Το άθροισμα n αριθμών μιας γεωμετρικής προόδου. Γεωμετρική πρόοδος

Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια αριθμητική ακολουθία, της οποίας ο πρώτος όρος είναι μη μηδενικός, και κάθε επόμενος όρος είναι ίσος με τον προηγούμενο όρο πολλαπλασιασμένο με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό. Η γεωμετρική πρόοδος συμβολίζεται με b1,b2,b3, …, bn, …

Ιδιότητες γεωμετρικής προόδου

Ο λόγος οποιουδήποτε όρου του γεωμετρικού σφάλματος προς τον προηγούμενο όρο του είναι ίσος με τον ίδιο αριθμό, δηλαδή b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . Αυτό προκύπτει άμεσα από τον ορισμό μιας αριθμητικής προόδου. Αυτός ο αριθμός ονομάζεται παρονομαστής μιας γεωμετρικής προόδου. Συνήθως ο παρονομαστής μιας γεωμετρικής προόδου συμβολίζεται με το γράμμα q.

Ένας από τους τρόπους για να καθορίσετε μια γεωμετρική πρόοδο είναι να καθορίσετε τον πρώτο όρο της b1 και τον παρονομαστή του γεωμετρικού σφάλματος q. Για παράδειγμα, b1=4, q=-2. Αυτές οι δύο συνθήκες ορίζουν τη γεωμετρική πρόοδο 4, -8, 16, -32, ….

Αν q>0 (q δεν ισούται με 1), τότε η πρόοδος είναι μονοτονική ακολουθία. Για παράδειγμα, η ακολουθία, 2, 4,8,16,32, ... είναι μια μονότονα αυξανόμενη ακολουθία (b1=2, q=2).

Εάν ο παρονομαστής στο γεωμετρικό σφάλμα είναι q=1, τότε όλοι οι όροι της γεωμετρικής προόδου θα είναι ίσοι μεταξύ τους. Σε τέτοιες περιπτώσεις, η εξέλιξη λέγεται ότι είναι μια σταθερή ακολουθία.

Τύπος για τον nο όρο της προόδου

Για να είναι μια αριθμητική ακολουθία (bn) γεωμετρική πρόοδος, είναι απαραίτητο κάθε μέλος της, ξεκινώντας από το δεύτερο, να είναι ο γεωμετρικός μέσος όρος των γειτονικών μελών. Δηλαδή, είναι απαραίτητο να εκπληρωθεί η ακόλουθη εξίσωση - (b(n+1))^2 = bn * b(n+2), για οποιοδήποτε n>0, όπου το n ανήκει στο σύνολο των φυσικών αριθμών N.

Ο τύπος για τον nο όρο της γεωμετρικής προόδου είναι:

bn=b1*q^(n-1), όπου το n ανήκει στο σύνολο των φυσικών αριθμών N.

Ας δούμε ένα απλό παράδειγμα:

Σε γεωμετρική πρόοδο b1=6, q=3, n=8 βρείτε bn.

Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για τον nο όρο μιας γεωμετρικής προόδου.

Αριθμητικές και γεωμετρικές προόδους

Θεωρητικές πληροφορίες

Θεωρητικές πληροφορίες

	Αριθμητική πρόοδος	Γεωμετρική πρόοδος
Ορισμός	Αριθμητική πρόοδος a nείναι μια ακολουθία στην οποία κάθε μέλος, ξεκινώντας από το δεύτερο, ισούται με το προηγούμενο μέλος που προστέθηκε στον ίδιο αριθμό ρε (ρε- διαφορά εξέλιξης)	Γεωμετρική πρόοδος b nείναι μια ακολουθία μη μηδενικών αριθμών, κάθε όρος των οποίων, ξεκινώντας από τον δεύτερο, ισούται με τον προηγούμενο όρο πολλαπλασιασμένο με τον ίδιο αριθμό q (q- παρονομαστής προόδου)
Φόρμουλα υποτροπής	Για κάθε φυσικό n a n + 1 = a n + d	Για κάθε φυσικό n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Φόρμουλα ντος όρος	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Χαρακτηριστική ιδιότητα
Άθροισμα των πρώτων ν όρων

Παραδείγματα εργασιών με σχόλια

Εργασία 1

Σε αριθμητική πρόοδο ( a n) α 1 = -6, α 2

Σύμφωνα με τον τύπο του nου όρου:

ένα 22 = α 1+ d (22 - 1) = α 1+ 21 d

Σύμφωνα με την προϋπόθεση:

α 1= -6, λοιπόν ένα 22= -6 + 21 d .

Είναι απαραίτητο να βρείτε τη διαφορά των προόδων:

d = α 2 – α 1 = -8 – (-6) = -2

ένα 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Απάντηση: ένα 22 = -48.

Εργασία 2

Βρείτε τον πέμπτο όρο της γεωμετρικής προόδου: -3; 6;....

1η μέθοδος (χρησιμοποιώντας τον τύπο n-term)

Σύμφωνα με τον τύπο για τον nο όρο μιας γεωμετρικής προόδου:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Επειδή β 1 = -3,

2η μέθοδος (χρησιμοποιώντας επαναλαμβανόμενο τύπο)

Εφόσον ο παρονομαστής της προόδου είναι -2 (q = -2), τότε:

β 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

β 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

β 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Απάντηση: β 5 = -48.

Εργασία 3

Σε αριθμητική πρόοδο ( α ν ) α 74 = 34; ένα 76= 156. Βρείτε τον εβδομήντα πέμπτο όρο αυτής της προόδου.

Για μια αριθμητική πρόοδο, η χαρακτηριστική ιδιότητα έχει τη μορφή .

Από αυτό προκύπτει:

Ας αντικαταστήσουμε τα δεδομένα στον τύπο:

Απάντηση: 95.

Εργασία 4

Σε αριθμητική πρόοδο ( a n ) a n= 3n - 4. Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων δεκαεπτά όρων.

Για να βρεθεί το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας αριθμητικής προόδου, χρησιμοποιούνται δύο τύποι:

Ποιο από αυτά είναι πιο βολικό στη χρήση σε αυτήν την περίπτωση;

Κατά συνθήκη, ο τύπος για τον nο όρο της αρχικής προόδου είναι γνωστός ( a n) a n= 3n - 4. Μπορείτε να βρείτε αμέσως και α 1, Και ένα 16χωρίς να βρεθεί δ. Επομένως, θα χρησιμοποιήσουμε τον πρώτο τύπο.

Απάντηση: 368.

Εργασία 5

Σε αριθμητική πρόοδο ( a n) α 1 = -6; α 2= -8. Βρείτε τον εικοστό δεύτερο όρο της προόδου.

Σύμφωνα με τον τύπο του nου όρου:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = α 1+ 21η.

Κατά όρο, εάν α 1= -6, λοιπόν ένα 22= -6 + 21η . Είναι απαραίτητο να βρείτε τη διαφορά των προόδων:

d = α 2 – α 1 = -8 – (-6) = -2

ένα 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Απάντηση: ένα 22 = -48.

Εργασία 6

Γράφονται αρκετοί διαδοχικοί όροι της γεωμετρικής προόδου:

Βρείτε τον όρο της προόδου με την ένδειξη x.

Κατά την επίλυση, θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για τον nο όρο b n = b 1 ∙ q n - 1για γεωμετρικές προόδους. Ο πρώτος όρος της προόδου. Για να βρείτε τον παρονομαστή της προόδου q, πρέπει να πάρετε οποιονδήποτε από τους δεδομένους όρους της προόδου και να διαιρέσετε με τον προηγούμενο. Στο παράδειγμά μας, μπορούμε να πάρουμε και να διαιρέσουμε με. Λαμβάνουμε ότι q = 3. Αντί για n, αντικαθιστούμε 3 στον τύπο, αφού είναι απαραίτητο να βρούμε τον τρίτο όρο μιας δεδομένης γεωμετρικής προόδου.

Αντικαθιστώντας τις τιμές που βρέθηκαν στον τύπο, παίρνουμε:

Απάντηση:.

Εργασία 7

Από τις αριθμητικές προόδους που δίνονται από τον τύπο του nου όρου, επιλέξτε αυτή για την οποία ικανοποιείται η συνθήκη ένα 27 > 9:

Εφόσον η δεδομένη συνθήκη πρέπει να ικανοποιηθεί για τον 27ο όρο της προόδου, αντικαθιστούμε 27 αντί για n σε καθεμία από τις τέσσερις προόδους. Στην 4η εξέλιξη παίρνουμε:

Απάντηση: 4.

Εργασία 8

Σε αριθμητική πρόοδο α 1= 3, d = -1,5. Καθορίστε τη μεγαλύτερη τιμή του n για την οποία ισχύει η ανισότητα a n > -6.

Ας καθίσουμε λοιπόν και ας αρχίσουμε να γράφουμε μερικούς αριθμούς. Για παράδειγμα:

Μπορείτε να γράψετε οποιουσδήποτε αριθμούς και μπορεί να υπάρχουν όσοι από αυτούς θέλετε (στην περίπτωσή μας υπάρχουν). Όσους αριθμούς και να γράψουμε, μπορούμε πάντα να πούμε ποιος είναι πρώτος, ποιος δεύτερος και ούτω καθεξής μέχρι τον τελευταίο, δηλαδή μπορούμε να τους αριθμήσουμε. Αυτό είναι ένα παράδειγμα ακολουθίας αριθμών:

Αριθμητική ακολουθίαείναι ένα σύνολο αριθμών, στον καθένα από τους οποίους μπορεί να εκχωρηθεί ένας μοναδικός αριθμός.

Για παράδειγμα, για τη σειρά μας:

Ο εκχωρημένος αριθμός είναι συγκεκριμένος μόνο για έναν αριθμό της σειράς. Με άλλα λόγια, δεν υπάρχουν τρεις δεύτεροι αριθμοί στην ακολουθία. Ο δεύτερος αριθμός (όπως και ο αριθμός) είναι πάντα ο ίδιος.

Ο αριθμός με τον αριθμό ονομάζεται ντο μέλος της ακολουθίας.

Συνήθως ονομάζουμε ολόκληρη την ακολουθία με κάποιο γράμμα (για παράδειγμα,) και κάθε μέλος αυτής της ακολουθίας είναι το ίδιο γράμμα με δείκτη ίσο με τον αριθμό αυτού του μέλους: .

Στην περίπτωσή μας:

Οι πιο συνηθισμένοι τύποι προόδου είναι οι αριθμητικοί και οι γεωμετρικοί. Σε αυτό το θέμα θα μιλήσουμε για το δεύτερο είδος - γεωμετρική πρόοδος.

Γιατί χρειάζεται η γεωμετρική πρόοδος και η ιστορία της;

Ακόμη και στην αρχαιότητα, ο Ιταλός μαθηματικός μοναχός Λεονάρντο της Πίζας (γνωστός περισσότερο ως Φιμπονάτσι) ασχολήθηκε με τις πρακτικές ανάγκες του εμπορίου. Ο μοναχός βρέθηκε αντιμέτωπος με το καθήκον να προσδιορίσει ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός βαρών που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη ζύγιση ενός προϊόντος; Στα έργα του, ο Fibonacci αποδεικνύει ότι ένα τέτοιο σύστημα βαρών είναι το βέλτιστο: Αυτή είναι μια από τις πρώτες καταστάσεις στις οποίες οι άνθρωποι έπρεπε να αντιμετωπίσουν μια γεωμετρική πρόοδο, για την οποία πιθανότατα έχετε ήδη ακούσει και έχετε τουλάχιστον μια γενική κατανόηση. Μόλις κατανοήσετε πλήρως το θέμα, σκεφτείτε γιατί ένα τέτοιο σύστημα είναι το βέλτιστο;

Επί του παρόντος, στην πρακτική της ζωής, η γεωμετρική πρόοδος εκδηλώνεται κατά την επένδυση χρημάτων σε μια τράπεζα, όταν το ποσό των τόκων συγκεντρώνεται στο ποσό που συσσωρεύτηκε στον λογαριασμό για την προηγούμενη περίοδο. Με άλλα λόγια, εάν βάλετε χρήματα σε προθεσμιακή κατάθεση σε ταμιευτήριο, τότε μετά από ένα χρόνο η κατάθεση θα αυξηθεί κατά το αρχικό ποσό, δηλ. το νέο ποσό θα είναι ίσο με την εισφορά πολλαπλασιαζόμενη επί. Σε άλλο χρόνο, το ποσό αυτό θα αυξηθεί κατά, δηλ. το ποσό που λαμβάνεται εκείνη τη στιγμή θα πολλαπλασιαστεί και πάλι επί και ούτω καθεξής. Μια παρόμοια κατάσταση περιγράφεται σε προβλήματα υπολογισμού του λεγόμενου ανατοκισμός– το ποσοστό λαμβάνεται κάθε φορά από το ποσό που υπάρχει στον λογαριασμό, λαμβανομένων υπόψη των προηγούμενων τόκων. Θα μιλήσουμε για αυτές τις εργασίες λίγο αργότερα.

Υπάρχουν πολλές ακόμη απλές περιπτώσεις όπου εφαρμόζεται γεωμετρική πρόοδος. Για παράδειγμα, η εξάπλωση της γρίπης: ένα άτομο μόλυνε ένα άλλο άτομο, εκείνοι, με τη σειρά τους, μόλυναν ένα άλλο άτομο, και έτσι το δεύτερο κύμα μόλυνσης είναι ένα άτομο, και εκείνοι, με τη σειρά τους, μόλυναν ένα άλλο... και ούτω καθεξής. .

Παρεμπιπτόντως, μια οικονομική πυραμίδα, το ίδιο ΜΜΜ, είναι ένας απλός και ξερός υπολογισμός που βασίζεται στις ιδιότητες μιας γεωμετρικής προόδου. Ενδιαφέρων; Ας το καταλάβουμε.

Γεωμετρική πρόοδος.

Ας πούμε ότι έχουμε μια αριθμητική ακολουθία:

Θα απαντήσετε αμέσως ότι αυτό είναι εύκολο και το όνομα μιας τέτοιας ακολουθίας είναι με τη διαφορά των μελών της. Τι θα λέγατε για αυτό:

Εάν αφαιρέσετε τον προηγούμενο αριθμό από τον επόμενο αριθμό, θα δείτε ότι κάθε φορά θα έχετε μια νέα διαφορά (και ούτω καθεξής), αλλά η ακολουθία υπάρχει σίγουρα και είναι εύκολο να παρατηρήσετε - κάθε επόμενος αριθμός είναι φορές μεγαλύτερος από τον προηγούμενο!

Αυτός ο τύπος ακολουθίας αριθμών ονομάζεται γεωμετρική πρόοδοςκαι ορίζεται.

Η γεωμετρική πρόοδος () είναι μια αριθμητική ακολουθία, της οποίας ο πρώτος όρος είναι διαφορετικός από το μηδέν και κάθε όρος, ξεκινώντας από τον δεύτερο, είναι ίσος με τον προηγούμενο, πολλαπλασιαζόμενος με τον ίδιο αριθμό. Αυτός ο αριθμός ονομάζεται παρονομαστής μιας γεωμετρικής προόδου.

Οι περιορισμοί ότι ο πρώτος όρος ( ) δεν είναι ίσος και δεν είναι τυχαίοι. Ας υποθέσουμε ότι δεν υπάρχουν, και ο πρώτος όρος εξακολουθεί να είναι ίσος, και το q είναι ίσο με, χμμ.. ας είναι, τότε αποδεικνύεται:

Συμφωνήστε ότι αυτό δεν είναι πλέον μια εξέλιξη.

Όπως καταλαβαίνετε, θα έχουμε τα ίδια αποτελέσματα εάν υπάρχει οποιοσδήποτε αριθμός εκτός από το μηδέν, α. Σε αυτές τις περιπτώσεις, απλά δεν θα υπάρχει πρόοδος, αφού ολόκληρη η σειρά αριθμών θα είναι είτε όλα μηδενικά είτε ένας αριθμός και όλα τα υπόλοιπα είναι μηδενικά.

Ας μιλήσουμε τώρα πιο αναλυτικά για τον παρονομαστή της γεωμετρικής προόδου, δηλαδή ο.

Ας επαναλάβουμε: - αυτός είναι ο αριθμός πόσες φορές αλλάζει κάθε επόμενος όρος;γεωμετρική πρόοδος.

Τι πιστεύετε ότι θα μπορούσε να είναι; Αυτό είναι σωστό, θετικό και αρνητικό, αλλά όχι μηδέν (το μιλήσαμε λίγο παραπάνω).

Ας υποθέσουμε ότι το δικό μας είναι θετικό. Ας στην περίπτωσή μας, α. Ποια είναι η αξία του δεύτερου όρου και; Μπορείτε εύκολα να απαντήσετε ότι:

Αυτό είναι σωστό. Αντίστοιχα, εάν, τότε όλοι οι επόμενοι όροι της εξέλιξης έχουν το ίδιο πρόσημο - αυτοί είναι θετικές.

Κι αν είναι αρνητικό; Για παράδειγμα, α. Ποια είναι η αξία του δεύτερου όρου και;

Αυτή είναι μια εντελώς διαφορετική ιστορία

Προσπαθήστε να μετρήσετε τους όρους αυτής της εξέλιξης. Πόσα πήρες; έχω. Έτσι, αν, τότε τα πρόσημα των όρων της γεωμετρικής προόδου εναλλάσσονται. Δηλαδή, αν δείτε μια πρόοδο με εναλλασσόμενα πρόσημα για τα μέλη της, τότε ο παρονομαστής της είναι αρνητικός. Αυτή η γνώση μπορεί να σας βοηθήσει να δοκιμάσετε τον εαυτό σας κατά την επίλυση προβλημάτων σχετικά με αυτό το θέμα.

Τώρα ας εξασκηθούμε λίγο: προσπαθήστε να προσδιορίσετε ποιες ακολουθίες αριθμών είναι γεωμετρική πρόοδος και ποιες αριθμητική πρόοδος:

Κατάλαβες; Ας συγκρίνουμε τις απαντήσεις μας:

Γεωμετρική πρόοδος – 3, 6.
Αριθμητική πρόοδος – 2, 4.
Δεν είναι ούτε αριθμητική ούτε γεωμετρική πρόοδος - 1, 5, 7.

Ας επιστρέψουμε στην τελευταία μας εξέλιξη και ας προσπαθήσουμε να βρούμε τον όρο της, όπως και στην αριθμητική. Όπως ίσως έχετε μαντέψει, υπάρχουν δύο τρόποι για να το βρείτε.

Πολλαπλασιάζουμε διαδοχικά κάθε όρο με.

Άρα, ο όρος της περιγραφόμενης γεωμετρικής προόδου είναι ίσος με.

Όπως ήδη μαντέψατε, τώρα εσείς οι ίδιοι θα αντλήσετε έναν τύπο που θα σας βοηθήσει να βρείτε οποιοδήποτε μέλος της γεωμετρικής προόδου. Ή το έχετε ήδη αναπτύξει για τον εαυτό σας, περιγράφοντας πώς να βρείτε το ου μέλος βήμα προς βήμα; Αν ναι, τότε ελέγξτε την ορθότητα του συλλογισμού σας.

Ας το επεξηγήσουμε αυτό με το παράδειγμα εύρεσης του ου όρου αυτής της προόδου:

Με άλλα λόγια:

Βρείτε μόνοι σας την τιμή του όρου της δεδομένης γεωμετρικής προόδου.

Δούλεψε; Ας συγκρίνουμε τις απαντήσεις μας:

Σημειώστε ότι πήρατε ακριβώς τον ίδιο αριθμό με την προηγούμενη μέθοδο, όταν πολλαπλασιάσαμε διαδοχικά με κάθε προηγούμενο όρο της γεωμετρικής προόδου.
Ας προσπαθήσουμε να «αποπροσωποποιήσουμε» αυτόν τον τύπο - ας τον βάλουμε σε γενική μορφή και ας πάρουμε:

Ο παραγόμενος τύπος ισχύει για όλες τις τιμές - θετικές και αρνητικές. Ελέγξτε αυτό μόνοι σας υπολογίζοντας τους όρους της γεωμετρικής προόδου με τις ακόλουθες προϋποθέσεις: , α.

μετρήσατε; Ας συγκρίνουμε τα αποτελέσματα:

Συμφωνήστε ότι θα ήταν δυνατό να βρεθεί ένας όρος μιας εξέλιξης με τον ίδιο τρόπο όπως ένας όρος, ωστόσο, υπάρχει πιθανότητα λανθασμένου υπολογισμού. Και αν έχουμε ήδη βρει τον ό όρο της γεωμετρικής προόδου, τότε τι θα μπορούσε να είναι πιο απλό από τη χρήση του «κομμένου» μέρους του τύπου.

Απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος.

Πιο πρόσφατα, μιλήσαμε για το γεγονός ότι μπορεί να είναι είτε μεγαλύτερο είτε μικρότερο από το μηδέν, ωστόσο, υπάρχουν ειδικές τιμές για τις οποίες ονομάζεται η γεωμετρική πρόοδος απείρως μειώνεται.

Γιατί πιστεύετε ότι δόθηκε αυτό το όνομα;
Αρχικά, ας γράψουμε κάποια γεωμετρική πρόοδο που αποτελείται από όρους.
Ας πούμε λοιπόν:

Βλέπουμε ότι κάθε επόμενος όρος είναι μικρότερος από τον προηγούμενο κατά έναν παράγοντα, αλλά θα υπάρχει κάποιος αριθμός; Θα απαντήσετε αμέσως «όχι». Γι' αυτό μειώνεται απείρως - μειώνεται και μειώνεται, αλλά ποτέ δεν μηδενίζεται.

Για να κατανοήσουμε με σαφήνεια πώς φαίνεται αυτό οπτικά, ας προσπαθήσουμε να σχεδιάσουμε ένα γράφημα της προόδου μας. Έτσι, για την περίπτωσή μας, ο τύπος έχει την ακόλουθη μορφή:

Ως εκ τούτου, στα γραφήματα έχουμε συνηθίσει να σχεδιάζουμε την εξάρτηση από:

Η ουσία της έκφρασης δεν έχει αλλάξει: στην πρώτη καταχώριση δείξαμε την εξάρτηση της τιμής ενός μέλους μιας γεωμετρικής προόδου από τον τακτικό του αριθμό και στη δεύτερη καταχώρηση απλώς λάβαμε την τιμή ενός μέλους μιας γεωμετρικής προόδου ως , και όρισε τον τακτικό αριθμό όχι ως, αλλά ως. Το μόνο που μένει να γίνει είναι να φτιάξουμε ένα γράφημα.
Ας δούμε τι έχεις. Εδώ είναι το γράφημα που κατέληξα:

Βλέπεις; Η συνάρτηση μειώνεται, τείνει στο μηδέν, αλλά δεν τη διασχίζει ποτέ, άρα είναι απείρως φθίνουσα. Ας σημειώσουμε τα σημεία μας στο γράφημα και ταυτόχρονα τι σημαίνει η συντεταγμένη και:

Προσπαθήστε να απεικονίσετε σχηματικά ένα γράφημα μιας γεωμετρικής προόδου εάν ο πρώτος όρος της είναι επίσης ίσος. Αναλύστε ποια είναι η διαφορά με το προηγούμενο γράφημα;

Τα κατάφερες; Εδώ είναι το γράφημα που κατέληξα:

Τώρα που έχετε κατανοήσει πλήρως τα βασικά του θέματος της γεωμετρικής προόδου: ξέρετε τι είναι, ξέρετε πώς να βρείτε τον όρο της και επίσης ξέρετε τι είναι μια απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος, ας προχωρήσουμε στην κύρια ιδιότητά της.

Ιδιότητα γεωμετρικής προόδου.

Θυμάστε την ιδιότητα των όρων μιας αριθμητικής προόδου; Ναι, ναι, πώς να βρείτε την τιμή ενός συγκεκριμένου αριθμού προόδου όταν υπάρχουν προηγούμενες και επόμενες τιμές των όρων αυτής της προόδου. Θυμάσαι; Εδώ είναι:

Τώρα βρισκόμαστε αντιμέτωποι με ακριβώς το ίδιο ερώτημα για τους όρους μιας γεωμετρικής προόδου. Για να εξαγάγουμε έναν τέτοιο τύπο, ας αρχίσουμε να σχεδιάζουμε και να συλλογίζουμε. Θα δεις, είναι πολύ εύκολο, και αν το ξεχάσεις, μπορείς να το βγάλεις μόνος σου.

Ας πάρουμε μια άλλη απλή γεωμετρική πρόοδο, στην οποία γνωρίζουμε και. Πώς να βρείτε; Με την αριθμητική πρόοδο είναι εύκολο και απλό, αλλά τι γίνεται εδώ; Στην πραγματικότητα, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο ούτε στα γεωμετρικά - απλά πρέπει να γράψετε κάθε τιμή που μας δίνεται σύμφωνα με τον τύπο.

Μπορείτε να ρωτήσετε, τι πρέπει να κάνουμε για αυτό τώρα; Ναι, πολύ απλό. Αρχικά, ας απεικονίσουμε αυτούς τους τύπους σε μια εικόνα και ας προσπαθήσουμε να κάνουμε διάφορους χειρισμούς με αυτούς για να καταλήξουμε σε μια τιμή.

Ας αφαιρεθούμε από τους αριθμούς που μας δίνονται, ας εστιάσουμε μόνο στην έκφρασή τους μέσω του τύπου. Πρέπει να βρούμε την τιμή που επισημαίνεται με πορτοκαλί, γνωρίζοντας τους όρους που βρίσκονται δίπλα της. Ας προσπαθήσουμε να εκτελέσουμε διάφορες ενέργειες μαζί τους, ως αποτέλεσμα των οποίων μπορούμε να πάρουμε.

Πρόσθεση.
Ας προσπαθήσουμε να προσθέσουμε δύο εκφράσεις και παίρνουμε:

Από αυτήν την έκφραση, όπως μπορείτε να δείτε, δεν μπορούμε να την εκφράσουμε με κανέναν τρόπο, επομένως, θα δοκιμάσουμε μια άλλη επιλογή - αφαίρεση.

Αφαίρεση.

Όπως μπορείτε να δείτε, δεν μπορούμε να το εκφράσουμε ούτε αυτό, επομένως, ας προσπαθήσουμε να πολλαπλασιάσουμε αυτές τις εκφράσεις μεταξύ τους.

Πολλαπλασιασμός.

Τώρα κοιτάξτε προσεκτικά τι έχουμε πολλαπλασιάζοντας τους όρους της γεωμετρικής προόδου που μας δίνονται σε σύγκριση με αυτό που πρέπει να βρεθεί:

Μαντέψτε για τι πράγμα μιλάω; Σωστά, για να βρούμε πρέπει να πάρουμε την τετραγωνική ρίζα των αριθμών γεωμετρικής προόδου δίπλα στον επιθυμητό πολλαπλασιαζόμενους μεταξύ τους:

Ορίστε. Εσείς ο ίδιος αντλήσατε την ιδιότητα της γεωμετρικής προόδου. Προσπαθήστε να γράψετε αυτόν τον τύπο σε γενική μορφή. Δούλεψε;

Ξεχάσατε τον όρο; Σκεφτείτε γιατί είναι σημαντικό, για παράδειγμα, προσπαθήστε να το υπολογίσετε μόνοι σας. Τι θα γίνει σε αυτή την περίπτωση; Αυτό είναι σωστό, εντελώς ανοησίες γιατί ο τύπος μοιάζει με αυτό:

Συνεπώς, μην ξεχνάτε αυτόν τον περιορισμό.

Τώρα ας υπολογίσουμε τι ισούται

Η σωστή απάντηση είναι! Εάν δεν ξεχάσατε τη δεύτερη πιθανή τιμή κατά τον υπολογισμό, τότε είστε υπέροχοι και μπορείτε να προχωρήσετε αμέσως στην προπόνηση, και αν το ξεχάσατε, διαβάστε τι συζητείται παρακάτω και δώστε προσοχή στο γιατί πρέπει να σημειωθούν και οι δύο ρίζες στο απάντηση.

Ας σχεδιάσουμε και τις δύο γεωμετρικές προόδους μας - η μία με μια τιμή και η άλλη με μια τιμή και να ελέγξουμε αν και οι δύο έχουν το δικαίωμα ύπαρξης:

Για να ελέγξουμε αν υπάρχει ή όχι μια τέτοια γεωμετρική πρόοδος, είναι απαραίτητο να δούμε αν όλοι οι δεδομένοι όροι της είναι ίδιοι; Υπολογίστε το q για την πρώτη και τη δεύτερη περίπτωση.

Δείτε γιατί πρέπει να γράψουμε δύο απαντήσεις; Γιατί το πρόσημο του όρου που ψάχνεις εξαρτάται από το αν είναι θετικό ή αρνητικό! Και επειδή δεν ξέρουμε τι είναι, πρέπει να γράψουμε και τις δύο απαντήσεις με ένα συν και ένα μείον.

Τώρα που έχετε κατακτήσει τα κύρια σημεία και αντλήσατε τον τύπο για την ιδιότητα της γεωμετρικής προόδου, βρείτε, γνωρίζοντας και

Συγκρίνετε τις απαντήσεις σας με τις σωστές:

Τι νομίζετε, τι θα γινόταν αν μας δόθηκαν όχι οι τιμές των όρων της γεωμετρικής προόδου δίπλα στον επιθυμητό αριθμό, αλλά σε ίση απόσταση από αυτόν. Για παράδειγμα, πρέπει να βρούμε, και να δώσουμε και. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο που αντλήσαμε σε αυτή την περίπτωση; Προσπαθήστε να επιβεβαιώσετε ή να αντικρούσετε αυτήν την πιθανότητα με τον ίδιο τρόπο, περιγράφοντας από τι αποτελείται κάθε τιμή, όπως κάνατε όταν εξάγατε αρχικά τον τύπο, στο.
Τι πήρες;

Τώρα κοιτάξτε ξανά προσεκτικά.
και κατά συνέπεια:

Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ο τύπος λειτουργεί όχι μόνο με τους γείτονεςμε τους επιθυμητούς όρους της γεωμετρικής προόδου, αλλά και με αυτός που απέχει εξίσουαπό αυτό που αναζητούν τα μέλη.

Έτσι, ο αρχικός μας τύπος έχει τη μορφή:

Δηλαδή, αν στην πρώτη περίπτωση το είπαμε, τώρα λέμε ότι μπορεί να είναι ίσος με οποιονδήποτε φυσικό αριθμό είναι μικρότερος. Το κύριο πράγμα είναι ότι είναι το ίδιο και για τους δύο δεδομένους αριθμούς.

Εξασκηθείτε με συγκεκριμένα παραδείγματα, απλά να είστε εξαιρετικά προσεκτικοί!

, . Εύρημα.
, . Εύρημα.
, . Εύρημα.

Αποφασισμένος; Ελπίζω να ήσασταν εξαιρετικά προσεκτικοί και να παρατηρήσατε μια μικρή σύλληψη.

Ας συγκρίνουμε τα αποτελέσματα.

Στις δύο πρώτες περιπτώσεις, εφαρμόζουμε ήρεμα τον παραπάνω τύπο και παίρνουμε τις ακόλουθες τιμές:

Στην τρίτη περίπτωση, μετά από προσεκτική εξέταση των σειριακών αριθμών των αριθμών που μας δόθηκαν, καταλαβαίνουμε ότι δεν απέχουν ίσα από τον αριθμό που αναζητούμε: είναι ο προηγούμενος αριθμός, αλλά αφαιρείται σε μια θέση, επομένως είναι δεν είναι δυνατή η εφαρμογή του τύπου.

Πώς να το λύσετε; Στην πραγματικότητα δεν είναι τόσο δύσκολο όσο φαίνεται! Ας γράψουμε από τι αποτελείται ο κάθε αριθμός που μας δίνεται και ο αριθμός που αναζητούμε.

Έχουμε λοιπόν και. Ας δούμε τι μπορούμε να κάνουμε με αυτά; Προτείνω τη διαίρεση με. Παίρνουμε:

Αντικαθιστούμε τα δεδομένα μας με τον τύπο:

Το επόμενο βήμα που μπορούμε να βρούμε είναι - για αυτό πρέπει να πάρουμε την κυβική ρίζα του αριθμού που προκύπτει.

Τώρα ας δούμε ξανά τι έχουμε. Το έχουμε, αλλά πρέπει να το βρούμε, και αυτό, με τη σειρά του, ισούται με:

Βρήκαμε όλα τα απαραίτητα στοιχεία για τον υπολογισμό. Αντικαταστήστε στον τύπο:

Η απάντησή μας: .

Προσπαθήστε να λύσετε μόνοι σας ένα άλλο παρόμοιο πρόβλημα:
Δόθηκαν: ,
Εύρημα:

Πόσα πήρες; έχω - .

Όπως μπορείτε να δείτε, ουσιαστικά χρειάζεστε θυμηθείτε μόνο έναν τύπο- . Μπορείτε να αποσύρετε όλα τα υπόλοιπα μόνοι σας χωρίς καμία δυσκολία ανά πάσα στιγμή. Για να το κάνετε αυτό, απλώς γράψτε την απλούστερη γεωμετρική πρόοδο σε ένα κομμάτι χαρτί και σημειώστε με τι ισούται ο κάθε αριθμός της, σύμφωνα με τον τύπο που περιγράφεται παραπάνω.

Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδου.

Ας δούμε τώρα τύπους που μας επιτρέπουν να υπολογίσουμε γρήγορα το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδου σε ένα δεδομένο διάστημα:

Για να εξαγάγετε τον τύπο για το άθροισμα των όρων μιας πεπερασμένης γεωμετρικής προόδου, πολλαπλασιάστε όλα τα μέρη της παραπάνω εξίσωσης με. Παίρνουμε:

Κοιτάξτε προσεκτικά: τι κοινό έχουν οι δύο τελευταίοι τύποι; Σωστά, κοινά μέλη, για παράδειγμα, και ούτω καθεξής, εκτός από το πρώτο και το τελευταίο μέλος. Ας προσπαθήσουμε να αφαιρέσουμε την 1η από τη 2η εξίσωση. Τι πήρες;

Τώρα εκφράστε τον όρο της γεωμετρικής προόδου μέσω του τύπου και αντικαταστήστε την έκφραση που προκύπτει στον τελευταίο μας τύπο:

Ομαδοποιήστε την έκφραση. Θα πρέπει να πάρετε:

Το μόνο που μένει να γίνει είναι να εκφράσουμε:

Αντίστοιχα, στην προκειμένη περίπτωση.

Κι αν; Ποια φόρμουλα λειτουργεί τότε; Φανταστείτε μια γεωμετρική πρόοδο στο. Πώς είναι αυτή; Μια σειρά πανομοιότυπων αριθμών είναι σωστή, οπότε ο τύπος θα μοιάζει με αυτό:

Υπάρχουν πολλοί θρύλοι τόσο για την αριθμητική όσο και για τη γεωμετρική πρόοδο. Ένας από αυτούς είναι ο θρύλος του Σετ, του δημιουργού του σκακιού.

Πολλοί άνθρωποι γνωρίζουν ότι το παιχνίδι του σκακιού εφευρέθηκε στην Ινδία. Όταν ο ινδουιστής βασιλιάς τη συνάντησε, χάρηκε με την εξυπνάδα της και την ποικιλία των δυνατών θέσεων της. Έχοντας μάθει ότι επινοήθηκε από έναν από τους υπηκόους του, ο βασιλιάς αποφάσισε να τον ανταμείψει προσωπικά. Κάλεσε τον εφευρέτη κοντά του και τον διέταξε να του ζητήσει όλα όσα ήθελε, υποσχόμενος να εκπληρώσει και την πιο επιδέξια επιθυμία.

Η Σέτα ζήτησε χρόνο για να σκεφτεί και όταν την επόμενη μέρα η Σέτα εμφανίστηκε ενώπιον του βασιλιά, αυτός εξέπληξε τον βασιλιά με την πρωτοφανή σεμνότητα του αιτήματός του. Ζήτησε να δώσει έναν κόκκο σιτάρι για το πρώτο τετράγωνο της σκακιέρας, έναν κόκκο σιτάρι για το δεύτερο, έναν κόκκο σιτάρι για το τρίτο, ένα τέταρτο κ.λπ.

Ο βασιλιάς ήταν θυμωμένος και έδιωξε τον Σεθ, λέγοντας ότι το αίτημα του υπηρέτη ήταν ανάξιο της γενναιοδωρίας του βασιλιά, αλλά υποσχέθηκε ότι ο υπηρέτης θα λάμβανε τα σιτάρια του για όλα τα τετράγωνα του πίνακα.

Και τώρα το ερώτημα: χρησιμοποιώντας τον τύπο για το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδου, υπολογίστε πόσους κόκκους πρέπει να λάβει ο Seth;

Ας αρχίσουμε να συλλογιζόμαστε. Εφόσον, σύμφωνα με την προϋπόθεση, ο Σεθ ζήτησε έναν κόκκο σιτάρι για το πρώτο τετράγωνο της σκακιέρας, για το δεύτερο, για το τρίτο, για το τέταρτο κ.λπ., τότε βλέπουμε ότι το πρόβλημα αφορά μια γεωμετρική πρόοδο. Τι ισοδυναμεί σε αυτή την περίπτωση;
Δικαίωμα.

Σύνολο τετραγώνων της σκακιέρας. Αντίστοιχα, . Έχουμε όλα τα δεδομένα, το μόνο που μένει είναι να τα συνδέσουμε στον τύπο και να υπολογίσουμε.

Για να φανταστούμε τουλάχιστον κατά προσέγγιση την «κλίμακα» ενός δεδομένου αριθμού, μετασχηματίζουμε χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του βαθμού:

Φυσικά, αν θέλετε, μπορείτε να πάρετε μια αριθμομηχανή και να υπολογίσετε με ποιον αριθμό καταλήγετε, και αν όχι, θα πρέπει να λάβετε υπόψη μου: η τελική τιμή της έκφρασης θα είναι.
Ήτοι:

εκατομμύριο τετράσεκα τρισεκατομμύρια δισεκατομμύρια εκατομμύρια χιλιάδες.

Phew) Εάν θέλετε να φανταστείτε το τεράστιο μέγεθος αυτού του αριθμού, τότε υπολογίστε πόσο μεγάλος θα χρειαζόταν ένας αχυρώνας για να φιλοξενήσει ολόκληρη την ποσότητα των σιτηρών.
Εάν ο αχυρώνας είναι m ύψος και m πλάτος, το μήκος του θα πρέπει να εκτείνεται για km, δηλ. διπλάσια απόσταση από τη Γη στον Ήλιο.

Αν ο βασιλιάς ήταν δυνατός στα μαθηματικά, θα μπορούσε να είχε προσκαλέσει τον ίδιο τον επιστήμονα να μετρήσει τους κόκκους, γιατί για να μετρήσει ένα εκατομμύριο κόκκους, θα χρειαζόταν τουλάχιστον μια μέρα ακούραστης μέτρησης, και δεδομένου ότι είναι απαραίτητο να μετρήσει πεμπτουσία, τα σιτάρια θα έπρεπε να μετρηθούν σε όλη του τη ζωή.

Τώρα ας λύσουμε ένα απλό πρόβλημα που περιλαμβάνει το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδου.
Ένας μαθητής της τάξης 5Α Vasya αρρώστησε με γρίπη, αλλά συνεχίζει να πηγαίνει στο σχολείο. Κάθε μέρα η Βάσια μολύνει δύο άτομα, τα οποία, με τη σειρά τους, μολύνουν άλλα δύο άτομα και ούτω καθεξής. Υπάρχουν μόνο άνθρωποι στην τάξη. Σε πόσες μέρες θα αρρωστήσει όλη η τάξη με γρίπη;

Έτσι, ο πρώτος όρος της γεωμετρικής προόδου είναι ο Vasya, δηλαδή ένα άτομο. Ο όρος της γεωμετρικής προόδου είναι τα δύο άτομα που μόλυνε την πρώτη ημέρα της άφιξής του. Το συνολικό άθροισμα των όρων προόδου είναι ίσο με τον αριθμό των μαθητών 5Α. Ως εκ τούτου, μιλάμε για μια εξέλιξη στην οποία:

Ας αντικαταστήσουμε τα δεδομένα μας στον τύπο για το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδου:

Όλη η τάξη θα αρρωστήσει μέσα σε λίγες μέρες. Δεν πιστεύετε τους τύπους και τους αριθμούς; Προσπαθήστε να απεικονίσετε μόνοι σας τη «μόλυνση» των μαθητών. Δούλεψε; Κοίτα πώς μου φαίνεται:

Υπολογίστε μόνοι σας πόσες ημέρες θα χρειαζόταν για να αρρωστήσουν οι μαθητές με γρίπη, εάν ο καθένας μολύνει ένα άτομο και υπήρχε μόνο ένα άτομο στην τάξη.

Τι αξία πήρες; Αποδείχθηκε ότι όλοι άρχισαν να αρρωσταίνουν μετά από μια μέρα.

Όπως μπορείτε να δείτε, μια τέτοια εργασία και το σχέδιο για αυτό μοιάζει με μια πυραμίδα, στην οποία κάθε επόμενο "φέρνει" νέους ανθρώπους. Ωστόσο, αργά ή γρήγορα έρχεται μια στιγμή που η τελευταία δεν μπορεί να προσελκύσει κανέναν. Στην περίπτωσή μας, αν φανταστούμε ότι η τάξη είναι απομονωμένη, το άτομο από κλείνει την αλυσίδα (). Έτσι, εάν ένα άτομο εμπλεκόταν σε μια οικονομική πυραμίδα στην οποία δόθηκαν χρήματα εάν φέρατε δύο άλλους συμμετέχοντες, τότε το άτομο (ή γενικά) δεν θα έφερνε κανέναν, κατά συνέπεια, θα έχανε όλα όσα επένδυσε σε αυτήν την οικονομική απάτη.

Όλα όσα ειπώθηκαν παραπάνω αναφέρονται σε μια φθίνουσα ή αυξανόμενη γεωμετρική πρόοδο, αλλά, όπως θυμάστε, έχουμε έναν ειδικό τύπο - μια απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο. Πώς να υπολογίσετε το άθροισμα των μελών του; Και γιατί αυτό το είδος εξέλιξης έχει ορισμένα χαρακτηριστικά; Ας το καταλάβουμε μαζί.

Λοιπόν, πρώτα, ας δούμε ξανά αυτό το σχέδιο μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου από το παράδειγμά μας:

Τώρα ας δούμε τον τύπο για το άθροισμα μιας γεωμετρικής προόδου, που προέκυψε λίγο νωρίτερα:
ή

Τι επιδιώκουμε; Σωστά, το γράφημα δείχνει ότι τείνει στο μηδέν. Δηλαδή, στο, θα είναι σχεδόν ίσο, αντίστοιχα, κατά τον υπολογισμό της έκφρασης θα πάρουμε σχεδόν. Από αυτή την άποψη, πιστεύουμε ότι κατά τον υπολογισμό του αθροίσματος μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου, αυτή η αγκύλη μπορεί να αγνοηθεί, καθώς θα είναι ίση.

- τύπος είναι το άθροισμα των όρων μιας απεριόριστα φθίνουσας γεωμετρικής προόδου.

ΣΠΟΥΔΑΙΟΣ!Χρησιμοποιούμε τον τύπο για το άθροισμα των όρων μιας απεριόριστα φθίνουσας γεωμετρικής προόδου μόνο εάν η συνθήκη δηλώνει ρητά ότι πρέπει να βρούμε το άθροισμα άπειροςαριθμός μελών.

Εάν έχει καθοριστεί ένας συγκεκριμένος αριθμός n, τότε χρησιμοποιούμε τον τύπο για το άθροισμα των n όρων, ακόμα και αν ή.

Τώρα ας εξασκηθούμε.

Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων όρων της γεωμετρικής προόδου με και.
Βρείτε το άθροισμα των όρων μιας απεριόριστα φθίνουσας γεωμετρικής προόδου με και.

Ελπίζω να ήσουν πολύ προσεκτικός. Ας συγκρίνουμε τις απαντήσεις μας:

Τώρα ξέρετε τα πάντα για τη γεωμετρική πρόοδο και ήρθε η ώρα να περάσετε από τη θεωρία στην πράξη. Τα πιο συνηθισμένα προβλήματα γεωμετρικής προόδου που συναντώνται στην εξέταση είναι προβλήματα υπολογισμού του σύνθετου τόκου. Αυτά είναι για τα οποία θα μιλήσουμε.

Προβλήματα στον υπολογισμό του ανατοκισμού.

Πιθανότατα έχετε ακούσει για τον λεγόμενο τύπο σύνθετου ενδιαφέροντος. Καταλαβαίνετε τι σημαίνει; Αν όχι, ας το καταλάβουμε, γιατί μόλις κατανοήσετε την ίδια τη διαδικασία, θα καταλάβετε αμέσως τι σχέση έχει η γεωμετρική πρόοδος.

Όλοι πηγαίνουμε στην τράπεζα και γνωρίζουμε ότι υπάρχουν διαφορετικοί όροι για τις καταθέσεις: αυτό περιλαμβάνει μια προθεσμία, πρόσθετες υπηρεσίες και τόκους με δύο διαφορετικούς τρόπους υπολογισμού - απλό και σύνθετο.

ΜΕ απλό επιτόκιοόλα είναι λίγο πολύ ξεκάθαρα: οι τόκοι συγκεντρώνονται μία φορά στο τέλος της περιόδου κατάθεσης. Δηλαδή, αν πούμε ότι καταθέτουμε 100 ρούβλια για ένα χρόνο, τότε θα πιστωθούν μόνο στο τέλος του έτους. Κατά συνέπεια, μέχρι το τέλος της κατάθεσης θα λάβουμε ρούβλια.

Ανατοκισμός- αυτή είναι μια επιλογή στην οποία συμβαίνει κεφαλαιοποίηση τόκων, δηλ. την προσθήκη τους στο ποσό της κατάθεσης και τον μετέπειτα υπολογισμό των εσόδων όχι από το αρχικό, αλλά από το συσσωρευμένο ποσό κατάθεσης. Η κεφαλαιοποίηση δεν γίνεται συνεχώς, αλλά με κάποια συχνότητα. Κατά κανόνα, τέτοιες περίοδοι είναι ίσες και τις περισσότερες φορές οι τράπεζες χρησιμοποιούν ένα μήνα, τρίμηνο ή έτος.

Ας υποθέσουμε ότι καταθέτουμε τα ίδια ρούβλια ετησίως, αλλά με μηνιαία κεφαλαιοποίηση της κατάθεσης. Τι κάνουμε;

Καταλαβαίνεις τα πάντα εδώ; Αν όχι, ας το καταλάβουμε βήμα προς βήμα.

Φέραμε ρούβλια στην τράπεζα. Μέχρι το τέλος του μήνα, θα πρέπει να έχουμε ένα ποσό στον λογαριασμό μας που θα αποτελείται από τα ρούβλια μας συν τους τόκους σε αυτά, δηλαδή:

Συμφωνώ;

Μπορούμε να το βγάλουμε από αγκύλες και μετά παίρνουμε:

Συμφωνώ, αυτός ο τύπος είναι ήδη περισσότερο παρόμοιος με αυτό που γράψαμε στην αρχή. Το μόνο που μένει είναι να υπολογίσουμε τα ποσοστά

Στη δήλωση προβλήματος ενημερωνόμαστε για τα ετήσια ποσοστά. Όπως γνωρίζετε, δεν πολλαπλασιάζουμε με - μετατρέπουμε τα ποσοστά σε δεκαδικά κλάσματα, δηλαδή:

Δικαίωμα; Τώρα μπορείτε να ρωτήσετε, από πού προήλθε ο αριθμός; Πολύ απλό!
Επαναλαμβάνω: η δήλωση προβλήματος λέει για ΕΤΗΣΙΟΣτόκους που προκύπτουν ΜΗΝΙΑΙΟΣ. Όπως γνωρίζετε, σε ένα έτος μηνών, αντίστοιχα, η τράπεζα θα μας χρεώνει ένα μέρος του ετήσιου τόκου ανά μήνα:

Το συνειδητοποίησες; Τώρα προσπαθήστε να γράψετε πώς θα μοιάζει αυτό το μέρος του τύπου αν πω ότι οι τόκοι υπολογίζονται καθημερινά.
Τα κατάφερες; Ας συγκρίνουμε τα αποτελέσματα:

Μπράβο! Ας επιστρέψουμε στο καθήκον μας: γράψτε πόσα θα πιστωθούν στον λογαριασμό μας τον δεύτερο μήνα, λαμβάνοντας υπόψη ότι οι τόκοι συγκεντρώνονται στο συσσωρευμένο ποσό κατάθεσης.
Να τι πήρα:

Ή, με άλλα λόγια:

Νομίζω ότι έχετε ήδη παρατηρήσει ένα μοτίβο και έχετε δει μια γεωμετρική πρόοδο σε όλο αυτό. Γράψτε με τι θα ισοδυναμεί το μέλος του ή, με άλλα λόγια, τι χρηματικό ποσό θα λάβουμε στο τέλος του μήνα.
Μήπως; Ας ελέγξουμε!

Όπως μπορείτε να δείτε, εάν βάλετε χρήματα στην τράπεζα για ένα χρόνο με απλό επιτόκιο, θα λάβετε ρούβλια και εάν με σύνθετο επιτόκιο, θα λάβετε ρούβλια. Το όφελος είναι μικρό, αλλά αυτό συμβαίνει μόνο κατά τη διάρκεια του έτους, αλλά για μεγαλύτερο χρονικό διάστημα η κεφαλαιοποίηση είναι πολύ πιο κερδοφόρα:

Ας δούμε έναν άλλο τύπο προβλήματος που αφορά σύνθετους τόκους. Μετά από αυτό που έχετε καταλάβει, θα είναι στοιχειώδες για εσάς. Λοιπόν, η εργασία:

Η εταιρεία Zvezda άρχισε να επενδύει στον κλάδο το 2000, με κεφάλαιο σε δολάρια. Κάθε χρόνο από το 2001 λαμβάνει κέρδος ίσο με το κεφάλαιο της προηγούμενης χρονιάς. Πόσα κέρδη θα λάβει η εταιρεία Zvezda στο τέλος του 2003 εάν τα κέρδη δεν αποσυρθούν από την κυκλοφορία;

Κεφάλαιο της εταιρείας Zvezda το 2000.
- κεφάλαιο της εταιρείας Zvezda το 2001.
- κεφάλαιο της εταιρείας Zvezda το 2002.
- κεφάλαιο της εταιρείας Zvezda το 2003.

Ή μπορούμε να γράψουμε εν συντομία:

Για την περίπτωσή μας:

2000, 2001, 2002 και 2003.

Αντίστοιχα:
ρούβλια
Σημειώστε ότι σε αυτό το πρόβλημα δεν έχουμε διαίρεση ούτε με ούτε κατά, αφού το ποσοστό δίνεται ΕΤΗΣΙΑ και υπολογίζεται ΕΤΗΣΙΑ. Δηλαδή, όταν διαβάζετε ένα πρόβλημα στον ανατοκισμό, προσέξτε τι ποσοστό δίνεται και σε ποια περίοδο υπολογίζεται και μόνο τότε προχωρήστε σε υπολογισμούς.
Τώρα ξέρετε τα πάντα για τη γεωμετρική πρόοδο.

Εκπαίδευση.

Να βρείτε τον όρο της γεωμετρικής προόδου αν είναι γνωστό ότι, και
Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων όρων της γεωμετρικής προόδου αν είναι γνωστό ότι, και
Η εταιρεία MDM Capital άρχισε να επενδύει στον κλάδο το 2003, με κεφάλαιο σε δολάρια. Κάθε χρόνο από το 2004 λαμβάνει κέρδος ίσο με το κεφάλαιο της προηγούμενης χρονιάς. Η εταιρεία MSK Cash Flows άρχισε να επενδύει στον κλάδο το 2005 με ποσό 10.000 $, ξεκινώντας να πραγματοποιεί κέρδη το 2006 στο ποσό των. Κατά πόσα δολάρια είναι μεγαλύτερο το κεφάλαιο μιας εταιρείας από την άλλη στο τέλος του 2007, εάν τα κέρδη δεν αποσύρονταν από την κυκλοφορία;

Απαντήσεις:

Δεδομένου ότι η δήλωση προβλήματος δεν λέει ότι η πρόοδος είναι άπειρη και απαιτείται να βρεθεί το άθροισμα ενός συγκεκριμένου αριθμού όρων της, ο υπολογισμός πραγματοποιείται σύμφωνα με τον τύπο:
MDM Capital Company:
2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- αυξάνεται κατά 100%, δηλαδή 2 φορές.
Αντίστοιχα:
ρούβλια
Εταιρεία ταμειακών ροών MSK:
2005, 2006, 2007.
- αυξάνεται κατά, δηλαδή, κατά φορές.
Αντίστοιχα:
ρούβλια
ρούβλια

Ας συνοψίσουμε.

1) Η γεωμετρική πρόοδος ( ) είναι μια αριθμητική ακολουθία, της οποίας ο πρώτος όρος είναι διαφορετικός από το μηδέν και κάθε όρος, ξεκινώντας από τον δεύτερο, είναι ίσος με τον προηγούμενο, πολλαπλασιαζόμενος με τον ίδιο αριθμό. Αυτός ο αριθμός ονομάζεται παρονομαστής μιας γεωμετρικής προόδου.

2) Η εξίσωση των όρων της γεωμετρικής προόδου είναι .

3) μπορεί να λάβει οποιεσδήποτε τιμές εκτός από και.

αν, τότε όλοι οι επόμενοι όροι της εξέλιξης έχουν το ίδιο πρόσημο - αυτοί είναι θετικές;
εάν, τότε όλοι οι επόμενοι όροι της εξέλιξης εναλλακτικά σημάδια?
όταν – η πρόοδος ονομάζεται απείρως φθίνουσα.

4) , όταν – ιδιότητα γεωμετρικής προόδου (παρακείμενοι όροι)

ή
, σε (ισαπέχοντες όρους)

Όταν το βρείτε, μην το ξεχνάτε πρέπει να υπάρχουν δύο απαντήσεις.

Για παράδειγμα,

5) Το άθροισμα των όρων της γεωμετρικής προόδου υπολογίζεται με τον τύπο:
ή

ΣΠΟΥΔΑΙΟΣ!Χρησιμοποιούμε τον τύπο για το άθροισμα των όρων μιας άπειρα φθίνουσας γεωμετρικής προόδου μόνο εάν η συνθήκη δηλώνει ρητά ότι πρέπει να βρούμε το άθροισμα ενός άπειρου αριθμού όρων.

6) Τα προβλήματα ανατοκισμού υπολογίζονται επίσης με τον τύπο του ου όρου μιας γεωμετρικής προόδου, υπό την προϋπόθεση ότι δεν έχουν αποσυρθεί κεφάλαια από την κυκλοφορία:

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. ΣΥΝΤΟΜΗ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΑ ΚΥΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ

Γεωμετρική πρόοδος( ) είναι μια αριθμητική ακολουθία, της οποίας ο πρώτος όρος είναι διαφορετικός από το μηδέν και κάθε όρος, ξεκινώντας από τον δεύτερο, είναι ίσος με τον προηγούμενο, πολλαπλασιασμένο με τον ίδιο αριθμό. Αυτός ο αριθμός ονομάζεται παρονομαστής μιας γεωμετρικής προόδου.

Παρονομαστής γεωμετρικής προόδουμπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή εκτός από και.

Εάν, τότε όλοι οι επόμενοι όροι της εξέλιξης έχουν το ίδιο πρόσημο - είναι θετικοί.
εάν, τότε όλα τα επόμενα μέλη της προόδου εναλλάσσονται σημάδια.
όταν – η πρόοδος ονομάζεται απείρως φθίνουσα.

Εξίσωση όρων γεωμετρικής προόδου - .

Άθροισμα όρων μιας γεωμετρικής προόδουυπολογίζεται με τον τύπο:
ή

Εάν η πρόοδος είναι απείρως φθίνουσα, τότε:

Γίνε μαθητής του YouClever,

Προετοιμαστείτε για την Ενιαία Κρατική Εξέταση ή την Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά,

Επίσης, αποκτήστε πρόσβαση στο εγχειρίδιο YouClever χωρίς περιορισμούς...

Γεωμετρική πρόοδοςείναι μια ακολουθία αριθμών στην οποία κάθε όρος (ξεκινώντας από τον δεύτερο) προκύπτει από τον προηγούμενο πολλαπλασιάζοντάς τον με τον ίδιο αριθμό q ≠ 0. Ο αριθμός q ονομάζεται παρονομαστήςγεωμετρική πρόοδος. Για να ορίσετε μια γεωμετρική πρόοδο, πρέπει να ορίσετε τον πρώτο όρο της ως 1 και τον παρονομαστή q.

Η γεωμετρική πρόοδος αυξάνεται όταν q > 1, μειώνεται όταν 0< q < 1.

Παραδείγματα γεωμετρικών προόδων:

1. 2, 4, 8, 16… . Εδώ ο πρώτος όρος είναι 1 και ο παρονομαστής είναι 2.

81, 27, 9, 3, 1, 1/3… . Εδώ ο πρώτος όρος είναι 81 και ο παρονομαστής είναι 1/3.

Έτσι, ο πρώτος όρος της προόδου είναι ίσος με a 1, ο δεύτερος - a 1 q, ο τρίτος a 1 q*q = a 1 q 2, ο τέταρτος a 1 q 2 *q = a 1 q 3 ... . Ετσι, Ο ντος όρος της προόδου υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο a n = a 1 q n-1.

Δήλωση: Το άθροισμα των n όρων μιας γεωμετρικής προόδου υπολογίζεται από τον τύπο

S n = a 1 +a 1 q+a 1 q 2 +a 1 q 3 +...+a 1 q n-1 .

Πολλαπλασιάζοντας με, παίρνουμε:

S n q = a 1 q+a 1 q 2 +a 1 q 3 +...a 1 q n.

Τώρα ας αφαιρέσουμε το S n q από το S n .

Παραδείγματα προβλημάτων γεωμετρικής προόδου.

1. Βρείτε το άθροισμα των 10 πρώτων όρων της γεωμετρικής προόδου, αν είναι γνωστό ότι a 1 = 3, q = 4.

2. Σε ένα λεπτό, η βιομάζα διπλασιάζεται. Τι βάρος θα έχει σε 5 λεπτά αν το τρέχον βάρος της είναι 3 κιλά.

Έχουμε να κάνουμε με μια γεωμετρική πρόοδο στην οποία a 1 = 3 και q = 2. Για να λύσουμε το πρόβλημα, πρέπει να βρούμε τον έκτο όρο αυτής της προόδου.

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ VI

§ 148. Άθροισμα μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου

Μέχρι τώρα, όταν μιλάμε για αθροίσματα, πάντα υποθέταμε ότι ο αριθμός των όρων σε αυτά τα αθροίσματα είναι πεπερασμένος (για παράδειγμα, 2, 15, 1000 κ.λπ.). Αλλά όταν λύνουμε ορισμένα προβλήματα (ειδικά ανώτερα μαθηματικά), πρέπει να ασχοληθούμε με τα αθροίσματα ενός άπειρου αριθμού όρων

S= ένα 1 + ένα 2 + ... + ένα n + ... . (1)

Ποια είναι αυτά τα ποσά; Εξ ορισμού το άθροισμα ενός άπειρου αριθμού όρων ένα 1 , ένα 2 , ..., ένα n , ... ονομάζεται όριο του αθροίσματος S n πρώτα n αριθμοί όταν n -> ∞ :

S=S n = (ένα 1 + ένα 2 + ... + ένα n ). (2)

Το όριο (2), φυσικά, μπορεί να υπάρχει ή να μην υπάρχει. Κατά συνέπεια, λένε ότι το άθροισμα (1) υπάρχει ή δεν υπάρχει.

Πώς μπορούμε να μάθουμε εάν το άθροισμα (1) υπάρχει σε κάθε συγκεκριμένη περίπτωση; Η γενική λύση σε αυτό το ζήτημα υπερβαίνει κατά πολύ το πεδίο του προγράμματός μας. Ωστόσο, υπάρχει μια σημαντική ειδική περίπτωση που πρέπει τώρα να εξετάσουμε. Θα μιλήσουμε για την άθροιση των όρων μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου.

Αφήνω ένα 1 , ένα 1 q , ένα 1 q 2, ... είναι μια απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος. Αυτό σημαίνει ότι | q |< 1. Сумма первых n όροι αυτής της εξέλιξης είναι ίσοι

Από τα βασικά θεωρήματα για τα όρια των μεταβλητών (βλ. § 136) λαμβάνουμε:

Αλλά 1 = 1, α qn = 0. Επομένως

Άρα, το άθροισμα μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου είναι ίσο με τον πρώτο όρο αυτής της προόδου διαιρεμένο με το ένα μείον τον παρονομαστή αυτής της προόδου.

1) Το άθροισμα της γεωμετρικής προόδου 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... ισούται με

και το άθροισμα της γεωμετρικής προόδου είναι 12. -6; 3; - 3 / 2 , ... ίσα

2) Μετατρέψτε ένα απλό περιοδικό κλάσμα 0,454545 ... σε συνηθισμένο.

Για να λύσετε αυτό το πρόβλημα, φανταστείτε αυτό το κλάσμα ως ένα άπειρο άθροισμα:

Η δεξιά πλευρά αυτής της ισότητας είναι το άθροισμα μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου, ο πρώτος όρος της οποίας είναι ίσος με 45/100 και ο παρονομαστής είναι 1/100. Γι' αυτό

Χρησιμοποιώντας την περιγραφόμενη μέθοδο, μπορεί να ληφθεί ένας γενικός κανόνας για τη μετατροπή απλών περιοδικών κλασμάτων σε συνηθισμένα κλάσματα (βλ. Κεφάλαιο II, § 38):

Για να μετατρέψετε ένα απλό περιοδικό κλάσμα σε ένα συνηθισμένο κλάσμα, πρέπει να κάνετε τα εξής: στον αριθμητή βάλτε την περίοδο του δεκαδικού κλάσματος και στον παρονομαστή - έναν αριθμό που αποτελείται από εννέα που λαμβάνονται όσες φορές υπάρχουν ψηφία στην περίοδο του δεκαδικού κλάσματος.

3) Μετατρέψτε το μικτό περιοδικό κλάσμα 0,58333 .... σε συνηθισμένο κλάσμα.

Ας φανταστούμε αυτό το κλάσμα ως ένα άπειρο άθροισμα:

Στη δεξιά πλευρά αυτής της ισότητας, όλοι οι όροι, ξεκινώντας από το 3/1000, σχηματίζουν μια απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο, ο πρώτος όρος της οποίας είναι ίσος με 3/1000 και ο παρονομαστής είναι 1/10. Γι' αυτό

Χρησιμοποιώντας την περιγραφόμενη μέθοδο, μπορεί να ληφθεί ένας γενικός κανόνας για τη μετατροπή μικτών περιοδικών κλασμάτων σε συνηθισμένα κλάσματα (βλ. Κεφάλαιο II, § 38). Δεν το παρουσιάζουμε εσκεμμένα εδώ. Δεν χρειάζεται να θυμάστε αυτόν τον δυσκίνητο κανόνα. Είναι πολύ πιο χρήσιμο να γνωρίζουμε ότι οποιοδήποτε μικτό περιοδικό κλάσμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου και ενός ορισμένου αριθμού. Και η φόρμουλα

για το άθροισμα μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου, πρέπει, φυσικά, να θυμάστε.

Ως άσκηση, σας προτείνουμε, εκτός από τα προβλήματα Νο. 995-1000 που δίνονται παρακάτω, να στραφείτε και πάλι στο πρόβλημα Νο. 301 § 38.

Γυμνάσια

995. Τι λέγεται το άθροισμα μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου;

996. Βρείτε τα αθροίσματα των απεριόριστα φθίνουσες γεωμετρικές προόδους:

997. Σε ποιες αξίες Χ προχώρηση

μειώνεται απείρως; Βρείτε το άθροισμα μιας τέτοιας προόδου.

998. Σε ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά ΕΝΑ εγγράφεται ένα νέο τρίγωνο συνδέοντας τα μέσα των πλευρών του. ένα νέο τρίγωνο εγγράφεται σε αυτό το τρίγωνο με τον ίδιο τρόπο, και ούτω καθεξής ad infinitum.

α) το άθροισμα των περιμέτρων όλων αυτών των τριγώνων.

β) το άθροισμα των εκτάσεών τους.

999. Τετράγωνο με πλαϊνό ΕΝΑ ένα νέο τετράγωνο εγγράφεται συνδέοντας τα μεσαία σημεία των πλευρών του. ένα τετράγωνο εγγράφεται σε αυτό το τετράγωνο με τον ίδιο τρόπο, και ούτω καθεξής ad infinitum. Να βρείτε το άθροισμα των περιμέτρων όλων αυτών των τετραγώνων και το άθροισμα των εμβαδών τους.

1000. Να συνθέσετε μια απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο έτσι ώστε το άθροισμά της να είναι ίσο με 25/4 και το άθροισμα των τετραγώνων των όρων της να είναι ίσο με 625/24.