Schreiben Sie eine Entwicklung der Funktion in positive ganzzahlige Potenzen. Erweiterung einer Funktion in eine Taylor-, Maclaurin-, Laurent-Reihe

Wenn die Funktion f(x) hat auf einem Intervall, das den Punkt enthält A, Ableitungen aller Ordnungen, dann kann die Taylor-Formel darauf angewendet werden:

Wo r n– der sogenannte Restterm oder Rest der Reihe, er kann mit der Lagrange-Formel geschätzt werden:

, wobei die Zahl x zwischen liegt X Und A.

Wenn für einen gewissen Wert x r n®0 bei N®¥, dann geht die Taylor-Formel im Grenzfall in eine konvergente Formel für diesen Wert über Taylor-Reihe:

Also die Funktion f(x) kann an der betreffenden Stelle zu einer Taylor-Reihe entwickelt werden X, Wenn:

1) Es gibt Derivate aller Ordnungen;

2) Die konstruierte Reihe konvergiert an diesem Punkt.

Bei A=0 erhalten wir eine Reihe namens in der Nähe von Maclaurin:

Beispiel 1 f(x)= 2X.

Lösung. Finden wir die Werte der Funktion und ihrer Ableitungen bei X=0

f(x) = 2X, F( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2X ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2= ln2;

f¢¢(x) = 2X ln 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;

f(n)(x) = 2X ln N 2, f(n)( 0) = 2 0 ln N 2=ln N 2.

Wenn wir die erhaltenen Werte der Ableitungen in die Taylor-Reihenformel einsetzen, erhalten wir:

Der Konvergenzradius dieser Reihe ist gleich unendlich, daher gilt diese Entwicklung für -¥