Što znači pronaći intervale monotonosti funkcije. Monotonija funkcija

Kako umetnuti matematičke formule na web stranicu?

Ako ikada trebate dodati jednu ili dvije matematičke formule na web-stranicu, najlakši način da to učinite je kako je opisano u članku: matematičke formule lako se umeću na web-mjesto u obliku slika koje automatski generira Wolfram Alpha . Osim jednostavnosti, ova univerzalna metoda pomoći će poboljšati vidljivost stranice u tražilicama. Djeluje već dugo (i, mislim, radit će zauvijek), ali je već moralno zastario.

Ako redovito koristite matematičke formule na svojoj stranici, preporučujem da koristite MathJax - posebnu JavaScript biblioteku koja prikazuje matematičku notaciju u web preglednicima koristeći MathML, LaTeX ili ASCIIMathML označavanje.

Postoje dva načina da počnete koristiti MathJax: (1) pomoću jednostavnog koda možete brzo povezati MathJax skriptu sa svojom web stranicom, koja će se automatski učitati s udaljenog poslužitelja u pravo vrijeme (popis poslužitelja); (2) preuzmite skriptu MathJax s udaljenog poslužitelja na svoj poslužitelj i povežite je sa svim stranicama svoje stranice. Druga metoda - složenija i dugotrajnija - ubrzat će učitavanje stranica vašeg web-mjesta, a ako nadređeni MathJax poslužitelj iz nekog razloga postane privremeno nedostupan, to ni na koji način neće utjecati na vaše web-mjesto. Unatoč ovim prednostima, odabrao sam prvu metodu jer je jednostavnija, brža i ne zahtijeva tehničke vještine. Slijedite moj primjer i za samo 5 minuta moći ćete koristiti sve značajke MathJaxa na svojoj stranici.

Skriptu biblioteke MathJax možete povezati s udaljenog poslužitelja koristeći dvije opcije koda preuzete s glavnog MathJax web mjesta ili na stranici dokumentacije:

Jednu od ovih opcija koda potrebno je kopirati i zalijepiti u kôd vaše web stranice, po mogućnosti između oznaka i ili odmah nakon oznake. Prema prvoj opciji, MathJax se brže učitava i manje usporava stranicu. Ali druga opcija automatski prati i učitava najnovije verzije MathJaxa. Ako umetnete prvi kod, trebat će ga povremeno ažurirati. Ako umetnete drugi kod, stranice će se učitavati sporije, ali nećete morati stalno pratiti ažuriranja MathJaxa.

Najlakši način povezivanja MathJaxa je u Bloggeru ili WordPressu: na kontrolnoj ploči web-mjesta dodajte widget dizajniran za umetanje JavaScript koda treće strane, kopirajte prvu ili drugu verziju koda za preuzimanje prikazanog gore u njega i postavite widget bliže na početak predloška (usput, to uopće nije potrebno, jer se MathJax skripta učitava asinkrono). To je sve. Sada naučite sintaksu označavanja MathML-a, LaTeX-a i ASCIIMathML-a i spremni ste za umetanje matematičkih formula u web stranice svoje web stranice.

Svaki fraktal je konstruiran prema određenom pravilu, koje se dosljedno primjenjuje neograničen broj puta. Svako takvo vrijeme naziva se iteracija.

Iterativni algoritam za konstruiranje Mengerove spužve prilično je jednostavan: originalna kocka sa stranicom 1 podijeljena je ravninama paralelnim s njezinim stranama na 27 jednakih kocki. Iz nje se uklanjaju jedna središnja kocka i 6 kocki uz nju duž strana. Rezultat je set koji se sastoji od preostalih 20 manjih kockica. Postupivši isto sa svakom od ovih kockica, dobivamo set od 400 manjih kockica. Nastavljajući ovaj proces beskrajno, dobivamo Mengerovu spužvu.

Funkcija na = f(x) naziva se povećanjem (opadanjem) na intervalu x, ako je za bilo koju nejednakost istinita

Teorem (dovoljan uvjet za porast funkcije). Ako je derivacija diferencijabilne funkcije pozitivna unutar nekog intervala X, onda raste u ovom intervalu.

Razmotrimo dvije vrijednosti x 1 I x 2 u ovom intervalu X. Neka . Dokažimo

Za funkciju f(x) na segmentu [ x 1; x 2] uvjeti Lagrangeovog teorema su stoga zadovoljeni

Gdje , tj. pripada intervalu na kojem je derivacija pozitivna, što znači da a desna strana jednakosti je pozitivna. Odavde I

Drugi se teorem dokazuje na sličan način.

Teorem (dovoljan uvjet za opadanje funkcije). Ako je derivacija diferencijabilne funkcije negativna unutar nekog intervala x, onda se smanjuje na ovom intervalu.

Geometrijska interpretacija uvjeta monotonosti funkcije prikazana je na slici 7.

Ako su tangente na krivulju u određenom intervalu usmjerene pod oštrim kutovima na os apscise (sl. 7a), tada funkcija raste, a ako su pod tupim kutovima (sl. 7b), onda opada.

Slika 7 – Geometrijska interpretacija uvjeta monotonosti funkcije

Primjer 1 na = x 2 – 4x + 3.

Riješenje. Imamo Očito na x> 2i y"< 0 at x< 2, tj. funkcija opada na intervalu i povećava se tijekom intervala Gdje x 0 = 2 - apscisa vrha parabole.

Imajte na umu da je nužni uvjet za monotonost slabiji. Ako funkcija raste (opada) u određenom intervalu x, tada možemo samo reći da je derivacija nenegativna (nepozitivna) na ovom intervalu: tj. u pojedinim točkama derivacija monotone funkcije može biti jednaka nuli.

Primjer 2. Odredite intervale monotonosti funkcije na = x 3 .

Riješenje. Nađimo izvod Očito je da na> 0 na . Na x= 0 derivacija ide na nulu. Funkcija monotono raste duž cijele numeričke osi.

Ekstrem funkcije

Definicija 1. Točka x 0 se naziva točka maksimuma funkcije f(xx 0 vrijedi nejednakost

Definicija 2. Točka x 1 naziva se točka minimuma funkcije f(x), ako je u nekoj blizini točke x 1 vrijedi nejednakost

Vrijednosti funkcije u točkama x 0 i x 1 nazivaju se prema tome maksimum i minimum funkcije.

Funkcije maksimuma i minimuma objedinjene su zajedničkim nazivom ekstrem funkcije.

Ekstremum funkcije često se naziva lokalni ekstrem, naglašavajući činjenicu da je koncept ekstrema povezan samo s dovoljno malom okolinom točke x n. Dakle, na jednom intervalu funkcija može imati nekoliko ekstrema, a može se dogoditi da je minimum u jednoj točki veći od maksimuma u drugoj, na primjer, na slici 8.

Prisutnost maksimuma (ili minimuma) u zasebnoj točki u intervalu x uopće ne znači da u ovom trenutku funkcija f(x) ima najveću (najmanju) vrijednost na ovom intervalu (ili, kako se kaže, ima globalni maksimum (minimum)).

Nužan uvjet za ekstrem: Da bi funkcija y =f(x) imao je ekstrem u točki x 0, potrebno je da njegova derivacija u ovoj točki bude jednaka nuli ( )ili nije postojao.

Točke u kojima je zadovoljen nužni uvjet ekstrema, tj. izvod je nula ili ne postoji nazivaju se kritično(ili stacionarni ).

Stoga, ako u bilo kojoj točki postoji ekstrem, tada je ta točka kritična. Međutim, vrlo je važno napomenuti da obrnuto nije točno. Kritična točka nije nužno točka ekstrema.

Slika 8 – Ekstremumi funkcije f(x)

Primjer 1. Pronađite kritične točke funkcije i provjerite prisutnost ili odsutnost ekstrema u tim točkama.

rastući na intervalu \(X\) ako je za bilo koji \(x_1, x_2\u X\) tako da je \(x_1 0\) za bilo koji \(t\u \mathbb(R)\) .

Dakle, funkcija \(f(t)\) je strogo rastuća za sve \(t\u \mathbb(R)\) .

To znači da je jednadžba \(f(ax)=f(x^2)\) ekvivalentna jednadžbi \(ax=x^2\) .

Jednadžba \(x^2-ax=0\) za \(a=0\) ima jedan korijen \(x=0\), a za \(a\ne 0\) ima dva različita korijena \(x_1 =0 \) i \(x_2=a\) .
Moramo pronaći vrijednosti \(a\) za koje će jednadžba imati najmanje dva korijena, također uzimajući u obzir činjenicu da \(a>0\) .
Stoga je odgovor: \(a\in (0;+\infty)\) .

Odgovor:

\((0;+\infty)\) .

4. zadatak #1232

Razina zadatka: jednaka Jedinstvenom državnom ispitu

Pronađite sve vrijednosti parametra \(a\) , za svaku od kojih vrijedi jednadžba \

ima jedinstveno rješenje.

Pomnožimo desnu i lijevu stranu jednadžbe s \(2^(\sqrt(x+1))\) (budući da \(2^(\sqrt(x+1))>0\) ) i prepišemo jednadžbu u obliku :\

Razmotrimo funkciju \(y=2^t\cdot \log_(\frac(1)(9))((t+2))\) za \(t\geqslant 0\) (jer \(\sqrt (x +1)\geqslant 0\) ).

Derivacija \(y"=\lijevo(-2^t\cdot \log_9((t+2))\desno)"=-\dfrac(2^t)(\ln9)\cdot \lijevo(\ln 2\ cdot \ln((t+2))+\dfrac(1)(t+2)\desno)\) .

Jer \(2^t>0, \\dfrac(1)(t+2)>0, \ \ln((t+2))>0\) za sve \(t\geqslant 0\) , tada \( y"0\) za sve \(a\). Prema tome, jednadžba uvijek ima dva korijena \(x_1\) i \(x_2\), a oni su različitih predznaka (jer prema Vietinom teoremu \(x_1\cdot x_2 =-\dfrac(1)(a^2)