Was bedeutet es, Intervalle der Monotonie einer Funktion zu finden? Monotonie der Funktionen

Wie füge ich mathematische Formeln auf einer Website ein?

Wenn Sie jemals eine oder zwei mathematische Formeln zu einer Webseite hinzufügen müssen, können Sie dies am einfachsten wie im Artikel beschrieben tun: Mathematische Formeln können ganz einfach in Form von Bildern in die Website eingefügt werden, die von Wolfram Alpha automatisch generiert werden . Diese universelle Methode ist nicht nur einfach, sondern trägt auch dazu bei, die Sichtbarkeit der Website in Suchmaschinen zu verbessern. Es funktioniert schon seit langer Zeit (und wird meiner Meinung nach auch für immer funktionieren), ist aber moralisch bereits überholt.

Wenn Sie auf Ihrer Website regelmäßig mathematische Formeln verwenden, empfehle ich Ihnen die Verwendung von MathJax – einer speziellen JavaScript-Bibliothek, die mathematische Notation in Webbrowsern mithilfe von MathML-, LaTeX- oder ASCIIMathML-Markup anzeigt.

Es gibt zwei Möglichkeiten, MathJax zu verwenden: (1) Mit einem einfachen Code können Sie schnell ein MathJax-Skript mit Ihrer Website verbinden, das zum richtigen Zeitpunkt automatisch von einem Remote-Server geladen wird (Liste der Server); (2) Laden Sie das MathJax-Skript von einem Remote-Server auf Ihren Server herunter und verbinden Sie es mit allen Seiten Ihrer Site. Die zweite Methode – komplexer und zeitaufwändiger – beschleunigt das Laden der Seiten Ihrer Site, und wenn der übergeordnete MathJax-Server aus irgendeinem Grund vorübergehend nicht verfügbar ist, hat dies keinerlei Auswirkungen auf Ihre eigene Site. Trotz dieser Vorteile habe ich mich für die erste Methode entschieden, da sie einfacher und schneller ist und keine technischen Kenntnisse erfordert. Folgen Sie meinem Beispiel und in nur 5 Minuten können Sie alle Funktionen von MathJax auf Ihrer Website nutzen.

Sie können das MathJax-Bibliotheksskript von einem Remote-Server aus verbinden, indem Sie zwei Codeoptionen verwenden, die Sie von der Hauptwebsite von MathJax oder auf der Dokumentationsseite erhalten:

Eine dieser Codeoptionen muss kopiert und in den Code Ihrer Webseite eingefügt werden, vorzugsweise zwischen Tags und oder unmittelbar nach dem Tag. Gemäß der ersten Option lädt MathJax schneller und verlangsamt die Seite weniger. Aber die zweite Option überwacht und lädt automatisch die neuesten Versionen von MathJax. Wenn Sie den ersten Code eingeben, muss dieser regelmäßig aktualisiert werden. Wenn Sie den zweiten Code einfügen, werden die Seiten langsamer geladen, aber Sie müssen die MathJax-Updates nicht ständig überwachen.

Der einfachste Weg, MathJax zu verbinden, ist in Blogger oder WordPress: Fügen Sie im Site-Kontrollfeld ein Widget hinzu, das zum Einfügen von JavaScript-Code von Drittanbietern entwickelt wurde, kopieren Sie die erste oder zweite Version des oben dargestellten Download-Codes hinein und platzieren Sie das Widget näher an den Anfang der Vorlage (übrigens ist dies überhaupt nicht notwendig, da das MathJax-Skript asynchron geladen wird). Das ist alles. Lernen Sie nun die Markup-Syntax von MathML, LaTeX und ASCIIMathML und Sie sind bereit, mathematische Formeln in die Webseiten Ihrer Website einzufügen.

Jedes Fraktal wird nach einer bestimmten Regel konstruiert, die konsequent und unbegrenzt oft angewendet wird. Jeder dieser Zeitpunkte wird als Iteration bezeichnet.

Der iterative Algorithmus zur Konstruktion eines Menger-Schwamms ist recht einfach: Der ursprüngliche Würfel mit der Seite 1 wird durch zu seinen Flächen parallele Ebenen in 27 gleiche Würfel unterteilt. Ein zentraler Würfel und 6 entlang der Flächen daneben liegende Würfel werden daraus entfernt. Das Ergebnis ist ein Set bestehend aus den restlichen 20 kleineren Würfeln. Wenn wir mit jedem dieser Würfel dasselbe machen, erhalten wir ein Set bestehend aus 400 kleineren Würfeln. Wenn wir diesen Prozess endlos fortsetzen, erhalten wir einen Menger-Schwamm.

Funktion bei = F(X) wird als zunehmend (abnehmend) im Intervall bezeichnet X, wenn für irgendjemanden die Ungleichung wahr ist

Satz (ausreichende Bedingung für eine Zunahme einer Funktion). Wenn die Ableitung der differenzierbaren Funktion innerhalb eines bestimmten Intervalls positiv ist X, dann nimmt es in diesem Intervall zu.

Betrachten Sie zwei Werte x 1 Und x 2 in diesem Intervall X. Lassen . Lasst uns beweisen

Für die Funktion f(x) auf dem Segment [ x 1; x 2] sind also die Bedingungen des Satzes von Lagrange erfüllt

Wo , d.h. gehört zu dem Intervall, in dem die Ableitung positiv ist, was bedeutet, dass und die rechte Seite der Gleichheit ist positiv. Von hier Und

Ein anderer Satz wird auf ähnliche Weise bewiesen.

Satz (ausreichende Bedingung für die Abnahme einer Funktion). Wenn die Ableitung der differenzierbaren Funktion innerhalb eines bestimmten Intervalls negativ ist X, dann nimmt es in diesem Intervall ab.

Eine geometrische Interpretation der Bedingung für die Monotonie einer Funktion ist in Abbildung 7 dargestellt.

Wenn die Tangenten an die Kurve in einem bestimmten Intervall in spitzen Winkeln zur Abszissenachse gerichtet sind (Abb. 7a), nimmt die Funktion zu, bei stumpfen Winkeln (Abb. 7b) nimmt sie ab.

Abbildung 7 – Geometrische Interpretation der Bedingung der Monotonie einer Funktion

Beispiel 1 bei = X 2 – 4X + 3.

Lösung. Wir haben Offensichtlich bei X> 2i y"< 0 um X< 2, d.h. Die Funktion nimmt im Intervall ab und nimmt im Laufe des Intervalls zu Wo X 0 = 2 - Abszisse des Scheitelpunkts der Parabel.

Beachten Sie, dass die notwendige Bedingung für Monotonie schwächer ist. Wenn eine Funktion über ein bestimmtes Intervall zunimmt (abnimmt). X, dann können wir nur sagen, dass die Ableitung in diesem Intervall nicht negativ (nicht positiv) ist: d. h. An einzelnen Punkten kann die Ableitung einer monotonen Funktion gleich Null sein.

Beispiel 2. Finden Sie Intervalle der Monotonie einer Funktion bei = X 3 .

Lösung. Finden wir die Ableitung Es ist klar, dass bei> 0 bei . Bei X= 0 geht die Ableitung gegen Null. Die Funktion wächst monoton entlang der gesamten Zahlenachse.

Extremum der Funktion

Definition 1. Punkt X 0 wird als Maximalpunkt der Funktion bezeichnet F(XX 0 Ungleichheit gilt

Definition 2. Punkt X 1 wird als Minimalpunkt der Funktion bezeichnet F(X), wenn in irgendeiner Umgebung des Punktes X 1 gilt die Ungleichung

Funktionswerte an Punkten X 0 und X 1 heißen entsprechend Maximum und Minimum der Funktion.

Die Maximum- und Minimum-Funktionen werden durch einen gemeinsamen Namen vereint Extremum der Funktion.

Das Extremum einer Funktion wird oft aufgerufen lokales Extremum, Betonung der Tatsache, dass das Konzept des Extremums nur mit einer ausreichend kleinen Umgebung des Punktes verbunden ist x n. Daher kann eine Funktion in einem Intervall mehrere Extrema haben, und es kann vorkommen, dass das Minimum an einem Punkt größer ist als das Maximum an einem anderen, zum Beispiel in Abbildung 8

Das Vorhandensein eines Maximums (oder Minimums) an einem separaten Punkt im Intervall X bedeutet überhaupt nicht, dass an dieser Stelle die Funktion F(X) nimmt in diesem Intervall den größten (kleinsten) Wert an (oder hat, wie man sagt). globales Maximum (Minimum)).

Notwendige Bedingung für ein Extremum: Damit die Funktion erfüllt ist y =f(X) hatte zu diesem Zeitpunkt ein Extremum X 0, es ist notwendig, dass seine Ableitung an diesem Punkt gleich Null ist ( )oder existierte nicht.

Punkte, an denen die notwendige Extremumbedingung erfüllt ist, d. h. Die Ableitung ist Null oder existiert nicht kritisch(oder stationär ).

Wenn es also an irgendeinem Punkt ein Extremum gibt, dann ist dieser Punkt kritisch. Es ist jedoch sehr wichtig zu beachten, dass das Gegenteil nicht der Fall ist. Der kritische Punkt ist nicht unbedingt ein Extrempunkt.

Abbildung 8 – Funktionsextrema F(X)

Beispiel 1. Finden Sie die kritischen Punkte der Funktion und überprüfen Sie, ob an diesen Punkten ein Extremum vorhanden ist oder nicht.

steigend auf dem Intervall \(X\) falls für jedes \(x_1, x_2\in X\) so dass \(x_1 0\) für jedes \(t\in \mathbb(R)\) .

Somit ist die Funktion \(f(t)\) für alle \(t\in \mathbb(R)\) streng steigend.

Das bedeutet, dass die Gleichung \(f(ax)=f(x^2)\) äquivalent zur Gleichung \(ax=x^2\) ist.

Die Gleichung \(x^2-ax=0\) für \(a=0\) hat eine Wurzel \(x=0\) und für \(a\ne 0\) hat sie zwei verschiedene Wurzeln \(x_1 =0 \) und \(x_2=a\) .
Wir müssen die Werte von \(a\) finden, bei denen die Gleichung mindestens zwei Wurzeln hat, und dabei auch die Tatsache berücksichtigen, dass \(a>0\) .
Daher lautet die Antwort: \(a\in (0;+\infty)\) .

Antwort:

\((0;+\infty)\) .

Aufgabe 4 #1232

Aufgabenniveau: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen

Finden Sie alle Werte des Parameters \(a\), für die jeweils die Gleichung \

hat eine einzigartige Lösung.

Lassen Sie uns die rechte und linke Seite der Gleichung mit \(2^(\sqrt(x+1))\) multiplizieren (da \(2^(\sqrt(x+1))>0\) ) und die Gleichung neu schreiben in der Form :\

Betrachten Sie die Funktion \(y=2^t\cdot \log_(\frac(1)(9))((t+2))\) für \(t\geqslant 0\) (da \(\sqrt (x +1)\geqslant 0\) ).

Ableitung \(y"=\left(-2^t\cdot \log_9((t+2))\right)"=-\dfrac(2^t)(\ln9)\cdot \left(\ln 2\ cdot \ln((t+2))+\dfrac(1)(t+2)\right)\) .

Weil \(2^t>0, \ \dfrac(1)(t+2)>0, \ \ln((t+2))>0\) für alle \(t\geqslant 0\) , dann \( y"0\) für alle \(a\). Folglich hat die Gleichung immer zwei Wurzeln \(x_1\) und \(x_2\), und diese haben unterschiedliche Vorzeichen (da nach dem Satz von Vieta \(x_1\cdot x_2 =-\dfrac(1)(a^2)