Mathematikbedarf. Mathematische Zeichen

Balagin Victor

Mit der Entdeckung mathematischer Regeln und Theoreme entwickelten Wissenschaftler neue mathematische Notationen und Zeichen. Mathematische Zeichen sind Symbole zur Aufzeichnung mathematischer Konzepte, Sätze und Berechnungen. In der Mathematik werden spezielle Symbole verwendet, um die Notation zu verkürzen und die Aussage genauer auszudrücken. Neben Zahlen und Buchstaben verschiedener Alphabete (Latein, Griechisch, Hebräisch) verwendet die mathematische Sprache viele spezielle Symbole, die in den letzten Jahrhunderten erfunden wurden.

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MATHEMATISCHE SYMBOLE.

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Schüler der 7. Klasse

GBOU-Sekundarschule Nr. 574

Balagin Victor

Studienjahr 2012-2013

MATHEMATISCHE SYMBOLE.

1. Einführung

Das Wort Mathematik stammt aus dem Altgriechischen, wo μάθημα „lernen“, „Wissen erwerben“ bedeutete. Und wer sagt: „Ich brauche keine Mathematik, ich werde kein Mathematiker“, liegt falsch.“ Jeder braucht Mathematik. Es enthüllt die wunderbare Welt der Zahlen, die uns umgibt, lehrt uns, klarer und konsequenter zu denken, entwickelt Denkvermögen, Aufmerksamkeit und fördert Ausdauer und Willen. M.V. Lomonosov sagte: „Mathematik bringt den Geist in Ordnung.“ Kurz gesagt, die Mathematik lehrt uns, zu lernen, Wissen zu erwerben.

Mathematik ist die erste Wissenschaft, die der Mensch beherrschen konnte. Die älteste Aktivität war das Zählen. Einige primitive Stämme zählten die Anzahl der Gegenstände mit ihren Fingern und Zehen. Ein bis heute erhaltenes Felsgemälde aus der Steinzeit zeigt die Zahl 35 in Form von 35 hintereinander gezogenen Stöcken. Wir können sagen, dass 1 Stock das erste mathematische Symbol ist.

Die mathematische „Schrift“, die wir heute verwenden – von der Bezeichnung von Unbekannten mit den Buchstaben x, y, z bis zum Integralzeichen – entwickelte sich schrittweise. Die Entwicklung der Symbolik vereinfachte die Arbeit mit mathematischen Operationen und trug zur Entwicklung der Mathematik selbst bei.

Vom altgriechischen „Symbol“ (griech. symbolon - Zeichen, Omen, Passwort, Emblem) - ein Zeichen, das mit der von ihm bezeichneten Objektivität so verbunden ist, dass die Bedeutung des Zeichens und seines Gegenstandes nur durch das Zeichen selbst dargestellt und erst durch seine Interpretation offenbart wird.

Mit der Entdeckung mathematischer Regeln und Theoreme entwickelten Wissenschaftler neue mathematische Notationen und Zeichen. Mathematische Zeichen sind Symbole zur Aufzeichnung mathematischer Konzepte, Sätze und Berechnungen. In der Mathematik werden spezielle Symbole verwendet, um die Notation zu verkürzen und die Aussage genauer auszudrücken. Neben Zahlen und Buchstaben verschiedener Alphabete (Latein, Griechisch, Hebräisch) verwendet die mathematische Sprache viele spezielle Symbole, die in den letzten Jahrhunderten erfunden wurden.

2. Additions- und Subtraktionszeichen

Die Geschichte der mathematischen Notation beginnt im Paläolithikum. Aus dieser Zeit stammen Steine ​​und Knochen mit Zählkerben. Das bekannteste Beispiel istIshango-Knochen. Der berühmte Knochen aus Ishango (Kongo) aus der Zeit um etwa 20.000 Jahre v. Chr. beweist, dass der Mensch schon damals recht komplexe mathematische Operationen durchführte. Die Einkerbungen auf den Knochen dienten der Addition und wurden in Gruppen angebracht, was die Addition von Zahlen symbolisierte.

Das alte Ägypten verfügte bereits über ein viel fortschrittlicheres Notationssystem. Zum Beispiel inAhmes-PapyrusDas Additionssymbol verwendet ein Bild von zwei Beinen, die vorwärts über den Text laufen, und das Subtraktionssymbol verwendet zwei Beine, die rückwärts laufen.Die alten Griechen gaben die Addition durch Nebeneinanderschreiben an, verwendeten aber gelegentlich das Schrägstrichsymbol „/“ und eine halbelliptische Kurve zur Subtraktion.

Die Symbole für die Rechenoperationen Addition (plus „+“) und Subtraktion (minus „-“) sind so verbreitet, dass wir fast nie darüber nachdenken, dass sie nicht immer existierten. Der Ursprung dieser Symbole ist unklar. Eine Version besagt, dass sie früher im Handel als Zeichen für Gewinn und Verlust verwendet wurden.

Es wird auch angenommen, dass unser Zeichenkommt von einer Form des Wortes „et“, das im Lateinischen „und“ bedeutet. Ausdruck a+b es wurde in lateinischer Sprache so geschrieben: a et b . Allmählich, aufgrund der häufigen Nutzung, vom Zeichen „ et „bleibt nur“ T ", was sich im Laufe der Zeit in"+ ". Die erste Person, die das Schild möglicherweise benutzt hatals Abkürzung für et, war Mitte des 14. Jahrhunderts die Astronomin Nicole d'Oresme (Autorin von „Das Buch vom Himmel und der Welt“).

Ende des fünfzehnten Jahrhunderts verwendeten der französische Mathematiker Chiquet (1484) und der Italiener Pacioli (1494) „'' oder " „(bedeutet „Plus“) für Addition und „'' oder " '' (bedeutet „Minus“) für die Subtraktion.

Die Subtraktionsschreibweise war verwirrender, da anstelle eines einfachen „In deutschen, schweizerischen und niederländischen Büchern wurde manchmal das Symbol „÷“ verwendet, das wir heute zur Bezeichnung der Teilung verwenden. Mehrere Bücher des 17. Jahrhunderts (wie Descartes und Mersenne) verwenden zwei Punkte „∙ ∙“ oder drei Punkte „∙ ∙ ∙“, um die Subtraktion anzuzeigen.

Erste Verwendung des modernen algebraischen Symbols „„bezieht sich auf ein deutsches Algebra-Manuskript aus dem Jahr 1481, das in der Dresdner Bibliothek gefunden wurde. In einer lateinischen Handschrift aus der gleichen Zeit (ebenfalls aus der Dresdner Bibliothek) finden sich beide Schriftzeichen: „" Und " - " . Systematische Verwendung von Zeichen“„ und „ - „ für Addition und Subtraktion finden sich inJohann Widmann. Der deutsche Mathematiker Johann Widmann (1462-1498) war der erste, der in seinen Vorlesungen beide Zeichen verwendete, um die An- und Abwesenheit von Studenten zu kennzeichnen. Es gibt zwar Informationen, dass er diese Zeichen von einem wenig bekannten Professor der Universität Leipzig „geliehen“ hat. 1489 veröffentlichte er in Leipzig das erste gedruckte Buch (Mercantile Arithmetic – „Handelsarithmetik“), in dem beide Zeichen vorhanden waren Und , im Werk „Eine schnelle und angenehme Rechnung für alle Kaufleute“ (um 1490)

Als historische Kuriosität ist es erwähnenswert, dass dies auch nach der Einführung des Zeichens der Fall warNicht jeder benutzte dieses Symbol. Widmann selbst führte es als griechisches Kreuz ein(das Zeichen, das wir heute verwenden), bei dem der horizontale Strich manchmal etwas länger ist als der vertikale. Einige Mathematiker wie Record, Harriot und Descartes verwendeten dasselbe Zeichen. Andere (wie Hume, Huygens und Fermat) verwendeten das lateinische Kreuz „†“, manchmal horizontal positioniert, mit einer Querstange am einen oder anderen Ende. Schließlich verwendeten einige (wie Halley) einen dekorativeren Look. ».

3.Gleichheitszeichen

Das Gleichheitszeichen wird in der Mathematik und anderen exakten Wissenschaften zwischen zwei Ausdrücken gleicher Größe geschrieben. Diophantus war der erste, der das Gleichheitszeichen verwendete. Gleichheit bezeichnete er mit dem Buchstaben i (vom griechischen isos – gleich). INAntike und mittelalterliche MathematikGleichheit wurde verbal angezeigt, zum Beispiel est egale, oder sie verwendeten die Abkürzung „ae“ vom lateinischen aequalis – „gleich“. Auch andere Sprachen verwendeten die Anfangsbuchstaben des Wortes „gleich“, was jedoch nicht allgemein akzeptiert wurde. Das Gleichheitszeichen „=" wurde 1557 von einem walisischen Arzt und Mathematiker eingeführtRobert Record(Recorde R., 1510-1558). In einigen Fällen war das mathematische Symbol zur Bezeichnung von Gleichheit das Symbol II. Record führte das Symbol „=“ mit zwei gleichen horizontalen parallelen Linien ein, viel länger als die heute verwendeten. Der englische Mathematiker Robert Record verwendete als erster das Gleichheitssymbol und argumentierte mit den Worten: „Keine zwei Objekte können einander gleicher sein als zwei parallele Segmente.“ Aber immer noch drinXVII JahrhundertRené Descartesverwendete die Abkürzung „ae“.Francois VietDas Gleichheitszeichen bezeichnete die Subtraktion. Eine Zeit lang wurde die Verbreitung des Record-Symbols durch die Tatsache behindert, dass dasselbe Symbol verwendet wurde, um die Parallelität gerader Linien anzuzeigen; Letztendlich wurde beschlossen, das Parallelitätssymbol vertikal zu gestalten. Verbreitung fand das Zeichen erst nach dem Wirken von Leibniz an der Wende vom 17. zum 18. Jahrhundert, also mehr als 100 Jahre nach dem Tod desjenigen, der es erstmals zu diesem Zweck verwendete.Robert Record. Auf seinem Grabstein stehen keine Worte – nur ein eingemeißeltes Gleichheitszeichen.

Die verwandten Symbole zur Bezeichnung der ungefähren Gleichheit „≈“ und der Identität „≡“ sind sehr jung – das erste wurde 1885 von Günther eingeführt, das zweite 1857Riemann

4. Multiplikations- und Divisionszeichen

Das Multiplikationszeichen in Form eines Kreuzes („x“) wurde von einem anglikanischen Priester-Mathematiker eingeführtWilliam Oughtred V 1631. Vor ihm wurde der Buchstabe M als Multiplikationszeichen verwendet, obwohl auch andere Schreibweisen vorgeschlagen wurden: das Rechtecksymbol (Erigon, ), Sternchen ( Johann Rahn, ).

Später Leibnizersetzte das Kreuz durch einen Punkt (Ende).17. Jahrhundert), um es nicht mit dem Buchstaben zu verwechseln X ; Vor ihm gab es eine solche SymbolikRegiomontana (15. Jahrhundert) und englischer WissenschaftlerThomas Herriot (1560-1621).

Um die Aktion der Teilung anzuzeigenBearbeitenbevorzugter Schrägstrich. Der Doppelpunkt begann die Teilung zu bezeichnenLeibniz. Vor ihnen wurde auch oft der Buchstabe D verwendetFibonacci, wird auch der Bruchstrich verwendet, der in arabischen Schriften verwendet wurde. Aufteilung im Formular Obelus („÷“) eingeführt von einem Schweizer MathematikerJohann Rahn(um 1660)

5. Prozentzeichen.

Ein Hundertstel eines Ganzen, als Einheit betrachtet. Das Wort „Prozent“ selbst kommt vom lateinischen „pro centum“, was „pro Hundert“ bedeutet. 1685 erschien in Paris das Buch „Manual of Commercial Arithmetic“ von Mathieu de la Porte (1685). An einer Stelle sprach man von Prozentsätzen, die damals als „cto“ (kurz für Cento) bezeichnet wurden. Der Schriftsetzer verwechselte dieses „cto“ jedoch mit einem Bruch und druckte „%“. Aufgrund eines Tippfehlers kam dieses Schild zum Einsatz.

6. Unendlichkeitszeichen

Das aktuelle Unendlichkeitssymbol „∞“ kam zum EinsatzJohn Wallis im Jahr 1655. John Wallisveröffentlichte eine große Abhandlung „Arithmetik des Unendlichen“ (lat.Arithmetica Infinitorum sive Nova Methodus Inquirendi in Curvilineorum Quadraturam, alias Difficiliora Matheseos Problemata), wo er das von ihm erfundene Symbol eingabUnendlichkeit. Es ist immer noch nicht bekannt, warum er dieses besondere Zeichen gewählt hat. Eine der maßgeblichsten Hypothesen verbindet den Ursprung dieses Symbols mit dem lateinischen Buchstaben „M“, mit dem die Römer die Zahl 1000 darstellten.Etwa vierzig Jahre später erhielt das Unendlichkeitssymbol vom Mathematiker Bernoulli den Namen „Lemniscus“ (lateinisches Band).

Eine andere Version besagt, dass die Acht die Haupteigenschaft des Konzepts der „Unendlichkeit“ vermittelt: Bewegung endlos . Entlang der Zahl 8 kann man sich endlos fortbewegen, wie auf einem Fahrradweg. Um das eingegebene Zeichen nicht mit der Zahl 8 zu verwechseln, beschlossen die Mathematiker, es horizontal zu platzieren. Passiert. Diese Notation ist zum Standard für die gesamte Mathematik geworden, nicht nur für die Algebra. Warum wird Unendlichkeit nicht durch Null dargestellt? Die Antwort liegt auf der Hand: Egal wie man die Zahl 0 dreht, sie wird sich nicht ändern. Daher fiel die Wahl auf 8.

Eine andere Möglichkeit ist eine Schlange, die ihren eigenen Schwanz verschlingt, was anderthalb Jahrtausende v. Chr. in Ägypten verschiedene Prozesse symbolisierte, die weder Anfang noch Ende hatten.

Viele glauben, dass das Möbiusband der Vorläufer des Symbols istUnendlichkeit, weil das Unendlichkeitssymbol nach der Erfindung des Mobius-Streifengeräts (benannt nach dem Mathematiker Mobius aus dem 19. Jahrhundert) patentiert wurde. Ein Möbiusstreifen ist ein Papierstreifen, der gebogen und an seinen Enden verbunden ist und so zwei Raumflächen bildet. Den verfügbaren historischen Informationen zufolge wurde das Unendlichkeitssymbol jedoch bereits zwei Jahrhunderte vor der Entdeckung des Möbiusstreifens zur Darstellung der Unendlichkeit verwendet

7. Zeichen Winkel ein und aufrecht sti

Symbole " Ecke" Und " aufrecht„erfunden in 1634Französischer MathematikerPierre Erigon. Sein Rechtwinkligkeitssymbol war invertiert und ähnelte dem Buchstaben T. Das Winkelsymbol ähnelte einem Symbol, gab ihm eine moderne FormWilliam Oughtred ().

8. Unterschreiben Parallelität Und

Symbol „ Parallelität» seit der Antike bekannt, es wurde verwendetReiher Und Pappos von Alexandria. Anfangs ähnelte das Symbol dem aktuellen Gleichheitszeichen, aber mit der Einführung des letzteren wurde das Symbol, um Verwirrung zu vermeiden, vertikal gedreht (Bearbeiten(1677), Kersey (John Kersey ) und andere Mathematiker des 17. Jahrhunderts)

9. Pi

Als erstes wurde die allgemein anerkannte Bezeichnung einer Zahl gebildet, die dem Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser entspricht (3,1415926535...).William Jones V 1706, wobei der erste Buchstabe der griechischen Wörter περιφέρεια genommen wird -Kreis und περίμετρος - Umfang, also der Umfang. Mir gefiel diese Abkürzung.Euler, dessen Werke die Bezeichnung fest etablierten.

10. Sinus und Cosinus

Interessant ist das Aussehen von Sinus und Cosinus.

Sinus aus dem Lateinischen – Sinus, Hohlraum. Doch dieser Name hat eine lange Geschichte. Indische Mathematiker machten um das 5. Jahrhundert große Fortschritte in der Trigonometrie. Das Wort „Trigonometrie“ selbst existierte nicht; es wurde 1770 von Georg Klügel eingeführt. Der Kürze halber nannten sie es einfach Jiya (Schnur). Als die Araber die Werke der Hindus aus dem Sanskrit übersetzten, übersetzten sie nicht die „Zeichenfolge“ ins Arabische, sondern transkribierten das Wort einfach in arabische Buchstaben. Das Ergebnis war ein Jiba. Da aber in der arabischen Silbenschrift keine kurzen Vokale angegeben werden, bleibt in Wirklichkeit j-b übrig, was einem anderen arabischen Wort ähnelt – jaib (hohl, Busen). Als Gerard von Cremona im 12. Jahrhundert die Araber ins Lateinische übersetzte, übersetzte er das Wort als Sinus, was im Lateinischen auch Sinus, Depression, bedeutet.

Der Kosinus erschien automatisch, weil Die Hindus nannten es Koti-Jiya, kurz Ko-Jiya. Koti ist im Sanskrit das gebogene Ende eines Bogens.Moderne Kurzschriftnotationen und vorgestellt William Oughtredund in den Werken verankert Euler.

Die Bezeichnung Tangens/Kotangens hat einen viel späteren Ursprung (das englische Wort Tangent kommt vom lateinischen tangere – berühren). Und auch heute noch gibt es keine einheitliche Bezeichnung – in manchen Ländern wird häufiger die Bezeichnung tan verwendet, in anderen – tg

11. Abkürzung „Was nachzuweisen war“ (usw.)

" Quod erat demonstrandum „(quol erat lamonstranlum).
Der griechische Ausdruck bedeutet „was bewiesen werden musste“ und der lateinische Ausdruck bedeutet „was gezeigt werden musste“. Diese Formel beendet alle mathematischen Überlegungen des großen griechischen Mathematikers des antiken Griechenlands, Euklid (3. Jahrhundert v. Chr.). Aus dem Lateinischen übersetzt - was bewiesen werden musste. In mittelalterlichen wissenschaftlichen Abhandlungen wurde diese Formel oft in abgekürzter Form geschrieben: QED.

12. Mathematische Notation.

13. Fazit

Die Mathematik ist für eine zivilisierte Gesellschaft von wesentlicher Bedeutung. Mathematik ist in allen Wissenschaften enthalten. Die mathematische Sprache vermischt sich mit der Sprache der Chemie und Physik. Aber wir verstehen es trotzdem. Wir können sagen, dass wir beginnen, die Sprache der Mathematik zusammen mit unserer Muttersprache zu lernen. Auf diese Weise ist die Mathematik untrennbar mit unserem Leben verbunden. Dank der mathematischen Entdeckungen der Vergangenheit entwickeln Wissenschaftler neue Technologien. Die erhaltenen Entdeckungen ermöglichen die Lösung komplexer mathematischer Probleme. Und die alte mathematische Sprache ist für uns klar und Entdeckungen sind für uns interessant. Dank der Mathematik entdeckten Archimedes, Platon und Newton physikalische Gesetze. Wir lernen sie in der Schule. Auch in der Physik gibt es Symbole und Begriffe, die der Naturwissenschaft eigen sind. Aber die mathematische Sprache geht unter den physikalischen Formeln nicht verloren. Im Gegenteil, diese Formeln können nicht ohne Kenntnisse der Mathematik geschrieben werden. Die Geschichte bewahrt Wissen und Fakten für zukünftige Generationen. Für neue Entdeckungen ist ein weiteres Studium der Mathematik erforderlich. Um Präsentationsvorschauen zu nutzen, erstellen Sie ein Google-Konto und melden Sie sich an: https://accounts.google.com

Folienunterschriften:

Mathematische Symbole Die Arbeit wurde von einem Schüler der 7. Klasse der Schule Nr. 574 Balagin Victor abgeschlossen

Symbol (griechisch symbolon – Zeichen, Omen, Passwort, Emblem) ist ein Zeichen, das mit der von ihm bezeichneten Objektivität so verbunden ist, dass die Bedeutung des Zeichens und seines Gegenstandes nur durch das Zeichen selbst dargestellt und nur durch es offenbart wird Deutung. Zeichen sind mathematische Symbole zur Aufzeichnung mathematischer Konzepte, Sätze und Berechnungen.

Ishango-Knochen Teil des Ahmes-Papyrus

+ − Plus- und Minuszeichen. Die Addition wurde durch den Buchstaben p (Plus) oder das lateinische Wort et (Konjunktion „und“) und die Subtraktion durch den Buchstaben m (Minus) angezeigt. Der Ausdruck a + b wurde im Lateinischen folgendermaßen geschrieben: a et b.

Subtraktionsnotation. ÷ ∙ ∙ oder ∙ ∙ ∙ René Descartes Maren Mersenne

Eine Seite aus dem Buch von Johann Widmann. Im Jahr 1489 veröffentlichte Johann Widmann das erste gedruckte Buch in Leipzig (Mercantile Arithmetic – „Commercial Arithmetic“), in dem sowohl + als auch – Zeichen vorhanden waren.

Additionsnotation. Christiaan Huygens David Hume Pierre de Fermat Edmund (Edmond) Halley

Gleichheitszeichen Diophantus war der erste, der das Gleichheitszeichen verwendete. Gleichheit bezeichnete er mit dem Buchstaben i (vom griechischen isos – gleich).

Gleichheitszeichen 1557 vom englischen Mathematiker Robert Record vorgeschlagen: „Keine zwei Objekte können einander gleicher sein als zwei parallele Segmente.“ In Kontinentaleuropa wurde das Gleichheitszeichen von Leibniz eingeführt

× ∙ Das Multiplikationszeichen wurde 1631 von William Oughtred (England) in Form eines schrägen Kreuzes eingeführt. Leibniz ersetzte das Kreuz durch einen Punkt (Ende des 17. Jahrhunderts), um es nicht mit dem Buchstaben x zu verwechseln. William Oughtred Gottfried Wilhelm Leibniz

Prozent. Mathieu de la Porte (1685). Ein Hundertstel eines Ganzen, als Einheit betrachtet. „Prozent“ – „pro centum“, was „pro Hundert“ bedeutet. „cto“ (kurz für Cento). Die Schreibkraft verwechselte „cto“ mit einem Bruch und tippte „%“ ein.

Unendlichkeit. John Wallis John Wallis führte das von ihm erfundene Symbol im Jahr 1655 ein. Die Schlange, die ihren Schwanz verschlingt, symbolisierte verschiedene Prozesse, die weder Anfang noch Ende haben.

Das Unendlichkeitssymbol wurde bereits zwei Jahrhunderte vor der Entdeckung des Möbius-Streifens verwendet, um die Unendlichkeit darzustellen. Ein Möbius-Streifen ist ein Papierstreifen, der an seinen Enden gebogen und verbunden ist und so zwei räumliche Flächen bildet. August Ferdinand Möbius

Winkel und Senkrecht. Die Symbole wurden 1634 vom französischen Mathematiker Pierre Erigon erfunden. Erigons Winkelsymbol ähnelte einer Ikone. Das Rechtwinkligkeitssymbol wurde invertiert und ähnelt dem Buchstaben T. Diese Zeichen erhielten ihre moderne Form von William Oughtred (1657).

Parallelität. Das Symbol wurde von Heron von Alexandria und Pappus von Alexandria verwendet. Anfangs ähnelte das Symbol dem aktuellen Gleichheitszeichen, aber mit der Einführung des letzteren wurde das Symbol, um Verwirrung zu vermeiden, in die Vertikale gedreht. Reiher von Alexandria

Pi. π ≈ 3,1415926535... William Jones im Jahr 1706 π εριφέρεια ist der Kreis und π ερίμετρος ist der Umfang, also der Umfang. Euler gefiel diese Abkürzung, deren Werke die Bezeichnung endgültig festigten. William Jones

sin Sinus und Cosinus cos Sinus (aus dem Lateinischen) – Sinus, Hohlraum. Kochi-jiya, oder kurz Ko-jiya. Coty – das gebogene Ende eines Bogens Die moderne Stenografie wurde von William Oughtred eingeführt und in den Werken von Euler etabliert. „Arha-jiva“ – bei den Indianern – „halbe Saite“ Leonard Euler William Oughtred

Was bewiesen werden musste (usw.) „Quod erat demonstrandum“ QED. Diese Formel beendet jedes mathematische Argument des großen Mathematikers des antiken Griechenlands, Euklid (3. Jahrhundert v. Chr.).

Die alte mathematische Sprache ist uns klar. Auch in der Physik gibt es Symbole und Begriffe, die der Naturwissenschaft eigen sind. Aber die mathematische Sprache geht unter den physikalischen Formeln nicht verloren. Im Gegenteil, diese Formeln können nicht ohne Kenntnisse der Mathematik geschrieben werden.

Wie Sie wissen, liebt die Mathematik Präzision und Kürze – nicht umsonst kann eine einzelne Formel in verbaler Form einen Absatz und manchmal sogar eine ganze Textseite einnehmen. So sollen grafische Elemente, die weltweit in der Wissenschaft eingesetzt werden, die Schreibgeschwindigkeit und die Kompaktheit der Datendarstellung erhöhen. Darüber hinaus können standardisierte grafische Darstellungen von einem Muttersprachler jeder Sprache erkannt werden, der über Grundkenntnisse auf dem betreffenden Gebiet verfügt.

Die Geschichte der mathematischen Zeichen und Symbole reicht viele Jahrhunderte zurück – einige von ihnen wurden zufällig erfunden und sollten auf andere Phänomene hinweisen; andere wurden das Produkt der Aktivitäten von Wissenschaftlern, die gezielt eine künstliche Sprache bilden und sich ausschließlich von praktischen Überlegungen leiten lassen.

Plus und Minus

Die Entstehungsgeschichte der Symbole, die die einfachsten Rechenoperationen bezeichnen, ist nicht sicher bekannt. Es gibt jedoch eine ziemlich plausible Hypothese für den Ursprung des Pluszeichens, das wie gekreuzte horizontale und vertikale Linien aussieht. Demnach stammt das Zusatzsymbol aus der lateinischen Union et, die ins Russische als „und“ übersetzt wird. Um den Schreibvorgang zu beschleunigen, wurde das Wort nach und nach zu einem vertikal ausgerichteten Kreuz gekürzt, das dem Buchstaben t ähnelte. Das früheste zuverlässige Beispiel einer solchen Kontraktion stammt aus dem 14. Jahrhundert.

Das allgemein akzeptierte Minuszeichen erschien offenbar später. Im 14. und sogar 15. Jahrhundert wurden in der wissenschaftlichen Literatur eine Reihe von Symbolen verwendet, um den Vorgang der Subtraktion zu kennzeichnen, und erst im 16. Jahrhundert tauchten „Plus“ und „Minus“ in ihrer modernen Form gemeinsam in mathematischen Werken auf.

Multiplikation und Division

Seltsamerweise sind die mathematischen Zeichen und Symbole für diese beiden Rechenoperationen heute nicht vollständig standardisiert. Ein beliebtes Symbol für die Multiplikation ist das vom Mathematiker Oughtred im 17. Jahrhundert vorgeschlagene Diagonalkreuz, das beispielsweise auf Taschenrechnern zu sehen ist. Im Mathematikunterricht in der Schule wird die gleiche Operation meist als Punkt dargestellt – diese Methode wurde im selben Jahrhundert von Leibniz vorgeschlagen. Eine weitere Darstellungsmethode ist ein Sternchen, das am häufigsten bei der Computerdarstellung verschiedener Berechnungen verwendet wird. Die Nutzung wurde im selben 17. Jahrhundert von Johann Rahn vorgeschlagen.

Für die Divisionsoperation sind ein Schrägstrichzeichen (vorgeschlagen von Oughtred) und eine horizontale Linie mit Punkten oben und unten vorgesehen (das Symbol wurde von Johann Rahn eingeführt). Die erste Bezeichnungsmöglichkeit ist beliebter, aber auch die zweite ist durchaus üblich.

Mathematische Zeichen und Symbole und ihre Bedeutung ändern sich manchmal im Laufe der Zeit. Allerdings sind alle drei Methoden zur grafischen Darstellung der Multiplikation sowie beide Methoden zur Division heute bis zu einem gewissen Grad gültig und relevant.

Gleichheit, Identität, Äquivalenz

Wie bei vielen anderen mathematischen Zeichen und Symbolen erfolgte die Bezeichnung der Gleichheit ursprünglich verbal. Die allgemein übliche Bezeichnung war lange Zeit die Abkürzung ae vom lateinischen aequalis („gleich“). Im 16. Jahrhundert schlug jedoch ein walisischer Mathematiker namens Robert Record zwei untereinander liegende horizontale Linien als Symbol vor. Wie der Wissenschaftler argumentierte, kann man sich nichts vorstellen, das einander gleicher ist als zwei parallele Segmente.

Trotz der Tatsache, dass ein ähnliches Zeichen verwendet wurde, um die Parallelität von Linien anzuzeigen, verbreitete sich das neue Gleichheitssymbol nach und nach. Übrigens tauchten Zeichen wie „mehr“ und „weniger“, die in verschiedene Richtungen gedrehte Zecken darstellen, erst im 17.-18. Jahrhundert auf. Heute scheinen sie für jedes Schulkind intuitiv zu sein.

Etwas komplexere Zeichen der Äquivalenz (zwei Wellenlinien) und der Identität (drei horizontale parallele Linien) kamen erst in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts in Gebrauch.

Zeichen des Unbekannten – „X“

Die Geschichte der Entstehung mathematischer Zeichen und Symbole enthält auch sehr interessante Fälle, in denen Grafiken im Zuge der Entwicklung der Wissenschaft neu überdacht wurden. Das Zeichen für das Unbekannte, heute „X“ genannt, hat seinen Ursprung im Nahen Osten zu Beginn des letzten Jahrtausends.

Bereits im 10. Jahrhundert wurde in der arabischen Welt, die damals für ihre Wissenschaftler berühmt war, das Konzept des Unbekannten durch ein Wort bezeichnet, das wörtlich mit „etwas“ übersetzt wurde und mit dem Laut „Ш“ begann. Um Material und Zeit zu sparen, begann man, das Wort in Abhandlungen auf den Anfangsbuchstaben zu kürzen.

Viele Jahrzehnte später landeten die schriftlichen Werke arabischer Wissenschaftler in den Städten der Iberischen Halbinsel, im Gebiet des heutigen Spaniens. Es wurde begonnen, wissenschaftliche Abhandlungen in die Landessprache zu übersetzen, es trat jedoch eine Schwierigkeit auf: Im Spanischen gibt es kein Phonem „Ш“. Mit ihm beginnende geliehene arabische Wörter wurden nach einer besonderen Regel geschrieben und mit dem Buchstaben X vorangestellt. Die damalige Wissenschaftssprache war Latein, in dem das entsprechende Zeichen „X“ heißt.

Somit hat das Zeichen, das auf den ersten Blick nur ein zufällig ausgewähltes Symbol ist, eine lange Geschichte und war ursprünglich eine Abkürzung des arabischen Wortes für „etwas“.

Bezeichnung weiterer Unbekannter

Im Gegensatz zu „X“ haben Y und Z, die wir aus der Schule kennen, sowie a, b, c eine viel prosaischere Entstehungsgeschichte.

Im 17. Jahrhundert veröffentlichte Descartes ein Buch mit dem Titel „Geometrie“. In diesem Buch schlug der Autor vor, Symbole in Gleichungen zu standardisieren: Gemäß seiner Idee begannen die letzten drei Buchstaben des lateinischen Alphabets (beginnend mit „X“) unbekannte Werte und die ersten drei bekannte Werte zu bezeichnen.

Trigonometrische Begriffe

Die Geschichte eines Wortes wie „Sinus“ ist wirklich ungewöhnlich.

Die entsprechenden trigonometrischen Funktionen wurden ursprünglich in Indien benannt. Das Wort, das dem Begriff Sinus entspricht, bedeutet wörtlich „String“. Während der Blütezeit der arabischen Wissenschaft wurden indische Abhandlungen übersetzt und das Konzept, das in der arabischen Sprache keine Entsprechung hatte, transkribiert. Zufälligerweise ähnelte das, was in dem Brief herauskam, dem realen Wort „hohl“, dessen Bedeutung nichts mit dem ursprünglichen Begriff zu tun hatte. Als im 12. Jahrhundert arabische Texte ins Lateinische übersetzt wurden, tauchte daher das Wort „Sinus“ auf, das „hohl“ bedeutet, und etablierte sich als neues mathematisches Konzept.

Aber die mathematischen Zeichen und Symbole für Tangens und Kotangens sind noch nicht standardisiert – in einigen Ländern werden sie normalerweise als tg geschrieben, in anderen als tan.

Einige andere Zeichen

Wie aus den oben beschriebenen Beispielen hervorgeht, erfolgte die Entstehung mathematischer Zeichen und Symbole größtenteils im 16.-17. Jahrhundert. Im gleichen Zeitraum entstanden die heute bekannten Formen der Schreibweise wie Prozent, Quadratwurzel und Grad.

Der Prozentsatz, also ein Hundertstel, wird seit langem als cto (kurz für lateinisch cento) bezeichnet. Es wird angenommen, dass das heute allgemein akzeptierte Zeichen durch einen Tippfehler vor etwa vierhundert Jahren entstanden ist. Das daraus resultierende Bild wurde als gelungene Verkürzung wahrgenommen und setzte sich durch.

Das Wurzelzeichen war ursprünglich ein stilisierter Buchstabe R (Kurzform für das lateinische Wort radix, „Wurzel“). Der obere Balken, unter dem der Ausdruck heute steht, diente als Klammer und war ein eigenständiges, vom Stamm getrenntes Symbol. Klammern wurden später erfunden – dank der Arbeit von Leibniz (1646-1716) erlangten sie weit verbreitete Verwendung. Dank seiner Arbeit wurde das Integralsymbol in die Wissenschaft eingeführt, das wie ein länglicher Buchstabe S aussieht – die Abkürzung für das Wort „Summe“.

Schließlich wurde das Zeichen für die Potenzierungsoperation von Descartes erfunden und in der zweiten Hälfte des 17. Jahrhunderts von Newton modifiziert.

Spätere Bezeichnungen

Wenn man bedenkt, dass die bekannten grafischen Darstellungen von „Plus“ und „Minus“ erst vor wenigen Jahrhunderten in Umlauf gebracht wurden, erscheint es nicht verwunderlich, dass mathematische Zeichen und Symbole, die komplexe Phänomene bezeichnen, erst im vorletzten Jahrhundert verwendet wurden.

So tauchte die Fakultät, die wie ein Ausrufezeichen hinter einer Zahl oder Variable aussieht, erst zu Beginn des 19. Jahrhunderts auf. Etwa zur gleichen Zeit erschienen das große „P“ zur Bezeichnung der Arbeit und das Grenzwertsymbol.

Es ist etwas seltsam, dass die Zeichen für Pi und die algebraische Summe erst im 18. Jahrhundert auftauchten – später als beispielsweise das Integralsymbol, obwohl es intuitiv scheint, dass sie häufiger verwendet werden. Die grafische Darstellung des Verhältnisses von Umfang zu Durchmesser leitet sich vom Anfangsbuchstaben der griechischen Wörter ab, die „Umfang“ und „Umfang“ bedeuten. Und das „Sigma“-Zeichen für eine algebraische Summe wurde von Euler im letzten Viertel des 18. Jahrhunderts vorgeschlagen.

Namen von Symbolen in verschiedenen Sprachen

Wie Sie wissen, war Latein über viele Jahrhunderte hinweg die Wissenschaftssprache in Europa. Physikalische, medizinische und viele andere Begriffe wurden oft in Form von Transkriptionen entlehnt, viel seltener – in Form von Transparentpapier. Daher werden viele mathematische Zeichen und Symbole im Englischen fast genauso bezeichnet wie im Russischen, Französischen oder Deutschen. Je komplexer das Wesen eines Phänomens ist, desto höher ist die Wahrscheinlichkeit, dass es in verschiedenen Sprachen den gleichen Namen trägt.

Computernotation mathematischer Symbole

Die einfachsten mathematischen Zeichen und Symbole in Word werden durch die übliche Tastenkombination Umschalt+Zahl von 0 bis 9 im russischen oder englischen Layout angezeigt. Für einige häufig verwendete Zeichen sind separate Tasten reserviert: Plus, Minus, Gleichheit, Schrägstrich.

Wenn Sie grafische Bilder eines Integrals, einer algebraischen Summe oder eines Produkts, Pi usw. verwenden möchten, müssen Sie die Registerkarte „Einfügen“ in Word öffnen und eine von zwei Schaltflächen finden: „Formel“ oder „Symbol“. Im ersten Fall öffnet sich ein Konstruktor, der es Ihnen ermöglicht, eine ganze Formel in einem Feld zu erstellen, und im zweiten Fall öffnet sich eine Symboltabelle, in der Sie beliebige mathematische Symbole finden können.

So merken Sie sich mathematische Symbole

Im Gegensatz zu Chemie und Physik, wo die Anzahl der zu merkenden Symbole mehr als hundert Einheiten betragen kann, arbeitet die Mathematik mit einer relativ kleinen Anzahl von Symbolen. Die einfachsten davon lernen wir schon in der frühen Kindheit, das Addieren und Subtrahieren, und erst an der Universität in bestimmten Fachrichtungen lernen wir einige komplexe mathematische Zeichen und Symbole kennen. Bilder für Kinder helfen, innerhalb weniger Wochen das grafische Bild der erforderlichen Operation sofort zu erkennen. Es kann viel mehr Zeit erfordern, die Fähigkeit zur Durchführung dieser Operationen zu beherrschen und ihr Wesen zu verstehen.

Somit erfolgt das Auswendiglernen von Zeichen automatisch und erfordert keinen großen Aufwand.

Abschließend

Der Wert mathematischer Zeichen und Symbole liegt darin, dass sie von Menschen, die verschiedene Sprachen sprechen und Muttersprachler verschiedener Kulturen sind, leicht verständlich sind. Aus diesem Grund ist es äußerst nützlich, grafische Darstellungen verschiedener Phänomene und Vorgänge zu verstehen und reproduzieren zu können.

Der hohe Standardisierungsgrad dieser Zeichen bestimmt ihren Einsatz in den unterschiedlichsten Bereichen: im Finanzbereich, in der Informationstechnologie, im Ingenieurwesen usw. Für alle, die Geschäfte im Zusammenhang mit Zahlen und Berechnungen tätigen möchten, Kenntnisse über mathematische Zeichen und Symbole und ihre Bedeutung wird zu einer lebenswichtigen Notwendigkeit.

Der Kurs verwendet geometrische Sprache, bestehend aus Notationen und Symbolen, die in einem Mathematikkurs übernommen wurden (insbesondere im neuen Geometriekurs in der Oberstufe).

Die ganze Vielfalt an Bezeichnungen und Symbolen sowie die Verbindungen zwischen ihnen lassen sich in zwei Gruppen einteilen:

Gruppe I – Bezeichnungen geometrischer Figuren und Beziehungen zwischen ihnen;

Gruppe II-Bezeichnungen logischer Operationen, die die syntaktische Grundlage der geometrischen Sprache bilden.

Nachfolgend finden Sie eine vollständige Liste der in diesem Kurs verwendeten mathematischen Symbole. Besonderes Augenmerk wird auf die Symbole gelegt, mit denen die Projektionen geometrischer Figuren angezeigt werden.

Gruppe I

SYMBOLE, DIE GEOMETRISCHE FIGUREN UND BEZIEHUNGEN ZWISCHEN IHNEN ANZEIGEN

A. Bezeichnung geometrischer Figuren

1. Eine geometrische Figur wird mit F bezeichnet.

2. Punkte werden durch Großbuchstaben des lateinischen Alphabets oder arabische Ziffern angegeben:

A, B, C, D, ... , L, M, N, ...

1,2,3,4,...,12,13,14,...

3. Linien, die in Bezug auf die Projektionsebenen willkürlich angeordnet sind, werden durch Kleinbuchstaben des lateinischen Alphabets bezeichnet:

a, b, c, d, ... , l, m, n, ...

Die Niveaulinien werden wie folgt bezeichnet: h - horizontal; f- vorne.

Für Geraden werden auch folgende Notationen verwendet:

(AB) – eine gerade Linie, die durch die Punkte A und B verläuft;

[AB) – Strahl mit Beginn am Punkt A;

[AB] – ein gerades Liniensegment, das durch die Punkte A und B begrenzt wird.

4. Flächen werden mit Kleinbuchstaben des griechischen Alphabets bezeichnet:

α, β, γ, δ,...,ζ,η,ν,...

Um die Art und Weise hervorzuheben, wie eine Oberfläche definiert wird, sollten die geometrischen Elemente angegeben werden, durch die sie definiert wird, zum Beispiel:

α(a || b) – die Ebene α wird durch parallele Linien a und b bestimmt;

β(d 1 d 2 gα) – die Oberfläche β wird durch die Führungen d 1 und d 2, den Generator g und die Parallelitätsebene α bestimmt.

5. Winkel sind angegeben:

∠ABC – Winkel mit Scheitelpunkt am Punkt B, sowie ∠α°, ∠β°, ... , ∠φ°, ...

6. Winkel: Der Wert (Gradmaß) wird durch das Vorzeichen angezeigt, das über dem Winkel steht:

Der Betrag des Winkels ABC;

Die Größe des Winkels φ.

Ein rechter Winkel wird durch ein Quadrat mit einem Punkt darin markiert

7. Die Abstände zwischen geometrischen Figuren werden durch zwei vertikale Segmente angezeigt - ||.

Zum Beispiel:

|AB| - der Abstand zwischen den Punkten A und B (Länge des Segments AB);

|Aa| - Abstand vom Punkt A zur Linie a;

|Aα| - Abstände vom Punkt A zur Oberfläche α;

|ab| - Abstand zwischen den Linien a und b;

|αβ| Abstand zwischen den Flächen α und β.

8. Für Projektionsebenen werden folgende Bezeichnungen akzeptiert: π 1 und π 2, wobei π 1 die horizontale Projektionsebene ist;

π 2 - Frontalprojektionsebene.

Beim Ersetzen von Projektionsebenen oder beim Einführen neuer Ebenen werden diese mit π 3, π 4 usw. bezeichnet.

9. Die Projektionsachsen werden bezeichnet: x, y, z, wobei x die Abszissenachse ist; y - Ordinatenachse; z - Achse anwenden.

Monges konstantes Geradendiagramm wird mit k bezeichnet.

10. Projektionen von Punkten, Linien, Flächen und beliebigen geometrischen Figuren werden durch dieselben Buchstaben (oder Zahlen) wie das Original gekennzeichnet, mit dem Zusatz eines hochgestellten Zeichens, das der Projektionsebene entspricht, auf der sie erhalten wurden:

A", B", C", D", ... , L", M", N", horizontale Projektionen von Punkten; A", B", C", D", ... , L", M " , N", ... Frontalprojektionen von Punkten; a" , b" , c" , d" , ... , l", m" , n" , - horizontale Projektionen von Linien; a" , b" , c" , d" , ... , l" , m " , n" , ... Frontalprojektionen von Linien; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... horizontale Projektionen von Flächen; α", β", γ", δ",...,ζ " ,η",ν",... Frontalprojektionen von Flächen.

11. Spuren von Ebenen (Oberflächen) werden mit den gleichen Buchstaben wie horizontal oder frontal bezeichnet, mit dem Zusatz des Indexes 0α, wodurch betont wird, dass diese Linien in der Projektionsebene liegen und zur Ebene (Oberfläche) α gehören.

Also: h 0α - horizontale Spur der Ebene (Oberfläche) α;

f 0α - Frontalspur der Ebene (Oberfläche) α.

12. Spuren von geraden Linien (Linien) werden durch Großbuchstaben gekennzeichnet, mit denen die Wörter beginnen, die den Namen (in lateinischer Transkription) der Projektionsebene definieren, die die Linie schneidet, wobei ein Index die Zugehörigkeit zur Linie angibt.

Zum Beispiel: H a - horizontale Spur einer geraden Linie (Linie) a;

F a - Frontalspur der Geraden (Linie) a.

13. Die Folge von Punkten, Linien (jeder Figur) wird mit den Indizes 1,2,3,..., n gekennzeichnet:

A 1, A 2, A 3,..., A n;

a 1 , a 2 , a 3 ,...,a n ;

α 1, α 2, α 3,...,α n;

Ф 1, Ф 2, Ф 3,..., Ф n usw.

Die Hilfsprojektion eines Punktes, die als Ergebnis der Transformation zum Erhalten des tatsächlichen Wertes einer geometrischen Figur erhalten wird, wird mit demselben Buchstaben mit einem Index 0 bezeichnet:

A 0 , B 0 , C 0 , D 0 , ...

Axonometrische Projektionen

14. Axonometrische Projektionen von Punkten, Linien, Flächen werden mit den gleichen Buchstaben wie die Natur bezeichnet, ergänzt durch eine hochgestellte 0:

A 0, B 0, C 0, D 0, ...

1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , ...

a 0 , b 0 , c 0 , d 0 , ...

α 0 , β 0 , γ 0 , δ 0 , ...

15. Sekundärprojektionen werden durch das Hinzufügen einer hochgestellten 1 gekennzeichnet:

A 1 0, B 1 0, C 1 0, D 1 0, ...

1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , ...

a 1 0 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , ...

α 1 0 , β 1 0 , γ 1 0 , δ 1 0 , ...

Um die Lesbarkeit der Zeichnungen im Lehrbuch zu erleichtern, werden bei der Gestaltung des Anschauungsmaterials mehrere Farben verwendet, die jeweils eine bestimmte semantische Bedeutung haben: Schwarze Linien (Punkte) kennzeichnen die Originaldaten; Die grüne Farbe wird für Linien von grafischen Hilfskonstruktionen verwendet. Rote Linien (Punkte) zeigen die Ergebnisse von Konstruktionen oder diejenigen geometrischen Elemente, denen besondere Aufmerksamkeit gewidmet werden sollte.

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Oder mathematische Symbole sind Zeichen, die mit ihren Argumenten bestimmte mathematische Operationen symbolisieren. Zu den gebräuchlichsten gehören: Plus: + Minus: , − Multiplikationszeichen: ×, ∙ Divisionszeichen: :, ∕, ÷ Vorzeichen erhöhen auf... ... Wikipedia

Operationszeichen oder mathematische Symbole sind Zeichen, die mit ihren Argumenten bestimmte mathematische Operationen symbolisieren. Die gebräuchlichsten sind: Plus: + Minus: , − Multiplikationszeichen: ×, ∙ Divisionszeichen: :, ∕, ÷ Konstruktionszeichen... ... Wikipedia

Unendlichkeit.J. Wallis (1655).

Erstmals gefunden in der Abhandlung des englischen Mathematikers John Valis „On Conic Sections“.

Die Basis der natürlichen Logarithmen. L. Euler (1736).

Mathematische Konstante, transzendente Zahl. Diese Nummer wird manchmal angerufen nicht gefiedert zu Ehren der Schotten Wissenschaftler Napier, Autor des Werkes „Description of the Amazing Table of Logarithms“ (1614). Die Konstante taucht erstmals stillschweigend in einem Anhang der 1618 veröffentlichten englischen Übersetzung von Napiers oben erwähntem Werk auf. Die Konstante selbst wurde erstmals vom Schweizer Mathematiker Jacob Bernoulli berechnet, als er das Problem des Grenzwerts von Zinserträgen löste.

2,71828182845904523...

Die erste bekannte Verwendung dieser Konstante, bei der sie mit dem Buchstaben bezeichnet wurde B, gefunden in Leibniz‘ Briefen an Huygens, 1690-1691. Brief e Euler begann damit im Jahr 1727, und die erste Veröffentlichung mit diesem Brief war sein Werk „Mechanics, or the Science of Motion, Explained Analytically“ im Jahr 1736. Jeweils, e normalerweise aufgerufen Euler-Zahl. Warum wurde dieser Buchstabe ausgewählt? e, genau unbekannt. Vielleicht liegt das daran, dass das Wort damit beginnt exponentiell(„indikativ“, „exponentiell“). Eine andere Annahme ist, dass die Buchstaben A, B, C Und D wurden bereits in großem Umfang für andere Zwecke verwendet und e war der erste „kostenlose“ Brief.

Das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser. W. Jones (1706), L. Euler (1736).

Mathematische Konstante, irrationale Zahl. Die Zahl „pi“, der alte Name ist Ludolphs Zahl. Wie jede irrationale Zahl wird π als unendlicher nichtperiodischer Dezimalbruch dargestellt:

π =3,141592653589793...

Die Bezeichnung dieser Zahl durch den griechischen Buchstaben π wurde erstmals vom britischen Mathematiker William Jones in dem Buch „A New Introduction to Mathematics“ verwendet und wurde nach der Arbeit von Leonhard Euler allgemein akzeptiert. Diese Bezeichnung leitet sich vom Anfangsbuchstaben der griechischen Wörter περιφερεια – Kreis, Peripherie und περιμετρος – Umfang ab. Johann Heinrich Lambert bewies 1761 die Irrationalität von π und Adrienne Marie Legendre bewies 1774 die Irrationalität von π 2. Legendre und Euler gingen davon aus, dass π transzendent sein könnte, d. h. kann keine algebraische Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten erfüllen, was schließlich 1882 von Ferdinand von Lindemann bewiesen wurde.

Imaginäre Einheit. L. Euler (1777, im Druck – 1794).

Es ist bekannt, dass die Gleichung x 2 =1 hat zwei Wurzeln: 1 Und -1 . Die imaginäre Einheit ist eine der beiden Wurzeln der Gleichung x 2 = -1, gekennzeichnet durch einen lateinischen Buchstaben ich, eine andere Wurzel: -ich. Diese Bezeichnung wurde von Leonhard Euler vorgeschlagen, der zu diesem Zweck den Anfangsbuchstaben des lateinischen Wortes verwendete imaginarius(imaginär). Er erweiterte außerdem alle Standardfunktionen auf den komplexen Bereich, d. h. Menge von Zahlen darstellbar als a+ib, Wo A Und B- reale Nummern. Der Begriff „komplexe Zahl“ wurde 1831 vom deutschen Mathematiker Carl Gauß weit verbreitet, obwohl der Begriff bereits 1803 vom französischen Mathematiker Lazare Carnot im gleichen Sinne verwendet worden war.

Einheitsvektoren. W. Hamilton (1853).

Einheitsvektoren werden häufig den Koordinatenachsen eines Koordinatensystems (insbesondere den Achsen eines kartesischen Koordinatensystems) zugeordnet. Entlang der Achse gerichteter Einheitsvektor X, bezeichnet ich, Einheitsvektor, der entlang der Achse gerichtet ist Y, bezeichnet J und der entlang der Achse gerichtete Einheitsvektor Z, bezeichnet k. Vektoren ich, J, k werden Einheitsvektoren genannt, sie haben Einheitsmodule. Der Begriff „ort“ wurde vom englischen Mathematiker und Ingenieur Oliver Heaviside (1892) und die Notation eingeführt ich, J, k- Irischer Mathematiker William Hamilton.

Ganzzahliger Teil der Zahl, Antie. K. Gauss (1808).

Der ganzzahlige Teil der Zahl [x] der Zahl x ist die größte ganze Zahl, die x nicht überschreitet. Also =5, [-3,6]=-4. Die Funktion [x] wird auch „Antier von x“ genannt. Das Ganzteil-Funktionssymbol wurde 1808 von Carl Gauß eingeführt. Einige Mathematiker bevorzugen stattdessen die Notation E(x), die 1798 von Legendre vorgeschlagen wurde.

Parallelitätswinkel. N.I. Lobatschewski (1835).

Auf der Lobatschewski-Ebene - der Winkel zwischen der GeradenB, durch den Punkt gehenUMparallel zur LinieA, enthält keinen PunktUMund senkrecht vonUM An A. α - die Länge dieser Senkrechten. Wenn sich der Punkt entferntUM von der Geraden Ader Parallelitätswinkel nimmt von 90° auf 0° ab. Lobatschewski gab eine Formel für den Parallelitätswinkel anP( α )=2arctg e - α /Q , Wo Q— eine Konstante, die mit der Krümmung des Lobatschewski-Raums verbunden ist.

Unbekannte oder variable Mengen. R. Descartes (1637).

In der Mathematik ist eine Variable eine Größe, die durch die Menge der Werte gekennzeichnet ist, die sie annehmen kann. Dies kann sowohl eine reale physikalische Größe bedeuten, die vorübergehend isoliert von ihrem physikalischen Kontext betrachtet wird, als auch eine abstrakte Größe, die in der realen Welt keine Entsprechungen hat. Der Begriff einer Variablen entstand im 17. Jahrhundert. zunächst unter dem Einfluss der Anforderungen der Naturwissenschaften, die das Studium von Bewegungen, Prozessen und nicht nur Zuständen in den Vordergrund rückten. Dieses Konzept erforderte neue Ausdrucksformen. Solche neuen Formen waren die Buchstabenalgebra und die analytische Geometrie von Rene Descartes. Das rechtwinklige Koordinatensystem und die Notation x, y wurden erstmals 1637 von Rene Descartes in seinem Werk „Diskurs über die Methode“ eingeführt. Pierre Fermat trug ebenfalls zur Entwicklung der Koordinatenmethode bei, seine Werke wurden jedoch erst nach seinem Tod veröffentlicht. Descartes und Fermat verwendeten die Koordinatenmethode nur auf der Ebene. Die Koordinatenmethode für den dreidimensionalen Raum wurde bereits im 18. Jahrhundert von Leonhard Euler erstmals angewendet.

Vektor. O. Cauchy (1853).

Unter einem Vektor wird von Anfang an ein Objekt verstanden, das eine Größe, eine Richtung und (optional) einen Angriffspunkt hat. Die Anfänge der Vektorrechnung erschienen zusammen mit dem geometrischen Modell komplexer Zahlen bei Gauß (1831). Hamilton veröffentlichte im Rahmen seiner Quaternionenrechnung entwickelte Operationen mit Vektoren (der Vektor wurde durch die imaginären Komponenten der Quaternion gebildet). Hamilton schlug den Begriff vor Vektor(vom lateinischen Wort Vektor, Träger) und beschrieb einige Operationen der Vektoranalyse. Maxwell nutzte diesen Formalismus in seinen Arbeiten zum Elektromagnetismus und lenkte damit die Aufmerksamkeit der Wissenschaftler auf die neue Rechnung. Bald erschien Gibbs' Elements of Vector Analysis (1880er Jahre), und dann gab Heaviside (1903) der Vektoranalyse ihr modernes Aussehen. Das Vektorzeichen selbst wurde 1853 vom französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy eingeführt.

Addition Subtraktion. J. Widman (1489).

Die Plus- und Minuszeichen wurden offenbar in der deutschen Mathematikschule der „Kossisten“ (also Algebraisten) erfunden. Sie werden in Jan (Johannes) Widmanns Lehrbuch „Eine schnelle und angenehme Rechnung für alle Kaufleute“ verwendet, das 1489 veröffentlicht wurde. Zuvor wurde die Addition durch den Buchstaben gekennzeichnet P(aus dem Lateinischen Plus„mehr“) oder lateinisches Wort et(Konjunktion „und“) und Subtraktion – Buchstabe M(aus dem Lateinischen Minus„weniger, weniger“) Für Widmann ersetzt das Pluszeichen nicht nur die Addition, sondern auch die Konjunktion „und“. Der Ursprung dieser Symbole ist unklar, höchstwahrscheinlich wurden sie jedoch früher im Handel als Indikatoren für Gewinn und Verlust verwendet. Beide Symbole wurden bald in Europa üblich – mit Ausnahme von Italien, wo die alten Bezeichnungen noch etwa ein Jahrhundert lang verwendet wurden.

Multiplikation. W. Outred (1631), G. Leibniz (1698).

Das Multiplikationszeichen in Form eines schrägen Kreuzes wurde 1631 vom Engländer William Oughtred eingeführt. Vor ihm wurde am häufigsten der Buchstabe verwendet M, obwohl auch andere Notationen vorgeschlagen wurden: das Rechtecksymbol (französischer Mathematiker Erigon, 1634), Sternchen (schweizerischer Mathematiker Johann Rahn, 1659). Später ersetzte Gottfried Wilhelm Leibniz das Kreuz durch einen Punkt (Ende des 17. Jahrhunderts), um es nicht mit dem Buchstaben zu verwechseln X; Vor ihm wurde eine solche Symbolik bei dem deutschen Astronomen und Mathematiker Regiomontanus (15. Jahrhundert) und dem englischen Wissenschaftler Thomas Herriot (1560–1621) gefunden.

Aufteilung. I. Ran (1659), G. Leibniz (1684).

William Oughtred verwendete einen Schrägstrich / als Divisionszeichen. Gottfried Leibniz begann die Division mit einem Doppelpunkt zu bezeichnen. Vor ihnen wurde auch oft der Buchstabe verwendet D. Beginnend mit Fibonacci wird auch der horizontale Bruchstrich verwendet, der von Heron, Diophantus und in arabischen Werken verwendet wurde. In England und den USA verbreitete sich das Symbol ÷ (Obelus), das 1659 von Johann Rahn (möglicherweise unter Beteiligung von John Pell) vorgeschlagen wurde. Ein Versuch des American National Committee on Mathematical Standards ( Nationales Komitee für mathematische Anforderungen), Obelus aus der Praxis zu entfernen (1923), war erfolglos.

Prozent. M. de la Porte (1685).

Ein Hundertstel eines Ganzen, als Einheit betrachtet. Das Wort „Prozent“ selbst kommt vom lateinischen „pro centum“, was „pro Hundert“ bedeutet. 1685 erschien in Paris das Buch „Manual of Commercial Arithmetic“ von Mathieu de la Porte. An einer Stelle sprach man von Prozentsätzen, die damals als „cto“ (kurz für Cento) bezeichnet wurden. Der Schriftsetzer verwechselte dieses „cto“ jedoch mit einem Bruch und druckte „%“. Aufgrund eines Tippfehlers kam dieses Schild zum Einsatz.

Abschlüsse. R. Descartes (1637), I. Newton (1676).

Die moderne Notation für den Exponenten wurde von Rene Descartes in seinem „ Geometrie„(1637), allerdings nur für Naturpotenzen mit Exponenten größer als 2. Später erweiterte Isaac Newton diese Schreibweise auf negative und gebrochene Exponenten (1676), deren Interpretation zu diesem Zeitpunkt bereits vorgeschlagen worden war: der flämische Mathematiker und Ingenieur Simon Stevin, der englische Mathematiker John Wallis und der französische Mathematiker Albert Girard.

Arithmetische Wurzel N-te Potenz einer reellen Zahl A≥0, - nicht negative Zahl N-ter Grad davon ist gleich A. Die arithmetische Wurzel 2. Grades wird Quadratwurzel genannt und kann ohne Angabe des Grades geschrieben werden: √. Eine arithmetische Wurzel 3. Grades heißt Kubikwurzel. Mittelalterliche Mathematiker (zum Beispiel Cardano) bezeichneten die Quadratwurzel mit dem Symbol R x (aus dem Lateinischen). Radix, Wurzel). Die moderne Notation wurde erstmals 1525 vom deutschen Mathematiker Christoph Rudolf aus der cossistischen Schule verwendet. Dieses Symbol leitet sich vom stilisierten Anfangsbuchstaben desselben Wortes ab Radix. Über dem radikalen Ausdruck befand sich zunächst keine Zeile; es wurde später von Descartes (1637) für einen anderen Zweck eingeführt (anstelle von Klammern), und dieses Merkmal verschmolz bald mit dem Wurzelzeichen. Im 16. Jahrhundert wurde die Kubikwurzel wie folgt bezeichnet: R x .u.cu (von lat. Radix universalis kubica). Albert Girard (1629) begann, die bekannte Notation für eine Wurzel beliebigen Grades zu verwenden. Dieses Format wurde dank Isaac Newton und Gottfried Leibniz etabliert.

Logarithmus, Dezimallogarithmus, natürlicher Logarithmus. I. Kepler (1624), B. Cavalieri (1632), A. Prinsheim (1893).

Der Begriff „Logarithmus“ stammt vom schottischen Mathematiker John Napier ( „Beschreibung der erstaunlichen Logarithmentabelle“, 1614); es entstand aus einer Kombination der griechischen Wörter λογος (Wort, Beziehung) und αριθμος (Zahl). Der Logarithmus von J. Napier ist eine Hilfszahl zur Messung des Verhältnisses zweier Zahlen. Die moderne Definition des Logarithmus wurde erstmals vom englischen Mathematiker William Gardiner (1742) gegeben. Per Definition der Logarithmus einer Zahl B bezogen auf A (A ≠ 1, a > 0) - Exponent M, auf den die Zahl erhöht werden soll A(als Logarithmusbasis bezeichnet) zu erhalten B. Festgelegt log a b. Also, m = log a B, Wenn a m = b.

Die ersten Tabellen mit dezimalen Logarithmen wurden 1617 vom Oxforder Mathematikprofessor Henry Briggs veröffentlicht. Daher werden Dezimallogarithmen im Ausland oft als Briggs-Logarithmen bezeichnet. Der Begriff „natürlicher Logarithmus“ wurde von Pietro Mengoli (1659) und Nicholas Mercator (1668) eingeführt, obwohl der Londoner Mathematiklehrer John Spidell bereits 1619 eine Tabelle mit natürlichen Logarithmen erstellte.

Bis zum Ende des 19. Jahrhunderts gab es keine allgemein anerkannte Schreibweise für die Basis Logarithmus A links und oberhalb des Symbols angegeben Protokoll, dann darüber. Letztlich kamen die Mathematiker zu dem Schluss, dass der bequemste Platz für die Basis unterhalb der Linie, nach dem Symbol, liegt Protokoll. Das Logarithmuszeichen – das Ergebnis der Abkürzung des Wortes „Logarithmus“ – erscheint in verschiedenen Formen fast zeitgleich mit dem Erscheinen der ersten Logarithmentafeln, z.B. Protokoll- von I. Kepler (1624) und G. Briggs (1631), Protokoll- von B. Cavalieri (1632). Bezeichnung ln denn der natürliche Logarithmus wurde vom deutschen Mathematiker Alfred Pringsheim (1893) eingeführt.

Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens. W. Outred (Mitte 17. Jahrhundert), I. Bernoulli (18. Jahrhundert), L. Euler (1748, 1753).

Die Abkürzungen für Sinus und Cosinus wurden Mitte des 17. Jahrhunderts von William Oughtred eingeführt. Abkürzungen für Tangens und Kotangens: tg, ctg Sie wurden im 18. Jahrhundert von Johann Bernoulli eingeführt und verbreiteten sich in Deutschland und Russland. In anderen Ländern werden die Namen dieser Funktionen verwendet braun, Kinderbett von Albert Girard noch früher, zu Beginn des 17. Jahrhunderts, vorgeschlagen. Leonhard Euler (1748, 1753) brachte die Theorie der trigonometrischen Funktionen in ihre moderne Form, und ihm verdanken wir die Festigung der realen Symbolik.Der Begriff „trigonometrische Funktionen“ wurde 1770 vom deutschen Mathematiker und Physiker Georg Simon Klügel eingeführt.

Ursprünglich nannten indische Mathematiker die Sinuslinie „arha-jiva“(„halbe Saite“, also ein halber Akkord), dann das Wort „archa“ wurde verworfen und die Sinuslinie wurde einfach genannt „Jiva“. Arabische Übersetzer haben das Wort nicht übersetzt „Jiva“ Arabisches Wort „Vatar“, bezeichnet eine Bogensehne und einen Akkord, wurde in arabische Buchstaben transkribiert und begann, die Sinuslinie zu nennen „jiba“. Denn im Arabischen werden kurze Vokale nicht markiert, sondern lange „i“ im Wort „jiba“ Die Araber begannen, den Namen der Sinuslinie auszusprechen, der auf die gleiche Weise wie der Halbvokal „th“ bezeichnet wurde „halsen“, was wörtlich „hohl“, „Sinus“ bedeutet. Bei der Übersetzung arabischer Werke ins Lateinische übersetzten europäische Übersetzer das Wort „halsen“ Lateinisches Wort Sinus, die gleiche Bedeutung haben.Der Begriff „Tangente“ (von lat.Tangenten– Berühren) wurde vom dänischen Mathematiker Thomas Fincke in seinem Buch „Die Geometrie der Runde“ (1583) eingeführt.

Arkussinus. K. Scherfer (1772), J. Lagrange (1772).

Inverse trigonometrische Funktionen sind mathematische Funktionen, die die Umkehrung trigonometrischer Funktionen sind. Der Name der inversen trigonometrischen Funktion wird aus dem Namen der entsprechenden trigonometrischen Funktion durch Hinzufügen des Präfixes „arc“ (von lat.) gebildet. Bogen- Bogen).Die inversen trigonometrischen Funktionen umfassen normalerweise sechs Funktionen: Arkussinus (arcsin), Arkuskosinus (arccos), Arkustangens (arctg), Arkuskotangens (arcctg), Arkussekans (arcsec) und Arkuskosekans (arccosec). Spezielle Symbole für inverse trigonometrische Funktionen wurden erstmals von Daniel Bernoulli (1729, 1736) verwendet.Art der Bezeichnung inverser trigonometrischer Funktionen mithilfe eines Präfixes Bogen(von lat. Arcus, Bogen) erschien mit dem österreichischen Mathematiker Karl Scherfer und wurde dank des französischen Mathematikers, Astronomen und Mechanikers Joseph Louis Lagrange gefestigt. Damit war gemeint, dass man beispielsweise mit einem gewöhnlichen Sinus eine Sehne finden kann, die entlang eines Kreisbogens verläuft, und dass die Umkehrfunktion das gegenteilige Problem löst. Bis zum Ende des 19. Jahrhunderts schlugen die englischen und deutschen Mathematikschulen andere Notationen vor: Sünde -1 und 1/sin, aber sie werden nicht häufig verwendet.

Hyperbolischer Sinus, hyperbolischer Kosinus. V. Riccati (1757).

Historiker entdeckten das erste Auftreten hyperbolischer Funktionen in den Werken des englischen Mathematikers Abraham de Moivre (1707, 1722). Eine moderne Definition und eine detaillierte Untersuchung derselben erfolgte 1757 durch den Italiener Vincenzo Riccati in seinem Werk „Opusculorum“, er schlug auch ihre Bezeichnungen vor: Sch,CH. Riccati begann mit der Betrachtung der Einheitshyperbel. Eine unabhängige Entdeckung und weitere Untersuchung der Eigenschaften hyperbolischer Funktionen erfolgte durch den deutschen Mathematiker, Physiker und Philosophen Johann Lambert (1768), der die breite Parallelität der Formeln der gewöhnlichen und hyperbolischen Trigonometrie festlegte. N.I. Lobatschewski nutzte diese Parallelität anschließend, um die Konsistenz der nichteuklidischen Geometrie zu beweisen, in der die gewöhnliche Trigonometrie durch die hyperbolische ersetzt wird.

So wie der trigonometrische Sinus und der Kosinus die Koordinaten eines Punktes auf dem Koordinatenkreis sind, sind der hyperbolische Sinus und der Kosinus die Koordinaten eines Punktes auf einer Hyperbel. Hyperbolische Funktionen werden als Exponentialfunktionen ausgedrückt und stehen in engem Zusammenhang mit trigonometrischen Funktionen: sh(x)=0,5(z x-e-x) , ch(x)=0,5(e x +e -x). In Analogie zu trigonometrischen Funktionen werden hyperbolischer Tangens und Kotangens als die Verhältnisse von hyperbolischem Sinus und Cosinus bzw. Cosinus und Sinus definiert.

Differential. G. Leibniz (1675, veröffentlicht 1684).

Der hauptsächliche, lineare Teil des Funktionsinkrements.Wenn die Funktion y=f(x) eine Variable x hat bei x=x 0Ableitung und InkrementΔy=f(x 0 +?x)-f(x 0)Funktionen f(x) kann im Formular dargestellt werdenΔy=f"(x 0 )Δx+R(Δx) , Wo ist das Mitglied? R unendlich klein im Vergleich zuΔx. Erstes Mitglieddy=f"(x 0 )Δxin dieser Entwicklung und wird Differential der Funktion genannt f(x) am Punktx 0. IN Werke von Gottfried Leibniz, Jacob und Johann Bernoulli das Wort„differentia“im Sinne von „Inkrement“ verwendet wurde, wurde es von I. Bernoulli mit Δ bezeichnet. G. Leibniz (1675, veröffentlicht 1684) verwendete die Notation für die „infinitesimale Differenz“D- der erste Buchstabe des Wortes"Differential", von ihm gebildet aus„differentia“.

Unbestimmtes Integral. G. Leibniz (1675, veröffentlicht 1686).

Das Wort „Integral“ wurde erstmals im Druck von Jacob Bernoulli (1690) verwendet. Möglicherweise ist der Begriff aus dem Lateinischen abgeleitet ganze Zahl- ganz. Einer anderen Annahme zufolge war die Grundlage das lateinische Wort Integro- in den vorherigen Zustand versetzen, wiederherstellen. Das Zeichen ∫ wird in der Mathematik zur Darstellung eines Integrals verwendet und ist eine stilisierte Darstellung des ersten Buchstabens des lateinischen Wortes summa - Summe. Es wurde erstmals Ende des 17. Jahrhunderts vom deutschen Mathematiker und Begründer der Differential- und Integralrechnung Gottfried Leibniz verwendet. Ein anderer Begründer der Differential- und Integralrechnung, Isaac Newton, schlug in seinen Werken keine alternative Symbolik für das Integral vor, obwohl er verschiedene Optionen ausprobierte: einen vertikalen Balken über der Funktion oder ein quadratisches Symbol, das vor der Funktion steht oder grenzt daran. Unbestimmtes Integral für eine Funktion y=f(x) ist die Menge aller Stammfunktionen einer gegebenen Funktion.

Bestimmtes Integral. J. Fourier (1819-1822).

Bestimmtes Integral einer Funktion f(x) mit einer Untergrenze A und Obergrenze B kann als Differenz definiert werden F(b) - F(a) = a ∫ b f(x)dx , Wo F(x)- eine Stammfunktion einer Funktion f(x) . Bestimmtes Integral a ∫ b f(x)dx numerisch gleich der Fläche der Figur, die durch die x-Achse und gerade Linien begrenzt wird x=a Und x=b und der Graph der Funktion f(x). Der Entwurf eines bestimmten Integrals in der uns bekannten Form wurde zu Beginn des 19. Jahrhunderts vom französischen Mathematiker und Physiker Jean Baptiste Joseph Fourier vorgeschlagen.

Derivat. G. Leibniz (1675), J. Lagrange (1770, 1779).

Ableitung ist das Grundkonzept der Differentialrechnung und charakterisiert die Änderungsrate einer Funktion f(x) wenn sich das Argument ändert X . Sie ist definiert als die Grenze des Verhältnisses des Inkrements einer Funktion zum Inkrement ihres Arguments, wenn das Inkrement des Arguments gegen Null tendiert, sofern eine solche Grenze existiert. Eine Funktion, die an einem bestimmten Punkt eine endliche Ableitung hat, heißt an diesem Punkt differenzierbar. Der Vorgang der Berechnung der Ableitung wird Differenzierung genannt. Der umgekehrte Prozess ist die Integration. In der klassischen Differentialrechnung wird die Ableitung am häufigsten durch die Konzepte der Grenzwerttheorie definiert, aber historisch gesehen erschien die Grenzwerttheorie später als die Differentialrechnung.

Der Begriff „Ableitung“ wurde 1797 von Joseph Louis Lagrange eingeführt, die Bezeichnung einer Ableitung durch einen Strich wird auch von ihm verwendet (1770, 1779), und dy/dx- Gottfried Leibniz im Jahr 1675. Die Art und Weise, die Zeitableitung mit einem Punkt über einem Buchstaben zu bezeichnen, stammt von Newton (1691).Der russische Begriff „Ableitung einer Funktion“ wurde erstmals von einem russischen Mathematiker verwendetWassili Iwanowitsch Viskowatow (1779-1812).

Partielle Ableitung. A. Legendre (1786), J. Lagrange (1797, 1801).

Für Funktionen vieler Variablen werden partielle Ableitungen definiert – Ableitungen nach einem der Argumente, berechnet unter der Annahme, dass die übrigen Argumente konstant sind. Bezeichnungen ∂f/ ∂ X, ∂ z/ ∂ j 1786 vom französischen Mathematiker Adrien Marie Legendre eingeführt; FX",z x "- Joseph Louis Lagrange (1797, 1801); ∂ 2 z/ ∂ x 2, ∂ 2 z/ ∂ X ∂ j- partielle Ableitungen zweiter Ordnung - deutscher Mathematiker Carl Gustav Jacob Jacobi (1837).

Differenz, Zuwachs. I. Bernoulli (spätes 17. Jahrhundert – erste Hälfte des 18. Jahrhunderts), L. Euler (1755).

Die Bezeichnung des Inkrements durch den Buchstaben Δ wurde erstmals vom Schweizer Mathematiker Johann Bernoulli verwendet. Das Delta-Symbol wurde nach der Arbeit von Leonhard Euler im Jahr 1755 allgemein verwendet.

Summe. L. Euler (1755).

Die Summe ist das Ergebnis der Addition von Größen (Zahlen, Funktionen, Vektoren, Matrizen usw.). Um die Summe von n Zahlen a 1, a 2, ..., a n zu bezeichnen, wird der griechische Buchstabe „Sigma“ Σ verwendet: a 1 + a 2 + ... + a n = Σ n i=1 a i = Σ n 1 ein i. Das Σ-Zeichen für die Summe wurde 1755 von Leonhard Euler eingeführt.

Arbeiten. K. Gauss (1812).

Ein Produkt ist das Ergebnis einer Multiplikation. Um das Produkt von n Zahlen a 1, a 2, ..., a n zu bezeichnen, wird der griechische Buchstabe pi Π verwendet: a 1 · a 2 · ... · a n = Π n i=1 a i = Π n 1 a i . Zum Beispiel: 1 · 3 · 5 · ... · 97 · 99 = ? 50 1 (2i-1). Das Π-Zeichen für ein Produkt wurde 1812 vom deutschen Mathematiker Carl Gauß eingeführt. In der russischen mathematischen Literatur wurde der Begriff „Produkt“ erstmals 1703 von Leonty Filippovich Magnitsky entdeckt.

Fakultät. K. Crump (1808).

Die Fakultät einer Zahl n (bezeichnet mit n!, ausgesprochen „en factial“) ist das Produkt aller natürlichen Zahlen bis einschließlich n: n! = 1·2·3·...·n. Zum Beispiel 5! = 1·2·3·4·5 = 120. Per Definition wird 0 angenommen! = 1. Die Fakultät ist nur für nicht negative ganze Zahlen definiert. Die Fakultät von n ist gleich der Anzahl der Permutationen von n Elementen. Zum Beispiel 3! = 6, tatsächlich

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Alle sechs und nur sechs Permutationen von drei Elementen.

Der Begriff „Fakultät“ wurde vom französischen Mathematiker und Politiker Louis Francois Antoine Arbogast (1800) eingeführt, die Bezeichnung n! - Französischer Mathematiker Christian Crump (1808).

Modul, absoluter Wert. K. Weierstrass (1841).

Der Absolutwert einer reellen Zahl x ist eine nicht negative Zahl, die wie folgt definiert ist: |x| = x für x ≥ 0 und |x| = -x für x ≤ 0. Zum Beispiel |7| = 7, |- 0,23| = -(-0,23) = 0,23. Der Modul einer komplexen Zahl z = a + ib ist eine reelle Zahl gleich √(a 2 + b 2).

Es wird angenommen, dass der Begriff „Modul“ vom englischen Mathematiker und Philosophen und Newton-Schüler Roger Cotes vorgeschlagen wurde. Auch Gottfried Leibniz verwendete diese Funktion, die er „Modul“ nannte und mit mol x bezeichnete. Die allgemein anerkannte Notation der absoluten Größe wurde 1841 vom deutschen Mathematiker Karl Weierstrass eingeführt. Für komplexe Zahlen wurde dieses Konzept zu Beginn des 19. Jahrhunderts von den französischen Mathematikern Augustin Cauchy und Jean Robert Argan eingeführt. Im Jahr 1903 verwendete der österreichische Wissenschaftler Konrad Lorenz die gleiche Symbolik für die Länge eines Vektors.

Norm. E. Schmidt (1908).

Eine Norm ist eine auf einem Vektorraum definierte Funktion, die das Konzept der Länge eines Vektors oder Moduls einer Zahl verallgemeinert. Das „Norm“-Zeichen (vom lateinischen Wort „norma“ – „Regel“, „Muster“) wurde 1908 vom deutschen Mathematiker Erhard Schmidt eingeführt.

Grenze. S. Lhuillier (1786), W. Hamilton (1853), viele Mathematiker (bis Anfang des 20. Jahrhunderts)

Der Grenzwert ist einer der Grundbegriffe der mathematischen Analyse und bedeutet, dass sich ein bestimmter variabler Wert im Prozess seiner betrachteten Änderung auf unbestimmte Zeit einem bestimmten konstanten Wert annähert. Das Konzept einer Grenze wurde in der zweiten Hälfte des 17. Jahrhunderts von Isaac Newton sowie von Mathematikern des 18. Jahrhunderts wie Leonhard Euler und Joseph Louis Lagrange intuitiv verwendet. Die ersten strengen Definitionen des Sequenzlimits wurden 1816 von Bernard Bolzano und 1821 von Augustin Cauchy gegeben. Das Symbol lim (die ersten drei Buchstaben des lateinischen Wortes „limes“ – Grenze) erschien 1787 vom Schweizer Mathematiker Simon Antoine Jean Lhuillier, seine Verwendung ähnelte jedoch noch nicht den modernen. Der Ausdruck lim in einer bekannteren Form wurde erstmals 1853 vom irischen Mathematiker William Hamilton verwendet.Weierstrass führte eine der modernen Bezeichnung nahe kommende Bezeichnung ein, verwendete jedoch anstelle des bekannten Pfeils ein Gleichheitszeichen. Der Pfeil tauchte zu Beginn des 20. Jahrhunderts bei mehreren Mathematikern gleichzeitig auf – zum Beispiel beim englischen Mathematiker Godfried Hardy im Jahr 1908.

Zeta-Funktion, d Riemannsche Zetafunktion. B. Riemann (1857).

Analytische Funktion einer komplexen Variablen s = σ + it, für σ > 1, absolut und gleichmäßig bestimmt durch eine konvergente Dirichlet-Reihe:

ζ(s) = 1 -s + 2 -s + 3 -s + ... .

Für σ > 1 gilt die Darstellung in Form des Euler-Produkts:

ζ(s) = Π P (1-p -s) -s,

wobei das Produkt über alle Primzahlen p genommen wird. Die Zeta-Funktion spielt in der Zahlentheorie eine große Rolle.Als Funktion einer reellen Variablen wurde die Zeta-Funktion 1737 (veröffentlicht 1744) von L. Euler eingeführt, der ihre Entwicklung zu einem Produkt angab. Diese Funktion wurde dann vom deutschen Mathematiker L. Dirichlet und, besonders erfolgreich, vom russischen Mathematiker und Mechaniker P.L. Tschebyschew beim Studium des Gesetzes der Verteilung von Primzahlen. Die tiefgreifendsten Eigenschaften der Zeta-Funktion wurden jedoch erst später entdeckt, nach der Arbeit des deutschen Mathematikers Georg Friedrich Bernhard Riemann (1859), bei dem die Zeta-Funktion als Funktion einer komplexen Variablen betrachtet wurde; Er führte 1857 auch den Namen „Zeta-Funktion“ und die Bezeichnung ζ(s) ein.

Gammafunktion, Euler-Γ-Funktion. A. Legendre (1814).

Die Gamma-Funktion ist eine mathematische Funktion, die das Konzept der Fakultät auf den Bereich komplexer Zahlen erweitert. Wird normalerweise mit Γ(z) bezeichnet. Die G-Funktion wurde erstmals 1729 von Leonhard Euler eingeführt; es wird durch die Formel bestimmt:

Γ(z) = limn→∞ n!·n z /z(z+1)...(z+n).

Eine große Anzahl von Integralen, unendlichen Produkten und Reihensummen wird durch die G-Funktion ausgedrückt. Weit verbreitet in der analytischen Zahlentheorie. Der Name „Gamma-Funktion“ und die Notation Γ(z) wurden 1814 vom französischen Mathematiker Adrien Marie Legendre vorgeschlagen.

Beta-Funktion, B-Funktion, Euler-B-Funktion. J. Binet (1839).

Eine Funktion zweier Variablen p und q, definiert für p>0, q>0 durch die Gleichheit:

B(p, q) = 0 ∫ 1 x p-1 (1-x) q-1 dx.

Die Beta-Funktion kann durch die Γ-Funktion ausgedrückt werden: B(p, q) = Γ(p)Г(q)/Г(p+q).So wie die Gammafunktion für ganze Zahlen eine Verallgemeinerung von Fakultätskoeffizienten ist, ist die Betafunktion gewissermaßen eine Verallgemeinerung von Binomialkoeffizienten.

Die Beta-Funktion beschreibt viele EigenschaftenElementarteilchen teilnehmen an starke Interaktion. Dieses Merkmal wurde vom italienischen theoretischen Physiker bemerktGabriele Veneziano im Jahr 1968. Dies war der Anfang Stringtheorie.

Der Name „Beta-Funktion“ und die Bezeichnung B(p, q) wurden 1839 vom französischen Mathematiker, Mechaniker und Astronomen Jacques Philippe Marie Binet eingeführt.

Laplace-Operator, Laplace-Operator. R. Murphy (1833).

Linearer Differentialoperator Δ, der Funktionen φ(x 1, x 2, ..., x n) von n Variablen x 1, x 2, ..., x n zuweist:

Δφ = ∂ 2 φ/∂х 1 2 + ∂ 2 φ/∂х 2 2 + ... + ∂ 2 φ/∂х n 2.

Insbesondere für eine Funktion φ(x) einer Variablen stimmt der Laplace-Operator mit dem Operator der 2. Ableitung überein: Δφ = d 2 φ/dx 2 . Die Gleichung Δφ = 0 wird üblicherweise Laplace-Gleichung genannt; Daher stammen auch die Namen „Laplace-Operator“ oder „Laplace-Operator“. Die Bezeichnung Δ wurde 1833 vom englischen Physiker und Mathematiker Robert Murphy eingeführt.

Hamilton-Operator, Nabla-Operator, Hamilton-Operator. O. Heaviside (1892).

Vektordifferentialoperator der Form

∇ = ∂/∂x ich+ ∂/∂y · J+ ∂/∂z · k,

Wo ich, J, Und k- Koordinateneinheitsvektoren. Die Grundoperationen der Vektoranalyse sowie der Laplace-Operator werden auf natürliche Weise durch den Nabla-Operator ausgedrückt.

Im Jahr 1853 führte der irische Mathematiker William Rowan Hamilton diesen Operator ein und prägte dafür das Symbol ∇ als umgekehrten griechischen Buchstaben Δ (Delta). Bei Hamilton zeigte die Spitze des Symbols nach links; später erhielt das Symbol in den Werken des schottischen Mathematikers und Physikers Peter Guthrie Tate seine moderne Form. Hamilton nannte dieses Symbol „atled“ (das Wort „delta“ rückwärts gelesen). Später begannen englische Gelehrte, darunter Oliver Heaviside, dieses Symbol „nabla“ zu nennen, nach dem Namen des Buchstabens ∇ im phönizischen Alphabet, wo es vorkommt. Der Ursprung des Buchstabens ist mit einem Musikinstrument wie der Harfe verbunden, ναβλα (nabla) bedeutet im Altgriechischen „Harfe“. Der Operator wurde Hamilton-Operator oder Nabla-Operator genannt.

Funktion. I. Bernoulli (1718), L. Euler (1734).

Ein mathematisches Konzept, das die Beziehung zwischen Elementen von Mengen widerspiegelt. Wir können sagen, dass eine Funktion ein „Gesetz“ ist, eine „Regel“, nach der jedes Element einer Menge (Definitionsbereich genannt) mit einem Element einer anderen Menge (Wertebereich genannt) verknüpft ist. Das mathematische Konzept einer Funktion drückt die intuitive Vorstellung davon aus, wie eine Größe den Wert einer anderen Größe vollständig bestimmt. Oftmals bezieht sich der Begriff „Funktion“ auf eine numerische Funktion; das heißt, eine Funktion, die einige Zahlen anderen zuordnet. Lange Zeit haben Mathematiker Argumente ohne Klammern angegeben, zum Beispiel so - φх. Diese Notation wurde erstmals 1718 vom Schweizer Mathematiker Johann Bernoulli verwendet.Klammern wurden nur bei mehreren Argumenten verwendet oder wenn das Argument ein komplexer Ausdruck war. Anklänge an diese Zeit sind die heute noch verwendeten AufnahmenSünde x, log xusw. Aber nach und nach wurde die Verwendung von Klammern f(x) zur allgemeinen Regel. Und der Hauptverdienst dafür gebührt Leonhard Euler.

Gleichwertigkeit. R. Rekord (1557).

Das Gleichheitszeichen wurde 1557 vom walisischen Arzt und Mathematiker Robert Record vorgeschlagen; Der Umriss des Symbols war viel länger als der aktuelle, da er das Bild zweier paralleler Segmente imitierte. Der Autor erklärte, dass es auf der Welt nichts Gleicheres gibt als zwei parallele Segmente gleicher Länge. Zuvor wurde Gleichheit in der antiken und mittelalterlichen Mathematik verbal bezeichnet (z. B Es ist egal). Im 17. Jahrhundert begann Rene Descartes, æ (von lat. aequalis), und er verwendete das moderne Gleichheitszeichen, um anzuzeigen, dass der Koeffizient negativ sein kann. François Viète verwendete das Gleichheitszeichen zur Bezeichnung der Subtraktion. Das Record-Symbol verbreitete sich nicht sofort. Die Verbreitung des Record-Symbols wurde dadurch erschwert, dass seit der Antike dasselbe Symbol verwendet wurde, um die Parallelität gerader Linien anzuzeigen; Letztendlich wurde beschlossen, das Parallelitätssymbol vertikal zu gestalten. In Kontinentaleuropa wurde das Zeichen „=“ von Gottfried Leibniz erst an der Wende vom 17. zum 18. Jahrhundert eingeführt, also mehr als 100 Jahre nach dem Tod von Robert Record, der es erstmals für diesen Zweck verwendete.

Ungefähr gleich, ungefähr gleich. A. Günther (1882).

Zeichen " ≈ " wurde 1882 vom deutschen Mathematiker und Physiker Adam Wilhelm Sigmund Günther als Symbol für die Beziehung „annähernd gleich“ eingeführt.

Mehr weniger. T. Harriot (1631).

Diese beiden Zeichen wurden 1631 vom englischen Astronomen, Mathematiker, Ethnographen und Übersetzer Thomas Harriot eingeführt; zuvor wurden die Wörter „mehr“ und „weniger“ verwendet.

Vergleichbarkeit. K. Gauss (1801).

Der Vergleich ist eine Beziehung zwischen zwei ganzen Zahlen n und m, was bedeutet, dass die Differenz n-m dieser Zahlen durch eine gegebene ganze Zahl a geteilt wird, die als Vergleichsmodul bezeichnet wird; es steht geschrieben: n≡m(mod a) und lautet „die Zahlen n und m sind modulo a vergleichbar“. Zum Beispiel 3≡11(mod 4), da 3-11 durch 4 teilbar ist; die Zahlen 3 und 11 sind modulo 4 vergleichbar. Kongruenzen haben viele ähnliche Eigenschaften wie Gleichheiten. Somit kann ein in einem Teil des Vergleichs befindlicher Term mit umgekehrtem Vorzeichen auf einen anderen Teil übertragen werden und Vergleiche mit demselben Modul können addiert, subtrahiert, multipliziert, beide Teile des Vergleichs mit derselben Zahl multipliziert werden usw . Zum Beispiel,

3≡9+2(mod 4) und 3-2≡9(mod 4)

Gleichzeitig echte Vergleiche. Und aus einem Paar korrekter Vergleiche 3≡11(mod 4) und 1≡5(mod 4) folgt Folgendes:

3+1≡11+5(mod 4)

3-1≡11-5(mod 4)

3·1≡11·5(mod 4)

3 2 ≡11 2 (mod 4)

3·23≡11·23(mod 4)

In der Zahlentheorie werden Methoden zur Lösung verschiedener Vergleiche betrachtet, d.h. Methoden zum Finden von ganzen Zahlen, die Vergleiche des einen oder anderen Typs erfüllen. Modulo-Vergleiche wurden erstmals vom deutschen Mathematiker Carl Gauß in seinem 1801 erschienenen Buch Arithmetic Studies verwendet. Er schlug auch eine in der Mathematik etablierte Symbolik für Vergleiche vor.

Identität. B. Riemann (1857).

Identität ist die Gleichheit zweier analytischer Ausdrücke, gültig für alle zulässigen Werte der darin enthaltenen Buchstaben. Die Gleichheit a+b = b+a gilt für alle Zahlenwerte von a und b und ist daher eine Identität. Zur Erfassung von Identitäten wird teilweise seit 1857 das Zeichen „≡“ (sprich „identisch gleich“) verwendet, dessen Autor in dieser Verwendung der deutsche Mathematiker Georg Friedrich Bernhard Riemann ist. Sie können aufschreiben a+b ≡ b+a.

Rechtwinkligkeit. P. Erigon (1634).

Rechtwinkligkeit ist die relative Lage zweier Geraden, Ebenen oder einer Geraden und einer Ebene, in der die angegebenen Figuren einen rechten Winkel bilden. Das Zeichen ⊥ zur Bezeichnung der Rechtwinkligkeit wurde 1634 vom französischen Mathematiker und Astronomen Pierre Erigon eingeführt. Der Begriff der Rechtwinkligkeit weist eine Reihe von Verallgemeinerungen auf, die jedoch in der Regel alle durch das Zeichen ⊥ begleitet werden.

Parallelität. W. Outred (posthume Ausgabe 1677).

Parallelität ist die Beziehung zwischen bestimmten geometrischen Figuren; zum Beispiel gerade. Je nach Geometrie unterschiedlich definiert; zum Beispiel in der Geometrie von Euklid und in der Geometrie von Lobatschewski. Das Zeichen der Parallelität ist seit der Antike bekannt und wurde von Heron und Pappus von Alexandria verwendet. Anfangs ähnelte das Symbol dem aktuellen Gleichheitszeichen (nur länger), aber mit der Einführung des letzteren wurde das Symbol, um Verwirrung zu vermeiden, in die Vertikale gedreht ||. In dieser Form erschien es erstmals in der posthumen Ausgabe der Werke des englischen Mathematikers William Oughtred im Jahr 1677.

Schnittpunkt, Vereinigung. J. Peano (1888).

Der Schnittpunkt von Mengen ist eine Menge, die genau diejenigen Elemente enthält, die gleichzeitig zu allen gegebenen Mengen gehören. Eine Mengenvereinigung ist eine Menge, die alle Elemente der ursprünglichen Mengen enthält. Schnittmenge und Vereinigung werden auch als Operationen an Mengen bezeichnet, die nach den oben angegebenen Regeln bestimmten Mengen neue Mengen zuordnen. Bezeichnet mit ∩ bzw. ∪. Zum Beispiel, wenn

A= (♠ ♣ ) Und B= (♣ ♦),

Das

A∩B= {♣ }

A∪B= {♠ ♣ ♦ } .

Enthält, enthält. E. Schröder (1890).

Wenn A und B zwei Mengen sind und es in A keine Elemente gibt, die nicht zu B gehören, dann sagt man, dass A in B enthalten ist. Man schreibt A⊂B oder B⊃A (B enthält A). Zum Beispiel,

{♠}⊂{♠ ♣}⊂{♠ ♣ ♦ }

{♠ ♣ ♦ }⊃{ ♦ }⊃{♦ }

Die Symbole „enthält“ und „enthält“ tauchten 1890 vom deutschen Mathematiker und Logiker Ernst Schröder auf.

Zugehörigkeit. J. Peano (1895).

Wenn a ein Element der Menge A ist, dann schreiben Sie a∈A und lesen Sie „a gehört zu A.“ Wenn a kein Element der Menge A ist, schreiben Sie a∉A und lesen Sie „a gehört nicht zu A.“ Zunächst wurden die Beziehungen „enthalten“ und „gehört“ („ist ein Element“) nicht unterschieden, doch im Laufe der Zeit erforderten diese Konzepte eine Differenzierung. Das Symbol ∈ wurde erstmals 1895 vom italienischen Mathematiker Giuseppe Peano verwendet. Das Symbol ∈ kommt vom ersten Buchstaben des griechischen Wortes εστι – sein.

Quantor der Universalität, Quantor der Existenz. G. Gentzen (1935), C. Pierce (1885).

Quantor ist eine allgemeine Bezeichnung für logische Operationen, die den Wahrheitsbereich eines Prädikats (mathematische Aussage) angeben. Philosophen widmen sich seit langem logischen Operationen, die den Wahrheitsbereich eines Prädikats einschränken, haben sie jedoch nicht als separate Klasse von Operationen identifiziert. Obwohl quantifiziererlogische Konstruktionen sowohl in der wissenschaftlichen als auch in der Alltagssprache weit verbreitet sind, erfolgte ihre Formalisierung erst 1879 im Buch des deutschen Logikers, Mathematikers und Philosophen Friedrich Ludwig Gottlob Frege „The Calculus of Concepts“. Freges Notation wirkte wie eine umständliche grafische Konstruktion und wurde nicht akzeptiert. Später wurden viele weitere erfolgreiche Symbole vorgeschlagen, aber die Notationen, die sich allgemein durchsetzten, waren ∃ für den existenziellen Quantor (sprich „existiert“, „es gibt“), der 1885 vom amerikanischen Philosophen, Logiker und Mathematiker Charles Peirce vorgeschlagen wurde, und ∀ für den universellen Quantor (sprich „any“, „each“, „everyone“), den der deutsche Mathematiker und Logiker Gerhard Karl Erich Gentzen 1935 in Analogie zum Symbol des Existenzquantors (umgekehrte Anfangsbuchstaben der englischen Wörter) bildete Existenz (Existenz) und Beliebig (beliebig)). Zum Beispiel aufzeichnen

(∀ε>0) (∃δ>0) (∀x≠x 0 , |x-x 0 |<δ) (|f(x)-A|<ε)

liest sich so: „Für jedes ε>0 gibt es δ>0, so dass für alle x ungleich x 0 und die Ungleichung |x-x 0 | erfüllt.“<δ, выполняется неравенство |f(x)-A|<ε".

Leeres Set. N. Bourbaki (1939).

Eine Menge, die kein einzelnes Element enthält. Das Zeichen der leeren Menge wurde 1939 in den Büchern von Nicolas Bourbaki eingeführt. Bourbaki ist das kollektive Pseudonym einer 1935 gegründeten Gruppe französischer Mathematiker. Eines der Mitglieder der Bourbaki-Gruppe war Andre Weil, der Autor des Ø-Symbols.

Q.E.D. D. Knuth (1978).

In der Mathematik wird ein Beweis als eine auf bestimmten Regeln basierende Folge von Überlegungen verstanden, die zeigt, dass eine bestimmte Aussage wahr ist. Seit der Renaissance bezeichnen Mathematiker das Ende eines Beweises mit der Abkürzung „Q.E.D.“, abgeleitet vom lateinischen Ausdruck „Quod Erat Demonstrandum“ – „Was zu beweisen war“. Als der amerikanische Informatikprofessor Donald Edwin Knuth 1978 das Computerlayoutsystem ΤΕΧ entwickelte, verwendete er ein Symbol: ein gefülltes Quadrat, das sogenannte „Halmos-Symbol“, benannt nach dem in Ungarn geborenen amerikanischen Mathematiker Paul Richard Halmos. Heutzutage wird die Vollendung eines Beweises üblicherweise durch das Halmos-Symbol angezeigt. Alternativ werden auch andere Zeichen verwendet: ein leeres Quadrat, ein rechtwinkliges Dreieck, // (zwei Schrägstriche) sowie die russische Abkürzung „ch.t.d.“