Součet n čísel v geometrické posloupnosti. Geometrická progrese
Geometrická posloupnost je číselná posloupnost, jejíž první člen je nenulový a každý další člen je roven předchozímu členu vynásobenému stejným nenulovým číslem. Geometrický průběh se značí b1,b2,b3, …, bn, …
Vlastnosti geometrické posloupnosti
Poměr libovolného členu geometrické chyby k jeho předchozímu členu se rovná stejnému číslu, tj. b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/mld = …. To vyplývá přímo z definice aritmetické progrese. Toto číslo se nazývá jmenovatel geometrické posloupnosti. Obvykle se jmenovatel geometrické posloupnosti označuje písmenem q.
Jedním ze způsobů, jak nastavit geometrickou posloupnost, je nastavit její první člen b1 a jmenovatele geometrické chyby q. Například b1=4, q=-2. Tyto dvě podmínky dávají geometrický průběh 4, -8, 16, -32, … .
Jestliže q>0 (q se nerovná 1), pak je průběh monotónní posloupností. Například posloupnost 2, 4, 8, 16, 32, ... je monotónně rostoucí posloupnost (b1=2, q=2).
Pokud je v geometrické chybě jmenovatel q=1, pak si všechny členy geometrické posloupnosti budou navzájem rovny. V takových případech se říká, že progrese je konstantní sekvence.
Vzorec n-tého členu posloupnosti
Aby byla číselná posloupnost (bn) geometrickou posloupností, je nutné, aby každý její člen, počínaje druhým, byl geometrickým průměrem sousedních členů. To znamená, že je nutné splnit následující rovnici - (b(n+1))^2 = bn * b(n+2), pro libovolné n>0, kde n patří do množiny přirozených čísel N.
Vzorec pro n-tý člen geometrické posloupnosti je:
bn=b1*q^(n-1), kde n patří do množiny přirozených čísel N.
Zvažte jednoduchý příklad:
V geometrickém postupu b1=6, q=3, n=8 najděte bn.
Použijme vzorec n-tého členu geometrické posloupnosti.
Aritmetické a geometrické posloupnosti
Teoretické informace
Teoretické informace
Aritmetický postup |
Geometrická progrese |
|
Definice |
Aritmetický postup a n volá se posloupnost, jejíž každý člen, počínaje druhým, je roven předchozímu členu, sečtenému se stejným číslem d (d- rozdíl v postupu) |
geometrická progrese b n volá se posloupnost nenulových čísel, z nichž každý člen, počínaje druhým, je roven předchozímu členu vynásobenému stejným číslem q (q- jmenovatel progrese) |
Opakující se vzorec |
Pro jakékoli přírodní n |
Pro jakékoli přírodní n |
vzorec n-tého členu |
a n = a 1 + d (n - 1) |
b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0 |
| charakteristická vlastnost |  |
|
| Součet prvních n členů |  |
 |
Příklady úloh s komentáři
Cvičení 1
V aritmetickém postupu ( a n) 1 = -6, a 2
Podle vzorce n-tého členu:
22 = 1+ d (22 - 1) = 1+ 21 d
Podle podmínky:
1= -6, takže 22= -6 + 21 d.
Je nutné najít rozdíl v postupech:
d= a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Odpovědět : 22 = -48.
Úkol 2
Najděte pátý člen geometrické posloupnosti: -3; 6;....
1. způsob (pomocí n-členného vzorce)
Podle vzorce n-tého členu geometrické posloupnosti:
b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Protože b 1 = -3,
2. způsob (pomocí rekurzivního vzorce)
Protože jmenovatel progrese je -2 (q = -2), pak:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Odpovědět : b 5 = -48.
Úkol 3
V aritmetickém postupu ( a n) a 74 = 34; 76= 156. Najděte sedmdesátý pátý člen tohoto postupu.
Pro aritmetický postup má charakteristická vlastnost tvar 
.
Proto:
.
Dosaďte data ve vzorci:
Odpověď: 95.
Úkol 4
V aritmetickém postupu ( a n) a n= 3n - 4. Najděte součet prvních sedmnácti členů.
K nalezení součtu prvních n členů aritmetické posloupnosti se používají dva vzorce:
.
Kterou z nich je v tomto případě výhodnější aplikovat?
Podle podmínky je znám vzorec n-tého členu původní posloupnosti ( a n) a n= 3n - 4. Lze okamžitě najít a 1, A 16 bez nalezení d . Proto použijeme první vzorec.
Odpověď: 368.
Úkol 5
V aritmetickém postupu a n) 1 = -6; a 2= -8. Najděte dvacátý druhý termín postupu.
Podle vzorce n-tého členu:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = 1+ 21 d.
Podle podmínky, pokud 1= -6, tedy 22= -6 + 21 d. Je nutné najít rozdíl v postupech:
d= a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Odpovědět : 22 = -48.
Úkol 6
Je zaznamenáno několik po sobě jdoucích členů geometrického postupu:
Najděte člen průběhu, označený písmenem x .
Při řešení použijeme vzorec pro n-tý člen b n \u003d b 1 ∙ q n - 1 pro geometrické průběhy. První člen progrese. Chcete-li najít jmenovatele progrese q, musíte vzít kterýkoli z těchto členů progrese a vydělit ho předchozím. V našem příkladu můžete vzít a rozdělit podle. Dostaneme, že q \u003d 3. Místo n dosadíme ve vzorci 3, protože je nutné najít třetí člen dané geometrické posloupnosti.
Dosazením nalezených hodnot do vzorce dostaneme:
.
Odpovědět : .
Úkol 7
Z aritmetických posloupností daných vzorcem n-tého členu vyberte tu, pro kterou je podmínka splněna 27 > 9:
Protože zadaná podmínka musí být splněna pro 27. člen progrese, dosadíme do každé ze čtyř progresí 27 místo n. Ve čtvrtém postupu dostáváme:
.
Odpověď: 4.
Úkol 8
V aritmetickém postupu 1= 3, d = -1,5. Určete největší hodnotu n, pro kterou platí nerovnost a n > -6.
Tak si sedneme a začneme psát nějaká čísla. Například:
Můžete napsat libovolná čísla a může jich být tolik, kolik chcete (v našem případě jich). Bez ohledu na to, kolik čísel napíšeme, vždy můžeme říci, které z nich je první, které druhé, a tak dále až do posledního, to znamená, že je můžeme očíslovat. Toto je příklad číselné řady:
Číselná posloupnost je sada čísel, z nichž každému lze přiřadit jedinečné číslo.
Například pro naši sekvenci:
Přidělené číslo je specifické pouze pro jedno pořadové číslo. Jinými slovy, v pořadí nejsou žádná tři sekundová čísla. Druhé číslo (jako -té číslo) je vždy stejné.
Číslo s číslem se nazývá -tý člen posloupnosti.
Celé posloupnosti obvykle říkáme nějaké písmeno (například) a každý člen této posloupnosti - stejné písmeno s indexem rovným číslu tohoto členu: .
V našem případě:
Nejběžnější typy progrese jsou aritmetické a geometrické. V tomto tématu budeme hovořit o druhém druhu - geometrická progrese.
Proč potřebujeme geometrickou progresi a její historii.
Už ve starověku se italský matematik, mnich Leonardo z Pisy (známější jako Fibonacci), zabýval praktickými potřebami obchodu. Mnich stál před úkolem určit, jaký nejmenší počet závaží lze použít k vážení zboží? Fibonacci ve svých spisech dokazuje, že takový systém vah je optimální: Toto je jedna z prvních situací, kdy se lidé museli vypořádat s geometrickou progresí, o které jste pravděpodobně slyšeli a máte o ní alespoň rámcovou představu. Jakmile plně pochopíte téma, zamyslete se nad tím, proč je takový systém optimální?
V současné době se v životní praxi projevuje geometrická progrese při investování prostředků v bance, kdy je výše úroku účtována z částky nastřádané na účtu za minulé období. Jinými slovy, pokud dáte peníze na termínovaný vklad do spořitelny, tak za rok se vklad z původní částky navýší, tzn. nová částka se bude rovnat příspěvku vynásobenému. V dalším roce se tato částka zvýší o, tj. částka získaná v té době se opět vynásobí a tak dále. Podobná situace je popsána v problematice počítání tzv složený úrok- procento se bere pokaždé z částky, která je na účtu, s přihlédnutím k předchozímu úroku. O těchto úkolech si povíme trochu později.
Existuje mnohem více jednoduchých případů, kdy je aplikována geometrická progrese. Například šíření chřipky: jeden člověk nakazil člověka, ten zase nakazil jiného člověka, a tak druhou vlnou infekce je člověk, a ten zase nakazil dalšího ... a tak dále .. .
Mimochodem, finanční pyramida, stejný MMM, je jednoduchý a suchý výpočet podle vlastností geometrické progrese. Zajímavý? Pojďme na to přijít.
Geometrická progrese.
Řekněme, že máme číselnou řadu:
Ihned odpovíte, že je to snadné a název takové sekvence je s rozdílem jejích členů. Co třeba něco takového:
Pokud odečtete předchozí číslo od dalšího čísla, uvidíte, že pokaždé, když dostanete nový rozdíl (a tak dále), ale posloupnost rozhodně existuje a je snadné si ji všimnout - každé následující číslo je krát větší než předchozí !
Tento typ sekvence se nazývá geometrická progrese a je označeno.
Geometrická posloupnost ( ) je číselná posloupnost, jejíž první člen je odlišný od nuly a každý člen, počínaje druhým, je roven předchozímu, vynásobený stejným číslem. Toto číslo se nazývá jmenovatel geometrické posloupnosti.
Omezení, že první člen ( ) není stejný a nejsou náhodné. Řekněme, že žádné nejsou a první člen je stále stejný a q je, hmm .. nechť, pak to dopadne:
Souhlaste, že to není žádný pokrok.
Jak jste pochopili, dostaneme stejné výsledky, pokud je to jakékoli číslo jiné než nula, ale. V těchto případech prostě nedojde k žádné progresi, protože celá číselná řada bude buď všechny nuly, nebo jedno číslo a všechny ostatní nuly.
Nyní si povíme podrobněji o jmenovateli geometrické posloupnosti, tedy o.
Opět je toto číslo kolikrát se každý následující termín změní geometrická progrese.
Co by to podle vás mohlo být? To je pravda, pozitivní a negativní, ale ne nula (o tom jsme mluvili trochu výše).
Řekněme, že máme pozitivní. Nechť v našem případě a. Jaký je druhý termín a? Na to můžete snadno odpovědět:
Dobře. V souladu s tím, pokud, pak všichni následující členové progrese mají stejné znamení - oni pozitivní.
Co když je negativní? Například a. Jaký je druhý termín a?
Je to úplně jiný příběh
Zkuste si spočítat dobu tohoto postupu. kolik jsi dostal? Mám. Pokud tedy, pak se znaménka členů geometrické posloupnosti střídají. To znamená, že pokud vidíte progresi se střídajícími se znaky v jejích členech, pak je její jmenovatel záporný. Tyto znalosti vám mohou pomoci otestovat se při řešení problémů na toto téma.
Nyní si trochu procvičíme: zkuste určit, které číselné posloupnosti jsou geometrickou posloupností a které aritmetickou:
Mám to? Porovnejte naše odpovědi:
- Geometrická progrese - 3, 6.
- Aritmetický postup - 2, 4.
- Není to ani aritmetika, ani geometrický postup - 1, 5, 7.
Vraťme se k našemu poslednímu postupu a pokusme se najít jeho termín stejným způsobem jako v aritmetice. Jak už asi tušíte, existují dva způsoby, jak ho najít.
Každý výraz postupně násobíme.
Takže -tý člen popsané geometrické posloupnosti je roven.
Jak již tušíte, nyní sami odvodíte vzorec, který vám pomůže najít jakýkoli člen geometrické posloupnosti. Nebo už jste to pro sebe přinesli a popsali, jak najít th člen po etapách? Pokud ano, zkontrolujte správnost své úvahy.
Ukažme si to na příkladu nalezení -tého členu této posloupnosti:
Jinými slovy:
Najděte si hodnotu člena dané geometrické posloupnosti.
Stalo? Porovnejte naše odpovědi:
Všimněte si, že jste dostali přesně stejné číslo jako v předchozí metodě, kdy jsme postupně násobili každým předchozím členem geometrické posloupnosti.
Pokusme se tento vzorec "odosobnit" - přeneseme jej do obecné podoby a dostaneme:
Odvozený vzorec platí pro všechny hodnoty – kladné i záporné. Ověřte si to sami výpočtem členů geometrické posloupnosti s následujícími podmínkami: ,a.
Počítal jsi? Porovnejme výsledky:
Souhlaste, že by bylo možné najít člena progrese stejným způsobem jako člena, nicméně je zde možnost přepočtu. A když už jsme našli tý člen geometrické posloupnosti a, tak co může být jednodušší než použít „zkrácenou“ část vzorce.
Nekonečně klesající geometrický postup.
Nedávno jsme mluvili o tom, co může být větší nebo menší než nula, existují však speciální hodnoty, pro které se geometrická progrese nazývá nekonečně klesající.
Proč si myslíte, že má takový název?
Pro začátek si zapišme nějakou geometrickou posloupnost skládající se z členů.
Řekněme tedy:
Vidíme, že každý následující termín je v časech menší než ten předchozí, ale bude nějaké číslo? Okamžitě odpovíte „ne“. To je důvod, proč nekonečně klesající - klesá, klesá, ale nikdy se nestane nulou.
Abychom jasně pochopili, jak to vizuálně vypadá, zkusme nakreslit graf našeho postupu. Takže pro náš případ má vzorec následující formu:
Na grafech jsme zvyklí budovat závislost na:
Podstata výrazu se nezměnila: v prvním vstupu jsme ukázali závislost hodnoty členu geometrické posloupnosti na jeho pořadovém čísle a ve druhém vstupu jsme prostě vzali hodnotu členu geometrické posloupnosti pro a pořadové číslo bylo určeno nikoli jako, ale jako. Zbývá jen nakreslit graf.
Podívejme se, co máš. Zde je graf, který jsem dostal:
Vidět? Funkce klesá, má tendenci k nule, ale nikdy ji nekříží, takže nekonečně klesá. Vyznačme si na grafu naše body a zároveň, co souřadnice a znamená:
Pokuste se schematicky znázornit graf geometrické progrese, pokud je její první člen také stejný. Analyzujte, jaký je rozdíl od našeho předchozího grafu?
Zvládli jste to? Zde je graf, který jsem dostal:
Nyní, když jste plně pochopili základy tématu geometrické posloupnosti: víte, co to je, víte, jak najít její termín, a také víte, co je to nekonečně klesající geometrická posloupnost, přejděme k její hlavní vlastnosti.
vlastnost geometrické posloupnosti.
Pamatujete si vlastnosti členů aritmetického postupu? Ano, ano, jak najít hodnotu určitého počtu progrese, když existují předchozí a následující hodnoty členů této progrese. Pamatováno? Tento:
Nyní stojíme před úplně stejnou otázkou ohledně podmínek geometrické progrese. Abychom odvodili takový vzorec, začněme kreslit a uvažovat. Uvidíte, je to velmi snadné, a pokud zapomenete, můžete to vynést sami.
Vezměme si další jednoduchý geometrický postup, ve kterém známe a. Jak najít? S aritmetickým postupem je to snadné a jednoduché, ale jak je to tady? Ve skutečnosti ani v geometrii není nic složitého - stačí namalovat každou nám zadanou hodnotu podle vzorce.
Ptáte se, a co s tím teď uděláme? Ano, velmi jednoduché. Nejprve si znázorněme tyto vzorce na obrázku a pokusme se s nimi provádět různé manipulace, abychom dospěli k hodnotě.
Abstrahujeme od čísel, která nám jsou dána, zaměříme se pouze na jejich vyjádření pomocí vzorce. Potřebujeme najít hodnotu zvýrazněnou oranžově a znát pojmy, které s ní sousedí. Zkusme s nimi provádět různé akce, v jejichž důsledku můžeme získat.
Přidání.
Zkusme přidat dva výrazy a dostaneme:
Z tohoto výrazu, jak vidíte, se nebudeme moci nijak vyjádřit, proto zkusíme jinou možnost - odečítání.
Odčítání.
Jak vidíte, ani z toho se nemůžeme vyjádřit, proto se pokusíme tyto výrazy mezi sebou znásobit.
Násobení.
Nyní se pozorně podívejte na to, co máme, a vynásobte podmínky geometrické progrese, která nám byla dána, ve srovnání s tím, co je třeba najít:
Hádejte, o čem mluvím? Správně, abychom to našli, musíme vzít druhou odmocninu čísel geometrické posloupnosti sousedících s požadovaným číslem vynásobených navzájem:
Tady máš. Sám jste odvodil vlastnost geometrické progrese. Zkuste napsat tento vzorec v obecné podobě. Stalo?
Zapomenutý stav kdy? Zamyslete se nad tím, proč je to důležité, zkuste si to například spočítat sami, při. Co se stane v tomto případě? To je pravda, úplný nesmysl, protože vzorec vypadá takto:
Proto na toto omezení nezapomeňte.
Nyní spočítejme, co je
Správná odpověď - ! Pokud jste při výpočtu nezapomněli na druhou možnou hodnotu, tak jste skvělí a můžete rovnou přistoupit k tréninku a pokud jste zapomněli, přečtěte si, co je rozebráno níže a věnujte pozornost tomu, proč musí být v odpovědi zapsány oba kořeny .
Nakreslete obě naše geometrické posloupnosti – jednu s hodnotou a druhou s hodnotou a zkontrolujme, zda obě mají právo existovat:
Abychom mohli zkontrolovat, zda taková geometrická progrese existuje nebo ne, je nutné zjistit, zda je stejná mezi všemi jejími danými členy? Vypočítejte q pro první a druhý případ.
Vidíte, proč musíme napsat dvě odpovědi? Protože znaménko požadovaného termínu závisí na tom, zda je kladné nebo záporné! A protože nevíme, co to je, je potřeba napsat obě odpovědi s plusem a mínusem.
Nyní, když jste zvládli hlavní body a odvodili vzorec pro vlastnost geometrické posloupnosti, najděte, znáte a
Porovnejte své odpovědi se správnými:
Co si myslíte, co kdybychom nedostali hodnoty členů geometrické progrese sousedící s požadovaným číslem, ale ve stejné vzdálenosti od něj. Například potřebujeme najít, a dané a. Můžeme v tomto případě použít vzorec, který jsme odvodili? Pokuste se potvrdit nebo vyvrátit tuto možnost stejným způsobem, popište, z čeho se každá hodnota skládá, jako jste to udělali při počátečním odvozování vzorce.
Co jsi dostal?
Nyní se znovu pozorně podívejte.
a odpovídajícím způsobem:
Z toho můžeme usoudit, že vzorec funguje nejen se sousedy s požadovanými členy geometrické progrese, ale také s stejně vzdálený z toho, co členové hledají.
Náš původní vzorec tedy bude:
To znamená, že pokud jsme to v prvním případě řekli, nyní říkáme, že se může rovnat libovolnému přirozenému číslu, které je menší. Hlavní je, aby byla pro obě daná čísla stejná.
Cvičte na konkrétních příkladech, jen buďte extrémně opatrní!
- , . Nalézt.
- , . Nalézt.
- , . Nalézt.
Rozhodnuto? Doufám, že jste byli extrémně pozorní a všimli jste si malého úlovku.
Porovnáme výsledky.
V prvních dvou případech klidně použijeme výše uvedený vzorec a získáme následující hodnoty:
Ve třetím případě, po pečlivém zvážení sériových čísel čísel, která nám byla poskytnuta, jsme pochopili, že nejsou ve stejné vzdálenosti od čísla, které hledáme: je to předchozí číslo, ale odstraněno na pozici, takže není možné použít vzorec.
jak to vyřešit? Ve skutečnosti to není tak těžké, jak se zdá! Pojďme si s vámi zapsat, z čeho se skládá každé nám dané číslo a požadované číslo.
Takže máme a. Pojďme se podívat, co s nimi můžeme dělat. Navrhuji rozdělit. Dostaneme:
Naše data dosadíme do vzorce:
Další krok můžeme najít - k tomu potřebujeme vzít třetí odmocninu výsledného čísla.
Nyní se znovu podíváme na to, co máme. Máme, ale musíme najít, a to se zase rovná:
Našli jsme všechny potřebné údaje pro výpočet. Nahraďte ve vzorci:
Naše odpověď: .
Zkuste sami vyřešit jiný stejný problém:
Vzhledem k: ,
Nalézt:
kolik jsi dostal? Mám - .
Jak vidíte, ve skutečnosti potřebujete zapamatovat si pouze jeden vzorec- Vše ostatní si můžete sami kdykoliv bez problémů stáhnout. K tomu stačí napsat nejjednodušší geometrickou posloupnost na papír a napsat, čemu se podle výše uvedeného vzorce rovná každé její číslo.
Součet členů geometrické posloupnosti.
Nyní zvažte vzorce, které nám umožňují rychle vypočítat součet členů geometrické posloupnosti v daném intervalu:
Abychom odvodili vzorec pro součet členů konečné geometrické posloupnosti, vynásobíme všechny části výše uvedené rovnice číslem. Dostaneme:
Podívejte se pozorně: co mají poslední dva vzorce společného? Přesně tak, třeba společní členové a tak dále, kromě prvního a posledního člena. Zkusme odečíst 1. rovnici od 2. rovnice. Co jsi dostal?
Nyní vyjádřete pomocí vzorce člen geometrické posloupnosti a dosaďte výsledný výraz do našeho posledního vzorce:
Seskupte výraz. Měli byste dostat:
Zbývá pouze vyjádřit:
V souladu s tím v tomto případě.
Co když? Jaký vzorec tedy funguje? Představte si geometrickou progresi v. Jaká je? Správně řada stejných čísel, respektive, vzorec bude vypadat takto:
Stejně jako u aritmetického a geometrického postupu existuje mnoho legend. Jednou z nich je legenda o Sethovi, tvůrci šachů.
Mnoho lidí ví, že šachová hra byla vynalezena v Indii. Když se s ní hinduistický král setkal, byl potěšen jejím vtipem a rozmanitostí možných pozic v ní. Když se král dozvěděl, že jej vynalezl jeden z jeho poddaných, rozhodl se ho osobně odměnit. Zavolal k sobě vynálezce a nařídil, aby ho požádal o cokoli, co by chtěl, a slíbil, že splní i tu nejšikovnější touhu.
Seta požádal o čas na rozmyšlenou, a když se následujícího dne Seta objevil před králem, překvapil krále nebývalou skromností své žádosti. Požádal o pšeničné zrno pro první pole šachovnice, pšenici pro druhé, pro třetí, pro čtvrté a tak dále.
Král se rozzlobil a zahnal Setha s tím, že žádost sluhy není hodná královské štědrosti, ale slíbil, že sluha dostane jeho obilí za všechny cely rady.
A nyní otázka zní: pomocí vzorce pro součet členů geometrické posloupnosti spočítejte, kolik zrn by měl Seth dostat?
Začněme diskutovat. Protože podle podmínky Seth požádal o zrnko pšenice za první buňku šachovnice, za druhou, za třetí, za čtvrtou atd., vidíme, že problém je v geometrickém postupu. Co se v tomto případě rovná?
Že jo.
Celkový počet buněk na šachovnici. Respektive, . Všechna data máme, zbývá jen dosadit do vzorce a vypočítat.
Abychom alespoň přibližně reprezentovali „škály“ daného čísla, transformujeme pomocí vlastností stupně:
Samozřejmě, pokud chcete, můžete si vzít kalkulačku a spočítat si, k jakému číslu nakonec dostanete, a pokud ne, budete mi muset dát za slovo: konečná hodnota výrazu bude.
to je:
kvintilion kvadrilion bilion miliard milionů milionů tisíc.
Fuh) Pokud si chcete představit ohromné množství tohoto čísla, pak odhadněte, jaká velikost stodoly by byla zapotřebí, aby se do něj vešlo celé množství obilí.
Při výšce stodoly m a šířce m by její délka musela sahat na km, tzn. dvakrát tak daleko než od Země ke Slunci.
Pokud by byl král silný v matematice, mohl by vědci nabídnout, aby počítal zrnka, protože k napočítání milionu zrnek by potřeboval minimálně den neúnavného počítání a vzhledem k tomu, že je potřeba počítat kvintiliony, tak by se dalo říci, že pokud by byl král silný v matematice, mohl by sám vědce nabídnout počítání zrnek, protože k napočítání milionu zrnek by potřeboval alespoň den neúnavného počítání, zrna by se musel počítat celý život.
A nyní vyřešíme jednoduchý problém na součtu členů geometrické posloupnosti.
Vasya, student 5. třídy, onemocněl chřipkou, ale dál chodí do školy. Každý den Vasja nakazí dva lidi, kteří zase nakazí další dva lidi a tak dále. Jen jeden člověk ve třídě. Za kolik dní dostane celá třída chřipku?
Takže prvním členem geometrické progrese je Vasya, tedy osoba. člen geometrické progrese, to jsou dva lidé, které nakazil první den svého příjezdu. Celkový součet členů postupu se rovná počtu studentů 5A. V souladu s tím hovoříme o progresi, ve které:
Dosadíme naše data do vzorce pro součet členů geometrické posloupnosti:
Během několika dní onemocní celá třída. Nevěříte vzorcům a číslům? Zkuste „infekci“ studentů ztvárnit sami. Stalo? Podívejte se, jak to u mě vypadá:
Spočítejte si sami, kolik dní by studenti dostali chřipku, kdyby každý nakazil člověka a ve třídě byl člověk.
Jakou hodnotu jste získali? Ukázalo se, že všem začalo být po dni špatně.
Jak vidíte, takový úkol a jeho kresba připomíná pyramidu, ve které každý následující „přináší“ nové lidi. Dříve nebo později však přijde okamžik, kdy ten druhý nemůže nikoho přitáhnout. V našem případě, pokud si představíme, že třída je izolovaná, osoba z uzavře řetězec (). Pokud by tedy byla osoba zapojena do finanční pyramidy, ve které byly dány peníze, pokud byste přivedli dva další účastníky, pak by tato osoba (nebo obecně) nikoho nepřivedla, respektive ztratila by vše, co investovala do tohoto finančního podvodu. .
Vše, co bylo řečeno výše, se týká klesajícího nebo rostoucího geometrického postupu, ale jak si vzpomínáte, máme zvláštní druh - nekonečně klesající geometrický postup. Jak vypočítat součet jejích členů? A proč má tento typ progrese určité rysy? Pojďme na to společně přijít.
Pro začátek se tedy znovu podívejme na tento obrázek nekonečně klesající geometrické progrese z našeho příkladu:
A nyní se podívejme na vzorec pro součet geometrické posloupnosti, odvozený o něco dříve:
nebo
O co usilujeme? Je to tak, graf ukazuje, že má tendenci k nule. Tedy kdy, to se bude téměř rovnat, respektive při výpočtu výrazu dostaneme téměř. V tomto ohledu se domníváme, že při výpočtu součtu nekonečně klesající geometrické posloupnosti lze tuto závorku zanedbat, protože se bude rovnat.
- vzorec je součtem členů nekonečně klesající geometrické posloupnosti.
DŮLEŽITÉ! Vzorec pro součet členů nekonečně klesající geometrické posloupnosti použijeme pouze v případě, že podmínka výslovně stanoví, že potřebujeme najít součet nekonečný počet členů.
Je-li uvedeno konkrétní číslo n, pak použijeme vzorec pro součet n členů, i když nebo.
A teď pojďme cvičit.
- Najděte součet prvních členů geometrické posloupnosti s a.
- Najděte součet členů nekonečně klesající geometrické posloupnosti s a.
Doufám, že jsi byl velmi opatrný. Porovnejte naše odpovědi:
Nyní víte vše o geometrickém postupu a je čas přejít od teorie k praxi. Nejběžnější exponenciální problémy nalezené u zkoušky jsou problémy se složeným úrokem. Právě o nich si budeme povídat.
Problémy pro výpočet složeného úročení.
Určitě jste slyšeli o takzvaném složeném úrokovém vzorci. Chápeš, co tím myslí? Pokud ne, pojďme na to přijít, protože po realizaci samotného procesu okamžitě pochopíte, co s tím má geometrická progrese společného.
Všichni jdeme do banky a víme, že existují různé podmínky pro vklady: to je termín, další údržba a úrok se dvěma různými způsoby výpočtu - jednoduchý a složitý.
S jednoduchý zájem vše je víceméně jasné: úrok je účtován jednou na konci doby trvání vkladu. To znamená, že pokud mluvíme o vložení 100 rublů ročně, budou připsány až na konci roku. V souladu s tím na konci vkladu obdržíme rubly.
Složené úročení je možnost, ve které úroková kapitalizace, tj. jejich přičtení k výši vkladu a následný výpočet příjmů nikoli z počáteční, ale z kumulované částky vkladu. Velká písmena se nevyskytují neustále, ale s určitou periodicitou. Zpravidla jsou taková období stejná a banky nejčastěji používají měsíc, čtvrtletí nebo rok.
Řekněme, že vkládáme všechny stejné rubly ročně, ale s měsíční kapitalizací vkladu. co získáme?
Rozumíš tady všemu? Pokud ne, pojďme na to krok za krokem.
Přinesli jsme rubly do banky. Do konce měsíce bychom měli mít na účtu částku skládající se z našich rublů plus úroky z nich, tedy:
Souhlasit?
Můžeme to vyjmout z držáku a pak dostaneme:
Souhlas, tento vzorec je již více podobný tomu, který jsme napsali na začátku. Zbývá se vypořádat s procenty
Ve stavu problému je nám řečeno o roční. Jak víte, nenásobíme - převádíme procenta na desetinná místa, to znamená:
Že jo? Nyní se ptáte, kde se to číslo vzalo? Velmi jednoduché!
Opakuji: stav problému říká o ROČNÍ naběhlý úrok MĚSÍČNÍ. Jak víte, za rok měsíců, respektive, nám banka bude účtovat část ročního úroku měsíčně:
Uvědomil? Zkuste teď napsat, jak by tato část vzorce vypadala, kdybych řekl, že úrok se počítá denně.
Zvládli jste to? Porovnejme výsledky:
Výborně! Vraťme se k našemu úkolu: napište si, kolik bude na náš účet připsáno za druhý měsíc, s ohledem na to, že z nahromaděné částky vkladu je účtován úrok.
Stalo se mi toto:
Nebo, jinými slovy:
Myslím, že jste si již všimli vzoru a viděli jste v tom všem geometrický pokrok. Napište, čemu se bude jeho člen rovnat, nebo jinými slovy, kolik peněz na konci měsíce dostaneme.
Dělal? Kontrola!
Jak vidíte, pokud vložíte peníze do banky na rok za jednoduchý úrok, dostanete rubly, a pokud je vložíte za složenou sazbu, dostanete rubly. Přínos je malý, ale to se děje pouze během tého roku, ale po delší období je kapitalizace mnohem výnosnější:
Zvažte jiný typ problémů se složeným úrokem. Po tom, co jste zjistili, to pro vás bude elementární. Takže úkol zní:
Zvezda začala do tohoto odvětví investovat v roce 2000 s dolarovým kapitálem. Od roku 2001 dosahuje každoročně zisku, který se rovná kapitálu předchozího roku. Jaký zisk získá společnost Zvezda na konci roku 2003, pokud by zisk nebyl stažen z oběhu?
V roce 2000 kapitál společnosti Zvezda.
- kapitál společnosti Zvezda v roce 2001.
- kapitál společnosti Zvezda v roce 2002.
- kapitál společnosti Zvezda v roce 2003.
Nebo můžeme stručně napsat:
Pro náš případ:
2000, 2001, 2002 a 2003.
Respektive:
rublů
Všimněte si, že v tomto problému nemáme dělení ani podle ani podle, protože procento se udává ROČNĚ a počítá se ROČNĚ. To znamená, že při čtení problému pro složené úročení věnujte pozornost tomu, jaké procento je uvedeno a v jakém období je účtováno, a teprve poté pokračujte ve výpočtech.
Nyní víte vše o geometrickém postupu.
Výcvik.
- Najděte člen geometrické posloupnosti, pokud je známo, že a
- Najděte součet prvních členů geometrické posloupnosti, pokud je známo, že a
- Společnost MDM Capital začala v tomto odvětví investovat v roce 2003 s dolarovým kapitálem. Od roku 2004 dosahuje každoročně zisku, který se rovná kapitálu předchozího roku. Společnost "MSK Cash Flows" začala do odvětví investovat v roce 2005 ve výši 10 000 $, přičemž v roce 2006 začala vytvářet zisk ve výši. O kolik dolarů převyšuje kapitál jedné společnosti kapitál jiné společnosti na konci roku 2007, pokud by zisky nebyly staženy z oběhu?
Odpovědi:
- Protože podmínka úlohy neříká, že posloupnost je nekonečná a je potřeba najít součet určitého počtu jejích členů, výpočet se provede podle vzorce:
Společnost "MDM Capital":2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- se zvýší o 100 %, tedy 2krát.
Respektive:
rublů
Peněžní toky MSK:2005, 2006, 2007.
- zvyšuje se, tedy krát.
Respektive:
rublů
rublů
Pojďme si to shrnout.
1) Geometrická posloupnost ( ) je číselná posloupnost, jejíž první člen je odlišný od nuly a každý člen, počínaje druhým, je roven předchozímu, vynásobený stejným číslem. Toto číslo se nazývá jmenovatel geometrické posloupnosti.
2) Rovnice členů geometrické posloupnosti -.
3) může mít jakoukoli hodnotu, kromě a.
- jestliže, pak všichni následující členové progrese mají stejné znaménko - oni pozitivní;
- pokud, pak všichni následující členové progrese alternativní znamení;
- at - progrese se nazývá nekonečně klesající.
4) , at je vlastnost geometrické posloupnosti (sousední členy)
nebo
, v (ekvidistantní termíny)
Až to najdete, nezapomeňte na to měly by existovat dvě odpovědi..
Například,
5) Součet členů geometrické posloupnosti se vypočítá podle vzorce:
nebo
nebo
DŮLEŽITÉ! Vzorec pro součet členů nekonečně klesající geometrické posloupnosti použijeme pouze v případě, že podmínka výslovně stanoví, že potřebujeme najít součet nekonečného počtu členů.
6) Úkoly pro složené úročení se rovněž počítají podle vzorce tého členu geometrické progrese, pokud nebyly prostředky staženy z oběhu:
GEOMETRICKÝ PROGRESE. KRÁTCE O HLAVNÍM
Geometrická progrese( ) je číselná posloupnost, jejíž první člen je odlišný od nuly a každý člen, počínaje druhým, je roven předchozímu, vynásobený stejným číslem. Toto číslo se volá jmenovatel geometrické progrese.
Jmenovatel geometrické posloupnosti může mít jakoukoli hodnotu kromě a.
- Pokud, pak všechny následující členy progrese mají stejné znaménko - jsou pozitivní;
- jestliže, pak všechny následující členy progrese střídají znamení;
- at - progrese se nazývá nekonečně klesající.
Rovnice členů geometrické posloupnosti - .
Součet členů geometrické posloupnosti vypočítá se podle vzorce:
nebo
Pokud se progrese nekonečně snižuje, pak:
Staňte se studentem YouClever,
Připravte se na OGE nebo USE v matematice,
A také získejte neomezený přístup k výukovému programu YouClever...
geometrická progrese je posloupnost čísel, ve které každý člen (počínaje druhým) získáme od předchozího vynásobením stejným číslem q ≠ 0. Číslo q se nazývá jmenovatel geometrická progrese. Abyste mohli nastavit geometrickou posloupnost, musíte nastavit její první člen a 1 a jmenovatel q.
Geometrická progrese se zvyšuje pro q > 1, klesá pro 0< q < 1.
Příklady geometrických průběhů:
1. 2, 4, 8, 16…. Zde je první člen 1 a jmenovatel je 2.
81, 27, 9, 3, 1, 1/3…. Zde je první člen 81 a jmenovatel je 1/3.
Takže první člen posloupnosti je a 1 , druhý - a 1 q, třetí a 1 q*q = a 1 q 2 , čtvrtý a 1 q 2 *q = a 1 q 3 .... Tím pádem, N-tý člen progrese se vypočítá podle vzorce a n = a 1 q n-1 .
Prohlášení: Součet n členů geometrické posloupnosti se vypočte podle vzorce
Sn = a 1 +a 1 q+a 1 q 2 +a 1 q 3 +...+a 1 q n-1.
Vynásobíme-li, dostaneme:
S n q = a 1 q+a 1 q 2 +a 1 q 3 +...a 1 q n .
Nyní odečtěte S n q od S n .
Příklady úloh geometrické posloupnosti.
1. Najděte součet prvních 10 členů geometrické posloupnosti, pokud je známo, že a 1 = 3, q = 4.
2. Za jednu minutu se biomasa zvýší 2krát. Jakou váhu bude mít za 5 minut, když je nyní její váha 3 kg.
Máme co do činění s geometrickou posloupností, ve které a 1 = 3 a q = 2 K vyřešení problému potřebujeme najít šestý člen této posloupnosti.
ČÍSELNÉ SEKVENCE VI
§ l48. Součet nekonečně klesající geometrické progrese
Až dosud jsme u součtů vždy předpokládali, že počet členů v těchto součtech je konečný (například 2, 15, 1000 atd.). Ale při řešení některých problémů (zejména vyšší matematiky) se člověk musí vypořádat se součty nekonečného počtu členů
S= A 1 + A 2 + ... + A n + ... . (1)
Jaké jsou tyto částky? A-převorství součet nekonečného počtu členů A 1 , A 2 , ..., A n , ... se nazývá limita součtu S n První P čísla kdy P -> ∞ :
S=S n = (A 1 + A 2 + ... + A n ). (2)
Limit (2) samozřejmě může a nemusí existovat. Podle toho se říká, že součet (1) existuje nebo neexistuje.
Jak zjistit, zda v každém konkrétním případě existuje součet (1)? Obecné řešení této otázky daleko přesahuje rámec našeho programu. Je zde však jeden důležitý zvláštní případ, který nyní musíme zvážit. Budeme mluvit o součtu členů nekonečně klesající geometrické posloupnosti.
Nechat A 1 , A 1 q , A 1 q 2, ... je nekonečně klesající geometrický průběh. To znamená, že | q |< 1. Сумма первых P členů této progrese se rovná
Ze základních vět o limitách proměnných (viz § 136) získáme:
Ale 1 = 1, a q n = 0. Proto
Součet nekonečně klesající geometrické posloupnosti se tedy rovná prvnímu členu tohoto postupu dělenému jednou mínus jmenovatel tohoto postupu.
1) Součet geometrické posloupnosti 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... je
a součet geometrické posloupnosti je 12; -6; 3; - 3/2, ... se rovná
2) Jednoduchý periodický zlomek 0,454545 ... se změní na obyčejný.
Abychom tento problém vyřešili, reprezentujeme tento zlomek jako nekonečný součet:
Pravá strana této rovnosti je součtem nekonečně klesající geometrické posloupnosti, jejíž první člen je 45/100 a jmenovatel je 1/100. Proto
Popsaným způsobem lze také získat obecné pravidlo pro převod jednoduchých periodických zlomků na obyčejné zlomky (viz kapitola II, § 38):
Chcete-li převést jednoduchý periodický zlomek na obyčejný, musíte postupovat následovně: vložte období desetinného zlomku do čitatele a do jmenovatele - číslo skládající se z devítek zabraných tolikrát, kolik je číslic v období desetinného zlomku.
3) Smíšený periodický zlomek 0,58333 .... přeměnit na obyčejný zlomek.
Představme si tento zlomek jako nekonečný součet:
Na pravé straně této rovnosti tvoří všechny členy počínaje 3/1000 nekonečně klesající geometrickou posloupnost, jejíž první člen je 3/1000 a jmenovatel je 1/10. Proto
Popsaným způsobem lze získat i obecné pravidlo pro přeměnu smíšených periodických frakcí na běžné frakce (viz kapitola II, § 38). Záměrně to sem nezařazujeme. Není třeba se učit nazpaměť toto těžkopádné pravidlo. Je mnohem užitečnější vědět, že jakýkoli smíšený periodický zlomek může být reprezentován jako součet nekonečně klesající geometrické posloupnosti a nějakého čísla. A vzorec
pro součet nekonečně klesající geometrické progrese je třeba si samozřejmě pamatovat.
Jako cvičení vás vyzýváme, abyste se kromě níže uvedených problémů č. 995-1000 ještě jednou obrátili na problém č. 301 § 38.
Cvičení
995. Jak se nazývá součet nekonečně klesající geometrické posloupnosti?
996. Najděte součty nekonečně klesajících geometrických posloupností:
997. Za jaké hodnoty X postup
nekonečně klesá? Najděte součet takového průběhu.
998. V rovnostranném trojúhelníku se stranou A nový trojúhelník je vepsán spojením středů jeho stran; stejným způsobem je do tohoto trojúhelníku vepsán nový trojúhelník a tak dále ad infinitum.
a) součet obvodů všech těchto trojúhelníků;
b) součet jejich ploch.
999. Ve čtverci se stranou A nový čtverec je vepsán spojením středů jeho stran; stejným způsobem je do tohoto čtverce vepsán čtverec a tak dále ad infinitum. Najděte součet obvodů všech těchto čtverců a součet jejich ploch.
1000. Proveďte nekonečně klesající geometrickou posloupnost tak, aby její součet byl roven 25 / 4 a součet druhých mocnin jejích členů se rovnal 625 / 24.
