Η έννοια των δεκαδικών κλασμάτων και οι πράξεις με αυτά. Πώς να λύσετε δεκαδικούς αριθμούς

Στο προηγούμενο μέρος, εξετάσαμε τα κλάσματα με κάθε είδους παρονομαστές και τα ονομάσαμε συνηθισμένα κλάσματα. Μας ενδιέφερε οποιοδήποτε κλάσμα προέκυψε στη διαδικασία μέτρησης ή διαίρεσης, ανεξάρτητα από τον παρονομαστή που καταλήξαμε.

Τώρα, από ολόκληρο το σύνολο των κλασμάτων, θα ξεχωρίσουμε κλάσματα με παρονομαστές: 10, 100, 1.000, 10.000 κ.λπ., δηλαδή τέτοια κλάσματα των οποίων οι παρονομαστές είναι μόνο αριθμοί που αντιπροσωπεύονται από ένα (1) ακολουθούμενα από μηδενικά (ένα ή περισσότερα ). Τέτοια κλάσματα λέγονται δεκαδικός.

Ακολουθούν παραδείγματα δεκαδικών κλασμάτων:

Έχουμε συναντήσει δεκαδικά κλάσματα στο παρελθόν, αλλά δεν έχουμε υποδείξει καμία ειδική ιδιότητα εγγενή σε αυτά. Θα δείξουμε τώρα ότι έχουν μερικές αξιόλογες ιδιότητες που κάνουν όλους τους υπολογισμούς με τα κλάσματα απλούστερους.

§ 103. Εικόνα δεκαδικού κλάσματος χωρίς παρονομαστή.

Τα δεκαδικά κλάσματα συνήθως γράφονται όχι με τον ίδιο τρόπο όπως τα συνηθισμένα κλάσματα, αλλά σύμφωνα με τους κανόνες με τους οποίους γράφονται οι ακέραιοι αριθμοί.

Για να κατανοήσετε πώς να γράψετε ένα δεκαδικό κλάσμα χωρίς παρονομαστή, πρέπει να θυμάστε πώς γράφεται οποιοσδήποτε ακέραιος στο δεκαδικό σύστημα. Αν, για παράδειγμα, γράψουμε έναν τριψήφιο αριθμό χρησιμοποιώντας μόνο τον αριθμό 2, δηλαδή τον αριθμό 222, τότε καθένα από αυτά τα δύο θα έχει ιδιαίτερη σημασία ανάλογα με τη θέση που καταλαμβάνει στον αριθμό. Τα δύο πρώτα στα δεξιά αντιπροσωπεύουν μονάδες, το δεύτερο για δεκάδες και το τρίτο για εκατοντάδες. Έτσι, οποιοδήποτε ψηφίο στα αριστερά οποιουδήποτε άλλου ψηφίου υποδηλώνει μονάδες δέκα φορές μεγαλύτερες από αυτές που συμβολίζονται με το προηγούμενο ψηφίο. Εάν λείπει κάποιο ψηφίο, τότε στη θέση του γράφεται ένα μηδέν.

Έτσι, σε έναν ακέραιο αριθμό, οι μονάδες βρίσκονται στην πρώτη θέση δεξιά, οι δεκάδες στη δεύτερη θέση κ.λπ.

Ας θέσουμε τώρα την ερώτηση, ποιο ψηφίο μονάδων θα πάρουμε αν, για παράδειγμα, βρισκόμαστε στον αριθμό 222 με δικαίωμαΑς προσθέσουμε έναν ακόμη αριθμό στο πλάι. Για να απαντήσετε σε αυτήν την ερώτηση, πρέπει να λάβετε υπόψη ότι τα δύο τελευταία (το πρώτο από τα δεξιά) αντιπροσωπεύουν ένα.

Επομένως, εάν μετά από τα δύο, που δηλώνουν μονάδες, υποχωρούμε λίγο πίσω, γράψουμε κάποιον άλλο αριθμό, για παράδειγμα 3, τότε θα δείξει μονάδες, δέκα φορές μικρότερο από τα προηγούμενα, με άλλα λόγια, θα σημαίνει δέκαταμονάδες? Το αποτέλεσμα είναι ένας αριθμός που περιέχει 222 ολόκληρες μονάδες και 3 δέκατα της μονάδας.

Συνηθίζεται να βάζετε κόμμα μεταξύ του ακέραιου και των κλασματικών μερών του αριθμού, δηλαδή γράφετε ως εξής:

Εάν μετά τα τρία προσθέσουμε έναν άλλο αριθμό σε αυτόν τον αριθμό, για παράδειγμα 4, τότε θα σημαίνει 4 εκατοστάκλάσματα μιας μονάδας? ο αριθμός θα μοιάζει με:

και εκφέρεται: διακόσια είκοσι δύο σημεία τριάντα τέσσερα εκατοστά.

Ένα νέο ψηφίο, για παράδειγμα 5, όταν εκχωρείται σε αυτόν τον αριθμό, μας δίνει χιλιοστά: 222.345 (διακόσια είκοσι δύο πόντοι τριακόσια σαράντα πέντε χιλιοστά).

Για μεγαλύτερη σαφήνεια, η διάταξη στον αριθμό των ακεραίων και κλασματικών ψηφίων μπορεί να παρουσιαστεί με τη μορφή πίνακα:

Έτσι, εξηγήσαμε πώς γράφονται τα δεκαδικά κλάσματα χωρίς παρονομαστή. Ας γράψουμε μερικά από αυτά τα κλάσματα.

Για να γράψετε το κλάσμα 5/10 χωρίς παρονομαστή, πρέπει να λάβετε υπόψη ότι δεν έχει ακέραιους αριθμούς και, επομένως, η θέση των ακεραίων πρέπει να καταλαμβάνεται από το μηδέν, δηλαδή 5/10 = 0,5.

Το κλάσμα 2 9 / 100 χωρίς παρονομαστή θα γραφτεί ως εξής: 2,09, δηλαδή στη θέση των δέκατων πρέπει να βάλετε ένα μηδέν. Αν είχαμε παραλείψει αυτό το 0, θα είχαμε λάβει ένα τελείως διαφορετικό κλάσμα, δηλαδή 2,9, δηλαδή δύο ολόκληρα και εννέα δέκατα.

Αυτό σημαίνει ότι όταν γράφετε δεκαδικά κλάσματα, πρέπει να υποδηλώσετε τους ακέραιους και τα κλασματικά ψηφία που λείπουν με μηδέν:

0,325 - χωρίς ακέραιους αριθμούς,
0,012 - χωρίς ακέραιους αριθμούς και χωρίς δέκατα,
1,208 - όχι εκατοστά,
0,20406 - χωρίς ακέραιους αριθμούς, χωρίς εκατοστά και χωρίς δέκα χιλιάδες.

Οι αριθμοί στα δεξιά της υποδιαστολής ονομάζονται δεκαδικοί.

Για να αποφύγετε λάθη κατά τη σύνταξη δεκαδικών κλασμάτων, πρέπει να θυμάστε ότι μετά την υποδιαστολή στην εικόνα ενός δεκαδικού κλάσματος θα πρέπει να υπάρχουν τόσοι αριθμοί όσοι θα υπήρχαν μηδενικά στον παρονομαστή αν γράφαμε αυτό το κλάσμα με παρονομαστή, δηλ.

0,1 = 1/10 (υπάρχει ένα μηδέν στον παρονομαστή και ένα ψηφίο μετά την υποδιαστολή).

§ 104. Προσάρτηση μηδενικών σε δεκαδικά κλάσματα.

Η προηγούμενη παράγραφος περιέγραψε πώς αναπαρίστανται τα δεκαδικά κλάσματα χωρίς παρονομαστές. Το μηδέν είναι σημαντικό όταν γράφετε δεκαδικούς αριθμούς. Κάθε σωστό δεκαδικό κλάσμα έχει ένα μηδέν στη θέση των ακεραίων για να δείξει ότι το κλάσμα δεν έχει ακέραιους αριθμούς. Τώρα θα γράψουμε πολλά διαφορετικά δεκαδικά κλάσματα χρησιμοποιώντας τους αριθμούς: 0, 3 και 5.

0,35 - 0 ολόκληρο, 35 εκατοστά,
0,035 - 0 ολόκληρο, 35 χιλιοστά,
0,305 - 0 ολόκληρο, 305 χιλιοστά,
0,0035 - 0 ολόκληρο, 35 δέκα χιλιάδες.

Ας μάθουμε τώρα τι σημασία έχουν τα μηδενικά που τοποθετούνται στο τέλος του δεκαδικού κλάσματος, δηλαδή στα δεξιά.

Αν πάρουμε έναν ακέραιο, για παράδειγμα 5, βάλουμε κόμμα μετά από αυτόν και μετά γράψουμε ένα μηδέν μετά το κόμμα, τότε αυτό το μηδέν θα σημαίνει μηδέν δέκατα. Κατά συνέπεια, αυτό το μηδέν που εκχωρείται στα δεξιά δεν θα επηρεάσει την τιμή του αριθμού, δηλ.

Ας πάρουμε τώρα τον αριθμό 6,1 και προσθέσουμε ένα μηδέν στα δεξιά του, παίρνουμε 6,10, δηλαδή είχαμε 1/10 μετά την υποδιαστολή, αλλά έγινε 10/100, αλλά το 10/100 είναι ίσο με 1/10. Αυτό σημαίνει ότι το μέγεθος του αριθμού δεν έχει αλλάξει και από την προσθήκη ενός μηδενός στα δεξιά, μόνο η εμφάνιση του αριθμού και η προφορά έχουν αλλάξει (6,1 - έξι σημεία ένα δέκατο, 6,10 - έξι σημεία ένα δέκα εκατοστά).

Με παρόμοιο σκεπτικό, μπορούμε να βεβαιωθούμε ότι η προσθήκη μηδενικών στα δεξιά ενός δεκαδικού κλάσματος δεν αλλάζει την τιμή του. Επομένως, μπορούμε να γράψουμε τις ακόλουθες ισότητες:

1 = 1,0,
2,3 = 2,300,
6,7 = 6,70000, κ.λπ.

Αν προσθέσουμε μηδενικά στα αριστερά του δεκαδικού κλάσματος, τότε δεν θα έχουν καμία σημασία. Αν μάλιστα γράψουμε μηδέν στα αριστερά του αριθμού 4,6, τότε ο αριθμός θα πάρει τη μορφή 04,6. Πού είναι το μηδέν; Βρίσκεται στη θέση των δεκάδων, δηλαδή δείχνει ότι δεν υπάρχουν δεκάδες σε αυτόν τον αριθμό, αλλά αυτό είναι ξεκάθαρο ακόμη και χωρίς μηδέν.

Ωστόσο, πρέπει να θυμόμαστε ότι μερικές φορές προστίθενται μηδενικά στα δεξιά των δεκαδικών κλασμάτων. Για παράδειγμα, υπάρχουν τέσσερα κλάσματα: 0,32; 2.5; 13.1023; 5.238. Εκχωρούμε μηδενικά στα δεξιά σε εκείνα τα κλάσματα που έχουν λιγότερα δεκαδικά ψηφία μετά την υποδιαστολή: 0,3200; 2,5000; 13.1023; 5,2380.

Γιατί γίνεται αυτό; Προσθέτοντας μηδενικά στα δεξιά, έχουμε τέσσερα ψηφία μετά την υποδιαστολή για κάθε αριθμό, που σημαίνει ότι κάθε κλάσμα θα έχει παρονομαστή 10.000 και πριν προσθέσουμε μηδενικά, ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος ήταν 100, του δεύτερου ήταν 10, Το τρίτο ήταν 10.000 και το τέταρτο ήταν 1.000 Έτσι, προσθέτοντας μηδενικά, εξισώσαμε τον αριθμό των δεκαδικών ψηφίων των κλασμάτων μας, δηλ. τα φέραμε σε έναν κοινό παρονομαστή. Επομένως, η μεταφορά των δεκαδικών κλασμάτων σε έναν κοινό παρονομαστή γίνεται προσθέτοντας μηδενικά σε αυτά τα κλάσματα.

Από την άλλη πλευρά, εάν οποιοδήποτε δεκαδικό κλάσμα έχει μηδενικά στα δεξιά, τότε μπορούμε να τα απορρίψουμε χωρίς να αλλάξουμε την τιμή του, για παράδειγμα: 2,60 = 2,6; 3.150 = 3.15; 4.200 = 4,2.

Πώς πρέπει να κατανοήσουμε αυτή την πτώση των μηδενικών στα δεξιά του δεκαδικού κλάσματος; Είναι ισοδύναμο με τη μείωσή του, και αυτό φαίνεται αν γράψουμε αυτά τα δεκαδικά κλάσματα με παρονομαστή:

§ 105. Σύγκριση δεκαδικών κλασμάτων κατά μέγεθος.

Όταν χρησιμοποιείτε δεκαδικά κλάσματα, είναι πολύ σημαντικό να μπορείτε να συγκρίνετε τα κλάσματα μεταξύ τους και να απαντήσετε στην ερώτηση ποια είναι ίσα, ποια είναι μεγαλύτερα και ποια είναι μικρότερα. Η σύγκριση δεκαδικών αριθμών λειτουργεί διαφορετικά από τη σύγκριση ακέραιων αριθμών. Για παράδειγμα, ένας ακέραιος διψήφιος αριθμός είναι πάντα μεγαλύτερος από έναν μονοψήφιο αριθμό, ανεξάρτητα από το πόσες μονάδες υπάρχουν στον μονοψήφιο αριθμό. Ένας τριψήφιος αριθμός είναι μεγαλύτερος από έναν διψήφιο αριθμό και ακόμη περισσότερο από έναν μονοψήφιο αριθμό. Αλλά όταν συγκρίνουμε δεκαδικούς αριθμούς, θα ήταν λάθος να μετρήσουμε όλα τα σημάδια στα οποία είναι γραμμένα τα κλάσματα.

Ας πάρουμε δύο κλάσματα: 3,5 και 2,5 και τα συγκρίνουμε σε μέγεθος. Έχουν τα ίδια δεκαδικά ψηφία, αλλά το πρώτο κλάσμα έχει 3 ακέραιους και το δεύτερο έχει 2. Το πρώτο κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το δεύτερο, δηλ.

Ας πάρουμε άλλα κλάσματα: 0,4 και 0,38. Για να συγκρίνετε αυτά τα κλάσματα, είναι χρήσιμο να προσθέσετε ένα μηδέν στα δεξιά του πρώτου κλάσματος. Στη συνέχεια θα συγκρίνουμε τα κλάσματα 0,40 και 0,38. Κάθε ένα από αυτά έχει δύο ψηφία μετά την υποδιαστολή: αυτό σημαίνει ότι αυτά τα κλάσματα έχουν τον ίδιο παρονομαστή 100.

Χρειάζεται μόνο να συγκρίνουμε τους αριθμητές τους, αλλά ο αριθμητής του 40 είναι μεγαλύτερος από το 38. Αυτό σημαίνει ότι το πρώτο κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το δεύτερο, δηλ.

Το πρώτο κλάσμα έχει περισσότερα δέκατα από το δεύτερο, αν και το δεύτερο κλάσμα έχει 8 περισσότερα εκατοστά, αλλά είναι λιγότερα από το ένα δέκατο, γιατί 1/10 = 10/100.

Ας συγκρίνουμε τώρα τα ακόλουθα κλάσματα: 1,347 και 1,35. Ας προσθέσουμε ένα μηδέν στα δεξιά του δεύτερου κλάσματος και ας συγκρίνουμε τα δεκαδικά κλάσματα: 1.347 και 1.350. Τα ολόκληρα μέρη τους είναι ίδια, πράγμα που σημαίνει ότι πρέπει να συγκριθούν μόνο τα κλασματικά μέρη: 0,347 και 0,350. Αυτά τα κλάσματα έχουν έναν κοινό παρονομαστή, αλλά ο αριθμητής του δεύτερου κλάσματος είναι μεγαλύτερος από τον αριθμητή του πρώτου, που σημαίνει ότι το δεύτερο κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το πρώτο, δηλαδή 1,35 > 1,347.

Τέλος, ας συγκρίνουμε δύο ακόμη κλάσματα: 0,625 και 0,62473. Ας προσθέσουμε δύο μηδενικά στο πρώτο κλάσμα για να εξισωθούν τα ψηφία και να συγκρίνουμε τα κλάσματα που προκύπτουν: 0,62500 και 0,62473. Οι παρονομαστές τους είναι οι ίδιοι, αλλά ο αριθμητής του πρώτου κλάσματος 62.500 είναι μεγαλύτερος από τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος 62.473, επομένως, το πρώτο κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το δεύτερο, δηλαδή 0,625 > 0,62473.

Με βάση τα παραπάνω, μπορούμε να καταλήξουμε στο εξής συμπέρασμα: από δύο δεκαδικά κλάσματα, αυτό με τον μεγαλύτερο αριθμό ακεραίων είναι μεγαλύτερο. Όταν οι ακέραιοι αριθμοί είναι ίσοι, το κλάσμα που έχει τον μεγαλύτερο αριθμό δέκατων είναι μεγαλύτερο. όταν οι ακέραιοι αριθμοί και τα δέκατα είναι ίσα, το κλάσμα με τον μεγαλύτερο αριθμό των εκατοστών είναι μεγαλύτερο κ.λπ.

§ 106. Αύξηση και μείωση δεκαδικού κλάσματος κατά 10, 100, 1.000 κ.λπ. φορές.

Γνωρίζουμε ήδη ότι η προσθήκη μηδενικών σε ένα δεκαδικό δεν επηρεάζει την αξία του. Όταν μελετήσαμε ακέραιους αριθμούς, είδαμε ότι κάθε μηδέν που προστίθεται στα δεξιά αύξανε τον αριθμό κατά 10 φορές. Δεν είναι δύσκολο να καταλάβουμε γιατί συνέβη αυτό. Αν πάρουμε έναν ακέραιο αριθμό, για παράδειγμα 25, και προσθέσουμε ένα μηδέν στα δεξιά του, τότε ο αριθμός θα αυξηθεί 10 φορές, ο αριθμός 250 είναι 10 φορές μεγαλύτερος από το 25. Όταν ένα μηδέν εμφανίστηκε στα δεξιά, ο αριθμός 5, που προηγουμένως που δηλώνουν μονάδες, τώρα άρχισε να υποδηλώνει δεκάδες, και ο αριθμός 2, που αντιστοιχούσε σε δεκάδες, τώρα έγινε εκατοντάδες. Αυτό σημαίνει ότι χάρη στην εμφάνιση του μηδενός, τα προηγούμενα ψηφία αντικαταστάθηκαν από νέα, έγιναν μεγαλύτερα, μετακινήθηκαν μια θέση προς τα αριστερά. Όταν χρειάζεται να αυξήσουμε ένα δεκαδικό κλάσμα, για παράδειγμα, κατά 10 φορές, πρέπει επίσης να μετακινήσουμε τα ψηφία μια θέση προς τα αριστερά, αλλά μια τέτοια κίνηση δεν μπορεί να επιτευχθεί χρησιμοποιώντας το μηδέν. Ένα δεκαδικό κλάσμα αποτελείται από έναν ακέραιο και ένα κλασματικό μέρος και το όριο μεταξύ τους είναι κόμμα. Στα αριστερά της υποδιαστολής βρίσκεται το χαμηλότερο ακέραιο ψηφίο, στα δεξιά το υψηλότερο κλασματικό ψηφίο. Θεωρήστε το κλάσμα:

Πώς μπορούμε να μετακινήσουμε τα ψηφία σε αυτό, τουλάχιστον ένα μέρος, δηλαδή, με άλλα λόγια, πώς μπορούμε να το αυξήσουμε 10 φορές; Εάν μετακινήσουμε το κόμμα μία θέση προς τα δεξιά, τότε πρώτα απ 'όλα αυτό θα επηρεάσει τη μοίρα των πέντε: μετακινείται από την περιοχή των κλασματικών αριθμών στην περιοχή των ακεραίων. Τότε ο αριθμός θα μοιάζει με: 12345.678. Η αλλαγή συνέβη με όλους τους άλλους αριθμούς, όχι μόνο με πέντε. Όλοι οι αριθμοί που περιλαμβάνονται στον αριθμό άρχισαν να παίζουν νέο ρόλο, συνέβη το εξής (βλ. πίνακα):

Όλες οι βαθμίδες άλλαξαν τα ονόματά τους και όλες οι μονάδες κατάταξης, ας πούμε, ανέβηκαν μία θέση. Από αυτό, ολόκληρος ο αριθμός αυξήθηκε 10 φορές. Έτσι, μετακινώντας το δεκαδικό ψηφίο μία θέση προς τα δεξιά αυξάνει τον αριθμό κατά 10 φορές.

Ας δούμε μερικά ακόμη παραδείγματα:

1) Πάρτε το κλάσμα 0,5 και μετακινήστε την υποδιαστολή μία θέση προς τα δεξιά. παίρνουμε τον αριθμό 5, ο οποίος είναι 10 φορές μεγαλύτερος από το 0,5, επειδή προηγουμένως τα πέντε υποδήλωναν τα δέκατα της μονάδας, αλλά τώρα δηλώνει ολόκληρες μονάδες.

2) Μετακινήστε την υποδιαστολή στον αριθμό 1.234 δύο θέσεις προς τα δεξιά. ο αριθμός θα γίνει 123,4. Αυτός ο αριθμός είναι 100 φορές μεγαλύτερος από τον προηγούμενο γιατί σε αυτόν ο αριθμός 3 άρχισε να υποδηλώνει μονάδες, ο αριθμός 2 - δεκάδες και ο αριθμός 1 - εκατοντάδες.

Έτσι, για να αυξήσετε ένα δεκαδικό κλάσμα κατά 10 φορές, πρέπει να μετακινήσετε το δεκαδικό ψηφίο μία θέση προς τα δεξιά. για να το αυξήσετε 100 φορές, πρέπει να μετακινήσετε την υποδιαστολή δύο θέσεις προς τα δεξιά. να αυξηθεί κατά 1.000 φορές - τρία ψηφία προς τα δεξιά κ.λπ.

Εάν ο αριθμός δεν έχει αρκετά σημάδια, τότε προστίθενται μηδενικά στα δεξιά. Για παράδειγμα, ας αυξήσουμε το κλάσμα 1,5 κατά 100 φορές μετακινώντας την υποδιαστολή σε δύο θέσεις. παίρνουμε 150. Ας αυξήσουμε το κλάσμα 0,6 κατά 1.000 φορές. παίρνουμε 600.

Πίσω εάν απαιτείται μείωσηδεκαδικό κλάσμα κατά 10, 100, 1.000 κ.λπ. φορές, τότε πρέπει να μετακινήσετε την υποδιαστολή προς τα αριστερά κατά ένα, δύο, τρία, κ.λπ. ψηφία. Έστω το κλάσμα 20,5. Ας το μειώσουμε κατά 10 φορές. Για να το κάνετε αυτό, μετακινήστε την υποδιαστολή μία θέση προς τα αριστερά, το κλάσμα θα πάρει τη μορφή 2,05. Ας μειώσουμε το κλάσμα 0,015 κατά 100 φορές. παίρνουμε 0,00015. Ας μειώσουμε τον αριθμό 334 κατά 10 φορές. παίρνουμε 33,4.

Είπαμε ήδη ότι υπάρχουν κλάσματα συνήθηςΚαι δεκαδικός. Σε αυτό το σημείο, μάθαμε λίγα για τα κλάσματα. Μάθαμε ότι υπάρχουν κανονικά και ακατάλληλα κλάσματα. Μάθαμε επίσης ότι τα κοινά κλάσματα μπορούν να μειωθούν, να προστεθούν, να αφαιρεθούν, να πολλαπλασιαστούν και να διαιρεθούν. Και μάθαμε επίσης ότι υπάρχουν οι λεγόμενοι μικτοί αριθμοί, οι οποίοι αποτελούνται από έναν ακέραιο και ένα κλασματικό μέρος.

Δεν έχουμε εξερευνήσει ακόμη πλήρως τα κοινά κλάσματα. Υπάρχουν πολλές λεπτότητες και λεπτομέρειες που πρέπει να συζητηθούν, αλλά σήμερα θα αρχίσουμε να μελετάμε δεκαδικόςκλάσματα, αφού τα συνηθισμένα και τα δεκαδικά κλάσματα συχνά πρέπει να συνδυάζονται. Δηλαδή, όταν λύνετε προβλήματα πρέπει να δουλέψετε και με τους δύο τύπους κλασμάτων.

Αυτό το μάθημα μπορεί να φαίνεται περίπλοκο και μπερδεμένο. Αυτό είναι αρκετά φυσιολογικό. Αυτού του είδους τα μαθήματα απαιτούν να μελετώνται, και όχι να ξαφρίζονται επιφανειακά.

Έκφραση ποσοτήτων σε κλασματική μορφή

Μερικές φορές είναι βολικό να δείξουμε κάτι σε κλασματική μορφή. Για παράδειγμα, το ένα δέκατο του δεκατόμετρου γράφεται ως εξής:

Αυτή η έκφραση σημαίνει ότι ένα δεκατόμετρο χωρίστηκε σε δέκα ίσα μέρη και από αυτά τα δέκα μέρη ελήφθη ένα μέρος. Και ένα μέρος στα δέκα σε αυτή την περίπτωση είναι ίσο με ένα εκατοστό:

Εξετάστε το ακόλουθο παράδειγμα. Δείξτε 6 cm και άλλα 3 mm σε εκατοστά σε κλασματική μορφή.

Έτσι, πρέπει να δείξετε 6 cm και 3 mm σε εκατοστά, αλλά σε κλασματική μορφή. Έχουμε ήδη 6 ολόκληρα εκατοστά:

Απομένουν όμως ακόμα 3 χιλιοστά. Πώς να δείξετε αυτά τα 3 χιλιοστά και σε εκατοστά; Τα κλάσματα έρχονται στη διάσωση. Ένα εκατοστό είναι δέκα χιλιοστά. Τρία χιλιοστά είναι τρία μέρη στα δέκα. Και τρία μέρη στα δέκα γράφονται ως cm

Η έκφραση cm σημαίνει ότι ένα εκατοστό χωρίστηκε σε δέκα ίσα μέρη και από αυτά τα δέκα μέρη ελήφθησαν τρία μέρη.

Ως αποτέλεσμα, έχουμε έξι ολόκληρα εκατοστά και τρία δέκατα του εκατοστού:

Σε αυτήν την περίπτωση, το 6 δείχνει τον αριθμό των ολόκληρων εκατοστών και το κλάσμα δείχνει τον αριθμό των κλασματικών εκατοστών. Αυτό το κλάσμα διαβάζεται ως "έξι πόντοι τρία εκατοστά".

Τα κλάσματα των οποίων ο παρονομαστής περιέχει τους αριθμούς 10, 100, 1000 μπορούν να γραφτούν χωρίς παρονομαστή. Πρώτα γράψτε ολόκληρο το μέρος και μετά τον αριθμητή του κλασματικού μέρους. Το ακέραιο μέρος χωρίζεται από τον αριθμητή του κλασματικού μέρους με κόμμα.

Για παράδειγμα, ας το γράψουμε χωρίς παρονομαστή. Αρχικά γράφουμε ολόκληρο το μέρος. Όλο το μέρος είναι 6

Καταγράφεται ολόκληρο το μέρος. Αμέσως αφού γράψουμε ολόκληρο το μέρος βάζουμε κόμμα:

Και τώρα γράφουμε τον αριθμητή του κλασματικού μέρους. Σε έναν μικτό αριθμό, ο αριθμητής του κλασματικού μέρους είναι ο αριθμός 3. Γράφουμε ένα τρία μετά την υποδιαστολή:

Κάθε αριθμός που αναπαρίσταται σε αυτή τη μορφή καλείται δεκαδικός.

Επομένως, μπορείτε να δείξετε 6 cm και άλλα 3 mm σε εκατοστά χρησιμοποιώντας ένα δεκαδικό κλάσμα:

6,3 εκ

Θα μοιάζει με αυτό:

Στην πραγματικότητα, τα δεκαδικά είναι τα ίδια με τα συνηθισμένα κλάσματα και τους μικτούς αριθμούς. Η ιδιαιτερότητα τέτοιων κλασμάτων είναι ότι ο παρονομαστής του κλασματικού τους μέρους περιέχει τους αριθμούς 10, 100, 1000 ή 10000.

Όπως ένας μικτός αριθμός, ένα δεκαδικό κλάσμα έχει ένα ακέραιο μέρος και ένα κλασματικό μέρος. Για παράδειγμα, σε έναν μικτό αριθμό το ακέραιο μέρος είναι 6 και το κλασματικό μέρος είναι .

Στο δεκαδικό κλάσμα 6.3, το ακέραιο μέρος είναι ο αριθμός 6 και το κλασματικό μέρος είναι ο αριθμητής του κλάσματος, δηλαδή ο αριθμός 3.

Συμβαίνει επίσης συνηθισμένα κλάσματα στον παρονομαστή των οποίων δίνονται οι αριθμοί 10, 100, 1000 χωρίς ακέραιο μέρος. Για παράδειγμα, δίνεται ένα κλάσμα χωρίς ολόκληρο μέρος. Για να γράψετε ένα τέτοιο κλάσμα ως δεκαδικό, γράψτε πρώτα 0, μετά βάλτε κόμμα και γράψτε τον αριθμητή του κλάσματος. Ένα κλάσμα χωρίς παρονομαστή θα γραφτεί ως εξής:

Διαβάζεται σαν "μηδέν σημείο πέντε".

Μετατροπή μικτών αριθμών σε δεκαδικούς

Όταν γράφουμε μεικτούς αριθμούς χωρίς παρονομαστή, τους μετατρέπουμε έτσι σε δεκαδικά κλάσματα. Κατά τη μετατροπή των κλασμάτων σε δεκαδικούς, υπάρχουν μερικά πράγματα που πρέπει να γνωρίζετε, για τα οποία θα μιλήσουμε τώρα.

Αφού καταγράψετε ολόκληρο το μέρος, είναι απαραίτητο να μετρήσετε τον αριθμό των μηδενικών στον παρονομαστή του κλασματικού μέρους, καθώς ο αριθμός των μηδενικών του κλασματικού μέρους και ο αριθμός των ψηφίων μετά την υποδιαστολή στο δεκαδικό κλάσμα πρέπει να είναι ο ίδιο. Τι σημαίνει αυτό; Εξετάστε το ακόλουθο παράδειγμα:

Αρχικά

Και θα μπορούσατε αμέσως να γράψετε τον αριθμητή του κλασματικού μέρους και το δεκαδικό κλάσμα είναι έτοιμο, αλλά σίγουρα πρέπει να μετρήσετε τον αριθμό των μηδενικών στον παρονομαστή του κλασματικού μέρους.

Έτσι, μετράμε τον αριθμό των μηδενικών στο κλασματικό μέρος ενός μικτού αριθμού. Ο παρονομαστής του κλασματικού μέρους έχει ένα μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι σε ένα δεκαδικό κλάσμα θα υπάρχει ένα ψηφίο μετά την υποδιαστολή και αυτό το ψηφίο θα είναι ο αριθμητής του κλασματικού μέρους του μικτού αριθμού, δηλαδή ο αριθμός 2

Έτσι, όταν μετατρέπεται σε δεκαδικό κλάσμα, ένας μεικτός αριθμός γίνεται 3,2.

Αυτό το δεκαδικό κλάσμα διαβάζεται ως εξής:

"Τρία σημεία δύο"

«Δέκατα» γιατί ο αριθμός 10 βρίσκεται στο κλασματικό μέρος ενός μικτού αριθμού.

Παράδειγμα 2.Μετατρέψτε έναν μικτό αριθμό σε δεκαδικό.

Γράψε όλο το μέρος και βάλε κόμμα:

Και θα μπορούσατε αμέσως να γράψετε τον αριθμητή του κλασματικού μέρους και να πάρετε το δεκαδικό κλάσμα 5.3, αλλά ο κανόνας λέει ότι μετά την υποδιαστολή πρέπει να υπάρχουν τόσα ψηφία όσα μηδενικά στον παρονομαστή του κλασματικού μέρους του μικτού αριθμού. Και βλέπουμε ότι ο παρονομαστής του κλασματικού μέρους έχει δύο μηδενικά. Αυτό σημαίνει ότι το δεκαδικό μας κλάσμα πρέπει να έχει δύο ψηφία μετά την υποδιαστολή, όχι ένα.

Σε τέτοιες περιπτώσεις, ο αριθμητής του κλασματικού μέρους πρέπει να τροποποιηθεί ελαφρώς: προσθέστε ένα μηδέν πριν από τον αριθμητή, δηλαδή πριν από τον αριθμό 3

Τώρα μπορείτε να μετατρέψετε αυτόν τον μικτό αριθμό σε δεκαδικό κλάσμα. Γράψε όλο το μέρος και βάλε κόμμα:

Και γράψτε τον αριθμητή του κλασματικού μέρους:

Το δεκαδικό κλάσμα 5.03 διαβάζεται ως εξής:

"Πέντε σημείο τρία"

"Εκατοντάδες" επειδή ο παρονομαστής του κλασματικού μέρους ενός μικτού αριθμού περιέχει τον αριθμό 100.

Παράδειγμα 3.Μετατρέψτε έναν μικτό αριθμό σε δεκαδικό.

Από προηγούμενα παραδείγματα, μάθαμε ότι για να μετατρέψουμε με επιτυχία έναν μικτό αριθμό σε δεκαδικό, ο αριθμός των ψηφίων στον αριθμητή του κλάσματος και ο αριθμός των μηδενικών στον παρονομαστή του κλάσματος πρέπει να είναι ο ίδιος.

Πριν μετατρέψετε έναν μικτό αριθμό σε δεκαδικό κλάσμα, το κλασματικό του μέρος πρέπει να τροποποιηθεί ελαφρώς, δηλαδή, για να βεβαιωθείτε ότι ο αριθμός των ψηφίων στον αριθμητή του κλασματικού μέρους και ο αριθμός των μηδενικών στον παρονομαστή του κλασματικού μέρους είναι ο ίδιο.

Πρώτα απ 'όλα, εξετάζουμε τον αριθμό των μηδενικών στον παρονομαστή του κλασματικού μέρους. Βλέπουμε ότι υπάρχουν τρία μηδενικά:

Το καθήκον μας είναι να οργανώσουμε τρία ψηφία στον αριθμητή του κλασματικού μέρους. Έχουμε ήδη ένα ψηφίο - αυτός είναι ο αριθμός 2. Απομένει να προσθέσουμε δύο ακόμη ψηφία. Θα είναι δύο μηδενικά. Προσθέστε τα πριν από τον αριθμό 2. Ως αποτέλεσμα, ο αριθμός των μηδενικών στον παρονομαστή και ο αριθμός των ψηφίων στον αριθμητή θα είναι ο ίδιος:

Τώρα μπορείτε να αρχίσετε να μετατρέπετε αυτόν τον μικτό αριθμό σε δεκαδικό κλάσμα. Πρώτα γράφουμε ολόκληρο το μέρος και βάζουμε κόμμα:

και αμέσως γράψτε τον αριθμητή του κλασματικού μέρους

3,002

Βλέπουμε ότι ο αριθμός των ψηφίων μετά την υποδιαστολή και ο αριθμός των μηδενικών στον παρονομαστή του κλασματικού μέρους του μικτού αριθμού είναι ίδιοι.

Το δεκαδικό κλάσμα 3.002 διαβάζεται ως εξής:

"Τρία σημεία δύο χιλιοστά"

«Χιλιάδες» γιατί ο παρονομαστής του κλασματικού μέρους του μικτού αριθμού περιέχει τον αριθμό 1000.

Μετατροπή κλασμάτων σε δεκαδικά

Τα κοινά κλάσματα με παρονομαστές 10, 100, 1000 ή 10000 μπορούν επίσης να μετατραπούν σε δεκαδικά. Επειδή ένα συνηθισμένο κλάσμα δεν έχει ακέραιο μέρος, γράψτε πρώτα το 0, μετά βάλτε κόμμα και γράψτε τον αριθμητή του κλασματικού μέρους.

Εδώ επίσης ο αριθμός των μηδενικών στον παρονομαστή και ο αριθμός των ψηφίων στον αριθμητή πρέπει να είναι ο ίδιος. Επομένως, θα πρέπει να είστε προσεκτικοί.

Παράδειγμα 1.

Λείπει ολόκληρο το μέρος, οπότε γράφουμε πρώτα 0 και βάζουμε κόμμα:

Τώρα εξετάζουμε τον αριθμό των μηδενικών στον παρονομαστή. Βλέπουμε ότι υπάρχει ένα μηδέν. Και ο αριθμητής έχει ένα ψηφίο. Αυτό σημαίνει ότι μπορείτε να συνεχίσετε με ασφάλεια το δεκαδικό κλάσμα γράφοντας τον αριθμό 5 μετά την υποδιαστολή

Στο δεκαδικό κλάσμα 0,5 που προκύπτει, ο αριθμός των ψηφίων μετά την υποδιαστολή και ο αριθμός των μηδενικών στον παρονομαστή του κλάσματος είναι ο ίδιος. Αυτό σημαίνει ότι το κλάσμα μεταφράζεται σωστά.

Το δεκαδικό κλάσμα 0,5 διαβάζεται ως εξής:

"Μηδέν σημείο πέντε"

Παράδειγμα 2.Μετατρέψτε ένα κλάσμα σε δεκαδικό.

Λείπει ολόκληρο μέρος. Πρώτα γράφουμε 0 και βάζουμε κόμμα:

Τώρα εξετάζουμε τον αριθμό των μηδενικών στον παρονομαστή. Βλέπουμε ότι υπάρχουν δύο μηδενικά. Και ο αριθμητής έχει μόνο ένα ψηφίο. Για να γίνει ο αριθμός των ψηφίων και ο αριθμός των μηδενικών ίδιοι, προσθέστε ένα μηδέν στον αριθμητή πριν από τον αριθμό 2. Τότε το κλάσμα θα πάρει τη μορφή . Τώρα ο αριθμός των μηδενικών στον παρονομαστή και ο αριθμός των ψηφίων στον αριθμητή είναι ο ίδιος. Έτσι μπορείτε να συνεχίσετε το δεκαδικό κλάσμα:

Στο δεκαδικό κλάσμα 0,02 που προκύπτει, ο αριθμός των ψηφίων μετά την υποδιαστολή και ο αριθμός των μηδενικών στον παρονομαστή του κλάσματος είναι ο ίδιος. Αυτό σημαίνει ότι το κλάσμα μεταφράζεται σωστά.

Το δεκαδικό κλάσμα 0,02 διαβάζεται ως εξής:

«Μηδέν σημείο δύο».

Παράδειγμα 3.Μετατρέψτε ένα κλάσμα σε δεκαδικό.

Γράψε 0 και βάλε κόμμα:

Τώρα μετράμε τον αριθμό των μηδενικών στον παρονομαστή του κλάσματος. Βλέπουμε ότι υπάρχουν πέντε μηδενικά και υπάρχει μόνο ένα ψηφίο στον αριθμητή. Για να κάνετε τον αριθμό των μηδενικών στον παρονομαστή και τον αριθμό των ψηφίων στον αριθμητή ίδιο, πρέπει να προσθέσετε τέσσερα μηδενικά στον αριθμητή πριν από τον αριθμό 5:

Τώρα ο αριθμός των μηδενικών στον παρονομαστή και ο αριθμός των ψηφίων στον αριθμητή είναι ο ίδιος. Μπορούμε λοιπόν να συνεχίσουμε με το δεκαδικό κλάσμα. Να γράψετε τον αριθμητή του κλάσματος μετά την υποδιαστολή

Στο δεκαδικό κλάσμα 0,00005 που προκύπτει, ο αριθμός των ψηφίων μετά την υποδιαστολή και ο αριθμός των μηδενικών στον παρονομαστή του κλάσματος είναι ο ίδιος. Αυτό σημαίνει ότι το κλάσμα μεταφράζεται σωστά.

Το δεκαδικό κλάσμα 0,00005 διαβάζεται ως εξής:

«Μηδέν σημείο πεντακόσια χιλιοστά».

Μετατροπή ακατάλληλων κλασμάτων σε δεκαδικά

Ακατάλληλο κλάσμα είναι ένα κλάσμα στο οποίο ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή. Υπάρχουν ακατάλληλα κλάσματα στα οποία ο παρονομαστής περιέχει τους αριθμούς 10, 100, 1000 ή 10000. Τέτοια κλάσματα μπορούν να μετατραπούν σε δεκαδικά. Αλλά πριν από τη μετατροπή σε δεκαδικό κλάσμα, τέτοια κλάσματα πρέπει να διαχωριστούν σε ολόκληρο το μέρος.

Παράδειγμα 1.

Το κλάσμα είναι ακατάλληλο κλάσμα. Για να μετατρέψετε ένα τέτοιο κλάσμα σε δεκαδικό, πρέπει πρώτα να επιλέξετε ολόκληρο το τμήμα του. Ας θυμηθούμε πώς να απομονώσουμε ολόκληρο το μέρος των ακατάλληλων κλασμάτων. Εάν το έχετε ξεχάσει, σας συμβουλεύουμε να επιστρέψετε και να το μελετήσετε.

Λοιπόν, ας τονίσουμε ολόκληρο το μέρος στο ακατάλληλο κλάσμα. Θυμηθείτε ότι ένα κλάσμα σημαίνει διαίρεση - σε αυτήν την περίπτωση, διαιρώντας τον αριθμό 112 με τον αριθμό 10

Ας δούμε αυτήν την εικόνα και ας συγκεντρώσουμε έναν νέο μικτό αριθμό, όπως ένα σετ παιδικής κατασκευής. Ο αριθμός 11 θα είναι το ακέραιο μέρος, ο αριθμός 2 θα είναι ο αριθμητής του κλασματικού μέρους και ο αριθμός 10 θα είναι ο παρονομαστής του κλασματικού μέρους.

Έχουμε μικτό αριθμό. Ας το μετατρέψουμε σε δεκαδικό κλάσμα. Και ξέρουμε ήδη πώς να μετατρέπουμε τέτοιους αριθμούς σε δεκαδικά κλάσματα. Πρώτα, γράψτε ολόκληρο το μέρος και βάλτε κόμμα:

Τώρα μετράμε τον αριθμό των μηδενικών στον παρονομαστή του κλασματικού μέρους. Βλέπουμε ότι υπάρχει ένα μηδέν. Και ο αριθμητής του κλασματικού μέρους έχει ένα ψηφίο. Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός των μηδενικών στον παρονομαστή του κλασματικού μέρους και ο αριθμός των ψηφίων στον αριθμητή του κλασματικού μέρους είναι ο ίδιος. Αυτό μας δίνει την ευκαιρία να γράψουμε αμέσως τον αριθμητή του κλασματικού μέρους μετά την υποδιαστολή:

Στο δεκαδικό κλάσμα 11.2 που προκύπτει, ο αριθμός των ψηφίων μετά την υποδιαστολή και ο αριθμός των μηδενικών στον παρονομαστή του κλάσματος είναι ο ίδιος. Αυτό σημαίνει ότι το κλάσμα μεταφράζεται σωστά.

Αυτό σημαίνει ότι ένα ακατάλληλο κλάσμα γίνεται 11,2 όταν μετατρέπεται σε δεκαδικό.

Το δεκαδικό κλάσμα 11.2 διαβάζεται ως εξής:

«Έντεκα σημείο δύο».

Παράδειγμα 2.Μετατροπή ακατάλληλου κλάσματος σε δεκαδικό.

Είναι ακατάλληλο κλάσμα γιατί ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή. Μπορεί όμως να μετατραπεί σε δεκαδικό κλάσμα, αφού ο παρονομαστής περιέχει τον αριθμό 100.

Πρώτα απ 'όλα, ας επιλέξουμε ολόκληρο το τμήμα αυτού του κλάσματος. Για να το κάνετε αυτό, διαιρέστε το 450 με το 100 με μια γωνία:

Ας συλλέξουμε έναν νέο μικτό αριθμό - παίρνουμε . Και ξέρουμε ήδη πώς να μετατρέπουμε μεικτούς αριθμούς σε δεκαδικά κλάσματα.

Γράψε όλο το μέρος και βάλε κόμμα:

Τώρα μετράμε τον αριθμό των μηδενικών στον παρονομαστή του κλασματικού μέρους και τον αριθμό των ψηφίων στον αριθμητή του κλασματικού μέρους. Βλέπουμε ότι ο αριθμός των μηδενικών στον παρονομαστή και ο αριθμός των ψηφίων στον αριθμητή είναι ο ίδιος. Αυτό μας δίνει την ευκαιρία να γράψουμε αμέσως τον αριθμητή του κλασματικού μέρους μετά την υποδιαστολή:

Στο δεκαδικό κλάσμα 4,50 που προκύπτει, ο αριθμός των ψηφίων μετά την υποδιαστολή και ο αριθμός των μηδενικών στον παρονομαστή του κλάσματος είναι ο ίδιος. Αυτό σημαίνει ότι το κλάσμα μεταφράζεται σωστά.

Αυτό σημαίνει ότι ένα ακατάλληλο κλάσμα γίνεται 4,50 όταν μετατρέπεται σε δεκαδικό.

Κατά την επίλυση προβλημάτων, εάν υπάρχουν μηδενικά στο τέλος του δεκαδικού κλάσματος, μπορούν να απορριφθούν. Ας ρίξουμε και το μηδέν στην απάντησή μας. Τότε παίρνουμε 4,5

Αυτό είναι ένα από τα ενδιαφέροντα πράγματα για τα δεκαδικά. Βρίσκεται στο γεγονός ότι τα μηδενικά που εμφανίζονται στο τέλος ενός κλάσματος δεν δίνουν βάρος σε αυτό το κλάσμα. Με άλλα λόγια, τα δεκαδικά ψηφία 4,50 και 4,5 είναι ίσα. Ας βάλουμε ένα πρόσημο ίσου μεταξύ τους:

4,50 = 4,5

Γεννιέται το ερώτημα: γιατί συμβαίνει αυτό; Εξάλλου, το 4,50 και το 4,5 μοιάζουν με διαφορετικά κλάσματα. Όλο το μυστικό βρίσκεται στη βασική ιδιότητα των κλασμάτων, την οποία μελετήσαμε νωρίτερα. Θα προσπαθήσουμε να αποδείξουμε γιατί τα δεκαδικά κλάσματα 4,50 και 4,5 είναι ίσα, αλλά αφού μελετήσουμε το επόμενο θέμα, το οποίο ονομάζεται «μετατροπή δεκαδικού κλάσματος σε μικτό αριθμό».

Μετατροπή δεκαδικού σε μικτό αριθμό

Οποιοδήποτε δεκαδικό κλάσμα μπορεί να μετατραπεί ξανά σε μικτό αριθμό. Για να γίνει αυτό, αρκεί να μπορείτε να διαβάσετε δεκαδικά κλάσματα. Για παράδειγμα, ας μετατρέψουμε το 6.3 σε μικτό αριθμό. Το 6,3 είναι έξι πόντοι τρία. Πρώτα γράφουμε έξι ακέραιους αριθμούς:

και δίπλα σε τρία δέκατα:

Παράδειγμα 2.Μετατρέψτε το δεκαδικό 3.002 σε μικτό αριθμό

Το 3.002 είναι τρία ολόκληρα και δύο χιλιοστά. Αρχικά γράφουμε τρεις ακέραιους αριθμούς

και δίπλα γράφουμε δύο χιλιοστά:

Παράδειγμα 3.Μετατρέψτε το δεκαδικό 4,50 σε μικτό αριθμό

4,50 είναι τέσσερις πόντοι πενήντα. Γράψτε τέσσερις ακέραιους αριθμούς

και τα επόμενα πενήντα εκατοστά:

Παρεμπιπτόντως, ας θυμηθούμε το τελευταίο παράδειγμα από το προηγούμενο θέμα. Είπαμε ότι τα δεκαδικά 4,50 και 4,5 είναι ίσα. Είπαμε επίσης ότι το μηδέν μπορεί να απορριφθεί. Ας προσπαθήσουμε να αποδείξουμε ότι τα δεκαδικά ψηφία 4,50 και 4,5 είναι ίσα. Για να γίνει αυτό, μετατρέπουμε και τα δύο δεκαδικά κλάσματα σε μικτούς αριθμούς.

Όταν μετατρέπεται σε μικτό αριθμό, το δεκαδικό 4,50 γίνεται , και το δεκαδικό 4,5 γίνεται

Έχουμε δύο μικτούς αριθμούς και . Ας μετατρέψουμε αυτούς τους μικτούς αριθμούς σε ακατάλληλα κλάσματα:

Τώρα έχουμε δύο κλάσματα και . Ήρθε η ώρα να θυμηθούμε τη βασική ιδιότητα ενός κλάσματος, η οποία λέει ότι όταν πολλαπλασιάσετε (ή διαιρέσετε) τον αριθμητή και τον παρονομαστή ενός κλάσματος με τον ίδιο αριθμό, η τιμή του κλάσματος δεν αλλάζει.

Ας διαιρέσουμε το πρώτο κλάσμα με το 10

Πήραμε , και αυτό είναι το δεύτερο κλάσμα. Αυτό σημαίνει ότι και τα δύο είναι ίσα μεταξύ τους και ίσα με την ίδια τιμή:

Δοκιμάστε να χρησιμοποιήσετε μια αριθμομηχανή για να διαιρέσετε πρώτα το 450 με το 100 και μετά το 45 με το 10. Θα είναι αστείο.

Μετατροπή δεκαδικού κλάσματος σε κλάσμα

Οποιοδήποτε δεκαδικό κλάσμα μπορεί να μετατραπεί ξανά σε κλάσμα. Για να γίνει αυτό, πάλι, αρκεί να μπορείτε να διαβάσετε δεκαδικά κλάσματα. Για παράδειγμα, ας μετατρέψουμε το 0,3 σε ένα κοινό κλάσμα. Το 0,3 είναι μηδέν σημείο τρία. Αρχικά γράφουμε μηδενικούς ακέραιους αριθμούς:

και δίπλα σε τρία δέκατα 0. Το μηδέν παραδοσιακά δεν καταγράφεται, επομένως η τελική απάντηση δεν θα είναι 0, αλλά απλά .

Παράδειγμα 2.Μετατρέψτε το δεκαδικό κλάσμα 0,02 σε κλάσμα.

Το 0,02 είναι μηδέν σημείο δύο. Δεν σημειώνουμε το μηδέν, οπότε γράφουμε αμέσως τα δύο εκατοστά

Παράδειγμα 3.Μετατρέψτε το 0,00005 σε κλάσμα

Το 0,00005 είναι μηδέν σημείο πέντε. Δεν σημειώνουμε το μηδέν, οπότε γράφουμε αμέσως πεντακόσια χιλιοστά

Σας άρεσε το μάθημα;
Εγγραφείτε στη νέα μας ομάδα VKontakte και αρχίστε να λαμβάνετε ειδοποιήσεις για νέα μαθήματα

Κλάσματα γραμμένα με τη μορφή 0,8. 0,13; 2.856; 5.2; Το 0,04 ονομάζεται δεκαδικό. Στην πραγματικότητα, τα δεκαδικά είναι μια απλοποιημένη αναπαράσταση συνηθισμένων κλασμάτων. Αυτή η σημείωση είναι βολική για χρήση για όλα τα κλάσματα των οποίων οι παρονομαστές είναι 10, 100, 1000 κ.λπ.

Ας δούμε παραδείγματα (το 0,5 διαβάζεται ως σημείο μηδέν πέντε).

(0,15 διαβάζεται ως, σημείο μηδέν δεκαπέντε).

(5.3 διαβάζεται ως, πέντε σημεία τρία).

Λάβετε υπόψη ότι στη σημειογραφία ενός δεκαδικού κλάσματος, ένα κόμμα χωρίζει το ακέραιο μέρος ενός αριθμού από το κλασματικό μέρος, το ακέραιο μέρος ενός σωστού κλάσματος είναι 0. Ο συμβολισμός του κλασματικού μέρους ενός δεκαδικού κλάσματος περιέχει τόσα ψηφία όσα υπάρχουν μηδενικά στον συμβολισμό του παρονομαστή του αντίστοιχου συνηθισμένου κλάσματος.

Ας δούμε ένα παράδειγμα, , , .

Σε ορισμένες περιπτώσεις, μπορεί να είναι απαραίτητο να αντιμετωπιστεί ένας φυσικός αριθμός ως δεκαδικός του οποίου το κλασματικό μέρος είναι μηδέν. Συνηθίζεται να γράφουμε ότι 5 = 5,0. 245 = 245,0 και ούτω καθεξής. Σημειώστε ότι στον δεκαδικό συμβολισμό ενός φυσικού αριθμού, η μονάδα του λιγότερο σημαντικού ψηφίου είναι 10 φορές μικρότερη από τη μονάδα του διπλανού πιο σημαντικού ψηφίου. Η γραφή δεκαδικών κλασμάτων έχει την ίδια ιδιότητα. Επομένως, αμέσως μετά την υποδιαστολή υπάρχει ένα μέρος των δέκατων, μετά ένα μέρος των εκατοστών, μετά ένα μέρος των χιλιοστών και ούτω καθεξής. Παρακάτω είναι τα ονόματα των ψηφίων του αριθμού 31.85431, οι δύο πρώτες στήλες είναι το ακέραιο μέρος, οι υπόλοιπες στήλες είναι το κλασματικό μέρος.

Αυτό το κλάσμα διαβάζεται ως τριάντα ένα σημείο ογδόντα πέντε χιλιάδες τετρακόσια τριάντα εκατό χιλιοστά.

Πρόσθεση και αφαίρεση δεκαδικών αριθμών

Ο πρώτος τρόπος είναι να μετατρέψουμε τα δεκαδικά κλάσματα σε συνηθισμένα κλάσματα και να κάνουμε πρόσθεση.

Όπως φαίνεται από το παράδειγμα, αυτή η μέθοδος είναι πολύ άβολη και είναι καλύτερο να χρησιμοποιήσετε τη δεύτερη μέθοδο, η οποία είναι πιο σωστή, χωρίς να μετατρέψετε τα δεκαδικά κλάσματα σε συνηθισμένα. Για να προσθέσετε δύο δεκαδικά κλάσματα, πρέπει:

• εξισώσει τον αριθμό των ψηφίων μετά την υποδιαστολή στους όρους.
• γράψτε τους όρους τον έναν κάτω από τον άλλον έτσι ώστε κάθε ψηφίο του δεύτερου όρου να βρίσκεται κάτω από το αντίστοιχο ψηφίο του πρώτου όρου.
• προσθέστε τους αριθμούς που προκύπτουν με τον ίδιο τρόπο που προσθέτετε φυσικούς αριθμούς.
• Τοποθετήστε κόμμα στο άθροισμα που προκύπτει κάτω από τα κόμματα των όρων.

Ας δούμε παραδείγματα:

• εξισώσει τον αριθμό των ψηφίων μετά την υποδιαστολή στο minuend και subtrahend.
• γράψτε το subtrahend κάτω από το minuend έτσι ώστε κάθε ψηφίο του subtrahend να βρίσκεται κάτω από το αντίστοιχο ψηφίο του minuend.
• Εκτελέστε την αφαίρεση με τον ίδιο τρόπο που αφαιρούνται οι φυσικοί αριθμοί.
• βάλτε κόμμα στη διαφορά που προκύπτει κάτω από τα κόμματα στο minuend και στο subtrahend.

Ας δούμε παραδείγματα:

Στα παραδείγματα που συζητήθηκαν παραπάνω, μπορεί να φανεί ότι η πρόσθεση και η αφαίρεση των δεκαδικών κλασμάτων εκτελούνταν κομμάτι προς bit, δηλαδή με τον ίδιο τρόπο που εκτελέσαμε παρόμοιες πράξεις με φυσικούς αριθμούς. Αυτό είναι το κύριο πλεονέκτημα της δεκαδικής μορφής γραφής κλασμάτων.

Πολλαπλασιασμός δεκαδικών αριθμών

Για να πολλαπλασιάσετε ένα δεκαδικό κλάσμα με 10, 100, 1000 και ούτω καθεξής, πρέπει να μετακινήσετε την υποδιαστολή σε αυτό το κλάσμα προς τα δεξιά κατά 1, 2, 3 και ούτω καθεξής, αντίστοιχα. Επομένως, εάν το κόμμα μετακινηθεί προς τα δεξιά κατά 1, 2, 3 και ούτω καθεξής ψηφία, τότε το κλάσμα θα αυξηθεί ανάλογα κατά 10, 100, 1000 και ούτω καθεξής φορές. Για να πολλαπλασιάσετε δύο δεκαδικά κλάσματα, πρέπει:

• πολλαπλασιάστε τους ως φυσικούς αριθμούς, αγνοώντας τα κόμματα.
• στο γινόμενο που προκύπτει, διαχωρίστε με κόμμα τόσα ψηφία στα δεξιά όσα υπάρχουν μετά τα κόμματα και στους δύο παράγοντες μαζί.

Υπάρχουν περιπτώσεις που ένα προϊόν περιέχει λιγότερα ψηφία από αυτά που απαιτείται για να διαχωριστούν με κόμμα, ο απαιτούμενος αριθμός μηδενικών προστίθεται στα αριστερά πριν από αυτό το γινόμενο και, στη συνέχεια, το κόμμα μετακινείται προς τα αριστερά κατά τον απαιτούμενο αριθμό ψηφίων.

Ας δούμε παραδείγματα: 2 * 4 = 8, μετά 0,2 * 0,4 = 0,08. 23 * 35 = 805, μετά 0,023 * 0,35 = 0,00805.

Υπάρχουν περιπτώσεις που ένας από τους πολλαπλασιαστές είναι ίσος με 0,1. 0,01; 0,001 και ούτω καθεξής, είναι πιο βολικό να χρησιμοποιήσετε τον ακόλουθο κανόνα.

• Πολλαπλασιασμός ενός δεκαδικού με 0,1. 0,01; 0,001 και ούτω καθεξής, πρέπει να μετακινήσετε την υποδιαστολή προς τα αριστερά σε αυτό το δεκαδικό κλάσμα κατά 1, 2, 3 και ούτω καθεξής, αντίστοιχα.

Ας δούμε παραδείγματα: 2,65 * 0,1 = 0,265; 457,6 * 0,01 = 4,576.

Οι ιδιότητες του πολλαπλασιασμού των φυσικών αριθμών ισχύουν και για τα δεκαδικά κλάσματα.

• αβ = βα- αντισταθμιστική ιδιότητα πολλαπλασιασμού.
• (αβ) γ = α (βγ)- η συσχετιστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού.
• a (b + c) = ab + acείναι μια κατανεμητική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού σε σχέση με την πρόσθεση.

Δεκαδική διαίρεση

Είναι γνωστό ότι αν διαιρέσετε έναν φυσικό αριθμό ένασε φυσικό αριθμό σισημαίνει να βρούμε έναν τέτοιο φυσικό αριθμό ντο, το οποίο όταν πολλαπλασιάζεται επί σιδίνει έναν αριθμό ένα. Αυτός ο κανόνας παραμένει αληθινός εάν τουλάχιστον ένας από τους αριθμούς α, β, γείναι δεκαδικό κλάσμα.

Ας δούμε ένα παράδειγμα: πρέπει να διαιρέσετε το 43,52 με το 17 με μια γωνία, αγνοώντας το κόμμα. Σε αυτήν την περίπτωση, το κόμμα στο πηλίκο θα πρέπει να τοποθετηθεί αμέσως πριν από το πρώτο ψηφίο μετά τη χρήση της υποδιαστολής στο μέρισμα.

Υπάρχουν περιπτώσεις που το μέρισμα είναι μικρότερο από το διαιρέτη, τότε το ακέραιο μέρος του πηλίκου είναι ίσο με μηδέν. Ας δούμε ένα παράδειγμα:

Ας δούμε ένα άλλο ενδιαφέρον παράδειγμα.

Η διαδικασία διαίρεσης έχει σταματήσει επειδή τα ψηφία του μερίσματος έχουν τελειώσει και το υπόλοιπο δεν έχει μηδέν. Είναι γνωστό ότι ένα δεκαδικό κλάσμα δεν θα αλλάξει αν προστεθεί οποιοσδήποτε αριθμός μηδενικών στα δεξιά. Τότε γίνεται σαφές ότι οι αριθμοί του μερίσματος δεν μπορούν να τελειώσουν.

Για να διαιρέσετε ένα δεκαδικό κλάσμα με 10, 100, 1000 και ούτω καθεξής, πρέπει να μετακινήσετε την υποδιαστολή σε αυτό το κλάσμα προς τα αριστερά με ψηφία 1, 2, 3 και ούτω καθεξής. Ας δούμε ένα παράδειγμα: 5.14: 10 = 0.514; 2: 100 = 0,02; 37,51: 1000 = 0,03751.

Εάν το μέρισμα και ο διαιρέτης αυξηθούν ταυτόχρονα κατά 10, 100, 1000 και ούτω καθεξής φορές, τότε το πηλίκο δεν θα αλλάξει.

Εξετάστε ένα παράδειγμα: 39,44: 1,6 = 24,65, αυξήστε το μέρισμα και τον διαιρέτη κατά 10 φορές 394,4: 16 = 24,65 Είναι δίκαιο να σημειωθεί ότι η διαίρεση ενός δεκαδικού κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό στο δεύτερο παράδειγμα είναι ευκολότερη.

Για να διαιρέσετε ένα δεκαδικό κλάσμα με ένα δεκαδικό, πρέπει:

• μετακινήστε τα κόμματα στο μέρισμα και τον διαιρέτη προς τα δεξιά κατά τόσα ψηφία όσα υπάρχουν μετά την υποδιαστολή στον διαιρέτη.
• διαιρέστε με έναν φυσικό αριθμό.

Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα: 23,6: 0,02, σημειώστε ότι ο διαιρέτης έχει δύο δεκαδικά ψηφία, επομένως πολλαπλασιάζουμε και τους δύο αριθμούς με 100, παίρνουμε 2360: 2 = 1180, διαιρούμε το αποτέλεσμα με το 100 και παίρνουμε την απάντηση 11,80 ή 23,6: 0, 02 = 11,8.

Σύγκριση δεκαδικών

Υπάρχουν δύο τρόποι σύγκρισης δεκαδικών. Μέθοδος 1, πρέπει να συγκρίνετε δύο δεκαδικά κλάσματα 4.321 και 4.32, να εξισώσετε τον αριθμό των δεκαδικών ψηφίων και να αρχίσετε να συγκρίνετε θέση προς θέση, δέκατα με δέκατα, εκατοστά με εκατοστά και ούτω καθεξής, στο τέλος παίρνουμε 4.321 > 4.320.

Ο δεύτερος τρόπος σύγκρισης δεκαδικών κλασμάτων γίνεται με τον πολλαπλασιασμό του παραπάνω παραδείγματος με το 1000 και τη σύγκριση 4321 > 4320. Ποια μέθοδος είναι πιο βολική, ο καθένας επιλέγει μόνος του.

Από τα πολλά κλάσματα που βρίσκονται στην αριθμητική, αυτά που έχουν 10, 100, 1000 στον παρονομαστή - γενικά, οποιαδήποτε δύναμη του δέκα - αξίζουν ιδιαίτερης προσοχής. Αυτά τα κλάσματα έχουν ειδικό όνομα και σημειογραφία.

Δεκαδικός είναι κάθε αριθμητικό κλάσμα του οποίου ο παρονομαστής είναι δύναμη του δέκα.

Παραδείγματα δεκαδικών κλασμάτων:

Γιατί ήταν απαραίτητο να διαχωριστούν τέτοια κλάσματα καθόλου; Γιατί χρειάζονται τη δική τους φόρμα ηχογράφησης; Υπάρχουν τουλάχιστον τρεις λόγοι για αυτό:

1. Οι δεκαδικοί είναι πολύ πιο εύκολο να συγκριθούν. Θυμηθείτε: για να συγκρίνετε τα συνηθισμένα κλάσματα, πρέπει να τα αφαιρέσετε το ένα από το άλλο και, ειδικότερα, να μειώσετε τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή. Στα δεκαδικά κλάσματα δεν απαιτείται κάτι τέτοιο.
2. Μειώστε τον υπολογισμό. Οι δεκαδικοί προστίθενται και πολλαπλασιάζονται σύμφωνα με τους δικούς τους κανόνες και με λίγη εξάσκηση θα μπορείτε να δουλέψετε μαζί τους πολύ πιο γρήγορα από ό,τι με τα κανονικά κλάσματα.
3. Ευκολία εγγραφής. Σε αντίθεση με τα συνηθισμένα κλάσματα, τα δεκαδικά γράφονται σε μία γραμμή χωρίς απώλεια ευκρίνειας.

Οι περισσότεροι αριθμομηχανές δίνουν επίσης τις απαντήσεις σε δεκαδικά ψηφία. Σε ορισμένες περιπτώσεις, μια διαφορετική μορφή εγγραφής μπορεί να προκαλέσει προβλήματα. Για παράδειγμα, τι γίνεται αν ζητήσετε αλλαγή στο κατάστημα στο ποσό των 2/3 του ρούβλι :)

Κανόνες γραφής δεκαδικών κλασμάτων

Το κύριο πλεονέκτημα των δεκαδικών κλασμάτων είναι η βολική και οπτική σημειογραφία. Δηλαδή:

Ο δεκαδικός συμβολισμός είναι μια μορφή γραφής δεκαδικών κλασμάτων όπου το ακέραιο μέρος διαχωρίζεται από το κλασματικό μέρος με κανονική τελεία ή κόμμα. Σε αυτή την περίπτωση, το ίδιο το διαχωριστικό (σημείο ή κόμμα) ονομάζεται δεκαδικό σημείο.

Για παράδειγμα, 0,3 (διαβάστε: "σημείο μηδέν, 3 δέκατα"). 7,25 (7 ολόκληρα, 25 εκατοστά). 3.049 (3 ολόκληρα, 49 χιλιοστά). Όλα τα παραδείγματα λαμβάνονται από τον προηγούμενο ορισμό.

Στη γραφή, ένα κόμμα χρησιμοποιείται συνήθως ως υποδιαστολή. Εδώ και περαιτέρω σε ολόκληρο τον ιστότοπο, θα χρησιμοποιείται επίσης το κόμμα.

Για να γράψετε ένα αυθαίρετο δεκαδικό κλάσμα σε αυτή τη μορφή, πρέπει να ακολουθήσετε τρία απλά βήματα:

1. Γράψτε τον αριθμητή ξεχωριστά.
2. Μετατοπίστε την υποδιαστολή προς τα αριστερά κατά τόσες θέσεις όσα μηδενικά υπάρχουν στον παρονομαστή. Ας υποθέσουμε ότι αρχικά η υποδιαστολή είναι στα δεξιά όλων των ψηφίων.
3. Εάν η υποδιαστολή έχει μετακινηθεί και μετά από αυτήν υπάρχουν μηδενικά στο τέλος της καταχώρισης, πρέπει να διαγραφούν.

Συμβαίνει ότι στο δεύτερο βήμα ο αριθμητής δεν έχει αρκετά ψηφία για να ολοκληρώσει τη μετατόπιση. Σε αυτή την περίπτωση, οι θέσεις που λείπουν συμπληρώνονται με μηδενικά. Και γενικά, στα αριστερά οποιουδήποτε αριθμού μπορείτε να αντιστοιχίσετε οποιοδήποτε αριθμό μηδενικών χωρίς να βλάψετε την υγεία σας. Είναι άσχημο, αλλά μερικές φορές χρήσιμο.

Με την πρώτη ματιά, αυτός ο αλγόριθμος μπορεί να φαίνεται αρκετά περίπλοκος. Στην πραγματικότητα, όλα είναι πολύ, πολύ απλά - απλά πρέπει να εξασκηθείτε λίγο. Ρίξτε μια ματιά στα παραδείγματα:

Εργο. Για κάθε κλάσμα, να αναφέρετε τον δεκαδικό συμβολισμό του:

Ο αριθμητής του πρώτου κλάσματος είναι: 73. Μετατοπίζουμε την υποδιαστολή κατά ένα πρόσημο (αφού ο παρονομαστής είναι 10) - παίρνουμε 7,3.

Αριθμητής του δεύτερου κλάσματος: 9. Μετατοπίζουμε την υποδιαστολή κατά δύο θέσεις (αφού ο παρονομαστής είναι 100) - παίρνουμε 0,09. Έπρεπε να προσθέσω ένα μηδέν μετά την υποδιαστολή και ένα ακόμη πριν από αυτό, για να μην αφήσω μια περίεργη καταχώρηση όπως το “.09”.

Ο αριθμητής του τρίτου κλάσματος: 10029. Μετατοπίζουμε την υποδιαστολή κατά τρεις θέσεις (αφού ο παρονομαστής είναι 1000) - παίρνουμε 10,029.

Ο αριθμητής του τελευταίου κλάσματος: 10500. Και πάλι μετατοπίζουμε το σημείο κατά τρία ψηφία - παίρνουμε 10.500. Υπάρχουν επιπλέον μηδενικά στο τέλος του αριθμού. Σταυρώστε τα και παίρνουμε 10,5.

Δώστε προσοχή στα δύο τελευταία παραδείγματα: τους αριθμούς 10.029 και 10.5. Σύμφωνα με τους κανόνες, τα μηδενικά στα δεξιά πρέπει να διαγράφονται, όπως έγινε στο τελευταίο παράδειγμα. Ωστόσο, δεν πρέπει ποτέ να το κάνετε αυτό με μηδενικά μέσα σε έναν αριθμό (τα οποία περιβάλλονται από άλλους αριθμούς). Γι' αυτό πήραμε 10.029 και 10.5 και όχι 1.29 και 1.5.

Έτσι, καταλάβαμε τον ορισμό και τη μορφή γραφής δεκαδικών κλασμάτων. Τώρα ας μάθουμε πώς να μετατρέπουμε τα συνηθισμένα κλάσματα σε δεκαδικά - και το αντίστροφο.

Μετατροπή από κλάσματα σε δεκαδικά

Θεωρήστε ένα απλό αριθμητικό κλάσμα της μορφής a /b. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη βασική ιδιότητα ενός κλάσματος και να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με έναν τέτοιο αριθμό ώστε το κάτω μέρος να είναι δύναμη του δέκα. Αλλά πριν το κάνετε, διαβάστε τα παρακάτω:

Υπάρχουν παρονομαστές που δεν μπορούν να μειωθούν σε δυνάμεις του δέκα. Μάθετε να αναγνωρίζετε τέτοια κλάσματα, γιατί δεν μπορείτε να τα επεξεργαστείτε χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο που περιγράφεται παρακάτω.

Έτσι είναι τα πράγματα. Λοιπόν, πώς καταλαβαίνεις αν ο παρονομαστής ανάγεται σε δύναμη δέκα ή όχι;

Η απάντηση είναι απλή: παράγετε τον παρονομαστή σε πρώτους παράγοντες. Εάν η επέκταση περιέχει μόνο συντελεστές 2 και 5, ο αριθμός αυτός μπορεί να μειωθεί σε ισχύ δέκα. Εάν υπάρχουν άλλοι αριθμοί (3, 7, 11 - ό, τι), μπορείτε να ξεχάσετε τη δύναμη του δέκα.

Εργο. Ελέγξτε εάν τα υποδεικνυόμενα κλάσματα μπορούν να παρασταθούν ως δεκαδικά ψηφία:

Ας γράψουμε και συνυπολογίσουμε τους παρονομαστές αυτών των κλασμάτων:

20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 - υπάρχουν μόνο οι αριθμοί 2 και 5, επομένως, το κλάσμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως δεκαδικό.

12 = 4 · 3 = 2 2 · 3 - υπάρχει ένας «απαγορευμένος» παράγοντας 3. Το κλάσμα δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως δεκαδικό.

640 = 8 · 8 · 10 = 2 3 · 2 3 · 2 · 5 = 2 7 · 5. Όλα είναι στη σειρά: δεν υπάρχει τίποτα εκτός από τους αριθμούς 2 και 5. Ένα κλάσμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως δεκαδικό.

48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 3 = 2 4 · 3. Ο παράγοντας 3 «ανέβηκε στην επιφάνεια» και πάλι δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως δεκαδικό κλάσμα.

Λοιπόν, ταξινομήσαμε τον παρονομαστή - τώρα ας δούμε ολόκληρο τον αλγόριθμο για τη μετάβαση στα δεκαδικά κλάσματα:

1. Υπολογίστε τον παρονομαστή του αρχικού κλάσματος και βεβαιωθείτε ότι είναι γενικά αναπαραστάσιμο ως δεκαδικό. Εκείνοι. Ελέγξτε ότι υπάρχουν μόνο οι παράγοντες 2 και 5 στην επέκταση Διαφορετικά, ο αλγόριθμος δεν λειτουργεί.
2. Μετρήστε πόσα δύο και πέντε υπάρχουν στην επέκταση (δεν θα υπάρχουν άλλοι αριθμοί εκεί, θυμάστε;). Επιλέξτε έναν πρόσθετο παράγοντα έτσι ώστε ο αριθμός των δύο και των πέντε να είναι ίσος.
3. Στην πραγματικότητα, πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του αρχικού κλάσματος με αυτόν τον παράγοντα - παίρνουμε την επιθυμητή αναπαράσταση, δηλ. ο παρονομαστής θα είναι δύναμη του δέκα.

Φυσικά, ο πρόσθετος παράγοντας επίσης θα αποσυντεθεί μόνο σε δύο και πέντε. Ταυτόχρονα, για να μην περιπλέκετε τη ζωή σας, θα πρέπει να επιλέξετε τον μικρότερο πολλαπλασιαστή από όλους τους δυνατούς.

Και κάτι ακόμα: εάν το αρχικό κλάσμα περιέχει ένα ακέραιο μέρος, φροντίστε να μετατρέψετε αυτό το κλάσμα σε ακατάλληλο κλάσμα - και μόνο τότε εφαρμόστε τον αλγόριθμο που περιγράφεται.

Εργο. Μετατρέψτε αυτά τα αριθμητικά κλάσματα σε δεκαδικά:

Ας παραγοντοποιήσουμε τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος: 4 = 2 · 2 = 2 2 . Επομένως, το κλάσμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως δεκαδικό. Η επέκταση περιέχει δύο δύο και όχι ένα μόνο πέντε, επομένως ο πρόσθετος παράγοντας είναι 5 2 = 25. Με αυτό, ο αριθμός των δύο και των πέντε θα είναι ίσος. Έχουμε:

Τώρα ας δούμε το δεύτερο κλάσμα. Για να το κάνετε αυτό, σημειώστε ότι 24 = 3 · 8 = 3 · 2 3 - υπάρχει ένα τριπλό στην επέκταση, επομένως το κλάσμα δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως δεκαδικό.

Τα δύο τελευταία κλάσματα έχουν παρονομαστές 5 (πρώτος αριθμός) και 20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 αντίστοιχα - μόνο δύο και πέντε υπάρχουν παντού. Επιπλέον, στην πρώτη περίπτωση, "για πλήρη ευτυχία" ένας παράγοντας 2 δεν αρκεί και στη δεύτερη - 5. Παίρνουμε:

Μετατροπή από δεκαδικά σε κοινά κλάσματα

Η αντίστροφη μετατροπή - από δεκαδικό σε κανονικό συμβολισμό - είναι πολύ πιο απλή. Δεν υπάρχουν περιορισμοί ή ειδικοί έλεγχοι εδώ, ώστε να μπορείτε πάντα να μετατρέψετε ένα δεκαδικό κλάσμα στο κλασικό κλάσμα "διώροφο".

Ο αλγόριθμος μετάφρασης έχει ως εξής:

1. Διαγράψτε όλα τα μηδενικά στην αριστερή πλευρά του δεκαδικού, καθώς και την υποδιαστολή. Αυτός θα είναι ο αριθμητής του επιθυμητού κλάσματος. Το κύριο πράγμα είναι να μην το παρακάνετε και να μην διασχίσετε τα εσωτερικά μηδενικά που περιβάλλονται από άλλους αριθμούς.
2. Μετρήστε πόσα δεκαδικά ψηφία υπάρχουν μετά την υποδιαστολή. Πάρτε τον αριθμό 1 και προσθέστε τόσα μηδενικά στα δεξιά, όσους χαρακτήρες μετράτε. Αυτός θα είναι ο παρονομαστής.
3. Στην πραγματικότητα, γράψτε το κλάσμα του οποίου μόλις βρήκαμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Εάν είναι δυνατόν, μειώστε το. Εάν το αρχικό κλάσμα περιείχε ένα ακέραιο μέρος, θα λάβουμε τώρα ένα ακατάλληλο κλάσμα, το οποίο είναι πολύ βολικό για περαιτέρω υπολογισμούς.

Εργο. Μετατροπή δεκαδικών κλασμάτων σε συνηθισμένα κλάσματα: 0,008; 3.107; 2.25; 7,2008.

Διαγράψτε τα μηδενικά στα αριστερά και τα κόμματα - παίρνουμε τους ακόλουθους αριθμούς (αυτοί θα είναι οι αριθμητές): 8; 3107; 225; 72008.

Στο πρώτο και το δεύτερο κλάσματα υπάρχουν 3 δεκαδικά ψηφία, στο δεύτερο - 2 και στο τρίτο - έως και 4 δεκαδικά ψηφία. Παίρνουμε τους παρονομαστές: 1000; 1000; 100; 10000.

Τέλος, ας συνδυάσουμε τους αριθμητές και τους παρονομαστές σε συνηθισμένα κλάσματα:

Όπως φαίνεται από τα παραδείγματα, το προκύπτον κλάσμα μπορεί πολύ συχνά να μειωθεί. Επιτρέψτε μου να σημειώσω για άλλη μια φορά ότι οποιοδήποτε δεκαδικό κλάσμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα συνηθισμένο κλάσμα. Η αντίστροφη μετατροπή μπορεί να μην είναι πάντα δυνατή.