Hlavní podmínkou stability automatických řídicích systémů. Vliv parametrů samohybného děla na jeho stabilitu

Sledovací systém (obr. 1.14, a) je při své chybě ve stavu rovnováhy, tento stav může být stabilní nebo nestabilní. Pokud se po nějaké změně hnací síly (otočení hnacího hřídele o úhel) systém v důsledku tlumeného přechodového děje (obr. 2.1, a, b) vrátí do rovnovážného stavu, pak tento rovnovážný stav je stabilní a soustava se nazývá stabilní, kdy po nepatrné změně hnací síly (vychýlení soustavy z rovnovážného stavu) soustava nesměřuje k původnímu rovnovážnému stavu, ale netlumeným kmitům soustavy. vznikají v něm regulované veličiny (obr. 2.1, c, d) nebo bude změna nezávislá na tom, že rovnovážný stav v tomto systému je nestabilní a systém se nazývá nestabilní.

Vizuální reprezentace stabilních a nestabilních rovnovážných stavů je dána uvažováním systému koule-plocha. Kulička umístěná v prohlubni (obr. 3.1, a) je ve stabilním rovnovážném stavu, protože po svém vychýlení pod vlivem vnějšího vlivu se vrátí do původního stavu. Systém kulové plochy je stabilní. Koule, která se nachází v nejvyšším bodě kopce (obr., je v nestabilní rovnovážné poloze: mírná odchylka od

Rýže. 3.1. K pojmu stability rovnovážných stavů systému koule-plocha: a - stabilní stav; b - nestabilní stav; c - stav, který je stabilní pro malé a nestabilní pro velké odchylky.

tento stav a míč se bude kutálet po svahu povrchu a nevrátí se do své původní polohy. Uvažovaný systém je nestabilní.

Stabilita je tedy chápána jako vlastnost systému vrátit se do předchozího rovnovážného stavu po jeho odstranění z tohoto stavu a zastavení změny hlavního nebo vlivu rušivého vlivu.

Funkční je pouze stabilní systém. Proto je jedním z hlavních úkolů teorie automatického řízení studium stability systémů automatického řízení. Základy rigorózní teorie stability dynamických systémů vypracoval akad. A. M. Lyapunov ve své práci „Obecný problém stability pohybu“ (1892). Koncepty udržitelnosti, které vycházejí z této práce, jsou následující.

Pokud je systém popsán lineární diferenciální rovnicí, pak jeho stabilita nezávisí na velikosti poruchy. Lineární systém, který je stabilní při malých poruchách, bude stabilní i při velkých poruchách. Nelineární systémy mohou být stabilní při malých poruchách a nestabilní při velkých poruchách. Příkladem takového nelineárního systému jsou nástěnné hodiny. Je-li na stacionární kyvadlo vyvíjen slabý tlak, kyvadlo se po několika výkyvech zastaví, tj. systém je stabilní i při malých poruchách. Pokud je kyvadlu dán silnější impuls, pak poslední z navinutých hodin začne provádět netlumené oscilace. V důsledku toho je systém při velkých poruchách nestabilní. Jasná představa o nelineárních systémech, které jsou stabilní při malých a nestabilních při velkých poruchách, je dána uvažováním koule umístěné v prohlubni umístěné v horní části konvexního tělesa (obr. 3.1, c). Při malých odchylkách nepřesahujících okraj prohlubně se kulička vrátí do své původní polohy, to znamená, že systém kulička-plocha je stabilní. Pokud se vychýlí za okraj prohlubně, kulička se nevrátí do původní polohy – systém je nestabilní. Proto se u nelineárních systémů stabilita studuje zvlášť pro případ malých poruch, tj. stabilita v malých, a stabilita při velkých poruchách, tj. stabilita ve velkých.

Podle Ljapunovovy věty lze stabilitu nelineárních systémů při malých poruchách posuzovat podle jejich linearizovaných rovnic, které poměrně přesně popisují chování systémů při malých odchylkách od rovnovážného stavu. Pro stanovení stability nelineárních systémů při velkých poruchách je nutné použít původní rovnice nelineární dynamiky. Ve většině praktických případů se systémy, které jsou stabilní pro malé odchylky, ukazují jako stabilní i pro poměrně velké odchylky možné během provozu, a proto lze otázku stability těchto systémů vyřešit na základě studia linearizovaných rovnic.

Problém stability obvykle vzniká u uzavřených samohybných děl vlivem zpětné vazby. Proto se v budoucnu stabilita studuje na příkladech uzavřených systémů, i když metody studia stability jsou univerzální.

Stabilita automatického řídicího systému je jednou z nejdůležitějších charakteristik systému, protože závisí na tom výkon systému. Systém, který postrádá stabilitu, nemůže efektivně vyřešit problém ovládání. Nedostatek stability může také vést ke zničení samotného systému během procesu řízení nebo zničení objektu řízení, proto je použití nestabilních systémů nevhodné.

Stabilita automatického řídicího systému - to je vlastnost vzduchového systému

otočit do počátečního stavu rovnováhy po zániku vlivu, který přivedl systém do stavu počáteční rovnováhy.

Příkladem stabilních a nestabilních systémů je systém koule umístěné na konkávním a konvexním povrchu, znázorněný na obrázku 60.

Obr.60. Příklady systémů: a) stabilní; b) nestabilní

Na obrázku 60a se kulička umístěná na konkávním povrchu a posunutá do strany určitou silou vrátí do své původní rovnovážné polohy po skončení vnějšího vlivu. Při absenci tření na povrchu nebo jeho minimální hodnoty bude kulička provádět krátké oscilace kolem rovnovážné polohy až do návratu do původní rovnovážné polohy (křivka 1 - tlumený oscilační proces). Při velkém tření se kulička vrátí do výchozí rovnovážné polohy bez oscilací (křivka 2 - aperiodický proces). Pokud je hodnota tření velmi velká, kulička se nemusí vrátit do výchozí rovnovážné polohy (křivka 3), ale vrátí se do oblasti blízké rovnovážné poloze. V posuzovaném případě se jedná o stabilní systém. Ve stabilních systémech automatického řízení dochází k podobným přechodným procesům (tlumené oscilace a aperiodické).

Na obrázku 60b se koule umístěná na konvexním povrchu a posunutá do strany určitou silou nevrátí do výchozí rovnovážné polohy (křivka 4), takže systém je nestabilní. V nestabilních systémech probíhají přechodové procesy ve formě divergentních oscilací (křivka 5) nebo aperiodických (křivka 4).

Nestabilita ACS zpravidla vzniká v důsledku velmi silného zpětného účinku. Příčinou dynamické nestability jsou obvykle výrazné setrvačné charakteristiky spojů systému s uzavřenou smyčkou, díky nimž zpětnovazební signál v oscilačním režimu natolik zaostává za vstupním signálem, že je s ním ve fázi. Ukazuje se, že charakter negativní zpětné vazby přebírá charakter

pozitivní.

Vytvořme matematický popis stability a nestability. Protože stabilita systému závisí pouze na povaze jeho volného pohybu, lze tento volný pohyb systému popsat pomocí homogenní diferenciální rovnice:

charakteristická rovnice, která bude reprezentována následujícím výrazem:

Uveďme obecné řešení homogenní diferenciální rovnice (2.19.) v následujícím tvaru:

Kde C k – konstanty závislé na počátečních podmínkách, p k jsou kořeny charakteristické rovnice.

Kořeny charakteristické rovnice mohou být složité ( p k = α k ± jβ k ), platný ( p k = α k ) nebo imaginární ( p k = jβ k ). Komplexní kořeny jsou vždy párově konjugované, tzn. pokud existuje kořen rovnice s kladnou imaginární částí, pak jistě bude existovat kořen se stejnou absolutní hodnotou, ale zápornou imaginární částí. y(t) na t → ∞ od (2.21.) bude mít tendenci k nule pouze při každém členu S k e p k t → 0. Povaha této funkce bude záviset na typu kořene. Možné případy umístění kořene p k na komplexní rovině a jejich odpovídající funkce y(t) = C k e p k t jsou uvedeny na obrázku 61. Vzhled funkcí je znázorněn uvnitř elips.

Obr.61. Vliv umístění kořenů charakteristické rovnice na

součástí volného pohybu systému

Obrázek 61 ukazuje, že pokud každý skutečný kořen p k= α k pro výraz (2.21.) bude výraz odpovídat:

y k (t) = C k eα k t(2.22.)

pak v α až< 0 (vykořenit p 1) funkce při t→ ∞ bude mít tendenci k nule, když α k > 0 (vykořenit p 3 ) funkce se bude zvyšovat bez omezení a kdy a k = 0 (vykořenit p 2) funkce zůstane konstantní.

Pokud má charakteristická rovnice komplexní kořeny, pak každá dvojice sdružených komplexních kořenů p k, k+1 = α k ± jβ k , budou jim odpovídat dva termíny, které lze kombinovat a reprezentovat jako následující výraz:

Tato funkce je sinusoida s exponenciálně se měnící amplitudou a frekvencí β k . Pro negativní reálnou část dvou komplexních kořenů α k, k+1< 0 , (kořeny p 4 A p5 ) oscilační složka funkce bude klesat a s kladnou reálnou částí a k, k+1 > 0 , (kořeny p 8 A p 9 ) amplituda kmitů se bude neomezeně zvyšovat. Při absenci skutečné části komplexních kořenů a k, k+1 = 0 (kořeny p 6 A p7 ), tj. v přítomnosti pouze imaginárních kořenů bude funkcí spojitá sinusoida s frekvencí β k .

Na základě definice stability, je-li výchozí rovnovážná poloha brána jako nulová, pak by u stabilních systémů měla hodnota výstupního parametru směřovat v čase k nule, tzn. systém se sám vrátí do své rovnovážné polohy. Nezbytnou a postačující podmínkou k tomu je, že všechny členy řešení diferenciální rovnice (2.21.) mají v čase tendenci k nule, čehož lze dosáhnout zápornými reálnými kořeny rovnice a komplexní kořeny musí mít zápornou reálnou část. Existence alespoň jednoho kladného reálného kořene nebo dvojice komplexních kořenů s kladnou reálnou částí povede k tomu, že se hodnota výstupního parametru systému nevrátí na původní hodnotu, tzn. systém bude nestabilní.

Při analýze umístění kořenů charakteristické rovnice v komplexní rovině, zobrazené na obrázku 62, si lze všimnout, že ACS je stabilní, pokud jsou všechny kořeny charakteristické rovnice v levé polorovině a všechny jsou záporné reálné nebo komplex s negativní reálnou částí. Přítomnost alespoň jednoho kořene v pravé polorovině bude charakterizovat nestabilitu systému.

Stabilita systému je vnitřní vlastností systému, závisí pouze na typu kořenů charakteristické rovnice, která popisuje vlastnosti systému, a nezávisí na vnějších vlivech. Nezbytnou a postačující podmínkou stability soustavy je poloha všech kořenů rovnice v levé (záporné) polorovině.

Kladná a záporná polorovina, ve kterých se nacházejí kladné nebo záporné kořeny charakteristické rovnice, zajišťující stabilitu nebo nestabilitu systému, jsou odděleny pomyslnou osou ± jp . Tato osa je hranicí stability, má-li tedy charakteristická rovnice jeden pár čistě imaginárních kořenů p k, k+1 =± jβ k , a ostatní kořeny jsou v záporné polorovině, pak je systém charakterizován přítomností netlumených kmitů s frekvencí ω = β k. Obecně se uznává, že v tomto případě je systém na mez oscilační stability .

Tečka β = 0 na pomyslné ose odpovídá nulové odmocnině. Rovnice, která má jeden nulový kořen, je považována za at limit aperiodické stability a v přítomnosti dvou nulových kořenů je systém nestabilní.

Obr.62. Umístění kořenů charakteristické rovnice stabilní soustavy na

komplexní rovina

Nezapomeňte, že rovnice téměř všech skutečných automatických řídicích systémů nejsou lineární, ale jsou pomocí linearizace redukovány na lineární rovnice, takže předpoklady učiněné během linearizace mohou ovlivnit správnost určení stability systému.

A. M. Ljapunov v roce 1892 ve své práci „Obecný problém stability pohybu“ poskytl důkaz teorému, ve kterém byly učiněny následující závěry pro linearizované rovnice:

1. Pokud jsou všechny reálné kořeny charakteristické rovnice systému záporné, pak je systém považován za stabilní.

2. Pokud je alespoň jeden skutečný kořen charakteristické rovnice systému kladný, pak je systém považován za nestabilní.

3. Pokud má charakteristická rovnice linearizovaného systému alespoň jeden nulový kořen nebo jeden pár imaginárních kořenů, pak nelze z linearizované rovnice usuzovat na stabilitu reálného systému.

Následně je třeba učinit závěr o stabilitě reálných systémů na základě analýzy původní nelineární rovnice a k určení nestability či stability systému postačí identifikovat pozitivitu (negativitu) reálných kořenů charakteristická rovnice.

Kritéria udržitelnosti pojmenujte určitá pravidla, podle kterých se v teorii automatického řízení určují znaménka kořenů charakteristické rovnice bez jejího řešení. Existují algebraická a frekvenční kritéria stability.

Algebraická kritéria stabilita systému je nezbytnou a postačující podmínkou pro to, aby kořeny byly pro určité hodnoty koeficientů v charakteristické rovnici záporné.

Frekvenční kritéria stability systému, byla stanovena závislost stability systému na tvaru frekvenčních charakteristik systému.

Stabilita je schopnost systému vrátit se do nominálního režimu, pokud se z nějakého důvodu odchýlí od tohoto režimu.

Požadavky na stabilitu jsou povinné pro všechna samohybná děla.

Přísnou definici udržitelnosti uvedl A.M. Ljapunov ve své práci „Obecný problém stability pohybu“ (konec 19. století)

Nechť je dynamika systému popsána rovnicí

y - výstupní hodnota

X- vstupní množství

y ( i ) , X ( j ) - deriváty.

Předpokládejme, že tento systém má jmenovitý provozní režim na n (t), který je jednoznačně určen jmenovitým vstupním vlivem X n (t) a nominální počáteční podmínky.

(2)

Protože nominální počáteční podmínky (2) se v praxi obtížně udržují, existují v systému „odchylné“ počáteční podmínky.

(3)

Pro nominální režim platí rovnice:

Zamítnuté počáteční podmínky odpovídají odmítnutému režimu.

Pro odmítnutý režim platí rovnice:

(6)

Odečtením rovnice (4) od rovnice (5) dostaneme (7)

Pojďme si představit definici.

Nominální režim na n (t) Stáj Ljapunov, jestliže pro jakékoli zamítnuté počáteční podmínky (3), které se dostatečně liší od nominálních nominálních počátečních podmínek (2), pro všechna t > 0 bude z(t) malé.

Pokud je nominální režim stabilní podle Ljapunova a zároveň limit
, pak se zavolá nominální režim asymptoticky stabilní.

Pokud existují počáteční podmínky (3), které se liší tak málo, jak je požadováno od nominálních počátečních podmínek (2), a současně
se stane větší než nějaká malá, předem určená hodnota, pak nominální režim na n (t) volal nestabilní.

Z (7) vyplývá, že chování z(t) zcela nezávisle na typu vstupního vlivu X n (t) .

To vede k následujícímu závěru: buď v systému (1) jsou asymptoticky stabilní Všechno nominální režimy odpovídající různým vstupům X n (t), nebo jsou všechny nestabilní.

Můžeme tedy hovořit o stabilitě či nestabilitě systému a ne o žádném z jeho režimů.

To je důležité zjištění, které snižuje rozsah výzkumu ACS.

Bohužel platí pouze pro lineární samohybná děla.

Nezbytné a dostatečné podmínky pro stabilitu lineárních samohybných děl.

Pro asymptotickou stabilitu lineárních systémů je nutné a postačující, aby všechny kořeny charakteristické rovnice.

bude mít negativní reálnou část.

Je známo, že řešení diferenciální rovnice s konstantními koeficienty

1. Nechť jsou kořeny skutečné.

Na

- a to je odchylka od jmenovitého režimu.

2. Pokud jsou kořeny složité.

Nezbytná podmínka stability.

Pro asymptotickou stabilitu soustavy (1), (8) je nutné, aby všechny koeficienty charakteristické rovnice měly stejné znaménko.

Geometrická interpretace podmínky stability

Pro stabilitu ACS je nutné a postačující, aby kořeny charakteristické rovnice byly umístěny v levé polorovině komplexní roviny kořenů.

Kritéria stability ACS.

Jedná se o umělé techniky, které umožňují bez hledání kořenů charakteristické rovnice odpovědět na otázky o stabilitě samohybných děl, tzn. určit znaky skutečných částí kořenů.

Dva typy kritérií stability:

1). Algebraické kritérium stability (Hurwitzovo kritérium stability).

Nechť je dána charakteristická rovnice.

Pro stabilitu samohybných děl je nutné a postačující:

1). Aby všechny koeficienty charakteristické rovnice měly stejné znaménko -
(
systém není stabilní)

2). Hlavní Hurwitzův determinant sestavený podle určitého pravidla a všechny jeho vedlejší úhlopříčky by měly znaménko koeficientů - byly by větší než nula.

Pravidla pro psaní hlavní definice Hurwitze.

1). Podél hlavní diagonály determinantu jsou všechny koeficienty charakteristické rovnice umístěny ve vzestupném pořadí indexů, počínaje A 1 .

2). Prostory v determinantu nad hlavní diagonálou jsou vyplněny koeficienty charakteristické rovnice v pořadí rostoucích indexů.

3). Prostory v determinantu pod hlavní diagonálou jsou vyplněny koeficienty charakteristické rovnice v sestupném pořadí indexů.

4). Místa v determinantu, kde by se měly objevit koeficienty s indexy většími, než by se měly objevit n a méně nula, vyplněné nulami

Hlavní Hurwitzův determinant má tedy tvar:

A=
>0

Samohybná pistole je stabilní, pokud

1). Všechny koeficienty charakteristické rovnice jsou větší než nula ( 0!)

,
, ….

2). Hlavní Hurwitzův determinant a všechny jeho diagonální vedlejší > 0.

,
,
, ….

Podívejme se na příklady.

1.

1.

2.

Pro stabilitu ACS druhého řádu je nezbytnou a postačující podmínkou stability kladnost koeficientů charakteristické rovnice.

1.
i=0…3

2.

Nezbytnou a postačující podmínkou stability systémů třetího řádu je kladnost koeficientů a součin vnitřních členů
musí existovat více než jen produkt extrémních podmínek
charakteristická rovnice.

,

,
,

Existuje také Routhovo algebraické kritérium. Toto je stejné Hurwitzovo kritérium, ale organizované tak, že je vhodné je použít k vytvoření programů pro stanovení stability.

Vyshnegradského kritérium stability pro systémy třetího řádu.

Vyshnegradsky I.A. navrhl zobrazit hranici stability na tzv. Vyšněgradského parametrické rovině.

Mějme charakteristickou rovnici třetího stupně.

Pojďme to transformovat pomocí substituce:

Pak to bude vypadat takto:

A 1 AA 2 se nazývají Vyšnegradského parametry (bezrozměrné veličiny), v jejichž rovině je konstruována hranice stability.

Aplikujme na transformovanou rovnici Hurwitzovo kritérium stability

nebo A 1 A 2 > 1

Na hranici stability
.

Odtud
- rovnice na hranici stability

Z koeficientů charakteristické rovnice určíme A 1 A A 2 . Pokud je bod pod hyperbolou, je samohybné dělo stabilní, pokud je bod výše, je nestabilní.

STRÁNKA \* MERGEFORMAT 14

Přednáška č. 4

Stabilita samohybného děla

Vlastnost systému vrátit se po odstranění poruchy do původního stavu se nazývá stabilita.

Definice.

Křivky 1 a 2 charakterizují stabilní systém, křivky 3 a 4 charakterizují nestabilní systémy.ε

Systémy 5 a 6 na hranici stability 5 - neutrální systém, 6 - mez oscilační stability.

Nechť má diferenciální rovnice ACS ve tvaru operátora tvar

Pak se řešení diferenciální rovnice (pohyb systému) skládá ze dvou částí Vynucený pohyb stejného typu jako vstupní akce.

Při absenci více kořenů, kde C i - konstantní integrace určené z počátečních podmínek,

 1 ,  2 …,  n kořeny charakteristické rovnice

Umístění kořenů charakteristiky

rovnice soustavy na komplexní rovině

Kořeny charakteristické rovnice nezávisí ani na typu poruchy, ani na

počáteční podmínky a jsou určeny pouze koeficienty a 0, a 1, a 2,…, a n , tedy parametry a struktura systému.

1-kořen skutečný, větší než nula;

2-kořen skutečné, méně než nula;

3-odmocnina je nula;

4-dva nulové kořeny;

5-dva komplexně konjugované kořeny, jejichž skutečná část je

Pozitivní;

6-dva komplexně konjugované kořeny, jejichž skutečná část je negativní;

7-dva pomyslné konjugované kořeny.

Metody analýzy stability:

1. Přímý (založený na řešení diferenciálních rovnic);
2. Nepřímé (kritéria stability).

Věty A.M. Ljapunová.

Věta 1.

Věta 2.

Poznámky:

1. Pokud jsou mezi kořeny charakteristické rovnice dva nebo více nulových kořenů, pak je systém nestabilní.
2. Pokud je jeden kořen nula a všechny ostatní jsou v levé polorovině, pak je systém neutrální.
3. Pokud jsou 2 kořeny pomyslně konjugované a všechny ostatní jsou v levé polorovině, pak je systém na oscilační hranici stability.

Kritéria stability ACS.

Kritérium stability je pravidlo, které umožňuje určit stabilitu systému bez výpočtu kořenů charakteristické rovnice.

V roce 1877 Routh nainstalován:

1. Hurwitzovo kritérium stability

Kritérium bylo vyvinuto v roce 1895.

Nechť je definována charakteristická rovnice uzavřené soustavy: rovnici zredukujeme do tvaru tak, že a 0 > 0.

Sestavme hlavní Hurwitzův determinant podle následujícího pravidla:

Podél hlavní diagonály se zapisují koeficienty rovnice, počínaje druhým až posledním, sloupce nahoru od diagonály jsou vyplněny koeficienty s rostoucími indexy a sloupce dolů od diagonály jsou vyplněny koeficienty s klesajícími indexy. Při absenci jakéhokoli koeficientu v rovnici a místo koeficientů s indexy menšími než 0 a více n napište nulu.

Zdůrazněme diagonální vedlejší nebo nejjednodušší determinanty v hlavním Hurwitzově determinantu:

Formulace kritéria.

U systémů vyšších než druhého řádu musí být kromě kladnosti všech koeficientů charakteristické rovnice splněny i následující nerovnosti:

1. Pro systémy třetího řádu:
2. Pro systémy čtvrtého řádu:
3. Pro systémy pátého řádu:

1. Pro systémy šestého řádu:

Příklad. Pro studium stability systému podle Hurwitze je dána charakteristická rovnice.

Pro stabilní systémy je nutné a

2. Kritérium směrování

Kritérium Routh se používá ke studiu stability systémů vysokého řádu.

Formulace kritéria:

Směrový stůl.

Algoritmus pro vyplnění tabulky: první a druhý řádek obsahují koeficienty rovnice se sudými a lichými indexy; prvky zbývajících řádků se vypočítají podle následujícího pravidla:

Výhoda kritéria: lze studovat stabilitu systémů libovolného řádu.

2. Nyquistovo kritérium stability

Princip argumentace

Frekvenční metody jsou založeny na principu argumentace.

Pojďme analyzovat vlastnosti polynomu ve tvaru:

Kde i - kořeny rovnice

V komplexní rovině každý kořen odpovídá dobře definovanému bodu. Geometricky každý kořeni může být reprezentován jako vektor nakreslený od počátku k bodu já: | i | - délka vektoru, argi - úhel mezi vektorem a kladným směrem osy x. Zobrazme D(p) do Fourierova prostoru, pak kde j -  i - elementární vektor.

Konce elementárních vektorů jsou na pomyslné ose.

Velikost vektoru a argument (fáze)

Směr otáčení vektoru proti směru hodinových ručiček je považován za POZITIVNÍ. Pak při výměně od do každého elementárního vektoru ( j  -  i ) se otočí o úhel + pokud  i leží v levé polorovině.

Nechť D ( )=0 má m kořeny v pravé polorovině a n - m kořeny vlevo, pak s přibývajícími od změnit argument vektoru D(j ) (úhel natočení D(j ), roven součtu změn v argumentech elementárních vektorů) bude

Princip argumentace:

Nyquistovo kritérium je založeno na frekvenčních charakteristikách otevřeného obvodu ACS, protože typ frekvenčních charakteristik otevřeného obvodu lze použít k posouzení stability uzavřeného systému.

Nyquistovo kritérium je široce používáno v inženýrské praxi z následujících důvodů:

1. Stabilita systému v uzavřeném stavu je studována frekvenční přenosovou funkcí jeho otevřeného obvodu a tato funkce se nejčastěji skládá z jednoduchých faktorů. Koeficienty jsou skutečné parametry systému, což umožňuje jejich výběr z podmínek stability.
2. Ke studiu stability můžete využít experimentálně získané frekvenční charakteristiky nejsložitějších prvků systému (řídící objekt, výkonný orgán), což zvyšuje přesnost získaných výsledků.
3. Stabilitu lze studovat pomocí LFC, jejichž konstrukce je jednoduchá.
4. Je vhodné určit rozpětí stability.

1. Systém je v otevřeném stavu stabilní

Zaveďme pomocnou funkci a nahraďme p  j  , tedy

Podle principu argumentu změna argumentu D(j ) a D з (j  ) na 0<  <  rovná se Pak to je hodograf W 1 (j  ) nesmí přesahovat počátek.

Pro zjednodušení analýzy a výpočtů posuňte počátek vektoru poloměru z počátku souřadnic do bodu (-1, j 0) a místo pomocné funkce W 1 (j  ) používáme AFC systému s otevřenou smyčkou W (j  ).

Formulace kritéria č. 1

Příklady.

Všimněte si, že rozdíl v počtu kladných a záporných přechodů AFC nalevo od bodu (-1, j 0) se rovná nule.

2. Systém s póly na pomyslné ose v otevřeném stavu

Pro analýzu stability systému AFC jsou doplněny kružnicí o nekonečně velkém poloměru at 0 proti směru hodinových ručiček ke kladné reálné poloose na nulových pólech a v případě čistě imaginárních kořenů - půlkruhem ve směru hodinových ručiček v bodě diskontinuity AFC.

Formulace kritéria č. 2

1. Systém přerušovaného otevřeného okruhu

Obecnější případ - jmenovatel přenosové funkce systému s otevřenou smyčkou obsahuje kořeny ležící v pravé polorovině. Vznik nestability v systému s otevřenou smyčkou je způsoben dvěma důvody:

1. Důsledek přítomnosti nestabilních odkazů;
2. Důsledek ztráty stability odkazů pokrytých pozitivní nebo negativní zpětnou vazbou.

X Ačkoli teoreticky může být celý systém v uzavřeném stavu stabilní za přítomnosti nestability v místním zpětnovazebním obvodu, v praxi je takový případ nežádoucí a je třeba se mu vyhnout pokusem o použití pouze stabilních lokálních zpětných vazeb. To je vysvětleno přítomností nežádoucích vlastností, zejména výskytem podmíněné stability, která, vzhledem k nelinearitám obvykle přítomným v systému, může v některých režimech vést ke ztrátě stability a vzniku samokmitů. Proto se zpravidla při výpočtu systému volí takové lokální zpětné vazby, které by byly stabilní, když je hlavní zpětná vazba otevřená.

Nechť charakteristický polynom D(str ) systém s otevřenou smyčkou má m kořeny s pozitivní reálnou částí.

Pak

Pomocná funkce výměny p  j  podle principu argumentace pro stabilní uzavřené systémy by měly mít následující změnu argumentu at

Formulace kritéria č. 3

Formulace Ya.Z. Tsypkina

Nyquistovo kritérium pro LFC

Poznámka: fázová charakteristika LFC astatických systémů je doplněna o monotónní úsek + /2 při  0.

Absolutně udržitelnéNazývají systém, který zůstává stabilní pro jakýkoli pokles zisku naprázdno, jinak je systém podmíněně stabilní.

Systémy, které lze stabilizovat změnou jejich parametrů, se nazývajíkonstrukčně stabilní, jinak konstrukčně nestabilní.

Okraje stability

Pro normální provoz musí být jakýkoli ACS odstraněn z hranice stability a musí mít dostatečnou rezervu stability. Potřeba je z následujících důvodů:

1. Rovnice prvků ACS jsou zpravidla idealizovány, sekundární faktory se při jejich sestavování neberou v úvahu;
2. Při linearizaci rovnic se aproximační chyby dále zvyšují;
3. Parametry prvků jsou určeny s určitou chybou;
4. Parametry prvků stejného typu se technologicky liší;
5. Během provozu se parametry prvků vlivem stárnutí mění.

V praxi inženýrských výpočtů je nejpoužívanější stanovení meze stability založeno na kritériu NYQVIST, založeném na vzdálenosti AFC systému s otevřenou smyčkou od kritického bodu se souřadnicemi (-1, j 0), který je posuzován dvěma ukazateli: rozpětí stability fáze a rezerva stability v modulu (v amplitudě) H.

Aby měl ATS rezervy stability minimálně a H , AFC jeho otevřeného obvodu, pokud je splněno kritérium stability, by nemělo vstupovat do části prstence, která je na obr. 1, kde H je určeno vztahem

Pokud je stabilita určena LFC podmíněně stabilních systémů, pak zajistit rezervy stability minimálně a h je nutné, aby:

a) pro h  L  - h fázově-frekvenční charakteristika vyhověla nerovnostemθ > -180  +  nebo θ< -180  -  , tj. nevstoupil do stínované oblasti 1 na obr. 2;

b) při -180  +   θ  -180  -  amplitudově-frekvenční charakteristika splnila nerovnosti L< - h или L >h , tj. nevstoupil do zastíněných oblastí 2" a 2" na obr. 2.

Pro absolutně stabilní systém, rezervy stability a h jsou stanoveny tak, jak je znázorněno na Obr. 3:

1. Fázový okraj

1. Modulo margin h =- L (ω -π), kde ω -π frekvence, při které θ=-180˚ .

Požadované hodnoty mezí stability závisí na třídě ATS a požadavcích na kvalitu regulace. Přibližně by to mělo být =30  60  a h =6  20 dB.

Minimální přípustné meze stability v amplitudě nesmí být menší než 6 dB (to znamená, že koeficient přenosu systému s otevřenou smyčkou je polovina kritické hodnoty) a ve fázi nesmí být menší než 25 30  .

Stabilita systému s čistě zpožďovacím spojem

Pokud AFC systému s otevřenou smyčkou prochází bodem (-1, j 0), pak je systém na hranici stability.

Systém s čistým zpožděním lze stabilizovat, pokud je v obvodu zahrnuto spojení bez setrvačnosti s koeficientem přenosu menším než 1. Jsou možné i jiné typy korekčních zařízení.

Konstrukčně stabilní a konstrukčně nestabilní systémy

Jedním ze způsobů, jak změnit kvalitu systému (z hlediska stability), je změnit koeficient přenosu systému s otevřenou smyčkou.

Když k L ( ) bude stoupat nebo klesat. Li k zvýšení, L ( ) stoupá a  prům se zvýší, ale systém zůstane nestabilní. Li k snížit, pak lze systém stabilizovat. Toto je jeden ze způsobů nápravy systému.

Systémy, které lze stabilizovat změnou systémových parametrů, se nazývají STRUKTURALNĚ UDRŽITELNÉ.

Pro tyto systémy existuje kritický přenosový poměr s otevřenou smyčkou. K krit. toto je koeficient přenosu, když je systém na hranici stability.

Existují STRUKTURALNĚ NESTABILNÍ systémy - to jsou systémy, které nelze učinit stabilní změnou parametrů systému, ale pro stabilitu je nutné změnit strukturu systému.

Příklad.

Uvažujme tři případy:

1. Nechat

Pak

Zkontrolujme stabilitu fungování systému.

A = a 3 A 2 >0.

Pro stanovení k rs.cr. rovnáme se nule 2 .

Pak

Kdy kdy

Uvažovaný systém je STRUKTURÁLNĚ STABILNÍ, protože jej lze stabilizovat změnou parametrů spojů.

1. Ať jsou stejné jako v prvním případě.

Nyní není na řídicím kanálu žádná statická chyba.

Podmínky stability Hurwitz:

Nechte  2 =0, pak pokud je systém nestabilní.

Tento systém s astatismem 1. řádu je STRUKTURÁLNĚ STABILNÍ.

1. Nechat

Systém je vždy nestabilní. Tento systém je KONSTRUKČNĚ NESTABILNÍ.

Stabilita samohybného děla

Nuly a póly přenosové funkce

Kořeny polynomu v čitateli přenosové funkce se nazývají nuly, a kořeny polynomu ve jmenovateli jsou póly přenosová funkce. Poláci zároveň kořeny charakteristické rovnice nebo charakteristická čísla.

Pokud kořeny čitatele a jmenovatele přenosové funkce leží v levé polorovině (zatímco kořeny čitatele a jmenovatele v horní polorovině), pak se spojka nazývá minimální fáze.

Korespondence s levou polorovinou kořenů R horní polorovina kořenů (obr. 2.2.1) se vysvětluje tím, že, popř , tj. vektor se získá z vektoru jeho otočením o úhel ve směru hodinových ručiček. Výsledkem je, že všechny vektory z levé poloroviny přejdou do vektorů v horní polorovině.

Neminimální fáze a nestabilní vazby

Vazby výše uvažovaných polohových a diferenciačních typů patří ke stabilním vazbám nebo k samonivelačním vazbám.

Pod samonivelační se týká schopnosti spoje spontánně dospět k nové ustálené hodnotě s omezenou změnou vstupní hodnoty nebo rušivým vlivem. Obvykle se termín samozarovnání používá pro odkazy, které podléhají regulaci.

Existují spoje, ve kterých omezená změna vstupní hodnoty nezpůsobí přechod spoje do nového ustáleného stavu a výstupní hodnota má tendenci neomezeně růst v průběhu času. Patří sem například odkazy integračního typu.

Existují vazby, ve kterých je tento proces ještě výraznější. To se vysvětluje přítomností kladných reálných nebo komplexních kořenů s kladnou reálnou částí v charakteristické rovnici (jmenovatel přenosové funkce je roven nule), v důsledku čehož bude vazba klasifikována jako nestabilní odkazy.

Například v případě diferenciální rovnice , máme přenosovou funkci a charakteristická rovnice s kladným skutečným kořenem. Tato vazba má stejnou amplitudově-frekvenční charakteristiku jako inerciální vazba s přenosovou funkcí. Ale fázově-frekvenční charakteristiky těchto spojů jsou stejné. Pro inerciální spojení máme . Pro propojení s přenosovou funkcí máme

těch. větší absolutní hodnotu.

V tomto ohledu do skupiny patří nestabilní odkazy ne spoje s minimální fází.

Mezi neminimální fázové vazby patří také stabilní vazby, které mají reálné kladné kořeny nebo komplexní kořeny s kladnou reálnou částí v čitateli přenosové funkce (odpovídající pravé straně diferenciální rovnice).

Například odkaz s přenosovou funkcí patří do skupiny neminimálních fázových spojů. Modul funkce přenosu frekvence se shoduje s modulem funkce přenosu frekvence linky s přenosovou funkcí . Ale fázový posun prvního článku je v absolutní hodnotě větší:

Minimální fázové spoje mají menší fázové posuny ve srovnání s odpovídajícími spoji, které mají stejné amplitudové frekvenční charakteristiky.

Říkají, že systém stabilní nebo má samonivelační, pokud se po odstranění vnějšího rušení vrátí do původního stavu.

Protože pohyb systému ve volném stavu je popsán homogenní diferenciální rovnicí, lze matematickou definici stabilního systému formulovat následovně:

Systém se nazývá asymptoticky stabilní, pokud je splněna podmínka (2.9.1)

Z analýzy obecného řešení (1.2.10) vyplývá nezbytná a postačující podmínka stability:

Pro stabilitu systému je nutné a postačující, aby všechny kořeny charakteristické rovnice měly přísně záporné reálné části, tzn. Rep i , já = 1…n. (2.9.2)

Pro názornost jsou kořeny charakteristické rovnice obvykle znázorněny na komplexní rovině na obr. 2.9.1a. Když děláte to, co je nutné a dostatečné

Obr.8.12. Kořenová rovina

charakteristický

rovnic A(p) = 0

OU - region stability

Třetí podmínkou (2.9.2) je, že všechny kořeny leží vlevo od pomyslné osy, tzn. v oblasti udržitelnosti.

Proto lze podmínku (2.9.2) formulovat následovně.

Pro stabilitu je nutné a postačující, aby všechny kořeny charakteristické rovnice byly umístěny v levé polorovině.

Přísnou obecnou definici stability, metody pro studium stability nelineárních systémů a možnost rozšíření závěru o stabilitě linearizovaného systému na původní nelineární systém podal ruský vědec A.M. Ljapunov.

V praxi se stabilita často určuje nepřímo pomocí takzvaných kritérií stability, aniž by se přímo nacházely kořeny charakteristické rovnice. Patří mezi ně algebraická kritéria: Stodolova podmínka, Hurwitzovo a Michajlovovo kritérium a také Nyquistovo frekvenční kritérium. V tomto případě Nyquistovo kritérium umožňuje určit stabilitu systému s uzavřenou smyčkou pomocí AFC nebo pomocí logaritmických charakteristik systému s otevřenou smyčkou.

Stodola stav

Podmínku získal slovenský matematik Stodola na konci 19. století. Je to zajímavé z metodologického hlediska pro pochopení podmínek stability systému.

Zapišme charakteristickou rovnici soustavy ve tvaru

D(p) = a 0 p n +a 1 p n- 1 +…a n = 0. (2.9.3)

Pro stabilitu je to podle Stodoly nutné, nikoli však dostačující A 0 > 0 všechny ostatní koeficienty byly striktně kladné, tzn.

A 1 > 0 ,..., A n > 0.

Nutnost lze vytvořit takto:

Pokud je systém stabilní, pak všechny kořeny charakteristické rovnice mají , tzn. jsou levičáci.

Důkaz nezbytnosti je elementární. Podle Bezoutovy věty lze charakteristický polynom znázornit jako

Nechť , tj. je reálné číslo, a – komplexně konjugované kořeny. Pak

To ukazuje, že v případě polynomu s reálnými koeficienty jsou komplexní kořeny párově konjugované. Navíc, jestliže , pak máme součin polynomů s kladnými koeficienty, což dává polynom pouze s kladnými koeficienty.

Selhání Stodolovou podmínkou je, že podmínka nezaručuje, že vše . To lze vidět na konkrétním příkladu zvažováním polynomu stupně.

Všimněte si, že v případě je Stodolova podmínka nezbytná i dostatečná. Vyplývá to z. Pokud , tak a tak .

Neboť z rozboru vzorce pro kořeny kvadratické rovnice vyplývá i dostatečnost podmínky.

Ze Stodolova stavu plynou dva důležité důsledky.

1. Pokud je podmínka splněna a systém je nestabilní, pak má přechodový proces oscilační charakter. To vyplývá ze skutečnosti, že rovnice s kladnými koeficienty nemůže mít skutečné kladné kořeny. Podle definice je kořen číslo, které způsobí, že charakteristický polynom zmizí. Žádné kladné číslo nemůže zmizet polynom s kladnými koeficienty, tedy být jeho kořenem.

2. Kladnost koeficientů charakteristického polynomu (respektive splnění Stodolovy podmínky) je zajištěna v případě negativní zpětné vazby, tzn. v případě lichého počtu inverzí signálu podél uzavřené smyčky. V tomto případě charakteristický polynom. V opačném případě a po přivedení podobných by se některé koeficienty mohly ukázat jako záporné.

Upozorňujeme, že negativní zpětná vazba nevylučuje možnost nesplnění Stodolovy podmínky. Například pokud , a , pak v případě jediné negativní zpětné vazby . V tomto polynomu je koeficient at roven nule. Neexistují žádné záporné koeficienty, ale přesto není podmínka splněna, protože vyžaduje striktní plnění nerovností.

To potvrzuje následující příklad.

Příklad 2.9.1. Aplikujte Stodolovu podmínku na obvod na Obr. 2.9.2.

Přenosová funkce systému negativní zpětné vazby jednotky s otevřenou smyčkou je rovna a charakteristická rovnice systému s uzavřenou smyčkou je součtem čitatele a jmenovatele, tzn.

D(p) = p 2 +k 1 k 2 = 0.

Protože není žádný člen s R na prvním stupni ( A 1 = 0), pak Stodolova podmínka není splněna a systém je nestabilní. Tento systém je konstrukčně nestabilní, protože nemá žádné parametry k 1 a k 2 nemůže být udržitelná.

Aby byl systém stabilní, je potřeba zavést další připojení nebo opravný odkaz, tzn. změnit strukturu systému. Ukažme si to na příkladech. Na Obr. 2.9.3. přímý článek řetězu představují články zapojené do série s přenosovými funkcemi a . Paralelně s prvním úvodem existuje další spojení.

P
Přenosová funkce systému s otevřenou smyčkou přes jednotkové záporné spojení a charakteristická rovnice systému s uzavřenou smyčkou jsou v tomto pořadí rovné

,

Nyní je Stodolova podmínka splněna pro všechny . Vzhledem k tomu, že v případě rovnice druhého stupně je to nejen nezbytné, ale také dostačující, je systém stabilní pro jakékoli kladné faktory zesílení.

Na obr. 2.9.4 je do obvodu zaveden sekvenční vynucovací článek. Přenosová funkce jednoobvodového systému záporného připojení je v tomto případě rovna a charakteristická rovnice uzavřeného systému je rovna

Podobně jako v předchozím je systém stabilní pro jakýkoli pozitivní .

Kritérium stability Rouss-Hurwitz

Matematici Rouss (Anglie) a Hurwitz (Švýcarsko) vyvinuli toto kritérium přibližně ve stejnou dobu. Rozdíl byl ve výpočetním algoritmu. Seznámíme se s kritériem v Hurwitzově formulaci.

Podle Hurwitze je pro stabilitu nutné a postačující, že když A 0 > 0 Hurwitzův determinant  =  n a všechny jeho hlavní nezletilé  1 ,  2 ,...,  n -1 byly přísně pozitivní, tzn.

(2.9.4)

Struktura Hurwitzova determinantu je snadno zapamatovatelná, protože koeficienty jsou umístěny podél hlavní diagonály A 1 ,… ,A n, řádky obsahují koeficienty oddělené jedničkou, pokud jsou vyčerpány, jsou prázdná místa vyplněna nulami.

Příklad 2.9.2. Pro studium stability Hurwitz je systém s jednotkovou negativní zpětnou vazbou, v jehož přímém řetězci jsou zahrnuty tři inerciální články, a proto má přenosová funkce systému s otevřenou smyčkou tvar (2.9.5)

Zapišme charakteristickou rovnici uzavřené soustavy jako součet čitatele a jmenovatele (2.9.5):

Proto,

Hurwitzův determinant a jeho minority mají tvar

s přihlédnutím A 0 > 0, striktní pozitivita Hurwitzova determinantu a minoritních (2.9.6) implikuje Stodolovu podmínku a navíc podm. A 1 A 2 - A 0 A 3 > 0, což po dosazení hodnot koeficientů dává

(T 1 T 2 + T 1 T 3 +T 2 T 3 ) (T 1 +T 2 +T 3 ) > T 1 T 2 T 3 (1+ k) . (2.9.7)

Z toho je vidět, že s přibývajícím k systém se může změnit ze stabilního na nestabilní, protože přestane být splněna nerovnost (2.9.7).

Přenosová funkce systému chybou je rovna

Podle teorému o konečné hodnotě originálu bude chyba v ustáleném stavu při zpracování jednokrokového signálu rovna 1/(1+ k). V důsledku toho je odhalen rozpor mezi stabilitou a přesností. Chcete-li chybu snížit, musíte ji zvýšit k ale to vede ke ztrátě stability.

Argumentační princip a Michajlovovo kritérium stability

Mikhailovovo kritérium je založeno na tzv. argumentačním principu.

Uvažujme charakteristický polynom systému s uzavřenou smyčkou, který lze podle Bezoutovy věty znázornit ve tvaru

D(p) = a 0 p n +a 1 p n- 1 +…+a n =a 0 (p - str 1 )…(p - str n ).

Udělejme náhradu p = j

D(j ) = a 0 (j ) n +a 1 (j ) n- 1 +…+a n =a 0 (j -p 1 )…(j -p n ) = X( )+jY( ).

Za konkrétní hodnotu  má bod na komplexní rovině dané parametrickými rovnicemi

E
pokud se změní  v rozsahu od - do  pak bude vykreslena Michajlovova křivka, tedy hodograf. Pojďme studovat rotaci vektoru D(j ) když se to změní  od - do , tj. najdeme přírůstek argumentu vektoru (argument se rovná součtu součinu vektorů): .

Na  = -  diferenční vektor, jehož začátek je v bodě R i a konec na pomyslné ose směřuje svisle dolů. Jak rosteš  konec vektoru klouže podél pomyslné osy a kdy  =  vektor směřuje svisle nahoru. Pokud je kořen ponechán (obr. 2.9.19a), pak  arg = + , a pokud je kořen správný, pak  arg = - .

Má-li charakteristická rovnice m pravé kořeny (resp n - m vlevo), pak .

To je princip argumentace. Při výběru skutečné části X( ) a imaginární Y( ) jsme připisovali X( ) všechny termíny obsahující j v rovnoměrné míře a na Y( ) - do zvláštní míry. Proto je Michajlovova křivka symetrická kolem skutečné osy ( X( ) - dokonce, Y( ) – lichá funkce). V důsledku toho, pokud se změníte  od 0 do +, pak bude přírůstek argumentu poloviční. V tomto ohledu konečně princip argumentace je formulován následovně . (2.9.29)

Pokud je systém stabilní, tzn. m= 0, pak získáme Michajlovovo kritérium stability.

Podle Michajlova je to pro stabilitu nutné a dostačující

, (2.9.30)

to znamená, že Michajlovova křivka musí postupně projít skrz n

Je zřejmé, že pro použití Michajlovova kritéria není vyžadována přesná a detailní konstrukce křivky. Je důležité zjistit, jak obchází počátek souřadnic a zda není porušena posloupnost průchodu nčtvrtiny proti směru hodinových ručiček.

Příklad 2.9.6. Pro kontrolu stability systému podle obr. 2.9.20 použijte Mikhailovovo kritérium.

Charakteristický polynom systému s uzavřenou smyčkou at k 1 k 2 > 0 odpovídá stabilnímu systému, je tedy splněna Stodolova podmínka a pro n = 1 to stačí. Můžete přímo najít kořen R 1 = - k 1 k 2 a ujistěte se, že je splněna nezbytná a dostatečná podmínka stability. Proto je použití Michajlovova kritéria ilustrativní. Věřící p= j , dostaneme

D(j ) = X( )+ jY( ),

Kde X( ) = ; Y( ) =  . (2.9.31)

Pomocí parametrických rovnic (2.9.31) byl sestrojen Michajlovův hodograf na obr. 2.9.21, ze kterého je zřejmé, že při změně  0 až  vektor D(j ) otáčí proti směru hodinových ručiček o +  /2, tzn. systém je stabilní.

Nyquistovo kritérium stability

NA Jak již bylo uvedeno, Nyquistovo kritérium zaujímá zvláštní postavení mezi kritérii stability. Toto je frekvenční kritérium, které vám umožňuje určit stabilitu systému s uzavřenou smyčkou na základě frekvenčních charakteristik systému s otevřenou smyčkou. V tomto případě se předpokládá, že systém je otevřený v obvodu jediné záporné zpětné vazby (obr. 2.9.22).

Jednou z výhod Nyquistova kritéria je, že frekvenční charakteristiky systému s otevřenou smyčkou lze získat experimentálně.

Odvození kritéria je založeno na využití principu argumentace. Přenosová funkce systému s otevřenou smyčkou (přes jediný obvod záporné zpětné vazby na obr. 2.9.22) je rovna

Uvažujme. (2.9.32)

V případě reálného systému s omezenou šířkou pásma, stupeň jmenovatele přenosové funkce s otevřenou smyčkou P větší než mocnina v čitateli, tzn. n> . Stupně charakteristických polynomů systému s otevřenou smyčkou a systému s uzavřenou smyčkou jsou tedy stejné a stejné. n. Přechod z AFC systému s otevřenou smyčkou na AFC podle (2.9.32) znamená zvýšení reálné části o 1, tzn. posunutí počátku souřadnic do bodu (-1, 0), jak je znázorněno na obr. 2.9.23.

Předpokládejme nyní, že systém s uzavřenou smyčkou je stabilní a charakteristická rovnice systému s otevřenou smyčkou je stabilní A(p) = 0 má m pravé kořeny. Potom v souladu s argumentačním principem (2.9.29) získáme nezbytnou a postačující podmínku pro stabilitu systému s uzavřenou smyčkou podle Nyquista

Tito. pro stabilitu vektoru systému s uzavřenou smyčkou W 1 (j ) muset udělat m/2 celé otáčky proti směru hodinových ručiček, což je ekvivalentní otočení vektoru W pa z (j ) vzhledem ke kritickému bodu (-1,0).

V praxi je zpravidla systém s otevřenou smyčkou stabilní, tzn. m= 0. V tomto případě je přírůstek argumentu nulový, tzn. AFC systému s otevřenou smyčkou by nemělo pokrývat kritický bod (-1,0).

Nyquistovo kritérium pro LAC a LFC

V praxi se častěji používají logaritmické charakteristiky systému s otevřenou smyčkou. Proto je vhodné formulovat Nyquistovo kritérium pro stanovení stability systému s uzavřenou smyčkou na jejich základě. Počet otáček AFC vzhledem ke kritickému bodu (-1,0) a zda je či není pokryt

závisí na počtu kladných a záporných průsečíků intervalu (-,-1) reálné osy a podle toho průsečíků přímky -180° fázovou charakteristikou v oblasti L( )  0. Obrázek 2.9.24 ukazuje AFC a ukazuje znaménka průsečíků segmentu (-,-1) reálné osy.

Spravedlivé pravidlo

kde je počet kladných a záporných průsečíků.

Na základě AFC na obr. 2.9.24c jsou zkonstruovány LAC a LFC, znázorněné na obr. 2.9.25, a kladné a záporné průsečíky jsou vyznačeny na LFC. Na segmentu (-,-1) je modul větší než jedna, což odpovídá L( ) > 0. Proto Nyquistovo kritérium:

D Pro stabilitu systému s uzavřenou smyčkou LFC systému s otevřenou smyčkou v regionu, kde L( ) > 0, měl by mít více kladných průsečíků čáry -180° než záporných.

Pokud je systém s otevřenou smyčkou stabilní, pak počet kladných a záporných průsečíků čáry -180° fázovou charakteristikou v oblasti L( ) > 0 pro stabilitu systému s uzavřenou smyčkou by měla být stejná nebo by neměly existovat žádné křižovatky.

Nyquistovo kritérium pro astatický systém

Zvláště je třeba zvážit případ astatického objednávkového systému r s přenosovou funkcí systému s otevřenou smyčkou rovnou

.

V tomto případě při 0, tj. amplitudově-fázová charakteristika (APC) systému s otevřenou smyčkou jde do nekonečna. Dříve jsme stavěli AFH při změně  od - do  a byla to spojitá křivka, uzavřená v  =  0. Nyní se také zavírá v  = 0, ale v nekonečnu a není jasné, na které straně reálné osy (v nekonečnu vlevo nebo vpravo?).

Obrázek 2.9.19c ukazuje, že v tomto případě existuje nejistota při výpočtu přírůstku argumentu diferenčního vektoru. Nyní je vždy umístěn podél pomyslné osy (shoduje se s j ). Teprve při překročení nuly se změní směr (v tomto případě se vektor otočí proti směru hodinových ručiček o  nebo ve směru hodinových ručiček o -?), Pro jistotu konvenčně předpokládáme, že kořen je vlevo a zaokrouhlení počátku nastává podél oblouku o nekonečně malém poloměru proti směru hodinových ručiček (otočení o +  ). Podle toho v okolí  = 0 bude zastoupeno ve tvaru

,

Kde  = +  když se to změní  od – 0 do + 0. Poslední výraz ukazuje, že s takovým odhalením nejistoty se AFC otočí se změnou  od – 0 do + 0 na úhel – ve směru hodinových ručiček. Odpovídajícím způsobem konstruovaný AFC musí být  = 0 je doplněno obloukem o nekonečnu poloměru pod úhlem , tj. proti směru hodinových ručiček ke kladné reálné poloose.

Okraje stability podle modulu a fáze

Aby byla zaručena stabilita při změně parametrů systému, jsou zavedeny meze stability v modulu a fázi, určené následovně.

Modul rozpětí stability ukazuje, kolikrát nebo kolik decibelů je přípustné zvýšit nebo snížit zesílení tak, aby systém zůstal stabilní (je na hranici stability). Je definován jako min( L 3 , L 4) na obr. 2.9.25. Opravdu, pokud nezměníte LFC, pak když LFC stoupne L 4 mezní frekvence  cp se přesune k bodu  4 a systém bude na hranici stability. Pokud snížíte LAX na L 3, pak se mezní frekvence posune doleva k bodu  3 a systém bude také na hranici stability. Pokud snížíme LAX ještě níže, pak v regionu L( ) > 0 zůstane pouze negativním průsečíkem přímky LFC -180°, tzn. podle Nyquistova kritéria se systém stane nestabilním.

Rozpětí stability fáze ukazuje, jak moc je přípustné zvýšit fázový posun s konstantním zesílením tak, aby systém zůstal stabilní (je na hranici stability). Je definován jako doplněk  ( cf) až -180°.

Na praxi L  12-20 dB,   20-30°.