So lösen Sie gebrochene Beispiele mit ganzen Zahlen. Regeln für arithmetische Operationen mit gewöhnlichen Brüchen

) und Nenner für Nenner (wir erhalten den Nenner des Produkts).

Formel zur Multiplikation von Brüchen:

Zum Beispiel:

Bevor Sie mit der Multiplikation von Zählern und Nennern beginnen, müssen Sie prüfen, ob der Bruch reduziert werden kann. Wenn Sie den Bruch reduzieren können, können Sie weitere Berechnungen einfacher durchführen.

Einen gemeinsamen Bruch durch einen Bruch dividieren.

Division von Brüchen mit natürlichen Zahlen.

Es ist nicht so beängstigend, wie es scheint. Wie bei der Addition wandeln wir die ganze Zahl in einen Bruch mit Eins im Nenner um. Zum Beispiel:

Gemischte Brüche multiplizieren.

Regeln zum Multiplizieren von Brüchen (gemischt):

• gemischte Brüche in unechte Brüche umwandeln;
• Multiplizieren der Zähler und Nenner von Brüchen;
• Reduziere den Bruch;
• Wenn Sie einen unechten Bruch erhalten, wandeln wir den unechten Bruch in einen gemischten Bruch um.

Passt auf! Um einen gemischten Bruch mit einem anderen gemischten Bruch zu multiplizieren, müssen Sie ihn zunächst in die Form unechter Brüche umwandeln und dann gemäß der Regel zur Multiplikation gewöhnlicher Brüche multiplizieren.

Die zweite Möglichkeit, einen Bruch mit einer natürlichen Zahl zu multiplizieren.

Es kann bequemer sein, die zweite Methode zu verwenden, bei der ein gemeinsamer Bruch mit einer Zahl multipliziert wird.

Passt auf! Um einen Bruch mit einer natürlichen Zahl zu multiplizieren, müssen Sie den Nenner des Bruchs durch diese Zahl dividieren und den Zähler unverändert lassen.

Aus dem obigen Beispiel wird deutlich, dass diese Option bequemer zu verwenden ist, wenn der Nenner eines Bruchs ohne Rest durch eine natürliche Zahl dividiert wird.

Mehrstöckige Brüche.

In der Oberstufe trifft man häufig auf dreistöckige (oder mehrstöckige) Brüche. Beispiel:

Um einen solchen Bruch in seine übliche Form zu bringen, verwenden Sie die Division durch 2 Punkte:

Passt auf! Bei der Division von Brüchen ist die Reihenfolge der Division sehr wichtig. Seien Sie vorsichtig, hier kann man leicht verwirrt werden.

bitte beachten Sie Zum Beispiel:

Wenn man eins durch einen beliebigen Bruch dividiert, ist das Ergebnis derselbe Bruch, nur invertiert:

Praktische Tipps zum Multiplizieren und Dividieren von Brüchen:

1. Das Wichtigste bei der Arbeit mit gebrochenen Ausdrücken ist Genauigkeit und Aufmerksamkeit. Führen Sie alle Berechnungen sorgfältig und genau, konzentriert und klar durch. Es ist besser, ein paar zusätzliche Zeilen in Ihren Entwurf zu schreiben, als sich in gedanklichen Berechnungen zu verlieren.

2. Wechseln Sie bei Aufgaben mit verschiedenen Brucharten zu den gewöhnlichen Brüchen.

3. Wir reduzieren alle Brüche, bis eine Reduzierung nicht mehr möglich ist.

4. Wir wandeln mehrstufige Bruchausdrücke durch Division durch 2 Punkte in gewöhnliche um.

5. Teilen Sie im Kopf eine Einheit durch einen Bruch, indem Sie den Bruch einfach umdrehen.

Ich selbst war mit der Tatsache konfrontiert, dass Brüche für meine Kinder ein ziemlich schwieriges Thema waren.

Es gibt ein sehr gutes Spiel „Nikitin's Fractions“, es ist für Kinder im Vorschulalter gedacht, aber auch in der Schule hilft es dem Kind perfekt herauszufinden, was es ist – Brüche, ihre Beziehung zueinander … und das alles auf eine zugängliche, visuelle und spannende Form.

Es besteht aus zwölf mehrfarbigen Kreisen. Ein Kreis ist ganz und alle anderen sind in gleiche Teile geteilt – zwei, drei ... (bis zu zwölf).

Das Kind wird gebeten, einfache Spielaufgaben zu lösen, zum Beispiel:

Wie heißen die Teile der Kreise? oder

Welcher Teil ist größer? (Legen Sie das kleinere auf das größere.)

Diese Technik hat mir geholfen. Generell bereue ich es sehr, dass mir all diese Nikitin-Entwicklungen nicht aufgefallen sind, als die Kinder noch Babys waren.

Sie können das Spiel selbst erstellen oder ein fertiges kaufen und mehr über alles erfahren -.

Auch das Lösen von Brüchen lässt sich mit Legosteinen erklären. Es fördert nicht nur die Vorstellungskraft, sondern auch kreatives und logisches Denken und kann daher auch als Lehrmittel verwendet werden.

Alicia Zimmerman hatte die Idee, mit den Bauklötzen des berühmten Designers Kindern die Grundlagen der Mathematik zu vermitteln.

Und so erklären Sie Brüche mit Lego.





Die Praxis zeigt, dass die meisten Schwierigkeiten beim Addieren (Subtrahieren) von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern und beim Dividieren von Brüchen auftreten.

Schwierigkeiten entstehen durch schiefe Anweisungen im Lehrbuch, wie zum Beispiel die Division eines Bruchs durch einen Bruch.

Um einen Bruch durch einen Bruch zu dividieren, multiplizieren Sie den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs und den Zähler des zweiten Bruchs mit dem Nenner des ersten Bruchs.

Kann ein Kind in der 4. Klasse das verstehen und nicht verwirrt werden? NEIN!

Und der Lehrer hat es uns auf einfache Weise erklärt: Wir müssen den zweiten Bruch umdrehen und ihn dann multiplizieren!

Das Gleiche gilt für die Addition.

Um zwei Brüche zu addieren, müssen Sie den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs multiplizieren und den Zähler des zweiten Bruchs mit dem Nenner des ersten Bruchs multiplizieren, die resultierenden Zahlen addieren und sie in den Zähler schreiben. Und im Nenner müssen Sie das Produkt der Nenner der Brüche schreiben. Danach kann (oder sollte) der resultierende Bruch reduziert werden.

Und es ist einfacher: Reduzieren Sie die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner, der dem LCM der Nenner entspricht, und addieren Sie dann die Zähler.

Zeigen Sie es ihnen anhand eines klaren Beispiels. Schneiden Sie zum Beispiel einen Apfel in 4 Teile, teilen Sie ihn in 8 Teile, fügen Sie 12 Teile zu einem Ganzen hinzu, addieren Sie mehrere Teile und subtrahieren Sie ihn. Erklären Sie gleichzeitig anhand von Regeln auf Papier. Regeln für Addition und Subtraktion. Brüche dividieren und aus einem unechten Bruch ein Ganzes isolieren – all das lernen Sie beim Manipulieren mit einem Apfel. Bedrängen Sie die Kinder nicht; lassen Sie sie mit Ihrer Hilfe sorgfältig die Scheiben aussortieren.

Insbesondere Kindern das Lösen von Brüchen beizubringen, ist weit verbreitet und wird keine großen Probleme bereiten. Das Einfachste, was Sie tun können, ist, etwas Ganzes zu nehmen, zum Beispiel eine Mandarine oder eine andere Frucht, es in Teile zu teilen und anhand eines Beispiels Subtraktion, Addition und andere Operationen mit Stücken dieser Frucht zu zeigen, die Brüche daraus sind ganz. Alles muss erklärt und gezeigt werden, und am Ende wird es darum gehen, Probleme gemeinsam anhand mathematischer Beispiele zu erklären und zu lösen, bis das Kind lernt, diese Aufgaben selbst zu lösen.

Die Abbildung zeigt deutlich, was was entspricht und wie der Bruch an einem realen Objekt aussieht, genau so muss es erklärt werden.



Sie müssen dieses Problem gründlich angehen, da sich das Lösen von Brüchen im Leben als nützlich erweisen wird. In dieser Angelegenheit ist es, wie man sagt, notwendig, mit den Kindern auf Augenhöhe zu sein und die Theorie in einer Sprache zu erklären, die sie verstehen, zum Beispiel in der Sprache des Kuchens oder der Mandarine. Sie müssen den Kuchen in Stücke teilen und ihn an Freunde weitergeben. Danach beginnt das Kind, die Essenz des Lösens von Brüchen zu verstehen. Beginnen Sie nicht mit schweren Brüchen, sondern mit den Konzepten 1/2, 1/3, 1/10. Subtrahieren und addieren Sie zunächst und wenden Sie sich dann komplexeren Konzepten wie Multiplikation und Division zu.

Es gibt verschiedene Arten von Problemen mit Brüchen. Ein Kind kann nicht verstehen, dass eine Sekunde und fünf Zehntel dasselbe sind, andere sind verwirrt, wenn sie verschiedene Brüche auf denselben Nenner bringen, und wieder andere sind verwirrt, wenn sie Brüche teilen. Daher gibt es keine einheitliche Regel für alle Fälle.

Bei Problemen mit Brüchen kommt es vor allem darauf an, den Moment nicht zu verpassen, in dem das Verständliche nicht mehr so ​​ist. Kehren Sie zum Herd zurück und wiederholen Sie alles noch einmal, auch wenn es erbärmlich primitiv erscheint. Gehen Sie zum Beispiel zurück zu Was ist eine Sekunde?.

Das Kind muss verstehen, dass mathematische Konzepte abstrakt sind und dass dasselbe Phänomen mit verschiedenen Worten beschrieben und in verschiedenen Zahlen ausgedrückt werden kann.

Mir gefällt die Antwort von Mefody66. Ich möchte aus langjähriger persönlicher Praxis hinzufügen: Es ist ganz einfach, zu lehren, wie man Probleme mit Brüchen löst (und nicht, Brüche zu lösen; Brüche zu lösen, genauso wie es unmöglich ist, Zahlen zu lösen), man muss nur in der Nähe des Kindes sein Wenn es zum ersten Mal damit beginnt, solche Probleme zu lösen, korrigieren Sie seine Lösung rechtzeitig, damit Fehler, die beim Lernen unvermeidlich sind, keine Zeit haben, sich im Kopf des Kindes festzusetzen. Umlernen ist schwieriger als etwas Neues zu lernen. Und solche Probleme so weit wie möglich lösen. Es wäre eine gute Sache, die Lösung solcher Aufgaben automatisiert zu machen. Die Fähigkeit, Probleme mit gewöhnlichen Brüchen zu lösen, ist im schulischen Mathematikunterricht ebenso wichtig wie die Kenntnis der Multiplikationstabelle. Sie müssen sich also die Zeit nehmen, zu beobachten, wie Ihr Kind solche Probleme löst.

Und verlassen Sie sich nicht zu sehr auf das Lehrbuch: Lehrer in Schulen erklären genau das, was Mefody66 in seiner Antwort geschrieben hat. Es ist besser, mit dem Lehrer zu sprechen und herauszufinden, mit welchen Worten der Lehrer dieses Thema erklärt hat. Und wenn möglich die gleichen Wörter und Sätze verwenden (um das Kind nicht zu sehr zu verwirren)

Außerdem: Ich rate Ihnen, nur in der Anfangsphase der Erklärung visuelle Beispiele zu verwenden, dann schnell zu abstrahieren und mit dem Lösungsalgorithmus fortzufahren. Andernfalls kann sich die Klarheit bei der Lösung komplexerer Probleme negativ auswirken. Wenn Sie beispielsweise Brüche mit den Nennern 29 und 121 addieren müssen, welche visuelle Hilfe hilft Ihnen dann? Es wird nur verwirren.

Brüche sind eines dieser gesegneten mathematischen Themen, bei denen es keine Abstraktionen gibt, die nicht auf den Fall anwendbar sind. Es sollten Produkte verwendet werden (auf Kuchen, wie Juanita Solis in Desperate Housewives – eine wirklich coole Erklärungsmethode). Alle diese Zähler-Nenner kommen später. Dann muss das Kind verstehen, dass die Division durch einen Bruch überhaupt keine Verringerung mehr und die Multiplikation keine Erhöhung mehr ist. Hier ist es besser zu zeigen, wie man durch einen Bruch in Form einer Multiplikation durch Inversion dividiert. Präsentieren Sie die Abkürzung auf spielerische Weise; wenn Sie sie durch eine Zahl dividieren, dann dividieren Sie, es stellt sich fast heraus, dass es sich um Sudoku handelt, wenn Sie interessiert sind. Das Wichtigste ist, Missverständnisse rechtzeitig zu bemerken, denn im weiteren Verlauf wird es interessantere Themen geben, die nicht leicht zu verstehen sind. Wenn Sie also mehr Übung im Lösen von Brüchen haben, wird alles schnell besser. Für mich, den reinsten Humanisten, weit entfernt vom geringsten Grad an Abstraktion, waren Brüche immer klarer als andere Themen.

Brüche multiplizieren und dividieren.

Aufmerksamkeit!
Es gibt noch weitere
Materialien im Sonderabschnitt 555.
Für diejenigen, die sehr „nicht sehr…“ sind
Und für diejenigen, die „sehr…“)

Diese Operation ist viel schöner als Addition-Subtraktion! Weil es einfacher ist. Zur Erinnerung: Um einen Bruch mit einem Bruch zu multiplizieren, müssen Sie die Zähler (dies ist der Zähler des Ergebnisses) und die Nenner (dies ist der Nenner) multiplizieren. Das heißt:

Zum Beispiel:

Alles ist extrem einfach. Und bitte nicht nach einem gemeinsamen Nenner suchen! Hier ist er nicht nötig...

Um einen Bruch durch einen Bruch zu dividieren, müssen Sie umkehren zweite(Das ist wichtig!) Brüche und multipliziere sie, d. h.:

Zum Beispiel:

Wenn Sie auf Multiplikation oder Division mit ganzen Zahlen und Brüchen stoßen, ist das in Ordnung. Wie bei der Addition machen wir aus einer ganzen Zahl mit Eins im Nenner einen Bruch – und machen Sie weiter! Zum Beispiel:

In der Oberstufe muss man sich oft mit dreistöckigen (oder sogar vierstöckigen!) Brüchen auseinandersetzen. Zum Beispiel:

Wie kann ich diesen Bruch anständig aussehen lassen? Ja, ganz einfach! Verwenden Sie die Zweipunktdivision:

Aber vergessen Sie nicht die Reihenfolge der Teilung! Im Gegensatz zur Multiplikation ist dies hier sehr wichtig! Natürlich werden wir 4:2 oder 2:4 nicht verwechseln. Aber in einem dreistöckigen Bruchteil kann man leicht einen Fehler machen. Bitte beachten Sie zum Beispiel:

Im ersten Fall (Ausdruck links):

Im zweiten (Ausdruck rechts):

Spüren Sie den Unterschied? 4 und 1/9!

Was bestimmt die Reihenfolge der Teilung? Entweder mit Klammern, oder (wie hier) mit der Länge horizontaler Linien. Entwickeln Sie Ihr Auge. Und wenn es keine Klammern oder Bindestriche gibt, wie zum Beispiel:

dann dividieren und multiplizieren der Reihe nach von links nach rechts!

Und noch eine sehr einfache und wichtige Technik. Bei Aktionen mit Abschlüssen wird es Ihnen sehr nützlich sein! Teilen wir eins durch einen beliebigen Bruch, zum Beispiel durch 13/15:

Der Schuss ist umgekippt! Und das passiert immer. Wenn man 1 durch einen beliebigen Bruch dividiert, ist das Ergebnis derselbe Bruch, nur umgekehrt.

Das ist alles für Operationen mit Brüchen. Die Sache ist ganz einfach, aber es gibt mehr als genug Fehler. Berücksichtigen Sie praktische Ratschläge und es wird weniger (Fehler) geben!

Praktische Tipps:

1. Das Wichtigste bei der Arbeit mit gebrochenen Ausdrücken ist Genauigkeit und Aufmerksamkeit! Das sind keine allgemeinen Worte, keine guten Wünsche! Das ist eine dringende Notwendigkeit! Führen Sie alle Berechnungen zum Einheitlichen Staatsexamen als vollwertige Aufgabe, konzentriert und klar durch. Es ist besser, zwei zusätzliche Zeilen in Ihren Entwurf zu schreiben, als bei Ihren mentalen Berechnungen Fehler zu machen.

2. In Beispielen mit verschiedenen Arten von Brüchen gehen wir zu gewöhnlichen Brüchen über.

3. Wir reduzieren alle Brüche bis zum Anschlag.

4. Wir reduzieren mehrstufige Bruchausdrücke auf gewöhnliche Ausdrücke, indem wir die Division durch zwei Punkte verwenden (wir folgen der Divisionsreihenfolge!).

5. Teilen Sie im Kopf eine Einheit durch einen Bruch, indem Sie den Bruch einfach umdrehen.

Hier sind die Aufgaben, die Sie unbedingt erledigen müssen. Nach allen Aufgaben werden Antworten gegeben. Nutzen Sie die Materialien zu diesem Thema und praktische Tipps. Schätzen Sie, wie viele Beispiele Sie richtig lösen konnten. Gleich beim ersten Mal! Ohne Taschenrechner! Und ziehen Sie die richtigen Schlussfolgerungen...

Denken Sie daran – die richtige Antwort lautet ab dem zweiten (besonders dem dritten) Mal erhaltenen Informationen zählen nicht! So ist das harte Leben.

Also, im Prüfungsmodus lösen ! Das ist übrigens schon eine Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen. Wir lösen das Beispiel, überprüfen es und lösen das nächste. Wir haben alles entschieden - von Anfang bis Ende noch einmal überprüft. Und nur Dann Schauen Sie sich die Antworten an.

Berechnen:

Haben Sie sich entschieden?

Wir suchen nach Antworten, die zu Ihren passen. Ich habe sie absichtlich unordentlich aufgeschrieben, sozusagen fernab der Versuchung ... Hier sind sie, die Antworten, mit Semikolons geschrieben.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Jetzt ziehen wir Schlussfolgerungen. Wenn alles geklappt hat, freue ich mich für dich! Einfache Berechnungen mit Brüchen sind nicht Ihr Problem! Sie können ernstere Dinge tun. Wenn nicht...

Sie haben also eines von zwei Problemen. Oder beides gleichzeitig.) Mangelndes Wissen und (oder) Unaufmerksamkeit. Aber... Das lösbar Probleme.

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Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lasst uns lernen – mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Brüche mit gleichem Nenner addieren

Es gibt zwei Arten der Addition von Brüchen:

1. Brüche mit gleichem Nenner addieren
2. Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren

Lassen Sie uns zunächst die Addition von Brüchen mit gleichen Nennern lernen. Hier ist alles einfach. Um Brüche mit demselben Nenner zu addieren, müssen Sie deren Zähler addieren und den Nenner unverändert lassen. Addieren wir zum Beispiel die Brüche und . Addieren Sie die Zähler und lassen Sie den Nenner unverändert:

Dieses Beispiel lässt sich leicht verstehen, wenn wir uns an die Pizza erinnern, die in vier Teile geteilt ist. Wenn man Pizza zu Pizza hinzufügt, erhält man Pizza:

Beispiel 2. Addiere Brüche und .

Es stellte sich heraus, dass die Antwort ein unechter Bruch war. Am Ende der Aufgabe ist es üblich, unechte Brüche loszuwerden. Um einen unechten Bruch loszuwerden, müssen Sie den ganzen Teil davon auswählen. In unserem Fall lässt sich der ganze Teil leicht isolieren – zwei geteilt durch zwei ergibt eins:

Dieses Beispiel lässt sich leicht verstehen, wenn wir uns an eine Pizza erinnern, die in zwei Teile geteilt ist. Wenn man der Pizza noch mehr Pizza hinzufügt, erhält man eine ganze Pizza:

Beispiel 3. Addiere Brüche und .

Auch hier addieren wir die Zähler und lassen den Nenner unverändert:

Dieses Beispiel lässt sich leicht verstehen, wenn wir uns an die Pizza erinnern, die in drei Teile geteilt ist. Wenn man der Pizza noch mehr Pizza hinzufügt, erhält man Pizza:

Beispiel 4. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Dieses Beispiel wird genauso gelöst wie die vorherigen. Die Zähler müssen addiert und der Nenner unverändert gelassen werden:

Versuchen wir, unsere Lösung anhand einer Zeichnung darzustellen. Wenn Sie einer Pizza Pizzen hinzufügen und weitere Pizzen hinzufügen, erhalten Sie 1 ganze Pizza und weitere Pizzen.

Wie Sie sehen, ist das Addieren von Brüchen mit demselben Nenner nicht kompliziert. Es reicht aus, die folgenden Regeln zu verstehen:

1. Um Brüche mit demselben Nenner zu addieren, müssen Sie deren Zähler addieren und den Nenner unverändert lassen;

Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren

Jetzt lernen wir, wie man Brüche mit unterschiedlichen Nennern addiert. Beim Addieren von Brüchen müssen die Nenner der Brüche gleich sein. Aber sie sind nicht immer gleich.

Brüche können beispielsweise addiert werden, weil sie den gleichen Nenner haben.

Aber Brüche können nicht sofort addiert werden, da diese Brüche unterschiedliche Nenner haben. In solchen Fällen müssen Brüche auf den gleichen (gemeinsamen) Nenner reduziert werden.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, Brüche auf denselben Nenner zu reduzieren. Heute werden wir uns nur eine davon ansehen, da die anderen Methoden für einen Anfänger möglicherweise kompliziert erscheinen.

Der Kern dieser Methode besteht darin, dass zunächst die LCM der Nenner beider Brüche gesucht wird. Der LCM wird dann durch den Nenner des ersten Bruchs dividiert, um den ersten zusätzlichen Faktor zu erhalten. Das Gleiche machen sie mit dem zweiten Bruch – der LCM wird durch den Nenner des zweiten Bruchs dividiert und man erhält einen zweiten zusätzlichen Faktor.

Anschließend werden Zähler und Nenner der Brüche mit ihren zusätzlichen Faktoren multipliziert. Als Ergebnis dieser Aktionen werden Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit demselben Nenner. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche addiert.

Beispiel 1. Addieren wir die Brüche und

Zunächst ermitteln wir das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner beider Brüche. Der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 3 und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 2. Das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen ist 6

LCM (2 und 3) = 6

Kommen wir nun zurück zu den Brüchen und . Teilen Sie zunächst den LCM durch den Nenner des ersten Bruchs und erhalten Sie den ersten zusätzlichen Faktor. LCM ist die Zahl 6 und der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 3. Teilen Sie 6 durch 3, wir erhalten 2.

Die resultierende Zahl 2 ist der erste zusätzliche Multiplikator. Wir schreiben es bis zum ersten Bruch auf. Zeichnen Sie dazu eine kleine schräge Linie über den Bruch und notieren Sie den darüber liegenden zusätzlichen Faktor:

Dasselbe machen wir mit dem zweiten Bruch. Wir dividieren den LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs und erhalten den zweiten zusätzlichen Faktor. LCM ist die Zahl 6 und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 2. Teilen Sie 6 durch 2, wir erhalten 3.

Die resultierende Zahl 3 ist der zweite zusätzliche Multiplikator. Wir schreiben es bis zum zweiten Bruch auf. Wieder machen wir einen kleinen schrägen Strich über den zweiten Bruch und notieren den darüber liegenden zusätzlichen Faktor:

Jetzt haben wir alles zum Hinzufügen bereit. Es bleibt noch, die Zähler und Nenner der Brüche mit ihren zusätzlichen Faktoren zu multiplizieren:

Schauen Sie sich genau an, wozu wir gekommen sind. Wir kamen zu dem Schluss, dass Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit gleichen Nennern wurden. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche addiert. Lassen Sie uns dieses Beispiel bis zum Ende durchgehen:

Damit ist das Beispiel abgeschlossen. Es stellt sich heraus, hinzuzufügen.

Versuchen wir, unsere Lösung anhand einer Zeichnung darzustellen. Wenn man einer Pizza Pizza hinzufügt, erhält man eine ganze Pizza und ein weiteres Sechstel einer Pizza:

Auch das Zusammenführen von Brüchen auf den gleichen (gemeinsamen) Nenner kann mit einem Bild dargestellt werden. Indem wir die Brüche und auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren, erhalten wir die Brüche und . Diese beiden Brüche werden durch die gleichen Pizzastücke repräsentiert. Der einzige Unterschied besteht darin, dass sie diesmal in gleiche Anteile aufgeteilt (auf den gleichen Nenner reduziert) werden.

Die erste Zeichnung stellt einen Bruch dar (vier von sechs Teilen), und die zweite Zeichnung stellt einen Bruch dar (drei von sechs Teilen). Wenn wir diese Teile addieren, erhalten wir (sieben von sechs Teilen). Dieser Bruch ist unechten, daher haben wir den gesamten Teil hervorgehoben. Als Ergebnis bekamen wir (eine ganze Pizza und eine weitere sechste Pizza).

Bitte beachten Sie, dass wir dieses Beispiel zu ausführlich beschrieben haben. In Bildungseinrichtungen ist es nicht üblich, so ausführlich zu schreiben. Sie müssen in der Lage sein, schnell den LCM beider Nenner und zusätzlicher Faktoren zu finden und die gefundenen zusätzlichen Faktoren schnell mit Ihren Zählern und Nennern zu multiplizieren. In der Schule müssten wir dieses Beispiel wie folgt schreiben:

Aber es gibt auch eine andere Seite der Medaille. Wenn man sich in den ersten Phasen des Mathematikstudiums keine detaillierten Notizen macht, tauchen solche Fragen auf. „Woher kommt diese Zahl?“, „Warum werden aus Brüchen plötzlich ganz andere Brüche?“ «.

Um das Addieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern zu erleichtern, können Sie die folgende Schritt-für-Schritt-Anleitung verwenden:

1. Finden Sie den LCM der Nenner von Brüchen.
2. Teilen Sie den LCM durch den Nenner jedes Bruchs und erhalten Sie einen zusätzlichen Faktor für jeden Bruch.
3. Multiplizieren Sie die Zähler und Nenner von Brüchen mit ihren zusätzlichen Faktoren.
4. Addiere Brüche, die den gleichen Nenner haben;
5. Wenn sich herausstellt, dass die Antwort ein unechter Bruch ist, wählen Sie seinen ganzen Teil aus.

Beispiel 2. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks .

Nutzen wir die oben gegebenen Anweisungen.

Schritt 1. Finden Sie den LCM der Nenner der Brüche

Finden Sie den LCM der Nenner beider Brüche. Die Nenner von Brüchen sind die Zahlen 2, 3 und 4

Schritt 2. Teilen Sie den LCM durch den Nenner jedes Bruchs und erhalten Sie einen zusätzlichen Faktor für jeden Bruch

Teilen Sie den LCM durch den Nenner des ersten Bruchs. LCM ist die Zahl 12 und der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 2. Teilen Sie 12 durch 2, wir erhalten 6. Wir erhalten den ersten zusätzlichen Faktor 6. Wir schreiben ihn über den ersten Bruch:

Jetzt dividieren wir den LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs. LCM ist die Zahl 12 und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 3. Teilen Sie 12 durch 3, wir erhalten 4. Wir erhalten den zweiten zusätzlichen Faktor 4. Wir schreiben ihn über den zweiten Bruch:

Nun dividieren wir den LCM durch den Nenner des dritten Bruchs. LCM ist die Zahl 12 und der Nenner des dritten Bruchs ist die Zahl 4. Teilen Sie 12 durch 4, wir erhalten 3. Wir erhalten den dritten zusätzlichen Faktor 3. Wir schreiben ihn über den dritten Bruch:

Schritt 3. Multiplizieren Sie die Zähler und Nenner der Brüche mit ihren zusätzlichen Faktoren

Wir multiplizieren die Zähler und Nenner mit ihren zusätzlichen Faktoren:

Schritt 4. Addiere Brüche mit demselben Nenner

Wir kamen zu dem Schluss, dass Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit demselben (gemeinsamen) Nenner wurden. Jetzt müssen nur noch diese Brüche addiert werden. Addiere es:

Der Zusatz passte nicht in eine Zeile, daher haben wir den verbleibenden Ausdruck in die nächste Zeile verschoben. Das ist in der Mathematik erlaubt. Wenn ein Ausdruck nicht in eine Zeile passt, wird er in die nächste Zeile verschoben, und am Ende der ersten Zeile und am Anfang der neuen Zeile muss ein Gleichheitszeichen (=) eingefügt werden. Das Gleichheitszeichen in der zweiten Zeile zeigt an, dass es sich um eine Fortsetzung des Ausdrucks aus der ersten Zeile handelt.

Schritt 5. Wenn sich herausstellt, dass die Antwort ein unechter Bruch ist, markieren Sie den gesamten Teil davon

Es stellte sich heraus, dass unsere Antwort ein unechter Bruch war. Wir müssen einen ganzen Teil davon hervorheben. Wir heben hervor:

Wir haben eine Antwort erhalten

Brüche mit gleichem Nenner subtrahieren

Es gibt zwei Arten der Subtraktion von Brüchen:

1. Brüche mit gleichem Nenner subtrahieren
2. Brüche mit unterschiedlichen Nennern subtrahieren

Lassen Sie uns zunächst lernen, wie man Brüche mit gleichen Nennern subtrahiert. Hier ist alles einfach. Um einen anderen von einem Bruch zu subtrahieren, müssen Sie den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs subtrahieren, den Nenner jedoch gleich lassen.

Lassen Sie uns zum Beispiel den Wert des Ausdrucks ermitteln. Um dieses Beispiel zu lösen, müssen Sie den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs subtrahieren und den Nenner unverändert lassen. Machen wir Folgendes:

Dieses Beispiel lässt sich leicht verstehen, wenn wir uns an die Pizza erinnern, die in vier Teile geteilt ist. Wenn man aus einer Pizza Pizzen schneidet, erhält man Pizzen:

Beispiel 2. Finden Sie den Wert des Ausdrucks.

Subtrahieren Sie erneut vom Zähler des ersten Bruchs den Zähler des zweiten Bruchs und lassen Sie den Nenner unverändert:

Dieses Beispiel lässt sich leicht verstehen, wenn wir uns an die Pizza erinnern, die in drei Teile geteilt ist. Wenn man aus einer Pizza Pizzen schneidet, erhält man Pizzen:

Beispiel 3. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Dieses Beispiel wird genauso gelöst wie die vorherigen. Vom Zähler des ersten Bruchs müssen Sie die Zähler der übrigen Brüche subtrahieren:

Wie Sie sehen, ist das Subtrahieren von Brüchen mit demselben Nenner nichts Kompliziertes. Es reicht aus, die folgenden Regeln zu verstehen:

1. Um einen anderen von einem Bruch zu subtrahieren, müssen Sie den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs subtrahieren und den Nenner unverändert lassen;
2. Wenn sich herausstellt, dass die Antwort ein unechter Bruch ist, müssen Sie den gesamten Teil davon hervorheben.

Brüche mit unterschiedlichen Nennern subtrahieren

Sie können beispielsweise einen Bruch von einem Bruch subtrahieren, weil die Brüche den gleichen Nenner haben. Sie können jedoch keinen Bruch von einem Bruch subtrahieren, da diese Brüche unterschiedliche Nenner haben. In solchen Fällen müssen Brüche auf den gleichen (gemeinsamen) Nenner reduziert werden.

Der gemeinsame Nenner wird nach dem gleichen Prinzip ermittelt, das wir bei der Addition von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern verwendet haben. Ermitteln Sie zunächst den LCM der Nenner beider Brüche. Dann wird der LCM durch den Nenner des ersten Bruchs dividiert und man erhält den ersten zusätzlichen Faktor, der über dem ersten Bruch geschrieben wird. Ebenso wird der LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs dividiert und man erhält einen zweiten zusätzlichen Faktor, der über dem zweiten Bruch geschrieben wird.

Die Brüche werden dann mit ihren zusätzlichen Faktoren multipliziert. Als Ergebnis dieser Operationen werden Brüche mit unterschiedlichen Nennern in Brüche mit gleichen Nennern umgewandelt. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche subtrahiert.

Beispiel 1. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

Diese Brüche haben unterschiedliche Nenner, daher müssen Sie sie auf denselben (gemeinsamen) Nenner reduzieren.

Zuerst ermitteln wir die LCM der Nenner beider Brüche. Der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 3 und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 4. Das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen ist 12

LCM (3 und 4) = 12

Kommen wir nun zurück zu den Brüchen und

Suchen wir einen zusätzlichen Faktor für den ersten Bruch. Teilen Sie dazu den LCM durch den Nenner des ersten Bruchs. LCM ist die Zahl 12 und der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 3. Teilen Sie 12 durch 3, wir erhalten 4. Schreiben Sie eine Vier über den ersten Bruch:

Dasselbe machen wir mit dem zweiten Bruch. Teilen Sie den LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs. LCM ist die Zahl 12 und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 4. Teilen Sie 12 durch 4, wir erhalten 3. Schreiben Sie eine Drei über den zweiten Bruch:

Jetzt sind wir bereit für die Subtraktion. Es bleibt noch, die Brüche mit ihren zusätzlichen Faktoren zu multiplizieren:

Wir kamen zu dem Schluss, dass Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit gleichen Nennern wurden. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche subtrahiert. Lassen Sie uns dieses Beispiel bis zum Ende durchgehen:

Wir haben eine Antwort erhalten

Versuchen wir, unsere Lösung anhand einer Zeichnung darzustellen. Wenn man aus einer Pizza Pizza schneidet, erhält man Pizza

Dies ist die detaillierte Version der Lösung. Wenn wir in der Schule wären, müssten wir dieses Beispiel kürzer lösen. Eine solche Lösung würde so aussehen:

Auch das Zusammenführen von Brüchen auf einen gemeinsamen Nenner lässt sich anhand eines Bildes veranschaulichen. Wenn wir diese Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, erhalten wir die Brüche und . Diese Brüche werden durch die gleichen Pizzastücke dargestellt, dieses Mal werden sie jedoch in gleiche Anteile aufgeteilt (auf den gleichen Nenner reduziert):

Das erste Bild zeigt einen Bruch (acht von zwölf Stücken), und das zweite Bild zeigt einen Bruch (drei von zwölf Stücken). Indem wir aus acht Stücken drei Stücke schneiden, erhalten wir fünf aus zwölf Stücken. Der Bruch beschreibt diese fünf Teile.

Beispiel 2. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Diese Brüche haben unterschiedliche Nenner, daher müssen Sie sie zunächst auf denselben (gemeinsamen) Nenner reduzieren.

Lassen Sie uns den LCM der Nenner dieser Brüche ermitteln.

Die Nenner der Brüche sind die Zahlen 10, 3 und 5. Das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen ist 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Jetzt finden wir für jeden Bruch zusätzliche Faktoren. Teilen Sie dazu den LCM durch den Nenner jedes Bruchs.

Suchen wir einen zusätzlichen Faktor für den ersten Bruch. LCM ist die Zahl 30 und der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 10. Teilen Sie 30 durch 10, wir erhalten den ersten zusätzlichen Faktor 3. Wir schreiben ihn über den ersten Bruch:

Nun finden wir einen zusätzlichen Faktor für den zweiten Bruch. Teilen Sie den LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs. Das LCM ist die Zahl 30 und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 3. Teilen Sie 30 durch 3, wir erhalten den zweiten zusätzlichen Faktor 10. Wir schreiben ihn über den zweiten Bruch:

Nun finden wir einen zusätzlichen Faktor für den dritten Bruch. Teilen Sie den LCM durch den Nenner des dritten Bruchs. LCM ist die Zahl 30 und der Nenner des dritten Bruchs ist die Zahl 5. Teilen Sie 30 durch 5, wir erhalten den dritten zusätzlichen Faktor 6. Wir schreiben ihn über den dritten Bruch:

Jetzt ist alles zur Subtraktion bereit. Es bleibt noch, die Brüche mit ihren zusätzlichen Faktoren zu multiplizieren:

Wir kamen zu dem Schluss, dass Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit demselben (gemeinsamen) Nenner wurden. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche subtrahiert. Lassen Sie uns dieses Beispiel beenden.

Die Fortsetzung des Beispiels passt nicht in eine Zeile, daher verschieben wir die Fortsetzung in die nächste Zeile. Vergessen Sie nicht das Gleichheitszeichen (=) in der neuen Zeile:

Es stellte sich heraus, dass die Antwort ein regulärer Bruch war, und alles scheint zu uns zu passen, aber es ist zu umständlich und hässlich. Wir sollten es einfacher machen. Was kann getan werden? Sie können diesen Bruch kürzen.

Um einen Bruch zu kürzen, müssen Sie seinen Zähler und Nenner durch (GCD) der Zahlen 20 und 30 dividieren.

Also finden wir den gcd der Zahlen 20 und 30:

Nun kehren wir zu unserem Beispiel zurück und dividieren Zähler und Nenner des Bruchs durch den gefundenen gcd, also durch 10

Wir haben eine Antwort erhalten

Einen Bruch mit einer Zahl multiplizieren

Um einen Bruch mit einer Zahl zu multiplizieren, müssen Sie den Zähler des Bruchs mit dieser Zahl multiplizieren und den Nenner gleich lassen.

Beispiel 1. Multiplizieren Sie einen Bruch mit der Zahl 1.

Multiplizieren Sie den Zähler des Bruchs mit der Zahl 1

Die Aufnahme kann als Halbzeitaufnahme verstanden werden. Wer zum Beispiel einmal Pizza isst, bekommt Pizza

Aus den Gesetzen der Multiplikation wissen wir, dass sich das Produkt nicht ändert, wenn der Multiplikand und der Faktor vertauscht werden. Wenn der Ausdruck als geschrieben wird, ist das Produkt immer noch gleich. Auch hier gilt die Regel zum Multiplizieren einer ganzen Zahl und eines Bruchs:

Diese Notation kann so verstanden werden, dass sie die Hälfte von eins nimmt. Wenn es zum Beispiel eine ganze Pizza gibt und wir die Hälfte davon nehmen, dann haben wir Pizza:

Beispiel 2. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Multiplizieren Sie den Zähler des Bruchs mit 4

Die Antwort war ein unechter Bruch. Lassen Sie uns den gesamten Teil davon hervorheben:

Der Ausdruck kann so verstanden werden, dass er zwei Viertel viermal einnimmt. Wenn Sie beispielsweise 4 Pizzen nehmen, erhalten Sie zwei ganze Pizzen

Und wenn wir den Multiplikanden und den Multiplikator vertauschen, erhalten wir den Ausdruck. Es wird auch gleich 2 sein. Dieser Ausdruck kann so verstanden werden, dass man aus vier ganzen Pizzen zwei Pizzen nimmt:

Brüche multiplizieren

Um Brüche zu multiplizieren, müssen Sie deren Zähler und Nenner multiplizieren. Wenn sich herausstellt, dass die Antwort ein unechter Bruch ist, müssen Sie den ganzen Teil davon hervorheben.

Beispiel 1. Finden Sie den Wert des Ausdrucks.

Wir haben eine Antwort erhalten. Es empfiehlt sich, diesen Anteil zu reduzieren. Der Bruch kann um 2 reduziert werden. Dann wird die endgültige Lösung die folgende Form annehmen:

Der Ausdruck kann so verstanden werden, dass man aus einer halben Pizza eine Pizza nimmt. Nehmen wir an, wir haben eine halbe Pizza:

Wie nimmt man aus dieser Hälfte zwei Drittel? Zuerst müssen Sie diese Hälfte in drei gleiche Teile teilen:

Und nimm zwei von diesen drei Teilen:

Wir machen Pizza. Denken Sie daran, wie Pizza aussieht, wenn sie in drei Teile geteilt wird:

Ein Stück dieser Pizza und die beiden Stücke, die wir genommen haben, werden die gleichen Abmessungen haben:

Mit anderen Worten, es handelt sich um eine Pizza gleicher Größe. Daher ist der Wert des Ausdrucks

Beispiel 2. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Multiplizieren Sie den Zähler des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten Bruchs und den Nenner des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs:

Die Antwort war ein unechter Bruch. Lassen Sie uns den gesamten Teil davon hervorheben:

Beispiel 3. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Multiplizieren Sie den Zähler des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten Bruchs und den Nenner des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs:

Es stellte sich heraus, dass die Antwort ein regulärer Bruch war, aber es wäre gut, wenn er gekürzt würde. Um diesen Bruch zu reduzieren, müssen Sie Zähler und Nenner dieses Bruchs durch den größten gemeinsamen Teiler (GCD) der Zahlen 105 und 450 dividieren.

Lassen Sie uns also den gcd der Zahlen 105 und 450 ermitteln:

Nun dividieren wir Zähler und Nenner unserer Antwort durch den ggT, ​​den wir nun gefunden haben, also durch 15

Darstellung einer ganzen Zahl als Bruch

Jede ganze Zahl kann als Bruch dargestellt werden. Beispielsweise kann die Zahl 5 als dargestellt werden. An der Bedeutung von fünf ändert sich dadurch nichts, da der Ausdruck „die Zahl fünf geteilt durch eins“ bedeutet und dies, wie wir wissen, gleich fünf ist:

Reziproke Zahlen

Jetzt lernen wir ein sehr interessantes Thema der Mathematik kennen. Es heißt „umgekehrte Zahlen“.

Definition. Umgekehrt zur NummerA ist eine Zahl, die multipliziert mitA gibt einen.

Ersetzen wir in dieser Definition die Variable A Nummer 5 und versuchen Sie, die Definition zu lesen:

Umgekehrt zur Nummer 5 ist eine Zahl, die multipliziert mit 5 gibt einen.

Ist es möglich, eine Zahl zu finden, die, wenn man sie mit 5 multipliziert, eins ergibt? Es stellt sich heraus, dass es möglich ist. Stellen wir uns fünf als Bruch vor:

Dann multiplizieren Sie diesen Bruch mit sich selbst, indem Sie einfach Zähler und Nenner vertauschen. Mit anderen Worten, multiplizieren wir den Bruch mit sich selbst, nur umgekehrt:

Was wird dadurch passieren? Wenn wir dieses Beispiel weiter lösen, erhalten wir eines:

Das bedeutet, dass die Umkehrung der Zahl 5 die Zahl ist, denn wenn man 5 mit multipliziert, erhält man eins.

Der Kehrwert einer Zahl kann auch für jede andere ganze Zahl ermittelt werden.

Sie können auch den Kehrwert jedes anderen Bruchs ermitteln. Drehen Sie es dazu einfach um.

Einen Bruch durch eine Zahl dividieren

Nehmen wir an, wir haben eine halbe Pizza:

Teilen wir es gleichmäßig auf zwei auf. Wie viel Pizza bekommt jede Person?

Es ist zu erkennen, dass nach dem Teilen der Pizza in zwei Hälften zwei gleiche Stücke entstanden, von denen jedes eine Pizza darstellt. So bekommt jeder eine Pizza.

Die Division von Brüchen erfolgt durch Kehrwerte. Mit reziproken Zahlen können Sie die Division durch Multiplikation ersetzen.

Um einen Bruch durch eine Zahl zu dividieren, müssen Sie den Bruch mit dem Kehrwert des Divisors multiplizieren.

Mit dieser Regel schreiben wir die Aufteilung unserer Pizzahälfte in zwei Teile auf.

Sie müssen also den Bruch durch die Zahl 2 dividieren. Hier ist der Dividend der Bruch und der Divisor die Zahl 2.

Um einen Bruch durch die Zahl 2 zu dividieren, müssen Sie diesen Bruch mit dem Kehrwert des Divisors 2 multiplizieren. Der Kehrwert des Divisors 2 ist der Bruch. Sie müssen also mit multiplizieren

Fraktion– eine Zahl, die aus einer ganzen Zahl von Bruchteilen einer Einheit besteht und in der Form a/b dargestellt wird

Zähler des Bruchs (a)- die Zahl über der Bruchlinie, die die Anzahl der Anteile angibt, in die die Einheit aufgeteilt wurde.

Bruchnenner (b)- eine Zahl, die sich unter der Bruchlinie befindet und angibt, in wie viele Teile die Einheit unterteilt ist.

2. Brüche auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren

3. Arithmetische Operationen mit gewöhnlichen Brüchen

3.1. Addition gewöhnlicher Brüche

3.2. Brüche subtrahieren

3.3. Gemeinsame Brüche multiplizieren

3.4. Brüche dividieren

4. Reziproke Zahlen

5. Dezimalstellen

6. Arithmetische Operationen mit Dezimalzahlen

6.1. Dezimalzahlen hinzufügen

6.2. Dezimalzahlen subtrahieren

6.3. Dezimalzahlen multiplizieren

6.4. Dezimaldivision

#1. Die Haupteigenschaft eines Bruchs

Wenn Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl, die ungleich Null ist, multipliziert oder dividiert werden, erhält man einen Bruch, der der angegebenen Eins entspricht.

3/7=3*3/7*3=9/21, also 3/7=9/21

a/b=a*m/b*m – so sieht die Haupteigenschaft eines Bruchs aus.

Mit anderen Worten: Wir erhalten einen Bruch, der dem gegebenen Bruch gleich ist, indem wir Zähler und Nenner des ursprünglichen Bruchs mit derselben natürlichen Zahl multiplizieren oder dividieren.

Wenn ad=bc, dann zwei Brüche a/b =c /d gelten als gleich.

Beispielsweise sind die Brüche 3/5 und 9/15 gleich, da 3*15=5*9, also 45=45

Einen Bruch kürzen ist der Vorgang des Ersetzens eines Bruchs, bei dem der neue Bruch gleich dem ursprünglichen ist, jedoch einen kleineren Zähler und Nenner aufweist.

Es ist üblich, Brüche basierend auf der Grundeigenschaft des Bruchs zu kürzen.

Zum Beispiel, 45/60=15/ ​ ​20 =9/12=3/4 ​ ​ ​ (Zähler und Nenner werden durch die Zahl 3, durch 5 und durch 15 geteilt).

Irreduzibler Bruch ist ein Bruchteil der Form 3/4 ​ ​ , wobei Zähler und Nenner gegenseitig Primzahlen sind. Der Hauptzweck der Reduktion eines Bruchs besteht darin, den Bruch irreduzibel zu machen.

2. Brüche auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren

Um zwei Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, müssen Sie:

1) Zerlegen Sie den Nenner jedes Bruchs in Primfaktoren.

2) Multiplizieren Sie Zähler und Nenner des ersten Bruchs mit den fehlenden

Faktoren aus der Erweiterung des zweiten Nenners;

3) Multiplizieren Sie Zähler und Nenner des zweiten Bruchs mit den fehlenden Faktoren aus der ersten Erweiterung.

Beispiele: Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen.

Zerlegen wir die Nenner in einfache Faktoren: 18=3∙3∙2, 15=3∙5

Multiplizieren Sie Zähler und Nenner des Bruchs mit dem fehlenden Faktor 5 aus der zweiten Erweiterung.

Zähler und Nenner des Bruchs in die fehlenden Faktoren 3 und 2 aus der ersten Erweiterung.

= , 90 – gemeinsamer Nenner von Brüchen.

3. Arithmetische Operationen an gewöhnlichen Brüchen

3.1. Addition gewöhnlicher Brüche

a) Wenn die Nenner gleich sind, wird der Zähler des ersten Bruchs zum Zähler des zweiten Bruchs addiert, sodass der Nenner gleich bleibt. Wie Sie im Beispiel sehen können:

a/b+c/b=(a+c)/b ​ ​ ;

b) Für unterschiedliche Nenner werden Brüche zunächst auf einen gemeinsamen Nenner reduziert und anschließend die Zähler nach Regel a) addiert:

7/3+1/4=7*4/12+1*3/12=(28+3)/12=31/12

3.2. Brüche subtrahieren

a) Wenn die Nenner gleich sind, subtrahieren Sie den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs und lassen Sie den Nenner gleich:

a/b-c/b=(a-c)/b ​ ​ ;

b) Sind die Nenner der Brüche unterschiedlich, werden zunächst die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht und dann die Aktionen wie in Punkt a) wiederholt.

3.3. Gemeinsame Brüche multiplizieren

Beim Multiplizieren von Brüchen gilt folgende Regel:

a/b*c/d=a*c/b*d,

das heißt, sie multiplizieren Zähler und Nenner getrennt.

Zum Beispiel:

3/5*4/8=3*4/5*8=12/40.

3.4. Brüche dividieren

Brüche werden wie folgt geteilt:

a/b:c/d=a*d/b*c,

das heißt, der Bruch a/b wird mit dem Umkehrbruch des gegebenen Bruchs multipliziert, also mit d/c multipliziert.

Beispiel: 7/2:1/8=7/2*8/1=56/2=28

4. Reziproke Zahlen

Wenn a*b=1, dann ist die Zahl b reziproke Zahl für die Zahl a.

Beispiel: Für die Zahl 9 ist der Kehrwert 1/9 ​ ​ , seit 9*1/9 = 1 , für die Zahl 5 - die Umkehrzahl 1/5 ​ ​ , Weil 5* ​ 1/5 ​ ​ = 1 .

5. Dezimalzahlen

Dezimal ist ein echter Bruch, dessen Nenner gleich ist 10, 1000, 10 000, …, 10^n 1 0 , 1 0 0 0 , 1 0 0 0 0 , . . . , 1 0 ​ N​ ​ .

Zum Beispiel: 6/10 =0,6; 44/1000=0,044 ​ .

Falsche mit Nenner werden auf die gleiche Weise geschrieben 10^n oder gemischte Zahlen.

Beispiel: 51/10= 5,1; 763/100=7,63

Jeder gewöhnliche Bruch, dessen Nenner ein Teiler einer bestimmten Zehnerpotenz ist, wird als Dezimalbruch dargestellt.

ein Wechsler, der ein Teiler einer bestimmten Potenz der Zahl 10 ist.

Beispiel: 5 ist ein Teiler von 100, also ein Bruch 1/5=1 *20/5*20=20/100=0,2 ​ 0 = 0 , 2 .

6. Arithmetische Operationen mit Dezimalzahlen

6.1. Dezimalzahlen hinzufügen

Um zwei Dezimalbrüche zu addieren, müssen Sie sie so anordnen, dass identische Ziffern untereinander und ein Komma unter dem Komma stehen, und dann die Brüche wie gewöhnliche Zahlen addieren.

6.2. Dezimalzahlen subtrahieren

Die Durchführung erfolgt auf die gleiche Weise wie die Addition.

6.3. Dezimalzahlen multiplizieren

Bei der Multiplikation von Dezimalzahlen reicht es aus, die gegebenen Zahlen zu multiplizieren, ohne auf Kommas zu achten (wie bei natürlichen Zahlen), und in der resultierenden Antwort trennt ein Komma auf der rechten Seite so viele Ziffern, wie es in beiden Faktoren nach dem Komma gibt in Summe.

Multiplizieren wir 2,7 mit 1,3. Wir haben 27\cdot 13=351 2 7 ⋅ 1 3 = 3 5 1 . Zwei Ziffern auf der rechten Seite trennen wir durch ein Komma (die erste und die zweite Zahl haben eine Nachkommastelle; 1+1=2 1 + 1 = 2 ). Als Ergebnis bekommen wir 2,7\cdot 1,3=3,51 2 , 7 ⋅ 1 , 3 = 3 , 5 1 .

Wenn das resultierende Ergebnis weniger Ziffern enthält, als durch ein Komma getrennt werden müssen, werden die fehlenden Nullen vorangestellt, zum Beispiel:

Um mit 10, 100, 1000 zu multiplizieren, müssen Sie den Dezimalpunkt um 1, 2, 3 Stellen nach rechts verschieben (ggf. werden nach rechts eine bestimmte Anzahl Nullen zugewiesen).

Zum Beispiel: 1,47\cdot 10.000 = 14.700 1 , 4 7 ⋅ 1 0 0 0 0 = 1 4 7 0 0 .

6.4. Dezimaldivision

Die Division eines Dezimalbruchs durch eine natürliche Zahl erfolgt auf die gleiche Weise wie die Division einer natürlichen Zahl durch eine natürliche Zahl. Das Komma im Quotienten wird gesetzt, nachdem die Division des ganzen Teils abgeschlossen ist.

Wenn der ganzzahlige Teil des Dividenden kleiner als der Divisor ist, lautet die Antwort null ganze Zahlen, zum Beispiel:

Schauen wir uns die Division einer Dezimalzahl durch eine Dezimalzahl an. Nehmen wir an, wir müssen 2,576 durch 1,12 teilen. Zunächst einmal multiplizieren wir den Dividenden und den Divisor des Bruchs mit 100, d , zwei). Dann müssen Sie den Bruch 257,6 durch die natürliche Zahl 112 dividieren, d. h. das Problem reduziert sich auf den bereits betrachteten Fall:

Es kommt vor, dass man den letzten Dezimalbruch nicht immer erhält, wenn man eine Zahl durch eine andere dividiert. Das Ergebnis ist ein unendlicher Dezimalbruch. In solchen Fällen gehen wir zu gewöhnlichen Brüchen über.

Beispiel: 2,8: 0,09= 28/10: 9/100= 28*100/10*9=2800/90=280/9= ​ 31 1/9 ​ ​ .