Wo ist die Ableitung? Geometrischer Wert der Ableitung

Folgt man der Definition, dann ist die Ableitung einer Funktion an einem Punkt die Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion Δ j zum Argumentinkrement Δ X:

Alles scheint klar zu sein. Aber versuchen Sie, diese Formel zu verwenden, um beispielsweise die Ableitung der Funktion zu berechnen F(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X Sünde X. Wenn Sie alles per Definition machen, werden Sie nach ein paar Seiten Berechnungen einfach einschlafen. Daher gibt es einfachere und effektivere Möglichkeiten.

Zunächst stellen wir fest, dass wir aus der gesamten Funktionsvielfalt die sogenannten Elementarfunktionen unterscheiden können. Dabei handelt es sich um relativ einfache Ausdrücke, deren Ableitungen schon seit langem berechnet und tabelliert werden. Solche Funktionen sind – zusammen mit ihren Ableitungen – recht einfach zu merken.

Ableitungen elementarer Funktionen

Zu den Elementarfunktionen zählen alle nachfolgend aufgeführten. Die Ableitungen dieser Funktionen müssen auswendig bekannt sein. Darüber hinaus ist es überhaupt nicht schwer, sie auswendig zu lernen – deshalb sind sie elementar.

Also Ableitungen elementarer Funktionen:

Wird eine Elementarfunktion mit einer beliebigen Konstante multipliziert, so lässt sich auch die Ableitung der neuen Funktion leicht berechnen:

(C · F)’ = C · F ’.

Im Allgemeinen können Konstanten aus dem Vorzeichen der Ableitung entnommen werden. Zum Beispiel:

(2X 3)’ = 2 · ( X 3)’ = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Natürlich lassen sich Elementarfunktionen addieren, multiplizieren, dividieren – und vieles mehr. So entstehen neue Funktionen, nicht mehr besonders elementar, sondern nach bestimmten Regeln differenziert. Diese Regeln werden im Folgenden besprochen.

Ableitung von Summe und Differenz

Die Funktionen seien gegeben F(X) Und G(X), deren Ableitungen uns bekannt sind. Beispielsweise können Sie die oben besprochenen Elementarfunktionen übernehmen. Dann können Sie die Ableitung der Summe und Differenz dieser Funktionen ermitteln:

1. (F + G)’ = F ’ + G ’
2. (F − G)’ = F ’ − G ’

Die Ableitung der Summe (Differenz) zweier Funktionen ist also gleich der Summe (Differenz) der Ableitungen. Möglicherweise gibt es noch weitere Begriffe. Zum Beispiel, ( F + G + H)’ = F ’ + G ’ + H ’.

Streng genommen gibt es in der Algebra kein Konzept der „Subtraktion“. Es gibt ein Konzept des „negativen Elements“. Daher der Unterschied F − G kann als Summe umgeschrieben werden F+ (−1) G, und dann bleibt nur noch eine Formel übrig – die Ableitung der Summe.

F(X) = X 2 + Sünde x; G(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Funktion F(X) ist die Summe zweier Elementarfunktionen, also:

F ’(X) = (X 2 + Sünde X)’ = (X 2)’ + (Sünde X)’ = 2X+ cos x;

Wir argumentieren ähnlich für die Funktion G(X). Nur gibt es bereits drei Begriffe (aus algebraischer Sicht):

G ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Antwort:
F ’(X) = 2X+ cos x;
G ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Derivat des Produkts

Mathematik ist eine logische Wissenschaft, daher glauben viele Menschen, dass, wenn die Ableitung einer Summe gleich der Summe der Ableitungen ist, die Ableitung des Produkts gleich ist schlagen">entspricht dem Produkt von Ableitungen. Aber scheiß drauf! Die Ableitung eines Produkts wird nach einer völlig anderen Formel berechnet. Nämlich:

(F · G) ’ = F ’ · G + F · G ’

Die Formel ist einfach, wird aber oft vergessen. Und nicht nur Schüler, sondern auch Studenten. Die Folge sind falsch gelöste Probleme.

Aufgabe. Finden Sie Ableitungen von Funktionen: F(X) = X 3 cos x; G(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .

Funktion F(X) ist das Produkt zweier Elementarfunktionen, also ist alles einfach:

F ’(X) = (X 3 cos X)’ = (X 3)‘ weil X + X 3 (cos X)’ = 3X 2 cos X + X 3 (−sin X) = X 2 (3cos X − X Sünde X)

Funktion G(X) Der erste Multiplikator ist etwas komplizierter, aber das allgemeine Schema ändert sich nicht. Offensichtlich der erste Faktor der Funktion G(X) ist ein Polynom und seine Ableitung ist die Ableitung der Summe. Wir haben:

G ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)‘ · e X + (X 2 + 7X− 7) ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .

Antwort:
F ’(X) = X 2 (3cos X − X Sünde X);
G ’(X) = X(X+ 9) · e X .

Bitte beachten Sie, dass im letzten Schritt die Ableitung faktorisiert wird. Formal ist dies nicht erforderlich, die meisten Ableitungen werden jedoch nicht allein berechnet, sondern zur Untersuchung der Funktion. Das bedeutet, dass die Ableitung weiter mit Null gleichgesetzt wird, ihre Vorzeichen bestimmt werden und so weiter. In einem solchen Fall ist es besser, einen Ausdruck faktorisieren zu lassen.

Wenn es zwei Funktionen gibt F(X) Und G(X), Und G(X) ≠ 0 auf der Menge, die uns interessiert, können wir eine neue Funktion definieren H(X) = F(X)/G(X). Für eine solche Funktion kann man auch die Ableitung finden:

Nicht schwach, oder? Woher kommt das Minus? Warum G 2? Und so! Dies ist eine der komplexesten Formeln – ohne eine Flasche kommt man nicht dahinter. Daher ist es besser, es anhand konkreter Beispiele zu studieren.

Aufgabe. Finden Sie Ableitungen von Funktionen:

Zähler und Nenner jedes Bruchs enthalten Elementarfunktionen, wir brauchen also nur die Formel für die Ableitung des Quotienten:

Der Tradition zufolge faktorisieren wir den Zähler – das wird die Antwort erheblich vereinfachen:

Eine komplexe Funktion ist nicht unbedingt eine Formel von einem halben Kilometer Länge. Es reicht beispielsweise aus, die Funktion zu übernehmen F(X) = Sünde X und ersetzen Sie die Variable X, sagen wir, auf X 2 + ln X. Es wird klappen F(X) = Sünde ( X 2 + ln X) – das ist eine komplexe Funktion. Es gibt auch eine Ableitung, die jedoch mit den oben besprochenen Regeln nicht gefunden werden kann.

Was soll ich tun? In solchen Fällen hilft das Ersetzen einer Variablen und einer Formel für die Ableitung einer komplexen Funktion:

F ’(X) = F ’(T) · T', Wenn X wird ersetzt durch T(X).

In der Regel ist die Situation beim Verständnis dieser Formel noch trauriger als bei der Ableitung des Quotienten. Daher ist es auch besser, es anhand konkreter Beispiele zu erklären und jeden Schritt detailliert zu beschreiben.

Aufgabe. Finden Sie Ableitungen von Funktionen: F(X) = e 2X + 3 ; G(X) = Sünde ( X 2 + ln X)

Beachten Sie, dass if in der Funktion F(X) anstelle von Ausdruck 2 X+ 3 wird einfach sein X, dann erhalten wir eine Elementarfunktion F(X) = e X. Deshalb machen wir einen Ersatz: sei 2 X + 3 = T, F(X) = F(T) = e T. Wir suchen nach der Ableitung einer komplexen Funktion mit der Formel:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (e T)’ · T ’ = e T · T ’

Und jetzt – Achtung! Wir führen den umgekehrten Ersatz durch: T = 2X+ 3. Wir erhalten:

F ’(X) = e T · T ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3

Schauen wir uns nun die Funktion an G(X). Offensichtlich muss es ersetzt werden X 2 + ln X = T. Wir haben:

G ’(X) = G ’(T) · T’ = (Sünde T)’ · T’ = cos T · T ’

Umgekehrter Ersatz: T = X 2 + ln X. Dann:

G ’(X) = cos ( X 2 + ln X) · ( X 2 + ln X)’ = cos ( X 2 + ln X) · (2 X + 1/X).

Das ist es! Wie aus dem letzten Ausdruck ersichtlich ist, wurde das gesamte Problem auf die Berechnung der Ableitungssumme reduziert.

Antwort:
F ’(X) = 2 · e 2X + 3 ;
G ’(X) = (2X + 1/X) weil ( X 2 + ln X).

Sehr oft verwende ich in meinem Unterricht anstelle des Begriffs „Ableitung“ das Wort „Primzahl“. Beispielsweise ist der Strich der Summe gleich der Summe der Striche. Ist das klarer? Nun, das ist gut.

Bei der Berechnung der Ableitung kommt es also darauf an, dieselben Striche gemäß den oben besprochenen Regeln zu entfernen. Als letztes Beispiel kehren wir zur Ableitungspotenz mit einem rationalen Exponenten zurück:

(X N)’ = N · X N − 1

Das wissen nur wenige Menschen in der Rolle N kann durchaus eine Bruchzahl sein. Zum Beispiel ist die Wurzel X 0,5. Was ist, wenn sich unter der Wurzel etwas Ausgefallenes befindet? Auch hier wird das Ergebnis eine komplexe Funktion sein – solche Konstruktionen gibt man gerne in Tests und Prüfungen an.

Aufgabe. Finden Sie die Ableitung der Funktion:

Schreiben wir zunächst die Wurzel als Potenz mit einem rationalen Exponenten um:

F(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Jetzt machen wir einen Ersatz: let X 2 + 8X − 7 = T. Wir finden die Ableitung mit der Formel:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (T 0,5)‘ · T’ = 0,5 · T−0,5 · T ’.

Machen wir die umgekehrte Ersetzung: T = X 2 + 8X− 7. Wir haben:

F ’(X) = 0,5 · ( X 2 + 8X− 7) −0,5 · ( X 2 + 8X− 7)’ = 0,5 (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

Zum Schluss zurück zu den Wurzeln:

Ableitung einer Funktion einer Variablen.

Einführung.

Diese methodischen Weiterentwicklungen richten sich an Studierende der Fakultät für Wirtschaftsingenieurwesen. Sie wurden bezogen auf das Mathematik-Studium im Abschnitt „Differentialrechnung von Funktionen einer Variablen“ zusammengestellt.

Die Entwicklungen stellen einen einzigen methodischen Leitfaden dar, der Folgendes umfasst: kurze theoretische Informationen; „Standard“-Aufgaben und -Übungen mit detaillierten Lösungen und Erklärungen zu diesen Lösungen; Testmöglichkeiten.

Am Ende jedes Absatzes gibt es zusätzliche Übungen. Durch diese Struktur der Durchführungen eignen sie sich für die selbstständige Bewältigung des Abschnitts mit minimaler Unterstützung durch den Lehrer.

§1. Definition von Derivat.

Mechanische und geometrische Bedeutung

Derivat.

Das Konzept der Ableitung ist eines der wichtigsten Konzepte der mathematischen Analyse. Es entstand bereits im 17. Jahrhundert. Die Entstehung des Ableitungsbegriffs ist historisch mit zwei Problemen verbunden: dem Problem der Geschwindigkeit der Wechselbewegung und dem Problem der Tangente an eine Kurve.

Diese Probleme führen trotz ihres unterschiedlichen Inhalts zu derselben mathematischen Operation, die an einer Funktion ausgeführt werden muss. Diese Operation hat in der Mathematik einen besonderen Namen erhalten. Man nennt es die Operation der Differentiation einer Funktion. Das Ergebnis der Differenzierungsoperation wird Ableitung genannt.

Die Ableitung der Funktion y=f(x) am Punkt x0 ist also die Grenze (falls vorhanden) des Verhältnisses des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments
bei
.

Die Ableitung wird üblicherweise wie folgt bezeichnet:
.

Also per Definition

Die Symbole werden auch zur Bezeichnung von Derivaten verwendet
.

Mechanische Bedeutung von Derivat.

Wenn s=s(t) das Gesetz der geradlinigen Bewegung eines materiellen Punktes ist, dann
ist die Geschwindigkeit dieses Punktes zum Zeitpunkt t.

Geometrische Bedeutung der Ableitung.

Wenn die Funktion y=f(x) an diesem Punkt eine Ableitung hat , dann der Winkelkoeffizient der Tangente an den Graphen der Funktion am Punkt
gleicht
.

Beispiel.

Finden Sie die Ableitung der Funktion
an der Stelle =2:

1) Geben wir der Sache einen Punkt =2 Inkrement
. Beachten Sie, dass.

2) Finden Sie das Inkrement der Funktion an diesem Punkt =2:

3) Erstellen wir das Verhältnis des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments:

Finden wir die Grenze des Verhältnisses bei
:

.

Daher,
.

§ 2. Derivate einiger

einfachste Funktionen.

Der Schüler muss lernen, Ableitungen bestimmter Funktionen zu berechnen: y=x,y= und im Allgemeinen= .

Finden wir die Ableitung der Funktion y=x.

diese. (x)′=1.

Finden wir die Ableitung der Funktion

Derivat

Lassen
Dann

Es ist leicht, ein Muster in den Ausdrücken für die Ableitungen der Potenzfunktion zu erkennen
mit n=1,2,3.

Somit,

. (1)

Diese Formel gilt für jedes reelle n.

Insbesondere erhalten wir mit Formel (1):

;

.

Beispiel.

Finden Sie die Ableitung der Funktion

.

.

Diese Funktion ist ein Sonderfall einer Funktion der Form

bei
.

Mit Formel (1) haben wir

.

Ableitungen der Funktionen y=sin x und y=cos x.

Sei y=sinx.

Teilen Sie durch ∆x, wir erhalten

Wenn wir zum Grenzwert bei ∆x→0 übergehen, gilt:

Sei y=cosx.

Wenn wir zum Grenzwert bei ∆x→0 übergehen, erhalten wir

;
. (2)

§3. Grundregeln der Differenzierung.

Betrachten wir die Differenzierungsregeln.

Satz1 . Wenn die Funktionen u=u(x) und v=v(x) an einem gegebenen Punktx differenzierbar sind, dann ist an diesem Punkt auch ihre Summe differenzierbar, und die Ableitung der Summe ist gleich der Summe der Ableitungen der Terme : (u+v)"=u"+v".(3 )

Beweis: Betrachten Sie die Funktion y=f(x)=u(x)+v(x).

Das Inkrement ∆x des Arguments x entspricht den Inkrementen ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) der Funktionen u und v. Dann nimmt die Funktion y zu

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Somit,

Also, (u+v)"=u"+v".

Satz2. Wenn die Funktionen u=u(x) und v=v(x) an einem bestimmten Punktx differenzierbar sind, dann ist ihr Produkt an demselben Punkt differenzierbar. In diesem Fall wird die Ableitung des Produkts durch die folgende Formel ermittelt: ( uv)"=u"v+uv". ( 4)

Beweis: Sei y=uv, wobei u und v differenzierbare Funktionen von x sind. Geben wir x ein Inkrement von ∆x; dann erhält u ein Inkrement von ∆u, v erhält ein Inkrement von ∆v und y erhält ein Inkrement von ∆y.

Wir haben y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), oder

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Daher ist ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Von hier

Wenn wir zum Grenzwert bei ∆x→0 übergehen und berücksichtigen, dass u und v nicht von ∆x abhängen, erhalten wir

Satz 3. Die Ableitung des Quotienten zweier Funktionen ist gleich einem Bruch, dessen Nenner gleich dem Quadrat des Divisors ist und dessen Zähler die Differenz zwischen dem Produkt der Ableitung des Dividenden und des Divisors und dem Produkt von ist Dividende und die Ableitung des Divisors, d.h.

Wenn
Das
(5)

Satz 4. Die Ableitung einer Konstanten ist Null, d.h. wenn y=C, wobei C=const, dann y"=0.

Satz 5. Der konstante Faktor kann aus dem Vorzeichen der Ableitung entnommen werden, d.h. wenn y=Cu(x), wobei С=const, dann y"=Cu"(x).

Beispiel 1.

Finden Sie die Ableitung der Funktion

.

Diese Funktion hat die Form
, wobei u=x,v=cosx. Unter Anwendung der Differenzierungsregel (4) finden wir

.

Beispiel 2.

Finden Sie die Ableitung der Funktion

.

Wenden wir Formel (5) an.

Hier
;
.

Aufgaben.

Finden Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

Die Operation, die Ableitung zu finden, wird Differenzierung genannt.

Als Ergebnis der Lösung von Problemen bei der Suche nach Ableitungen der einfachsten (und nicht sehr einfachen) Funktionen durch Definition der Ableitung als Grenze des Verhältnisses von Inkrement zu Inkrement des Arguments entstand eine Tabelle mit Ableitungen und genau definierten Differenzierungsregeln . Die ersten, die sich mit der Suche nach Derivaten beschäftigten, waren Isaac Newton (1643–1727) und Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716).

Um die Ableitung einer beliebigen Funktion zu finden, muss man heutzutage daher nicht den oben genannten Grenzwert des Verhältnisses des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments berechnen, sondern man muss nur die Tabelle von verwenden Ableitungen und die Regeln der Differenzierung. Zur Ermittlung der Ableitung eignet sich der folgende Algorithmus.

Um die Ableitung zu finden, benötigen Sie einen Ausdruck unter dem Primzeichen Zerlegen Sie einfache Funktionen in Komponenten und bestimmen Sie, welche Aktionen (Produkt, Summe, Quotient) Diese Funktionen hängen zusammen. Als nächstes finden wir die Ableitungen elementarer Funktionen in der Ableitungstabelle und die Formeln für die Ableitungen von Produkt, Summe und Quotient – ​​in den Differenzierungsregeln. Nach den ersten beiden Beispielen finden Sie eine Tabelle mit Ableitungen und Differenzierungsregeln.

Beispiel 1. Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. Aus den Differenzierungsregeln erfahren wir, dass die Ableitung einer Summe von Funktionen die Summe der Ableitungen von Funktionen ist, d. h.

Aus der Ableitungstabelle erfahren wir, dass die Ableitung von „x“ gleich eins und die Ableitung des Sinus gleich dem Kosinus ist. Wir setzen diese Werte in die Summe der Ableitungen ein und finden die Ableitung, die für die Bedingung des Problems erforderlich ist:

Beispiel 2. Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. Wir differenzieren als Ableitung einer Summe, bei der der zweite Term einen konstanten Faktor hat, der aus dem Vorzeichen der Ableitung entnommen werden kann:

Wenn dennoch Fragen auftauchen, woher etwas kommt, werden diese in der Regel geklärt, nachdem man sich mit der Ableitungstabelle und den einfachsten Differenzierungsregeln vertraut gemacht hat. Wir machen gerade mit ihnen weiter.

Tabelle der Ableitungen einfacher Funktionen

1. Ableitung einer Konstante (Zahl). Beliebige Zahl (1, 2, 5, 200...), die im Funktionsausdruck enthalten ist. Immer gleich Null. Dies ist sehr wichtig, da dies sehr oft erforderlich ist
2. Ableitung der unabhängigen Variablen. Am häufigsten „X“. Immer gleich eins. Dies ist auch wichtig, um sich lange daran zu erinnern
3. Ableitung des Grades. Beim Lösen von Problemen müssen Sie Nichtquadratwurzeln in Potenzen umwandeln.
4. Ableitung einer Variablen nach der Potenz -1
5. Ableitung der Quadratwurzel
6. Ableitung des Sinus
7. Ableitung des Kosinus
8. Ableitung der Tangente
9. Ableitung des Kotangens
10. Ableitung des Arkussinus
11. Ableitung des Arcuskosinus
12. Ableitung des Arkustangens
13. Ableitung des Arcuskotangens
14. Ableitung des natürlichen Logarithmus
15. Ableitung einer logarithmischen Funktion
16. Ableitung des Exponenten
17. Ableitung einer Exponentialfunktion

Differenzierungsregeln

1. Ableitung einer Summe oder Differenz
2. Derivat des Produkts
2a. Ableitung eines Ausdrucks multipliziert mit einem konstanten Faktor
3. Ableitung des Quotienten
4. Ableitung einer komplexen Funktion

Regel 1.Wenn das funktioniert

an einem Punkt differenzierbar sind, dann sind die Funktionen am selben Punkt differenzierbar

Und

diese. Die Ableitung einer algebraischen Summe von Funktionen ist gleich der algebraischen Summe der Ableitungen dieser Funktionen.

Folge. Wenn sich zwei differenzierbare Funktionen um einen konstanten Term unterscheiden, dann sind ihre Ableitungen gleich, d.h.

Regel 2.Wenn das funktioniert

sind irgendwann differenzierbar, dann ist ihr Produkt am selben Punkt differenzierbar

Und

diese. Die Ableitung des Produkts zweier Funktionen ist gleich der Summe der Produkte jeder dieser Funktionen und der Ableitung der anderen.

Folgerung 1. Der konstante Faktor kann aus dem Vorzeichen der Ableitung entnommen werden:

Folgerung 2. Die Ableitung des Produkts mehrerer differenzierbarer Funktionen ist gleich der Summe der Produkte der Ableitung jedes Faktors und aller anderen.

Zum Beispiel für drei Multiplikatoren:

Regel 3.Wenn das funktioniert

irgendwann differenzierbar Und , dann ist an dieser Stelle auch ihr Quotient differenzierbaru/v , und

diese. Die Ableitung des Quotienten zweier Funktionen ist gleich einem Bruch, dessen Zähler die Differenz zwischen den Produkten des Nenners und der Ableitung des Zählers und des Zählers und der Ableitung des Nenners ist und dessen Nenner das Quadrat von ist der ehemalige Zähler.

Wo kann man auf anderen Seiten nach Dingen suchen?

Bei der Bestimmung der Ableitung eines Produkts und eines Quotienten in realen Problemen ist es immer notwendig, mehrere Differenzierungsregeln gleichzeitig anzuwenden, daher finden Sie im Artikel weitere Beispiele zu diesen Ableitungen„Ableitung von Produkt und Quotient von Funktionen“.

Kommentar. Sie sollten eine Konstante (also eine Zahl) nicht als Term in einer Summe und als konstanten Faktor verwechseln! Bei einem Term ist seine Ableitung gleich Null, bei einem konstanten Faktor wird sie aus dem Vorzeichen der Ableitungen genommen. Dies ist ein typischer Fehler, der in der Anfangsphase des Studiums von Derivaten auftritt, aber wenn der durchschnittliche Student mehrere ein- und zweiteilige Beispiele löst, macht er diesen Fehler nicht mehr.

Und wenn Sie bei der Differenzierung eines Produkts oder Quotienten einen Term haben u"v, in dem u- eine Zahl, zum Beispiel 2 oder 5, also eine Konstante, dann ist die Ableitung dieser Zahl gleich Null und daher ist der gesamte Term gleich Null (dieser Fall wird in Beispiel 10 besprochen).

Ein weiterer häufiger Fehler besteht darin, die Ableitung einer komplexen Funktion mechanisch als Ableitung einer einfachen Funktion aufzulösen. Deshalb Ableitung einer komplexen Funktion ist ein eigener Artikel gewidmet. Aber zuerst lernen wir, Ableitungen einfacher Funktionen zu finden.

Unterwegs kommt man nicht ohne die Transformation von Ausdrücken aus. Dazu müssen Sie ggf. das Handbuch in einem neuen Fenster öffnen. Taten mit Kraft und Wurzeln Und Operationen mit Brüchen .

Wenn Sie nach Lösungen für Ableitungen von Brüchen mit Potenzen und Wurzeln suchen, also wenn die Funktion aussieht , dann folgen Sie der Lektion „Ableitung von Bruchsummen mit Potenzen und Wurzeln“.

Wenn Sie eine Aufgabe haben wie , dann nehmen Sie an der Lektion „Ableitungen einfacher trigonometrischer Funktionen“ teil.

Schritt-für-Schritt-Beispiele – So finden Sie die Ableitung

Beispiel 3. Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. Wir definieren die Teile des Funktionsausdrucks: Der gesamte Ausdruck stellt ein Produkt dar, und seine Faktoren sind Summen, in deren zweitem einer der Terme einen konstanten Faktor enthält. Wir wenden die Produktdifferenzierungsregel an: Die Ableitung des Produkts zweier Funktionen ist gleich der Summe der Produkte jeder dieser Funktionen mit der Ableitung der anderen:

Als nächstes wenden wir die Differenzierungsregel der Summe an: Die Ableitung der algebraischen Summe von Funktionen ist gleich der algebraischen Summe der Ableitungen dieser Funktionen. In unserem Fall hat der zweite Term in jeder Summe ein Minuszeichen. In jeder Summe sehen wir sowohl eine unabhängige Variable, deren Ableitung gleich eins ist, als auch eine Konstante (Zahl), deren Ableitung gleich Null ist. „X“ wird also zu Eins und minus 5 zu Null. Im zweiten Ausdruck wird „x“ mit 2 multipliziert, also multiplizieren wir zwei mit derselben Einheit wie die Ableitung von „x“. Wir erhalten folgende Ableitungswerte:

Wir setzen die gefundenen Ableitungen in die Summe der Produkte ein und erhalten die Ableitung der gesamten Funktion, die für die Problembedingung erforderlich ist:

Beispiel 4. Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. Wir müssen die Ableitung des Quotienten ermitteln. Wir wenden die Formel zur Differenzierung des Quotienten an: Die Ableitung des Quotienten zweier Funktionen ist gleich einem Bruch, dessen Zähler die Differenz zwischen den Produkten des Nenners und der Ableitung des Zählers und des Zählers und der Ableitung des ist Nenner, und der Nenner ist das Quadrat des vorherigen Zählers. Wir bekommen:

Die Ableitung der Faktoren im Zähler haben wir bereits in Beispiel 2 gefunden. Vergessen wir auch nicht, dass das Produkt, das im aktuellen Beispiel der zweite Faktor im Zähler ist, mit einem Minuszeichen genommen wird:

Wenn Sie nach Lösungen für Probleme suchen, bei denen Sie die Ableitung einer Funktion finden müssen, bei der es einen kontinuierlichen Haufen von Wurzeln und Potenzen gibt, wie zum Beispiel: , dann willkommen im Unterricht „Ableitung von Bruchsummen mit Potenzen und Wurzeln“ .

Wenn Sie mehr über die Ableitungen von Sinus, Cosinus, Tangens und anderen trigonometrischen Funktionen erfahren möchten, dann erfahren Sie, wie die Funktion aussieht , dann eine Lektion für Sie „Ableitungen einfacher trigonometrischer Funktionen“ .

Beispiel 5. Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. In dieser Funktion sehen wir ein Produkt, dessen Faktor die Quadratwurzel der unabhängigen Variablen ist, deren Ableitung wir in der Ableitungstabelle kennengelernt haben. Unter Verwendung der Regel zur Differenzierung des Produkts und des Tabellenwerts der Ableitung der Quadratwurzel erhalten wir:

Beispiel 6. Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. In dieser Funktion sehen wir einen Quotienten, dessen Dividende die Quadratwurzel der unabhängigen Variablen ist. Unter Verwendung der Regel der Differenzierung von Quotienten, die wir in Beispiel 4 wiederholt und angewendet haben, und dem tabellierten Wert der Ableitung der Quadratwurzel erhalten wir:

Um einen Bruch im Zähler loszuwerden, multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit .

(\large\bf Ableitung einer Funktion)

Betrachten Sie die Funktion y=f(x), angegeben im Intervall (a, b). Lassen X- irgendein fester Punkt des Intervalls (a, b), A Δx- eine beliebige Zahl mit dem Wert x+Δx gehört ebenfalls zum Intervall (a, b). Diese Nummer Δx wird als Argumentinkrement bezeichnet.

Definition. Funktionsinkrement y=f(x) an der Stelle X, entsprechend dem Argumentinkrement Δx, lass uns die Nummer anrufen

Δy = f(x+Δx) - f(x).

Das glauben wir Δx ≠ 0. Betrachten Sie an einem bestimmten festen Punkt X das Verhältnis des Funktionsinkrements an diesem Punkt zum entsprechenden Argumentinkrement Δx

Wir nennen diese Beziehung die Differenzbeziehung. Da der Wert X Wir betrachten es als fest, das Differenzverhältnis ist eine Funktion des Arguments Δx. Diese Funktion ist für alle Argumentwerte definiert Δx, zu einer ausreichend kleinen Umgebung des Punktes gehörend Δx=0, bis auf den Punkt selbst Δx=0. Somit haben wir das Recht, die Frage nach der Existenz einer Grenze der angegebenen Funktion bei zu prüfen Δx → 0.

Definition. Ableitung einer Funktion y=f(x) an einem bestimmten festen Punkt X nannte die Grenze bei Δx → 0 Differenzverhältnis, das heißt

Vorausgesetzt, dass diese Grenze besteht.

Bezeichnung. y′(x) oder f′(x).

Geometrische Bedeutung der Ableitung: Ableitung einer Funktion f(x) an dieser Stelle X gleich dem Tangens des Winkels zwischen den Achsen Ochse und eine Tangente an den Graphen dieser Funktion am entsprechenden Punkt:

f′(x 0) = \tgα.

Mechanische Bedeutung von Derivat: Die Ableitung des Weges nach der Zeit ist gleich der Geschwindigkeit der geradlinigen Bewegung des Punktes:

Gleichung einer Tangente an eine Gerade y=f(x) an der Stelle M 0 (x 0 ,y 0) nimmt die Form an

y-y 0 = f′(x 0) (x-x 0).

Die Normale einer Kurve an einem bestimmten Punkt ist die Senkrechte zur Tangente am selben Punkt. Wenn f′(x 0)≠ 0, dann die Gleichung der Normalen zur Geraden y=f(x) an der Stelle M 0 (x 0 ,y 0) ist so geschrieben:

Das Konzept der Differenzierbarkeit einer Funktion

Lassen Sie die Funktion y=f(x)über einen bestimmten Zeitraum definiert (a, b), X- ein fester Argumentwert aus diesem Intervall, Δx– jede Erhöhung des Arguments, sodass der Wert des Arguments x+Δx ∈ (a, b).

Definition. Funktion y=f(x) an einem bestimmten Punkt differenzierbar genannt X, wenn Inkrement Δy diese Funktion an der Stelle X, entsprechend dem Argumentinkrement Δx, kann in der Form dargestellt werden

Δy = A Δx +αΔx,

Wo A- eine Zahl unabhängig davon Δx, A α - Argumentfunktion Δx, was bei unendlich klein ist Δx→ 0.

Da das Produkt zweier infinitesimaler Funktionen αΔx ist ein Infinitesimal einer höheren Ordnung als Δx(Eigenschaft von 3 infinitesimalen Funktionen), dann können wir schreiben:

Δy = A Δx +o(Δx).

Satz. Damit die Funktion gewährleistet ist y=f(x) war zu einem bestimmten Zeitpunkt differenzierbar X, ist es notwendig und ausreichend, dass es an dieser Stelle eine endliche Ableitung hat. Gleichzeitig A=f′(x), das ist

Δy = f′(x) Δx +o(Δx).

Die Operation, die Ableitung zu finden, wird üblicherweise Differenzierung genannt.

Satz. Wenn die Funktion y=f(x) X, dann ist es an dieser Stelle stetig.

Kommentar. Aus der Stetigkeit der Funktion y=f(x) an dieser Stelle X Im Allgemeinen folgt die Differenzierbarkeit der Funktion nicht f(x) an dieser Stelle. Zum Beispiel die Funktion y=|x|- kontinuierlich an einem Punkt x=0, hat aber keine Ableitung.

Konzept der Differentialfunktion

Definition. Funktionsdifferential y=f(x) das Produkt aus der Ableitung dieser Funktion und dem Inkrement der unabhängigen Variablen wird aufgerufen X:

dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.

Für die Funktion y=x wir bekommen dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx, das ist dx=Δx- Das Differential einer unabhängigen Variablen ist gleich dem Inkrement dieser Variablen.

So können wir schreiben

dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx

Differential dy und erhöhen Δy Funktionen y=f(x) an dieser Stelle X, beide entsprechen demselben Argumentinkrement Δx Im Allgemeinen sind sie nicht gleich.

Geometrische Bedeutung des Differentials: Das Differential einer Funktion ist gleich dem Inkrement der Ordinate der Tangente an den Graphen dieser Funktion, wenn das Argument inkrementiert wird Δx.

Differenzierungsregeln

Satz. Wenn jede der Funktionen u(x) Und v(x) an einem bestimmten Punkt differenzierbar X, dann die Summe, die Differenz, das Produkt und der Quotient dieser Funktionen (Quotient vorausgesetzt). v(x)≠ 0) sind an dieser Stelle ebenfalls differenzierbar und die Formeln gelten:

Betrachten Sie die komplexe Funktion y=f(φ(x))≡ F(x), Wo y=f(u), u=φ(x). In diesem Fall u angerufen Zwischenargument, X - unabhängige Variable.

Satz. Wenn y=f(u) Und u=φ(x) sind differenzierbare Funktionen ihrer Argumente, dann die Ableitung einer komplexen Funktion y=f(φ(x)) existiert und ist gleich dem Produkt dieser Funktion in Bezug auf das Zwischenargument und der Ableitung des Zwischenarguments in Bezug auf die unabhängige Variable, d. h.

Kommentar. Für eine komplexe Funktion, die eine Überlagerung von drei Funktionen ist y=F(f(φ(x))), die Differenzierungsregel hat die Form

y′ x = y′ u u′ v v′ x,

Wo sind die Funktionen? v=φ(x), u=f(v) Und y=F(u)- differenzierbare Funktionen ihrer Argumente.

Satz. Lassen Sie die Funktion y=f(x) nimmt zu (oder ab) und ist in einer bestimmten Umgebung des Punktes kontinuierlich x 0. Diese Funktion sei außerdem an der angegebenen Stelle differenzierbar x 0 und seine Ableitung an dieser Stelle f′(x 0) ≠ 0. Dann in irgendeiner Umgebung des entsprechenden Punktes y 0 =f(x 0) die Umkehrung ist definiert für y=f(x) Funktion x=f -1 (y), und die angegebene Umkehrfunktion ist am entsprechenden Punkt differenzierbar y 0 =f(x 0) und für seine Ableitung an dieser Stelle j Die Formel ist gültig

Derivatetabelle

Invarianz der Form des ersten Differentials

Betrachten wir das Differential einer komplexen Funktion. Wenn y=f(x), x=φ(t)- Funktionen ihrer Argumente sind differenzierbar, dann die Ableitung der Funktion y=f(φ(t)) ausgedrückt durch die Formel

y′ t = y′ x x′ t.

Per Definition dy=y′ t dt, dann bekommen wir

dy = y′ t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,

dy = y′ x dx.

Wir haben es also bewiesen

Eigenschaft der Invarianz der Form des ersten Differentials einer Funktion: wie im Fall, wenn das Argument X ist eine unabhängige Variable, und in dem Fall, wenn das Argument X selbst ist eine differenzierbare Funktion der neuen Variablen, des Differentials dy Funktionen y=f(x) ist gleich der Ableitung dieser Funktion multipliziert mit dem Differential des Arguments dx.

Anwendung des Differentials in Näherungsberechnungen

Wir haben gezeigt, dass das Differential dy Funktionen y=f(x) ist im Allgemeinen nicht gleich dem Inkrement Δy diese Funktion. Allerdings bis zu einer Infinitesimalfunktion höherer Kleinheitsordnung als Δx, gilt die ungefähre Gleichheit

Δy ≈ dy.

Das Verhältnis wird als relativer Fehler der Gleichheit dieser Gleichheit bezeichnet. Weil Δy-dy=o(Δx), dann wird der relative Fehler dieser Gleichheit mit abnehmender Größe so klein wie gewünscht |Δх|.

In Anbetracht dessen Δy=f(x+δ x)-f(x), dy=f′(x)Δx, bekommen wir f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δx oder

f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx.

Diese ungefähre Gleichheit erlaubt mit Fehler o(Δx) Funktion ersetzen f(x) in einer kleinen Nachbarschaft des Punktes X(also für kleine Werte Δx) lineare Funktion des Arguments Δx, auf der rechten Seite stehend.

Derivate höherer Ordnung

Definition. Zweite Ableitung (oder Ableitung zweiter Ordnung) einer Funktion y=f(x) heißt die Ableitung seiner ersten Ableitung.

Notation für die zweite Ableitung einer Funktion y=f(x):

Mechanische Bedeutung der zweiten Ableitung. Wenn die Funktion y=f(x) beschreibt das Bewegungsgesetz eines materiellen Punktes in einer geraden Linie, dann die zweite Ableitung f″(x) gleich der Beschleunigung eines sich bewegenden Punktes zum jeweiligen Zeitpunkt X.

Die dritte und vierte Ableitung werden auf ähnliche Weise bestimmt.

Definition. N te Ableitung (oder Ableitung N-ter Ordnung) Funktionen y=f(x) heißt die Ableitung davon n-1 te Ableitung:

y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′.

Bezeichnungen: y″′, und IV, y V usw.

Bei der Lösung verschiedener Probleme der Geometrie, Mechanik, Physik und anderer Wissensgebiete entstand die Notwendigkeit, denselben analytischen Prozess aus dieser Funktion zu verwenden y=f(x) Holen Sie sich eine neue Funktion namens Ableitungsfunktion(oder einfach Ableitung) einer gegebenen Funktion f(x) und ist mit dem Symbol gekennzeichnet

Der Prozess, durch den aus einer bestimmten Funktion f(x) Holen Sie sich eine neue Funktion f" (x), angerufen Differenzierung und es besteht aus den folgenden drei Schritten: 1) Geben Sie das Argument an X Inkrement  X und bestimmen Sie das entsprechende Inkrement der Funktion  y = f(x+ x) -f(x);

2) eine Beziehung herstellen X 3) Zählen  X konstant und
0, finden wir f" (x), was wir mit bezeichnen X, als ob man betonen würde, dass die resultierende Funktion nur vom Wert abhängt Definition: , bei dem wir an die Grenze gehen. Ableitung y " =f " (x) gegebene Funktion y=f(x) heißt Grenze des Verhältnisses des Inkrements einer Funktion zum Inkrement des Arguments, vorausgesetzt, dass das Inkrement des Arguments gegen Null tendiert, wenn diese Grenze natürlich existiert, d.h. endlich. Daher,
, oder

Beachten Sie, dass es sich um einen bestimmten Wert handelt X, zum Beispiel wann x=a, Attitüde
bei  X0 tendiert nicht zum endlichen Grenzwert, dann sagt man in diesem Fall, dass die Funktion f(x) bei x=a(oder an der Stelle x=a) hat keine Ableitung oder ist zu diesem Zeitpunkt nicht differenzierbar x=a.

2. Geometrische Bedeutung der Ableitung.

Betrachten Sie den Graphen der Funktion y = f (x), differenzierbar in der Nähe des Punktes x 0

f(x)

Betrachten wir eine beliebige gerade Linie, die durch einen Punkt im Graphen einer Funktion verläuft – Punkt A(x 0, f (x 0)) – und den Graphen an einem Punkt B(x;f(x)) schneidet. Eine solche Gerade (AB) nennt man Sekante. Aus ∆ABC: ​​​​AC = ∆x;

BC =∆у; tgβ=∆y/∆x.

Seit AC || Ox, dann ALO = BAC = β (entsprechend für parallel). Aber ALO ist der Neigungswinkel der Sekante AB zur positiven Richtung der Ox-Achse. Dies bedeutet, dass tanβ = k der Winkelkoeffizient der Geraden AB ist.

Jetzt reduzieren wir ∆х, d.h. ∆х→ 0. In diesem Fall nähert sich Punkt B gemäß der Grafik Punkt A und die Sekante AB dreht sich. Die Grenzposition der Sekante AB bei ∆x→ 0 ist eine Gerade (a), die Tangente an den Graphen der Funktion y = f (x) am Punkt A genannt wird.
Wenn wir zum Grenzwert ∆x → 0 in der Gleichung tgβ =∆y/∆x gehen, erhalten wir
ortg =f "(x 0), da
-Neigungswinkel der Tangente zur positiven Richtung der Ox-Achse

, per Definition einer Ableitung. Aber tg = k ist der Winkelkoeffizient der Tangente, was k = tg = f "(x 0) bedeutet.

Die geometrische Bedeutung der Ableitung ist also wie folgt: 0 Ableitung einer Funktion am Punkt x 0 .

gleich der Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion, die an dem Punkt mit der Abszisse x gezeichnet wird

3. Physikalische Bedeutung der Ableitung.

Betrachten Sie die Bewegung eines Punktes entlang einer geraden Linie. Die Koordinate eines Punktes sei zu jedem Zeitpunkt x(t) gegeben. Aus einem Physikkurs ist bekannt, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit über einen bestimmten Zeitraum gleich dem Verhältnis der in diesem Zeitraum zurückgelegten Strecke zur Zeit ist, d. h.

Vav = ∆x/∆t. Gehen wir zum Grenzwert in der letzten Gleichung als ∆t → 0.

lim Vav (t) = (t 0) - Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t 0, ∆t → 0.

und lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (per Definition der Ableitung).

Also ist (t) =x"(t).j = Die physikalische Bedeutung der Ableitung ist wie folgt: Ableitung der Funktion(XFX 0 ) am PunktDie physikalische Bedeutung der Ableitung ist wie folgt: Ableitung der Funktionist die Änderungsrate der FunktionX 0

(x) am Punkt

Die Ableitung wird in der Physik verwendet, um die Geschwindigkeit aus einer bekannten Funktion von Koordinaten über der Zeit und die Beschleunigung aus einer bekannten Funktion von Geschwindigkeit über der Zeit zu ermitteln.

a(f) = "(t) - Beschleunigung, oder

Wenn das Bewegungsgesetz eines materiellen Punktes auf einem Kreis bekannt ist, kann man die Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung während der Rotationsbewegung ermitteln:

φ = φ(t) – Winkeländerung über die Zeit,

ω = φ"(t) - Winkelgeschwindigkeit,

ε = φ"(t) - Winkelbeschleunigung, oder ε = φ"(t).

Wenn das Gesetz der Massenverteilung eines inhomogenen Stabes bekannt ist, kann die lineare Dichte des inhomogenen Stabes ermittelt werden:

m = m(x) - Masse,

x  , l - Länge der Stange,

p = m"(x) - lineare Dichte.

Mit der Ableitung werden Probleme aus der Elastizitätstheorie und harmonischen Schwingungen gelöst. Also nach dem Hookeschen Gesetz

F = -kx, x – variable Koordinate, k – Federelastizitätskoeffizient. Setzt man ω 2 =k/m, erhält man die Differentialgleichung des Federpendels x"(t) + ω 2 x(t) = 0,

wobei ω = √k/√m Schwingungsfrequenz (l/c), k – Federsteifigkeit (H/m).

Eine Gleichung der Form y" + ω 2 y = 0 wird als Gleichung harmonischer Schwingungen (mechanisch, elektrisch, elektromagnetisch) bezeichnet. Die Lösung solcher Gleichungen ist die Funktion

y = Asin(ωt + φ 0) oder y = Acos(ωt + φ 0), wobei

A - Schwingungsamplitude, ω - zyklische Frequenz,

φ 0 - Anfangsphase.