Jednostavan algoritam za određivanje sjecišta dva segmenta. Sjeku li se pravci: presjek odsječaka na ravnini

Tema 3. Teorija

Analitička geometrija u prostoru.

Jednadžbe ravnine i pravca.

 Opća jednadžba avion je algebarska jednadžba prvog reda s obzirom na koordinate (x; g; z)

- normalan , vektor okomit na ravninu.

Uvjeti paralelnosti i okomitosti ravnina određeni su uvjetima kolinearnosti i okomitosti normala.

Neke standardne vrste jednadžbi ravnina:

Stvarne jednadžbe ravnine dobit ćemo ako odgovarajuću determinantu proširimo u prvom retku.

 Formula za izračun udaljenosti iz dana točka M 1 (x 1 , g 1 , z 1 ) prije avion, dano jednadžbom Ah+Po+ Cz+ D=0 :

.

Očito, ako d=0 , zatim točka M 1 pripada ravnini.

 Ravna crta u prostoru se definira kao linija presjeka dviju neparalelnih ravnina (sve ravnine koje prolaze kroz ravnu liniju).

Vrste jednadžbi pravca u prostoru:

Uvjeti paralelnosti i okomitosti pravaca u prostoru definirani su kao uvjeti kolinearnosti, odnosno okomitosti njihovih vektora smjera. Neka su ravne linije (1) i (2) zadane u kanonskom ili parametarskom obliku

.

 Uvjet presjeka dviju linija u prostoru – ovo je uvjet komplonarnosti tri vektora:

 Tranzicija od općih linearnih jednadžbi do jednadžbi u kanonskom ili parametarskom obliku provodi se na sljedeći način (moguć je i obrnuti prijelaz).

Jednadžbe pravca date su u općem obliku:
.

Nađimo koordinate vektora smjera:
kao vektorski umnožak normala ravnina koje određuju pravac.

Naći ćemo bilo koji točka koja pripada pravoj. Također pripada objema ravninama koje određuju pravac, pa se njegove koordinate (x 0, y 0, z 0) mogu pronaći iz sustava jednadžbi:

,

u kojoj jedna od koordinata mora biti navedena proizvoljno (budući da nalazimo bilo koji točka), ali tako da sustav ima jedinstveno rješenje. Vektorske koordinate a pronađena točka se supstituira u kanonske ili parametarske jednadžbe.

Uvjeti paralelnosti i okomitosti pravca i ravnine formulirani su kao uvjeti okomitosti i paralelnosti normale i vektora pravca.

U dvodimenzionalnom prostoru dvije se linije sijeku samo u jednoj točki, definiranoj koordinatama (x,y). Budući da oba pravca prolaze kroz svoju točku sjecišta, koordinate (x,y) moraju zadovoljiti obje jednadžbe koje opisuju te pravce. Uz neke dodatne vještine, možete pronaći točke sjecišta parabola i drugih kvadratnih krivulja.

Koraci

Točka presjeka dviju linija

Napišite jednadžbu za svaki redak, izolirajući varijablu "y" na lijevoj strani jednadžbe. Ostale članove jednadžbe treba staviti na desnu stranu jednadžbe. Možda će jednadžba koja vam je dana sadržavati varijablu f(x) ili g(x) umjesto "y"; u ovom slučaju, izolirajte takvu varijablu. Da biste izolirali varijablu, izvršite odgovarajuću matematiku na obje strane jednadžbe.

• Ako vam jednadžbe pravaca nisu dane, na temelju informacija koje znate.
• Primjer. Zadane su ravne linije opisane jednadžbama i y − 12 = − 2 x (\displaystyle y-12=-2x). Da biste izolirali "y" u drugoj jednadžbi, dodajte broj 12 objema stranama jednadžbe:

1. Tražite točku presjeka obiju pravaca, odnosno točku čije koordinate (x, y) zadovoljavaju obje jednadžbe. Budući da je varijabla "y" na lijevoj strani svake jednadžbe, izrazi koji se nalaze na desnoj strani svake jednadžbe mogu se izjednačiti. Napiši novu jednadžbu.

   • Primjer. Jer y = x + 3 (\displaystyle y=x+3) I y = 12 − 2 x (\displaystyle y=12-2x), tada možemo napisati sljedeću jednakost: .

2. Pronađite vrijednost varijable "x". Nova jednadžba sadrži samo jednu varijablu, "x". Da biste pronašli "x", izolirajte tu varijablu na lijevoj strani jednadžbe izvođenjem odgovarajuće matematike na obje strane jednadžbe. Trebali biste dobiti jednadžbu oblika x = __ (ako to ne možete učiniti, pogledajte ovaj odjeljak).

   • Primjer. x + 3 = 12 − 2 x (\displaystyle x+3=12-2x)
   • Dodati 2 x (\displaystyle 2x) na svaku stranu jednadžbe:
   • 3 x + 3 = 12 (\displaystyle 3x+3=12)
   • Oduzmite 3 od svake strane jednadžbe:
   • 3 x = 9 (\displaystyle 3x=9)
   • Svaku stranu jednadžbe podijelite s 3:
   • x = 3 (\displaystyle x=3).

3. Pomoću pronađene vrijednosti varijable "x" izračunajte vrijednost varijable "y". Da biste to učinili, zamijenite pronađenu vrijednost "x" u jednadžbu (bilo koju) ravne linije.

   • Primjer. x = 3 (\displaystyle x=3) I y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)
   • y = 3 + 3 (\displaystyle y=3+3)
   • y = 6 (\displaystyle y=6)

4. Provjerite odgovor. Da biste to učinili, zamijenite vrijednost "x" u drugu jednadžbu retka i pronađite vrijednost "y". Ako dobijete različite vrijednosti y, provjerite jesu li vaši izračuni točni.

   • Primjer: x = 3 (\displaystyle x=3) I y = 12 − 2 x (\displaystyle y=12-2x)
   • y = 12 − 2 (3) (\displaystyle y=12-2(3))
   • y = 12 − 6 (\displaystyle y=12-6)
   • y = 6 (\displaystyle y=6)
   • Dobili ste istu vrijednost za y, tako da nema pogrešaka u vašim izračunima.

5. Zapišite koordinate (x,y). Nakon što ste izračunali vrijednosti "x" i "y", pronašli ste koordinate točke sjecišta dviju linija. Zapišite koordinate sjecišta u (x,y) obliku.

   • Primjer. x = 3 (\displaystyle x=3) I y = 6 (\displaystyle y=6)
   • Dakle, dvije se ravne crte sijeku u točki s koordinatama (3,6).

6. Proračuni u posebnim slučajevima. U nekim slučajevima vrijednost varijable "x" nije moguće pronaći. Ali to ne znači da ste pogriješili. Poseban slučaj događa se kada je ispunjen jedan od sljedećih uvjeta:

   • Ako su dvije linije paralelne, one se ne sijeku. U ovom slučaju, varijabla “x” će se jednostavno smanjiti, a vaša jednadžba će se pretvoriti u besmislenu jednakost (npr. 0 = 1 (\displaystyle 0=1)). U tom slučaju u svom odgovoru zapišite da se pravci ne sijeku ili da nema rješenja.
   • Ako obje jednadžbe opisuju jednu ravnu liniju, tada će postojati beskonačan broj sjecišnih točaka. U ovom slučaju, varijabla "x" će se jednostavno poništiti, a vaša jednadžba će se pretvoriti u striktnu jednakost (na primjer, 3 = 3 (\displaystyle 3=3)). U tom slučaju u svom odgovoru napišite da se dvije linije poklapaju.

   Problemi s kvadratnom funkcijom

   1. Definicija kvadratne funkcije. U kvadratnoj funkciji, jedna ili više varijabli imaju drugi stupanj (ali ne viši), na primjer, x 2 (\displaystyle x^(2)) ili y 2 (\displaystyle y^(2)). Grafovi kvadratnih funkcija su krivulje koje se ne smiju presijecati ili se mogu presijecati u jednoj ili dvije točke. U ovom odjeljku ćemo vam reći kako pronaći sjecište ili točke sjecišta kvadratnih krivulja.

   2. Prepišite svaku jednadžbu izdvajanjem varijable "y" na lijevoj strani jednadžbe. Ostale članove jednadžbe treba staviti na desnu stranu jednadžbe.

      • Primjer. Pronađite točku(e) presjeka grafova x 2 + 2 x − y = − 1 (\displaystyle x^(2)+2x-y=-1) I
      • Izolirajte varijablu "y" na lijevoj strani jednadžbe:
      • I y = x + 7 (\displaystyle y=x+7) .
      • U ovom primjeru dana vam je jedna kvadratna funkcija i jedna linearna funkcija. Imajte na umu da ako su vam zadane dvije kvadratne funkcije, izračuni su slični koracima navedenim u nastavku.

   3. Izjednačite izraze s desne strane svake jednadžbe. Budući da je varijabla "y" na lijevoj strani svake jednadžbe, izrazi koji se nalaze na desnoj strani svake jednadžbe mogu se izjednačiti.

      • Primjer. y = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle y=x^(2)+2x+1) I y = x + 7 (\displaystyle y=x+7)

   4. Prenesite sve članove dobivene jednadžbe na njezinu lijevu stranu, a na desnu upišite 0. Da biste to učinili, napravite neke osnovne matematike. To će vam omogućiti da riješite dobivenu jednadžbu.

      • Primjer. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\displaystyle x^(2)+2x+1=x+7)
      • Oduzmite "x" s obje strane jednadžbe:
      • x 2 + x + 1 = 7 (\displaystyle x^(2)+x+1=7)
      • Oduzmite 7 od obje strane jednadžbe:

   5. Riješite kvadratnu jednadžbu. Pomicanjem svih članova jednadžbe na njezinu lijevu stranu, dobit ćete kvadratnu jednadžbu. Može se riješiti na tri načina: posebnom formulom i.

      • Primjer. x 2 + x − 6 = 0 (\displaystyle x^(2)+x-6=0)
      • Kada faktorirate jednadžbu, dobivate dva binoma, koji, kada se pomnože, daju izvornu jednadžbu. U našem primjeru, prvi izraz x 2 (\displaystyle x^(2)) može se rastaviti na x * x. Zapišite ovo: (x)(x) = 0
      • U našem primjeru, slobodni član -6 može se rastaviti na sljedeće faktore: − 6 ∗ 1 (\displaystyle -6*1), − 3 ∗ 2 (\displaystyle -3*2), − 2 ∗ 3 (\displaystyle -2*3), − 1 ∗ 6 (\displaystyle -1*6).
      • U našem primjeru, drugi izraz je x (ili 1x). Zbrajajte svaki par faktora lažnog člana (u našem primjeru -6) dok ne dobijete 1. U našem primjeru, odgovarajući par faktora lažnog člana su brojevi -2 i 3 ( − 2 ∗ 3 = − 6 (\displaystyle -2*3=-6)), jer − 2 + 3 = 1 (\displaystyle -2+3=1).
      • Upiši u prazna mjesta pronađeni par brojeva: .

   6. Ne zaboravite na drugu točku sjecišta dva grafikona. Ako problem riješite brzo i ne baš pažljivo, možete zaboraviti na drugu točku sjecišta. Evo kako pronaći x koordinate dviju točaka sjecišta:

      • Primjer (faktorizacija). Ako je u jednadžbi (x − 2) (x + 3) = 0 (\displaystyle (x-2)(x+3)=0) jedan od izraza u zagradama bit će jednak 0, tada će cijela jednadžba biti jednaka 0. Stoga je možemo napisati ovako: x − 2 = 0 (\displaystyle x-2=0) → x = 2 (\displaystyle x=2) I x + 3 = 0 (\displaystyle x+3=0) → x = − 3 (\displaystyle x=-3) (odnosno, pronašli ste dva korijena jednadžbe).
      • Primjer (upotreba formule ili dovršavanje savršenog kvadrata). Kada koristite jednu od ovih metoda, u procesu rješenja pojavit će se kvadratni korijen. Na primjer, jednadžba iz našeg primjera će imati oblik x = (− 1 + 25) / 2 (\displaystyle x=(-1+(\sqrt (25)))/2). Upamtite da ćete pri vađenju kvadratnog korijena dobiti dva rješenja. U našem slučaju: 25 = 5 ∗ 5 (\displaystyle (\sqrt (25))=5*5), I 25 = (− 5) ∗ (− 5) (\displaystyle (\sqrt (25))=(-5)*(-5)). Dakle, napišite dvije jednadžbe i pronađite dvije vrijednosti x.

   7. Grafovi se sijeku u jednoj točki ili se uopće ne sijeku. Do takvih situacija dolazi ako su ispunjeni sljedeći uvjeti:

      • Ako se grafikoni sijeku u jednoj točki, tada se kvadratna jednadžba rastavlja na identične faktore, na primjer, (x-1) (x-1) = 0, a kvadratni korijen iz 0 pojavljuje se u formuli ( 0 (\displaystyle (\sqrt (0)))). U ovom slučaju jednadžba ima samo jedno rješenje.
      • Ako se grafikoni uopće ne sijeku, jednadžba nije faktorizirana, a kvadratni korijen negativnog broja pojavljuje se u formuli (na primjer, − 2 (\displaystyle (\sqrt (-2)))). U tom slučaju u svom odgovoru napišite da nema rješenja.

Zadatak

Riješenje

Lijeva slika (1) prikazuje dva segmenta, za oba je ispunjen uvjet, a segmenti se sijeku. Na desnoj (2) slici uvjet je ispunjen za segment b, ali za segment a nije ispunjen, pa se prema tome segmenti ne sijeku.
Može se činiti da je određivanje na kojoj strani crte točka leži netrivijalan zadatak, ali strah ima velike oči i sve nije tako teško. Znamo da vektorsko množenje dvaju vektora daje treći vektor čiji smjer ovisi o tome je li kut između prvog i drugog vektora pozitivan ili negativan, odnosno takva je operacija antikomutativna. A budući da svi vektori leže na ravnini X-Y, njihov vektorski umnožak (koji mora biti okomit na vektore koji se množe) imat će samo komponentu Z različitu od nule, i prema tome, razlika između umnožaka vektora bit će samo u ovom komponenta. Štoviše, kada se mijenja redoslijed množenja vektora (čitaj: kut između umnoženih vektora), to će se sastojati isključivo od promjene predznaka ove komponente.
Dakle, vektor diobenog segmenta možemo pomnožiti u parovima vektorima usmjerenim od početka diobenog segmenta prema objema točkama segmenta koji provjeravamo.

Ako komponente Z oba umnoška imaju različit predznak, tada je jedan od kutova manji od 0, ali veći od -180, a drugi je veći od 0, odnosno manji od 180, točke leže na suprotnim stranama pravca. . Ako komponente Z oba umnoška imaju isti predznak, dakle leže na istoj strani crte.
Ako je jedna od komponenti Z jednaka nuli, tada imamo granični slučaj kada točka leži točno na pravcu koji se testira. Ostavimo korisniku da odluči želi li ovo smatrati raskrižjem.
Zatim trebamo ponoviti operaciju za još jedan segment i liniju, te se uvjeriti da mjesto krajnjih točaka također zadovoljava uvjet.
Dakle, ako je sve u redu i oba segmenta zadovoljavaju uvjet, tada sjecište postoji. Pronađimo ga, a u tome će nam pomoći i vektorski produkt.
Kako u vektorskom umnošku imamo samo komponentu Z različitu od nule, tada će njen modul (duljina vektora) biti numerički jednak upravo toj komponenti. Pogledajmo kako pronaći točku sjecišta.

Duljina vektorskog umnoška vektora a i b (kao što smo saznali, brojčano je jednaka njegovoj komponenti Z) jednaka je umnošku apsolutnih vrijednosti ovih vektora i sinusa kuta između njih (|a |. |b|. sin(ab)). Sukladno tome, za konfiguraciju na slici imamo sljedeće: |AB x AC| = |AB||AC|sin(α), i |AB x AD| = |AB||AD| sin(β). |AC|sin(α) je okomica iz točke C na segment AB, a |AD|sin(β) je okomica iz točke D na segment AB (krak ADD"). Budući da su kutovi γ i δ okomiti kutovi, tada jednaki su, što znači da su trokuti PCC" i PDD" slični, pa su prema tome i duljine svih njihovih stranica proporcionalne u jednakim omjerima.
Imajući Z1 (AB x AC, što znači |AB||AC|sin(α)) i Z2 (AB x AD, što znači |AB||AD|sin(β)), možemo izračunati CC"/DD" ( koja će biti jednaka Z1/Z2), a također znajući da je CC"/DD" = CP/DP, možete lako izračunati lokaciju točke P. Osobno, ja to radim na sljedeći način:

Px = Cx + (Dx-Cx)*|Z1|/|Z2-Z1|;
Py = Cy + (Dy-Cy)*|Z1|/|Z2-Z1|;

To je sve. Mislim da je stvarno vrlo jednostavno i elegantno. Zaključno, želio bih dati funkcijski kod koji implementira ovaj algoritam. Funkcija koristi vlastiti vektorski predložak , koji je vektorski predložak int veličine s komponentama tipa typename. Zainteresirani mogu jednostavno prilagoditi funkciju svojim vrstama vektora.

1 predložak 2 bool are_crossing(vektor const &v11, vektor const &v12, vektor const &v21, vektor const &v22, vektor *križanje) 3 ( 4 vektor cut1(v12-v11), cut2(v22-v21); 5 vektor proizvod1, proizvod2; 6 7 prod1 = cross(cut1 * (v21-v11)); 8 prod2 = cross(cut1 * (v22-v11)); 9 10 if(sign(prod1[Z]) == sign(prod2[Z]) || (prod1[Z] == 0) || (prod2[Z] == 0)) // Također smo odrezali graničnu liniju slučajevi 11 vraćaju lažno; 12 13 prod1 = cross(cut2 * (v11-v21)); 14 prod2 = cross(cut2 * (v12-v21)); 15 16 if(sign(prod1[Z]) == sign(prod2[Z]) || (prod1[Z] == 0) || (prod2[Z] == 0)) // Također smo odrezali granicu slučajevi 17 vraćaju lažno; 18 19 if(križanje) ( // Provjerite je li potrebno odrediti lokaciju raskrižja 20 (*križanje)[X] = v11[X] + cut1[X]*fabs(prod1[Z])/fabs(prod2[ Z]-prod1[Z]); 21 (*prijelaz)[Y] = v11[Y]*fabs(prod1[Z])/fabs(prod2[Z]-prod1[Z]); pravi; 25)

Za rješavanje geometrijskog problema koordinatnom metodom potrebna je sjecišna točka čije se koordinate koriste u rješenju. Dolazi do situacije kada trebate tražiti koordinate sjecišta dviju linija u ravnini ili odrediti koordinate istih linija u prostoru. Ovaj članak razmatra slučajeve pronalaženja koordinata točaka u kojima se zadani pravci sijeku.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Potrebno je definirati točke sjecišta dviju linija.

Odjeljak o međusobnom položaju pravaca u ravnini pokazuje da se oni mogu podudarati, biti paralelni, sijeći se u jednoj zajedničkoj točki ili se presijecati. Dva pravca u prostoru nazivaju se sijekućima ako imaju jednu zajedničku točku.

Definicija točke sjecišta linija zvuči ovako:

Definicija 1

Točka u kojoj se dva pravca sijeku naziva se njihovim sjecištem. Drugim riječima, točka sjecišta linija je točka presjeka.

Pogledajmo donju sliku.

Prije pronalaženja koordinata točke sjecišta dviju linija, potrebno je razmotriti primjer u nastavku.

Ako ravnina ima koordinatni sustav O x y, tada su zadane dvije prave a i b. Pravac a odgovara općoj jednadžbi oblika A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, za pravac b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Tada je M 0 (x 0 , y 0) određena točka ravnine; potrebno je odrediti hoće li točka M 0 biti sjecište ovih pravaca.

Za rješavanje problema potrebno je pridržavati se definicije. Tada se pravci moraju presijecati u točki čije su koordinate rješenje zadanih jednadžbi A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 i A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. To znači da su koordinate točke presjeka zamijenjene u sve zadane jednadžbe. Ako, nakon zamjene, daju točan identitet, tada se M 0 (x 0 , y 0) smatra njihovom točkom presjeka.

Primjer 1

Date su dvije crte koje se sijeku 5 x - 2 y - 16 = 0 i 2 x - 5 y - 19 = 0. Hoće li točka M 0 s koordinatama (2, - 3) biti sjecišna točka.

Riješenje

Da bi sjecište pravaca bilo valjano, potrebno je da koordinate točke M 0 zadovoljavaju jednadžbe pravaca. To se može provjeriti njihovom zamjenom. Shvaćamo to

5 2 - 2 (- 3) - 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 2 - 5 (- 3) - 19 = 0 ⇔ 0 = 0

Obje jednakosti su točne, što znači da je M 0 (2, - 3) sjecište zadanih pravaca.

Oslikajmo ovo rješenje na koordinatnoj liniji donje slike.

Odgovor: zadana točka s koordinatama (2, - 3) bit će sjecište zadanih pravaca.

Primjer 2

Hoće li se pravci 5 x + 3 y - 1 = 0 i 7 x - 2 y + 11 = 0 presijecati u točki M 0 (2, - 3)?

Riješenje

Da biste riješili problem, trebate zamijeniti koordinate točke u sve jednadžbe. Shvaćamo to

5 2 + 3 (- 3) - 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 2 - 2 (- 3) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0

Druga jednakost nije točna, to znači da navedena točka ne pripada pravoj 7 x - 2 y + 11 = 0. Iz ovoga imamo da točka M 0 nije sjecište pravaca.

Crtež jasno pokazuje da M 0 nije sjecište pravaca. Imaju zajedničku točku s koordinatama (- 1, 2).

Odgovor: točka s koordinatama (2, - 3) nije sjecište zadanih pravaca.

Nastavljamo s pronalaženjem koordinata točaka sjecišta dviju linija pomoću zadanih jednadžbi na ravnini.

Dvije linije koje se sijeku a i b određene su jednadžbama oblika A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 i A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, koje se nalaze na O ​​x y. Prilikom označavanja sjecišta M 0, nalazimo da trebamo nastaviti tražiti koordinate koristeći jednadžbe A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 i A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.

Iz definicije je očito da je M 0 zajednička točka presjeka pravaca. U tom slučaju njegove koordinate moraju zadovoljavati jednadžbe A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 i A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Drugim riječima, ovo je rješenje rezultirajućeg sustava A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.

To znači da je za pronalaženje koordinata sjecišta potrebno sustavu dodati sve jednadžbe i riješiti ga.

Primjer 3

Na ravnini su date dvije ravne crte x - 9 y + 14 = 0 i 5 x - 2 y - 16 = 0. potrebno je pronaći njihovo sjecište.

Riješenje

Podatke o uvjetima jednadžbe potrebno je prikupiti u sustav, nakon čega dobivamo x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0. Da biste ga riješili, riješite prvu jednadžbu za x i zamijenite izraz u drugu:

x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 5 9 y - 14 - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 43 y - 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 y = 2 ⇔ x = 9 2 - 14 y = 2 ⇔ x = 4 y = 2

Dobiveni brojevi su koordinate koje je trebalo pronaći.

Odgovor: M 0 (4, 2) je sjecište pravaca x - 9 y + 14 = 0 i 5 x - 2 y - 16 = 0.

Pronalaženje koordinata svodi se na rješavanje sustava linearnih jednadžbi. Ako je uvjetom zadan drugačiji tip jednadžbe, tada je treba svesti na normalni oblik.

Primjer 4

Odredite koordinate točaka sjecišta pravaca x - 5 = y - 4 - 3 i x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R.

Riješenje

Prvo morate jednadžbe dovesti u opći oblik. Tada dobivamo da se x = 4 + 9 λ y = 2 + λ , λ ∈ R transformira na sljedeći način:

x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ ⇔ λ = x - 4 9 λ = y - 2 1 ⇔ x - 4 9 = y - 2 1 ⇔ ⇔ 1 · (x - 4) = 9 · (y - 2) ⇔ x - 9 y + 14 = 0

Zatim uzmemo jednadžbu kanonskog oblika x - 5 = y - 4 - 3 i transformiramo je. Shvaćamo to

x - 5 = y - 4 - 3 ⇔ - 3 x = - 5 y - 4 ⇔ 3 x - 5 y + 20 = 0

Odavde imamo da su koordinate točka presjeka

x - 9 y + 14 = 0 3 x - 5 y + 20 = 0 ⇔ x - 9 y = - 14 3 x - 5 y = - 20

Upotrijebimo Cramerovu metodu za pronalaženje koordinata:

∆ = 1 - 9 3 - 5 = 1 · (- 5) - (- 9) · 3 = 22 ∆ x = - 14 - 9 - 20 - 5 = - 14 · (- 5) - (- 9) · ( - 20) = - 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 110 22 = - 5 ∆ y = 1 - 14 3 - 20 = 1 · (- 20) - (- 14) · 3 = 22 ⇒ y = ∆ y ∆ = 22 22 = 1

Odgovor: M 0 (- 5, 1) .

Također postoji način da se pronađu koordinate sjecišta linija koje se nalaze na ravnini. Primjenjivo je kada je jedna od linija dana parametarskim jednadžbama oblika x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , λ ∈ R . Zatim umjesto vrijednosti x zamijenimo x = x 1 + a x · λ i y = y 1 + a y · λ, gdje dobivamo λ = λ 0, što odgovara točki sjecišta koja ima koordinate x 1 + a x · λ 0. , y 1 + a y · λ 0 .

Primjer 5

Odredite koordinate sjecišta pravca x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R i x - 5 = y - 4 - 3.

Riješenje

Potrebno je izvršiti zamjenu u x - 5 = y - 4 - 3 s izrazom x = 4 + 9 · λ, y = 2 + λ, tada dobivamo:

4 + 9 λ - 5 = 2 + λ - 4 - 3

Prilikom rješavanja nalazimo da je λ = - 1. Slijedi da između pravaca x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R i x - 5 = y - 4 - 3 postoji sjecište. Da biste izračunali koordinate, trebate zamijeniti izraz λ = - 1 u parametarsku jednadžbu. Tada dobivamo da je x = 4 + 9 · (- 1) y = 2 + (- 1) ⇔ x = - 5 y = 1.

Odgovor: M 0 (- 5, 1) .

Da biste u potpunosti razumjeli temu, morate znati neke nijanse.

Prvo morate razumjeti mjesto linija. Kada se presjeku, pronaći ćemo koordinate u drugim slučajevima, neće biti rješenja. Da biste izbjegli ovu provjeru, možete kreirati sustav oblika A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 + C 2 = 0 Ako postoji rješenje, zaključujemo da se pravci sijeku. Ako rješenja nema, onda su paralelni. Kada sustav ima beskonačan broj rješenja, onda se kaže da se podudaraju.

Primjer 6

Zadani su pravci x 3 + y - 4 = 1 i y = 4 3 x - 4. Utvrdite imaju li zajedničku točku.

Riješenje

Pojednostavnjujući zadane jednadžbe, dobivamo 1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 i 4 3 x - y - 4 = 0.

Jednadžbe treba sakupiti u sustav za naknadno rješavanje:

1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 1 3 x - y - 4 = 0 ⇔ 1 3 x - 1 4 y = 1 4 3 x - y = 4

Iz ovoga vidimo da se jednadžbe izražavaju jedna kroz drugu, tada dobivamo beskonačan broj rješenja. Tada jednadžbe x 3 + y - 4 = 1 i y = 4 3 x - 4 definiraju isti pravac. Stoga nema točaka sjecišta.

Odgovor: zadane jednadžbe definiraju istu ravnu liniju.

Primjer 7

Odredite koordinate točke presjeka pravaca 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 i 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0.

Riješenje

Prema uvjetu, to je moguće, linije se neće presijecati. Potrebno je izraditi sustav jednadžbi i riješiti. Za rješavanje je potrebno koristiti Gaussovu metodu, jer je pomoću nje moguće provjeriti kompatibilnost jednadžbe. Dobivamo sustav oblika:

2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 2 (3 + 2) x - 7 y - 1 = 0 ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 - 3 y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y + (2 x + (2 - 3) y) · (- (3 + 2)) = 1 + - 7 · (- (3 + 2)) ⇔ ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 0 = 22 - 7 2

Dobili smo netočnu jednakost, što znači da sustav nema rješenja. Zaključujemo da su pravci paralelni. Nema točaka sjecišta.

Drugo rješenje.

Prvo morate utvrditi prisutnost sjecišta linija.

n 1 → = (2, 2 - 3) je vektor normale pravca 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0, tada je vektor n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7 vektor normale za pravac 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 .

Potrebno je provjeriti kolinearnost vektora n 1 → = (2, 2 - 3) i n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7). Dobivamo jednakost oblika 2 2 (3 + 2) = 2 - 3 - 7. Točno je jer je 2 2 3 + 2 - 2 - 3 - 7 = 7 + 2 - 3 (3 + 2) 7 (3 + 2) = 7 - 7 7 (3 + 2) = 0. Slijedi da su vektori kolinearni. To znači da su pravci paralelni i nemaju točaka sjecišta.

Odgovor: nema sjecišta, linije su paralelne.

Primjer 8

Odredi koordinate sjecišta zadanih pravaca 2 x - 1 = 0 i y = 5 4 x - 2 .

Riješenje

Za rješavanje sastavljamo sustav jednadžbi. Dobivamo

2 x - 1 = 0 5 4 x - y - 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x - y = 2

Nađimo determinantu glavne matrice. Za to je 2 0 5 4 - 1 = 2 · (- 1) - 0 · 5 4 = - 2. Budući da nije jednak nuli, sustav ima 1 rješenje. Slijedi da se pravci sijeku. Riješimo sustav za pronalaženje koordinata presječnih točaka:

2 x = 1 5 4 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 1 2 - y = 2 ⇔ x = 1 2 y = - 11 8

Utvrdili smo da sjecište zadanih pravaca ima koordinate M 0 (1 2, - 11 8).

Odgovor: M 0 (1 2 , - 11 8) .

Određivanje koordinata sjecišta dviju pravaca u prostoru

Na isti način pronalaze se i sjecišta ravnih linija u prostoru.

Kada su pravci a i b zadani u koordinatnoj ravnini O x y z jednadžbama ravnina koje se sijeku, tada postoji pravac a, koji se može odrediti korištenjem zadanog sustava A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 1 = 0 i pravac b - A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0.

Kada je točka M 0 sjecište pravaca, tada njezine koordinate moraju biti rješenja obiju jednadžbi. Dobivamo linearne jednadžbe u sustavu:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0

Pogledajmo slične zadatke na primjerima.

Primjer 9

Odredite koordinate sjecišta zadanih pravaca x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 i 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0

Riješenje

Sastavimo sustav x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 i riješimo ga. Da biste pronašli koordinate, morate riješiti kroz matricu. Tada dobivamo glavnu matricu oblika A = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 - 2 i proširenu matricu T = 1 0 0 1 0 1 2 - 3 4 0 - 2 4 . Određujemo Gaussov rang matrice.

Shvaćamo to

1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 - 3 3 2 0 - 3 4 0 - 2 4 = 0

Iz toga slijedi da rang proširene matrice ima vrijednost 3. Tada sustav jednadžbi x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 27 - 4 = 0 daje samo jedno rješenje.

Bazni minor ima determinantu 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , tada zadnja jednadžba ne vrijedi. Dobivamo da je x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y - 3. Rješenje sustava x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 1 + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ ⇔ x = 1 - 3 + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = - 3 .

To znači da sjecišna točka x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 i 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ima koordinate (1, - 3, 0).

Odgovor: (1 , - 3 , 0) .

Sustav oblika A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 ima samo jedno rješenje. To znači da se pravci a i b sijeku.

U ostalim slučajevima jednadžba nema rješenja, odnosno nema zajedničkih točaka. Odnosno, nemoguće je pronaći točku s koordinatama, jer ona ne postoji.

Dakle, sustav oblika A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 rješava se Gaussovom metodom. Ako je nekompatibilno, linije se ne sijeku. Ako postoji beskonačan broj rješenja, onda se ona podudaraju.

Možete riješiti izračunavanjem osnovnog i proširenog ranga matrice, a zatim primijeniti Kronecker-Capellijev teorem. Dobivamo jedno, više ili nijedno rješenje.

Primjer 10

Zadane su jednadžbe pravaca x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 i x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0. Pronađite točku sjecišta.

Riješenje

Prvo, napravimo sustav jednadžbi. Dobivamo da je x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0. Rješavamo ga Gaussovom metodom:

1 2 - 3 4 2 - 1 0 - 5 1 0 - 3 0 3 - 2 2 1 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 - 2 0 - 4 0 - 8 11 - 11 ~ ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 7 5 - 159 5 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 0 311 10

Očito je da sustav nema rješenja, što znači da se pravci ne sijeku. Nema sjecišta.

Odgovor: nema sjecišta.

Ako su pravci zadani pomoću konusnih ili parametarskih jednadžbi, potrebno ih je svesti na oblik jednadžbi ravnina koje se sijeku, a zatim pronaći koordinate.

Primjer 11

Dana su dva pravca x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ, λ ∈ R i x 2 = y - 3 0 = z 5 u O x y z. Pronađite točku sjecišta.

Riješenje

Pravce definiramo jednadžbama dviju ravnina koje se sijeku. Shvaćamo to

x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ ⇔ λ = x + 3 - 1 λ = y - 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 x + 3 - 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y - 3 0 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0

Pronalazimo koordinate 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0, za to izračunavamo rangove matrice. Rang matrice je 3, a bazni minor je 3 - 1 0 3 0 1 0 1 0 = - 3 ≠ 0, što znači da se zadnja jednadžba mora isključiti iz sustava. Shvaćamo to

3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0

Riješimo sustav Cramerovom metodom. Dobivamo da je x = - 2 y = 3 z = - 5 . Odavde dobivamo da sjecište zadanih pravaca daje točku s koordinatama (- 2, 3, - 5).

Odgovor: (- 2 , 3 , - 5) .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Prilikom rješavanja nekih geometrijskih problema koordinatnom metodom morate pronaći koordinate točke sjecišta pravaca. Najčešće morate tražiti koordinate točke sjecišta dviju linija na ravnini, ali ponekad postoji potreba za određivanjem koordinata točke sjecišta dviju linija u prostoru. U ovom članku bavit ćemo se pronalaženjem koordinata točke u kojoj se dva pravca sijeku.

Navigacija po stranici.

Točka presjeka dviju linija je definicija.

Najprije odredimo točku presjeka dviju linija.

U odjeljku o međusobnom položaju pravaca na ravnini pokazano je da se dva pravca na ravnini mogu ili podudarati (i imaju beskonačno mnogo zajedničkih točaka), ili biti paralelna (a dva pravca nemaju zajedničkih točaka), ili se sijeći , koji imaju jednu zajedničku točku. Postoji više mogućnosti međusobnog položaja dviju linija u prostoru - mogu se podudarati (imati beskonačno mnogo zajedničkih točaka), mogu biti paralelne (tj. ležati u istoj ravnini i ne sijeku se), mogu se sijeći (ne leže u istoj ravnini), a mogu imati i jednu zajedničku točku, odnosno sijeći se. Dakle, dva pravca i u ravnini i u prostoru nazivaju se sijekućima ako imaju jednu zajedničku točku.

Iz definicije sjecišta linija slijedi određivanje točke sjecišta linija: Točka u kojoj se sijeku dva pravca naziva se sjecištem tih pravaca. Drugim riječima, jedina zajednička točka dviju linija koje se sijeku je točka presjeka tih linija.

Radi jasnoće prikazujemo grafički prikaz točke presjeka dviju ravnih linija na ravnini iu prostoru.

Vrh stranice

Određivanje koordinata sjecišta dviju pravaca na ravnini.

Prije pronalaženja koordinata sjecišta dviju ravnina na ravnini koristeći njihove poznate jednadžbe, razmotrite pomoćni problem.

Oxy a I b. Pretpostavit ćemo to ravno a odgovara općoj jednadžbi ravne linije oblika , i ravne crte b– tip . Neka je neka točka na ravnini, a mi moramo saznati je li točka M 0 sjecište zadanih pravaca.

Idemo riješiti problem.

Ako M0 a I b, onda po definiciji također pripada liniji a i ravno b, odnosno njegove koordinate moraju zadovoljavati i jednadžbu i jednadžbu. Stoga moramo zamijeniti koordinate točke M 0 u jednadžbe zadanih redaka i vidjeti da li to rezultira dvjema točnim jednakostima. Ako su koordinate točke M 0 zadovoljavaju obje jednadžbe i , tada je točka presjeka linija a I b, inače M 0 .

Je li poanta M 0 s koordinatama (2, -3) točka sjecišta linija 5x-2y-16=0 I 2x-5y-19=0?

Ako M 0 je doista točka presjeka zadanih pravaca, tada njegove koordinate zadovoljavaju jednadžbe pravaca. Provjerimo to zamjenom koordinata točke M 0 u date jednadžbe:

Dobili smo dvije prave jednakosti, dakle, M 0 (2, -3)- točka sjecišta linija 5x-2y-16=0 I 2x-5y-19=0.

Radi jasnoće, predstavljamo crtež koji prikazuje ravne linije i koordinate njihovih sjecišta su vidljive.

da, točka M 0 (2, -3) je točka sjecišta linija 5x-2y-16=0 I 2x-5y-19=0.

Da li se linije sijeku? 5x+3y-1=0 I 7x-2y+11=0 u točki M 0 (2, -3)?

Zamijenimo koordinate točke M 0 u jednadžbe ravnih linija, ova radnja će provjeriti pripada li točka M 0 obje ravne linije u isto vrijeme:

Od druge jednadžbe, kada u nju zamijenimo koordinate točke M 0 nije pretvorio u istinsku jednakost, onda točka M 0 ne pripada liniji 7x-2y+11=0. Iz ove činjenice možemo zaključiti da je točka M 0 nije sjecište zadanih pravaca.

Crtež također jasno pokazuje da je točka M 0 nije točka sjecišta linija 5x+3y-1=0 I 7x-2y+11=0. Očito je da se zadani pravci sijeku u točki s koordinatama (-1, 2) .

M 0 (2, -3) nije točka sjecišta linija 5x+3y-1=0 I 7x-2y+11=0.

Sada možemo prijeći na zadatak pronalaženja koordinata točke presjeka dviju pravaca pomoću zadanih jednadžbi pravaca na ravnini.

Neka je na ravnini fiksiran pravokutni Kartezijev koordinatni sustav Oxy a date su dvije crte koje se sijeku a I b jednadžbe odnosno. Označimo točku presjeka zadanih pravaca kao M 0 te riješiti sljedeći zadatak: pronaći koordinate točke presjeka dviju pravaca a I b prema poznatim jednadžbama ovih pravaca i .

Točka M0 pripada svakom od pravaca koji se sijeku a I b a-priorat. Zatim koordinate točke sjecišta linija a I b zadovoljavaju i jednadžbu i jednadžbu . Dakle, koordinate točke presjeka dviju linija a I b su rješenje sustava jednadžbi (vidi članak rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi).

Dakle, da biste pronašli koordinate točke presjeka dviju ravnina definiranih na ravnini općim jednadžbama, trebate riješiti sustav sastavljen od jednadžbi zadanih ravnina.

Pogledajmo primjer rješenja.

Pronađite sjecište dviju linija definiranih u pravokutnom koordinatnom sustavu na ravnini pomoću jednadžbi x-9y+14=0 I 5x-2y-16=0.

Date su nam dvije opće jednadžbe pravaca, sastavimo sustav od njih: . Rješenja rezultirajućeg sustava jednadžbi lako se pronalaze rješavanjem njegove prve jednadžbe s obzirom na varijablu x i zamijenite ovaj izraz u drugu jednadžbu:

Nađeno rješenje sustava jednadžbi daje nam tražene koordinate točke presjeka dviju pravaca.

M 0 (4, 2)– točka sjecišta linija x-9y+14=0 I 5x-2y-16=0.

Dakle, pronalaženje koordinata točke presjeka dviju ravnina, definiranih općim jednadžbama na ravnini, svodi se na rješavanje sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznate varijable. Ali što ako pravci na ravnini nisu dani općim jednadžbama, već jednadžbama drugog tipa (vidi vrste jednadžbi pravca na ravnini)? U tim slučajevima možete prvo svesti jednadžbe pravaca na opći oblik, a tek nakon toga pronaći koordinate točke sjecišta.

Prije nalaženja koordinata sjecišta zadanih pravaca, njihove jednadžbe svedemo na opći oblik. Prijelaz s parametarskih jednadžbi linije na opću jednadžbu ove linije izgleda ovako:

Sada izvršimo potrebne radnje s kanonskom jednadžbom ravne linije:

Dakle, željene koordinate točke presjeka pravaca su rješenje sustava jednadžbi oblika . Za rješavanje problema koristimo Cramerovu metodu:

M 0 (-5, 1)

Postoji još jedan način za pronalaženje koordinata točke presjeka dviju linija na ravnini. Pogodno je koristiti kada je jedna od linija zadana parametarskim jednadžbama oblika, a druga jednadžbom linije drugog tipa. U ovom slučaju, u drugoj jednadžbi umjesto varijabli x I g možete zamijeniti izraze i , odakle možete dobiti vrijednost koja odgovara sjecištu zadanih linija. U ovom slučaju točka sjecišta linija ima koordinate.

Nađimo ovom metodom koordinate točke presjeka pravaca iz prethodnog primjera.

Odredite koordinate sjecišta pravaca i .

Zamijenimo pravolinijski izraz u jednadžbu:

Rješavanjem dobivene jednadžbe dobivamo . Ova vrijednost odgovara zajedničkoj točki pravaca i . Izračunavamo koordinate sjecišta zamjenom ravne linije u parametarske jednadžbe:
.

M 0 (-5, 1).

Da bismo upotpunili sliku, treba raspraviti još jednu točku.

Prije pronalaženja koordinata sjecišta dviju pravaca na ravnini, korisno je uvjeriti se da se zadani pravci stvarno sijeku. Ako se ispostavi da se izvorne linije podudaraju ili su paralelne, tada ne može biti govora o pronalaženju koordinata točke sjecišta takvih linija.

Možete, naravno, bez takve provjere, ali odmah napravite sustav jednadžbi oblika i riješite ga. Ako sustav jednadžbi ima jedinstveno rješenje, tada ono daje koordinate točke u kojoj se izvorni pravci sijeku. Ako sustav jednadžbi nema rješenja, onda možemo zaključiti da su izvorne linije paralelne (budući da ne postoji takav par realnih brojeva x I g, što bi istovremeno zadovoljilo obje jednadžbe zadanih pravaca). Iz postojanja beskonačnog broja rješenja sustava jednadžbi slijedi da izvorne ravne linije imaju beskonačno mnogo zajedničkih točaka, odnosno da se podudaraju.

Pogledajmo primjere koji odgovaraju ovim situacijama.

Utvrdite da li se pravci i sijeku, a ako se sijeku, onda odredite koordinate sjecišta.

Zadane jednadžbe pravaca odgovaraju jednadžbama i . Riješimo sustav sastavljen od ovih jednadžbi.

Očito je da se jednadžbe sustava linearno izražavaju jedna kroz drugu (druga jednadžba sustava dobiva se iz prve množenjem oba njegova dijela s 4 ), dakle, sustav jednadžbi ima beskonačan broj rješenja. Dakle, jednadžbe definiraju isti pravac i ne možemo govoriti o pronalaženju koordinata sjecišta tih pravaca.

jednadžbe i definirane su u pravokutnom koordinatnom sustavu Oxy iste ravne linije, pa ne možemo govoriti o pronalasku koordinata sjecišne točke.

Pronađite koordinate točke presjeka linija i , ako je moguće.

Uvjet zadatka dopušta da se pravci ne sijeku. Kreirajmo sustav od ovih jednadžbi. Za njegovo rješavanje primijenimo Gaussovu metodu, jer nam ona omogućuje da utvrdimo kompatibilnost ili nekompatibilnost sustava jednadžbi, a ako je kompatibilan, pronađemo rješenje:

Posljednja jednadžba sustava nakon izravnog prolaska Gaussove metode pretvorila se u netočnu jednakost, stoga sustav jednadžbi nema rješenja. Iz ovoga možemo zaključiti da su izvorni pravci paralelni, a ne možemo govoriti o pronalaženju koordinata sjecišta tih pravaca.

Drugo rješenje.

Utvrdimo sijeku li se dani pravci.

Normalni vektor je pravac, a vektor je normalni vektor pravca. Provjerimo da je uvjet kolinearnosti vektora i : jednakost istinita, budući da su, dakle, normalni vektori zadanih ravnina kolinearni. Tada su ti pravci paralelni ili podudarni. Dakle, ne možemo pronaći koordinate sjecišta izvornih linija.

nemoguće je pronaći koordinate sjecišta zadanih pravaca jer su ti pravci paralelni.

Odredi koordinate točke sjecišta pravaca 2x-1=0 i , ako se sijeku.

Sastavimo sustav jednadžbi koje su opće jednadžbe zadanih pravaca: . Determinanta glavne matrice ovog sustava jednadžbi je različita od nule, stoga sustav jednadžbi ima jedinstveno rješenje, koje označava sjecište zadanih pravaca.

Da bismo pronašli koordinate točke sjecišta pravaca, moramo riješiti sustav:

Dobiveno rješenje daje nam koordinate sjecišta pravaca, odnosno sjecišta pravaca 2x-1=0 i .

Vrh stranice

Određivanje koordinata sjecišta dviju pravaca u prostoru.

Koordinate točke presjeka dviju linija u trodimenzionalnom prostoru nalaze se na sličan način.

Neka presječne linije a I b naveden u pravokutnom koordinatnom sustavu Oxyz jednadžbe dviju ravnina koje se sijeku, odnosno pravca a određena je sustavom oblika , a pravac b- . Neka M 0– točka sjecišta linija a I b. Zatim točka M 0 po definiciji također pripada liniji a i ravno b, stoga njegove koordinate zadovoljavaju jednadžbe obiju linija. Dakle, koordinate točke sjecišta linija a I b predstavljaju rješenje sustava linearnih jednadžbi oblika . Ovdje će nam trebati podaci iz odjeljka o rješavanju sustava linearnih jednadžbi u kojima se broj jednadžbi ne poklapa s brojem nepoznatih varijabli.

Pogledajmo rješenja primjera.

Odredite koordinate sjecišta dviju pravaca definiranih u prostoru jednadžbama i .

Sastavimo sustav jednadžbi od jednadžbi zadanih pravaca: . Rješenje ovog sustava će nam dati tražene koordinate točke presjeka pravaca u prostoru. Pronađimo rješenje pisanog sustava jednadžbi.

Glavna matrica sustava ima oblik , a proširena - .

Odredimo rang matrice A i rang matrice T. Koristimo metodu graničnih minora, ali nećemo detaljno opisivati ​​izračun determinanti (ako je potrebno, pogledajte članak Izračun determinante matrice):

Dakle, rang glavne matrice jednak je rangu proširene matrice i jednak je tri.

Prema tome, sustav jednadžbi ima jedinstveno rješenje.

Determinantu ćemo uzeti kao bazni minor, stoga posljednju jednadžbu treba isključiti iz sustava jednadžbi, jer ne sudjeluje u formiranju baznog minora. Tako,

Rješenje dobivenog sustava lako je pronaći:

Dakle, točka sjecišta linija ima koordinate (1, -3, 0) .

(1, -3, 0) .

Treba napomenuti da sustav jednadžbi ima jedinstveno rješenje ako i samo ako su ravne linije a I b presijecati. Ako je ravno A I b paralelni ili križni, tada zadnji sustav jednadžbi nema rješenja, jer u ovom slučaju pravci nemaju zajedničkih točaka. Ako je ravno a I b podudaraju, onda imaju beskonačan broj zajedničkih točaka, dakle, navedeni sustav jednadžbi ima beskonačan broj rješenja. Međutim, u tim slučajevima ne možemo govoriti o pronalaženju koordinata sjecišta pravaca, jer se pravci ne sijeku.

Dakle, ako unaprijed ne znamo da li se dani pravci sijeku a I b ili ne, onda je razumno izraditi sustav jednadžbi oblika i riješiti ga Gaussovom metodom. Ako dobijemo jedinstveno rješenje, ono će odgovarati koordinatama sjecišta linija a I b. Ako se sustav pokaže nekonzistentnim, onda izravni a I b ne sijeku se. Ako sustav ima beskonačan broj rješenja, tada su prave linije a I b podudarati se.

Možete učiniti bez korištenja Gaussove metode. Alternativno, možete izračunati rangove glavne i proširene matrice ovog sustava, te na temelju dobivenih podataka i Kronecker-Capellijevog teorema zaključiti ili postojanje jednog rješenja, ili postojanje više rješenja, ili nepostojanje rješenja. To je stvar ukusa.

Ako se pravci sijeku, odredite koordinate sjecišta.

Napravimo sustav od zadanih jednadžbi: . Riješimo ga Gaussovom metodom u matričnom obliku:

Postalo je jasno da sustav jednadžbi nema rješenja, stoga se zadane linije ne sijeku i ne može biti govora o pronalaženju koordinata točke presjeka tih linija.

ne možemo pronaći koordinate sjecišta zadanih pravaca, jer se ti pravci ne sijeku.

Kada su pravci koji se sijeku zadani kanonskim jednadžbama pravca u prostoru ili parametarskim jednadžbama pravca u prostoru, tada treba prvo dobiti njihove jednadžbe u obliku dviju ravnina koje se sijeku, a tek nakon toga pronaći koordinate sjecišta.

Dvije linije koje se sijeku definirane su u pravokutnom koordinatnom sustavu Oxyz jednadžbe i . Odredite koordinate sjecišta ovih pravaca.

Definirajmo početne pravce jednadžbama dviju ravnina koje se sijeku:

Da bismo pronašli koordinate točke sjecišta linija, ostaje riješiti sustav jednadžbi. Rang glavne matrice ovog sustava jednak je rangu proširene matrice i jednak je tri (preporučamo da provjerite ovu činjenicu). Uzmimo kao bazni minor, dakle, možemo isključiti posljednju jednadžbu iz sustava. Rješavanjem dobivenog sustava bilo kojom metodom (na primjer Cramerovom metodom) dobivamo rješenje. Dakle, točka sjecišta linija ima koordinate (-2, 3, -5) .