лет (важно, что это простое число). Немного про нормальное распределение и про форму вирусов. Не блестяще, но можно посмотреть.
Сложность: ⅕

ЛЕКЦИИ
Лекция Бенуа Мандельброта на TED
Великий мастер фракталов, похожий на Йоду, за год до своей смерти рассказывает, как ему открылась фрактальная геометрия.
Есть русские субтитры.
Сложность: ⅕
Требуемая математическая подготовка: 
не требуется.
Лекция Рона Эглэша про фракталы в Африке
Эглэш объясняет, как он открыл фрактальные структуры в строении африканских деревень, узоров племен и устройств дворцов знати. Есть русские субтитры.
Сложность: ⅕
Требуемая математическая подготовка:
не требуется.

Введение

Понятие фрактала.........................................................................................4

История появления фракталов………………………………………........6

Алгебраические фракталы………………..……………………………….8

1. Множество Мальдеброда……………………………………………...9

   Множество Жюлиа……………………………………………………11

   Бассейны (фракталы) Ньютона………………………………………13

   Фрактал (пузыри) Галлея……………………………………………..14

Практическое применение фракталов…………………………………...15

Заключение……………………………………………………………………….19

Список используемой литературы…………………………………………...…20

Введение

Язык науки стремительно меняется в современном мире. История развития физики насчитывает уже не одно столетие. За это время изучено огромное количество разнообразных явлений природы, открыты фундаментальные законы физики, объясняющие различные экспериментальные факты.

Большинство систем в природе сочетают два свойства: во-первых, они очень велики, часто многогранны, многообразны и сложны, а во- вторых они формируются под действием очень небольшого количества простых закономерностей, и далее развиваются, подчиняясь этим простым закономерностям. Это самые разные системы, начиная от кристаллов и просто кластеров (различного рода скоплений, таких как облака, реки, горы, материки, звёзды), заканчивая экосистемами и биологическими объектами (от листа папоротника до человеческого мозга). Фракталы являются как раз такими объектами: с одной стороны - сложные (содержащие бесконечно много элементов), с другой стороны - построенные по очень простым законам. Благодаря этому свойству, фракталы обнаруживают много общего со многими природными объектами. Но фрактал выгодно отличается от природного объекта тем, что фрактал имеет строгое математическое определение и поддаётся строгому описанию и анализу. Поэтому теория фракталов позволяет предсказать скорость роста корневых систем растений, трудозатраты на осушение болот, зависимость массы соломы от высоты побегов и многое другое. Это новое направление в математике, совершившее в научной парадигме переворот, сравнимый по значимости с теорией относительности и квантовой механикой. Объекты фрактальной геометрии по своему внешнему виду резко отличаются от привычных нам "правильных" геометрических фигур. Фактически, это прорыв в математическом описании систем, которые на протяжении долгого времени такому описанию не поддавались.

Фрактальная геометрия не есть "чистая" геометрическая теория. Это скорее концепция, новый взгляд на хорошо известные вещи, перестройка восприятия, заставляющая исследователя по новому видеть мир.

Целью моей работы является ознакомление с понятием «фрактал» и его разновидностью «алгебраический фрактал».

Понятие фрактала

Сравнительно недавно в математике возник образ объекта, более объемистого, но тем не менее сходного с линией. Некоторым ученым было трудно примириться с понятием линии, не имеющей ширины, поэтому постепенно ими стали изучаться геометрические формы и структуры, имеющие дробную пространственную размерность. На смену непрерывным кривым, обладающим всеми своими производными, пришли ломаные или очень изрезанные кривые. Ярким примером такой кривой является траектория броуновской частицы. Так в науке возникло понятие фрактала.

Фрактал (лат. fractus - дробленый, сломанный, разбитый) - сложная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком (рис. 1). В более широком смысле под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность.

Рис. 1
Следует отметить, что слово «фрактал» не является математическим термином и не имеет общепринятого строгого математического определения. Оно может употребляться, когда рассматриваемая фигура обладает какими – либо из перечисленных ниже свойств:

Обладает нетривиальной структурой на всех шкалах. В этом отличие от регулярных фигур (таких, как окружность, эллипс, график гладкой функции): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину.

Является самоподобной или приближённо самоподобной.

Обладает дробной метрической размерностью.

Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например, побережья, облака, кроны деревьев, кровеносная система и система альвеол человека или животных.
Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютера.

История появления фракталов

Изучение фракталов на рубеже XIX и XX веков носило скорее эпизодический, нежели систематический характер, потому что раньше математики в основном изучали «хорошие» объекты, которые поддавались исследованию при помощи общих методов и теорий. В 1872 году немецкий математик Карл Вейерштрасс построил пример непрерывной функции, которая нигде не дифференцируема, то есть не имеет касательной ни в одной своей точке. Однако его построение было целиком абстрактно и трудно для восприятия. Поэтому в 1904 году швед Хельге фон Кох придумал такую непрерывную кривую, которая нигде не имеет касательной, причем ее довольно просто нарисовать. Оказалось, что она обладает свойствами фрактала. Один из вариантов этой кривой носит название «снежинка Коха».
Идеи самоподобия фигур подхватил француз Поль Пьер Леви, будущий наставник Бенуа Мандельброта. В 1938 году вышла его статья «Плоские и пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей, подобных целому», в которой описан еще один фрактал – С-кривая Леви. Все эти вышеперечисленные фракталы можно условно отнести к одному классу конструктивных (геометрических) фракталов.
Другой класс – динамические (алгебраические) фракталы, к которым относится множество Мандельброта. Первые исследования в этом направлении начались в начале XX века и связаны с именами французских математиков Гастона Жулиа и Пьера Фату. В 1918 году была опубликована работа Жулиа, посвященная итерациям комплексных рациональных функций, в которой описаны множества Жулиа – целое семейство фракталов, близко связанных с множеством Мандельброта. Этот труд был удостоен приза Французской академии, однако в нем не содержалось ни одной иллюстрации, так что оценить красоту открытых объектов было невозможно

Первые идеи фрактальной геометрии возникли в 19 веке. Кантор с помощью простой рекурсивной (повторяющейся) процедуры превратил линию в набор несвязанных точек (так называемая Пыль Кантора). Он брал линию и удалял центральную треть и после этого повторял то же самое с оставшимися отрезками. (Рис. 2)

Рис. 2

Пеано нарисовал особый вид линии.(Рис. 3)

Рис. 3

Для ее рисования Пеано использовал следующий алгоритм.

На первом шаге он брал прямую линию и заменял ее на 9 отрезков длиной в 3 раза меньшей, чем длина исходной линии (часть 1 и 2 рисунка). Далее он делал то же самое с каждым отрезком получившейся линии. И так до бесконечности. Уникальность линии в том, что она заполняет всю плоскость. Доказано, что для каждой точки на плоскости можно найти точку, принадлежащую линии Пеано.

Кривая Пеано и пыль Кантора выходили за рамки обычных геометрических объектов. Они не имели четкой размерности. Пыль Кантора строилась вроде бы на основании одномерной прямой, но состояла из точек (размерность 0). А кривая Пеано строилась на основании одномерной линии, а в результате получалась плоскость. Во многих других областях науки появлялись задачи, решение которых приводило к странным результатам, на подобие описанных выше (Броуновское движение, цены на акции).

Вплоть до 20 века шло накопление данных о таких странных объектах, без какой - либо попытки их систематизировать. Так было, пока за них не взялся Бенуа Мандельброт – отец современной фрактальной геометрии и слова фрактал. Постепенно сопоставив факты, он пришел к открытию нового направления в математике – фрактальной геометрии.

Чтобы представить себе фрактал понаглядней рассмотрим пример, приведенный в книге Б.Мандельброта “The Fractal Geometry of Nature” (“Фрактальная геометрия природы”) ставший классическим – “Какова длина берега Британии?”. Ответ на этот вопрос не так прост, как кажется. Все зависит от длины инструмента, которым пользуются. Померив берег с помощью километровой линейки полуают какую-то длину. Однако пропускают много небольших заливчиков и полуостровков, которые по размеру намного меньше измеряемой линейки. Уменьшая размер линейки до 1 метра – получается, что длина берега станет больше. Измеряя длину берега с помощью миллиметровой линейки, учитывая детали, которые больше миллиметра, длина будет еще больше. В итоге ответ на такой, казалось бы, простой вопрос может поставить в тупик кого угодно – длина берега Британии бесконечна.

Алгебраические фракталы

Свое название алгебраические фракталы получили за то, что их строят, на основе алгебраических формул. Методов получения алгебраических фракталов несколько. Один из методов представляет собой многократный расчет функции, где z - комплексное число, а f некая функция. Расчет данной функции продолжается до выполнения определенного условия. И когда это условие выполнится - на экран выводится точка. При этом значения функции для разных точек комплексной плоскости может иметь разное поведение:

с течением времени стремится к бесконечности;

стремится к 0;
принимает несколько фиксированных значений и не выходит за их пределы;
поведение хаотично, без каких либо тенденций.

3.1 Множество Мандельброта

Множество Мандельброта (один из самых известных фрактальных объектов) впервые было построено (визуально с применением ЭВМ) Бенуа Мандельбротом весной 1980 г. в исследовательском центре фирмы IBM им. Томаса Дж. Уотсона. И хотя исследования подобных объектов начались ещё в прошлом веке, именно открытие этого множества и совершенствование аппаратных средств машинной графики в решающей степени повлияли на развитие фрактальной геометрии и теории хаоса. Итак, что же такое множество Мандельброта.

Рассмотрим функцию комплексного переменного . Положим и рассмотрим последовательность , где для любого . Такая последовательность может быть ограниченной (т.е. может существовать такое r, что для любого ) либо "убегать в бесконечность" (т.е. для любого r > 0существует ). Множество Мандельброта можно определить как множество комплексных чисел c, для которых указанная последовательность является ограниченной. К сожалению, не известно аналитического выражения, которое позволяло бы по данному c определить, принадлежит ли оно множеству Мандельброта или нет. Поэтому для построения множества используют компьютерный эксперимент: просматривают с некоторым шагом множество точек на комплексной плоскости, для каждой точки проводят определённое число итераций (находят определённое число членов последовательности) и смотрят за её "поведением". (Рис. 4).

Доказано, что множество Мандельброта размещается в круге радиуса r=2 с центром в начале координат. Таким образом, если на некотором шаге модуль очередного члена последовательности превышает 2, можно сразу сделать вывод, что точка, соответствующая c, определяющему данную последовательность, не принадлежит множеству Мандельброта.

Уменьшая шаг, с которым просматриваются комплексные числа, и увеличивая количество итераций, мы можем получать сколь угодно подробные, но всегда лишь приближённые изображения множества.

Пусть в нашем распоряжении имеется N цветов, занумерованных для определённости от 0 до N-1. Будем считать, опять же для определённости, что черный цвет имеет номер 0. Если для данного c после N-1 итераций точка не вышла за круг радиуса 2, будем считать, что c принадлежит множеству Мандельброта, и покрасим эту точку c в чёрный цвет. Иначе, если на некотором шаге k (k Є ) очередная точка вышла за круг радиуса 2 (т.е. на k-ом шаге мы поняли, что она "убегает"), покрасим её в цвет k.

Красивые изображения получаются при удачном выборе палитры и окрестности множества (а именно вне множества мы и получим "цветные точки). (Рис. 5, 6).

Рис. 4

Рис. 5 Рис. 6

3.2 Множество Жюлиа

Множества Жюлиа, тесно связанные с множеством Мандельброта, были исследованы ещё в начале XX века математиками Гастоном Жюлиа и Пьером Фату (см. ). В 1917-1919 гг. ими были получены основополагающие результаты, связанные с итерированием функций комплексного переменного. Вообще говоря, этот факт заслуживает отдельного обсуждения и является впечатляющим примером математического исследования, на многие десятилетия опередившего время (учёные могли лишь приблизительно представлять, как выглядят исследуемые ими объекты!), но мы опишем лишь способ построения множеств Жюлиа для функции комплексного переменного . Говоря более точно, мы будем строить т.н. "заполняющие множества Жюлиа".

Рассмотрим прямоугольник (x 1 ;y 1 )-(x 2 ;y 2 ). Зафиксируем константу c и станем просматривать точки выбранного прямоугольника с некоторым шагом. Для каждой точки, как и при построении множества Мандельброта, проведём серию итераций (чем больше число итераций, тем точнее будет получено множество). Если после серии итераций точка не "убежала" за границу круга радиуса 2, поставим её чёрным цветом, иначе цветом из палитры. (Рис. 7, 8, 9, 10).

Рис. 7

Рис.8 Рис. 9

Рис. 10

3.3 Бассейны (фракталы) Ньютона

Еще один тип динамических фракталов составляют фракталы (так называемые бассейны) Ньютона. (Рис. 11). Формулы для их построения основаны на методе решения нелинейных уравнений, который был придуман великим математиком еще в XVII веке. Применяя общую формулу метода Ньютона zn+1 = zn - f (zn)/f"(zn), n=0, 1, 2… для решения уравнения f (x)=0 к многочлену zk-a, получим последовательность точек: zn+1 = (k-1)znk/kznk-1, n=0, 1, 2… Выбирая в качестве начальных приближений различные комплексные числа z0, будем получать последовательности, которые сходятся к корням этого многочлена. Поскольку корней у него ровно k, то вся плоскость разбивается на k частей - областей притяжения корней. Границы этих частей имеют фрактальную структуру.

Рис. 11

3.4 Фрактал (пузыри) Галлея

Такие фракталы получаются, если в качестве правила для построения динамического фрактала использовать формулу Галлея для поиска приближенных значений корней функции. (Рис. 12).

Метод состоит из последовательности итераций:

Идея метода почти та же, что используется для рисования динамических фракталов: берем какое-нибудь начальное значение (как обычно, здесь речь идет о значениях переменных и функций) и применяем к нему много раз формулу, получая последовательность чисел. Почти всегда она сходится к одному из нулей функции (то есть значению переменной, при котором функция принимает значение 0). Метод Галлея, несмотря на громоздкость формулы, работает эффективнее метода : последовательность сходится к нулю функции быстрее.

Рис. 12

Практическое применение фракталов

Фракталы находят всё большее применение в науке. Основная причина этого заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Вот несколько примеров.

Компьютерные системы

Cреди всех картинок, которые может создавать компьютер, лишь немногие могут поспорить с фрактальными изображениями, когда идет речь о подлинной красоте.

Наиболее полезным использованием фракталов в компьютерной науке является фрактальное сжатие данных. В основе этого вида сжатия лежит тот факт, что реальный мир хорошо описывается фрактальной геометрией. При этом, картинки сжимаются гораздо лучше, чем это делается обычными методами(такими как jpeg или gif). Другое преимущество фрактального сжатия в том, что при увеличении картинки, не наблюдается эффекта пикселизации (увеличения размеров точек до размеров, искажающих изображение). При фрактальном же сжатии, после увеличения, картинка часто выглядит даже лучше, чем до него.

Механика жидкостей

Изучение турбулентности в потоках очень хорошо подстраивается под

фракталы. Турбулентные потоки хаотичны и поэтому их сложно точно смоделировать. И здесь помогает переход к фрактальному представлению, что сильно облегчает работу инженерам и физикам, позволяя им лучше понять динамику сложных потоков.

При помощи фракталов также можно смоделировать языки пламени.

Пористые материалы хорошо представляются во фрактальной форме в связи с тем, что они имеют очень сложную геометрию. Это используется в нефтяной науке.

Телекоммуникации

Для передачи данных на расстоянии используются антенны, имеющие

фрактальные формы, что сильно уменьшает их размеры и вес. Фракталы используются для описания кривизны поверхностей. Неровная поверхность характеризуется комбинацией из двух разных фракталов.
Медицина

Биосенсорные взаимодействия. Биение сердца.
Биология

Моделирование хаотических процессов, в частности при описании моделей популяции.
Нанотехнологии

В случае нанотехнологии фракталы тоже играют важную роль, поскольку из-за своей иерархической самоорганизации многие наносистемы обладают нецелочисленной размерностью, то есть являются по своей геометрической, физико-химической или функциональной природе фракталами. Например, ярким примером химических фрактальных систем являются молекулы « дендримеров » . (Рис. 13)

Рис. 13

Литература

Среди литературных произведений находят такие, которые обладают текстуальной, структурной или семантической фрактальной природой. В текстовых фракталах потенциально бесконечно повторяются элементы текста («У попа была собака…», «Притча о философе, которому снится, что он бабочка, которой снится, что она философ, которому снится…» и тексты с наращениями («Дом, который построил Джек»)

В структурных фракталах схема текста потенциально фрактальна: венок сонетов (15 стихотворений), венок венков сонетов (211 стихотворений), венок венков венков сонетов (2455 стихотворений).

Заключение

Фрактал - объект, обладающий бесконечной сложностью, позволяющий рассмотреть столько же своих деталей вблизи, как и издалека. Земля -классический пример фрактального объекта. Из космоса она выглядит как шаp. Если приближаться к ней, мы обнаружим океаны, континенты, побережья и цепи гор. Будем рассматривать горы ближе - станут видны еще более мелкие детали: кусочек земли на поверхности горы в своем масштабе столь же сложный и неровный, как сама гора. И даже еще более сильное увеличение покажет крошечные частички грунта, каждая из которых сама является фрактальным объектом.

В заключении хочется сказать, что после того как были открыты фракталы, для многих учёных стало очевидно, что старые, добрые формы евклидовой геометрии сильно проигрывают большинству природных объектов из-за отсутствия в них некоторой нерегулярности, беспорядка и непредсказуемости. Возможно, что новые идеи фрактальной геометрии помогут изучить многие загадочные явления окружающей природы. В настоящие время фракталы стремительно вторгаются во многие области физики, биологии, медицины, социологии, экономики. Методы обработки изображений и распознавания образов, использующие новые понятия, дают возможность исследователям применить этот математический аппарат для количественного описания огромного количества природных объектов и структур.

Список используемой литературы

1. Bведение во фракталы,

2. Жиков В. В. О множествах Жюлиа. // Современное естествознание: Энциклопедия: В 10 т. Т.1: Математика. Механика. М., 2000.

3. Жиков В. В. Фракталы. // Современное естествознание: Энциклопедия: В 10 т. Т.1: Математика. Механика. М., 2000.

4. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. – М: Институт компьютерных исследований, 2002.

5. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов.-Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002, 160стр.

6. Динамические (алгебраические) фракталы // Элементы. . URL: http :// elementy . ru / posters / fractals / dynamic

7. Динамические (алгебраические) фракталы // Элементы. . URL: http :// elementy.ru/posters/fractals/Mandelbrot#nop

8. Алгебраические фракталы // Фракталы. . URL: http://rusproject.narod.ru/article/fractals.htm

Я обнаружил этот фрактал, когда разглядывал интерференцию волн на поверхности речки. Волна движется к берегу, отражается и накладывается сама на себя. Есть ли порядок в тех узорах, которые создаются волнами? Попробуем найти его. Рассмотрим не всю волну, а только вектор ее движения. «Берега» сделаем гладкими, для простоты эксперимента.

Эксперимент можно провести на обычном листке в клеточку из школьной тетради.

Или используя JavaScript реализацию алгоритма.

Возьмем прямоугольник со сторонами q и p. Отправим луч (вектор) из угла в угол. Луч двигается к одной из сторон прямоугольника, отражается и продолжает движение к следующей стороне. Это продолжается до тех пор, пока луч не попадет в один из оставшихся углов. Если размер стороны q и p - взаимно просты числа, то получается узор (как мы увидим позже - фрактал).

На картинке мы ясно видим, как работает этот алгоритм.

Gif-анимация:

Самое удивительное то, что с разными сторонами прямоугольника - получаем разные узоры.

Почему я называю эти узоры фракталами? Как известно, «фрактал» - это геометрическая фигура, обладающая свойствами самоподобия. Часть картинки повторяет всю картинку в целом. Если значительно увеличить размеры сторон Q и P - ясно, что эти узоры обладают свойствами самоподобия.

Попробуем увеличить. Увеличивать будем хитрым способом. Возьмем, например, узор 17x29. Следующие узоры будут: 29x(17+29=46), 46x(29+46=75)…
Одна сторона: F(n);
Вторая сторона: F(n+1)=F(n)+F(n-1);
17, 29, 46, 75, 121, 196, 317, 513, 830, 1343
Как числа Фибоначчи, только с другими первым и вторым членом последовательности: F(0)=17, F(1)=29.

Если большая сторона четная, получается такой узор:

Если меньшая сторона четная:

Если обе стороны нечетные - получаем симметрический узор:

В зависимости от того, как начинается луч:

или

Попробую объяснить, что происходит в этих прямоугольниках.

Отделим от прямоугольника квадрат, и посмотрим, что происходит на границе.

Луч выходит в той-же точке, откуда зашел.

При этом, количество квадратиков, которые проходит луч - всегда четное число.

Поэтому, если отрезать от прямоугольника квадрат - останется не измененная часть фрактала.

Если отделять от фрактала квадраты столько раз, сколько это возможно - можно добраться до «начала» фрактала.

Похоже на спираль Фибоначчи?

Из чисел Фибоначчи тоже можно получить фракталы.

В математике числами Фибоначчи (ряд Фибоначчи, последовательность Фибоначчи) называют числа:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…
По определению, первые две цифры в последовательности Фибоначчи 0 и 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих.
F(n)=F(n-1)+F(n-2)
F(0)=0, F(1)=1

Поехали:

Как мы видим, чем ближе отношение сторон приближается к золотому сечению - тем больше детализация фрактала.

При этом фрактал повторяет часть фрактала, увеличенного на .

Вместо чисел Фибоначчи можно использовать иррациональные размеры сторон:

Получим тот-же фрактал.

Те-же фракталы можно получить и в квадрате, если пускать луч под другим углом:

Что можно сказать в заключении?
Хаос - это тоже порядок. Со своими закономерностями. Порядок этот не изученный, но вполне поддающийся изучению. А все стремление науки - обнаружить эти закономерности. И в конечном итоге соединить детали головоломки, чтобы увидеть общую картину.
Давайте посмотрим на поверхность речки. Если бросить в нее камень - пойдут волны. Круги, вполне поддающиеся изучению. Скорость, период, длину волны - все это можно подсчитать. Но до тех пор, пока волна не дойдет до берега, не отразиться и не начнет накладываться на саму себя. Получим хаос (интерференцию), который уже трудно поддается изучению.
Что если двигаться от обратного? Упростить поведение волны на столько, на сколько это возможно. Упростить, найти закономерность и после этого попробовать описать уже полную картину происходящего.
Что можно упростить? Очевидно, что сделать отражающую поверхность прямой, без изгибов. Далее, вместо самой волны, использовать только вектор движения волны. В принципе, этого достаточно, чтобы построить простой алгоритм и смоделировать процесс на компьютере. И даже вполне достаточно, чтобы сделать «модель» поведения волны на обычном листке в клеточку.
Что имеем в результате? В результате видим, что в волновых процессах (та-же рябь на поверхности речки) имеем не хаос, а наложение фракталов (самоподобных структур) друг на друга.

Рассмотрим другой вид волн. Как известно, электромагнитная волна состоит из трех векторов - волновой вектор и вектора напряженности электрического и магнитного поля. Как видим, если «словить» такую волну в замкнутой области – там, где пересекаются эти вектора, получаем вполне четкие замкнутые структуры. Быть может, элементарные частицы – это такие-же фракталы?

Все фрактальчики в прямоугольниках от 1 до 80 (6723х6723 px):

Замкнутые области во фракталах (6723х6723 px):

Просто красивый фрактал (4078x2518 px):

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ, МОЛОДЁЖИ И СПОТРА УКРАИНЫ

ОДЕССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ

КАФЕДРА ФИЗИКИ

Р Е Ф Е Р А Т

По дисциплине: «Физическое материаловедение»

На тему: « ФРАКТАЛЫ»

Выполнил:

ст.гр. ЗПГС – 501 М

Злуняев Е.А.

з/кн № 08070

Проверил:

проф., Герега А.Н.

Одесса - 2013

ФРАКТАЛЫ

Введение

1. Чтотакое фракталы

2. Классические фракталы

2.1 Снежинка Коха

2.2 Салфетка и ковёр Серпинского

3. L-системы

4. Практическое применение фракталов

Литература

Введение

Когда большинству людей казалось, что геометрия в природе ограничивается такими простыми фигурами, как линия, круг, коническое сечение, многоугольник, сфера, квадратичная поверхность, а также их комбинациями. К примеру, что может быть красивее утверждения о том, что планеты в нашей солнечной системе движутся вокруг солнца по эллиптическим орбитам?

Однако многие природные системы настолько сложны и нерегулярны, что использование только знакомых объектов классической геометрии для их моделирования представляется безнадежным. Как к примеру, построить модель горного хребта или кроны дерева в терминах геометрии? Как описать то многообразие биологических конфигураций, которое мы наблюдаем в мире растений и животных? Представьте себе всю сложность системы кровообращения, состоящей из множества капилляров и сосудов и доставляющей кровь к каждой клеточке человеческого тела. Представьте, как хитроумно устроены легкие и почки, напоминающие по структуре деревья с ветвистой кроной.

Столь же сложной и нерегулярной может быть и динамика реальных природных систем. Как подступиться к моделированию каскадных водопадов или турбулентных процессов, определяющих погоду?

Фракталы и математический хаос - подходящие средства для исследования поставленных вопросов. Термин фрактал относится к некоторой статичной геометрической конфигурации, такой как мгновенный снимок водопада. Хаос - термин динамики, используемый для описания явлений, подобных турбулентному поведению погоды. Нередко то, что мы наблюдаем в природе, интригует нас бесконечным повторением одного и того же узора, увеличенного или уменьшенного во сколько угодно раз. Например, у дерева есть ветви. На этих ветвях есть ветки поменьше и т.д. Теоретически, элемент «разветвление» повторяется бесконечно много раз, становясь все меньше и меньше. То же самое можно заметить, разглядывая фотографию горного рельефа. Попробуйте немного приблизить изображение горной гряды - вы снова увидите горы. Так проявляется характерное для фракталов свойство самоподобия.

Во многих работах по фракталам самоподобие используется в качестве определяющего свойства. Следуя Бенуа Мадельброту, мы принимаем точку зрения, согласно которой фракталы должны определяться в терминах фрактальной (дробной) размерности. Отсюда и происхождение слова фрактал (от лат. fractus - дробный).

Понятие дробной размерности представляет собой сложную концепцию, которая излагается в несколько этапов. Прямая - это одномерный объект, а плоскость - двумерный. Если хорошенько перекрутив прямую и плоскость, можно повысить размерность полученной конфигурации; при этом новая размерность обычно будет дробной в некотором смысле, который нам предстоит уточнить. Связь дробной размерности и самоподобия состоит в том, что с помощью самоподобия можно сконструировать множество дробной размерности наиболее простым образом. Даже в случае гораздо более сложных фракталов, таких как граница множества Мандельброта, когда чистое самоподобие отсутствует, имеется почти полное повторение базовой формы во все более и более уменьшенном виде.

Что такое фракталы

Фракталы известны уже почти век, хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни. В основе этого явления лежит очень простая идея: бесконечное по красоте и разнообразию множество фигур можно получить из относительно простых конструкций при помощи всего двух операций - копирования и масштабирования.

У этого понятия нет строгого определения. Поэтому слово «фрактал» не является математическим термином. Обычно так называют геометрическую фигуру, которая удовлетворяет одному или нескольким из следующих свойств: обладает сложной структурой при любом увеличении; является (приближенно) самоподобной; обладает дробной хаусдорфовой (фрактальной) размерностью, которая больше топологической; может быть построена рекурсивными процедурами.

На рубеже XIX и XX веков изучение фракталов носило скорее эпизодический, нежели систематический характер, потому что раньше математики в основном изучали «хорошие» объекты, которые поддавались исследованию при помощи общих методов и теорий. В 1872 году немецкий математик Карл Вейерштрасс построил пример непрерывной функции, которая нигде не дифференцируема. Однако его построение было целиком абстрактно и трудно для восприятия. Поэтому в 1904 году швед Хельге фон Кох придумал непрерывную кривую, которая нигде не имеет касательной, причем ее довольно просто нарисовать. Оказалось, что она обладает свойствами фрактала. Один из вариантов этой кривой носит название «снежинка Коха».

Идеи самоподобия фигур подхватил француз Поль Пьер Леви, будущий наставник Бенуа Мандельброта. В 1938 году вышла его статья «Плоские и пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей, подобных целому», в которой описан еще один фрактал - С-кривая Леви. Все эти вышеперечисленные фракталы можно условно отнести к одному классу конструктивных (геометрических) фракталов. Другой класс - динамические (алгебраические) фракталы, к которым относится и множество Мандельброта. Первые исследования в этом направлении относятся к началу XX века и связаны с именами французских математиков Гастона Жюлиа и Пьера Фату. В 1918 году вышел почти двухсотстраничный труд Жюлиа, посвященный итерациям комплексных рациональных функций, в котором описаны множества Жюлиа - целое семейство фракталов, близко связанных с множеством Мандельброта. Этот труд был удостоен приза Французской академии, однако в нем не содержалось ни одной иллюстрации, так что оценить красоту открытых объектов было невозможно. Несмотря на то что это работа прославила Жюлиа среди математиков того времени, о ней довольно быстро забыли.

Вновь внимание к работам Жюлиа и Фату обратилось лишь полвека спустя, с появлением компьютеров: именно они сделали видимыми богатство и красоту мира фракталов. Ведь Фату никогда не мог посмотреть на изображения, которые мы сейчас знаем как изображения множества Мандельброта, потому что необходимое количество вычислений невозможно провести вручную. Первым, кто использовал для этого компьютер был Бенуа Мандельброт.

В 1982 году вышла книга Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», в которой автор собрал и систематизировал практически всю имевшуюся на тот момент информацию о фракталах и в легкой и доступной манере изложил ее. Основной упор в своем изложении Мандельброт сделал не на тяжеловесные формулы и математические конструкции, а на геометрическую интуицию читателей. Благодаря иллюстрациям, полученным при помощи компьютера, и историческим байкам, которыми автор умело разбавил научную составляющую монографии, книга стала бестселлером, а фракталы стали известны широкой публике. Их успех среди нематематиков во многом обусловлен тем, что с помощью весьма простых конструкций и формул, которые способен понять и старшеклассник, получаются удивительные по сложности и красоте изображения. Когда персональные компьютеры стали достаточно мощными то появилось даже целое направление в искусстве - фрактальная живопись, причем заниматься ею мог практически любой владелец компьютера. Сейчас в интернете можно легко найти множество сайтов, посвященных этой теме.

1.1. Геометрические (конструктивные) фракталы

Фракталы этого типа строятся поэтапно. Сначала изображается основа. Затем некоторые части основы заменяются на фрагмент. На каждом следующем этапе части уже построенной фигуры, аналогичные замененным частям основы, вновь заменяются на фрагмент, взятый в подходящем масштабе. Всякий раз масштаб уменьшается. Когда изменения становятся визуально незаметными, считают, что построенная фигура хорошо приближает фрактал и дает представление о его форме. Для получения самого фрактала нужно бесконечное число этапов. Меняя основу и фрагмент, можно получить много разных геометрических фракталов.

Геометрические фракталы хороши тем, что, с одной стороны, являются предметом достаточного серьезного научного изучения, а с другой стороны, их можно «увидеть» - даже человек, далекий от математики, найдет в них что-то для себя. Такое сочетание редко в современной математике, где все объекты задаются с помощью непонятных слов и символов. Оказывается, многие геометрические фракталы можно нарисовать буквально на листочке бумаги в клетку. Сразу оговоримся, что все получаемые изображения (в том числе и те, что приведены на этом плакате) являются лишь конечными приближениями бесконечных по своей сути фракталов. Но всегда можно нарисовать такое приближение, что глаз не будет различать совсем мелкие детали и наше воображение сможет создать верную картину фрактала. Например, имея достаточно большой лист миллиметровой бумаги и запас свободного времени, можно вручную нарисовать такое точное приближение к ковру Серпинского, что с расстояния в несколько метров невооруженный глаз будет воспринимать его как настоящий фрактал. Компьютер позволит сэкономить время и бумагу и при этом еще увеличить точность рисования.

Снежинка Коха

Т-квадрат; H-фрактал

Треугольник Серпинского

Дерево Пифагора

Кривая Леви

1.2. Динамические (алгебраические) фракталы

Фракталы этого типа возникают при исследовании нелинейных динамических систем (отсюда и название). Поведение такой системы можно описать комплексной нелинейной функцией (многочленом) f(z). Возьмем какую-нибудь начальную точку z0 на комплексной плоскости. Теперь рассмотрим бесконечную последовательность чисел на комплексной плоскости, каждое следующее из которых получается из предыдущего: z0, z1 = f(z0), z2 = f(z1), ... zn+1 = f(zn). В зависимости от начальной точки z0 такая последовательность может вести себя по-разному: стремиться к бесконечности при n → ∞; сходиться к какой-то конечной точке; циклически принимать ряд фиксированных значений; возможны и более сложные варианты.

Таким образом, любая точка z комплексной плоскости имеет свой характер поведения при итерациях функции f(z), а вся плоскость делится на части. При этом точки, лежащие на границах этих частей, обладают таким свойством: при сколь угодно малом смещении характер их поведения резко меняется (такие точки называют точками бифуркации). Так вот, оказывается, что множества точек, имеющих один конкретный тип поведения, а также множества бифуркационных точек часто имеют фрактальные свойства. Это и есть множества Жюлиа для функции f(z).

Множество Мандельброта строится несколько иначе. Рассмотрим функцию fc(z) = z2 + с, где c - комплексное число. Построим последовательность этой функции с z0 = 0, в зависимости от параметра с она может расходиться к бесконечности или оставаться ограниченной. При этом все значения с, при которых эта последовательность ограничена, как раз и образуют множество Мандельброта. Оно было детально изучено самим Мандельбротом и другими математиками, которые открыли немало интересных свойств этого множества.

Видно, что определения множеств Жюлиа и Мандельброта похожи друг на друга. На самом деле эти два множества тесно связаны. А именно, множество Мандельброта - это все значения комплексного параметра c, при которых множество Жюлиа fc(z) связно (множество называется связным, если его нельзя разбить на две непересекающиеся части, с некоторыми дополнительными условиями).

Множество Мандельброта

Множества Жюлиа

Фрактал Галлея

Фрактал Ньютона

2. Классические фракталы

2.1 Снежинка Коха

В начале ХХ века математики искали такие кривые, которые ни в одной точке не имеют касательной. Это означало, что кривая резко меняет свое направление, и притом с колоссально большой скоростью (производная равна бесконечности). Поиски данных кривых были вызваны не просто праздным интересом математиков. Дело в том, что в начале ХХ века очень бурно развивалась квантовая механика. Исследователь М.Броун зарисовал траекторию движения взвешенных частиц в воде и объяснил это явление так: беспорядочно движущиеся атомы жидкости ударяются о взвешенные частицы и тем самым приводят их в движение. После такого объяснения броуновского движения перед учеными встала задача найти такую кривую, которая бы наилучшим образом аппроксимировала движение броуновских частиц. Для этого кривая должна была отвечать следующим свойствам: не иметь касательной ни в одной точке. Математик Кох предложил одну такую кривую. Мы не будем вдаваться в объяснения правила ее построения, а просто приведем ее изображение, из которого все станет ясно (рис.1.1.1).

Рис 2.1.1. Снежинка Коха.

Одно важное свойство, которым обладает граница снежинки Коха - ее бесконечная длина. Это может показаться удивительным, потому что мы привыкли иметь дело с кривыми из курса математического анализа. Обычно гладкие или хотя бы кусочно-гладкие кривые всегда имеют конечную длину (в чем можно убедиться интегрированием). Мандельброт в этой связи опубликовал ряд увлекательных работ, в которых исследуется вопрос об измерении длины береговой линии Великобритании. В качестве модели он

Рис. 2.1.2. Построение снежинки Коха.

использовал фрактальную кривую, напоминающую границу снежинки за тем исключением, что в нее введен элемент случайности, учитывающий случайность в природе. В результате оказалось, что кривая, описывающая береговую линию, имеет бесконечную длину.

2.2 Салфетка и ковёр Серпинского

Еще один пример простого самоподобного фрактала - салфетка Серпинского (рис. 1.2.1), придуманный польским математиком Вацлавом Серпинским в 1915 году. Сам термин салфетка принадлежит Мандельброту. В способе построения, следующем ниже, мы начинаем с некоторой области и последовательно выбрасываем внутренние подобласти. Позднее мы рассмотрим и другие способы, в частности с использованием L-систем, а также на основе итерированных функций.

Рис 2.2.1. Салфетка Серпинского

Пусть начальное множество S0 - равносторонний треугольник вместе с областью, которую он замыкает. Разобьем S0 на четыре меньшие треугольные области, соединив отрезками середины сторон исходного треугольника. Удалим внутренность маленькой центральной треугольной области. Назовем оставшееся множество S1 (рис. 1.2.2). Затем повторим процесс для каждого из трех оставшихся маленьких треугольников и получим следующее приближение S2. Продолжая таким образом, получим последовательность вложенных множеств Sn, чье пересечение образует салфетка S.

Рис. 2.2.2. Построение салфетки Серпинского

Очевидно, что суммарная площадь частей, выкинутых при построении, в точности равна площади исходного треугольника. На первом шаге мы выбросили ¼ часть площади. На следующем шаге мы выбросили три треугольника, причем площадь каждого равна ¼ 2 площади исходного. Рассуждая таким образом, мы убеждаемся, что полная доля выкинутой площади составила:

1/4 + 3*(1/42) + 32*(1/43) + … + 3n-1*(1/4n) + … .

Эта сумма равна. Следовательно, мы можем утверждать, что оставшееся множество S, то есть салфетка, имеет площадь меры нуль. Это выделяет множество S в разряд «совершенного», в том смысле, что оно разбивает свое дополнение на бесконечное число треугольных областей, обладая при этом нулевой толщиной.

Описание работы

В 1982 году вышла книга Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», в которой автор собрал и систематизировал практически всю имевшуюся на тот момент информацию о фракталах и в легкой и доступной манере изложил ее. Основной упор в своем изложении Мандельброт сделал не на тяжеловесные формулы и математические конструкции, а на геометрическую интуицию читателей. Благодаря иллюстрациям, полученным при помощи компьютера, и историческим байкам, которыми автор умело разбавил научную составляющую монографии, книга стала бестселлером, а фракталы стали известны широкой публике.