Dijeljenje decimala razlomcima. Objašnjavanje djetetu kako se dijele razlomci

U ovom članku ćemo pogledati tako važnu operaciju s decimalama kao što je dijeljenje. Prvo ćemo formulirati opća načela, a zatim ćemo analizirati kako ispravno podijeliti decimalne ulomke u stupcu i drugim razlomcima i prirodnim brojevima. Zatim ćemo analizirati dijeljenje običnih razlomaka na decimale i obrnuto, a na kraju ćemo pogledati kako pravilno podijeliti razlomke koji završavaju na 0, 1, 0, 01, 100, 10 itd.

Ovdje ćemo uzeti samo slučajeve s pozitivnim razlomcima. Ako postoji minus ispred razlomka, tada za rad s njim morate proučiti materijal o dijeljenju racionalnih i realnih brojeva.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Svi decimalni razlomci, i konačni i periodični, samo su poseban oblik zapisivanja običnih razlomaka. Stoga podliježu istim načelima kao i odgovarajući obični razlomci. Tako cijeli proces dijeljenja decimalnih razlomaka svodimo na njihovu zamjenu običnim razlomcima, nakon čega slijedi izračunavanje nama već poznatim metodama. Uzmimo konkretan primjer.

Primjer 1

Podijelite 1,2 s 0,48.

Otopina

Zapišimo decimalne razlomke kao obične razlomke. Dobit ćemo:

1 , 2 = 12 10 = 6 5

0 , 48 = 48 100 = 12 25 .

Dakle, trebamo podijeliti 6 5 sa 12 25. Mi računamo:

1, 2: 0, 48 = 6 2: 12 25 = 6 5 25 12 = 6 25 5 12 = 5 2

Iz dobivenog nepravog razlomka možete izdvojiti cijeli dio i dobiti mješoviti broj 2 1 2 ili ga možete predstaviti kao decimalni razlomak tako da odgovara izvornim brojevima: 5 2 = 2, 5. Već smo pisali o tome kako to učiniti ranije.

Odgovor: 1 , 2: 0 , 48 = 2 , 5 .

Primjer 2

Izračunajte koliko će biti 0 , (504) 0 , 56.

Otopina

Prvo moramo periodični decimalni razlomak pretvoriti u obični razlomak.

0 , (504) = 0 , 504 1 - 0 , 001 = 0 , 504 0 , 999 = 504 999 = 56 111

Nakon toga ćemo i konačni decimalni razlomak pretvoriti u drugi oblik: 0, 56 = 56,100. Sada imamo dva broja s kojima će nam biti lako izvršiti potrebne izračune:

0 , (504) : 1 , 11 = 56 111 : 56 100 = 56 111 100 56 = 100 111

Imamo rezultat koji također možemo pretvoriti u decimalni oblik. Da biste to učinili, podijelite brojnik s nazivnikom koristeći metodu stupca:

Odgovor: 0 , (504) : 0 , 56 = 0 , (900) .

Ako smo u primjeru podjele naišli na neperiodične decimalne razlomke, tada ćemo djelovati malo drugačije. Ne možemo ih svesti na uobičajene obične razlomke, pa ih pri dijeljenju prvo moramo zaokružiti na određenu znamenku. Ova se radnja mora izvesti i s djeliteljem i s djeliteljem: također ćemo zaokružiti postojeći konačni ili periodični razlomak u interesu točnosti.

Primjer 3

Pronađite koliko je 0,779... / 1,5602.

Otopina

Prvo zaokružujemo oba razlomka na najbližu stotinu. Ovako prelazimo s beskonačnih neperiodičnih razlomaka na konačne decimalne:

0 , 779 … ≈ 0 , 78

1 , 5602 ≈ 1 , 56

Možemo nastaviti s izračunima i dobiti približan rezultat: 0, 779 ...: 1, 5602 ≈ 0, 78: 1, 56 = 78,100: 156,100 = 78,100 100,156 = 78,156 = 1 2 = 0, 5.

Točnost rezultata ovisit će o stupnju zaokruživanja.

Odgovor: 0 , 779 … : 1 , 5602 ≈ 0 , 5 .

Kako prirodni broj podijeliti decimalom i obrnuto

Pristup dijeljenju u ovom je slučaju gotovo isti: konačne i periodične razlomke zamjenjujemo običnim, a beskonačne neperiodične zaokružujemo. Počnimo s primjerom dijeljenja prirodnim brojem i decimalnim razlomkom.

Primjer 4

Podijelite 2,5 sa 45.

Otopina

Svedimo 2, 5 na oblik običnog razlomka: 255 10 = 51 2. Zatim ga samo trebamo podijeliti s prirodnim brojem. Već znamo kako to učiniti:

25, 5: 45 = 51 2: 45 = 51 2 1 45 = 17 30

Ako rezultat pretvorimo u decimalni zapis, dobit ćemo 0,5 (6).

Odgovor: 25 , 5: 45 = 0 , 5 (6) .

Metoda dugog dijeljenja dobra je ne samo za prirodne brojeve. Po analogiji, možemo ga koristiti za razlomke. U nastavku ćemo navesti slijed radnji koje je potrebno izvršiti za to.

Definicija 1

Za dijeljenje stupca decimalnih razlomaka prirodnim brojevima potrebno je:

1. Decimalnom razlomku s desne strane dodajte nekoliko nula (za dijeljenje ih možemo dodati koliko god nam je potrebno).

2. Podijeli decimalni razlomak prirodnim brojem pomoću algoritma. Kada dijeljenje cijelog dijela razlomka dođe do kraja, u dobiveni kvocijent stavimo zarez i brojimo dalje.

Rezultat takvog dijeljenja može biti ili konačni ili beskonačni periodički decimalni razlomak. Ovisi o ostatku: ako je nula, tada će rezultat biti konačan, a ako se ostaci počnu ponavljati, tada će odgovor biti periodični razlomak.

Uzmimo nekoliko problema kao primjer i pokušajmo izvesti ove korake s određenim brojevima.

Primjer 5

Izračunajte koliko će biti 65, 14 4.

Otopina

Koristimo metodu stupaca. Da biste to učinili, dodajte dvije nule razlomku i dobijete decimalni ulomak 65, 1400, koji će biti jednak izvornom. Sada pišemo stupac za dijeljenje s 4:

Dobiveni broj bit će rezultat koji nam je potreban dijeljenjem cijelog dijela. Stavimo zarez, odvajamo ga i nastavljamo:

Dosegli smo nulti ostatak, stoga je proces dijeljenja završen.

Odgovor: 65 , 14: 4 = 16 , 285 .

Primjer 6

Podijelite 164,5 sa 27.

Otopina

Prvo podijelimo razlomački dio i dobijemo:

Dobiveni broj odvojite zarezom i nastavite s dijeljenjem:

Vidimo da su se ostaci počeli periodički ponavljati, au kvocijentu su se počeli izmjenjivati ​​brojevi devet, dva i pet. Ovdje ćemo stati i odgovor napisati u obliku periodičnog razlomka 6, 0 (925).

Odgovor: 164 , 5: 27 = 6 , 0 (925) .

Ovo dijeljenje može se svesti na gore opisani postupak pronalaženja kvocijenta decimalnog razlomka i prirodnog broja. Da bismo to učinili, trebamo pomnožiti dividendu i djelitelj s 10, 100 itd. tako da se djelitelj pretvori u prirodni broj. Zatim provodimo gore opisani slijed radnji. Ovaj pristup je moguć zahvaljujući svojstvima dijeljenja i množenja. Zapisali smo ih ovako:

a: b = (a · 10) : (b · 10) , a: b = (a · 100) : (b · 100) i tako dalje.

Formulirajmo pravilo:

Definicija 2

Da biste podijelili jedan posljednji decimalni razlomak drugim:

1. Pomaknite zarez u djelitelju i djelitelju udesno za onoliko znamenki koliko je potrebno da se djelitelj pretvori u prirodni broj. Ako u dividendi nema dovoljno predznaka, dodajemo joj nule s desne strane.

2. Nakon toga razlomak podijelite stupcem s dobivenim prirodnim brojem.

Pogledajmo konkretan problem.

Primjer 7

Podijelite 7,287 s 2,1.

Rješenje: Da bi djelitelj bio prirodan broj, potrebno je decimalno mjesto pomaknuti jedno mjesto udesno. Pa smo prešli na dijeljenje decimalnog razlomka 72, 87 sa 21. Zapišimo dobivene brojeve u stupac i izračunajmo

Odgovor: 7 , 287: 2 , 1 = 3 , 47

Primjer 8

Izračunajte 16.30.021.

Otopina

Morat ćemo pomaknuti zarez za tri mjesta. Za to nema dovoljno znamenki u djelitelju, što znači da morate koristiti dodatne nule. Mislimo da će rezultat biti:

Vidimo periodično ponavljanje ostataka 4, 19, 1, 10, 16, 13. U kvocijentu se ponavljaju 1, 9, 0, 4, 7 i 5. Tada je naš rezultat periodični decimalni razlomak 776, (190476).

Odgovor: 16 , 3: 0 , 021 = 776 , (190476) ​​​​​​

Metoda koju smo opisali omogućuje vam da učinite suprotno, to jest da prirodni broj podijelite konačnim decimalnim razlomkom. Da vidimo kako se to radi.

Primjer 9

Izračunaj koliko je 3 5, 4.

Otopina

Očito ćemo morati pomaknuti zarez na jedno desno mjesto. Nakon toga možemo nastaviti s dijeljenjem 30, 0 sa 54. Zapišimo podatke u stupac i izračunajmo rezultat:

Ponavljanje ostatka daje nam konačni broj 0, (5), koji je periodični decimalni razlomak.

Odgovor: 3: 5 , 4 = 0 , (5) .

Kako podijeliti decimalne razlomke sa 1000, 100, 10 itd.

Prema već proučenim pravilima za dijeljenje običnih razlomaka, dijeljenje razlomka s desecima, stotinama, tisućama slično je množenju s 1/1000, 1/100, 1/10 itd. Ispada da je za izvođenje dijeljenja potrebno u u ovom slučaju dovoljno je jednostavno pomaknuti decimalnu točku na tražene brojeve iznosa Ako u broju nema dovoljno vrijednosti za prijenos, morate dodati potreban broj nula.

Primjer 10

Dakle, 56, 21: 10 = 5, 621 i 0, 32: 100 000 = 0, 0000032.

U slučaju beskonačnih decimalnih razlomaka, činimo isto.

Primjer 11

Na primjer, 3, (56): 1000 = 0, 003 (56) i 593, 374...: 100 = 5, 93374....

Kako podijeliti decimale s 0,001, 0,01, 0,1 itd.

Koristeći isto pravilo, također možemo podijeliti razlomke na navedene vrijednosti. Ova će radnja biti slična množenju s 1000, 100, 10, redom. Da bismo to učinili, premjestimo zarez na jednu, dvije ili tri znamenke, ovisno o uvjetima problema, i dodamo nule ako u broju nema dovoljno znamenki.

Primjer 12

Na primjer, 5,739: 0,1 = 57,39 i 0,21: 0,00001 = 21 000.

Ovo pravilo vrijedi i za beskonačne decimalne razlomke. Samo vam savjetujemo da pripazite na period razlomka koji se pojavljuje u odgovoru.

Dakle, 7, 5 (716) : 0, 01 = 757, (167) jer nakon što smo pomaknuli zarez u decimalnom razlomku 7, 5716716716... dva mjesta udesno, dobili smo 757, 167167....

Ako u primjeru imamo neperiodične razlomke, onda je sve jednostavnije: 394, 38283...: 0, 001 = 394382, 83....

Kako podijeliti mješoviti broj ili razlomak decimalom i obrnuto

Ovu radnju također svodimo na operacije s običnim razlomcima. Da biste to učinili, potrebno je decimalne brojeve zamijeniti odgovarajućim običnim razlomcima, a mješoviti broj napisati kao nepravi razlomak.

Ako neperiodični razlomak podijelimo običnim ili mješovitim brojem, trebamo učiniti suprotno, zamijeniti obični razlomak ili mješoviti broj odgovarajućim decimalnim razlomkom.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Zbrajanje decimala je isto što i zbrajanje cijelih brojeva. Pogledajmo to na primjerima.

1) 0,132 + 2,354. Označimo pojmove jedan ispod drugog.

Ovdje je dodavanje 2 tisućinke na 4 tisućinke rezultiralo s 6 tisućinki;
od zbrajanja 3 stotinke sa 5 stotinki rezultat je 8 stotinki;
od zbrajanja 1 desetice sa 3 desetice -4 desetice i
od zbrajanja 0 cijelih brojeva sa 2 cijela broja - 2 cijela broja.

2) 5,065 + 7,83.

U drugom članu nema tisućitki, pa je važno ne pogriješiti pri označavanju pojmova jedan za drugim.

3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.

Ovdje pri zbrajanju tisućinki rezultat je 21 tisućinka; ispod tisućinki smo napisali 1, a stotinki dodali 2, pa smo na mjestu stotinke dobili sljedeće članove: 2 + 3 + 6 + 8 + 0; ukupno daju 19 stotinki, pod stotinke smo potpisali 9, a 1 računali kao desetinku itd.

Dakle, pri zbrajanju decimalnih razlomaka treba se pridržavati sljedećeg redoslijeda: potpisujte razlomke jedan ispod drugog tako da u svim terminima iste znamenke budu jedna ispod druge i da svi zarezi budu u istom okomitom stupcu; Desno od decimalnih mjesta nekih pojmova dodaje se, barem u mislima, toliki broj nula da svi pojmovi iza decimalnog zareza imaju isti broj znamenki. Zatim izvode zbrajanje po znamenkama, počevši od desne strane, au dobivenom zbroju stavljaju zarez u isti okomiti stupac u kojem se nalazi u tim pojmovima.

§ 108. Oduzimanje decimalnih razlomaka.

Oduzimanje decimala funkcionira na isti način kao i oduzimanje cijelih brojeva. Pokažimo to primjerima.

1) 9,87 - 7,32. Potpišimo subtrahend ispod umanjenika tako da jedinice iste znamenke budu jedna ispod druge:

2) 16,29 - 4,75. Potpišimo subtrahend ispod minuenda, kao u prvom primjeru:

Da biste oduzeli desetine, morali ste uzeti jednu cijelu jedinicu od 6 i podijeliti je na desetine.

3) 14,0213- 5,350712. Potpišimo subtrahend ispod minuenda:

Oduzimanje je obavljeno na sljedeći način: budući da od 0 ne možemo oduzeti 2 milijuntinke, treba se okrenuti na najbližu znamenku s lijeve strane, tj. stotisućinke, ali umjesto stotisućinki također stoji nula, pa od 1 uzimamo desettisućinku. 3 desettisućinke i Podijelimo to na stotisućinke, dobivamo 10 stotisućinki, od kojih ostavljamo 9 stotisućinki u kategoriji stotisućinki, a 1 stotisućinki dijelimo na milijuntinke, dobivamo 10 milijuntinki. Tako smo u posljednje tri znamenke dobili: milijunti dio 10, stotisućiti dio 9, desettisućiti dio 2. Radi veće jasnoće i praktičnosti (da se ne zaboravi), ovi su brojevi napisani iznad odgovarajućih razlomaka manjeg broja. Sada možete početi s oduzimanjem. Od 10 milijuntinka oduzmemo 2 milijuntinka, dobijemo 8 milijuntinka; od 9 stotisućinki oduzmemo 1 stotisućinku, dobijemo 8 stotisućinki itd.

Dakle, kada se oduzimaju decimalni ulomci, poštuje se sljedeći redoslijed: potpišite subtrahend ispod umanjenika tako da se iste znamenke nalaze jedna ispod druge i da su svi zarezi u istom okomitom stupcu; zdesna zbrajaju, barem u mislima, toliko nula u umanjeniku ili oduzimanju da imaju isti broj znamenki, zatim oduzimaju po znamenkama, počevši s desne strane, i u dobivenu razliku stavljaju zarez. isti okomiti stupac u kojem se nalazi u minuendu i oduzimanju.

§ 109. Množenje decimalnih razlomaka.

Pogledajmo neke primjere množenja decimalnih razlomaka.

Da bismo pronašli umnožak tih brojeva, možemo razmišljati na sljedeći način: ako faktor povećamo 10 puta, tada će oba faktora biti cijeli brojevi i tada ih možemo pomnožiti prema pravilima za množenje cijelih brojeva. Ali znamo da kada se jedan od faktora poveća nekoliko puta, umnožak se poveća za isti iznos. To znači da je broj koji se dobije množenjem cjelobrojnih faktora, tj. 28 sa 23, 10 puta veći od pravog umnoška, ​​a da bi se dobio pravi umnožak, pronađeni umnožak treba smanjiti 10 puta. Dakle, ovdje ćete morati jednom pomnožiti s 10 i jednom podijeliti s 10, no množenje i dijeljenje s 10 vrši se pomicanjem decimalne točke udesno i ulijevo za jedno mjesto. Stoga trebate učiniti sljedeće: u faktoru pomaknite zarez jedno mjesto udesno, tako će biti jednak 23, zatim morate pomnožiti dobivene cijele brojeve:

Ovaj proizvod je 10 puta veći od pravog. Stoga se mora smanjiti za 10 puta, za što pomaknemo zarez jedno mjesto ulijevo. Dakle, dobivamo

28 2,3 = 64,4.

Za potrebe provjere, možete napisati decimalni razlomak s nazivnikom i izvršiti radnju prema pravilu za množenje običnih razlomaka, tj.

2) 12,27 0,021.

Razlika između ovog primjera i prethodnog je u tome što su ovdje oba faktora predstavljena kao decimalni razlomci. Ali ovdje, u procesu množenja, nećemo obraćati pažnju na zareze, tj. množenik ćemo privremeno povećati za 100 puta, a množitelj za 1000 puta, čime ćemo umnožak povećati za 100 000 puta. Dakle, množenjem 1,227 sa 21, dobivamo:

1 227 21 = 25 767.

Uzimajući u obzir da je dobiveni umnožak 100 000 puta veći od pravog umnoška, ​​sada ga moramo smanjiti za 100 000 puta pravilnim stavljanjem zareza, tada dobivamo:

32,27 0,021 = 0,25767.

Provjerimo:

Dakle, za množenje dva decimalna razlomka dovoljno je, ne pazeći na zareze, pomnožiti ih kao cijele brojeve i u umnošku zarezom s desne strane odvojiti onoliko decimala koliko ih je bilo u množeniku i u umnošku. multiplikator zajedno.

Zadnji primjer rezultirao je umnoškom s pet decimala. Ako nije potrebna tako velika preciznost, tada se decimalni razlomak zaokružuje. Kod zaokruživanja trebate koristiti isto pravilo kao što je navedeno za cijele brojeve.

§ 110. Množenje pomoću tablica.

Množenje decimala ponekad se može izvesti pomoću tablica. U tu svrhu možete, na primjer, koristiti one tablice množenja za dvoznamenkaste brojeve, čiji smo opis prethodno dali.

1) Pomnožite 53 s 1,5.

Pomnožit ćemo 53 s 15. U tablici je ovaj umnožak jednak 795. Našli smo umnožak 53 s 15, ali je naš drugi faktor bio 10 puta manji, što znači da se umnožak mora smanjiti 10 puta, tj.

53 1,5 = 79,5.

2) Pomnožite 5,3 sa 4,7.

Prvo, u tablici nalazimo umnožak 53 sa 47, to će biti 2491, ali budući da smo povećali množenik i množitelj za ukupno 100 puta, dobiveni umnožak je 100 puta veći nego što bi trebao biti; tako da ovaj proizvod moramo smanjiti za 100 puta:

5,3 4,7 = 24,91.

3) Pomnožite 0,53 sa 7,4.

Prvo, u tablici nalazimo umnožak 53 sa 74; to će biti 3922 Ali budući da smo množenik povećali za 100 puta, a množitelj za 10 puta, umnožak se povećao za 1000 puta; tako da ga sada moramo smanjiti za 1000 puta:

0,53 7,4 = 3,922.

§ 111. Dijeljenje decimalnih razlomaka.

Razmotrit ćemo dijeljenje decimalnih razlomaka ovim redoslijedom:

1. Dijeljenje decimalnog razlomka cijelim brojem,

1. Podijeli decimalni razlomak cijelim brojem.

1) Podijelite 2,46 s 2.

Podijelili smo s 2 prvo cijelo, zatim desetinke i na kraju stotinke.

2) Podijelite 32,46 s 3.

32,46: 3 = 10,82.

Podijelili smo 3 desetice s 3, zatim počeli dijeliti 2 jedinice s 3; budući da je broj jedinica dividende (2) manji od djelitelja (3), morali smo staviti 0 u kvocijent; nadalje, ostatku smo uzeli 4 desetine i podijelili 24 desetine s 3; dobio 8 desetinki u kvocijentu i na kraju podijelio 6 stotinki.

3) Podijelite 1,2345 s 5.

1,2345: 5 = 0,2469.

Ovdje je u kvocijentu na prvom mjestu nula cijelih brojeva, jer jedan cijeli broj nije djeljiv s 5.

4) Podijelite 13,58 s 4.

Posebnost ovog primjera je da kada smo dobili 9 stotinki u kvocijentu, otkrili smo ostatak jednak 2 stotinke, podijelili smo taj ostatak na tisućinke, dobili 20 tisućinki i završili dijeljenje.

Pravilo. Dijeljenje decimalnog razlomka cijelim brojem izvodi se na isti način kao i dijeljenje cijelih brojeva, a dobiveni se ostaci pretvaraju u decimalne razlomke, sve manje i manje; Dijeljenje se nastavlja sve dok ostatak ne bude nula.

2. Podijeli decimalu decimalom.

1) Podijelite 2,46 s 0,2.

Već znamo kako podijeliti decimalni razlomak cijelim brojem. Razmislimo, je li moguće ovaj novi slučaj dijeljenja svesti na prethodni? Svojedobno smo razmatrali izvanredno svojstvo kvocijenta, koje se sastoji u tome da on ostaje nepromijenjen kada se djelitelj i djelitelj istovremeno povećaju ili smanje za isti broj puta. Dane brojeve bismo lako mogli podijeliti ako je djelitelj cijeli broj. Za to ga je dovoljno povećati 10 puta, a da bi se dobio točan kvocijent potrebno je povećati dividendu za isti iznos, odnosno 10 puta. Tada će dijeljenje ovih brojeva biti zamijenjeno dijeljenjem sljedećih brojeva:

Štoviše, više neće biti potrebe za bilo kakvim izmjenama podataka.

Napravimo ovu podjelu:

Dakle, 2,46: 0,2 = 12,3.

2) Podijelite 1,25 s 1,6.

Povećavamo djelitelj (1.6) za 10 puta; da se kvocijent ne promijeni, dividendu povećamo za 10 puta; 12 cijelih brojeva nije djeljivo sa 16, pa u kvocijent upišemo 0 i 125 desetinki podijelimo sa 16, u kvocijentu dobijemo 7 desetinki i ostatak je 13. 13 desetinki podijelimo na stotinke tako da dodamo nulu, a 130 stotinki podijelimo sa 16 , itd. Imajte na umu sljedeće:

a) kada u pojedinom nema cijelih brojeva, tada se umjesto njih upisuje nula cijelih brojeva;

b) kada se nakon dodavanja ostatku znamenke djelitelja dobije broj koji nije djeljiv djeliteljem, tada se u količniku upisuje nula;

c) kada se nakon uklanjanja posljednje znamenke dividende dijeljenje ne završi, tada se dodavanjem nula u ostatak nastavlja dijeljenje;

d) ako je dividenda cijeli broj, tada se pri dijeljenju decimalnim razlomkom povećava dodavanjem nula.

Dakle, da biste broj podijelili decimalnim razlomkom, potrebno je ispustiti zarez u djelitelju, a zatim povećati djelitelj za onoliko puta koliko se djelitelj povećao ispuštanjem zareza u njemu, a zatim izvršiti dijeljenje prema pravilo dijeljenja decimalnog razlomka cijelim brojem.

§ 112. Približni količnici.

U prethodnom odlomku smo pogledali dijeljenje decimalnih razlomaka, au svim primjerima koje smo riješili dijeljenje je završeno, odnosno dobiven je točan količnik. Međutim, u većini slučajeva ne može se dobiti točan kvocijent, koliko god produžili dijeljenje. Evo jednog takvog slučaja: podijelite 53 sa 101.

Već smo dobili pet znamenki u količniku, ali dijeljenje još nije završilo i nema nade da će ikada završiti, budući da u ostatku počinjemo imati brojeve s kojima smo se već susreli. U kvocijentu će se brojevi također ponavljati: očito je da će nakon broja 7 doći broj 5, zatim 2, itd. u nedogled. U takvim slučajevima dijeljenje se prekida i ograničava na prvih nekoliko znamenki kvocijenta. Ovaj kvocijent se zove bliski. Na primjerima ćemo pokazati kako se izvodi dijeljenje.

Recimo da trebamo podijeliti 25 s 3. Očito je da se takvim dijeljenjem ne može dobiti točan kvocijent, izražen kao cijeli broj ili decimalni razlomak. Stoga ćemo tražiti približan kvocijent:

25: 3 = 8 i ostatak 1

Približan kvocijent je 8; to je naravno manje od točnog kvocijenta, jer postoji ostatak 1. Za dobivanje točnog kvocijenta potrebno je pronađenom približnom kvocijentu dodati razlomak koji se dobije dijeljenjem ostatka jednakog 1 s 3, tj. , do 8; ovo će biti razlomak 1/3. To znači da će točan kvocijent biti izražen kao mješoviti broj 8 1/3. Kako je 1/3 pravi razlomak, tj. razlomak, manje od jednog, onda ćemo, odbacivši ga, dopustiti greška, koji manje od jednog. Kvocijent 8 će biti približan kvocijent do jedinice s nedostatkom. Ako umjesto 8 u kvocijentu uzmemo 9, tada ćemo također dopustiti grešku manju od jedan, jer nećemo dodati cijelu jedinicu, već 2/3. Takva privatna oporuka približan kvocijent do unutar jednog s viškom.

Uzmimo sada još jedan primjer. Recimo da trebamo podijeliti 27 s 8. Budući da ovdje nećemo dobiti točan kvocijent izražen kao cijeli broj, tražit ćemo približni kvocijent:

27: 8 = 3 i ostatak 3.

Ovdje je pogreška jednaka 3/8, manja je od jedinice, što znači da je utvrđeno da je približni kvocijent (3) točan na jedan s nedostatkom. Nastavimo s dijeljenjem: ostatak 3 podijelimo na desetine, dobivamo 30 desetina; podijeli ih sa 8.

Dobili smo 3 u kvocijentu umjesto desetinki i 6 desetinki u ostatku. Ako se ograničimo na broj 3.3 i odbacimo ostatak 6, tada ćemo dopustiti pogrešku manju od jedne desetine. Zašto? Zato što bi se točan kvocijent dobio kada bismo 3,3 dodali rezultat dijeljenja 6 desetina s 8; ovo bi dijeljenje dalo 6/80, što je manje od jedne desetine. (Provjeri!) Dakle, ako se u kvocijentu ograničimo na desetinke, tada možemo reći da smo našli kvocijent točno do jedne desetine(s nedostatkom).

Nastavimo s dijeljenjem kako bismo pronašli drugo decimalno mjesto. Da bismo to učinili, podijelimo 6 desetina na stotinke i dobijemo 60 stotinki; podijeli ih sa 8.

U kvocijentu na trećem mjestu ispalo je 7, a ostatak 4 stotinke; ako ih odbacimo, dopustit ćemo pogrešku manju od jedne stotinke, jer je 4 stotinke podijeljeno s 8 manje od jedne stotinke. U takvim slučajevima kažu da je kvocijent pronađen točno do jedne stotinke(s nedostatkom).

U primjeru koji sada gledamo, možemo dobiti točan kvocijent izražen kao decimalni razlomak. Da biste to učinili, dovoljno je posljednji ostatak, 4 stotinke, podijeliti na tisućinke i podijeliti s 8.

Međutim, u velikoj većini slučajeva nemoguće je dobiti točan kvocijent i treba se ograničiti na njegove približne vrijednosti. Sada ćemo pogledati ovaj primjer:

40: 7 = 5,71428571...

Točke na kraju broja označavaju da dijeljenje nije dovršeno, odnosno da je jednakost približna. Obično se približna jednakost piše na sljedeći način:

40: 7 = 5,71428571.

Uzeli smo kvocijent s osam decimala. Ali ako nije potrebna tako velika točnost, možete se ograničiti samo na cijeli dio kvocijenta, tj. broj 5 (točnije 6); za veću točnost, može se uzeti u obzir desetine i uzeti kvocijent jednak 5,7; ako iz nekog razloga ta točnost nije dovoljna, tada se možete zaustaviti na stotinkama i uzeti 5,71, itd. Napišimo pojedinačne kvocijente i imenujemo ih.

Prvi približni kvocijent točan na jedan 6.

Sekunda » » » do jedne desetine 5.7.

Treći » » » na stotinku 5,71.

Četvrti » » » do tisućinke 5.714.

Dakle, da biste pronašli približni kvocijent točan do neke, na primjer, 3. decimale (tj. do jedne tisućinke), zaustavite dijeljenje čim se pronađe ovaj znak. U tom slučaju morate zapamtiti pravilo navedeno u § 40.

§ 113. Najjednostavniji zadaci s postocima.

Nakon što smo naučili o decimalama, riješit ćemo još neke probleme s postocima.

Ovi su zadaci slični onima koje smo rješavali u odjelu za razlomke; ali sada ćemo stotinke pisati u obliku decimalnih razlomaka, dakle bez eksplicitno označenog nazivnika.

Prije svega, morate biti u mogućnosti lako prijeći s običnog razlomka na decimalu s nazivnikom 100. Da biste to učinili, trebate podijeliti brojnik s nazivnikom:

Donja tablica pokazuje kako se broj sa simbolom % (postotak) zamjenjuje decimalnim razlomkom s nazivnikom 100:

Razmotrimo sada nekoliko problema.

1. Određivanje postotka zadanog broja.

Zadatak 1. U jednom selu živi samo 1600 ljudi. Broj djece školske dobi čini 25% ukupnog stanovništva. Koliko djece školske dobi ima u ovom selu?

U ovom zadatku trebate pronaći 25%, ili 0,25, od 1600. Problem se rješava množenjem:

1.600 0,25 = 400 (djeca).

Prema tome, 25% od 1600 je 400.

Da bismo jasno razumjeli ovaj zadatak, korisno je podsjetiti da na svakih stotinu stanovništva dolazi 25 djece školske dobi. Stoga, da biste pronašli broj sve djece školske dobi, prvo možete saznati koliko stotina ima broj 1600 (16), a zatim pomnožiti 25 s brojem stotina (25 x 16 = 400). Na taj način možete provjeriti valjanost rješenja.

Zadatak 2.Štedionice osiguravaju štedišama povrat od 2% godišnje. Koliki će prihod dobiti deponent za godinu dana ako stavi u blagajnu: a) 200 rubalja? b) 500 rubalja? c) 750 rubalja? d) 1000 rub.?

U sva četiri slučaja, da biste riješili problem, morat ćete izračunati 0,02 od navedenih iznosa, tj. svaki od ovih brojeva morat ćete pomnožiti s 0,02. Učinimo ovo:

a) 200 0,02 = 4 (rub.),

b) 500 0,02 = 10 (rub.),

c) 750 0,02 = 15 (rub.),

d) 1000 0,02 = 20 (rub.).

Svaki od ovih slučajeva može se provjeriti sljedećim razmatranjima. Štedionice daju štedišama 2% prihoda, odnosno 0,02 od iznosa položenog na štednju. Ako je iznos bio 100 rubalja, tada bi 0,02 od toga bilo 2 rublja. To znači da svaka stotka donosi investitoru 2 rublje. prihod. Stoga je u svakom od razmatranih slučajeva dovoljno izračunati koliko stotina ima određeni broj i pomnožiti 2 rublje s tim brojem stotina. U primjeru a) postoje 2 stotine, što znači

2 2 = 4 (rub.).

U primjeru d) ima 10 stotica, što znači

2 10 = 20 (rub.).

2. Pronalaženje broja prema njegovom postotku.

Zadatak 1.Školu je u proljeće završilo 54 učenika, što predstavlja 6% od ukupnog broja upisanih. Koliko je učenika bilo u školi prošle školske godine?

Najprije pojasnimo značenje ovog zadatka. Školu su završila 54 učenika, što je 6% od ukupnog broja učenika, odnosno 6 stotinki (0,06) svih učenika škole. To znači da znamo dio učenika izražen brojem (54) i razlomkom (0,06), a iz tog razlomka moramo pronaći cijeli broj. Dakle, pred nama je običan zadatak pronalaženja broja iz njegovog razlomka (§90, stavak 6). Problemi ove vrste rješavaju se dijeljenjem:

To znači da je u školi bilo samo 900 učenika.

Korisno je takve zadatke provjeriti rješavanjem inverznog zadatka, tj. nakon rješavanja zadatka treba barem u glavi riješiti zadatak prvog tipa (pronalaženje postotka zadanog broja): uzmite pronađeni broj ( 900) kako je zadano i pronađite postotak navedenog u riješenom zadatku, naime:

900 0,06 = 54.

Zadatak 2. Obitelj troši 780 rubalja na hranu tijekom mjeseca, što je 65% očeve mjesečne zarade. Odredite njegov mjesečni prihod.

Ovaj zadatak ima isto značenje kao i prethodni. Daje dio mjesečne zarade, izražen u rubljama (780 rubalja), i pokazuje da taj dio iznosi 65%, odnosno 0,65, ukupne zarade. A ono što tražite je sva zarada:

780: 0,65 = 1 200.

Stoga je potreban prihod 1200 rubalja.

3. Određivanje postotka brojeva.

Zadatak 1. U školskoj knjižnici ima samo 6000 knjiga. Među njima je 1200 knjiga iz matematike. Koliki postotak knjiga iz matematike čini ukupan broj knjiga u knjižnici?

Već smo razmatrali (§97) probleme ove vrste i došli do zaključka da za izračunavanje postotka dvaju brojeva trebate pronaći omjer tih brojeva i pomnožiti ga sa 100.

U našem zadatku trebamo pronaći postotni omjer brojeva 1200 i 6000.

Prvo pronađimo njihov omjer, a zatim ga pomnožimo sa 100:

Dakle, postotak brojeva 1200 i 6000 je 20. Drugim riječima, knjige iz matematike čine 20% od ukupnog broja svih knjiga.

Za provjeru, riješimo inverzni problem: pronađite 20% od 6000:

6 000 0,2 = 1 200.

Zadatak 2. Tvornica bi trebala primiti 200 tona ugljena. 80 tona je već dopremljeno u postotak ugljena?

Ovaj problem postavlja pitanje koliki je postotak jednog broja (80) u odnosu na drugi (200). Omjer ovih brojeva bit će 80/200. Pomnožimo to sa 100:

To znači da je isporučeno 40% ugljena.

U ovom vodiču ćemo pogledati svaku od ovih operacija zasebno.

Zbrajanje decimala

Kao što znamo, decimalni razlomak ima cijeli i razlomački dio. Pri zbrajanju decimala odvojeno se zbrajaju cijeli i razlomački dijelovi.

Na primjer, zbrojimo decimalne razlomke 3.2 i 5.3. Pogodnije je zbrajati decimalne razlomke u stupcu.

Zapišimo prvo ova dva razlomka u stupac, pri čemu cjelobrojni dijelovi moraju biti ispod cijelih brojeva, a razlomci ispod razlomaka. U školi se ovaj zahtjev zove "zarez ispod zareza".

Zapišimo razlomke u stupac tako da zarez bude ispod zareza:

Počinjemo zbrajati razlomke: 2 + 3 = 5. Peticu upisujemo u razlomke našeg odgovora:

Sada zbrajamo cijele dijelove: 3 + 5 = 8. Upisujemo osmicu u cijeli dio našeg odgovora:

Sada cijeli dio odvajamo zarezom od razlomka. Da bismo to učinili, ponovno slijedimo pravilo "zarez ispod zareza":

Dobili smo odgovor 8.5. Dakle, izraz 3,2 + 5,3 je jednak 8,5

Zapravo, nije sve tako jednostavno kao što se čini na prvi pogled. Ovdje također postoje zamke, o kojima ćemo sada govoriti.

Mjesta u decimalama

Decimalni razlomci, kao i obični brojevi, imaju svoje znamenke. To su mjesta desetinki, mjesta stotinki, mjesta tisućitki. U ovom slučaju znamenke počinju nakon decimalne točke.

Prva znamenka nakon decimalne točke odgovara desetinkama, druga znamenka iza decimalne točke stotinki, a treća znamenka iza decimalne točke tisućinke.

Decimalna mjesta sadrže neke korisne informacije. Točnije, govore vam koliko desetinki, stotinki i tisućinki ima u decimali.

Na primjer, razmotrite decimalni razlomak 0,345

Položaj na kojem se nalazi trojka zove se deseto mjesto

Položaj na kojem se nalazi četvorka zove se stotinsko mjesto

Pozicija na kojoj se nalazi petica zove se tisućito mjesto

Pogledajmo ovaj crtež. Vidimo da je na desetinkama trojka. To znači da u decimalnom razlomku 0,345 postoje tri desetine.

Zbrojimo li razlomke, dobit ćemo izvorni decimalni razlomak 0,345

Vidi se da smo prvo dobili odgovor, ali smo ga pretvorili u decimalni razlomak i dobili 0,345.

Pri zbrajanju decimalnih razlomaka slijede se isti principi i pravila kao i kod zbrajanja običnih brojeva. Zbrajanje decimalnih razlomaka događa se u znamenkama: desetinke se dodaju desetinkama, stotinke stotinkama, tisućinke tisućinkama.

Stoga, kada zbrajate decimalne razlomke, morate slijediti pravilo "zarez ispod zareza". Zarez ispod zareza daje sam redoslijed kojim se desetinke zbrajaju desetinkama, stotinke stotinkama, tisućinke tisućinkama.

Primjer 1. Odredi vrijednost izraza 1,5 + 3,4

Najprije zbrojimo razlomke 5 + 4 = 9. U razlomak odgovora upišemo devet:

Sada zbrajamo cijele dijelove 1 + 3 = 4. Četvorku upisujemo u cijeli dio našeg odgovora:

Sada zarezom odvajamo cijeli dio od razlomka. Da bismo to učinili, ponovno slijedimo pravilo "zarez ispod zareza":

Dobili smo odgovor 4.9. To znači da je vrijednost izraza 1,5 + 3,4 4,9

Primjer 2. Odredi vrijednost izraza: 3,51 + 1,22

Ovaj izraz zapisujemo u stupac, poštujući pravilo "zarez ispod zareza".

Prije svega, zbrajamo razlomački dio, odnosno stotinke od 1+2=3. Trojku upisujemo u stoti dio našeg odgovora:

Sada zbrojite desetine 5+2=7. U desetom dijelu našeg odgovora pišemo sedam:

Sada zbrajamo cijele dijelove 3+1=4. Četvorku pišemo u cijelom dijelu našeg odgovora:

Koristimo zarez za odvajanje cijelog broja od razlomka, pridržavajući se pravila "zarez ispod zareza":

Odgovor koji smo dobili je 4,73. To znači da je vrijednost izraza 3,51 + 1,22 jednaka 4,73

3,51 + 1,22 = 4,73

Kao i kod običnih brojeva, prilikom zbrajanja decimala, . U tom slučaju jedna znamenka se upisuje u odgovor, a ostale se prenose na sljedeću znamenku.

Primjer 3. Odredi vrijednost izraza 2,65 + 3,27

Ovaj izraz upisujemo u stupac:

Zbrojite stotinke 5+7=12. Broj 12 neće stati ni u stoti dio našeg odgovora. Stoga u stoti dio upisujemo broj 2, a jedinicu premještamo na sljedeću znamenku:

Sada zbrajamo desetine od 6 + 2 = 8 plus jedinicu koju smo dobili prethodnom operacijom, dobivamo 9. Broj 9 upisujemo u desetinu našeg odgovora:

Sada zbrajamo cijele dijelove 2+3=5. Upisujemo broj 5 u cijeli broj našeg odgovora:

Dobili smo odgovor 5,92. To znači da je vrijednost izraza 2,65 + 3,27 jednaka 5,92

2,65 + 3,27 = 5,92

Primjer 4. Odredi vrijednost izraza 9,5 + 2,8

Ovaj izraz upisujemo u stupac

Zbrajamo razlomke 5 + 8 = 13. Broj 13 neće stati u razlomak našeg odgovora, pa prvo zapišemo broj 3, a jedinicu premjestimo na sljedeću znamenku, odnosno prebacimo je na cijeli broj:

Sada zbrajamo cijele dijelove 9+2=11 plus jedinicu koju smo dobili prethodnom operacijom, dobivamo 12. Upisujemo broj 12 u cijeli dio našeg odgovora:

Odvojite cijeli dio od razlomka zarezom:

Dobili smo odgovor 12.3. To znači da je vrijednost izraza 9,5 + 2,8 12,3

9,5 + 2,8 = 12,3

Kod zbrajanja decimala, broj znamenki iza decimalne točke u oba razlomka mora biti isti. Ako nema dovoljno brojeva, tada se ta mjesta u razlomku popunjavaju nulama.

Primjer 5. Odredi vrijednost izraza: 12,725 + 1,7

Prije nego što zapišemo ovaj izraz u stupac, učinimo jednakim broj znamenki iza decimalne točke u oba razlomka. Decimalni razlomak 12,725 ima tri znamenke iza decimalne točke, ali razlomak 1,7 ima samo jednu. To znači da u razlomku 1.7 trebate dodati dvije nule na kraju. Tada dobivamo razlomak 1.700. Sada možete napisati ovaj izraz u stupac i početi računati:

Zbrojite tisućinke 5+0=5. Broj 5 upisujemo u tisućiti dio našeg odgovora:

Zbrojite stotinke 2+0=2. Upisujemo broj 2 u stoti dio našeg odgovora:

Zbrojite desetinke 7+7=14. Broj 14 neće stati ni u desetinu našeg odgovora. Stoga prvo zapisujemo broj 4, a jedinicu pomičemo na sljedeću znamenku:

Sada zbrajamo cijele dijelove 12+1=13 plus jedinicu koju smo dobili prethodnom operacijom, dobivamo 14. Upisujemo broj 14 u cijeli dio našeg odgovora:

Odvojite cijeli dio od razlomka zarezom:

Dobili smo odgovor od 14.425. To znači da je vrijednost izraza 12,725+1,700 14,425

12,725+ 1,700 = 14,425

Oduzimanje decimala

Pri oduzimanju decimalnih razlomaka morate slijediti ista pravila kao i kod zbrajanja: “zarez ispod decimalne točke” i “jednak broj znamenki iza decimalne točke”.

Primjer 1. Odredi vrijednost izraza 2,5 − 2,2

Ovaj izraz pišemo u stupac, poštujući pravilo "zarez ispod zareza":

Računamo razlomački dio 5−2=3. Upisujemo broj 3 u deseti dio našeg odgovora:

Računamo cjelobrojni dio 2−2=0. Upisujemo nulu u cijeli broj našeg odgovora:

Odvojite cijeli dio od razlomka zarezom:

Dobili smo odgovor 0,3. To znači da je vrijednost izraza 2,5 − 2,2 jednaka 0,3

2,5 − 2,2 = 0,3

Primjer 2. Odredite vrijednost izraza 7.353 - 3.1

Ovaj izraz ima različit broj decimalnih mjesta. Razlomak 7.353 ima tri znamenke iza decimalne točke, ali razlomak 3.1 ima samo jednu. To znači da u razlomku 3.1 trebate dodati dvije nule na kraju kako bi broj znamenki u oba razlomka bio isti. Onda dobijemo 3.100.

Sada možete napisati ovaj izraz u stupac i izračunati ga:

Dobili smo odgovor od 4.253. To znači da je vrijednost izraza 7,353 − 3,1 jednaka 4,253

7,353 — 3,1 = 4,253

Kao i kod običnih brojeva, ponekad ćete morati posuditi jedan od susjedne znamenke ako oduzimanje postane nemoguće.

Primjer 3. Odredi vrijednost izraza 3,46 − 2,39

Oduzmite stotinke od 6−9. Ne možete oduzeti broj 9 od broja 6. Dakle, morate posuditi jedan od susjedne znamenke. Posuđivanjem jedan od susjedne znamenke, broj 6 pretvara se u broj 16. Sada možete izračunati stotinke od 16−9=7. U stoti dio našeg odgovora upisujemo sedam:

Sada oduzimamo desetine. Budući da smo jednu jedinicu uzeli na desetom mjestu, brojka koja se tu nalazila smanjila se za jednu jedinicu. Drugim riječima, na mjestu desetinki sada nije broj 4, već broj 3. Izračunajmo desetinke od 3−3=0. U desetom dijelu našeg odgovora pišemo nulu:

Sada oduzimamo cijele dijelove 3−2=1. Upisujemo jedan u cijeli broj našeg odgovora:

Odvojite cijeli dio od razlomka zarezom:

Dobili smo odgovor od 1.07. To znači da je vrijednost izraza 3,46−2,39 jednaka 1,07

3,46−2,39=1,07

Primjer 4. Odredite vrijednost izraza 3−1.2

Ovaj primjer oduzima decimalu od cijelog broja. Zapišimo ovaj izraz u stupac tako da cijeli dio decimalnog razlomka 1,23 bude ispod broja 3

Neka sada broj znamenki iza decimalne točke bude isti. Da bismo to učinili, nakon broja 3 stavimo zarez i dodamo jednu nulu:

Sada oduzimamo desetine: 0−2. Ne možete oduzeti broj 2 od nule, morate posuditi jedan od susjedne znamenke. Nakon što je posudila jedan od susjedne znamenke, 0 se pretvara u broj 10. Sada možete izračunati desetine od 10−2=8. Upisujemo osmicu u deseti dio našeg odgovora:

Sada oduzimamo cijele dijelove. Ranije se broj 3 nalazio u cjelini, ali smo iz njega uzeli jednu jedinicu. Zbog toga se pretvorio u broj 2. Dakle, od 2 oduzimamo 1. 2−1=1. Upisujemo jedan u cijeli broj našeg odgovora:

Odvojite cijeli dio od razlomka zarezom:

Odgovor koji smo dobili je 1.8. To znači da je vrijednost izraza 3−1,2 1,8

Množenje decimala

Množenje decimala jednostavno je, pa čak i zabavno. Za množenje decimala, množite ih kao obične brojeve, zanemarujući zareze.

Nakon što ste dobili odgovor, potrebno je zarezom odvojiti cijeli dio od razlomka. Da biste to učinili, morate izbrojati broj znamenki iza decimalne točke u oba razlomka, zatim izbrojati isti broj znamenki s desne strane odgovora i staviti zarez.

Primjer 1. Odredi vrijednost izraza 2,5 × 1,5

Pomnožimo ove decimalne razlomke kao obične brojeve, zanemarujući zareze. Kako biste zanemarili zareze, možete privremeno zamisliti da ih uopće nema:

Dobili smo 375. U ovom broju potrebno je zarezom odvojiti cijeli dio od razlomka. Da biste to učinili, morate izbrojati broj znamenki nakon decimalne točke u razlomcima 2,5 i 1,5. Prvi razlomak ima jednu znamenku iza decimalne točke, drugi razlomak također ima jednu. Ukupno dva broja.

Vraćamo se na broj 375 i počinjemo se kretati s desna na lijevo. Trebamo izbrojati dvije znamenke udesno i staviti zarez:

Dobili smo odgovor 3,75. Dakle, vrijednost izraza 2,5 × 1,5 je 3,75

2,5 × 1,5 = 3,75

Primjer 2. Odredi vrijednost izraza 12,85 × 2,7

Pomnožimo ove decimalne razlomke, zanemarujući zareze:

Dobili smo 34695. U ovom broju potrebno je zarezom odvojiti cijeli dio od razlomaka. Da biste to učinili, trebate izbrojati broj znamenki nakon decimalne točke u razlomcima 12,85 i 2,7. Razlomak 12,85 ima dvije znamenke iza decimalne točke, a razlomak 2,7 jednu znamenku - ukupno tri znamenke.

Vraćamo se na broj 34695 i počinjemo se kretati s desna na lijevo. Trebamo izbrojati tri znamenke s desne strane i staviti zarez:

Dobili smo odgovor od 34.695. Dakle, vrijednost izraza 12,85 × 2,7 je 34,695

12,85 × 2,7 = 34,695

Množenje decimale regularnim brojem

Ponekad se pojave situacije kada trebate pomnožiti decimalni razlomak s običnim brojem.

Da biste pomnožili decimalu i broj, pomnožite ih ne obraćajući pažnju na zarez u decimali. Nakon što ste dobili odgovor, potrebno je zarezom odvojiti cijeli dio od razlomka. Da biste to učinili, trebate prebrojati broj znamenki iza decimalne točke u decimalnom razlomku, zatim izbrojati isti broj znamenki s desne strane u odgovoru i staviti zarez.

Na primjer, pomnožite 2,54 s 2

Pomnožite decimalni razlomak 2,54 s uobičajenim brojem 2, zanemarujući zarez:

Dobili smo broj 508. Kod ovog broja potrebno je zarezom odvojiti cijeli dio od razlomka. Da biste to učinili, trebate izbrojati broj znamenki iza decimalne točke u razlomku 2,54. Razlomak 2,54 ima dvije znamenke iza decimalne točke.

Vraćamo se na broj 508 i počinjemo se kretati s desna na lijevo. Trebamo izbrojati dvije znamenke udesno i staviti zarez:

Dobili smo odgovor od 5.08. Dakle, vrijednost izraza 2,54 × 2 je 5,08

2,54 × 2 = 5,08

Množenje decimala s 10, 100, 1000

Množenje decimala s 10, 100 ili 1000 radi se na isti način kao i množenje decimala običnim brojevima. Potrebno je izvršiti množenje, ne obraćajući pažnju na zarez u decimalnom razlomku, zatim u odgovoru odvojiti cijeli dio od razlomka, računajući s desne strane onoliko znamenki koliko je bilo znamenki iza decimalne točke.

Na primjer, pomnožite 2,88 s 10

Pomnožite decimalni razlomak 2,88 s 10, zanemarujući zarez u decimalnom razlomku:

Dobili smo 2880. U ovom broju potrebno je zarezom odvojiti cijeli dio od razlomka. Da biste to učinili, trebate izbrojati broj znamenki iza decimalne točke u razlomku 2,88. Vidimo da razlomak 2,88 ima dvije znamenke iza decimalne točke.

Vraćamo se na broj 2880 i počinjemo se kretati s desna na lijevo. Trebamo izbrojati dvije znamenke udesno i staviti zarez:

Dobili smo odgovor 28,80. Odbacimo posljednju nulu i dobijemo 28,8. To znači da je vrijednost izraza 2,88×10 28,8

2,88 × 10 = 28,8

Postoji drugi način množenja decimalnih razlomaka s 10, 100, 1000. Ova metoda je mnogo jednostavnija i praktičnija. Sastoji se od pomicanja decimalne točke udesno za onoliko znamenki koliko ima nula u faktoru.

Na primjer, riješimo prethodni primjer 2,88×10 na ovaj način. Bez ikakvih izračuna, odmah gledamo faktor 10. Zanima nas koliko u njemu ima nula. Vidimo da je u njemu jedna nula. Sada u razlomku 2,88 pomaknemo decimalni zarez za jednu znamenku udesno, dobivamo 28,8.

2,88 × 10 = 28,8

Pokušajmo 2,88 pomnožiti sa 100. Odmah gledamo faktor 100. Zanima nas koliko u njemu ima nula. Vidimo da su u njemu dvije nule. Sada u razlomku 2,88 pomaknemo decimalnu točku na dvije desne znamenke, dobivamo 288

2,88 × 100 = 288

Pokušajmo 2,88 pomnožiti s 1000. Odmah gledamo faktor 1000. Zanima nas koliko u njemu ima nula. Vidimo da su u njemu tri nule. Sada u razlomku 2,88 pomičemo decimalnu točku udesno za tri znamenke. Tu nema treće znamenke, pa dodajemo još jednu nulu. Kao rezultat, dobivamo 2880.

2,88 × 1000 = 2880

Množenje decimala s 0,1 0,01 i 0,001

Množenje decimala s 0,1, 0,01 i 0,001 funkcionira na isti način kao i množenje decimale s decimalom. Razlomke je potrebno množiti kao obične brojeve, a odgovor staviti zarez, računajući onoliko znamenki s desne strane koliko ima znamenki iza decimalne točke u oba razlomka.

Na primjer, pomnožite 3,25 s 0,1

Ove razlomke množimo kao obične brojeve, zanemarujući zareze:

Dobili smo 325. U ovom broju potrebno je zarezom odvojiti cijeli dio od razlomaka. Da biste to učinili, morate izbrojati broj znamenki nakon decimalne točke u razlomcima 3,25 i 0,1. Razlomak 3,25 ima dvije znamenke iza decimalne točke, a razlomak 0,1 jednu znamenku. Ukupno tri broja.

Vraćamo se na broj 325 i počinjemo se kretati s desna na lijevo. Trebamo izbrojati tri znamenke s desne strane i staviti zarez. Nakon odbrojavanja tri znamenke, nalazimo da su brojevi ponestali. U ovom slučaju morate dodati jednu nulu i dodati zarez:

Dobili smo odgovor 0,325. To znači da je vrijednost izraza 3,25 × 0,1 0,325

3,25 × 0,1 = 0,325

Postoji drugi način množenja decimala s 0,1, 0,01 i 0,001. Ova metoda je mnogo jednostavnija i praktičnija. Sastoji se od pomicanja decimalne točke ulijevo za onoliko znamenki koliko ima nula u faktoru.

Na primjer, riješimo prethodni primjer 3,25 × 0,1 na ovaj način. Bez ikakvih izračuna, odmah gledamo množitelj od 0,1. Zanima nas koliko u njemu ima nula. Vidimo da je u njemu jedna nula. Sada u razlomku 3,25 pomičemo decimalnu točku ulijevo za jednu znamenku. Pomicanjem zareza za jednu znamenku ulijevo vidimo da ispred trojke nema više znamenki. U tom slučaju dodajte jednu nulu i stavite zarez. Rezultat je 0,325

3,25 × 0,1 = 0,325

Pokušajmo pomnožiti 3,25 s 0,01. Odmah gledamo množitelj od 0,01. Zanima nas koliko u njemu ima nula. Vidimo da su u njemu dvije nule. Sada u razlomku 3,25 pomaknemo decimalnu točku ulijevo za dvije znamenke, dobivamo 0,0325

3,25 × 0,01 = 0,0325

Pokušajmo pomnožiti 3,25 s 0,001. Odmah gledamo množitelj od 0,001. Zanima nas koliko u njemu ima nula. Vidimo da su u njemu tri nule. Sada u razlomku 3,25 pomaknemo decimalnu točku ulijevo za tri znamenke, dobivamo 0,00325

3,25 × 0,001 = 0,00325

Nemojte brkati množenje decimala s 0,1, 0,001 i 0,001 s množenjem s 10, 100, 1000. Tipična pogreška za većinu ljudi.

Kod množenja s 10, 100, 1000 decimalna točka se pomiče udesno za onoliko znamenki koliko ima nula u množitelju.

A kod množenja s 0,1, 0,01 i 0,001, decimalna točka se pomiče ulijevo za onoliko znamenki koliko ima nula u množitelju.

Ako je u početku teško zapamtiti, možete koristiti prvu metodu, u kojoj se množenje izvodi kao s običnim brojevima. U odgovoru ćete morati odvojiti cijeli dio od razlomka računajući isti broj znamenki s desne strane koliko ima znamenki iza decimalne točke u oba razlomka.

Dijeljenje manjeg broja većim brojem. Napredna razina.

U jednoj od prethodnih lekcija rekli smo da se pri dijeljenju manjeg broja s većim brojem dobije razlomak čiji je brojnik djelitelj, a nazivnik djelitelj.

Na primjer, da biste podijelili jednu jabuku između dvoje ljudi, potrebno je u brojnik napisati 1 (jedna jabuka), a u nazivnik 2 (dva prijatelja). Kao rezultat, dobivamo razlomak. To znači da će svaki prijatelj dobiti jabuku. Drugim riječima, pola jabuke. Razlomak je odgovor na problem “kako podijeliti jednu jabuku na dvije”

Ispada da ovaj problem možete dodatno riješiti ako podijelite 1 s 2. Uostalom, razlomačka crta u bilo kojem razlomku znači dijeljenje, pa je stoga to dijeljenje dopušteno u razlomku. Ali kako? Navikli smo da je dividenda uvijek veća od djelitelja. Ali ovdje je, naprotiv, dividenda manja od djelitelja.

Sve će postati jasno ako se sjetimo da razlomak znači drobljenje, dijeljenje, dijeljenje. To znači da se jedinica može podijeliti na onoliko dijelova koliko želite, a ne samo na dva dijela.

Kada manji broj podijelite s većim brojem, dobit ćete decimalni razlomak u kojem je cijeli broj 0 (nula). Razlomak može biti bilo što.

Dakle, podijelimo 1 sa 2. Riješimo ovaj primjer s kutom:

Ne može se jedno potpuno podijeliti na dvoje. Ako postavite pitanje "Koliko dvojki ima u jednom" , tada će odgovor biti 0. Stoga u kvocijentu pišemo 0 i stavljamo zarez:

Sada, kao i obično, množimo količnik s djeliteljem da bismo dobili ostatak:

Došao je trenutak kada se jedinica može podijeliti na dva dijela. Da biste to učinili, dodajte još jednu nulu desno od rezultirajuće:

Dobili smo 10. Podijelimo 10 s 2, dobivamo 5. Peticu upisujemo u razlomak našeg odgovora:

Sada vadimo posljednji ostatak kako bismo dovršili izračun. Pomnožite 5 sa 2 da biste dobili 10

Dobili smo odgovor 0,5. Dakle, razlomak je 0,5

Polovica jabuke može se napisati i decimalnim razlomkom 0,5. Ako zbrojimo ove dvije polovice (0,5 i 0,5), opet dobivamo originalnu jednu cijelu jabuku:

Ovo se također može razumjeti ako zamislite kako je 1 cm podijeljen na dva dijela. Ako 1 centimetar podijelite na 2 dijela, dobit ćete 0,5 cm

Primjer 2. Odredi vrijednost izraza 4:5

Koliko petica ima u četvorci? Nimalo. U kvocijent upisujemo 0 i stavljamo zarez:

Pomnožimo 0 sa 5, dobijemo 0. Ispod četiri upišemo nulu. Odmah oduzmite ovu nulu od dividende:

Sada počnimo dijeliti (dijeliti) četvorku na 5 dijelova. Da biste to učinili, dodajte nulu desno od 4 i podijelite 40 s 5, dobit ćemo 8. U kvocijent upišemo osam.

Dovršavamo primjer množenjem 8 sa 5 da dobijemo 40:

Dobili smo odgovor 0,8. To znači da je vrijednost izraza 4:5 0,8

Primjer 3. Pronađite vrijednost izraza 5: 125

Koliko je brojeva 125 u pet? Nimalo. U kvocijent upisujemo 0 i stavljamo zarez:

Pomnožimo 0 sa 5, dobijemo 0. Ispod petice upišemo 0. Odmah oduzmite 0 od pet

Sada počnimo dijeliti (dijeliti) pet na 125 dijelova. Da bismo to učinili, pišemo nulu desno od ovih pet:

Podijeli 50 sa 125. Koliko je brojeva 125 u broju 50? Nimalo. Dakle, u kvocijentu ponovno pišemo 0

Pomnožimo 0 sa 125, dobit ćemo 0. Zapišite ovu nulu ispod 50. Odmah oduzmite 0 od 50

Sada podijelite broj 50 na 125 dijelova. Da bismo to učinili, pišemo još jednu nulu desno od 50:

Podijelite 500 sa 125. Koliko ima brojeva 125 u broju 500. U broju 500 nalaze se četiri broja 125. Upiši te četiri u kvocijent:

Dovršavamo primjer množenjem 4 sa 125 da bismo dobili 500

Dobili smo odgovor 0,04. To znači da je vrijednost izraza 5:125 0,04

Dijeljenje brojeva bez ostatka

Dakle, stavimo zarez iza jedinice u količniku, čime označavamo da je dijeljenje cjelobrojnih dijelova završeno i prelazimo na razlomački dio:

Dodajmo nulu ostatku 4

Sada podijelimo 40 sa 5, dobijemo 8. U kvocijent upišemo osam:

40−40=0. Ostalo nam je 0. To znači da je podjela u potpunosti završena. Dijeljenje 9 sa 5 daje decimalni razlomak 1,8:

9: 5 = 1,8

Primjer 2. Podijeli 84 sa 5 bez ostatka

Prvo podijelite 84 s 5 kao i obično s ostatkom:

Imamo 16 privatnih i još 4 su ostala. Sada podijelimo ovaj ostatak s 5. Stavite zarez u kvocijent, a ostatku 4 dodajte 0

Sada podijelimo 40 sa 5, dobivamo 8. Osam upisujemo u kvocijent iza decimalne točke:

i dovršite primjer provjerom postoji li još ostatak:

Dijeljenje decimale regularnim brojem

Decimalni razlomak, kao što znamo, sastoji se od cijelog i razlomka. Kada dijelite decimalni razlomak običnim brojem, prvo trebate:

• cijeli dio decimalnog ulomka podijeli s ovim brojem;
• nakon što je cijeli dio podijeljen, morate odmah staviti zarez u kvocijent i nastaviti s izračunom, kao kod normalnog dijeljenja.

Na primjer, podijelite 4,8 s 2

Napišimo ovaj primjer u kutu:

Sada podijelimo cijeli dio s 2. Četiri podijeljeno s dva jednako je dva. U količniku pišemo dva i odmah stavljamo zarez:

Sada pomnožimo količnik s djeliteljem i vidimo postoji li ostatak od dijeljenja:

4−4=0. Ostatak je nula. Nulu još ne zapisujemo jer rješenje nije dovršeno. Zatim nastavljamo računati kao kod običnog dijeljenja. Skinite 8 i podijelite ga s 2

8: 2 = 4. Četvorku upišemo u kvocijent i odmah pomnožimo s djeliteljem:

Dobili smo odgovor 2.4. Vrijednost izraza 4,8:2 je 2,4

Primjer 2. Odredite vrijednost izraza 8,43:3

Podijelimo 8 sa 3, dobivamo 2. Iza 2 odmah stavite zarez:

Sada množimo kvocijent djeliteljem 2 × 3 = 6. Ispod osmice upisujemo šesticu i nalazimo ostatak:

Podijelimo 24 s 3, dobijemo 8. U kvocijent upišemo osam. Odmah ga pomnožite s djeliteljem da biste dobili ostatak dijeljenja:

24−24=0. Ostatak je nula. Još ne zapisujemo nulu. Oduzimamo posljednja tri od dividende i dijelimo s 3, dobivamo 1. Odmah pomnožite 1 s 3 da dovršite ovaj primjer:

Dobili smo odgovor 2,81. To znači da je vrijednost izraza 8,43:3 2,81

Dijeljenje decimale decimalom

Da biste decimalni razlomak podijelili s decimalnim razlomkom, morate pomaknuti decimalnu točku u djelitelju i djelitelju udesno za isti broj znamenki koliko ima iza decimalne točke u djelitelju, a zatim podijeliti s uobičajenim brojem.

Na primjer, podijelite 5,95 s 1,7

Zapišimo ovaj izraz s kutom

Sada u dividendi i u djelitelju pomičemo decimalnu točku udesno za isti broj znamenki koliko ima iza decimalne točke u djelitelju. Djelitelj ima jednu znamenku iza decimalne točke. To znači da u djelitelju i djelitelju decimalnu točku moramo pomaknuti za jednu znamenku udesno. Prenosimo:

Nakon pomicanja decimalne točke udesno za jednu znamenku, decimalni razlomak 5,95 postao je razlomak 59,5. A decimalni razlomak 1,7 nakon pomicanja decimalne točke udesno za jednu znamenku pretvorio se u uobičajeni broj 17. A decimalni razlomak već znamo podijeliti običnim brojem. Daljnji izračun nije težak:

Zarez je pomaknut udesno radi lakšeg dijeljenja. To je dopušteno jer se pri množenju ili dijeljenju dividende i djelitelja istim brojem kvocijent ne mijenja. Što to znači?

Ovo je jedno od zanimljivih obilježja podjele. Naziva se svojstvom kvocijenta. Razmotrimo izraz 9: 3 = 3. Ako se u ovom izrazu dividenda i djelitelj pomnože ili podijele istim brojem, tada se kvocijent 3 neće promijeniti.

Pomnožimo dividendu i djelitelj s 2 i vidimo što je iz toga:

(9 × 2) : (3 × 2) = 18 : 6 = 3

Kao što se vidi iz primjera, kvocijent se nije promijenio.

Ista stvar se događa kada pomaknemo zarez u djelitelju i djelitelju. U prethodnom primjeru, gdje smo podijelili 5,91 s 1,7, pomaknuli smo zarez u djelitelju i djelitelju jednu znamenku udesno. Nakon pomicanja decimalne točke razlomak 5,91 pretvoren je u razlomak 59,1, a razlomak 1,7 u uobičajeni broj 17.

Zapravo, unutar ovog procesa bilo je množenje s 10. Ovako je to izgledalo:

5,91 × 10 = 59,1

Dakle, broj znamenki iza decimalne točke u djelitelju određuje čime će se djelitelj i djelitelj pomnožiti. Drugim riječima, broj znamenki iza decimalne točke u djelitelju odredit će koliko će znamenki u djelitelju iu djelitelju decimalna točka biti pomaknuta udesno.

Dijeljenje decimale s 10, 100, 1000

Dijeljenje decimale s 10, 100 ili 1000 izvodi se na isti način kao . Na primjer, podijelite 2,1 s 10. Riješite ovaj primjer pomoću kuta:

Ali postoji i drugi način. Lakši je. Suština ove metode je da se zarez u djelitelju pomakne ulijevo za onoliko znamenki koliko ima nula u djelitelju.

Riješimo prethodni primjer na ovaj način. 2.1: 10. Gledamo djelitelj. Zanima nas koliko u njemu ima nula. Vidimo da postoji jedna nula. To znači da u dividendi od 2,1 trebate pomaknuti decimalnu točku ulijevo za jednu znamenku. Pomaknemo zarez ulijevo za jednu znamenku i vidimo da više nema nijedne znamenke. U tom slučaju dodajte još jednu nulu prije broja. Kao rezultat dobivamo 0,21

Pokušajmo podijeliti 2,1 sa 100. Postoje dvije nule u 100. To znači da u dividendi 2.1 moramo pomaknuti zarez ulijevo za dvije znamenke:

2,1: 100 = 0,021

Pokušajmo podijeliti 2,1 s 1000. Postoje tri nule u 1000. To znači da u dividendi 2.1 trebate pomaknuti zarez ulijevo za tri znamenke:

2,1: 1000 = 0,0021

Dijeljenje decimale s 0,1, 0,01 i 0,001

Dijeljenje decimalnog razlomka s 0,1, 0,01 i 0,001 izvodi se na isti način kao . U djelitelju i u djelitelju decimalni zarez treba pomaknuti udesno za onoliko znamenki koliko ima iza decimalnog zareza u djelitelju.

Na primjer, podijelimo 6,3 s 0,1. Prije svega, pomaknimo zareze u djelitelju i djelitelju udesno za isti broj znamenki koliko ih ima iza decimalne točke u djelitelju. Djelitelj ima jednu znamenku iza decimalne točke. To znači da pomičemo zareze u djelitelju i djelitelju udesno za jednu znamenku.

Nakon pomicanja decimalnog zareza za jednu znamenku udesno, decimalni razlomak 6,3 postaje uobičajeni broj 63, a decimalni razlomak 0,1 nakon pomicanja decimalnog zareza za jednu znamenku udesno postaje jedan. A dijeljenje 63 s 1 vrlo je jednostavno:

To znači da je vrijednost izraza 6,3:0,1 63

Ali postoji i drugi način. Lakši je. Suština ove metode je da se zarez u djelitelju pomakne udesno za onoliko znamenki koliko ima nula u djelitelju.

Riješimo prethodni primjer na ovaj način. 6,3: 0,1. Pogledajmo djelitelj. Zanima nas koliko u njemu ima nula. Vidimo da postoji jedna nula. To znači da u dividendi od 6,3 trebate pomaknuti decimalnu točku udesno za jednu znamenku. Pomaknite zarez za jednu znamenku udesno i dobijete 63

Pokušajmo podijeliti 6,3 s 0,01. Djelitelj od 0,01 ima dvije nule. To znači da u dividendi 6.3 trebamo pomaknuti decimalnu točku udesno za dvije znamenke. Ali u dividendi postoji samo jedna znamenka iza decimalne točke. U tom slučaju na kraju morate dodati još jednu nulu. Kao rezultat dobivamo 630

Pokušajmo podijeliti 6,3 s 0,001. Djelitelj 0,001 ima tri nule. To znači da u dividendi 6.3 trebamo pomaknuti decimalnu točku udesno za tri znamenke:

6,3: 0,001 = 6300

Zadaci za samostalno rješavanje

Je li vam se svidjela lekcija?
Pridružite se našoj novoj grupi VKontakte i počnite primati obavijesti o novim lekcijama

U prošloj lekciji smo naučili kako zbrajati i oduzimati decimale (vidi lekciju “Zbrajanje i oduzimanje decimala”). Istodobno smo procijenili koliko su izračuni pojednostavljeni u usporedbi s običnim "dvokatnim" razlomcima.

Nažalost, ovaj se učinak ne pojavljuje kod množenja i dijeljenja decimala. U nekim slučajevima decimalni zapis čak komplicira ove operacije.

Prvo, uvedimo novu definiciju. Viđat ćemo ga dosta često, i to ne samo u ovoj lekciji.

Značajni dio broja je sve između prve i zadnje znamenke koja nije nula, uključujući krajeve. Govorimo samo o brojevima, decimalna točka se ne uzima u obzir.

Znamenke uključene u značajni dio broja nazivaju se značajnim znamenkama. Mogu se ponavljati i čak biti jednaki nuli.

Na primjer, razmotrite nekoliko decimalnih razlomaka i napišite odgovarajuće značajne dijelove:

1. 91,25 → 9125 (značajne brojke: 9; 1; 2; 5);
2. 0,008241 → 8241 (značajne brojke: 8; 2; 4; 1);
3. 15.0075 → 150075 (značajne brojke: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
4. 0,0304 → 304 (značajne brojke: 3; 0; 4);
5. 3000 → 3 (postoji samo jedna značajna brojka: 3).

Imajte na umu: nule unutar značajnog dijela broja ne idu nikamo. Već smo se susreli s nečim sličnim kada smo učili pretvarati decimalne razlomke u obične razlomke (vidi lekciju “Decimale”).

Ova točka je toliko važna, a pogreške se ovdje čine tako često, da ću objaviti test na ovu temu u bliskoj budućnosti. Obavezno vježbajte! A mi, naoružani konceptom značajnog dijela, nastavit ćemo, zapravo, s temom lekcije.

Množenje decimala

Operacija množenja sastoji se od tri uzastopna koraka:

1. Za svaki razlomak napiši značajni dio. Dobit ćete dva obična cijela broja - bez ikakvih nazivnika i decimalnih točaka;
2. Pomnožite ove brojeve na bilo koji prikladan način. Izravno, ako su brojevi mali, ili u stupcu. Dobivamo značajan dio željene frakcije;
3. Saznajte gdje je i za koliko znamenki decimalna točka u izvornim razlomcima pomaknuta da bi se dobio odgovarajući značajni dio. Izvršite obrnute pomake za značajan dio dobiven u prethodnom koraku.

Još jednom vas podsjećam da se nule na stranama značajnog dijela nikada ne uzimaju u obzir. Ignoriranje ovog pravila dovodi do pogrešaka.

1. 0,28 12,5;
2. 6,3 · 1,08;
3. 132,5 · 0,0034;
4. 0,0108 1600,5;
5. 5,25 · 10.000.

Radimo s prvim izrazom: 0,28 · 12,5.

1. Ispišimo značajne dijelove za brojeve iz ovog izraza: 28 i 125;
2. Njihov umnožak: 28 · 125 = 3500;
3. U prvom faktoru decimalna točka je pomaknuta za 2 znamenke udesno (0,28 → 28), au drugom je pomaknuta za još 1 znamenku. Ukupno vam je potreban pomak ulijevo za tri znamenke: 3500 → 3500 = 3,5.

Sada pogledajmo izraz 6.3 · 1.08.

1. Zapišimo značajne dijelove: 63 i 108;
2. Njihov umnožak: 63 · 108 = 6804;
3. Opet dva pomaka udesno: za 2 odnosno 1 znamenku. Ukupno - opet 3 znamenke udesno, tako da će obrnuti pomak biti 3 znamenke ulijevo: 6804 → 6,804. Ovaj put nema nula na kraju.

Došli smo do trećeg izraza: 132,5 · 0,0034.

1. Značajni dijelovi: 1325. i 34.;
2. Njihov umnožak: 1325 · 34 = 45 050;
3. U prvom se razlomku decimalna točka pomiče udesno za 1 znamenku, au drugom - za čak 4. Ukupno: 5 udesno. Pomaknemo se za 5 ulijevo: 45,050 → ,45050 = 0,4505. Nula je uklonjena na kraju, a dodana naprijed kako ne bi ostala “gola” decimalna točka.

Sljedeći izraz je: 0,0108 · 1600,5.

1. Zapisujemo značajne dijelove: 108 i 16 005;
2. Množimo ih: 108 · 16 005 = 1 728 540;
3. Brojimo brojeve iza decimalne točke: u prvom broju je 4, u drugom je 1. Ukupno je opet 5. Imamo: 1.728.540 → 17,28540 = 17,2854. Na kraju je uklonjena “extra” nula.

Konačno, posljednji izraz: 5,25 10,000.

1. Značajni dijelovi: 525 i 1;
2. Množimo ih: 525 · 1 = 525;
3. Prvi razlomak je pomaknut za 2 znamenke udesno, a drugi razlomak je pomaknut za 4 znamenke ulijevo (10 000 → 1,0000 = 1). Ukupno 4 − 2 = 2 znamenke lijevo. Vršimo obrnuti pomak za 2 znamenke udesno: 525, → 52 500 (morali smo dodati nule).

Napomena u posljednjem primjeru: budući da se decimalna točka pomiče u različitim smjerovima, ukupni pomak se nalazi kroz razliku. Ovo je vrlo važna točka! Evo još jednog primjera:

Uzmimo u obzir brojeve 1,5 i 12 500: 1,5 → 15 (pomakni za 1 udesno); 12 500 → 125 (pomak 2 ulijevo). „Koračimo“ 1 znamenku udesno, a zatim 2 ulijevo. Kao rezultat, pomaknuli smo se 2 − 1 = 1 znamenku ulijevo.

Decimalno dijeljenje

Podjela je možda najteža operacija. Naravno, ovdje možete djelovati analogno množenju: podijelite značajne dijelove, a zatim "pomaknite" decimalnu točku. Ali u ovom slučaju pojavljuju se mnoge suptilnosti koje negiraju potencijalne uštede.

Stoga, pogledajmo univerzalni algoritam, koji je malo dulji, ali puno pouzdaniji:

1. Pretvorite sve decimalne razlomke u obične razlomke. Uz malo vježbe, ovaj korak će vam oduzeti nekoliko sekundi;
2. Dobivene razlomke podijelite na klasičan način. Drugim riječima, pomnožite prvi razlomak s "obrnutim" drugim (pogledajte lekciju "Množenje i dijeljenje brojčanih razlomaka");
3. Ako je moguće, ponovno predstavite rezultat kao decimalni razlomak. Ovaj je korak također brz, budući da je nazivnik često već potencija broja deset.

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

1. 3,51: 3,9;
2. 1,47: 2,1;
3. 6,4: 25,6:
4. 0,0425: 2,5;
5. 0,25: 0,002.

Razmotrimo prvi izraz. Prvo, pretvorimo razlomke u decimale:

Učinimo isto s drugim izrazom. Brojnik prvog razlomka će se ponovno faktorizirati:

U trećem i četvrtom primjeru postoji važna točka: nakon uklanjanja decimalnog zapisa pojavljuju se reduktibilni razlomci. Međutim, nećemo izvršiti ovo smanjenje.

Zadnji primjer je zanimljiv jer brojnik drugog razlomka sadrži prost broj. Ovdje se jednostavno nema što faktorizirati, pa to razmatramo izravno:

Ponekad dijeljenje rezultira cijelim brojem (govorim o zadnjem primjeru). U tom slučaju treći korak se uopće ne izvodi.

Osim toga, prilikom dijeljenja često nastaju "ružni" razlomci koji se ne mogu pretvoriti u decimale. Ovo razlikuje dijeljenje od množenja, gdje su rezultati uvijek predstavljeni u decimalnom obliku. Naravno, u ovom slučaju zadnji korak se opet ne izvodi.

Obratite pozornost i na 3. i 4. primjer. U njima namjerno ne reduciramo obične razlomke dobivene iz decimala. U suprotnom, ovo će zakomplicirati inverzni zadatak - ponovno predstavljanje konačnog odgovora u decimalnom obliku.

Upamtite: osnovno svojstvo razlomka (kao i bilo koje drugo pravilo u matematici) samo po sebi ne znači da se mora primjenjivati ​​svugdje i uvijek, u svakoj prilici.

Dijeljenje decimalnim razlomkom svodi se na dijeljenje prirodnim brojem.

Pravilo dijeljenja broja decimalnim razlomkom

Da biste broj podijelili decimalnim razlomkom, trebate pomaknuti zarez i u djelitelju i u djelitelju udesno za onoliko znamenki koliko ima djelitelja iza decimalne točke. Nakon toga podijelite s prirodnim brojem.

Primjeri.

Podijeli decimalnim razlomkom:

Za dijeljenje s decimalom potrebno je pomaknuti decimalnu točku i u djelitelju i u djelitelju za onoliko znamenki udesno koliko ih ima iza decimalne točke u djelitelju, odnosno za jednu znamenku. Dobivamo: 35,1: 1,8 = 351: 18. Sada izvodimo podjelu s kutom. Kao rezultat, dobivamo: 35,1: 1,8 = 19,5.

2) 14,76: 3,6

Za dijeljenje decimalnih razlomaka, iu djelitelju iu djelitelju pomaknemo decimalni zarez jedno mjesto udesno: 14,76 : 3,6 = 147,6 : 36. Sada izvodimo prirodni broj. Rezultat: 14,76 : 3,6 = 4,1.

Da biste prirodni broj podijelili decimalnim razlomkom, potrebno je i djelitelj i djelitelj pomaknuti udesno za onoliko mjesta koliko u djelitelju ima iza decimalne točke. Budući da se u ovom slučaju u djelitelju ne piše zarez, broj znakova koji nedostaju dopunjavamo nulama: 70 : 1,75 = 7000 : 175. Dobivene prirodne brojeve podijelimo kutom: 70 : 1,75 = 7000 : 175 = 40 .

4) 0,1218: 0,058

Da biste podijelili jedan decimalni razlomak s drugim, pomaknite decimalnu točku udesno i kod djelitelja i kod djelitelja za onoliko znamenki koliko ima djelitelja iza decimalne točke, odnosno za tri znamenke. Dakle, 0,1218 : 0,058 = 121,8 : 58. Dijeljenje decimalnim razlomkom zamijenjeno je dijeljenjem prirodnim brojem. Dijelimo kutak. Imamo: 0,1218 : 0,058 = 121,8 : 58 = 2,1.

5) 0,0456: 3,8