Euklidski prostori. Linearna algebra

Poglavlje 4
EUKLIDSKI PROSTORI

Iz kolegija analitičke geometrije čitatelj je upoznat s konceptom skalarnog umnoška dva slobodna vektora i s četiri glavna svojstva navedenog skalarnog umnoška. U ovom poglavlju proučavaju se linearni prostori bilo koje prirode, za čije je elemente na neki način definirano pravilo (nije bitno na koji) koje pridružuje bilo koja dva elementa broju koji se naziva skalarni umnožak tih elemenata. U ovom slučaju važno je samo da ovo pravilo ima ista četiri svojstva kao i pravilo za sastavljanje skalarnog umnoška dva slobodna vektora. Linearni prostori u kojima je definirano navedeno pravilo nazivaju se euklidski prostori. Ovo poglavlje objašnjava osnovna svojstva proizvoljnih euklidskih prostora.

§ 1. Realni euklidski prostor i njegova najjednostavnija svojstva

1. Definicija realnog euklidskog prostora. Realni linearni prostor R naziva se realni euklidski prostor(ili jednostavno Euklidski prostor) ako su ispunjena sljedeća dva zahtjeva.
I. Postoji pravilo po kojem se bilo koja dva elementa ovog prostora x i y povezuju s realnim brojem tzv skalarni proizvod ovih elemenata i označen simbolom (x, y).
P. Ovo pravilo podliježe sljedeća četiri aksioma:
1°. (x, y) = (y, x) (komutativno svojstvo ili simetričnost);
2°. (x 1 + x 2, y) = (x 1, y) + (x 2, y) (svojstvo distribucije);
3°. (λ x, y) = λ (x, y) za bilo koji realni λ;
4°. (x, x) > 0 ako je x element različit od nule; (x, x) = 0 ako je x nulti element.
Naglašavamo da pri uvođenju koncepta euklidskog prostora apstrahiramo ne samo od prirode predmeta koji se proučavaju, već i od specifične vrste pravila za formiranje zbroja elemenata, umnoška elementa s brojem i skalarni umnožak elemenata (važno je samo da ova pravila zadovoljavaju osam aksioma linearnog prostora i četiri aksioma skalarnog umnoška).
Ako je naznačena priroda predmeta koji se proučavaju i vrsta navedenih pravila, tada se Euklidski prostor naziva specifično.
Navedimo primjere specifičnih euklidskih prostora.
Primjer 1. Promotrimo linearni prostor B 3 svih slobodnih vektora. Skalarni umnožak bilo koja dva vektora definiramo kao što je to učinjeno u analitičkoj geometriji (tj. kao umnožak duljina tih vektora i kosinusa kuta između njih). U kolegiju analitičke geometrije dokazana je valjanost tako definiranog skalarnog umnoška aksioma 1°-4° (vidi temu „Analitička geometrija“, poglavlje 2, §2, točka 3). Stoga je prostor B 3 s tako definiranim skalarnim produktom euklidski prostor.
Primjer 2. Promotrimo beskonačnodimenzionalni linearni prostor C [a, b] svih funkcija x(t), definiranih i kontinuiranih na segmentu a ≤ t ≤ b. Skalarni umnožak dviju takvih funkcija x(t) i y(t) definiramo kao integral (u rasponu od a do b) umnoška ovih funkcija

Valjanost tako definiranog skalarnog produkta aksioma 1°-4° provjerava se na elementaran način. Doista, valjanost aksioma 1° je očita; valjanost aksioma 2° i 3° proizlazi iz linearnih svojstava određenog integrala; valjanost aksioma 4° proizlazi iz činjenice da je integral kontinuirane nenegativne funkcije x 2 (t) nenegativan i nestaje samo kada je ta funkcija identički jednaka nuli na segmentu a ≤ t ≤ b (vidi izdanje “Osnove matematičke analize”, dio I, svojstva 1° i 2° iz paragrafa 1 §6 poglavlja 10) (tj. to je nulti element prostora koji se razmatra).
Dakle, prostor C[a, b] s tako definiranim skalarnim produktom je beskonačnodimenzionalni euklidski prostor.
Primjer 3. Sljedeći primjer euklidskog prostora daje n-dimenzionalni linearni prostor A n uređenih kolekcija od n realnih brojeva, skalarni produkt bilo koja dva elementa x = (x 1, x 2,..., x n) i y = (y 1, y 2 ,...,y n) što je definirano jednakošću

(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ... + x n y n. (4.2)

Valjanost aksioma 1° za tako definiran skalarni proizvod je očita; Valjanost aksioma 2° i 3° može se lako provjeriti samo se sjetimo definicije operacija zbrajanja elemenata i njihovog množenja brojevima:

(x 1 , x 2 ,...,x n) + (y 1 , y 2 ,...,y n) = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 ,...,x n + y n) ,

λ (x 1, x 2,..., x n) = (λ x 1, λ x 2,..., λ x n);

konačno, valjanost aksioma 4° slijedi iz činjenice da je (x, x) = x 1 2 + x 2 2 + ...+ x n 2 uvijek nenegativan broj i nestaje samo pod uvjetom x 1 = x 2 = .. = x n = 0.
Euklidski prostor razmatran u ovom primjeru često se označava simbolom E n.
Primjer 4. U istom linearnom prostoru A n uvodimo skalarni umnožak bilo koja dva elementa x = (x 1, x 2,..., x n) i y = (y 1, y 2,..., y n ) ne relacija (4.2), nego na drugi, općenitiji način.
Da bismo to učinili, razmotrimo kvadratnu matricu reda n

Pomoću matrice (4.3) sastavimo homogeni polinom drugog reda u odnosu na n varijabli x 1, x 2,..., x n

Gledajući unaprijed, napominjemo da se takav polinom naziva kvadratni oblik(generirana matricom (4.3)) (kvadratne forme sustavno se proučavaju u 7. poglavlju ove knjige).
Kvadratni oblik (4.4) naziva se pozitivno određen, ako uzima strogo pozitivne vrijednosti za sve vrijednosti varijabli x 1, x 2,..., x n, koje nisu jednake nuli u isto vrijeme (u 7. poglavlju ove knjige potrebni i dovoljni bit će naznačen uvjet za pozitivnu određenost kvadratne forme).
Budući da je za x 1 = x 2 = ... = x n = 0 kvadratni oblik (4.4) očito jednak nuli, možemo reći da pozitivno određen
kvadratni oblik nestaje samo pod uvjetom x 1 = x 2 = ... = x n = 0.
Zahtijevamo da matrica (4.3) zadovoljava dva uvjeta.
1°. Generiran pozitivno određeni kvadratni oblik (4.4).
2°. Bila je simetrična (u odnosu na glavnu dijagonalu), tj. zadovoljio uvjet a ik = a ki za sve i = 1, 2,..., n i k = I, 2,..., n.
Koristeći matricu (4.3), koja zadovoljava uvjete 1° i 2°, definiramo skalarni produkt bilo koja dva elementa x = (x 1, x 2,..., x n) i y = (y 1, y 2,.. ,y n) prostora A n relacijom

Lako je provjeriti valjanost tako definiranog skalarnog produkta svih aksioma 1°-4°. Doista, aksiomi 2° i 3° očito vrijede za potpuno proizvoljnu matricu (4.3); valjanost aksioma 1° proizlazi iz uvjeta simetrije matrice (4.3), a valjanost aksioma 4° proizlazi iz činjenice da je kvadratni oblik (4.4), koji je skalarni produkt (x, x), pozitivan određen.
Dakle, prostor A n sa skalarnim produktom definiranim jednakošću (4.5), pod uvjetom da je matrica (4.3) simetrična i da je kvadratna forma koju ona generira pozitivno određena, je euklidski prostor.
Ako uzmemo identičnu matricu kao matricu (4.3), tada se relacija (4.4) pretvara u (4.2), te dobivamo euklidski prostor E n , razmatran u primjeru 3.
2. Najjednostavnija svojstva proizvoljnog euklidskog prostora. Svojstva utvrđena u ovom odlomku vrijede za potpuno proizvoljan euklidski prostor i konačne i beskonačne dimenzije.
Teorem 4.1.Za bilo koja dva elementa x i y proizvoljnog euklidskog prostora vrijedi sljedeća nejednakost:

(x, y ) 2 ≤ (x, x )(y, y ), (4.6)

nazvana Cauchy-Bunyakovsky nejednakost.
Dokaz. Za bilo koji realni broj λ, na temelju aksioma 4° skalarnog produkta, nejednakost (λ x - y, λ x - y) > 0 je istinita na temelju aksioma 1°-3°, posljednja nejednakost može biti prepisan kao

λ 2 (x, x) - 2 λ (x, y) + (y, y) ≤ 0

Nužan i dovoljan uvjet za nenegativnost zadnjeg kvadratnog trinoma je nepozitivnost njegove diskriminante, tj. nejednakosti (u slučaju (x, x) = 0, kvadratni trinom degenerira u linearnu funkciju, ali u u ovom slučaju element x je nula, pa je (x, y ) = 0 i nejednakost (4.7) je također istinita)

(x, y ) 2 - (x, x )(y, y ) ≤ 0. (4.7)

Nejednakost (4.6) neposredno slijedi iz (4.7). Teorem je dokazan.
Naš sljedeći zadatak je predstaviti koncept norme(ili duljina) svakog elementa. Da bismo to učinili, uvodimo koncept linearnog normiranog prostora.
Definicija. Linearni prostor R naziva se normalizirao, ako su ispunjena sljedeća dva zahtjeva.
I. Postoji pravilo po kojem se svakom elementu x prostora R pridružuje realni broj tzv pravilo(ili duljina) navedenog elementa i označen simbolom ||x||.
P. Ovo pravilo podliježe sljedeća tri aksioma:
1°. ||x|| > 0 ako je x element različit od nule; ||x|| = 0 ako je x nulti element;
2°. ||λ x|| = |λ | ||x|| za bilo koji element x i bilo koji realni broj λ;
3°. za bilo koja dva elementa x i y vrijedi sljedeća nejednakost

||x + y || ≤ ||x|| + ||y ||, (4.8)

naziva se nejednakost trokuta (ili nejednakost Minkowskog).
Teorem 4.2. Svaki euklidski prostor je normiran ako je norma bilo kojeg elementa x u njemu definirana jednakošću

Dokaz. Dovoljno je dokazati da za normu definiranu relacijom (4.9) vrijede aksiomi 1°-3° iz definicije normiranog prostora.
Valjanost norme aksioma 1° neposredno slijedi iz aksioma 4° skalarnog produkta. Valjanost norme aksioma 2° gotovo izravno slijedi iz aksioma 1° i 3° skalarnog produkta.
Preostaje provjeriti valjanost aksioma 3° za normu, tj. nejednakost (4.8). Oslonit ćemo se na Cauchy-Bunyakovskyjevu nejednakost (4.6) koju ćemo prepisati u obliku

Koristeći posljednju nejednadžbu, aksiome 1°-4° skalarnog produkta i definiciju norme, dobivamo

Teorem je dokazan.
Posljedica. U svakom euklidskom prostoru s normom elemenata određenom relacijom (4.9) za bilo koja dva elementa x i y vrijedi nejednakost trokuta (4.8).

Nadalje napominjemo da u bilo kojem realnom euklidskom prostoru možemo uvesti pojam kuta između dva proizvoljna elementa x i y tog prostora. U potpunoj analogiji s vektorskom algebrom, zovemo kutφ između elemenata x I na onaj (koji varira od 0 do π) kut čiji je kosinus određen relacijom

Naša je definicija kuta točna, jer zbog nejednakosti Cauchy-Bunyakovsky (4,7"), razlomak na desnoj strani posljednje jednakosti ne prelazi jedinicu po modulu.
Zatim ćemo se dogovoriti da dva proizvoljna elementa x i y euklidskog prostora E nazovemo ortogonalnima ako je skalarni umnožak tih elemenata (x, y) jednak nuli (u ovom slučaju kosinus kuta (φ između elemenata x i y će biti jednaki nuli).
Ponovno pozivajući se na vektorsku algebru, nazovimo zbroj x + y dva ortogonalna elementa x i y hipotenuzom pravokutnog trokuta izgrađenog na elementima x i y.
Imajte na umu da u svakom euklidskom prostoru vrijedi Pitagorin poučak: kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateta. Zapravo, budući da su x i y ortogonalni i (x, y) = 0, tada je na temelju aksioma i definicije norme

||x + y || 2 = ( x+y, x+y ) = (x, x ) + 2(x, y ) + (y, y) = (x,x) + (y, y) =||x|| 2 + ||y || 2.

Ovaj rezultat se generalizira na n upareno ortogonalnih elemenata x 1, x 2,..., x n: ako je z = x 1 + x 2 + ...+ x n, tada

||x|| 2 = (x 1 + x 2 + ...+ x n, x 1 + x 2 + ...+ x n) = (x 1, x 1) + (x 2, x 2) + .... + ( x n,x n) = ||x 1 || 2 + ||x 1 || 2 +... +||x 1 || 2.

Zaključno, zapisujemo normu, Cauchy-Bunyakovskyjevu nejednakost i nejednakost trokuta u svakom od specifičnih euklidskih prostora razmatranih u prethodnom paragrafu.
U euklidskom prostoru svih slobodnih vektora s uobičajenom definicijom skalarnog umnoška, ​​norma vektora a podudara se s njegovom duljinom |a|, Cauchy-Bunyakovskyjeva nejednadžba se svodi na oblik ((a,b) 2 ≤ | a|. 2, a nejednakost trokuta - u obliku |a + |b |. činjenica da jedna stranica trokuta ne prelazi zbroj njegovih dviju drugih stranica).
U euklidskom prostoru C [a, b] svih funkcija x = x(t) kontinuiranih na segmentu a ≤ t ≤ b sa skalarnim umnoškom (4.1), norma elementa x = x(t) jednaka je , a Cauchy-Bunyakovsky i nejednakosti trokuta imaju oblik

Obje ove nejednakosti igraju važnu ulogu u raznim granama matematičke analize.
U euklidskom prostoru E n uređenih kolekcija n realnih brojeva sa skalarnim umnoškom (4.2), norma bilo kojeg elementa x = (x 1 , x 2 ,..., x n) jednaka je

Konačno, u euklidskom prostoru uređenih kolekcija od n realnih brojeva sa skalarnim produktom (4.5), norma bilo kojeg elementa x = (x 1, x 2,..., x n) jednaka je 0 (podsjećamo da je u ova matrica slučaja (4.3) je simetrična i generira pozitivno definiranu kvadratnu formu (4.4)).

a Cauchy-Bunyakovsky i nejednakosti trokuta imaju oblik

Odgovarajući takvom vektorskom prostoru. U ovom ćemo članku kao polazište uzeti prvu definiciju.

$n$-dimenzionalni euklidski prostor označava se sa $\backslash mathbb\; E^n,$često se koristi i oznaka $\backslash mathbb\; R^n$(ako je iz konteksta jasno da prostor ima euklidsku strukturu).

Formalna definicija

Za definiranje euklidskog prostora, najlakši način je uzeti kao glavni koncept skalarni produkt. Euklidski vektorski prostor je definiran kao konačnodimenzionalni vektorski prostor nad poljem realnih brojeva, na čijim je vektorima specificirana realna funkcija $(\backslash cdot,\; \backslash cdot),$ ima sljedeća tri svojstva:

• Bilinearnost: za bilo koje vektore $u,v,w$ i za bilo koje realne brojeve $a,\; b\backslash quad\; (au+bv,\; w)=a(u,w)+b(v,w)$ I $(u,\; av+bw)=a(u,v)+b(u,w);$
• Simetrija: za bilo koje vektore $u,v\backslash kvad\; (u,v)=(v,u);$
• Pozitivna sigurnost: za svakoga $u\backslash quad\; (u,u)\backslash geqslant\; 0,$ i $(u,u)\; =\; 0\backslash desna\; strelica\; u=0.$

Primjer Euklidskog prostora – koordinatni prostor $\backslash mathbb\; R^n,$ koji se sastoji od svih mogućih torki realnih brojeva $(x\_1,\; x\_2,\; \backslash ldots,\; x\_n),$ skalarni umnožak u kojem se određuje formulom $(x,y)\; =\; \backslash sum\_(i=1)^n\; x\_iy\_i\; =\; x\_1y\_1+x\_2y\_2+\backslash cdots+x\_ny\_n.$

Duljine i kutovi

Skalarni produkt definiran na euklidskom prostoru dovoljan je za uvođenje geometrijskih pojmova duljine i kuta. Duljina vektora $u$ je definiran kao $\backslash sqrt((u,u))$ i naznačen je $|u|.$ Pozitivna određenost skalarnog umnoška jamči da je duljina vektora različita od nule različita od nule, a iz bilinearnosti slijedi da $|au|=|a||u|,$ odnosno duljine proporcionalnih vektora su proporcionalne.

Kut između vektora $u$ I $v$ određena formulom $\backslash varphi=\backslash arccos\; \backslash lijevo(\backslash frac((x,y))(|x||y|)\backslash desno).$ Iz kosinusnog teorema slijedi da za dvodimenzionalni euklidski prostor ( Euklidska ravnina) ova definicija kuta podudara se s uobičajenom. Ortogonalni vektori, kao u trodimenzionalnom prostoru, mogu se definirati kao vektori čiji je kut između njih jednak $\backslash frac(\backslash pi)(2).$

Cauchy-Bunyakovsky-Schwarzova nejednakost i nejednakost trokuta

Ostala je jedna praznina u gore navedenoj definiciji kuta: kako bi $\backslash arccos\; \backslash lijevo(\backslash frac((x,y))(|x||y|)\backslash desno)$ je definirana, potrebno je da nejednakost $\backslash lijevo|\backslash frac((x,y))(|x||y|)\backslash desno|\backslash leqslant\; 1.$ Ova nejednakost vrijedi u proizvoljnom euklidskom prostoru i naziva se Cauchy–Bunyakovsky–Schwartz nejednakost. Iz te nejednakosti pak slijedi nejednakost trokuta: $|u+v|\backslash leqslant\; |u|+|v|.$ Nejednakost trokuta, zajedno s gore navedenim svojstvima duljine, znači da je duljina vektora norma na euklidskom vektorskom prostoru, a funkcija $d(x,y)=|x-y|$ definira strukturu metričkog prostora na euklidskom prostoru (ova funkcija se naziva euklidska metrika). Konkretno, udaljenost između elemenata (točaka) $x$ I $g$ koordinatni prostor $\backslash mathbb\; R^n$ daje se formulom $d(\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y))\; =\; \backslash |\backslash mathbf(x)\; -\; \backslash mathbf(y)\backslash |\; =\; \backslash sqrt(\backslash sum\_(i=1)^n\; (x\_i\; -\; y\_i)^2).$

Algebarska svojstva

Ortonormirane baze

Konjugirani prostori i operatori

Bilo koji vektor $x$ Euklidski prostor definira linearni funkcional $x^*$ na ovom prostoru, definiran kao $x^*(y)=(x,y).$ Ova usporedba je izomorfizam između Euklidskog prostora i njegovog dualnog prostora i omogućuje njihovu identifikaciju bez ugrožavanja izračuna. Posebno se može smatrati da konjugirani operatori djeluju na izvorni prostor, a ne na njegov dual, a samo-adjungirane operatore možemo definirati kao operatore koji koincidiraju sa svojim konjugatima. U ortonormiranoj bazi, matrica adjungiranog operatora je transponirana u matricu originalnog operatora, a matrica samoadjungiranog operatora je simetrična.

Kretanja euklidskog prostora

Primjeri

Ilustrativni primjeri euklidskih prostora su sljedeći prostori:

• $\backslash mathbb\; E^1$ dimenzije $1$ (prava linija)
• $\backslash mathbb\; E^2$ dimenzije $2$ (Euklidska ravnina)
• $\backslash mathbb\; E^3$ dimenzije $3$ (Euklidski trodimenzionalni prostor)

Apstraktniji primjer:

• prostor realnih polinoma $p(x)$ stupanj ne prelazi $n$, sa skalarnim umnoškom definiranim kao integral umnoška preko konačnog segmenta (ili preko cijele linije, ali s brzo opadajućom težinskom funkcijom, na primjer $e^(-x^2)$).

Primjeri geometrijskih oblika u višedimenzionalnom euklidskom prostoru

• Pravilni višedimenzionalni poliedri (posebno N-dimenzionalna kocka, N-dimenzionalni oktaedar, N-dimenzionalni tetraedar)

Povezane definicije

• Pod, ispod Euklidska metrika može se shvatiti kao gore opisana metrika kao i odgovarajuća Riemannova metrika.

• Pod lokalnom euklidskošću obično podrazumijevamo da je svaki tangentni prostor Riemannove mnogostrukosti euklidski prostor sa svim svojstvima koja iz toga proizlaze, na primjer, sposobnost (zbog glatkoće metrike) uvođenja koordinata u malom susjedstvu točke u kojoj udaljenost se izražava (do nekog reda veličine) ) kako je gore opisano.

• Metrički prostor nazivamo i lokalno euklidskim ako je na njemu moguće uvesti koordinate u kojima će metrika posvuda (ili barem na konačnoj domeni) biti euklidska (u smislu druge definicije) - što je npr. Riemannov mnogoznačnik nulte zakrivljenosti.

Varijacije i generalizacije

• Zamjenom osnovnog polja s polja realnih brojeva na polje kompleksnih brojeva dobiva se definicija unitarnog (ili hermitskog) prostora.
• Odbijanje zahtjeva konačnodimenzionalnosti daje definiciju pre-Hilbertovog prostora.
• Odbijanje zahtjeva pozitivne određenosti skalarnog produkta dovodi do definicije pseudoeuklidskog prostora.

Napišite recenziju o članku "Euklidski prostor"

Bilješke

Književnost

• Gelfand I. M. Predavanja iz linearne algebre. - 5. - M.: Dobrosvet, MTsNMO, 1998. - 319 str. - ISBN 5-7913-0015-8.
• Kostrikin A. I., Manin Yu. Linearna algebra i geometrija. - M.: Nauka, 1986. - 304 str.

Odlomak koji karakterizira euklidski prostor

„Dešava ti se“, rekla je Nataša bratu kad su sjeli u sofu, „desava ti se da ti se čini da se ništa neće dogoditi – ništa; što je sve bilo dobro? I ne samo dosadno, nego i tužno?
- I kako! - On je rekao. “Dešavalo mi se da je sve bilo u redu, svi su bili veseli, ali bi mi palo na pamet da sam već umoran od svega toga i da svi trebaju umrijeti.” Jednom nisam otišao do puka u šetnju, ali tamo je svirala glazba ... i tako mi je odjednom postalo dosadno ...
- Oh, znam to. Znam, znam”, podigla je Natasha. – Bio sam još mali, ovo mi se dogodilo. Sjećaš li se, jednom sam bila kažnjena za šljive i svi ste plesali, a ja sam sjedila u učionici i jecala, nikada neću zaboraviti: bila sam tužna i bilo mi je žao svih, i sebe, i bilo mi je žao svih. I što je najvažnije, nisam bila ja kriva," rekla je Natasha, "sjećaš li se?
"Sjećam se", rekao je Nikolaj. “Sjećam se da sam kasnije došao k tebi i htio sam te utješiti i, znaš, bilo me je sram. Bili smo užasno smiješni. Imao sam tada igračku s kitom i htio sam ti je dati. Sjećaš li se?
"Sjećaš li se", rekla je Natasha sa zamišljenim osmijehom, kako davno, davno, bili smo još jako mali, ujak nas je pozvao u ured, u staru kuću, i bio je mrak - došli smo i odjednom je bilo stoji tamo...
"Arape", završio je Nikolaj s radosnim osmijehom, "kako da se ne sjećam?" Ni sada ne znam da li je to bio crni lanac, ili smo ga vidjeli u snu, ili nam je rečeno.
- Bio je sijed, sjećate se, i imao je bijele zube - stajao je i gledao nas...
– Sjećaš li se, Sonya? - pitao je Nikolaj...
"Da, da, i ja se nečega sjećam", bojažljivo je odgovorila Sonya...
"Pitala sam oca i majku o ovom crnom moru", rekla je Natasha. - Kažu da nije bilo blackamoora. Ali sjećaš se!
- Joj, kako se sada sjećam njegovih zuba.
- Kako je to čudno, bilo je kao san. Sviđa mi se.
“Sjećate li se kako smo valjali jaja u hodniku i odjednom su se dvije starice počele vrtjeti po tepihu?” Je li bilo ili nije? Sjećaš li se kako je bilo dobro?
- da Sjećate li se kako je tata u plavoj bundi pucao iz pištolja na trijemu? “Okretali su, nasmiješeni od zadovoljstva, sjećanja, ne tužna stara, nego poetična mladalačka sjećanja, one dojmove iz davne prošlosti, gdje se snovi spajaju sa stvarnošću, i tiho se smijali, radujući se nečemu.
Sonya je, kao i uvijek, zaostajala za njima, iako su im sjećanja bila zajednička.
Sonya se nije sjećala mnogo toga što su se oni sjećali, a ono što se sjećala nije u njoj probudilo poetski osjećaj koji su oni doživjeli. Samo je uživala u njihovoj radosti, pokušavajući je oponašati.
Sudjelovala je tek kad su se sjetili Sonyinog prvog posjeta. Sonya je ispričala kako se bojala Nikolaja, jer je imao špagice na jakni, a dadilja joj je rekla da će i nju zašiti u špagice.
“I sjećam se: rekli su mi da si rođen ispod kupusa,” rekla je Natasha, “i sjećam se da se tada nisam usudila ne povjerovati, ali sam znala da to nije istina, i bilo mi je tako neugodno. ”
Tijekom ovog razgovora, sobarica je provirila kroz stražnja vrata sobe s kaučem. “Gospođice, donijeli su pijetla”, rekla je djevojka šapatom.
"Nema potrebe, Polya, reci mi da ga nosim", rekla je Natasha.
Usred razgovora koji su se odvijali na sofi, Dimmler je ušao u sobu i prišao harfi koja je stajala u kutu. Skinuo je platno i harfa je pustila lažan zvuk.
“Eduarde Karlych, molim vas, odsvirajte moj voljeni Nokturien od Monsieura Fielda”, rekao je glas stare grofice iz dnevne sobe.
Dimmler je udario akord i, okrenuvši se prema Natashi, Nikolaju i Sonyi, rekao: "Mladi ljudi, kako tiho sjede!"
"Da, filozofiramo", rekla je Natasha, osvrćući se na trenutak i nastavljajući razgovor. Razgovor se sada vodio o snovima.
Dimmer je počeo svirati. Nataša je tiho, na prstima, prišla stolu, uzela svijeću, izvadila je i, vrativši se, tiho sjela na svoje mjesto. U sobi je bilo mračno, posebno na sofi na kojoj su sjedili, ali kroz velike prozore na pod je padala srebrna svjetlost punog mjeseca.
“Znaš, mislim”, rekla je Natasha šapatom, približavajući se Nikolaju i Sonji, kad je Dimmler već završio i još sjedio, slabašno trzajući žice, očito neodlučan da ode ili započne nešto novo, “da kad se sjetiš tako, sjećaš se, sjećaš se svega.” , sjećaš se toliko da se sjećaš što je bilo prije nego što sam bio na svijetu...
"Ovo je Metampsic", rekla je Sonya, koja je uvijek dobro učila i sve pamtila. – Egipćani su vjerovali da su naše duše u životinjama i da će se vratiti životinjama.
“Ne, znaš, ne vjerujem, da smo bili životinje,” rekla je Natasha istim šapatom, iako je glazba završila, “ali sigurno znam da smo bili anđeli tu i tamo negdje, i zato sjećamo se svega.”
-Mogu li vam se pridružiti? - rekao je Dimmler koji je tiho prišao i sjeo do njih.
– Ako smo bili anđeli, zašto smo pali niže? - rekao je Nikolaj. - Ne, ovo ne može biti!
"Ne niže, tko ti je to rekao niže?... Zašto ja znam što sam prije bila", usprotivila se Natasha s uvjerenjem. - Uostalom, duša je besmrtna... dakle, ako živim zauvijek, tako sam živio i prije, živio sam cijelu vječnost.
"Da, ali teško nam je zamisliti vječnost", rekao je Dimmler, koji je prišao mladim ljudima s krotkim, prezirnim osmijehom, ali sada je govorio jednako tiho i ozbiljno kao i oni.
– Zašto je teško zamisliti vječnost? - rekla je Nataša. - Danas će biti, sutra će biti, uvijek će biti i jučer je bilo i jučer je bilo...
- Natasha! sad je tvoj red. - Otpjevaj mi nešto - čuo se groficin glas. - Da ste sjeli kao urotnici.
- Majko! "Ne želim to učiniti", rekla je Natasha, ali je u isto vrijeme ustala.
Svi, čak ni sredovječni Dimmler, nisu htjeli prekidati razgovor i napustiti kut sofe, ali je Natasha ustala, a Nikolaj je sjeo za klavikord. Kao i uvijek, stojeći u sredini dvorane i birajući najpovoljnije mjesto za rezonanciju, Natasha je počela pjevati majčin omiljeni komad.
Rekla je da ne želi pjevati, ali odavno nije pjevala prije, a i dugo nakon toga, kako je pjevala te večeri. Grof Ilja Andrejič, iz kabineta u kojem je razgovarao s Mitinkom, čuo je kako pjeva, i poput učenika, žureći se igrati, završavajući lekciju, zbunio se u riječima, naređujući upravitelju i na kraju ušutio. , a Mitinka je, također slušajući, šutke sa smiješkom stala pred grofa. Nikolaj nije skidao pogled sa sestre i udahnuo je s njom. Sonya je, slušajući, razmišljala o tome kakva je velika razlika između nje i njezine prijateljice i kako je nemoguće da ona bude čak i izdaleka tako šarmantna kao njezina sestrična. Stara grofica sjedila je sa sretno tužnim osmijehom i suzama u očima, povremeno odmahujući glavom. Razmišljala je o Nataši, o svojoj mladosti io tome kako je bilo nečeg neprirodnog i strašnog u ovom predstojećem braku Nataše s princem Andrejem.
Dimmler je sjeo pokraj grofice i zatvorio oči, slušajući.
“Ne, grofice”, rekao je naposljetku, “ovo je europski talent, ona nema što naučiti, ova mekoća, nježnost, snaga...
- Ah! "Kako se bojim za nju, kako se bojim", rekla je grofica ne sjećajući se s kim je razgovarala. Majčinski instinkt joj je govorio da u Nataši ima previše nečega i da je to neće usrećiti. Natasha još nije završila s pjevanjem kad je u sobu utrčala oduševljena četrnaestogodišnja Petya s viješću da su mumeri stigli.
Natasha je odjednom zastala.
- Budalo! - vrisnula je na brata, dotrčala do stolice, pala na nju i toliko jecala da dugo nije mogla prestati.
„Ništa, mama, stvarno ništa, samo ovako: Petja me prestrašila“, rekla je pokušavajući se nasmiješiti, ali suze su joj tekle i jecaji su joj gušili grlo.
Dotjerane sluge, medvjedi, Turci, krčmarice, dame, strašne i smiješne, noseći sa sobom hladnoću i zabavu, isprva su se bojažljivo gurale u hodniku; potom su, skrivajući se jedan iza drugoga, utjerani u dvoranu; i isprva sramežljivo, a onda sve veselije i prijateljskije krenule su pjesme, plesovi, zborne i božićne igre. Grofica je, prepoznavši lica i smijući se dotjeranima, ušla u dnevnu sobu. Grof Ilya Andreich sjedio je u dvorani sa blistavim osmijehom, odobravajući igrače. Mladost je negdje nestala.

Čak iu školi, svi se učenici upoznaju s konceptom "euklidske geometrije", čije su glavne odredbe usmjerene na nekoliko aksioma temeljenih na takvim geometrijskim elementima kao što su točka, ravnina, ravna linija i gibanje. Svi oni zajedno tvore ono što je dugo poznato kao “euklidski prostor”.

Euklidski, koji se temelji na principu skalarnog množenja vektora, poseban je slučaj linearnog (afinog) prostora koji zadovoljava niz zahtjeva. Prvo, skalarni umnožak vektora je apsolutno simetričan, odnosno vektor s koordinatama (x;y) kvantitativno je identičan vektoru s koordinatama (y;x), ali suprotnog smjera.

Drugo, ako se skalarni umnožak vektora izvodi sa samim sobom, tada će rezultat ove akcije biti pozitivan. Jedina iznimka bit će slučaj kada su početna i krajnja koordinata ovog vektora jednake nuli: u tom će slučaju njegov umnožak sa samim sobom također biti jednak nuli.

Treće, skalarni umnožak je distributivan, odnosno postoji mogućnost rastavljanja jedne njegove koordinate na zbroj dviju vrijednosti, što neće povući nikakve promjene u konačnom rezultatu skalarnog množenja vektora. Konačno, četvrto, kada se vektori množe istom stvari, njihov skalarni umnožak također će se povećati za isti iznos.

Ako su ispunjena sva ova četiri uvjeta, možemo sa sigurnošću reći da je ovo euklidski prostor.

S praktičnog gledišta, euklidski prostor može se okarakterizirati sljedećim konkretnim primjerima:

1. Najjednostavniji slučaj je prisutnost skupa vektora sa skalarnim produktom definiranim prema osnovnim zakonima geometrije.
2. Euklidski prostor također ćemo dobiti ako pod vektorima razumijemo određeni konačni skup realnih brojeva sa zadanom formulom koja opisuje njihov skalarni zbroj ili produkt.
3. Poseban slučaj euklidskog prostora treba prepoznati kao tzv. nulti prostor, koji se dobiva ako je skalarna duljina oba vektora jednaka nuli.

Euklidski prostor ima niz specifičnih svojstava. Prvo, skalarni faktor se može izbaciti iz zagrada i iz prvog i iz drugog faktora skalarnog umnoška, ​​rezultat se neće promijeniti. Drugo, uz distributivnost prvog elementa skalarnog produkta djeluje i distributivnost drugog elementa. Osim toga, uz skalarni zbroj vektora, distributivnost se javlja i u slučaju oduzimanja vektora. Konačno, treće, kada skalarno množimo vektor s nulom, rezultat će također biti jednak nuli.

Stoga je euklidski prostor najvažniji geometrijski koncept koji se koristi u rješavanju problema s relativnim položajem vektora jedan u odnosu na drugi, za karakterizaciju kojeg se koristi koncept kao što je skalarni produkt.

Euklidski prostor

T.A. Volkova, T.P. Knysh.

I KVADRATNI OBLICI

EUKLIDSKI PROSTOR

Sankt Peterburg

Recenzent: kandidat tehničkih znanosti, izvanredni profesor Shkadova A.R.

Euklidski prostor i kvadratne forme: bilješke s predavanja. – St. Petersburg: SPGUVK, 2012. – str.

Bilješke s predavanja namijenjene su studentima druge godine sveučilišnog studija 010400.62 "Primijenjena matematika i računarstvo" i studentima prve godine sveučilišnog studija 090900.62 "Informacijska sigurnost".

Priručnik sadrži cjelovite bilješke predavanja iz jedne od cjelina iz discipline “Geometrija i algebra” za smjer 010400.62 i discipline “Algebra i geometrija” za smjer 090900.62. Udžbenik odgovara programima rada disciplina, standardima tih specijalnosti i mogu se koristiti u pripremi za ispit od strane studenata i nastavnika.

©Država St

Sveučilište vodnih komunikacija, 2012. (monografija).

Mnoga svojstva objekata koja se nalaze u geometriji usko su povezana sa sposobnošću mjerenja duljina segmenata i kuta između ravnih linija. U linearnom prostoru još ne možemo vršiti takva mjerenja, zbog čega je opseg primjene opće teorije linearnih prostora na geometriju i niz drugih matematičkih disciplina prilično sužen. Ova se poteškoća, međutim, može otkloniti uvođenjem koncepta skalarnog umnoška dvaju vektora. Naime, neka je linearno -dimenzionalni realni prostor. Pridružimo svakom paru vektora realni broj i nazovimo taj broj skalarni proizvod vektora i ako su ispunjeni sljedeći zahtjevi:

1. (komutativno pravo).

3. za bilo koji pravi.

4. za bilo koji vektor različit od nule.

Skalarni proizvod je poseban slučaj koncepta numerička funkcija dvaju vektorskih argumenata, tj. funkcije čije su vrijednosti brojevi. Stoga možemo nazvati skalarnim produktom takvu numeričku funkciju vektorskih argumenata , , čije vrijednosti vrijede za bilo koje vrijednosti argumenata iz i za koje su zadovoljeni zahtjevi 1 − 4.

Nazvat ćemo realni linearni prostor u kojem je definiran skalarni umnožak euklidski i bit će označen sa .

Imajte na umu da je u euklidskom prostoru skalarni produkt nultog vektora i bilo kojeg vektora jednak nuli: . Doista, i zbog zahtjeva 3. Pod pretpostavkom da to dobivamo. Stoga, posebno,.

1. Neka je uobičajeni trodimenzionalni prostor geometrijskih vektora sa zajedničkim ishodištem u točki . U analitičkoj geometriji, skalarni umnožak dva takva vektora je realan broj jednak , gdje su i duljine vektora i , a je kut između vektora , , i dokazuje se da za taj broj svi zahtjevi 1 − 4 su zadovoljni.

Dakle, pojam skalarnog produkta koji smo uveli je generalizacija koncepta skalarnog produkta geometrijskih vektora.

2. Razmotrite prostor dimenzionalnih redaka sa stvarnim koordinatama i dodijelite realni broj svakom paru takvih vektora reda

Lako je provjeriti da su za ovaj broj ispunjeni svi zahtjevi 1 − 4:

i isto tako. Konačno,

budući da je barem jedan od brojeva at različit od nule.

Odavde vidimo da je ovaj broj skalarni umnožak vektora niza i , a prostor, nakon što smo uveli takav skalarni umnožak, postaje Euklidski.

3. Neka je linearni realnodimenzionalni prostor i neka je njegova baza. Pridružimo svakom paru vektora realni broj. Tada će prostor postati euklidski, tj. broj će biti skalarni produkt vektora i . Doista:

Možemo čak pretvoriti naš prostor u euklidski prostor na druge načine, na primjer, mogli bismo pridružiti par vektora realnom broju

i lako je provjeriti da su za takav broj zadovoljeni svi zahtjevi 1 − 4 koji karakteriziraju skalarni produkt. No budući da smo ovdje (s istom osnovom) definirali drugačiju numeričku funkciju, tada dobivamo drugačiji euklidski prostor s drugačijom “definicijom mjere”.

4. Na kraju, okrećući se istom prostoru, razmotrimo numeričku funkciju, koja je za , definirana jednakošću . Ova funkcija više nije skalarni produkt, budući da je zahtjev 4 prekršen: kada je , vektor je jednak , a . Dakle, ovdje se ne može dobiti euklidski prostor.

Koristeći zahtjeve 2 i 3 uključene u definiciju skalarnog produkta, lako je dobiti sljedeću formulu:

gdje su , dva proizvoljna sustava vektora. Odavde, posebno, ispada za proizvoljnu bazu i za bilo koji par vektora , da

Gdje . Izraz na desnoj strani jednakosti (1) je polinom u i i zove se bilinearni oblik iz i (svaki njegov član je linearan, tj. prvog stupnja, i u odnosu na i u odnosu na ). Bilinearni oblik naziva se simetričan, ako je za svaki njegov koeficijent zadovoljen uvjet simetrije. Tako, skalarni proizvod u proizvoljnoj osnovi izražen kao bilinearni simetrični oblik vektorskih koordinata , sa stvarnim izgledima. Ali ovo još uvijek nije dovoljno. Naime, postavljajući , iz jednakosti (1) dobivamo da

§3. Dimenzija i baza vektorskog prostora

Linearna kombinacija vektora

Trivijalna i netrivijalna linearna kombinacija

Linearno ovisni i linearno neovisni vektori

Svojstva vektorskog prostora povezana s linearnom ovisnošću vektora

P-dimenzionalni vektorski prostor

Dimenzija vektorskog prostora

Dekompozicija vektora na bazu

§4. Prijelaz na novu osnovu

Matrica prijelaza sa stare baze na novu

Vektorske koordinate u novoj bazi

§5. Euklidski prostor

Skalarni produkt

Euklidski prostor

Duljina (norma) vektora

Svojstva duljine vektora

Kut između vektora

Ortogonalni vektori

Ortonormirana baza

§ 3. Dimenzija i baza vektorskog prostora

Razmotrimo neki vektorski prostor (V, Å, ∘) nad poljem R. Neka su neki elementi skupa V, tj. vektori.

Linearna kombinacija vektori je svaki vektor jednak zbroju umnožaka tih vektora proizvoljnih elemenata polja R(tj. na skalarima):

Ako su svi skalari jednaki nuli, tada se takva linearna kombinacija naziva trivijalno(najjednostavniji), i .

Ako je barem jedan skalar različit od nule, poziva se linearna kombinacija netrivijalan.

Vektori se nazivaju linearno neovisni, ako je samo trivijalna linearna kombinacija ovih vektora jednaka:

Vektori se nazivaju linearno ovisna, ako postoji barem jedna netrivijalna linearna kombinacija ovih vektora jednaka .

Primjer. Razmotrimo skup uređenih skupova četvorki realnih brojeva - to je vektorski prostor nad poljem realnih brojeva. Zadatak: utvrditi jesu li vektori , I linearno ovisna.

Riješenje.

Napravimo linearnu kombinaciju ovih vektora: , gdje su nepoznati brojevi. Zahtijevamo da ova linearna kombinacija bude jednaka nultom vektoru: .

U ovoj jednakosti vektore pišemo kao stupce brojeva:

Ako postoje brojevi za koje ova jednakost vrijedi, a barem jedan od brojeva nije jednak nuli, tada je to netrivijalna linearna kombinacija i vektori su linearno ovisni.

Učinimo sljedeće:

Dakle, problem se svodi na rješavanje sustava linearnih jednadžbi:

Rješavajući ga, dobivamo:

Rangovi proširene i glavne matrice sustava jednaki su i manji od broja nepoznanica, stoga sustav ima beskonačan broj rješenja.

Neka , zatim i .

Dakle, za ove vektore postoji netrivijalna linearna kombinacija, na primjer na , koja je jednaka nultom vektoru, što znači da su ti vektori linearno ovisni.

Napomenimo neke svojstva vektorskog prostora povezana s linearnom ovisnošću vektora:

1. Ako su vektori linearno ovisni, tada je barem jedan od njih linearna kombinacija ostalih.

2. Ako među vektorima postoji nulti vektor, onda su ti vektori linearno ovisni.

3. Ako su neki od vektora linearno ovisni, tada su svi ti vektori linearno ovisni.

Vektorski prostor V naziva se P-dimenzionalni vektorski prostor, ako sadrži P linearno neovisni vektori i bilo koji skup ( P+ 1) vektora je linearno ovisan.

Broj P nazvao dimenzija vektorskog prostora, a označeno je dim(V) od engleske "dimenzije" - dimenzija (mjera, veličina, dimenzija, veličina, duljina itd.).

Totalitet P linearno neovisni vektori P-dimenzionalni vektorski prostor naziva se osnova.

Formula (*) se zove vektorska dekompozicija po osnovi, i brojevi – vektorske koordinate u ovoj osnovi .

Vektorski prostor može imati više od jedne ili čak beskonačno mnogo baza. U svakoj novoj bazi, isti vektor će imati različite koordinate.

§ 4. Prijelaz na novu osnovu

U linearnoj algebri često se javlja problem pronalaženja koordinata vektora u novoj bazi ako su poznate njegove koordinate u staroj bazi.

Pogledajmo neke P-dimenzionalni vektorski prostor (V, +, ·) nad poljem R. Neka u ovom prostoru budu dvije baze: stara i nova .

Zadatak: pronaći koordinate vektora u novoj bazi.

Neka vektori nove baze u staroj bazi imaju ekspanziju:

,

Zapišimo koordinate vektora u matricu ne u retke, kao što su zapisani u sustavu, već u stupce:

Rezultirajuća matrica se zove prijelazna matrica sa stare osnove na novu.

Prijelazna matrica povezuje koordinate bilo kojeg vektora u staroj i novoj bazi sljedećom relacijom:

,

gdje su željene koordinate vektora u novoj bazi.

Stoga se zadatak pronalaženja koordinata vektora u novoj bazi svodi na rješavanje matrične jednadžbe: , gdje x– matrica-stupac vektorskih koordinata u staroj bazi, A– matrica prijelaza sa stare baze na novu, x* – tražena matrica-stupac vektorskih koordinata u novoj bazi. Iz matrične jednadžbe dobivamo:

Tako, vektorske koordinate u novoj osnovi nalaze se iz jednakosti:

.

Primjer. U određenoj bazi zadane su vektorske dekompozicije:

Odredite koordinate vektora u bazi.

Riješenje.

1. Napišimo matricu prijelaza na novu bazu, tj. Koordinate vektora u staroj bazi zapisat ćemo u stupcima:

2. Pronađite matricu A –1:

3. Izvršite množenje , gdje su koordinate vektora:

Odgovor: .

§ 5. Euklidski prostor

Pogledajmo neke P-dimenzionalni vektorski prostor (V, +, ·) nad poljem realnih brojeva R. Neka bude neka osnova ovog prostora.

Uvedimo u ovaj vektorski prostor metrički, tj. Odredimo metodu mjerenja duljina i kutova. Da bismo to učinili, definiramo koncept skalarnog proizvoda.