So finden Sie den Unterschied in der Arithmetik. Arithmetische und geometrische Folgen

Online-Rechner.
Eine arithmetische Folge lösen.
Gegeben: a n , d, n
Finden Sie: eine 1

Dieses mathematische Programm findet \(a_1\) einer arithmetischen Folge basierend auf benutzerdefinierten Zahlen \(a_n, d\) und \(n\).
Die Zahlen \(a_n\) und \(d\) können nicht nur als ganze Zahlen, sondern auch als Brüche angegeben werden. Darüber hinaus kann die Bruchzahl in Form eines Dezimalbruchs (\(2,5\)) und in Form eines gewöhnlichen Bruchs (\(-5\frac(2)(7)\)) eingegeben werden.

Das Programm gibt nicht nur die Antwort auf das Problem, sondern zeigt auch den Prozess der Lösungsfindung an.

Dieser Online-Rechner kann für Gymnasiasten in weiterführenden Schulen bei der Vorbereitung auf Tests und Prüfungen, beim Testen von Wissen vor dem Einheitlichen Staatsexamen und für Eltern bei der Kontrolle der Lösung vieler Probleme in Mathematik und Algebra nützlich sein. Oder ist es für Sie vielleicht zu teuer, einen Nachhilfelehrer zu engagieren oder neue Lehrbücher zu kaufen? Oder möchten Sie Ihre Mathe- oder Algebra-Hausaufgaben einfach so schnell wie möglich erledigen? Auch in diesem Fall können Sie unsere Programme mit Detaillösungen nutzen.

Auf diese Weise können Sie Ihre eigenen Schulungen und/oder Schulungen Ihrer jüngeren Geschwister durchführen und gleichzeitig den Bildungsstand im Bereich der Problemlösung erhöhen.

Wenn Sie mit den Regeln zur Zahleneingabe nicht vertraut sind, empfehlen wir Ihnen, sich damit vertraut zu machen.

Regeln für die Eingabe von Zahlen

Die Zahlen \(a_n\) und \(d\) können nicht nur als ganze Zahlen, sondern auch als Brüche angegeben werden.
Die Zahl \(n\) kann nur eine positive ganze Zahl sein.

Regeln für die Eingabe von Dezimalbrüchen.
Die ganzzahligen und gebrochenen Teile in Dezimalbrüchen können entweder durch einen Punkt oder ein Komma getrennt werden.
Sie können beispielsweise Dezimalbrüche wie 2,5 oder 2,5 eingeben

Regeln für die Eingabe gewöhnlicher Brüche.
Nur eine ganze Zahl kann als Zähler, Nenner und ganzzahliger Teil eines Bruchs fungieren.

Der Nenner darf nicht negativ sein.

Bei der Eingabe eines Zahlenbruchs wird der Zähler durch ein Divisionszeichen vom Nenner getrennt: /
Eingang:
Ergebnis: \(-\frac(2)(3)\)

Der ganze Teil wird durch das kaufmännische Und-Zeichen vom Bruch getrennt: &
Eingang:
Ergebnis: \(-1\frac(2)(3)\)

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Eine kleine Theorie.

Zahlenfolge

In der alltäglichen Praxis wird die Nummerierung verschiedener Gegenstände häufig verwendet, um die Reihenfolge ihrer Anordnung anzuzeigen. Beispielsweise sind die Häuser in jeder Straße nummeriert. In der Bibliothek werden die Leserabonnements nummeriert und dann in speziellen Karteikarten in der Reihenfolge der zugewiesenen Nummern geordnet.

Bei einer Sparkasse können Sie anhand der persönlichen Kontonummer des Einlegers dieses Konto leicht finden und sehen, welche Einlage sich darauf befindet. Angenommen, Konto Nr. 1 enthält eine Einzahlung von a1 Rubel, Konto Nr. 2 enthält eine Einzahlung von a2 Rubel usw. Es stellt sich heraus Zahlenfolge
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a N
wobei N die Anzahl aller Konten ist. Dabei ist jeder natürlichen Zahl n von 1 bis N eine Zahl a n zugeordnet.

Hat auch Mathematik studiert unendliche Zahlenfolgen:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Es heißt die Zahl a 1 erstes Glied der Folge, Nummer a 2 - zweites Glied der Folge, Nummer a 3 - drittes Glied der Folge usw.
Die Zahl a n wird aufgerufen n-tes (n-tes) Mitglied der Sequenz, und die natürliche Zahl n ist ihre Nummer.

Beispielsweise ist in der Folge der Quadrate der natürlichen Zahlen 1, 4, 9, 16, 25, ... n 2, (n + 1) 2, ... und 1 = 1 der erste Term der Folge; und n = n 2 ist der n-te Term der Folge; a n+1 = (n + 1) 2 ist der (n + 1)-te (n plus erste) Term der Folge. Oft kann eine Folge durch die Formel ihres n-ten Termes angegeben werden. Beispielsweise definiert die Formel \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) die Folge \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)

Arithmetische Folge

Die Länge des Jahres beträgt etwa 365 Tage. Ein genauerer Wert ist \(365\frac(1)(4)\) Tage, sodass sich alle vier Jahre ein Fehler von einem Tag ansammelt.

Um diesen Fehler auszugleichen, wird zu jedem vierten Jahr ein Tag hinzugefügt, und das verlängerte Jahr wird als Schaltjahr bezeichnet.

Im dritten Jahrtausend sind Schaltjahre beispielsweise die Jahre 2004, 2008, 2012, 2016, ....

In dieser Sequenz ist jedes Mitglied, beginnend mit dem zweiten, gleich dem vorherigen, addiert zur gleichen Zahl 4. Solche Sequenzen werden aufgerufen arithmetische Progressionen.

Definition.
Die Zahlenfolge a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... heißt arithmetische Folge, wenn für alle natürlichen n die Gleichheit gilt
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
wobei d eine Zahl ist.

Aus dieser Formel folgt, dass a n+1 - a n = d. Die Zahl d heißt Differenz arithmetische Folge.

Per Definition einer arithmetischen Folge gilt:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
Wo
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), wobei \(n>1 \)

Somit ist jedes Glied einer arithmetischen Folge, beginnend mit dem zweiten, gleich dem arithmetischen Mittel seiner beiden benachbarten Glieder. Dies erklärt den Namen „arithmetische“ Progression.

Beachten Sie, dass bei Angabe von a 1 und d die verbleibenden Terme der arithmetischen Folge mithilfe der wiederkehrenden Formel a n+1 = a n + d berechnet werden können. Auf diese Weise ist es nicht schwer, die ersten Terme der Progression zu berechnen, allerdings erfordert beispielsweise eine 100 bereits viele Berechnungen. Typischerweise wird hierfür die n-te Termformel verwendet. Per Definition der arithmetischen Folge
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
usw.
Überhaupt,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
denn der n-te Term einer arithmetischen Folge ergibt sich aus dem ersten Term durch Addition des (n-1)-fachen der Zahl d.
Diese Formel heißt Formel für das n-te Glied einer arithmetischen Folge.

Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge

Finden Sie die Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis 100.
Schreiben wir diesen Betrag auf zwei Arten:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Fügen wir diese Gleichungen Term für Term hinzu:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Diese Summe hat 100 Begriffe
Daher ist 2S = 101 * 100, also S = 101 * 50 = 5050.

Betrachten wir nun eine beliebige arithmetische Folge
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Sei S n die Summe der ersten n Terme dieser Folge:
S n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
Dann die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge ist gleich
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

Da \(a_n=a_1+(n-1)d\), dann erhalten wir durch Ersetzen eines n in dieser Formel eine andere Formel zum Finden Summe der ersten n Glieder einer arithmetischen Folge:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

Arithmetische Folge eine Zahlenfolge benennen (Begriffe einer Folge)

Dabei unterscheidet sich jeder nachfolgende Begriff vom vorherigen durch einen neuen Begriff, der auch genannt wird Schritt- oder Fortschrittsunterschied.

Indem Sie also den Fortschrittsschritt und seinen ersten Term angeben, können Sie jedes seiner Elemente mithilfe der Formel finden

Eigenschaften einer arithmetischen Folge

1) Jedes Mitglied einer arithmetischen Folge, beginnend mit der zweiten Zahl, ist das arithmetische Mittel des vorherigen und nächsten Mitglieds der Folge

Das Gegenteil gilt auch. Wenn das arithmetische Mittel benachbarter ungerader (gerader) Terme einer Folge gleich dem dazwischen stehenden Term ist, dann ist diese Zahlenfolge eine arithmetische Folge. Mit dieser Anweisung ist es sehr einfach, jede beliebige Reihenfolge zu überprüfen.

Aufgrund der Eigenschaft der arithmetischen Progression kann die obige Formel auch wie folgt verallgemeinert werden

Dies lässt sich leicht überprüfen, wenn Sie die Begriffe rechts vom Gleichheitszeichen schreiben

Es wird in der Praxis häufig verwendet, um Berechnungen bei Problemen zu vereinfachen.

2) Die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge wird mit der Formel berechnet

Merken Sie sich die Formel für die Summe einer arithmetischen Folge; sie ist für Berechnungen unverzichtbar und kommt in einfachen Lebenssituationen häufig vor.

3) Wenn Sie nicht die gesamte Summe, sondern einen Teil der Folge ab ihrem k-ten Term finden müssen, ist die folgende Summenformel hilfreich

4) Von praktischem Interesse ist es, die Summe von n Gliedern einer arithmetischen Folge ausgehend von der k-ten Zahl zu ermitteln. Verwenden Sie dazu die Formel

Damit ist das theoretische Material abgeschlossen und es wird mit der Lösung häufiger Probleme in der Praxis fortgefahren.

Beispiel 1. Finden Sie den vierzigsten Term der arithmetischen Folge 4;7;...

Lösung:

Je nach dem Zustand, den wir haben

Lassen Sie uns den Fortschrittsschritt bestimmen

Mit einer bekannten Formel ermitteln wir den vierzigsten Term der Progression

Beispiel 2. Eine arithmetische Folge ist durch ihr drittes und siebtes Glied gegeben. Finden Sie den ersten Term der Progression und die Summe von zehn.

Lösung:

Schreiben wir die vorgegebenen Elemente der Progression anhand der Formeln auf

Wir subtrahieren die erste von der zweiten Gleichung und ermitteln so den Fortschrittsschritt

Wir setzen den gefundenen Wert in eine der Gleichungen ein, um den ersten Term der arithmetischen Folge zu finden

Wir berechnen die Summe der ersten zehn Terme der Progression

Ohne komplexe Berechnungen haben wir alle benötigten Mengen gefunden.

Beispiel 3. Eine arithmetische Folge ist durch den Nenner und einen seiner Terme gegeben. Finden Sie den ersten Term der Progression, die Summe seiner 50 Terme beginnend bei 50 und die Summe der ersten 100.

Lösung:

Schreiben wir die Formel für das hundertste Element der Progression auf

und finde den ersten

Basierend auf dem ersten finden wir den 50. Term der Progression

Ermitteln der Summe des Teils der Progression

und die Summe der ersten 100

Der Fortschrittsbetrag beträgt 250.

Beispiel 4.

Ermitteln Sie die Anzahl der Terme einer arithmetischen Folge, wenn:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Lösung:

Schreiben wir die Gleichungen in Bezug auf den ersten Term und den Progressionsschritt und bestimmen wir sie

Wir setzen die erhaltenen Werte in die Summenformel ein, um die Anzahl der Terme in der Summe zu bestimmen

Wir führen Vereinfachungen durch

und löse die quadratische Gleichung

Von den beiden gefundenen Werten passt nur die Zahl 8 zu den Problembedingungen. Somit beträgt die Summe der ersten acht Terme der Progression 111.

Beispiel 5.

Löse die Gleichung

1+3+5+...+x=307.

Lösung: Diese Gleichung ist die Summe einer arithmetischen Folge. Schreiben wir den ersten Term auf und finden den Unterschied im Verlauf heraus

Viele Menschen haben von der arithmetischen Progression gehört, aber nicht jeder hat eine gute Vorstellung davon, was es ist. In diesem Artikel geben wir die entsprechende Definition, gehen auch auf die Frage ein, wie man die Differenz einer arithmetischen Folge findet, und geben eine Reihe von Beispielen.

Mathematische Definition

Wenn es sich also um eine arithmetische oder algebraische Folge handelt (diese Konzepte definieren dasselbe), dann bedeutet dies, dass es eine bestimmte Zahlenreihe gibt, die das folgende Gesetz erfüllt: Alle zwei benachbarten Zahlen in der Reihe unterscheiden sich um denselben Wert. Mathematisch wird es so geschrieben:

Hier bedeutet n die Nummer des Elements a n in der Folge und die Zahl d ist die Differenz der Folge (der Name ergibt sich aus der vorgestellten Formel).

Was bedeutet es, den Unterschied d zu kennen? Darüber, wie „weit“ benachbarte Zahlen voneinander entfernt sind. Allerdings ist die Kenntnis von d eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung für die Bestimmung (Wiederherstellung) des gesamten Verlaufs. Es ist notwendig, eine weitere Zahl zu kennen, die absolut jedes Element der betrachteten Reihe sein kann, zum Beispiel a 4, a10, aber in der Regel wird die erste Zahl verwendet, also eine 1.

Formeln zur Bestimmung von Fortschrittselementen

Im Allgemeinen reichen die oben genannten Informationen bereits aus, um mit der Lösung spezifischer Probleme fortzufahren. Bevor jedoch die arithmetische Folge angegeben wird und es notwendig sein wird, ihren Unterschied zu finden, werden wir einige nützliche Formeln vorstellen, die den späteren Prozess der Problemlösung erleichtern.

Es lässt sich leicht zeigen, dass jedes Element der Folge mit der Nummer n wie folgt gefunden werden kann:

a n = a 1 + (n - 1) * d

Tatsächlich kann jeder diese Formel durch eine einfache Suche überprüfen: Wenn Sie n = 1 einsetzen, erhalten Sie das erste Element, wenn Sie n = 2 einsetzen, dann gibt der Ausdruck die Summe der ersten Zahl und der Differenz an und so weiter.

Die Bedingungen vieler Probleme sind so zusammengesetzt, dass bei einem bekannten Zahlenpaar, dessen Zahlen auch in der Folge angegeben sind, die gesamte Zahlenreihe rekonstruiert werden muss (Differenz und erstes Element finden). Jetzt werden wir dieses Problem in allgemeiner Form lösen.

Gegeben seien also zwei Elemente mit den Zahlen n und m. Mit der oben erhaltenen Formel können Sie ein System aus zwei Gleichungen erstellen:

a n = a 1 + (n – 1) * d;

am = a 1 + (m - 1) * d

Um unbekannte Größen zu finden, verwenden wir eine bekannte einfache Technik zur Lösung eines solchen Systems: Subtrahieren Sie die linke und rechte Seite paarweise, die Gleichheit bleibt gültig. Wir haben:

a n = a 1 + (n – 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Daher haben wir eine Unbekannte (a 1) ausgeschlossen. Jetzt können wir den endgültigen Ausdruck zur Bestimmung von d schreiben:

d = (a n – a m) / (n – m), wobei n > m

Wir haben eine sehr einfache Formel erhalten: Um die Differenz d gemäß den Bedingungen des Problems zu berechnen, muss lediglich das Verhältnis der Differenzen zwischen den Elementen selbst und ihren Seriennummern ermittelt werden. Ein wichtiger Punkt sollte beachtet werden: Die Unterschiede werden zwischen den „älteren“ und „jüngeren“ Mitgliedern berücksichtigt, d. h. n > m („älter“ bedeutet weiter vom Anfang der Sequenz entfernt, sein absoluter Wert kann entweder sein mehr oder weniger "Junior"-Element).

Der Ausdruck für die Differenz d-Progression sollte zu Beginn der Lösung des Problems in eine der Gleichungen eingesetzt werden, um den Wert des ersten Termes zu erhalten.

In unserem Zeitalter der Entwicklung der Computertechnologie versuchen viele Schüler, Lösungen für ihre Aufgaben im Internet zu finden, daher stellen sich häufig Fragen dieser Art: Finden Sie online die Differenz einer arithmetischen Folge. Bei einer solchen Anfrage gibt die Suchmaschine eine Reihe von Webseiten zurück, zu denen Sie die aus der Bedingung bekannten Daten eingeben müssen (dies können entweder zwei Begriffe der Progression oder die Summe einer bestimmten Anzahl davon sein). ) und erhalten sofort eine Antwort. Dieser Ansatz zur Lösung des Problems ist jedoch im Hinblick auf die Entwicklung des Schülers und sein Verständnis für das Wesentliche der ihm gestellten Aufgabe unproduktiv.

Lösung ohne Verwendung von Formeln

Lösen wir das erste Problem, ohne eine der angegebenen Formeln zu verwenden. Gegeben seien die Elemente der Reihe: a6 = 3, a9 = 18. Finden Sie die Differenz der arithmetischen Folge.

Bekannte Elemente stehen dicht nebeneinander in einer Reihe. Wie oft muss die Differenz d zur kleinsten addiert werden, um die größte zu erhalten? Dreimal (das erste Mal, wenn wir d hinzufügen, erhalten wir das 7. Element, das zweite Mal das achte und schließlich das dritte Mal das neunte). Welche Zahl muss dreimal zu drei addiert werden, um 18 zu erhalten? Das ist die Nummer fünf. Wirklich:

Somit ist die unbekannte Differenz d = 5.

Natürlich hätte die Lösung auch mit der entsprechenden Formel erfolgen können, aber das geschah nicht mit Absicht. Eine detaillierte Erklärung der Lösung des Problems sollte ein klares und klares Beispiel dafür sein, was eine arithmetische Folge ist.

Eine Aufgabe ähnlich der vorherigen

Lassen Sie uns nun ein ähnliches Problem lösen, aber die Eingabedaten ändern. Sie sollten also herausfinden, ob a3 = 2, a9 = 19.

Natürlich können Sie auch hier auf die Lösungsmethode „frontal“ zurückgreifen. Da jedoch die Elemente der Reihe relativ weit voneinander entfernt sind, ist diese Methode nicht ganz praktisch. Aber wenn wir die resultierende Formel verwenden, kommen wir schnell zur Antwort:

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83

Hier haben wir die endgültige Zahl gerundet. Inwieweit diese Rundung zu einem Fehler geführt hat, lässt sich anhand des Ergebnisses beurteilen:

a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98

Dieses Ergebnis weicht nur um 0,1 % vom in der Bedingung angegebenen Wert ab. Daher kann die Rundung auf das nächste Hundertstel als erfolgreiche Wahl angesehen werden.

Probleme bei der Anwendung der Formel für einen Term

Betrachten wir ein klassisches Beispiel für ein Problem zur Bestimmung der Unbekannten d: Finden Sie die Differenz einer arithmetischen Folge, wenn a1 = 12, a5 = 40.

Wenn zwei Zahlen einer unbekannten algebraischen Folge gegeben sind und eine davon das Element a 1 ist, dann müssen Sie nicht lange nachdenken, sondern sollten sofort die Formel für den a n-Term anwenden. In diesem Fall haben wir:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Beim Dividieren haben wir die genaue Zahl erhalten, daher macht es keinen Sinn, die Richtigkeit des berechneten Ergebnisses zu überprüfen, wie es im vorherigen Absatz geschehen ist.

Lösen wir ein weiteres ähnliches Problem: Wir müssen die Differenz einer arithmetischen Folge finden, wenn a1 = 16, a8 = 37.

Wir verwenden einen ähnlichen Ansatz wie der vorherige und erhalten:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Was sollten Sie sonst noch über die arithmetische Progression wissen?

Zusätzlich zu den Problemen, einen unbekannten Unterschied oder einzelne Elemente zu finden, ist es oft notwendig, Probleme der Summe der ersten Terme einer Folge zu lösen. Die Betrachtung dieser Probleme würde den Rahmen des Artikels sprengen. Der Vollständigkeit halber stellen wir jedoch eine allgemeine Formel für die Summe von n Zahlen in einer Reihe vor:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

Das Konzept einer Zahlenfolge impliziert, dass jede natürliche Zahl einem reellen Wert entspricht. Eine solche Zahlenreihe kann entweder beliebig sein oder bestimmte Eigenschaften haben – eine Progression. Im letzteren Fall kann jedes nachfolgende Element (Mitglied) der Sequenz anhand des vorherigen berechnet werden.

Eine arithmetische Folge ist eine Folge von Zahlenwerten, bei der sich ihre Nachbarglieder um die gleiche Zahl voneinander unterscheiden (alle Elemente der Reihe, beginnend mit dem 2., haben eine ähnliche Eigenschaft). Diese Zahl – die Differenz zwischen dem vorherigen und dem nachfolgenden Term – ist konstant und wird Progressionsdifferenz genannt.

Fortschrittsunterschied: Definition

Betrachten Sie eine Folge bestehend aus j Werten A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j gehört zur Menge der natürlichen Zahlen N. Eine Arithmetik Progression ist ihrer Definition nach eine Folge, in der a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Der Wert d ist die gewünschte Differenz dieser Progression.

d = a(j) – a(j-1).

Markieren:

• Eine zunehmende Progression, in diesem Fall d > 0. Beispiel: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Abnehmendes Fortschreiten, dann d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Differenzverlauf und seine willkürlichen Elemente

Wenn zwei beliebige Terme der Folge bekannt sind (i-ter, k-ter), dann kann die Differenz für eine gegebene Folge anhand der Beziehung bestimmt werden:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, was d = (a(i) – a(k))/(i-k) bedeutet.

Unterschied der Progression und ihrer ersten Amtszeit

Dieser Ausdruck hilft nur dann bei der Bestimmung eines unbekannten Werts, wenn die Nummer des Sequenzelements bekannt ist.

Progressionsdifferenz und ihre Summe

Die Summe einer Progression ist die Summe ihrer Glieder. Um den Gesamtwert der ersten j Elemente zu berechnen, verwenden Sie die entsprechende Formel:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, aber da a(j) = a(1) + d(j – 1), dann S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Wenn für jede natürliche Zahl N einer reellen Zahl entsprechen ein , dann sagen sie, dass es gegeben ist Zahlenfolge :

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , ein , . . . .

Die Zahlenfolge ist also eine Funktion des natürlichen Arguments.

Nummer A 1 angerufen erstes Glied der Folge , Nummer A 2 — zweites Glied der Folge , Nummer A 3 — dritte usw. Nummer ein angerufen n-tes Mitglied der Sequenz und eine natürliche Zahl N — seine Nummer .

Von zwei benachbarten Mitgliedern ein Und ein +1 Sequenzmitglied ein +1 angerufen anschließend (in Richtung ein ), A ein — vorherige (in Richtung ein +1 ).

Um eine Sequenz zu definieren, müssen Sie eine Methode angeben, mit der Sie ein Mitglied der Sequenz mit einer beliebigen Nummer finden können.

Oftmals wird die Reihenfolge mit angegeben n-te Termformeln , also eine Formel, mit der Sie ein Mitglied einer Folge anhand seiner Nummer bestimmen können.

Zum Beispiel,

Eine Folge positiver ungerader Zahlen kann durch die Formel angegeben werden

ein= 2N- 1,

und die Reihenfolge des Wechselns 1 Und -1 - Formel

B N = (-1)N +1 . ◄

Die Reihenfolge kann bestimmt werden wiederkehrende Formel, Das heißt, eine Formel, die jedes Mitglied der Sequenz ausdrückt, beginnend mit einigen, bis hin zu den vorherigen (einem oder mehreren) Mitgliedern.

Zum Beispiel,

Wenn A 1 = 1 , A ein +1 = ein + 5

A 1 = 1,

A 2 = A 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

A 3 = A 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

A 4 = A 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

A 5 = A 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Wenn eine 1= 1, eine 2 = 1, ein +2 = ein + ein +1 , dann werden die ersten sieben Terme der Zahlenfolge wie folgt ermittelt:

eine 1 = 1,

eine 2 = 1,

eine 3 = eine 1 + eine 2 = 1 + 1 = 2,

eine 4 = eine 2 + eine 3 = 1 + 2 = 3,

eine 5 = eine 3 + eine 4 = 2 + 3 = 5,

A 6 = A 4 + A 5 = 3 + 5 = 8,

A 7 = A 5 + A 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sequenzen können sein Finale Und endlos .

Die Sequenz wird aufgerufen ultimativ , wenn es eine endliche Anzahl von Mitgliedern hat. Die Sequenz wird aufgerufen endlos , wenn es unendlich viele Mitglieder hat.

Zum Beispiel,

Folge zweistelliger natürlicher Zahlen:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

Finale.

Folge der Primzahlen:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

endlos. ◄

Die Sequenz wird aufgerufen zunehmend , wenn jedes seiner Mitglieder, beginnend mit dem zweiten, größer als das vorherige ist.

Die Sequenz wird aufgerufen abnehmend , wenn jedes seiner Mitglieder, beginnend mit dem zweiten, kleiner ist als das vorherige.

Zum Beispiel,

2, 4, 6, 8, . . . , 2N, . . . — zunehmende Reihenfolge;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /N, . . . — absteigende Reihenfolge. ◄

Eine Folge, deren Elemente mit zunehmender Zahl nicht abnehmen oder umgekehrt nicht zunehmen, heißt monotone Abfolge .

Insbesondere monotone Folgen sind steigende Folgen und fallende Folgen.

Arithmetische Folge

Arithmetische Folge ist eine Folge, in der jedes Mitglied, beginnend mit dem zweiten, dem vorherigen gleich ist, zu dem die gleiche Zahl hinzugefügt wird.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , ein, . . .

ist eine arithmetische Folge für jede natürliche Zahl N die Bedingung ist erfüllt:

ein +1 = ein + D,

Wo D - eine bestimmte Anzahl.

Somit ist die Differenz zwischen dem nachfolgenden und dem vorherigen Term einer bestimmten arithmetischen Folge immer konstant:

eine 2 - A 1 = eine 3 - A 2 = . . . = ein +1 - ein = D.

Nummer D angerufen Unterschied der arithmetischen Progression.

Um eine arithmetische Folge zu definieren, reicht es aus, ihren ersten Term und ihre Differenz anzugeben.

Zum Beispiel,

Wenn A 1 = 3, D = 4 , dann finden wir die ersten fünf Terme der Folge wie folgt:

eine 1 =3,

eine 2 = eine 1 + D = 3 + 4 = 7,

eine 3 = eine 2 + D= 7 + 4 = 11,

eine 4 = eine 3 + D= 11 + 4 = 15,

A 5 = A 4 + D= 15 + 4 = 19. ◄

Für eine arithmetische Folge mit dem ersten Term A 1 und der Unterschied D ihr N

ein = eine 1 + (N- 1)D.

Zum Beispiel,

Finden Sie das dreißigste Glied der arithmetischen Folge

1, 4, 7, 10, . . .

eine 1 =1, D = 3,

ein 30 = eine 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

ein n-1 = eine 1 + (N- 2)D,

ein= eine 1 + (N- 1)D,

ein +1 = A 1 + nd,

dann offensichtlich

Jedes Mitglied einer arithmetischen Folge, beginnend mit dem zweiten, ist gleich dem arithmetischen Mittel der vorhergehenden und nachfolgenden Mitglieder.

Die Zahlen a, b und c sind genau dann aufeinanderfolgende Terme einer arithmetischen Folge, wenn einer von ihnen gleich dem arithmetischen Mittel der anderen beiden ist.

Zum Beispiel,

ein = 2N- 7 ist eine arithmetische Folge.

Verwenden wir die obige Aussage. Wir haben:

ein = 2N- 7,

ein n-1 = 2(N- 1) - 7 = 2N- 9,

ein n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2N- 5.

Somit,

◄

Beachten Sie, dass N Der te Term einer arithmetischen Folge kann nicht nur durch gefunden werden A 1 , aber auch alle vorherigen ein k

ein = ein k + (N- k)D.

Zum Beispiel,

Für A 5 kann aufgeschrieben werden

eine 5 = eine 1 + 4D,

eine 5 = eine 2 + 3D,

eine 5 = eine 3 + 2D,

eine 5 = eine 4 + D. ◄

ein = ein n-k + kd,

ein = ein n+k - kd,

dann offensichtlich

Jedes Mitglied einer arithmetischen Folge, beginnend mit dem zweiten, ist gleich der Hälfte der Summe der gleichabständigen Mitglieder dieser arithmetischen Folge.

Darüber hinaus gilt für jede arithmetische Folge die folgende Gleichheit:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Zum Beispiel,

in der arithmetischen Folge

1) A 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (A 9 + A 11 )/2;

2) 28 = eine 10 = eine 3 + 7D= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) eine 10= 28 = (19 + 37)/2 = (eine 7 + eine 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, als

eine 2 + eine 12= 4 + 34 = 38,

eine 5 + eine 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ ein,

Erste N Terme einer arithmetischen Folge ist gleich dem Produkt aus der halben Summe der Extremterme und der Anzahl der Terme:

Daraus folgt insbesondere, dass Sie die Terme summieren müssen

ein k, ein k +1 , . . . , ein,

dann behält die vorherige Formel ihre Struktur:

Zum Beispiel,

in der arithmetischen Folge 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Wenn eine arithmetische Folge angegeben ist, dann die Mengen A 1 , ein, D, N UndS N verbunden durch zwei Formeln:

Sind also die Werte von drei dieser Größen gegeben, dann werden aus diesen Formeln die entsprechenden Werte der anderen beiden Größen ermittelt, zusammengefasst zu einem System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.

Eine arithmetische Folge ist eine monotone Folge. Dabei:

• Wenn D > 0 , dann nimmt es zu;
• Wenn D < 0 , dann nimmt es ab;
• Wenn D = 0 , dann ist die Folge stationär.

Geometrischer Verlauf

Geometrischer Verlauf ist eine Folge, in der jedes Mitglied, beginnend mit dem zweiten, gleich dem vorherigen multipliziert mit derselben Zahl ist.

B 1 , B 2 , B 3 , . . . , b n, . . .

ist eine geometrische Folge für jede natürliche Zahl N die Bedingung ist erfüllt:

b n +1 = b n · Q,

Wo Q ≠ 0 - eine bestimmte Anzahl.

Somit ist das Verhältnis des nachfolgenden Termes einer gegebenen geometrischen Folge zum vorherigen eine konstante Zahl:

B 2 / B 1 = B 3 / B 2 = . . . = b n +1 / b n = Q.

Nummer Q angerufen Nenner der geometrischen Progression.

Um eine geometrische Folge zu definieren, reicht es aus, ihren ersten Term und Nenner anzugeben.

Zum Beispiel,

Wenn B 1 = 1, Q = -3 , dann finden wir die ersten fünf Terme der Folge wie folgt:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · Q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · Q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · Q= 9 · (-3) = -27,

B 5 = B 4 · Q= -27 · (-3) = 81. ◄

B 1 und Nenner Q ihr N Der te Term kann mit der Formel ermittelt werden:

b n = B 1 · qn -1 .

Zum Beispiel,

Finden Sie den siebten Term der geometrischen Folge 1, 2, 4, . . .

B 1 = 1, Q = 2,

B 7 = B 1 · Q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = B 1 · qn,

dann offensichtlich

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

Jedes Mitglied der geometrischen Folge, beginnend mit dem zweiten, ist gleich dem geometrischen Mittel (proportional) des vorhergehenden und nachfolgenden Mitglieds.

Da auch das Umgekehrte gilt, gilt folgende Aussage:

Die Zahlen a, b und c sind genau dann aufeinanderfolgende Terme einer geometrischen Folge, wenn das Quadrat einer von ihnen gleich dem Produkt der anderen beiden ist, das heißt, eine der Zahlen ist das geometrische Mittel der anderen beiden.

Zum Beispiel,

Beweisen wir die durch die Formel gegebene Folge b n= -3 2 N ist eine geometrische Folge. Verwenden wir die obige Aussage. Wir haben:

b n= -3 2 N,

b n -1 = -3 2 N -1 ,

b n +1 = -3 2 N +1 .

Somit,

b n 2 = (-3 2 N) 2 = (-3 2 N -1 ) · (-3 · 2 N +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

was die gewünschte Aussage beweist. ◄

Beachten Sie, dass N Der te Term einer geometrischen Folge kann nicht nur durch gefunden werden B 1 , sondern auch jedes frühere Mitglied b k , wofür es genügt, die Formel zu verwenden

b n = b k · qn - k.

Zum Beispiel,

Für B 5 kann aufgeschrieben werden

b 5 = b 1 · Q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · Q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

dann offensichtlich

b n 2 = b n - k· b n + k

das Quadrat jedes Termes einer geometrischen Folge, beginnend mit dem zweiten, ist gleich dem Produkt der Terme dieser Folge, die gleich weit davon entfernt sind.

Darüber hinaus gilt für jede geometrische Folge die Gleichheit:

b m· b n= b k· b l,

M+ N= k+ l.

Zum Beispiel,

im geometrischen Verlauf

1) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = B 5 · B 7 ;

2) 1024 = B 11 = B 6 · Q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = B 4 · B 8 ;

4) B 2 · B 7 = B 4 · B 5 , als

B 2 · B 7 = 2 · 64 = 128,

B 4 · B 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= B 1 + B 2 + B 3 + . . . + b n

Erste N Mitglieder einer geometrischen Folge mit Nenner Q ≠ 0 berechnet nach der Formel:

Und wann Q = 1 - nach der Formel

S n= nb 1

Beachten Sie Folgendes: Wenn Sie die Terme summieren müssen

b k, b k +1 , . . . , b n,

dann wird die Formel verwendet:

Zum Beispiel,

im geometrischen Verlauf 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Wenn ein geometrischer Verlauf gegeben ist, dann die Mengen B 1 , b n, Q, N Und S n verbunden durch zwei Formeln:

Wenn also die Werte von drei beliebigen dieser Größen angegeben sind, werden die entsprechenden Werte der anderen beiden Größen aus diesen Formeln bestimmt und zu einem System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten zusammengefasst.

Für eine geometrische Folge mit dem ersten Term B 1 und Nenner Q Folgendes geschieht Eigenschaften der Monotonie :

• Die Progression nimmt zu, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

B 1 > 0 Und Q> 1;

B 1 < 0 Und 0 < Q< 1;

• Der Verlauf nimmt ab, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

B 1 > 0 Und 0 < Q< 1;

B 1 < 0 Und Q> 1.

Wenn Q< 0 , dann ist die geometrische Folge alternierend: Ihre Terme mit ungeraden Zahlen haben das gleiche Vorzeichen wie ihr erster Term, und Terme mit geraden Zahlen haben das entgegengesetzte Vorzeichen. Es ist klar, dass ein alternierender geometrischer Verlauf nicht monoton ist.

Produkt der ersten N Mitglieder einer geometrischen Folge können mit der Formel berechnet werden:

Pn= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) N / 2 .

Zum Beispiel,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Unendlich abnehmender geometrischer Verlauf

Unendlich abnehmender geometrischer Verlauf wird als unendliche geometrische Folge bezeichnet, deren Nennermodul kleiner ist 1 , also

|Q| < 1 .

Beachten Sie, dass eine unendlich abnehmende geometrische Folge möglicherweise keine abnehmende Folge ist. Es passt zum Anlass

1 < Q< 0 .

Bei einem solchen Nenner ist die Reihenfolge alternierend. Zum Beispiel,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression Nennen Sie die Zahl, der sich die Summe der ersten unbegrenzt nähert N Mitglieder einer Progression mit unbegrenzter Erhöhung der Anzahl N . Diese Zahl ist immer endlich und wird durch die Formel ausgedrückt

Zum Beispiel,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Zusammenhang zwischen arithmetischen und geometrischen Verläufen

Arithmetische und geometrische Verläufe sind eng miteinander verbunden. Schauen wir uns nur zwei Beispiele an.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . D , Das

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Zum Beispiel,

1, 3, 5, . . . - Arithmetische Folge mit Differenz 2 Und

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geometrischer Verlauf mit Nenner 7 2 . ◄

B 1 , B 2 , B 3 , . . . - geometrischer Verlauf mit Nenner Q , Das

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - Arithmetische Folge mit Differenz log aQ .

Zum Beispiel,

2, 12, 72, . . . - geometrischer Verlauf mit Nenner 6 Und

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - Arithmetische Folge mit Differenz lg 6 . ◄