Zeichnen Sie die Funktion mit der Lösung grafisch auf. Vollständige Untersuchung der Funktion und Darstellung des Diagramms

Um die Funktion vollständig zu studieren und ihren Graphen darzustellen, wird empfohlen, das folgende Schema zu verwenden:

1) Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion;

2) Finden Sie die Diskontinuitätspunkte der Funktion und der vertikalen Asymptoten (falls vorhanden);

3) Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion im Unendlichen und finden Sie horizontale und schräge Asymptoten.

4) Untersuchen Sie die Funktion auf Parität (Seltsamkeit) und Periodizität (für trigonometrische Funktionen);

5) Finden Sie Extrema und Intervalle der Monotonie der Funktion;

6) Bestimmen Sie die Konvexitätsintervalle und Wendepunkte;

7) Finden Sie die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und, wenn möglich, einige zusätzliche Punkte, die den Graphen verdeutlichen.

Das Studium der Funktion erfolgt gleichzeitig mit der Konstruktion ihres Graphen.

Beispiel 9 Erkunden Sie die Funktion und erstellen Sie ein Diagramm.

1. Definitionsbereich: ;

2. Die Funktion weist an Punkten Diskontinuität auf
,
;

Wir untersuchen die Funktion auf das Vorhandensein vertikaler Asymptoten.

;
,
─ vertikale Asymptote.

3. Wir untersuchen die Funktion auf das Vorhandensein schräger und horizontaler Asymptoten.

Gerade
─ schräge Asymptote, wenn
,
.

,
.

Gerade
─ horizontale Asymptote.

4. Die Funktion ist gerade weil
. Die Parität der Funktion gibt die Symmetrie des Diagramms relativ zur Ordinatenachse an.

5. Finden Sie die Monotonieintervalle und Extrema der Funktion.

Finden wir die kritischen Punkte, d.h. Punkte, an denen die Ableitung 0 ist oder nicht existiert:
;
. Wir haben drei Punkte
;

. Diese Punkte unterteilen die gesamte reale Achse in vier Intervalle. Definieren wir die Zeichen auf jedem von ihnen.

Auf den Intervallen (-∞; -1) und (-1; 0) nimmt die Funktion zu, auf den Intervallen (0; 1) und (1; +∞) ─ ab. Beim Passieren eines Punktes
Die Ableitung ändert das Vorzeichen von Plus nach Minus, daher weist die Funktion an diesem Punkt ein Maximum auf
.

6. Finden Sie die Intervalle der Konvexität und Wendepunkte.

Finden wir die Punkte, an denen ist 0 oder existiert nicht.

hat keine wirklichen Wurzeln.
,
,

Punkte
Und
Teilen Sie die reale Achse in drei Intervalle. Definieren wir das Zeichen in jedem Intervall.

Somit ist die Kurve über die Intervalle
Und
konvex nach unten, im Intervall (-1;1) konvex nach oben; Es gibt keine Wendepunkte, da die Funktion an Punkten liegt
Und
unentschlossen.

7. Finden Sie die Schnittpunkte mit den Achsen.

Mit Achse
Der Graph der Funktion schneidet sich im Punkt (0; -1) und mit der Achse
der Graph schneidet sich nicht, weil Der Zähler dieser Funktion hat keine echten Wurzeln.

Der Graph der gegebenen Funktion ist in Abbildung 1 dargestellt.

Abbildung 1 ─ Funktionsgraph

Anwendung des Derivatkonzepts in der Wirtschaftswissenschaft. Elastizitätsfunktion

Um wirtschaftliche Prozesse zu untersuchen und andere angewandte Probleme zu lösen, wird häufig das Konzept der Elastizität einer Funktion verwendet.

Definition. Elastizitätsfunktion
heißt Grenze des Verhältnisses des relativen Inkrements der Funktion zum relativen Inkrement der Variablen bei
, . (VII)

Die Elastizität einer Funktion gibt ungefähr an, um wie viel Prozent sich die Funktion ändert
wenn sich die unabhängige Variable ändert um 1 %.

Die Elastizitätsfunktion wird bei der Analyse von Nachfrage und Verbrauch verwendet. Wenn die Nachfrageelastizität (in absoluten Werten)
, dann gilt die Nachfrage als elastisch, wenn
─ neutral wenn
─ unelastisch im Verhältnis zum Preis (oder Einkommen).

Beispiel 10 Berechnen Sie die Elastizität der Funktion
und ermitteln Sie den Wert des Elastizitätsindex für = 3.

Lösung: Nach Formel (VII) beträgt die Elastizität der Funktion:

Sei also x=3
.Das heißt, wenn die unabhängige Variable um 1 % steigt, erhöht sich der Wert der abhängigen Variablen um 1,42 %.

Beispiel 11 Lassen Sie die Nachfrage funktionieren bezüglich des Preises sieht aus wie
, Wo ─ konstanter Koeffizient. Finden Sie den Wert des Elastizitätsindikators der Nachfragefunktion zum Preis x = 3 Den. Einheiten

Lösung: Berechnen Sie die Elastizität der Nachfragefunktion mit Formel (VII)

Glauben
Geldeinheiten erhalten wir
. Das bedeutet, dass es seinen Preis hat
Geldeinheiten Eine Preiserhöhung um 1 % führt zu einem Rückgang der Nachfrage um 6 %, d. h. Die Nachfrage ist elastisch.

Führen Sie eine vollständige Studie durch und zeichnen Sie die Funktion grafisch auf

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Der Umfang der Funktion. Da die Funktion ein Bruch ist, müssen wir die Nullstellen des Nenners finden.

1−x=0,⇒x=1,1−x=0,⇒x=1.

Wir schließen den einzigen Punkt x=1x=1 aus dem Definitionsbereich der Funktion aus und erhalten:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Lassen Sie uns das Verhalten der Funktion in der Nähe des Unstetigkeitspunkts untersuchen. Finden wir einseitige Grenzen:

Da die Grenzen gleich unendlich sind, ist der Punkt x=1x=1 eine Unstetigkeit zweiter Art, die Gerade x=1x=1 eine vertikale Asymptote.

3) Bestimmen wir die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen.

Finden wir die Schnittpunkte mit der Ordinatenachse OyOy, für die wir x=0x=0 setzen:

Somit hat der Schnittpunkt mit der OyOy-Achse die Koordinaten (0;8)(0;8).

Finden wir die Schnittpunkte mit der Abszissenachse OxOx, für die wir y=0y=0 setzen:

Die Gleichung hat keine Wurzeln, daher gibt es keine Schnittpunkte mit der OxOx-Achse.

Beachten Sie, dass x2+8>0x2+8>0 für jedes xx gilt. Daher ist für x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) die Funktion y>0y>0 (nimmt positive Werte an, der Graph liegt über der x-Achse), für x∈(1;+∞ )x∈(1; +∞) Funktion y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Die Funktion ist weder gerade noch ungerade, weil:

5) Untersuchen wir die Funktion auf Periodizität. Die Funktion ist nicht periodisch, da es sich um eine gebrochenrationale Funktion handelt.

6) Untersuchen wir die Funktion auf Extrema und Monotonie. Dazu ermitteln wir die erste Ableitung der Funktion:

Setzen wir die erste Ableitung mit Null gleich und finden stationäre Punkte (an denen y′=0y′=0):

Wir haben drei kritische Punkte: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Teilen wir den gesamten Definitionsbereich der Funktion mit diesen Punkten in Intervalle auf und bestimmen wir die Vorzeichen der Ableitung in jedem Intervall:

Für x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) ist die Ableitung y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

Für x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) der Ableitung y′>0y′>0 nimmt die Funktion in diesen Intervallen zu.

In diesem Fall ist x=−2x=−2 ein lokaler Minimalpunkt (die Funktion nimmt ab und dann zu), x=4x=4 ist ein lokaler Maximalpunkt (die Funktion nimmt zu und dann ab).

Suchen wir die Werte der Funktion an diesen Punkten:

Somit ist der minimale Punkt (−2;4)(−2;4), der maximale Punkt ist (4;−8)(4;−8).

7) Lassen Sie uns die Funktion auf Knicke und Konvexität untersuchen. Finden wir die zweite Ableitung der Funktion:

Setzen wir die zweite Ableitung mit Null gleich:

Die resultierende Gleichung hat keine Wurzeln, daher gibt es keine Wendepunkte. Wenn außerdem x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 erfüllt ist, d. h. die Funktion konkav ist, wenn x∈(1;+∞)x∈( 1;+ ∞) wird durch y'' erfüllt<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Untersuchen wir das Verhalten der Funktion im Unendlichen, also bei .

Da die Grenzen unendlich sind, gibt es keine horizontalen Asymptoten.

Versuchen wir, schräge Asymptoten der Form y=kx+by=kx+b zu bestimmen. Wir berechnen die Werte von k,bk,b mit bekannten Formeln:

Wir haben herausgefunden, dass die Funktion eine schräge Asymptote y=−x−1y=−x−1 hat.

9) Zusätzliche Punkte. Berechnen wir den Wert der Funktion an einigen anderen Punkten, um den Graphen genauer zu erstellen.

y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.

10) Basierend auf den erhaltenen Daten erstellen wir einen Graphen, ergänzen ihn mit den Asymptoten x=1x=1 (blau), y=−x−1y=−x−1 (grün) und markieren die charakteristischen Punkte (lila Schnittpunkt mit der Ordinate). Achse, orangefarbene Extrema, schwarze Zusatzpunkte):

Aufgabe 4: Geometrische, wirtschaftliche Probleme (ich habe keine Ahnung, was, hier ist eine ungefähre Auswahl von Problemen mit Lösungen und Formeln)

Beispiel 3.23. A

Lösung. X Und j j
y = a - 2×a/4 =a/2. Da x = a/4 der einzige kritische Punkt ist, prüfen wir, ob sich das Vorzeichen der Ableitung beim Durchlaufen dieses Punktes ändert. Für xa/4 S " > 0 und für x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Beispiel 3.24.

Lösung.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Beispiel 3.22. Finden Sie die Extrema der Funktion f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Lösung. Da f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3), dann sind die kritischen Punkte der Funktion x 1 = 2 und x 2 = 3. Extrema können nur bei liegen Diese Punkte. Wenn also die Ableitung beim Durchgang durch den Punkt x 1 = 2 ihr Vorzeichen von Plus nach Minus ändert, hat die Funktion an diesem Punkt ein Maximum. Beim Durchgang durch den Punkt x 2 = 3 ändert die Ableitung ihr Vorzeichen von Minus zu plus, daher hat die Funktion am Punkt x 2 = 3 ein Minimum. Nachdem wir die Funktionswerte an den Punkten berechnet haben
x 1 = 2 und x 2 = 3, wir finden die Extrema der Funktion: Maximum f(2) = 14 und Minimum f(3) = 13.

Beispiel 3.23. Es ist notwendig, in der Nähe der Steinmauer einen rechteckigen Bereich zu errichten, der an drei Seiten mit Drahtgeflecht eingezäunt ist und die vierte Seite an die Mauer angrenzt. Dafür gibt es A laufende Meter Maschenweite. Bei welchem Seitenverhältnis wird die Website die größte Fläche haben?

Lösung. Bezeichnen wir die Seiten der Plattform mit X Und j. Die Fläche des Geländes beträgt S = xy. Lassen j- Dies ist die Länge der Seite neben der Wand. Dann muss aufgrund der Bedingung die Gleichheit 2x + y = a gelten. Daher ist y = a - 2x und S = x(a - 2x), wobei
0 ≤ x ≤ a/2 (die Länge und Breite des Pads dürfen nicht negativ sein). S " = a - 4x, a - 4x = 0 bei x = a/4, daher
y = a - 2×a/4 =a/2. Da x = a/4 der einzige kritische Punkt ist, prüfen wir, ob sich das Vorzeichen der Ableitung beim Durchlaufen dieses Punktes ändert. Für xa/4 S " > 0 und für x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Beispiel 3.24. Es ist erforderlich, einen geschlossenen zylindrischen Tank mit einem Fassungsvermögen von V=16p ≈ 50 m 3 herzustellen. Welche Abmessungen sollte der Tank haben (Radius R und Höhe H), damit für seine Herstellung möglichst wenig Material verbraucht wird?

Lösung. Die Gesamtoberfläche des Zylinders beträgt S = 2pR(R+H). Wir kennen das Volumen des Zylinders V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Das bedeutet S(R) = 2p(R 2 +16/R). Wir finden die Ableitung dieser Funktion:
S " (R) = 2p(2R- 16/R 2) = 4p (R- 8/R 2). S " (R) = 0 für R 3 = 8, daher
R = 2, H = 16/4 = 4.

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Eine der wichtigsten Aufgaben der Differentialrechnung ist die Entwicklung allgemeiner Beispiele für die Untersuchung des Verhaltens von Funktionen.

Wenn die Funktion y=f(x) im Intervall stetig ist und ihre Ableitung im Intervall (a,b) positiv oder gleich 0 ist, dann erhöht sich y=f(x) um (f"(x)0) . Wenn die Funktion y=f(x) auf dem Segment stetig ist und ihre Ableitung auf dem Intervall (a,b) negativ oder gleich 0 ist, dann nimmt y=f(x) um (f"(x)0 ab )

Intervalle, in denen die Funktion nicht abnimmt oder zunimmt, werden als Intervalle der Monotonie der Funktion bezeichnet. Die Monotonie einer Funktion kann sich nur an den Punkten ihres Definitionsbereichs ändern, an denen sich das Vorzeichen der ersten Ableitung ändert. Die Punkte, an denen die erste Ableitung einer Funktion verschwindet oder eine Diskontinuität aufweist, werden als kritisch bezeichnet.

Satz 1 (1. hinreichende Bedingung für die Existenz eines Extremums).

Die Funktion y=f(x) sei am Punkt x 0 definiert und es gebe eine Umgebung δ>0, so dass die Funktion im Intervall stetig und im Intervall (x 0 -δ,x 0) differenzierbar ist.u( x 0 , x 0 +δ) und seine Ableitung behält in jedem dieser Intervalle ein konstantes Vorzeichen. Wenn dann auf x 0 -δ,x 0) und (x 0 , x 0 +δ) die Vorzeichen der Ableitung unterschiedlich sind, dann ist x 0 ein Extrempunkt, und wenn sie zusammenfallen, dann ist x 0 kein Extrempunkt . Wenn außerdem beim Durchgang durch den Punkt x0 die Ableitung das Vorzeichen von Plus nach Minus ändert (links von x 0 ist f"(x)>0 erfüllt, dann ist x 0 der maximale Punkt; wenn die Ableitung das Vorzeichen von ändert Minus nach Plus (rechts von x 0 ausgeführt f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Die maximalen und minimalen Punkte werden als Extrempunkte der Funktion bezeichnet, und das Maximum und das Minimum der Funktion werden als ihre Extremwerte bezeichnet.

Satz 2 (ein notwendiges Zeichen eines lokalen Extremums).

Wenn die Funktion y=f(x) beim aktuellen x=x 0 ein Extremum hat, dann existiert entweder f’(x 0)=0 oder f’(x 0) nicht.
An den Extrempunkten der differenzierbaren Funktion verläuft die Tangente an ihren Graphen parallel zur Ox-Achse.

Algorithmus zur Untersuchung einer Funktion für ein Extremum:

1) Finden Sie die Ableitung der Funktion.
2) Kritische Punkte finden, d.h. Punkte, an denen die Funktion stetig ist und die Ableitung Null ist oder nicht existiert.
3) Betrachten Sie die Umgebung jedes Punktes und untersuchen Sie das Vorzeichen der Ableitung links und rechts von diesem Punkt.
4) Bestimmen Sie die Koordinaten der Extrempunkte; setzen Sie dazu die Werte der kritischen Punkte in diese Funktion ein. Ziehen Sie unter Verwendung ausreichender Bedingungen für das Extremum die entsprechenden Schlussfolgerungen.

Beispiel 18. Untersuchen Sie die Funktion y=x 3 -9x 2 +24x auf ein Extremum

Lösung.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Wenn wir die Ableitung mit Null gleichsetzen, finden wir x 1 =2, x 2 =4. In diesem Fall ist die Ableitung überall definiert; Das bedeutet, dass es außer den beiden gefundenen Punkten keine weiteren kritischen Punkte gibt.
3) Das Vorzeichen der Ableitung y"=3(x-2)(x-4) ändert sich je nach Intervall, wie in Abbildung 1 dargestellt. Beim Durchgang durch den Punkt x=2 ändert die Ableitung ihr Vorzeichen von Plus nach Minus. und beim Durchgang durch den Punkt x=4 - von Minus nach Plus.
4) Am Punkt x=2 hat die Funktion ein Maximum y max =20 und am Punkt x=4 - ein Minimum y min =16.

Satz 3. (2. hinreichende Bedingung für die Existenz eines Extremums).

Sei f"(x 0) und am Punkt x 0 existiert f""(x 0). Wenn dann f""(x 0)>0, dann ist x 0 der Minimalpunkt, und wenn f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Auf einem Segment kann die Funktion y=f(x) entweder an den im Intervall (a;b) liegenden kritischen Punkten der Funktion den kleinsten (y der kleinste) oder den größten (y der höchste) Wert erreichen die Enden des Segments.

Algorithmus zum Ermitteln der größten und kleinsten Werte einer stetigen Funktion y=f(x) auf dem Segment:

1) Finden Sie f"(x).
2) Finden Sie die Punkte, an denen f"(x)=0 oder f"(x) nicht existiert, und wählen Sie daraus diejenigen aus, die innerhalb des Segments liegen.
3) Berechnen Sie den Wert der Funktion y=f(x) an den in Schritt 2) erhaltenen Punkten sowie an den Enden des Segments und wählen Sie daraus den größten und den kleinsten aus: Sie sind jeweils die größten (y der größte) und der kleinste (y der kleinste) Wert der Funktion im Intervall.

Beispiel 19. Finden Sie den größten Wert der stetigen Funktion y=x 3 -3x 2 -45+225 auf dem Segment.

1) Wir haben y"=3x 2 -6x-45 auf dem Segment
2) Die Ableitung y" existiert für alle x. Suchen wir die Punkte, an denen y"=0; wir bekommen:
3x 2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 =-3; x 2 =5
3) Berechnen Sie den Wert der Funktion an den Punkten x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Das Segment enthält nur den Punkt x=5. Der größte der gefundenen Werte der Funktion ist 225 und der kleinste ist die Zahl 50. Also, y max = 225, y min = 50.

Untersuchung einer Funktion auf Konvexität

Die Abbildung zeigt Diagramme zweier Funktionen. Der erste von ihnen ist nach oben konvex, der zweite nach unten.

Die Funktion y=f(x), die auf einem Intervall stetig und im Intervall (a;b) differenzierbar ist, heißt auf diesem Intervall konvex nach oben (nach unten), wenn ihr Graph für axb nicht höher (nicht tiefer) als liegt Tangente, die an einem beliebigen Punkt M 0 (x 0 ;f(x 0)) gezogen wird, wobei axb.

Satz 4. Die Funktion y=f(x) habe an jedem inneren Punkt x des Segments eine zweite Ableitung und sei an den Enden dieses Segments stetig. Wenn dann die Ungleichung f""(x)0 auf dem Intervall (a;b) gilt, dann ist die Funktion auf dem Intervall nach unten konvex; gilt die Ungleichung f""(x)0 für das Intervall (a;b), dann ist die Funktion aufwärts konvex.

Satz 5. Wenn die Funktion y=f(x) eine zweite Ableitung auf dem Intervall (a;b) hat und wenn sie beim Durchgang durch den Punkt x 0 das Vorzeichen ändert, dann ist M(x 0 ;f(x 0)). ein Wendepunkt.

Regel zum Finden von Wendepunkten:

1) Finden Sie die Punkte, an denen f""(x) nicht existiert oder verschwindet.
2) Untersuchen Sie das Zeichen f""(x) links und rechts von jedem im ersten Schritt gefundenen Punkt.
3) Ziehen Sie basierend auf Satz 4 eine Schlussfolgerung.

Beispiel 20. Finden Sie die Extrempunkte und Wendepunkte des Graphen der Funktion y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Wir haben f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Offensichtlich ist f"(x)=0, wenn x 1 =0, x 2 =1. Beim Durchgang durch den Punkt x=0 ändert die Ableitung das Vorzeichen von Minus nach Plus, beim Durchgang durch den Punkt x=1 ändert sie das Vorzeichen jedoch nicht. Das bedeutet, dass x=0 der Minimalpunkt ist (y min =12) und es am Punkt x=1 kein Extremum gibt. Als nächstes finden wir . Die zweite Ableitung verschwindet an den Punkten x 1 =1, x 2 =1/3. Die Vorzeichen der zweiten Ableitung ändern sich wie folgt: Auf dem Strahl (-∞;) gilt f""(x)>0, auf dem Intervall (;1) gilt f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Daher ist x= der Wendepunkt des Funktionsgraphen (Übergang von der Konvexität nach unten zur Konvexität nach oben) und x=1 ist auch der Wendepunkt (Übergang von der Konvexität nach oben zur Konvexität nach unten). Wenn x=, dann y=; wenn, dann x=1, y=13.

Algorithmus zum Finden der Asymptote eines Graphen

I. Wenn y=f(x) für x → a, dann ist x=a eine vertikale Asymptote.
II. Wenn y=f(x) für x → ∞ oder x → -∞, dann ist y=A eine horizontale Asymptote.
III. Um die schräge Asymptote zu finden, verwenden wir den folgenden Algorithmus:
1) Berechnen. Wenn der Grenzwert existiert und gleich b ist, dann ist y=b eine horizontale Asymptote; Wenn ja, fahren Sie mit dem zweiten Schritt fort.
2) Berechnen. Wenn dieser Grenzwert nicht existiert, gibt es keine Asymptote; Wenn es existiert und gleich k ist, fahren Sie mit dem dritten Schritt fort.
3) Berechnen. Wenn dieser Grenzwert nicht existiert, gibt es keine Asymptote; Wenn es existiert und gleich b ist, fahren Sie mit dem vierten Schritt fort.
4) Schreiben Sie die Gleichung der schrägen Asymptote y=kx+b auf.

Beispiel 21: Finden Sie die Asymptote für eine Funktion

1)
2)
3)
4) Die Gleichung der schiefen Asymptote hat die Form

Schema zum Studieren einer Funktion und zum Erstellen ihres Graphen

I. Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion.
II. Finden Sie die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen.
III. Finden Sie Asymptoten.
IV. Finden Sie mögliche Extrempunkte.
V. Finden Sie kritische Punkte.
VI. Untersuchen Sie anhand der Hilfsfigur das Vorzeichen der ersten und zweiten Ableitung. Bestimmen Sie Bereiche mit zunehmender und abnehmender Funktion, ermitteln Sie die Konvexitätsrichtung des Diagramms, Extrempunkte und Wendepunkte.
VII. Erstellen Sie ein Diagramm und berücksichtigen Sie dabei die in den Absätzen 1–6 durchgeführten Untersuchungen.

Beispiel 22: Konstruieren Sie einen Graphen der Funktion gemäß dem obigen Diagramm

Lösung.
I. Der Definitionsbereich einer Funktion ist die Menge aller reellen Zahlen außer x=1.
II. Da die Gleichung x 2 +1=0 keine echten Wurzeln hat, hat der Graph der Funktion keine Schnittpunkte mit der Ox-Achse, sondern schneidet die Oy-Achse im Punkt (0;-1).
III. Lassen Sie uns die Frage nach der Existenz von Asymptoten klären. Lassen Sie uns das Verhalten der Funktion in der Nähe des Diskontinuitätspunkts x=1 untersuchen. Da y → ∞ wie x → -∞, y → +∞ wie x → 1+, dann ist die Gerade x=1 die vertikale Asymptote des Graphen der Funktion.
Wenn x → +∞(x → -∞), dann y → +∞(y → -∞); Daher hat der Graph keine horizontale Asymptote. Weiter aus der Existenz von Grenzen

Wenn wir die Gleichung x 2 -2x-1=0 lösen, erhalten wir zwei mögliche Extrempunkte:
x 1 =1-√2 und x 2 =1+√2

V. Um die kritischen Punkte zu finden, berechnen wir die zweite Ableitung:

Da f""(x) nicht verschwindet, gibt es keine kritischen Punkte.
VI. Untersuchen wir das Vorzeichen der ersten und zweiten Ableitung. Mögliche zu berücksichtigende Extrempunkte: x 1 =1-√2 und x 2 =1+√2, teilen Sie den Existenzbereich der Funktion in Intervalle (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) und (1+√2;+∞).

In jedem dieser Intervalle behält die Ableitung ihr Vorzeichen: im ersten - Plus, im zweiten - Minus, im dritten - Plus. Die Vorzeichenfolge der ersten Ableitung wird wie folgt geschrieben: +,-,+.
Wir stellen fest, dass die Funktion bei (-∞;1-√2) zunimmt, bei (1-√2;1+√2) abnimmt und bei (1+√2;+∞) wieder zunimmt. Extrempunkte: Maximum bei x=1-√2 und f(1-√2)=2-2√2 Minimum bei x=1+√2 und f(1+√2)=2+2√2. Bei (-∞;1) ist der Graph nach oben konvex und bei (1;+∞) nach unten konvex.
VII Lassen Sie uns eine Tabelle der erhaltenen Werte erstellen

VIII Basierend auf den erhaltenen Daten erstellen wir eine Skizze des Funktionsgraphen