Dezimalbrüche auf Russisch. Dezimalkonzept

Dieser Artikel ist über Dezimalzahlen. Hier werden wir die Dezimalschreibweise von Bruchzahlen verstehen, das Konzept eines Dezimalbruchs vorstellen und Beispiele für Dezimalbrüche geben. Als nächstes sprechen wir über die Ziffern von Dezimalbrüchen und geben die Namen der Ziffern an. Danach konzentrieren wir uns auf unendliche Dezimalbrüche, sprechen wir über periodische und nichtperiodische Brüche. Als nächstes listen wir die Grundoperationen mit Dezimalbrüchen auf. Lassen Sie uns abschließend die Position von Dezimalbrüchen auf dem Koordinatenstrahl bestimmen.

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Dezimalschreibweise einer Bruchzahl

Dezimalzahlen lesen

Lassen Sie uns ein paar Worte zu den Regeln zum Lesen von Dezimalbrüchen sagen.

Dezimalbrüche, die echten gewöhnlichen Brüchen entsprechen, werden auf die gleiche Weise wie diese gewöhnlichen Brüche gelesen, nur dass zunächst „null ganze Zahl“ hinzugefügt wird. Beispielsweise entspricht der Dezimalbruch 0,12 dem gemeinsamen Bruch 12/100 (gelesen „zwölf Hundertstel“), daher wird 0,12 als „Nullpunkt zwölf Hundertstel“ gelesen.

Dezimalbrüche, die gemischten Zahlen entsprechen, werden genauso gelesen wie diese gemischten Zahlen. Beispielsweise entspricht der Dezimalbruch 56,002 einer gemischten Zahl, sodass der Dezimalbruch 56,002 als „sechsundfünfzig Komma zweitausendstel“ gelesen wird.

Stellen in Dezimalstellen

Sowohl beim Schreiben von Dezimalbrüchen als auch beim Schreiben natürlicher Zahlen hängt die Bedeutung jeder Ziffer von ihrer Position ab. Tatsächlich bedeutet die Zahl 3 im Dezimalbruch 0,3 drei Zehntel, im Dezimalbruch 0,0003 drei Zehntausendstel und im Dezimalbruch 30.000,152 drei Zehntausendstel. Wir können also darüber reden Nachkommastellen sowie über die Ziffern in natürlichen Zahlen.

Die Namen der Ziffern im Dezimalbruch bis zum Dezimalpunkt stimmen vollständig mit den Namen der Ziffern in natürlichen Zahlen überein. Und die Namen der Nachkommastellen sind aus der folgenden Tabelle ersichtlich.

Beispielsweise befindet sich im Dezimalbruch 37,051 die Ziffer 3 an der Zehnerstelle, 7 an der Einerstelle, 0 an der Zehntelstelle, 5 an der Hundertstelstelle und 1 an der Tausendstelstelle.

Auch bei Dezimalbrüchen unterscheiden sich die Stellen in der Rangfolge. Wenn wir uns beim Schreiben eines Dezimalbruchs von Ziffer zu Ziffer von links nach rechts bewegen, bewegen wir uns von Senioren Zu Nachwuchsränge. Beispielsweise ist die Hunderterstelle älter als die Zehntelstelle und die Millionenstelle niedriger als die Hundertstelstelle. In einem gegebenen letzten Dezimalbruch können wir über die Haupt- und Nebenziffern sprechen. Zum Beispiel im Dezimalbruch 604,9387 Senior (höchster) der Ort ist der Hunderterplatz, und Junior (niedrigste)- Zehntausendstelstelle.

Bei Dezimalbrüchen erfolgt die Zerlegung in Ziffern. Es ähnelt der Erweiterung in Ziffern natürlicher Zahlen. Beispielsweise lautet die Zerlegung von 45,6072 in Dezimalstellen wie folgt: 45,6072=40+5+0,6+0,007+0,0002. Und die Eigenschaften der Addition aus der Zerlegung eines Dezimalbruchs in Ziffern ermöglichen es Ihnen, zu anderen Darstellungen dieses Dezimalbruchs überzugehen, zum Beispiel 45,6072=45+0,6072 oder 45,6072=40,6+5,007+0,0002 oder 45,6072= 45,0072+ 0,6.

Endende Dezimalstellen

Bisher haben wir nur von Dezimalbrüchen gesprochen, in deren Schreibweise endlich viele Nachkommastellen stehen. Solche Brüche werden endliche Dezimalzahlen genannt.

Definition.

Endende Dezimalzahlen- Dies sind Dezimalbrüche, deren Datensätze eine endliche Anzahl von Zeichen (Ziffern) enthalten.

Hier sind einige Beispiele für letzte Dezimalbrüche: 0,317, 3,5, 51,1020304958, 230.032,45.

Allerdings kann nicht jeder Bruch als letzte Dezimalzahl dargestellt werden. Beispielsweise kann der Bruch 5/13 nicht durch einen gleichen Bruch mit einem der Nenner 10, 100, ... ersetzt werden und daher nicht in einen letzten Dezimalbruch umgewandelt werden. Wir werden im Theorieteil mehr darüber sprechen und gewöhnliche Brüche in Dezimalzahlen umwandeln.

Unendliche Dezimalzahlen: Periodische Brüche und nichtperiodische Brüche

Wenn Sie einen Dezimalbruch nach dem Dezimalpunkt schreiben, können Sie davon ausgehen, dass es eine unendliche Anzahl von Ziffern gibt. In diesem Fall betrachten wir die sogenannten unendlichen Dezimalbrüche.

Definition.

Unendliche Dezimalzahlen- Das sind Dezimalbrüche, die unendlich viele Ziffern enthalten.

Es ist klar, dass wir unendliche Dezimalbrüche nicht in vollständiger Form aufschreiben können, deshalb beschränken wir uns bei ihrer Aufzeichnung auf nur eine bestimmte endliche Anzahl von Nachkommastellen und setzen Auslassungspunkte, die eine unendlich fortlaufende Folge von Ziffern anzeigen. Hier sind einige Beispiele für unendliche Dezimalbrüche: 0,143940932…, 3,1415935432…, 153,02003004005…, 2,111111111…, 69,74152152152….

Schaut man sich die letzten beiden unendlichen Dezimalbrüche genau an, dann ist im Bruch 2,111111111... die sich endlos wiederholende Zahl 1 deutlich zu erkennen und im Bruch 69,74152152152... ab der dritten Dezimalstelle eine sich wiederholende Zahlengruppe 1, 5 und 2 sind deutlich zu erkennen. Solche unendlichen Dezimalbrüche nennt man periodisch.

Definition.

Periodische Dezimalzahlen(oder einfach periodische Brüche) sind endlose Dezimalbrüche, bei deren Aufzeichnung ab einer bestimmten Dezimalstelle eine Zahl oder Zahlengruppe endlos wiederholt wird, was man nennt Periode des Bruchs.

Beispielsweise ist die Periode des periodischen Bruchs 2,111111111... die Ziffer 1 und die Periode des Bruchs 69,74152152152... ist eine Zifferngruppe der Form 152.

Für unendliche periodische Dezimalbrüche wird eine spezielle Schreibweise verwendet. Der Kürze halber haben wir vereinbart, den Punkt einmal aufzuschreiben und ihn in Klammern zu setzen. Beispielsweise wird der periodische Bruch 2.111111111... als 2,(1) und der periodische Bruch 69.74152152152... als 69.74(152) geschrieben.

Es ist zu beachten, dass Sie für denselben periodischen Dezimalbruch unterschiedliche Perioden angeben können. Beispielsweise kann der periodische Dezimalbruch 0,73333... als Bruch 0,7(3) mit einer Periode von 3 und auch als Bruch 0,7(33) mit einer Periode von 33 betrachtet werden, und so weiter 0,7(333), 0,7 (3333), ... Sie können den periodischen Bruch 0,73333 auch so betrachten: 0,733(3), oder so 0,73(333) usw. Um Mehrdeutigkeiten und Diskrepanzen zu vermeiden, vereinbaren wir hier, als Periode eines Dezimalbruchs die kürzeste aller möglichen Folgen sich wiederholender Ziffern zu betrachten, beginnend mit der dem Dezimalpunkt am nächsten gelegenen Stelle. Das heißt, die Periode des Dezimalbruchs 0,73333... wird als Folge einer Ziffer 3 betrachtet, und die Periodizität beginnt an der zweiten Stelle nach dem Dezimalpunkt, also 0,73333...=0,7(3). Ein weiteres Beispiel: Der periodische Bruch 4,7412121212... hat eine Periode von 12, die Periodizität beginnt ab der dritten Nachkommastelle, also 4,7412121212...=4,74(12).

Unendliche dezimale periodische Brüche erhält man, indem man gewöhnliche Brüche, deren Nenner andere Primfaktoren als 2 und 5 enthalten, in Dezimalbrüche umwandelt.

Hier sind periodische Brüche mit einer Periode von 9 zu erwähnen. Lassen Sie uns Beispiele für solche Brüche geben: 6,43(9) , 27,(9) . Diese Brüche sind eine andere Schreibweise für periodische Brüche mit der Periode 0 und werden normalerweise durch periodische Brüche mit der Periode 0 ersetzt. Dazu wird die Periode 9 durch die Periode 0 ersetzt und der Wert der nächsthöheren Ziffer um eins erhöht. Beispielsweise wird ein Bruch mit Periode 9 der Form 7,24(9) durch einen periodischen Bruch mit Periode 0 der Form 7,25(0) oder einen gleichen letzten Dezimalbruch 7,25 ersetzt. Ein weiteres Beispiel: 4,(9)=5,(0)=5. Die Gleichheit eines Bruchs mit Periode 9 und seines entsprechenden Bruchs mit Periode 0 lässt sich leicht feststellen, nachdem diese Dezimalbrüche durch gleiche gewöhnliche Brüche ersetzt wurden.

Schauen wir uns abschließend die unendlichen Dezimalbrüche genauer an, die keine sich endlos wiederholende Ziffernfolge enthalten. Sie werden als nichtperiodisch bezeichnet.

Definition.

Einmalige Dezimalstellen(oder einfach nichtperiodische Brüche) sind unendliche Dezimalbrüche ohne Punkt.

Manchmal haben nichtperiodische Brüche eine ähnliche Form wie periodische Brüche, zum Beispiel ist 8,02002000200002... ein nichtperiodischer Bruch. In diesen Fällen sollten Sie besonders darauf achten, den Unterschied zu bemerken.

Beachten Sie, dass nichtperiodische Brüche nicht in gewöhnliche Brüche umgewandelt werden können; unendliche nichtperiodische Dezimalbrüche stellen irrationale Zahlen dar.

Operationen mit Dezimalzahlen

Eine der Operationen mit Dezimalbrüchen ist der Vergleich, außerdem werden die vier Grundrechenarten definiert Operationen mit Dezimalzahlen: Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Betrachten wir jede der Aktionen mit Dezimalbrüchen separat.

Vergleich von Dezimalzahlen basiert im Wesentlichen auf dem Vergleich gewöhnlicher Brüche, die den verglichenen Dezimalbrüchen entsprechen. Die Umwandlung von Dezimalbrüchen in gewöhnliche Brüche ist jedoch ein ziemlich arbeitsintensiver Prozess, und unendliche nichtperiodische Brüche können nicht als gewöhnlicher Bruch dargestellt werden. Daher ist es zweckmäßig, einen ortsweisen Vergleich von Dezimalbrüchen durchzuführen. Der ortsweise Vergleich von Dezimalbrüchen ähnelt dem Vergleich natürlicher Zahlen. Für detailliertere Informationen empfehlen wir das Studium des Artikels: Vergleich von Dezimalbrüchen, Regeln, Beispiele, Lösungen.

Kommen wir zum nächsten Schritt – Dezimalzahlen multiplizieren. Die Multiplikation endlicher Dezimalbrüche erfolgt auf ähnliche Weise wie die Subtraktion von Dezimalbrüchen, Regeln, Beispielen und Lösungen für die Multiplikation mit einer Spalte natürlicher Zahlen. Bei periodischen Brüchen kann die Multiplikation auf die Multiplikation gewöhnlicher Brüche reduziert werden. Die Multiplikation unendlicher nichtperiodischer Dezimalbrüche nach dem Runden wird wiederum auf die Multiplikation endlicher Dezimalbrüche reduziert. Wir empfehlen zum weiteren Studium das Material im Artikel: Multiplikation von Dezimalbrüchen, Regeln, Beispiele, Lösungen.

Dezimalzahlen auf einem Koordinatenstrahl

Zwischen Punkten und Dezimalstellen besteht eine Eins-zu-eins-Entsprechung.

Lassen Sie uns herausfinden, wie Punkte auf dem Koordinatenstrahl konstruiert werden, die einem bestimmten Dezimalbruch entsprechen.

Wir können endliche Dezimalbrüche und unendliche periodische Dezimalbrüche durch gleiche gewöhnliche Brüche ersetzen und dann die entsprechenden gewöhnlichen Brüche auf dem Koordinatenstrahl konstruieren. Beispielsweise entspricht der Dezimalbruch 1,4 dem gemeinsamen Bruch 14/10, sodass der Punkt mit der Koordinate 1,4 vom Ursprung in positiver Richtung um 14 Segmente entfernt ist, die einem Zehntel eines Einheitssegments entsprechen.

Dezimalbrüche können auf einem Koordinatenstrahl markiert werden, beginnend mit der Zerlegung eines bestimmten Dezimalbruchs in Ziffern. Wenn wir beispielsweise einen Punkt mit der Koordinate 16,3007 erstellen müssen, da 16,3007=16+0,3+0,0007 ist, können wir zu diesem Punkt gelangen, indem wir nacheinander 16 Einheitssegmente vom Koordinatenursprung aus anordnen, 3 Segmente, deren Länge einem Zehntel entspricht einer Einheit und 7 Segmente, deren Länge einem Zehntausendstel eines Einheitssegments entspricht.

Mit dieser Methode zum Konstruieren von Dezimalzahlen auf einem Koordinatenstrahl können Sie dem Punkt, der einem unendlichen Dezimalbruch entspricht, so nahe kommen, wie Sie möchten.

Manchmal ist es möglich, den Punkt, der einem unendlichen Dezimalbruch entspricht, genau darzustellen. Zum Beispiel, , dann entspricht dieser unendliche Dezimalbruch 1,41421... einem Punkt auf dem Koordinatenstrahl, der vom Koordinatenursprung um die Länge der Diagonale eines Quadrats mit einer Seitenlänge von 1 Einheitssegment entfernt ist.

Der umgekehrte Prozess zum Erhalten des Dezimalbruchs, der einem bestimmten Punkt auf einem Koordinatenstrahl entspricht, ist der sogenannte Dezimale Messung eines Segments. Lassen Sie uns herausfinden, wie es gemacht wird.

Unsere Aufgabe besteht darin, vom Ursprung zu einem bestimmten Punkt auf der Koordinatenlinie zu gelangen (oder uns ihm unendlich zu nähern, wenn wir ihn nicht erreichen können). Mit der dezimalen Messung eines Segments können wir nacheinander vom Ursprung aus eine beliebige Anzahl von Einheitssegmenten ablegen, dann Segmente, deren Länge einem Zehntel einer Einheit entspricht, dann Segmente, deren Länge einem Hundertstel einer Einheit entspricht usw. Indem wir die Anzahl der beiseite gelegten Segmente jeder Länge aufzeichnen, erhalten wir den Dezimalbruch, der einem bestimmten Punkt auf dem Koordinatenstrahl entspricht.

Um beispielsweise zum Punkt M in der obigen Abbildung zu gelangen, müssen Sie 1 Einheitssegment und 4 Segmente beiseite legen, deren Länge einem Zehntel einer Einheit entspricht. Somit entspricht Punkt M dem Dezimalbruch 1,4.

Es ist klar, dass die Punkte des Koordinatenstrahls, die bei der Dezimalmessung nicht erreicht werden können, unendlichen Dezimalbrüchen entsprechen.

Referenzliste.

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• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Mathematik (ein Handbuch für diejenigen, die technische Schulen besuchen): Proc. Zulage.- M.; Höher Schule, 1984.-351 S., mit Abb.

Ein gewöhnlicher Bruch (oder eine gemischte Zahl), bei dem der Nenner eine Eins gefolgt von einer oder mehreren Nullen ist (z. B. 10, 100, 1000 usw.):

kann in einer einfacheren Form geschrieben werden: ohne Nenner, wobei die ganzzahligen und gebrochenen Teile durch ein Komma voneinander getrennt werden (in diesem Fall wird davon ausgegangen, dass der ganzzahlige Teil eines echten Bruchs gleich 0 ist). Zuerst wird der ganze Teil geschrieben, dann wird ein Komma gesetzt und danach wird der Bruchteil geschrieben:

In dieser Form geschriebene gewöhnliche Brüche (oder gemischte Zahlen) heißen Dezimalzahlen.

Dezimalzahlen lesen und schreiben

Dezimalbrüche werden nach denselben Regeln geschrieben, die zum Schreiben natürlicher Zahlen im dezimalen Zahlensystem verwendet werden. Das bedeutet, dass bei Dezimalzahlen wie bei natürlichen Zahlen jede Ziffer Einheiten ausdrückt, die zehnmal größer sind als die benachbarten Einheiten rechts.

Betrachten Sie den folgenden Eintrag:

Die Zahl 8 steht für Primzahleinheiten. Die Zahl 3 bedeutet Einheiten, die zehnmal kleiner sind als einfache Einheiten, also Zehntel. 4 bedeutet Hundertstel, 2 bedeutet Tausendstel usw.

Die Zahlen, die rechts nach dem Komma stehen, werden aufgerufen Dezimalzahlen.

Dezimalbrüche werden wie folgt gelesen: Zuerst wird der ganze Teil aufgerufen, dann der Bruchteil. Beim Lesen eines ganzen Teils sollte immer die Frage beantwortet werden: Wie viele ganze Einheiten gibt es im ganzen Teil? . Abhängig von der Anzahl der ganzen Einheiten wird der Antwort das Wort Ganze (oder Ganzzahl) hinzugefügt. Zum Beispiel eine ganze Zahl, zwei ganze Zahlen, drei ganze Zahlen usw. Beim Lesen des Bruchteils wird die Anzahl der Anteile aufgerufen und am Ende der Name der Anteile hinzugefügt, mit denen der Bruchteil endet:

3.1 liest sich so: drei Komma ein Zehntel.

2,017 liest sich so: zwei Komma siebzehn Tausendstel.

Um die Regeln zum Schreiben und Lesen von Dezimalbrüchen besser zu verstehen, betrachten Sie die Zifferntabelle und die darin enthaltenen Beispiele zum Schreiben von Zahlen:

Bitte beachten Sie, dass es nach dem Komma so viele Nachkommastellen gibt, wie Nullen im Nenner des entsprechenden gewöhnlichen Bruchs vorhanden sind:

Dezimalbrüche sind dasselbe wie gewöhnliche Brüche, jedoch in der sogenannten Dezimalschreibweise. Für Brüche mit den Nennern 10, 100, 1000 usw. wird die Dezimalschreibweise verwendet. Anstelle von Brüchen 1/10; 1/100; 1/1000; ... schreibe 0,1; 0,01; 0,001;... .

Zum Beispiel 0,7 ( Null Komma sieben) ist ein Bruch 7/10; 5,43 ( fünf Komma dreiundvierzig) ist ein gemischter Bruch 5 43/100 (oder, was dasselbe ist, ein unechter Bruch 543/100).

Es kann vorkommen, dass unmittelbar nach dem Dezimalpunkt eine oder mehrere Nullen stehen: 1,03 ist der Bruch 1 3/100; 17,0087 ist der Bruch 17 87/10000. Die allgemeine Regel lautet: Der Nenner eines gemeinsamen Bruchs muss so viele Nullen haben, wie Nachkommastellen im Dezimalbruch vorhanden sind.

Ein Dezimalbruch kann mit einer oder mehreren Nullen enden. Es stellt sich heraus, dass diese Nullen „zusätzlich“ sind – sie können einfach entfernt werden: 1,30 = 1,3; 5,4600 = 5,46; 3.000 = 3. Finden Sie heraus, warum das so ist?

Bei der Division durch „runde“ Zahlen – 10, 100, 1000, ... – entstehen natürlicherweise Dezimalzahlen. Verstehen Sie unbedingt die folgenden Beispiele:

27:10 = 27/10 = 2 7/10 = 2,7;

579:100 = 579/100 = 5 79/100 = 5,79;

33791:1000 = 33791/1000 = 33 791/1000 = 33,791;

34,9:10 = 349/10:10 = 349/100 = 3,49;

6,35:100 = 635/100:100 = 635/10000 = 0,0635.

Erkennen Sie hier ein Muster? Versuchen Sie es zu formulieren. Was passiert, wenn Sie einen Dezimalbruch mit 10, 100, 1000 multiplizieren?

Um einen gewöhnlichen Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln, müssen Sie ihn auf einen „runden“ Nenner reduzieren:

2/5 = 4/10 = 0,4; 11/20 = 55/100 = 0,55; 9/2 = 45/10 = 4,5 usw.

Das Addieren von Dezimalzahlen ist viel einfacher als das Addieren von Brüchen. Die Addition erfolgt wie bei gewöhnlichen Zahlen – entsprechend den entsprechenden Ziffern. Beim Hinzufügen in einer Spalte müssen die Begriffe so geschrieben werden, dass ihre Kommas auf derselben Vertikalen stehen. Das Komma der Summe liegt ebenfalls auf derselben Vertikalen. Die Subtraktion von Dezimalbrüchen erfolgt genauso.

Wenn beim Addieren oder Subtrahieren in einem der Brüche die Anzahl der Nachkommastellen geringer ist als im anderen, muss am Ende dieses Bruchs die erforderliche Anzahl von Nullen hinzugefügt werden. Sie können diese Nullen nicht hinzufügen, sondern sie sich einfach in Ihrem Kopf vorstellen.

Bei der Multiplikation von Dezimalbrüchen sollten diese wiederum als gewöhnliche Zahlen multipliziert werden (in diesem Fall ist es nicht mehr erforderlich, ein Komma unter dem Dezimalpunkt zu schreiben). Im resultierenden Ergebnis müssen Sie die Anzahl der Ziffern, die der Gesamtzahl der Dezimalstellen in beiden Faktoren entspricht, durch ein Komma trennen.

Beim Dividieren von Dezimalbrüchen können Sie den Dezimalpunkt im Dividenden und Divisor gleichzeitig um die gleiche Anzahl von Stellen nach rechts verschieben: Der Quotient ändert sich dadurch nicht:

2,8:1,4 = 2,8/1,4 = 28/14 = 2;

4,2:0,7 = 4,2/0,7 = 42/7 = 6;

6:1,2 = 6,0/1,2 = 60/12 = 5.

Erklären Sie, warum das so ist?

1. Zeichnen Sie ein 10x10 großes Quadrat. Übermalen Sie einen Teil davon mit folgendem Wert: a) 0,02; b) 0,7; c) 0,57; d) 0,91; e) 0,135 Fläche des gesamten Quadrats.
2. Was ist 2,43 Quadrat? Zeichne es in ein Bild.
3. Teilen Sie die Zahl 37 durch 10; 795; 4; 2,3; 65,27; 0,48 und schreiben Sie das Ergebnis als Dezimalbruch. Teilen Sie die gleichen Zahlen durch 100 und 1000.
4. Multiplizieren Sie die Zahlen 4,6 mit 10; 6,52; 23.095; 0,01999. Multiplizieren Sie dieselben Zahlen mit 100 und 1000.
5. Stellen Sie die Dezimalzahl als Bruch dar und reduzieren Sie sie:
   a) 0,5; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8;
   b) 0,25; 0,75; 0,05; 0,35; 0,025;
   c) 0,125; 0,375; 0,625; 0,875;
   d) 0,44; 0,26; 0,92; 0,78; 0,666; 0,848.
6. Als gemischter Bruch vorhanden: 1,5; 3,2; 6,6; 2,25; 10,75; 4,125; 23.005; 7.0125.
7. Einen Bruch als Dezimalzahl ausdrücken:
   a) 1/2; 3/2; 7/2; 15/2; 1/5; 3/5; 4/5; 18/5;
   b) 1/4; 3/4; 5/4; 19/4; 1/20; 7/20; 49/20; 1/25; 13/25; 77/25; 1/50; 17/50; 137/50;
   c) 1/8; 3/8; 5/8; 7/8; 11/8; 125/8; 1/16; 5/16; 9/16; 23/16;
   d) 1/500; 3/250; 71/200; 9/125; 27/2500; 1999/2000.
8. Finden Sie die Summe: a) 7,3+12,8; b) 65,14+49,76; c) 3,762+12,85; d) 85,4+129,756; e) 1,44+2,56.
9. Stellen Sie sich eins als die Summe zweier Dezimalstellen vor. Finden Sie zwanzig weitere Möglichkeiten, es auf diese Weise zu präsentieren.
10. Finden Sie den Unterschied: a) 13,4–8,7; b) 74,52–27,04; c) 49,736–43,45; d) 127,24–93,883; e) 67–52,07; e) 35,24–34,9975.
11. Finden Sie das Produkt: a) 7,6·3,8; b) 4,8·12,5; c) 2,39·7,4; d) 3,74·9,65.

Bruchzahl.

Dezimalschreibweise einer Bruchzahl ist eine Menge von zwei oder mehr Ziffern von $0$ bis $9$, zwischen denen sich ein sogenannter \textit (Dezimalpunkt) befindet.

Beispiel 1

Beispiel: 35,02 $; 100,7 $; 123\456,5$; 54,89 $.

Die Ziffer ganz links in der Dezimalschreibweise einer Zahl darf nicht Null sein. Die einzige Ausnahme besteht darin, dass der Dezimalpunkt unmittelbar nach der ersten Ziffer $0$ steht.

Beispiel 2

Beispiel: 0,357 $; 0,064 $.

Oft wird der Dezimalpunkt durch einen Dezimalpunkt ersetzt. Beispiel: 35,02 $; 100,7 $; 123\456,5$; 54,89 $.

Dezimaldefinition

Definition 1

Dezimalzahlen– Dies sind Bruchzahlen, die in Dezimalschreibweise dargestellt werden.

Beispiel: 121,05 $; 67,9 $; 345,6700 $.

Dezimalzahlen werden verwendet, um echte Brüche kompakter zu schreiben, deren Nenner die Zahlen $10$, $100$, $1\000$ usw. sind. und gemischte Zahlen, deren Nenner des Bruchteils die Zahlen $10$, $100$, $1\000$ usw. sind.

Beispielsweise kann der gemeinsame Bruch $\frac(8)(10)$ als Dezimalzahl $0,8$ geschrieben werden, und die gemischte Zahl $405\frac(8)(100)$ kann als Dezimalzahl $405,08$ geschrieben werden.

Dezimalzahlen lesen

Dezimalbrüche, die regulären Brüchen entsprechen, werden genauso gelesen wie gewöhnliche Brüche, nur dass am Anfang der Ausdruck „Null ganze Zahlen“ hinzugefügt wird. Beispielsweise entspricht der gemeinsame Bruch $\frac(25)(100)$ (sprich „fünfundzwanzig Hundertstel“) dem Dezimalbruch $0,25$ (sprich „Nullkomma fünfundzwanzig Hundertstel“).

Dezimalbrüche, die gemischten Zahlen entsprechen, werden auf die gleiche Weise gelesen wie gemischte Zahlen. Beispielsweise entspricht die gemischte Zahl $43\frac(15)(1000)$ dem Dezimalbruch $43,015$ (sprich „dreiundvierzig Komma fünfzehntausendstel“).

Stellen in Dezimalstellen

Beim Schreiben eines Dezimalbruchs hängt die Bedeutung jeder Ziffer von ihrer Position ab. Diese. bei Dezimalbrüchen gilt das Konzept auch Kategorie.

Stellen in Dezimalbrüchen bis zum Komma werden genauso bezeichnet wie Stellen in natürlichen Zahlen. Die Nachkommastellen sind in der Tabelle aufgeführt:

Bild 1.

Beispiel 3

Beispielsweise befindet sich im Dezimalbruch $56,328$ die Ziffer $5$ an der Zehnerstelle, $6$ an der Einerstelle, $3$ an der Zehntelstelle, $2$ an der Hundertstelstelle und $8$ an der Tausendstelstelle Ort.

Stellen in Dezimalbrüchen werden durch ihre Priorität unterschieden. Bewegen Sie sich beim Lesen eines Dezimalbruchs von links nach rechts – von Senior Rang zu jünger.

Beispiel 4

Beispielsweise ist im Dezimalbruch $56,328$ die höchstwertige (höchste) Stelle die Zehnerstelle und die niedrigste (niedrigste) Stelle die Tausendstelstelle.

Ein Dezimalbruch kann ähnlich wie die Ziffernzerlegung einer natürlichen Zahl in Ziffern erweitert werden.

Beispiel 5

Zerlegen wir zum Beispiel den Dezimalbruch $37,851$ in Ziffern:

$37,851=30+7+0,8+0,05+0,001$

Endende Dezimalstellen

Definition 2

Endende Dezimalstellen werden Dezimalbrüche genannt, deren Datensätze eine endliche Anzahl von Zeichen (Ziffern) enthalten.

Beispiel: 0,138 $; 5,34 $; 56,123456 $; 350.972,54 $.

Jeder endliche Dezimalbruch kann in einen Bruch oder eine gemischte Zahl umgewandelt werden.

Beispiel 6

Beispielsweise entspricht der letzte Dezimalbruch $7,39$ der Bruchzahl $7\frac(39)(100)$ und der letzte Dezimalbruch $0,5$ entspricht dem eigentlichen gemeinsamen Bruch $\frac(5)(10)$ (oder jeder Bruch, der ihm gleich ist, zum Beispiel $\frac(1)(2)$ oder $\frac(10)(20)$.

Einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln

Brüche mit Nennern $10, 100, \dots$ in Dezimalzahlen umwandeln

Bevor man echte Brüche in Dezimalzahlen umwandeln kann, müssen diese zunächst „vorbereitet“ werden. Das Ergebnis einer solchen Vorbereitung sollte die gleiche Anzahl an Ziffern im Zähler und die gleiche Anzahl an Nullen im Nenner sein.

Das Wesen der „vorläufigen Vorbereitung“ richtiger gewöhnlicher Brüche für die Umwandlung in Dezimalbrüche besteht darin, links im Zähler eine solche Anzahl von Nullen hinzuzufügen, dass die Gesamtzahl der Ziffern der Anzahl der Nullen im Nenner entspricht.

Beispiel 7

Bereiten wir zum Beispiel den Bruch $\frac(43)(1000)$ für die Umwandlung in eine Dezimalzahl vor und erhalten $\frac(043)(1000)$. Und der gewöhnliche Bruch $\frac(83)(100)$ bedarf keiner Vorbereitung.

Lassen Sie uns formulieren Regel zum Umwandeln eines echten gemeinsamen Bruchs mit einem Nenner von $10$, $100$, oder $1\000$, $\dots$ in einen Dezimalbruch:

schreibe $0$;

danach einen Dezimalpunkt setzen;

Notieren Sie die Zahl vom Zähler (zusammen mit hinzugefügten Nullen nach der Vorbereitung, falls nötig).

Beispiel 8

Wandeln Sie den richtigen Bruch $\frac(23)(100)$ in eine Dezimalzahl um.

Lösung.

Der Nenner enthält die Zahl $100$, die $2$ und zwei Nullen enthält. Der Zähler enthält die Zahl $23$, die mit $2$.digits geschrieben wird. Dies bedeutet, dass dieser Bruch nicht für die Umwandlung in eine Dezimalzahl vorbereitet werden muss.

Schreiben wir $0$, setzen einen Dezimalpunkt und schreiben die Zahl $23$ aus dem Zähler. Wir erhalten den Dezimalbruch $0,23$.

Antwort: $0,23$.

Beispiel 9

Schreiben Sie den richtigen Bruch $\frac(351)(100000)$ als Dezimalzahl.

Lösung.

Der Zähler dieses Bruchs enthält $3$ Ziffern und die Anzahl der Nullen im Nenner beträgt $5$, daher muss dieser gewöhnliche Bruch für die Umwandlung in eine Dezimalzahl vorbereitet werden. Dazu müssen Sie links im Zähler $5-3=2$ Nullen hinzufügen: $\frac(00351)(100000)$.

Jetzt können wir den gewünschten Dezimalbruch bilden. Schreiben Sie dazu $0$ auf, fügen Sie dann ein Komma hinzu und notieren Sie die Zahl vom Zähler. Wir erhalten den Dezimalbruch $0,00351$.

Antwort: $0,00351$.

Lassen Sie uns formulieren Regel zur Umwandlung unechter Brüche mit den Nennern $10$, $100$, $\dots$ in Dezimalbrüche:

schreibe die Zahl vom Zähler ab;

Verwenden Sie einen Dezimalpunkt, um so viele Ziffern auf der rechten Seite zu trennen, wie Nullen im Nenner des ursprünglichen Bruchs vorhanden sind.

Beispiel 10

Wandeln Sie den unechten Bruch $\frac(12756)(100)$ in eine Dezimalzahl um.

Lösung.

Schreiben wir die Zahl vom Zähler $12756$ auf und trennen dann die $2$-Ziffern auf der rechten Seite durch einen Dezimalpunkt, denn Der Nenner des ursprünglichen Bruchs $2$ ist Null. Wir erhalten den Dezimalbruch $127,56$.

In diesem Artikel werden wir verstehen, was ein Dezimalbruch ist und welche Merkmale und Eigenschaften er hat. Gehen! 🙂

Ein Dezimalbruch ist ein Sonderfall gewöhnlicher Brüche (wobei der Nenner ein Vielfaches von 10 ist).

Definition

Dezimalzahlen sind Brüche, deren Nenner Zahlen sind, die aus einer Eins und mehreren darauf folgenden Nullen bestehen. Das heißt, es handelt sich um Brüche mit dem Nenner 10, 100, 1000 usw. Ansonsten kann ein Dezimalbruch als Bruch mit dem Nenner 10 oder einer Zehnerpotenz charakterisiert werden.

Beispiele für Brüche:

, ,

Dezimalbrüche werden anders geschrieben als gewöhnliche Brüche. Operationen mit diesen Brüchen unterscheiden sich auch von Operationen mit gewöhnlichen Brüchen. Die Regeln für Operationen mit ihnen ähneln weitgehend den Regeln für Operationen mit ganzen Zahlen. Dies erklärt insbesondere ihren Anspruch, praktische Probleme zu lösen.

Darstellung von Brüchen in Dezimalschreibweise

Der Dezimalbruch hat keinen Nenner; er zeigt die Zahl des Zählers an. Im Allgemeinen wird ein Dezimalbruch nach folgendem Schema geschrieben:

Dabei ist X der ganzzahlige Teil des Bruchs, Y sein Bruchteil und „“ der Dezimalpunkt.

Um einen Bruch korrekt als Dezimalzahl darzustellen, muss es sich um einen echten Bruch handeln, d. h. der ganzzahlige Teil muss hervorgehoben sein (wenn möglich) und der Zähler muss kleiner als der Nenner sein. Dann wird in der Dezimalschreibweise der ganzzahlige Teil vor dem Dezimalpunkt (X) und der Zähler des gemeinsamen Bruchs nach dem Dezimalpunkt (Y) geschrieben.

Enthält der Zähler eine Zahl mit weniger Ziffern als der Anzahl der Nullen im Nenner, wird in Teil Y die fehlende Anzahl an Ziffern in der Dezimalschreibweise mit Nullen vor den Ziffern des Zählers aufgefüllt.

Beispiel:

Wenn ein gemeinsamer Bruch kleiner als 1 ist, d.h. keinen ganzzahligen Teil hat, dann schreiben Sie für X in Dezimalform 0.

Im Nachkommateil (Y) kann nach der letzten signifikanten Ziffer (ungleich Null) eine beliebige Anzahl von Nullen eingegeben werden. Dies hat keinen Einfluss auf den Wert des Bruchs. Umgekehrt können alle Nullen am Ende des Nachkommateils der Dezimalzahl weggelassen werden.

Dezimalzahlen lesen

Teil X wird im Allgemeinen wie folgt gelesen: „X ganze Zahlen.“

Der Y-Teil wird entsprechend der Zahl im Nenner gelesen. Für Nenner 10 müsste lauten: „Y Zehntel“, für Nenner 100: „Y Hundertstel“, für Nenner 1000: „Y Tausendstel“ und so weiter... 😉

Ein anderer Leseansatz, der auf dem Zählen der Ziffern des Bruchteils basiert, gilt als korrekter. Dazu müssen Sie verstehen, dass die Nachkommastellen spiegelbildlich zu den Ziffern des ganzen Bruchteils angeordnet sind.

Die Namen zur korrekten Lesart finden Sie in der Tabelle:

Auf dieser Grundlage sollte das Lesen auf der Einhaltung des Namens der Ziffer der letzten Ziffer des Bruchteils basieren.

• 3.5 wird als „drei Komma fünf“ gelesen
• 0,016 lautet „null Komma sechzehntausendstel“

Einen beliebigen Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln

Wenn der Nenner eines gemeinsamen Bruchs 10 oder eine Zehnerpotenz ist, erfolgt die Umrechnung des Bruchs wie oben beschrieben. In anderen Situationen sind zusätzliche Transformationen erforderlich.

Es gibt 2 Übersetzungsmethoden.

Erste Übertragungsmethode

Zähler und Nenner müssen mit einer solchen ganzen Zahl multipliziert werden, dass der Nenner die Zahl 10 oder eine der Zehnerpotenzen ergibt. Und dann wird der Bruch in Dezimalschreibweise dargestellt.

Diese Methode ist auf Brüche anwendbar, deren Nenner nur auf 2 und 5 erweitert werden kann. Dies gilt auch für das vorherige Beispiel . Wenn die Entwicklung andere Primfaktoren enthält (z. B. ), müssen Sie auf die 2. Methode zurückgreifen.

Zweite Übersetzungsmethode

Die zweite Methode besteht darin, den Zähler durch den Nenner in einer Spalte oder auf einem Taschenrechner zu dividieren. Der gesamte Teil, sofern vorhanden, nimmt nicht an der Transformation teil.

Die Regel für eine lange Division, die einen Dezimalbruch ergibt, wird unten beschrieben (siehe Division von Dezimalzahlen).

Einen Dezimalbruch in einen gewöhnlichen Bruch umwandeln

Dazu schreiben Sie den Bruchteil (rechts vom Dezimalpunkt) als Zähler und das Ergebnis der Ablesung des Bruchteils als entsprechende Zahl im Nenner. Als nächstes müssen Sie, wenn möglich, den resultierenden Bruch reduzieren.

Endlicher und unendlicher Dezimalbruch

Als Endbruch wird ein Dezimalbruch bezeichnet, dessen Bruchteil aus einer endlichen Anzahl von Ziffern besteht.

Alle obigen Beispiele enthalten letzte Dezimalbrüche. Allerdings kann nicht jeder gewöhnliche Bruch als letzte Dezimalzahl dargestellt werden. Wenn die erste Umrechnungsmethode für einen bestimmten Bruch nicht anwendbar ist und die zweite Methode zeigt, dass die Division nicht abgeschlossen werden kann, kann nur ein unendlicher Dezimalbruch erhalten werden.

Es ist unmöglich, einen unendlichen Bruch in seiner vollständigen Form zu schreiben. In unvollständiger Form können solche Brüche dargestellt werden:

1. durch Reduzierung auf die gewünschte Anzahl von Nachkommastellen;
2. als periodischer Bruch.

Ein Bruch heißt periodisch, wenn hinter dem Komma eine sich endlos wiederholende Ziffernfolge erkennbar ist.

Die übrigen Brüche heißen nichtperiodisch. Für nichtperiodische Brüche ist nur die 1. Darstellungsart (Rundung) zulässig.

Ein Beispiel für einen periodischen Bruch: 0,8888888... Hier gibt es eine sich wiederholende Zahl 8, die natürlich bis ins Unendliche wiederholt wird, da es keinen Grund gibt, etwas anderes anzunehmen. Diese Zahl heißt Periode des Bruchs.

Periodische Brüche können rein oder gemischt sein. Ein reiner Dezimalbruch ist ein Bruch, dessen Periode unmittelbar nach dem Dezimalpunkt beginnt. Ein gemischter Bruch hat eine oder mehrere Ziffern vor dem Dezimalpunkt.

54,33333… – periodischer reiner Dezimalbruch

2,5621212121… – periodischer gemischter Bruch

Beispiele für das Schreiben unendlicher Dezimalbrüche:

Das 2. Beispiel zeigt, wie man einen Punkt beim Schreiben eines periodischen Bruchs richtig formatiert.

Periodische Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche umwandeln

Um einen reinen periodischen Bruch in eine gewöhnliche Periode umzuwandeln, schreiben Sie ihn in den Zähler und schreiben Sie in den Nenner eine Zahl, die aus Neunen besteht und der Anzahl der Ziffern in der Periode entspricht.

Der gemischte periodische Dezimalbruch wird wie folgt übersetzt:

1. Sie müssen eine Zahl bilden, die aus der Zahl nach dem Komma vor dem Punkt und dem ersten Punkt besteht;
2. Subtrahieren Sie von der resultierenden Zahl die Zahl nach dem Dezimalpunkt vor dem Punkt. Das Ergebnis ist der Zähler des gemeinsamen Bruchs;
3. Im Nenner müssen Sie eine Zahl eingeben, die aus einer Zahl von Neunen besteht, die der Anzahl der Ziffern des Punkts entspricht, gefolgt von Nullen, deren Anzahl der Anzahl der Ziffern der Zahl nach dem Komma vor dem 1. entspricht Zeitraum.

Vergleich von Dezimalzahlen

Dezimalbrüche werden zunächst anhand ihrer ganzen Teile verglichen. Der Bruch, dessen ganzer Teil größer ist, ist größer.

Wenn die ganzzahligen Teile gleich sind, vergleichen Sie die Ziffern der entsprechenden Ziffern des Bruchteils, beginnend mit der ersten (von den Zehnteln). Auch hier gilt das gleiche Prinzip: Der größere Bruch ist der mit mehr Zehnteln; Wenn die Zehntelstellen gleich sind, werden die Hundertstelstellen verglichen und so weiter.

Weil das

, da bei gleichen ganzen Teilen und gleichen Zehnteln im Nachkommateil der 2. Bruch eine größere Anzahl von Hundertstel hat.

Dezimalzahlen addieren und subtrahieren

Dezimalzahlen werden wie ganze Zahlen addiert und subtrahiert, indem man die entsprechenden Ziffern untereinander schreibt. Dazu müssen die Dezimalpunkte untereinander liegen. Dann stimmen die Einheiten (Zehner usw.) des ganzzahligen Teils sowie die Zehntel (Hundertstel usw.) des Bruchteils überein. Die fehlenden Ziffern des Nachkommateils werden durch Nullen aufgefüllt. Direkt Der Vorgang der Addition und Subtraktion erfolgt auf die gleiche Weise wie bei ganzen Zahlen.

Dezimalzahlen multiplizieren

Um Dezimalzahlen zu multiplizieren, müssen Sie sie untereinander schreiben, an der letzten Ziffer ausgerichtet und ohne auf die Position der Dezimalpunkte zu achten. Dann müssen Sie die Zahlen auf die gleiche Weise multiplizieren wie beim Multiplizieren ganzer Zahlen. Nachdem Sie das Ergebnis erhalten haben, sollten Sie die Anzahl der Nachkommastellen in beiden Brüchen neu berechnen und die Gesamtzahl der Nachkommastellen in der resultierenden Zahl durch ein Komma trennen. Wenn nicht genügend Ziffern vorhanden sind, werden diese durch Nullen ersetzt.

Dezimalzahlen mit 10n multiplizieren und dividieren

Diese Aktionen sind einfach und beschränken sich auf das Verschieben des Dezimalpunkts. P Beim Multiplizieren wird der Dezimalpunkt um eine Anzahl von Stellen nach rechts verschoben (der Bruch wird erhöht), die der Anzahl der Nullen in 10n entspricht, wobei n eine beliebige ganzzahlige Potenz ist. Das heißt, eine bestimmte Anzahl von Ziffern wird vom Bruchteil auf den ganzen Teil übertragen. Beim Dividieren wird dementsprechend das Komma nach links verschoben (die Zahl verringert sich) und einige Ziffern werden vom ganzzahligen Teil in den Bruchteil übertragen. Wenn nicht genügend Zahlen zum Übertragen vorhanden sind, werden die fehlenden Ziffern durch Nullen aufgefüllt.

Division einer Dezimalzahl und einer ganzen Zahl durch eine ganze Zahl und eine Dezimalzahl

Das Teilen einer Dezimalzahl durch eine ganze Zahl ähnelt dem Teilen zweier ganzer Zahlen. Darüber hinaus müssen Sie nur die Position des Dezimalpunkts berücksichtigen: Wenn Sie die Ziffer einer Stelle mit anschließendem Komma entfernen, müssen Sie nach der aktuellen Ziffer der generierten Antwort ein Komma setzen. Als nächstes müssen Sie weiter dividieren, bis Sie Null erhalten. Wenn der Dividend nicht genügend Vorzeichen für eine vollständige Division enthält, sollten als diese Nullen verwendet werden.

Ebenso werden 2 ganze Zahlen in eine Spalte geteilt, wenn alle Ziffern des Dividenden entfernt werden und die vollständige Division noch nicht abgeschlossen ist. In diesem Fall wird nach dem Entfernen der letzten Ziffer des Dividenden ein Dezimalpunkt in die resultierende Antwort eingefügt und Nullen als entfernte Ziffern verwendet. Diese. Die Dividende wird hier im Wesentlichen als Dezimalbruch mit einem Null-Nachkommateil dargestellt.

Um einen Dezimalbruch (oder eine ganze Zahl) durch eine Dezimalzahl zu dividieren, müssen Sie Dividend und Divisor mit der Zahl 10 n multiplizieren, wobei die Anzahl der Nullen gleich der Anzahl der Nachkommastellen im Divisor ist. Auf diese Weise entfernst du den Dezimalpunkt in dem Bruch, durch den du dividieren möchtest. Darüber hinaus stimmt der Teilungsprozess mit dem oben beschriebenen überein.

Grafische Darstellung von Dezimalbrüchen

Dezimalbrüche werden grafisch anhand einer Koordinatenlinie dargestellt. Dazu werden einzelne Segmente weiter in 10 gleiche Teile geteilt, so wie auf einem Lineal gleichzeitig Zentimeter und Millimeter markiert werden. Dadurch wird sichergestellt, dass Dezimalzahlen genau angezeigt werden und objektiv verglichen werden können.

Damit die Unterteilungen auf den einzelnen Segmenten identisch sind, sollten Sie die Länge des einzelnen Segments selbst sorgfältig abwägen. Es sollte so beschaffen sein, dass der Komfort einer zusätzlichen Unterteilung gewährleistet werden kann.