Decimalni razlomci na ruskom. Decimalni koncept

Ovaj članak govori o decimale. Ovdje ćemo razumjeti decimalni zapis razlomaka, uvesti pojam decimalnog razlomka i dati primjere decimalnog razlomka. Zatim ćemo govoriti o znamenkama decimalnih razlomaka i dati nazive znamenki. Nakon ovoga, usredotočit ćemo se na beskonačne decimalne razlomke, razgovarajmo o periodičnim i neperiodičnim razlomcima. Zatim navodimo osnovne operacije s decimalnim razlomcima. Zaključno, odredimo položaj decimalnih razlomaka na koordinatnoj gredi.

Navigacija po stranici.

Decimalni zapis frakcijskog broja

Čitanje decimala

Recimo nekoliko riječi o pravilima čitanja decimalnih razlomaka.

Decimalni razlomci, koji odgovaraju pravim običnim razlomcima, čitaju se na isti način kao i ti obični razlomci, samo se prvo dodaje “nula cijeli broj”. Na primjer, decimalni razlomak 0,12 odgovara običnom razlomku 12/100 (čita se "dvanaest stotinki"), stoga se 0,12 čita kao "nulta točka dvanaest stotinki".

Decimalni razlomci koji odgovaraju miješanim brojevima čitaju se potpuno isto kao i ti miješani brojevi. Na primjer, decimalni razlomak 56,002 odgovara mješovitom broju, pa se decimalni razlomak 56,002 čita kao "pedeset šest zarez dvije tisućinke".

Mjesta u decimalama

U pisanju decimalnih razlomaka, kao iu pisanju prirodnih brojeva, značenje svake znamenke ovisi o njezinom položaju. Doista, broj 3 u decimalnom razlomku 0,3 znači tri desetinke, u decimalnom razlomku 0,0003 - tri desettisućinke, a u decimalnom razlomku 30.000,152 - tri desetke tisuća. Dakle, možemo razgovarati o decimalna mjesta, kao i o znamenkama u prirodnim brojevima.

Nazivi znamenki u decimalnom razlomku do decimalne točke potpuno se podudaraju s nazivima znamenki u prirodnim brojevima. A nazivi decimalnih mjesta iza decimalne točke mogu se vidjeti iz sljedeće tablice.

Na primjer, u decimalnom razlomku 37.051 znamenka 3 nalazi se na mjestu desetica, 7 je na mjestu jedinica, 0 je na mjestu desetinki, 5 je na mjestu stotinki, a 1 je na mjestu tisućinki.

Mjesta u decimalnim razlomcima također se razlikuju po prioritetu. Ako se pri pisanju decimalnog razlomka krećemo od znamenke do znamenke slijeva nadesno, tada ćemo se kretati od seniori Do mlađi činovi. Na primjer, mjesto stotica je starije od mjesta desetinki, a mjesto milijuna je niže od mjesta stotinki. U danom konačnom decimalnom razlomku možemo govoriti o velikim i sporednim znamenkama. Na primjer, u decimalnom razlomku 604,9387 viši (najviši) mjesto je mjesto stotine, i junior (najniži)- znamenka desettisućinki.

Za decimalne razlomke dolazi do proširenja u znamenke. Slično je proširenju znamenkama prirodnih brojeva. Na primjer, proširenje u decimalna mjesta od 45,6072 je sljedeće: 45,6072=40+5+0,6+0,007+0,0002. A svojstva zbrajanja iz rastavljanja decimalnog razlomka na znamenke omogućuju vam da prijeđete na druge prikaze ovog decimalnog razlomka, na primjer, 45,6072=45+0,6072, ili 45,6072=40,6+5,007+0,0002, ili 45,6072= 45,0072+ 0.6.

Završne decimale

Do sada smo govorili samo o decimalnim razlomcima, u čijem zapisu iza decimalne točke stoji konačan broj znamenki. Takvi se razlomci nazivaju konačnim decimalama.

Definicija.

Završne decimale- To su decimalni razlomci, čiji zapisi sadrže konačan broj znakova (znamenki).

Evo nekoliko primjera konačnih decimalnih razlomaka: 0,317, 3,5, 51,1020304958, 230 032,45.

Međutim, ne može se svaki razlomak predstaviti kao konačna decimala. Na primjer, razlomak 5/13 ne može se zamijeniti jednakim razlomkom s jednim od nazivnika 10, 100, ..., dakle, ne može se pretvoriti u konačni decimalni razlomak. O tome ćemo više govoriti u teoretskom dijelu, pretvarajući obične razlomke u decimale.

Beskonačne decimale: periodični i neperiodični razlomci

U pisanju decimalnog razlomka iza decimalne točke može se pretpostaviti mogućnost beskonačnog broja znamenki. U ovom slučaju ćemo doći do razmatranja takozvanih beskonačnih decimalnih razlomaka.

Definicija.

Beskonačne decimale- To su decimalni razlomci, koji sadrže beskonačan broj znamenki.

Jasno je da beskonačne decimalne razlomke ne možemo zapisati u punom obliku, pa se u njihovom zapisu ograničavamo samo na određeni konačni broj znamenki iza decimalne točke i stavljamo elipsu koja označava beskonačno kontinuirani niz znamenki. Evo nekoliko primjera beskonačnih decimalnih razlomaka: 0,143940932…, 3,1415935432…, 153,02003004005…, 2,111111111…, 69,74152152152….

Ako pažljivo pogledate posljednja dva beskonačna decimalna razlomka, tada se u razlomku 2,111111111... jasno vidi beskrajno ponavljajući broj 1, a u razlomku 69,74152152152..., počevši od treće decimale, ponavljajuća skupina brojeva 1, 5 i 2 je jasno vidljiv. Takvi beskonačni decimalni razlomci nazivaju se periodični.

Definicija.

Periodične decimale(ili jednostavno periodični razlomci) su beskonačni decimalni razlomci, u čijem se zapisu, počevši od određenog decimalnog mjesta, beskonačno ponavlja neki broj ili skupina brojeva, što se naziva period razlomka.

Na primjer, period periodičnog razlomka 2,111111111... je znamenka 1, a period razlomka 69,74152152152... je skupina znamenki oblika 152.

Za beskonačne periodične decimalne razlomke usvojen je poseban oblik zapisa. Radi sažetosti, dogovorili smo se da točku zapišemo jednom, u zagradama. Na primjer, periodni razlomak 2,111111111... zapisan je kao 2,(1) , a periodni razlomak 69,74152152152... zapisan je kao 69,74(152) .

Vrijedno je napomenuti da se za isti periodički decimalni razlomak mogu odrediti različita razdoblja. Na primjer, periodični decimalni razlomak 0,73333... može se smatrati razlomkom 0,7(3) s periodom 3, a također i kao razlomak 0,7(33) s periodom 33, i tako dalje 0,7(333), 0,7 (3333), ... Također možete pogledati periodični razlomak 0,73333 ... ovako: 0,733(3), ili ovako 0,73(333), itd. Ovdje, kako bismo izbjegli dvosmislenost i nedosljednosti, slažemo se da periodom decimalnog razlomka smatramo najkraći od svih mogućih nizova ponavljajućih znamenki, počevši od najbližeg položaja do decimalne točke. Odnosno, period decimalnog razlomka 0,73333... smatrat ćemo nizom jedne znamenke 3, a periodičnost počinje od drugog mjesta iza decimalnog zareza, odnosno 0,73333...=0,7(3). Drugi primjer: periodični razlomak 4,7412121212... ima period 12, periodičnost počinje od treće znamenke iza decimalne točke, odnosno 4,7412121212...=4,74(12).

Beskonačni decimalni periodični razlomci dobivaju se pretvaranjem u decimalne razlomke običnih razlomaka čiji nazivnici sadrže proste faktore različite od 2 i 5.

Ovdje vrijedi spomenuti periodične razlomke s periodom 9. Navedimo primjere takvih razlomaka: 6.43(9) , 27,(9) . Ovi razlomci su još jedna oznaka za periodične razlomke s periodom 0, a obično se zamjenjuju periodičkim razlomcima s periodom 0. Da biste to učinili, razdoblje 9 zamjenjuje se razdobljem 0, a vrijednost sljedeće najviše znamenke povećava se za jedan. Na primjer, razlomak s periodom 9 oblika 7,24(9) zamjenjuje se periodičnim razlomkom s periodom 0 oblika 7,25(0) ili jednakim konačnim decimalnim razlomkom 7,25. Drugi primjer: 4,(9)=5,(0)=5. Jednakost razlomka s periodom 9 i njemu odgovarajućeg razlomka s periodom 0 lako se utvrđuje nakon zamjene tih decimalnih razlomaka jednakim običnim razlomcima.

Konačno, pogledajmo pobliže beskonačne decimalne razlomke, koji ne sadrže beskrajno ponavljajući niz znamenki. Zovu se neperiodični.

Definicija.

Decimale koje se ne ponavljaju(ili jednostavno neperiodični razlomci) su beskonačni decimalni razlomci koji nemaju točku.

Ponekad neperiodični razlomci imaju oblik sličan obliku periodičnih razlomaka, na primjer, 8,02002000200002... je neperiodički razlomak. U tim slučajevima trebate biti posebno oprezni kako biste uočili razliku.

Imajte na umu da se neperiodični razlomci ne pretvaraju u obične razlomke; beskonačni neperiodični decimalni razlomci predstavljaju iracionalne brojeve.

Operacije s decimalama

Jedna od operacija s decimalnim razlomcima je uspoređivanje, a definirane su i četiri osnovne aritmetičke funkcije operacije s decimalama: zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje. Razmotrimo zasebno svaku od akcija s decimalnim razlomcima.

Usporedba decimala uglavnom se temelji na usporedbi običnih razlomaka koji odgovaraju decimalnim razlomcima koji se uspoređuju. Međutim, pretvaranje decimalnih razlomaka u obične razlomke prilično je naporan proces, a beskonačni neperiodični razlomci ne mogu se prikazati kao obični razlomci, pa je zgodno koristiti mjesnu usporedbu decimalnih razlomaka. Usporedba decimalnih razlomaka po mjestima slična je usporedbi prirodnih brojeva. Za detaljnije informacije preporučujemo proučavanje članka: usporedba decimalnih ulomaka, pravila, primjeri, rješenja.

Prijeđimo na sljedeći korak - množenje decimala. Množenje konačnih decimalnih razlomaka provodi se slično oduzimanju decimalnih razlomaka, pravila, primjeri, rješenja množenja stupcem prirodnih brojeva. U slučaju periodičnih razlomaka množenje se može svesti na množenje običnih razlomaka. Zauzvrat, množenje beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka nakon njihovog zaokruživanja svodi se na množenje konačnih decimalnih razlomaka. Preporučujemo za daljnje proučavanje materijala u članku: množenje decimalnih ulomaka, pravila, primjeri, rješenja.

Decimale na koordinatnoj zraci

Postoji korespondencija jedan na jedan između točaka i decimala.

Odgonetnimo kako se konstruiraju točke na koordinatnoj zraci koje odgovaraju danom decimalnom razlomku.

Konačne decimalne razlomke i beskonačne periodične decimalne razlomke možemo zamijeniti jednakim običnim razlomcima, a zatim konstruirati odgovarajuće obične razlomke na koordinatnoj zraci. Na primjer, decimalni razlomak 1.4 odgovara običnom razlomku 14/10, tako da je točka s koordinatom 1.4 udaljena od ishodišta u pozitivnom smjeru za 14 segmenata jednakih desetini jediničnog segmenta.

Decimalni razlomci mogu se označiti na koordinatnoj zraci, počevši od rastavljanja zadanog decimalnog razlomka na znamenke. Na primjer, trebamo izgraditi točku s koordinatom 16.3007, budući da je 16.3007=16+0.3+0.0007, tada možemo doći do ove točke uzastopnim polaganjem 16 jediničnih segmenata iz ishodišta koordinata, 3 segmenta čija je duljina jednaka desetini jedinice i 7 odsječaka čija je duljina jednaka desettisućitom dijelu jediničnog odsječka.

Ova metoda konstruiranja decimalnih brojeva na koordinatnoj zraci omogućuje vam da se koliko god želite približite točki koja odgovara beskonačnom decimalnom razlomku.

Ponekad je moguće točno iscrtati točku koja odgovara beskonačnom decimalnom razlomku. Na primjer, , tada ovaj beskonačni decimalni razlomak 1,41421... odgovara točki na koordinatnoj zraci, udaljenoj od ishodišta koordinata za duljinu dijagonale kvadrata sa stranicom od 1 jediničnog segmenta.

Obrnuti proces dobivanja decimalnog razlomka koji odgovara zadanoj točki na koordinatnoj zraci je tzv. decimalna mjera segmenta. Hajde da shvatimo kako se to radi.

Neka nam je zadatak doći od ishodišta do zadane točke na koordinatnoj liniji (ili joj se beskonačno približavati ako do nje ne možemo doći). S decimalnim mjerenjem segmenta, možemo sekvencijalno odložiti iz ishodišta bilo koji broj jediničnih segmenata, zatim segmenata čija je duljina jednaka desetinki jedinice, zatim segmenata čija je duljina jednaka stotinki jedinice, itd. Bilježenjem broja odsječaka svake dužine ostavljenih na stranu, dobivamo decimalni razlomak koji odgovara danoj točki na koordinatnoj zraci.

Na primjer, da biste došli do točke M na gornjoj slici, trebate izdvojiti 1 jedinični segment i 4 segmenta čija je duljina jednaka desetini jedinice. Dakle, točka M odgovara decimalnom razlomku 1,4.

Jasno je da točke koordinatne zrake koje se ne mogu dosegnuti u procesu decimalnog mjerenja odgovaraju beskonačnim decimalnim razlomcima.

Bibliografija.

Matematika: udžbenik za 5. razred. opće obrazovanje ustanove / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 str.: ilustr. ISBN 5-346-00699-0.
Matematika. 6. razred: obrazovni. za opće obrazovanje ustanove / [N. Ya. Vilenkin i drugi]. - 22. izdanje, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-00897-2.
Algebra: udžbenik za 8. razred. opće obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uredio S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M.: Obrazovanje, 2008. - 271 str. : ilustr. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; viši škola, 1984.-351 str., ilustr.

Obični razlomak (ili mješoviti broj) u kojem je nazivnik jedan iza kojeg slijedi jedna ili više nula (tj. 10, 100, 1000, itd.):

može se napisati u jednostavnijem obliku: bez nazivnika, odvajajući cijeli i razlomački dio jedan od drugog zarezom (u tom slučaju se smatra da je cijeli dio pravilnog razlomka jednak 0). Prvo se piše cijeli dio, zatim se stavlja zarez, a iza njega razlomak:

Obični razlomci (ili mješoviti brojevi) napisani u ovom obliku nazivaju se decimale.

Čitanje i pisanje decimala

Decimalni razlomci se pišu prema istim pravilima kao i prirodni brojevi u decimalnom brojevnom sustavu. To znači da u decimalama, kao iu prirodnim brojevima, svaka znamenka izražava jedinice koje su deset puta veće od susjednih jedinica s desne strane.

Razmotrite sljedeći unos:

Broj 8 označava proste jedinice. Broj 3 označava jedinice koje su 10 puta manje od jednostavnih jedinica, tj. desetina. 4 znači stotinke, 2 tisućinke, itd.

Nazivaju se brojevi koji se pojavljuju desno iza decimalne točke decimale.

Decimalni razlomci se čitaju na sljedeći način: prvo se zove cijeli dio, a zatim razlomak. Pri čitanju cijelog dijela uvijek treba odgovoriti na pitanje: koliko cijelih jedinica ima cijeli dio? . Odgovoru se dodaje riječ cjelina (ili cijeli broj), ovisno o broju cijelih jedinica. Na primjer, jedan cijeli broj, dva cijela broja, tri cijela broja, itd. Kod čitanja razlomaka proziva se broj dionica i na kraju se dodaje naziv onih dionica kojima završava razlomački dio:

3.1 glasi ovako: tri zarez jedna desetina.

2.017 glasi ovako: dva zareza sedamnaest tisućinki.

Da biste bolje razumjeli pravila pisanja i čitanja decimalnih razlomaka, razmotrite tablicu znamenki i primjere pisanja brojeva danih u njoj:

Imajte na umu da iza decimalne zareze ima onoliko znamenki iza decimalne zareze koliko ima nula u nazivniku odgovarajućeg običnog razlomka:

Decimalni razlomci su isti kao i obični razlomci, ali u takozvanom decimalnom zapisu. Decimalni zapis koristi se za razlomke s nazivnicima 10, 100, 1000 itd. Umjesto razlomaka, 1/10; 1/100; 1/1000; ... napisati 0,1; 0,01; 0,001;... .

Na primjer, 0,7 ( nula točka sedam) je razlomak 7/10; 5,43 ( pet zarez četrdeset tri) je mješoviti razlomak 5 43/100 (ili, što je isto, nepravi razlomak 543/100).

Može se dogoditi da odmah iza decimalne točke stoji jedna ili više nula: 1,03 je razlomak 1 3/100; 17,0087 je razlomak 17 87/10000. Opće pravilo je: nazivnik običnog razlomka mora imati onoliko nula koliko ima znamenki iza decimalne točke u decimalnom razlomku.

Decimalni razlomak može završiti jednom ili više nula. Ispada da su te nule "ekstra" - mogu se jednostavno ukloniti: 1,30 = 1,3; 5,4600 = 5,46; 3000 = 3. Odgonetnite zašto je to tako?

Decimale prirodno nastaju prilikom dijeljenja s “okruglim” brojevima - 10, 100, 1000, ... Svakako razumite sljedeće primjere:

27:10 = 27/10 = 2 7/10 = 2,7;

579:100 = 579/100 = 5 79/100 = 5,79;

33791:1000 = 33791/1000 = 33 791/1000 = 33,791;

34,9:10 = 349/10:10 = 349/100 = 3,49;

6,35:100 = 635/100:100 = 635/10000 = 0,0635.

Primjećujete li ovdje obrazac? Pokušajte to formulirati. Što se događa ako decimalni razlomak pomnožite s 10, 100, 1000?

Da biste obični razlomak pretvorili u decimalni, trebate ga svesti na neki "okrugli" nazivnik:

2/5 = 4/10 = 0,4; 11/20 = 55/100 = 0,55; 9/2 = 45/10 = 4,5, itd.

Zbrajanje decimala puno je lakše nego zbrajanje razlomaka. Zbrajanje se izvodi na isti način kao i kod običnih brojeva - prema odgovarajućim znamenkama. Kod zbrajanja u stupcu pojmove je potrebno pisati tako da im zarezi budu na istoj okomici. Zarez zbroja također će biti na istoj okomici. Na potpuno isti način izvodi se oduzimanje decimalnih razlomaka.

Ako je pri zbrajanju ili oduzimanju u jednom od razlomaka broj znamenki iza decimalne točke manji nego u drugom, tada na kraj tog razlomka treba dodati potreban broj nula. Ove nule ne možete zbrajati, već ih jednostavno zamislite u svom umu.

Kod množenja decimalnih razlomaka treba ih ponovno množiti kao obične brojeve (ispod decimalne točke više nije potrebno pisati zarez). U dobivenom rezultatu morate zarezom odvojiti broj znamenki jednak ukupnom broju decimalnih mjesta u oba faktora.

Kada dijelite decimalne razlomke, možete istovremeno pomaknuti decimalnu točku u djelitelju i djelitelju udesno za isti broj mjesta: to neće promijeniti kvocijent:

2,8:1,4 = 2,8/1,4 = 28/14 = 2;

4,2:0,7 = 4,2/0,7 = 42/7 = 6;

6:1,2 = 6,0/1,2 = 60/12 = 5.

Objasnite zašto je to tako?

Nacrtajte kvadrat 10x10. Obojite neki njegov dio jednak: a) 0,02; b) 0,7; c) 0,57; d) 0,91; e) 0,135 površine cijelog kvadrata.
Koliko je 2,43 kvadrata? Nacrtaj to na slici.
Podijelite broj 37 s 10; 795; 4; 2.3; 65.27; 0,48 i rezultat zapiši kao decimalni razlomak. Iste brojeve podijelite sa 100 i 1000.
Pomnožite brojeve 4,6 s 10; 6.52; 23.095; 0,01999. Pomnožite iste brojeve sa 100 i 1000.
Predstavite decimalu kao razlomak i smanjite je:
a) 0,5; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8;
b) 0,25; 0,75; 0,05; 0,35; 0,025;
c) 0,125; 0,375; 0,625; 0,875;
d) 0,44; 0,26; 0,92; 0,78; 0,666; 0,848.
Prisutan kao miješana frakcija: 1,5; 3.2; 6,6; 2.25; 10.75; 4.125; 23.005; 7.0125.
Izrazi razlomak kao decimalu:
a) 1/2; 3/2; 7/2; 15/2; 1/5; 3/5; 4/5; 18/5;
b) 1/4; 3/4; 5/4; 19/4; 1/20; 7/20; 49/20; 1/25; 13/25; 77/25; 1/50; 17/50; 137/50;
c) 1/8; 3/8; 5/8; 7/8; 11/8; 125/8; 1/16; 5/16; 9/16; 23/16;
d) 1/500; 3/250; 71/200; 9/125; 27/2500; 1999/2000.
Nađi zbroj: a) 7,3+12,8; b) 65,14+49,76; c) 3,762+12,85; d) 85,4+129,756; e) 1,44+2,56.
Zamislite jedan kao zbroj dviju decimala. Pronađite još dvadeset načina ovog prikaza.
Pronađite razliku: a) 13,4–8,7; b) 74,52–27,04; c) 49,736–43,45; d) 127,24–93,883; e) 67–52,07; e) 35.24-34.9975.
Nađi umnožak: a) 7,6·3,8; b) 4,8·12,5; c) 2,39·7,4; d) 3,74·9,65.

razlomački broj.

Decimalni zapis frakcijskog broja je skup od dvije ili više znamenki od $0$ do $9$, između kojih se nalazi takozvani \textit (decimalna točka).

Primjer 1

Na primjer, 35,02 USD; 100,7 dolara; $123\456,5 $; 54,89 dolara.

Krajnja lijeva znamenka u decimalnom zapisu broja ne može biti nula, jedina iznimka je kada je decimalna točka odmah iza prve znamenke $0$.

Primjer 2

Na primjer, $0,357$; 0,064 dolara.

Često se decimalna točka zamjenjuje decimalnom točkom. Na primjer, 35,02 USD; 100,7 dolara; $123\456,5$; 54,89 dolara.

Decimalna definicija

Definicija 1

Decimale-- ovo su razlomački brojevi koji su predstavljeni u decimalnom zapisu.

Na primjer, 121,05 dolara; 67,9 dolara; 345,6700 dolara.

Decimale se koriste za kompaktnije pisanje pravih razlomaka, čiji su nazivnici brojevi $10$, $100$, $1\000$ itd. i mješoviti brojevi, čiji su nazivnici razlomljenog dijela brojevi $10$, $100$, $1\000$ itd.

Na primjer, obični razlomak $\frac(8)(10)$ može se zapisati kao decimalno $0,8$, a mješoviti broj $405\frac(8)(100)$ može se zapisati kao decimalno $405,08$.

Čitanje decimala

Decimalni razlomci, koji odgovaraju pravilnim razlomcima, čitaju se isto kao i obični razlomci, samo se ispred dodaje izraz "nula cijeli broj". Na primjer, obični razlomak $\frac(25)(100)$ (čitaj "dvadeset pet stotinki") odgovara decimalnom razlomku $0,25$ (čitaj "nula zarez dvadeset pet stotinki").

Decimalni razlomci koji odgovaraju mješovitim brojevima čitaju se na isti način kao i mješoviti brojevi. Na primjer, mješoviti broj $43\frac(15)(1000)$ odgovara decimalnom razlomku $43,015$ (čitaj "četrdeset tri zarez petnaest tisućitih").

Mjesta u decimalama

U pisanju decimalnog razlomka značenje svake znamenke ovisi o njezinu položaju. Oni. u decimalnim razlomcima koncept također vrijedi kategorija.

Mjesta u decimalnim razlomcima do decimalne točke nazivaju se isto kao i mjesta u prirodnim brojevima. Decimala iza decimalne točke navedena su u tablici:

Slika 1.

Primjer 3

Na primjer, u decimalnom razlomku $56.328$, znamenka $5$ je na mjestu desetica, $6$ je na mjestu jedinica, $3$ je na mjestu desetinki, $2$ je na mjestu stotinki, $8$ je na mjestu tisućinki. mjesto.

Mjesta u decimalnim razlomcima razlikuju se po prioritetu. Kad čitate decimalni razlomak, pomaknite se s lijeva na desno - od stariji rangirati do mlađi.

Primjer 4

Na primjer, u decimalnom razlomku $56,328$, najznačajnije (najviše) mjesto je mjesto desetica, a niže (najniže) mjesto je mjesto tisućinki.

Decimalni se razlomak može rastaviti na znamenke slično rastavljanju prirodnog broja na znamenke.

Primjer 5

Na primjer, raščlanimo decimalni razlomak $37,851$ na znamenke:

$37,851=30+7+0,8+0,05+0,001$

Završne decimale

Definicija 2

Završne decimale nazivaju se decimalni razlomci, čiji zapisi sadrže konačan broj znakova (znamenki).

Na primjer, $0,138$; 5,34 dolara; 56,123456 dolara; 350.972,54 dolara.

Bilo koji konačni decimalni razlomak može se pretvoriti u razlomak ili mješoviti broj.

Primjer 6

Na primjer, konačni decimalni razlomak $7,39$ odgovara razlomku $7\frac(39)(100)$, a konačni decimalni razlomak $0,5$ odgovara pravilnom običnom razlomku $\frac(5)(10)$ (ili bilo koji razlomak koji mu je jednak, na primjer, $\frac(1)(2)$ ili $\frac(10)(20)$.

Pretvaranje razlomka u decimalu

Pretvaranje razlomaka s nazivnicima $10, 100, \dots$ u decimale

Prije pretvaranja nekih pravilnih razlomaka u decimale, prvo ih je potrebno "pripremiti". Rezultat takve pripreme trebao bi biti isti broj znamenki u brojniku i isti broj nula u nazivniku.

Bit "prethodne pripreme" pravih običnih razlomaka za pretvaranje u decimalne razlomke je dodavanje tolikog broja nula lijevo u brojniku da ukupan broj znamenki postane jednak broju nula u nazivniku.

Primjer 7

Na primjer, pripremimo razlomak $\frac(43)(1000)$ za pretvorbu u decimalu i dobijemo $\frac(043)(1000)$. A obični razlomak $\frac(83)(100)$ ne treba nikakvu pripremu.

Idemo formulirati pravilo za pretvaranje pravilnog običnog razlomka s nazivnikom $10$, ili $100$, ili $1\000$, $\dots$ u decimalni razlomak:

napiši $0$;

iza njega stavite decimalnu točku;

zapisati broj iz brojnika (po potrebi dodati nule nakon pripreme).

Primjer 8

Pretvorite pravilan razlomak $\frac(23)(100)$ u decimalu.

Riješenje.

Nazivnik sadrži broj $100$, koji sadrži $2$ i dvije nule. U brojniku se nalazi broj $23$ koji se piše s $2$.znamenkastima. To znači da nema potrebe pripremati ovaj razlomak za pretvaranje u decimalu.

Napišimo $0$, stavimo decimalnu točku i iz brojnika ispišemo broj $23$. Dobivamo decimalni razlomak $0,23$.

Odgovor: $0,23$.

Primjer 9

Zapišite pravilan razlomak $\frac(351)(100000)$ kao decimalu.

Riješenje.

Brojnik ovog razlomka sadrži $3$ znamenke, a broj nula u nazivniku je $5$, pa se ovaj obični razlomak mora pripremiti za pretvaranje u decimalu. Da biste to učinili, trebate dodati $5-3=2$ nule lijevo u brojniku: $\frac(00351)(100000)$.

Sada možemo oblikovati željeni decimalni razlomak. Da biste to učinili, zapišite $0$, zatim dodajte zarez i zapišite broj iz brojnika. Dobivamo decimalni razlomak $0,00351$.

Odgovor: $0,00351$.

Idemo formulirati pravilo za pretvaranje nepravih razlomaka s nazivnicima $10$, $100$, $\dots$ u decimalne razlomke:

zapisati broj iz brojnika;

Decimalnom točkom odvojite onoliko znamenki s desne strane koliko ima nula u nazivniku izvornog razlomka.

Primjer 10

Pretvorite nepravi razlomak $\frac(12756)(100)$ u decimalu.

Riješenje.

Zapišimo broj iz brojnika $12756$, zatim odvojimo znamenke $2$ s desne strane decimalnom točkom, jer nazivnik izvornog razlomka $2$ je nula. Dobivamo decimalni razlomak 127,56$.

U ovom članku ćemo razumjeti što je decimalni ulomak, koje značajke i svojstva ima. Ići! 🙂

Decimalni razlomak poseban je slučaj običnih razlomaka (gdje je nazivnik višekratnik broja 10).

Definicija

Decimale su razlomci čiji su nazivnici brojevi koji se sastoje od jedinice i niza nula iza nje. Odnosno, to su razlomci s nazivnikom 10, 100, 1000 itd. Inače, decimalni razlomak možemo okarakterizirati kao razlomak s nazivnikom 10 ili jednom od potencija desetice.

Primjeri razlomaka:

, ,

Decimalni razlomci pišu se drugačije od običnih razlomaka. Operacije s tim razlomcima također se razlikuju od operacija s običnim. Pravila za rad s njima uvelike su slična pravilima za rad s cijelim brojevima. To posebno objašnjava njihovu potražnju za rješavanjem praktičnih problema.

Predstavljanje razlomaka u decimalnom zapisu

Decimalni razlomak nema nazivnik; on prikazuje broj brojnika. Općenito, decimalni razlomak piše se prema sljedećoj shemi:

gdje je X cijeli broj razlomka, Y je njegov razlomak, “,” je decimalna točka.

Da bi se razlomak ispravno prikazao kao decimalni, potrebno je da to bude pravilan razlomak, to jest, s istaknutim cijelim dijelom (ako je moguće) i brojnikom koji je manji od nazivnika. Tada se u decimalnom zapisu cijeli broj piše ispred decimalne točke (X), a brojnik običnog razlomka iza decimalne točke (Y).

Ako brojnik sadrži broj s manje znamenki od broja nula u nazivniku, tada se u dijelu Y nedostajući broj znamenki u decimalnom zapisu popunjava nulama ispred znamenki brojnika.

Primjer:

Ako je obični razlomak manji od 1, tj. nema cijeli broj, tada za X u decimalnom obliku napišite 0.

U razlomku (Y), iza zadnje značajne (ne-nulte) znamenke može se unijeti proizvoljan broj nula. To ne utječe na vrijednost razlomka. Obrnuto, sve nule na kraju razlomka decimale mogu se izostaviti.

Čitanje decimala

Dio X općenito se čita na sljedeći način: "X cijeli brojevi."

Y dio se čita prema broju u nazivniku. Za nazivnik 10 treba čitati: “Y desetinki”, za nazivnik 100: “Y stotinki”, za nazivnik 1000: “Y tisućinki” i tako dalje... 😉

Drugi pristup čitanju, koji se temelji na brojanju broja znamenki frakcijskog dijela, smatra se ispravnijim. Da biste to učinili, morate razumjeti da se frakcijske znamenke nalaze u zrcalnoj slici u odnosu na znamenke cijelog dijela frakcije.

Imena za ispravno čitanje navedena su u tablici:

Na temelju toga, čitanje bi se trebalo temeljiti na usklađenosti s nazivom znamenke posljednje znamenke razlomka.

3.5 se čita kao "tri zarez pet"
0,016 čita "nula zarez i šesnaest tisućinki"

Pretvaranje proizvoljnog razlomka u decimalu

Ako je nazivnik običnog razlomka 10 ili neka potencija desetice, tada se pretvorba razlomka izvodi kao što je gore opisano. U drugim situacijama potrebne su dodatne transformacije.

Postoje 2 metode prevođenja.

Prvi način prijenosa

Brojnik i nazivnik moraju se pomnožiti s takvim cijelim brojem da nazivnik proizvede broj 10 ili jednu od potencija broja deset. Zatim se razlomak prikazuje u decimalnom zapisu.

Ova metoda je primjenjiva za razlomke čiji se nazivnik može proširiti samo na 2 i 5. Dakle, u prethodnom primjeru . Ako proširenje sadrži druge proste faktore (na primjer, ), tada ćete morati pribjeći 2. metodi.

Druga metoda prijevoda

2. metoda je dijeljenje brojnika s nazivnikom u stupcu ili na kalkulatoru. Cijeli dio, ako ga ima, ne sudjeluje u transformaciji.

Pravilo za dugo dijeljenje koje rezultira decimalnim razlomkom opisano je u nastavku (pogledajte Dijeljenje decimala).

Pretvaranje decimalnog razlomka u obični razlomak

Da biste to učinili, trebate zapisati njegov razlomački dio (desno od decimalne točke) kao brojnik, a rezultat čitanja razlomka kao odgovarajući broj u nazivniku. Dalje, ako je moguće, morate smanjiti rezultirajuću frakciju.

Konačni i beskonačni decimalni razlomak

Decimalni razlomak naziva se konačni razlomak, čiji se razlomački dio sastoji od konačnog broja znamenki.

Svi gornji primjeri sadrže konačne decimalne razlomke. Međutim, ne može se svaki obični razlomak predstaviti kao konačna decimala. Ako 1. metoda pretvorbe nije primjenjiva za dati razlomak, a 2. metoda pokaže da se dijeljenje ne može dovršiti, tada se može dobiti samo beskonačni decimalni razlomak.

Nemoguće je napisati beskonačni razlomak u njegovom potpunom obliku. U nepotpunom obliku takve frakcije mogu se prikazati:

kao rezultat smanjenja na željeni broj decimalnih mjesta;
kao periodični razlomak.

Razlomak se naziva periodičnim ako je nakon decimalne točke moguće razlučiti niz znamenki koji se beskrajno ponavlja.

Preostale frakcije nazivamo neperiodične. Za neperiodične razlomke dopušten je samo 1. način prikazivanja (zaokruživanje).

Primjer periodičkog razlomka: 0,8888888... Ovdje se ponavlja broj 8, koji će se, očito, ponavljati ad infinitum, budući da nema razloga za pretpostavku suprotno. Ova figura se zove period razlomka.

Periodički razlomci mogu biti čisti ili mješoviti. Čisti decimalni razlomak je onaj čija točka počinje odmah iza decimalne točke. Mješoviti razlomak ima 1 ili više znamenki prije decimalne točke.

54.33333… – periodični čisti decimalni razlomak

2,5621212121… – periodični mješoviti razlomak

Primjeri pisanja beskonačnih decimalnih razlomaka:

Drugi primjer pokazuje kako pravilno oblikovati točku u pisanju periodičnog razlomka.

Pretvaranje periodičnih decimalnih razlomaka u obične razlomke

Da biste čisti periodički razlomak pretvorili u običnu točku, upišite ga u brojnik, a u nazivnik upišite broj koji se sastoji od devetki u iznosu jednakom broju znamenki u točki.

Mješoviti periodični decimalni razlomak prevodi se na sljedeći način:

potrebno je oblikovati broj koji se sastoji od broja iza decimalne točke ispred točke i prve točke;
Od dobivenog broja oduzmite broj iza decimalne točke prije točke. Rezultat će biti brojnik običnog razlomka;
u nazivnik treba unijeti broj koji se sastoji od broja devetki jednakog broju znamenki točke, iza kojih slijede nule čiji je broj jednak broju znamenki broja iza decimalne točke prije 1. razdoblje.

Usporedba decimala

Decimalni se razlomci najprije uspoređuju po cijelim dijelovima. Veći je onaj razlomak čiji je cijeli dio veći.

Ako su cijeli dijelovi jednaki, usporedite znamenke odgovarajućih znamenki razlomaka, počevši od prve (od desetinki). Ovdje vrijedi isti princip: veći razlomak je onaj s više desetina; ako su znamenke desetinki jednake, znamenke stotinki se uspoređuju, i tako dalje.

Jer

, budući da uz jednake cijele dijelove i jednake desetine u razlomačkom dijelu, 2. razlomak ima veću stotinku.

Zbrajanje i oduzimanje decimala

Decimale se zbrajaju i oduzimaju na isti način kao i cijeli brojevi tako da se odgovarajuće znamenke upisuju jedna ispod druge. Da biste to učinili, morate imati decimalne točke jedna ispod druge. Tada će jedinice (desetice itd.) cijelog broja, kao i desetinke (stotine itd.) razlomljenog dijela biti u skladu. Znamenke razlomka koje nedostaju popunjavaju se nulama. Direktno Proces zbrajanja i oduzimanja provodi se na isti način kao i za cijele brojeve.

Množenje decimala

Da biste množili decimale, morate ih pisati jednu ispod druge, poravnate sa zadnjom znamenkom i ne obraćajući pažnju na mjesto decimalnih točaka. Zatim trebate pomnožiti brojeve na isti način kao i kod množenja cijelih brojeva. Nakon što dobijete rezultat, trebate ponovno izračunati broj znamenki iza decimalne točke u oba razlomka i ukupni broj razlomaka u dobivenom broju odvojiti zarezom. Ako nema dovoljno znamenki, one se zamjenjuju nulama.

Množenje i dijeljenje decimala s 10n

Ove radnje su jednostavne i svode se na pomicanje decimalne točke. P Kod množenja se decimalna točka pomiče udesno (razlomak se povećava) za broj znamenki jednak broju nula u 10n, gdje je n proizvoljna cjelobrojna potencija. Odnosno, određeni broj znamenki prenosi se iz razlomka u cijeli dio. Prilikom dijeljenja, u skladu s tim, zarez se pomiče ulijevo (broj se smanjuje), a neke od znamenki se prenose iz cijelog dijela u razlomački dio. Ako nema dovoljno brojeva za prijenos, tada se bitovi koji nedostaju popunjavaju nulama.

Dijeljenje decimale i cijelog broja cijelim brojem i decimalom

Dijeljenje decimale cijelim brojem slično je dijeljenju dva cijela broja. Dodatno, trebate voditi računa samo o položaju decimalne točke: kada uklanjate znamenku mjesta iza koje slijedi zarez, morate staviti zarez iza trenutne znamenke generiranog odgovora. Zatim morate nastaviti dijeliti dok ne dobijete nulu. Ako u dividendi nema dovoljno predznaka za potpuno dijeljenje, umjesto njih treba koristiti nule.

Slično, 2 cijela broja se dijele u stupac ako su sve znamenke dividende uklonjene, a potpuno dijeljenje još nije dovršeno. U ovom slučaju, nakon uklanjanja zadnje znamenke dividende, decimalna točka se stavlja u rezultirajući odgovor, a nule se koriste kao uklonjene znamenke. Oni. dividenda je ovdje u biti predstavljena kao decimalni razlomak s nultim razlomačkim dijelom.

Da biste podijelili decimalni razlomak (ili cijeli broj) s decimalnim brojem, morate pomnožiti djelitelj i djelitelj s brojem 10 n, u kojem je broj nula jednak broju znamenki iza decimalne točke u djelitelju. Na taj se način riješite decimalne točke u razlomku kojim želite podijeliti. Nadalje, postupak podjele podudara se s gore opisanim.

Grafički prikaz decimalnih razlomaka

Decimalni razlomci grafički se prikazuju pomoću koordinatne crte. Da bi se to postiglo, pojedinačni se segmenti dalje dijele na 10 jednakih dijelova, baš kao što su centimetri i milimetri istovremeno označeni na ravnalu. To osigurava točan prikaz decimala i mogućnost objektivne usporedbe.

Kako bi podjele na pojedinim segmentima bile identične, potrebno je pažljivo razmotriti duljinu samog pojedinog segmenta. Trebao bi biti takav da se može osigurati pogodnost dodatne podjele.