Fourierov red trigonometrijski red ortogonalnost trigonometrijskog sustava trigonometrijski Fourierov red dovoljni uvjeti za raščlanjivost funkcije u Fourierov red. Trigonometrijski nizovi

Neka je dan trigonometrijski niz

Da bismo saznali konvergira li, prirodno je razmotriti niz brojeva

(2)

majorizirana, kako se to kaže, serija (1). Njegovi članovi redom premašuju apsolutne vrijednosti članova niza (1):

.

Slijedi da ako red (2) konvergira, tada i red (1) konvergira za sve i, štoviše, apsolutno i uniformno (vidi našu knjigu “Viša matematika. Diferencijalni i integralni račun”, § 9.8, teorem 1). Ali niz (1) može konvergirati bez konvergiranja niza (2). Uostalom, njegovi članovi za svaku promjenu mijenjaju predznak (osciliraju) beskonačan broj puta kada se mijenjaju, a može se pokazati konvergentnim zbog kompenzacije pozitivnih članova negativnim. U općoj teoriji nizova postoje znakovi konvergencije takvih nizova. Takvi znakovi su Dirichletov i Abelov znak (vidi § 9.9, teoremi 3, 4 iste knjige), dobro prilagođeni proučavanju trigonometrijskih nizova.

Na ovaj ili onaj način, ako se utvrdi da niz (1) konvergira uniformno, tada iz činjenice da su njegovi članovi kontinuirane funkcije perioda , slijedi da je njegov zbroj

(3)

je kontinuirana funkcija perioda (vidi § 9.8, teorem 2 i § 9.9, teorem 2 iste knjige) i serija (3) se može integrirati član po član.

Niz (3) se može formalno razlikovati prema:

(4)

i sastaviti njegov glavni niz

(5)

Opet, ako red (5) konvergira, onda red (4) konvergira i, štoviše, uniformno. Štoviše, na temelju poznatog teorema iz teorije uniformno konvergentnih nizova, tada je zbroj niza (4) derivacija zbroja niza (3), tj.

.

Općenito, ako je serija

konvergira za neki prirodni broj, tada se niz (3) može diferencirati član po član.

Međutim, moramo zapamtiti da je moguće da se niz (3) može legitimno razlikovati još jednom (tj. jednom).

Primjer. Saznajte koliko se puta niz može razlikovati po pojam

U znanosti i tehnici često imamo posla s periodičkim procesima: oscilatornim kretanjem dijelova strojeva, instrumenata, gibanjem nebeskih tijela i elementarnih čestica, elektromagnetskim oscilacijama itd. Matematički se takvi procesi opisuju periodičkim funkcijama.

Funkcijaf(x), definirana na cijeloj numeričkoj osi, osim možda u nekim točkama, naziva se periodičkom s periodom T ako postoji broj T≠0 takav da za bilo koju vrijednost x iz domene definicije funkcije vrijedi jednakost:

f(x + T) = f(x).

Ako broj T je period funkcije f(x), taj broj T·str za bilo koju cjelinu P bit će i razdoblje ove funkcije.

Najmanji pozitivni period zadane funkcije naziva se glavno razdoblje funkcije.

Na primjer, bilo koja se konstanta može smatrati periodičnom funkcijom s bilo kojim periodom. Najpoznatije periodičke funkcije s periodom T = 2π su trigonometrijske funkcije y = grijeh x, y = cos X..

Svojstva periodičkih funkcija

Zbroj, razlika, umnožak i kvocijent periodičnih funkcija s periodom T postoji periodična funkcija s istim periodom.

2. Ako je funkcija f(x) ima razdoblje T, zatim funkcija f(a· x) ima razdoblje u kojem a ≠0, a =konst.

Na primjer, budući da funkcije g = grijeh x, g = cos x su periodični s periodom T=2π, zatim funkcije g= grijeh kx I g= cos kx također su periodični i imaju razdoblje
. Funkcije g = grijeh kx I na= cos kx nazvao “listovi s harmonicima.”

3. Određeni integral periodične funkcije po segmentu koji je jednak periodi ne ovisi o položaju segmenta integracije na osi, tj. Ako f(x) = f(x + T), zatim
.

Geometrijski, za nenegativne funkcije ovo svojstvo znači jednakost površina osjenčanih područja likova (slika 2).

Slika 2

4.2. Sustavi ortogonalnih funkcija

Razmotrimo nekoliko pomoćnih pojmova , koji će nam trebati kasnije.

Funkcijef(x) i φ(x) nazivaju se ortogonalnima na segmentu[A,b], ako su definirani, integrabilni na ovom intervalu i jednakost vrijedi

.

Na primjer, razmotrite funkcije f(x)= x I
na segmentu . Oni su definirani i kontinuirani na segmentu . Nađimo određeni integral umnoška ovih funkcija po navedenom segmentu:

.

Prema tome, funkcije f(x) = x I
ortogonalno na segmentu.

Sustav funkcijaf,(x), f 2 (x),…, f n (x) naziva se ortogonalnim na segmentu[a, b],ako su bilo koje dvije različite funkcije ortogonalne, tj.

Kao primjer navodimo sustav (1 , cos x, grijeh x, cos2 x , grijeh2 x ,..., cos nx, grijeh nx,... }, PZ, koji je ortogonalni sustav funkcija na intervalu [-π, π], tj. je ortogonalni sustav na intervalu jednakom periodu ovih funkcija.

4.3. Harmonijske vibracije. Trigonometrijski nizovi

Jedan od najvažnijih pojmova u radioelektronici su električne oscilacije. To su fluktuacije napona, struje, naboja. Na primjer, radio valovi su vibracije elektromagnetskog polja. Harmonična vibracija nazvat ćemo svaki proces koji je opisan periodičnom funkcijom s periodom

ili, što je ekvivalentno, funkcija oblika

Ova funkcija se zove sinusoidalni ili harmonik; A je amplituda vibracije, ovo je najveća vrijednost raspona njihanja; ω - kutna frekvencija, pokazuje koliko će se puta određena periodična pojava ponoviti u 2 π (jedinica vremena); φ - početna faza harmonijska vibracija.

Dodamo li periodične funkcije

čije frekvencije ω, 2ω,…, kω,… su višekratnici najmanjeg od njih, a periode su odgovarajuće jednake
, tada kao rezultat dobivamo funkciju

koji je također periodičan s periodom T, ali će se značajno razlikovati od sinusne funkcije.

Ispada da ako uzmemo beskonačan broj jednostavnih harmonika, tada se svaka periodična funkcija, s određenim, međutim, svojstvima, može prikazati kao njihov zbroj ili, kako kažu, u obliku trigonometrijskog niza.

Trigonometrijski nizovi naziva se funkcionalni niz oblika

=
.

Brojke A P I b n , Gdje n=1,2,3,..., nazvao koeficijenti serije. Slobodni član (nulti harmonik) zapisan je u obliku za ujednačenost sljedećih formula.

Proučiti složenu oscilaciju opisanu funkcijom f(x), periodic s periodom T=2π, može se prikazati kao zbroj jednostavnih harmonijskih oscilacija, tj. proširiti u funkciju trigonometrijskog niza

.

Zadatak zahtijeva rješavanje tri pitanja:

Pod kojim uvjetima funkcionira periodika f(x) s točkom T Može li se prikazati kao trigonometrijski niz?

Je li ovo jedina dekompozicija?

Kako izračunati koeficijente ovog niza?

Počet ćemo s rješavanjem posljednja dva pitanja.

Trigonometrijski niz Definicija. Funkcija /(x), definirana na neograničenom skupu D, naziva se periodičkom ako postoji broj T Φ 0 takav da je za svaki x. € D uvjet zadovoljen. Najmanji od takvih brojeva T naziva se periodom funkcije f(x). Primjer 1. Funkcija definirana na intervalu je periodična, jer postoji broj T = 2* φ O takav da je uvjet zadovoljen za sve x. Dakle, funkcija sin x ima period T = 2zh. Isto vrijedi i za funkciju Primjer 2. Funkcija definirana na skupu brojeva D je periodična jer postoji broj T F 0, naime T = takav da za x 6 D vrijedi Definicija. Funkcionalni niz oblika ao FOURIEROV RED Trigonometrijski red Ortogonalnost trigonometrijskog sustava Trigonometrijski Fourierov red Dovoljne uvjete za raščlanjivost funkcije u Fourierov red nazivamo trigonometrijskim redom, a konstante a0, a„, bn (n = 1, 2,...) nazivaju se koeficijenti trigonometrijskog niza (1 ). Parcijalni zbrojevi 5n(g) trigonometrijskog niza (1) su linearne kombinacije funkcija iz sustava funkcija koji se naziva trigonometrijski sustav. Kako su članovi ovog niza periodične funkcije s periodom 2n-, tada će u slučaju konvergencije niza (I) njegov zbroj S(x) biti periodična funkcija s periodom T = 2m: Definicija. Proširenje periodične funkcije f(x) s periodom T = 2n u trigonometrijski niz (1) znači pronalaženje konvergentnog trigonometrijskog niza čiji je zbroj jednak funkciji f(x). . Ortogonalnost trigonometrijskog sustava Definicija. Funkcije f(x) i d(x), kontinuirane na intervalu [a, 6], nazivaju se ortogonalnima na tom intervalu ako je zadovoljen uvjet. Na primjer, funkcije su ortogonalne na intervalu [-1,1], budući da Definicija. Konačni ili beskonačni sustav funkcija koje su integrabilne na intervalu [a, b] naziva se ortogonalnim sustavom na intervalu [a, 6), ako za bilo koji broj tipa takav da je m Φ n, jednakost Teorem 1. A trigonometrijski sustav je ortogonalan na intervalu. Za bilo koje općenito n F O imamo Koristeći poznate trigonometrijske formule za bilo koje prirodne m i n, m F n, nalazimo: Konačno, na temelju formule za bilo koji cjelobrojni tip dobivamo Fourierov trigonometrijski niz Postavimo si zadatak izračunati koeficijente trigonometrijskog niza (1), poznavajući funkciju Teorem 2. Neka jednakost vrijedi za sve vrijednosti x, a niz s desne strane jednakosti jednoliko konvergira na segment [-3z, x]. Tada vrijede formule Uniformna konvergencija niza (1) implicira neprekidnost, a time i integrabilnost funkcije /(x). Stoga jednakosti (2) imaju smisla. Štoviše, serija (1) može se integrirati po članu. Imamo iz čega slijedi prva od formula (2) za n = 0. Pomnožimo sada obje strane jednakosti (1) s funkcijom cos mi, gdje je m proizvoljan prirodni broj: Niz (3), poput niza ( 1), konvergira jednoliko. Stoga se može integrirati član po član.Svi integrali na desnoj strani, osim jednog koji se dobiva za n = m, jednaki su nuli zbog ortogonalnosti trigonometrijskog sustava. Stoga, odakle. Slično, množenjem obje strane jednakosti (1) sa sinmx i integracijom od -m do m, dobivamo odakle. Neka je dana proizvoljna periodična funkcija f(x) perioda 2*, integrabilna na intervalu *]. Ne zna se unaprijed može li se prikazati kao zbroj nekog konvergentnog trigonometrijskog niza. No pomoću formula (2) moguće je izračunati konstante a„ i bn. Definicija. Trigonometrijski niz, čiji se koeficijenti oq, an, b„ određuju preko funkcije f(x) prema formulama FOURIEROV RED Trigonometrijski niz Ortogonalnost trigonometrijskog sustava Trigonometrijski Fourierov red Dovoljni uvjeti za raščlanjivost funkcije na Fourier nizove nazivamo trigonometrijskim Fourierovim redovima funkcije f(x), a koeficijente a„ , bnt određene tim formulama nazivamo Fourierovim koeficijentima funkcije /(x). Svakoj funkciji f(x) integrabilnoj na intervalu [-tr, -k] može se pridružiti njen Fourierov red, tj. trigonometrijski niz, čiji su koeficijenti određeni formulama (2). Međutim, ako od funkcije f(x) ne zahtijevamo ništa osim integrabilnosti na intervalu [-x*, m], onda se znak korespondencije u zadnjoj relaciji, općenito govoreći, ne može zamijeniti znakom jednakosti. Komentar. Često je potrebno proširiti funkciju /(x) u trigonometrijski niz, definiran samo na intervalu (-*, n\ i stoga nije periodičan. Budući da se u formulama (2) za Fourierove koeficijente integrali izračunavaju preko interval *], tada za takve funkcije možemo napisati i trigonometrijski Fourierov red. Istodobno, nastavimo li funkciju f(x) periodički duž cijele Ox osi, dobivamo funkciju F(x), periodičku s periodom od 2n, koja se podudara s /(x) na intervalu (-ir, l): Ova funkcija F(x) naziva se periodično proširenje funkcije f(x). Štoviše, funkcija F(x) čini nemaju jedinstvenu definiciju u točkama x = ±n, ±3r, ±5r,... Red Fourierov red za funkciju F(x) identičan je Fourierovom redu za funkciju /(x). Osim toga, ako mu Fourierov red za funkciju /(x) konvergira, tada njegov zbroj, budući da je periodična funkcija, daje periodički nastavak funkcije /(x) od segmenta |-jt, n\ do cijele osi Ox. U tom smislu, govoriti o Fourierovom redu za funkciju f(x), definiranom na intervalu (-i-, jt|, ekvivalentno je govoriti o Fourierovom redu za funkciju F(x), koja je periodički nastavak funkcije f(x) preko cijele osi Ox. Slijedi da je dovoljno formulirati kriterije konvergencije Fourierovih redova za periodičke funkcije. § 4. Dovoljni uvjeti za raščlanjivost funkcije u Fourierov red. Neka dajemo dovoljan kriterij za konvergenciju Fourierovog niza, tj. formuliramo uvjete za zadanu funkciju pod kojima ona konstruirana iz nje Fourierov red konvergira, i saznajmo kako se ponaša zbroj tog niza. To je važno je naglasiti da iako je klasa komadno monotonih funkcija danih u nastavku prilično široka, funkcije za koje Fourierov red konvergira nisu njima iscrpljene. Definicija. Funkcija f( x) se naziva komadno monotona na segmentu [a, 6] , ako se taj segment može podijeliti s konačnim brojem točaka u intervale, na svakom od kojih je f(x) monoton, tj. ili ne opada ili ne raste (vidi sliku 1). Primjer 1. Funkcija komadno je monoton na intervalu (-oo,oo), budući da se taj interval može podijeliti na dva intervala (-co, 0) i (0, +oo), od kojih na prvom opada (i stoga ne raste) , a na drugom se povećava (i stoga se ne smanjuje). Primjer 2. Funkcija je komadno monotona na segmentu [-zg, jt|, jer se ovaj segment može podijeliti na dva intervala u prvom od kojih cos i raste od -I do +1, au drugom opada od. Teorem 3. Funkcija f(x), komadno monotona i ograničena na intervalu (a, b], može na sebi imati samo točke diskontinuiteta prve vrste. Neka je, na primjer, točka diskontinuiteta funkcije f(x Tada, zbog ograničenosti funkcije f(x) i monotonosti, s obje strane točke c postoje konačne jednostrane limese. To znači da je točka c točka diskontinuiteta prve vrste (sl. 2). .Teorem 4. Ako je periodička funkcija f(x) s periodom 2π komadno monotona i ograničena na interval [-m, m), tada njezin Fourierov red konvergira u svakoj točki x tog intervala, a za zbroj ovog serije zadovoljene su jednakosti: Prmmer3. Funkcija /(z) perioda 2jt, definirana na intervalu (-*,*) jednakošću (slika 3), zadovoljava uvjete teorema. Stoga se može proširiti u Fourierov red. Za nju nalazimo Fourierove koeficijente: Fourierov red za ovu funkciju ima oblik Primjer 4. Proširi funkciju u Fourierov niz (slika 4) na intervalu Ova funkcija zadovoljava uvjete teorema. Nađimo Fourierove koeficijente. Koristeći svojstvo aditivnosti određenog integrala imat ćemo FOURIEROV RED Trigonometrijski red Ortogonalnost trigonometrijskog sustava Trigonometrijski Fourierov red Dovoljne uvjete za raščlanjivost funkcije u Fourierov red Dakle, Fourierov red ima sljedeći oblik: Na krajevima segmenta (-i, ir], tj. Odnosno, u točkama x = -x i x = x, koje su točke diskontinuiteta prve vrste, imat ćemo Napomena. Ako stavimo x = 0 u pronađeni Fourierov red, tada dobivamo

Uvodne napomene

Razmotrit ćemo izraze Fourierovog reda u trigonometrijskom i kompleksnom obliku, te obratiti pozornost na Dirichletove uvjete za konvergenciju Fourierovog reda. Osim toga, detaljno ćemo se zadržati na objašnjenju takvog koncepta kao što je negativna frekvencija spektra signala, što često uzrokuje poteškoće pri upoznavanju s teorijom spektralne analize.

Periodični signal. Trigonometrijski Fourierov red

Kao primjer, slika 1 prikazuje niz pravokutnih impulsa trajanja c, koji se ponavljaju s periodom c.

Slika 1. Periodički niz

Pravokutni impulsi

Iz kolegija matematičke analize poznato je da sustav trigonometrijskih funkcija

Dirichletovi uvjeti za konvergenciju Fourierovog niza zahtijevaju da periodični signal bude specificiran na segmentu i da zadovoljava sljedeće uvjete:

Na primjer, periodična funkcija ne zadovoljava Dirichletove uvjete jer funkcija ima diskontinuitete druge vrste i uzima beskonačne vrijednosti na , gdje je proizvoljan cijeli broj. Dakle funkcija ne može se prikazati Fourierovim redom. Također možete dati primjer funkcije , koji je ograničen, ali također ne zadovoljava Dirichletove uvjete, budući da ima beskonačan broj točaka ekstrema dok se približava nuli. Graf funkcije prikazano na slici 2.

Slika 2. Grafikon funkcije :

A - dva razdoblja ponavljanja; b - u blizini

Slika 2a prikazuje dva perioda ponavljanja funkcije , a na slici 2b - područje u blizini . Vidi se da kako se približava nuli, frekvencija titranja beskonačno raste, a takva se funkcija ne može prikazati Fourierovim redom, jer nije komadično monotona.

Treba napomenuti da u praksi ne postoje signali s beskonačnim vrijednostima struje ili napona. Funkcije s beskonačnim brojem ekstrema tipa također se ne pojavljuju u primijenjenim problemima. Svi realni periodični signali zadovoljavaju Dirichletove uvjete i mogu se prikazati beskonačnim trigonometrijskim Fourierovim redom oblika:

U izrazu (2) koeficijent određuje konstantnu komponentu periodičkog signala.

U svim točkama gdje je signal kontinuiran, Fourierov niz (2) konvergira na vrijednosti danog signala, au točkama diskontinuiteta prve vrste - na prosječnu vrijednost , gdje su i granice lijevo i desno od točke diskontinuiteta.

Također je poznato iz tečaja matematičke analize da upotreba skraćenog Fourierovog niza, koji sadrži samo prve članove umjesto beskonačnog zbroja, dovodi do približnog prikaza signala:

Slika 3. Aproksimacija signala korištenjem skraćenog Fourierovog niza:

A - pravokutni impulsi; b - pilasti signal

Fourierov red u složenom obliku

Stoga se periodički signal može prikazati zbrojem konstantne komponente i kompleksnih eksponencijala koji se okreću na frekvencijama s koeficijentima za pozitivne frekvencije, a za kompleksne eksponencijale koji se okreću na negativnim frekvencijama.

Razmotrimo koeficijente za složene eksponencijale koji rotiraju s pozitivnim frekvencijama:

Izrazi (6) i (7) se podudaraju; osim toga, konstantna komponenta se također može napisati kroz kompleksnu eksponencijalnu na nultoj frekvenciji:

Dakle, (5) uzimajući u obzir (6)-(8) može se predstaviti kao jedan zbroj kada se indeksira od minus beskonačnosti do beskonačnosti:

Izraz (9) je Fourierov red u složenom obliku. Koeficijenti Fourierovog niza u kompleksnom obliku povezani su s koeficijentima niza u trigonometrijskom obliku, a određuju se i za pozitivne i za negativne frekvencije. Indeks u oznaci frekvencije označava broj diskretnog harmonika, a negativni indeksi odgovaraju negativnim frekvencijama.

Iz izraza (2) slijedi da su za realan signal koeficijenti serije (2) također realni. Međutim, (9) povezuje stvarni signal sa skupom kompleksnih konjugiranih koeficijenata koji se odnose i na pozitivne i na negativne frekvencije.

Neka objašnjenja Fourierovog niza u složenom obliku

Prvo, rad sa složenim eksponentima je u većini slučajeva lakši od rada s trigonometrijskim funkcijama. Primjerice, kod množenja i dijeljenja složenih eksponenata dovoljno je samo zbrajati (oduzimati) eksponente, dok su formule za množenje i dijeljenje trigonometrijskih funkcija glomaznije.

Diferenciranje i integriranje eksponencijala, čak i kompleksnih, također je lakše od trigonometrijskih funkcija, koje se stalno mijenjaju kada se diferenciraju i integriraju (sinus se pretvara u kosinus i obrnuto).

Ako je signal periodičan i stvaran, tada se trigonometrijski Fourierov red (2) čini jasnijim, jer svi koeficijenti širenja , i ostaju stvarni. Međutim, često se mora raditi sa složenim periodičkim signalima (na primjer, kada se modulira i demodulira, koristi se kvadraturni prikaz kompleksne ovojnice). U ovom slučaju, kada se koristi trigonometrijski Fourierov red, svi koeficijenti i ekspanzije (2) će postati složeni, dok će se kada se koristi Fourierov red u kompleksnom obliku (9), isti koeficijenti ekspanzije koristiti i za stvarne i za složene ulazne signale .

I na kraju, valja se zadržati na objašnjenju negativnih frekvencija koje su se pojavile u (9). Ovo pitanje često izaziva nesporazume. U svakodnevnom životu ne susrećemo se s negativnim frekvencijama. Na primjer, nikada ne podešavamo radio na negativnu frekvenciju. Razmotrimo sljedeću analogiju iz mehanike. Neka postoji mehaničko opružno njihalo koje slobodno oscilira s određenom frekvencijom. Može li njihalo titrati negativnom frekvencijom? Naravno da ne. Kao što nema radijskih postaja koje emitiraju na negativnim frekvencijama, tako ni frekvencija titranja njihala ne može biti negativna. Ali njihalo s oprugom je jednodimenzionalan objekt (njihalo oscilira duž jedne ravne linije).

Također možemo dati još jednu analogiju iz mehanike: kotač koji rotira frekvencijom od . Kotač se, za razliku od njihala, okreće, tj. točka na površini kotača kreće se u ravnini, a ne oscilira samo duž jedne ravne linije. Dakle, za jednoznačno određivanje vrtnje kotača nije dovoljno postaviti brzinu vrtnje, jer je potrebno postaviti i smjer vrtnje. Upravo zato možemo koristiti znak frekvencije.

Dakle, ako se kotač vrti frekvencijom rad/s u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, tada smatramo da se kotač vrti pozitivnom frekvencijom, a ako se vrti u smjeru kazaljke na satu, tada će frekvencija vrtnje biti negativna. Dakle, za naredbu rotacije, negativna frekvencija prestaje biti besmislica i označava smjer rotacije.

A sada najvažnija stvar koju moramo razumjeti. Osciliranje jednodimenzionalnog objekta (na primjer, njihala s oprugom) može se prikazati kao zbroj rotacija dvaju vektora prikazanih na slici 4.

Slika 4. Titranje opružnog njihala

Kao zbroj rotacija dvaju vektora

na kompleksnoj ravni

Njihalo titra duž realne osi kompleksne ravnine s frekvencijom po harmonijskom zakonu. Gibanje njihala prikazano je horizontalnim vektorom. Gornji vektor rotira na kompleksnoj ravnini s pozitivnom frekvencijom (u smjeru suprotnom od kazaljke na satu), a donji vektor rotira s negativnom frekvencijom (u smjeru kazaljke na satu). Slika 4 jasno ilustrira dobro poznatu relaciju iz tečaja trigonometrije:

Dakle, Fourierov red u kompleksnom obliku (9) predstavlja periodične jednodimenzionalne signale kao zbroj vektora na kompleksnoj ravnini koji rotiraju s pozitivnim i negativnim frekvencijama. Pritom treba primijetiti da su u slučaju stvarnog signala, prema (9), koeficijenti proširenja za negativne frekvencije kompleksno konjugirani s odgovarajućim koeficijentima za pozitivne frekvencije. U slučaju složenog signala, ovo svojstvo koeficijenata ne vrijedi zbog činjenice da su i također složeni.

Spektar periodičnih signala

Budući da su periodični signali postavljeni u nizu samo na mreži fiksne frekvencije, spektar periodičnih signala je linijski (diskretan).

Slika 5. Spektar periodičkog niza

Pravokutni impulsi:

A - amplitudni spektar; b - fazni spektar

Slika 5 prikazuje primjer amplitude i faznog spektra periodičkog niza pravokutnih impulsa (vidi sliku 1) pri c, trajanju impulsa c i amplitudi pulsa B.

Amplitudni spektar izvornog realnog signala je simetričan u odnosu na nultu frekvenciju, a fazni spektar je antisimetričan. Istodobno, napominjemo da su vrijednosti faznog spektra i odgovaraju istoj točki u kompleksnoj ravnini.

Možemo zaključiti da su svi koeficijenti širenja reduciranog signala čisto stvarni, a fazni spektar odgovara negativnim koeficijentima.

Imajte na umu da se dimenzija spektra amplitude podudara s dimenzijom signala. Ako opisuje promjenu napona tijekom vremena, mjereno u voltima, tada će amplitude harmonika spektra također imati dimenziju volta.

zaključke

Detaljno smo se zadržali na izrazu Fourierovog niza u složenom obliku i pokazali da su periodični signali, i realni i složeni, predstavljeni nizom složenih eksponencijala s pozitivnim i negativnim frekvencijama. U ovom slučaju, koeficijenti ekspanzije su također složeni i karakteriziraju amplitudu i fazni spektar periodičkog signala.

U sljedećem odjeljku detaljnije ćemo pogledati svojstva spektra periodičnih signala.

Implementacija softvera u DSPL knjižnici

Definicija. Trigonometrijski niz je niz oblika:

ili, ukratko,

Realni brojevi a i, b i nazivaju se koeficijenti trigonometrijskog niza.

Ako niz gore prikazanog tipa konvergira, tada je njegov zbroj periodična funkcija s periodom 2, jer funkcije sinnx i cosnx su također periodične funkcije s periodom 2.

Neka trigonometrijski niz jednoliko konvergira na segmentu [-; ], dakle na bilo kojem segmentu zbog periodičnosti, a njegov zbroj je jednak f(x).

Odredimo koeficijente ovog niza.

Za rješavanje ovog problema koristimo sljedeće jednakosti:

Valjanost ovih jednakosti proizlazi iz primjene trigonometrijskih formula na integrand. Za više informacija pogledajte Integriranje trigonometrijskih funkcija.

Jer funkcija f(x) je kontinuirana na intervalu [-; ], tada postoji integral

Ovaj rezultat proizlazi iz činjenice da .

Odavde dobivamo:

Slično, množimo izraz za proširenje funkcije u niz sa sinnx i integriramo u rasponu od - do.

Dobivamo:

Izraz za koeficijent a 0 je poseban slučaj za izraz koeficijenata a n.

Dakle, ako je funkcija f(x) bilo koja periodička funkcija perioda 2, kontinuirana na intervalu [-; ] ili imajući konačan broj točaka diskontinuiteta prve vrste na ovom segmentu, tada su koeficijenti

postoje i nazivaju se Fourierovi koeficijenti za funkciju f(x).

Funkcionalna serija.

Definicija. Djelomične (parcijalne) sume funkcionalnog niza nazivamo funkcijama

Definicija. Kaže se da funkcionalni niz konvergira u točki (x = x 0) ako niz njegovih parcijalnih zbrojeva konvergira u toj točki. Limit niza naziva se zbroj niza u točki x 0.

Definicija. Skup svih vrijednosti x za koje niz konvergira naziva se područjem konvergencije niza.

Definicija. Niz se naziva uniformno konvergentnim na intervalu ako niz parcijalnih suma tog niza uniformno konvergira na tom intervalu.

Teorema. (Cauchyjev kriterij za uniformnu konvergenciju nizova)

Da bi niz uniformno konvergirao, potrebno je i dovoljno da za svaki broj >0 postoji broj N() takav da za n>N i svaki cijeli broj p>0 vrijedi nejednakost

vrijedilo bi za sve x na intervalu .

Definicija. Fourierov red za funkciju f(x) je trigonometrijski niz čiji su koeficijenti Fourierovi koeficijenti. Ako Fourierov red funkcije f(x) konvergira njoj u svim svojim točkama kontinuiteta, tada se kaže da je funkcija f(x) proširena u Fourierov red.

Dovoljni znakovi raščlanljivosti u Fourierov red.

Teorema. (Dirichletov teorem) Ako funkcija f(x) ima period 2 i na intervalu

[-;] je kontinuiran ili ima konačan broj točaka diskontinuiteta prve vrste, a segment

[-;] se može podijeliti na konačan broj segmenata tako da je unutar svakog od njih funkcija f(x) monotona, tada Fourierov red za funkciju f(x) konvergira za sve vrijednosti x, a na točkama kontinuiteta funkcije f(x) njezin zbroj je jednak f(x), a u točkama diskontinuiteta njezin zbroj je jednak , tj. aritmetička sredina graničnih vrijednosti s lijeve i desne strane. U tom slučaju Fourierov red funkcije f(x) uniformno konvergira na bilo kojem segmentu koji pripada intervalu kontinuiteta funkcije f(x).

Funkcija f(x), za koju su zadovoljeni uvjeti Dirichletovog teorema, naziva se komadno monotonom na intervalu [-;].

Teorema. Ako funkcija f(x) ima period 2, osim toga, f(x) i njezina derivacija f'(x) su kontinuirane funkcije na intervalu [-;] ili imaju konačan broj točaka diskontinuiteta prve vrste na tom intervalu, tada Fourierov red funkcije f(x) konvergira za sve vrijednosti x, te je u točkama kontinuiteta njegov zbroj jednak f(x), a u točkama diskontinuiteta jednak je . U tom slučaju Fourierov red funkcije f(x) uniformno konvergira na bilo kojem segmentu koji pripada intervalu kontinuiteta funkcije f(x).

Funkcija koja zadovoljava uvjete ovog teorema naziva se komadno glatka na segmentu [-;].