Stokesov teorem. Cirkulacija vektorskog polja

Neka je u nekoj domeni G zadano kontinuirano vektorsko polje a) k i zatvorena usmjerena kontura L. Definicija 1. Kruženje vektora a duž zatvorene konture L je krivolinijski integral 2. vrste vektora a duž konture L. Ovdje je dr vektor čija je duljina jednaka diferencijalnom luku L, a smjer se podudara sa smjerom tangente na L, op- Sl. 31 određena orijentacijom konture (sl. 31); simbol f znači da je integral uzet duž alternativne konture L. b Primjer 1. izračunajte cirkulaciju vektorskog polja duž elipse L: Prema definiciji cirkulacije imamo Parametarske jednadžbe ove elipse imaju oblik: , i, dakle,. Zamjenom ovih izraza u formulu (2) nalazimo cirkulaciju vektorskog polja. Rotor vektora Stokesov teorem Rotor (vrtlog) vektorskog polja Invarijantna definicija rotora polja Fizičko značenje rotora polja Pravila za proračun rotora 8.1. Rotor (vorteks) vektorskog polja Promotrimo polje vektora P, Q, R koji su kontinuirani i imaju kontinuirane parcijalne derivacije prvog reda u odnosu na sve svoje argumente. Definicija 2. Rotor vektora "(M) je vektor označen simbolom rot a i definiran jednakošću ili, u simboličkom obliku zgodnom za pamćenje, Ova determinanta je proširena elementima prvog reda, dok je operacije množenja elemenata drugog retka elementima trećeg retka shvaćamo kao operacije diferenciranja, npr. Definicija 3. Ako u nekoj domeni G imamo rot a = 0, tada polje vektora a u domeni G se naziva irotacijskim. Primjer 2. Odredite rotor vektora 4 Prema formuli (3) imamo Kako je rot a vektor, možemo razmatrati vektorsko polje - polje rotora vektora a. Uz pretpostavku da koordinate vektora a imaju kontinuirane parcijalne derivacije drugog reda, izračunavamo divergenciju vektora rot a. Dobivamo Dakle, polje rotacije vektora je solenoidno. Teorem 7 (Stokes). Kruženje vektora a duž orijentirane zatvorene konture L jednako je fluksu rotora ovog vektora kroz bilo koju površinu E koju obuhvaća kontura L. Pretpostavlja se da koordinate vektora a imaju kontinuirane parcijalne derivacije u nekom području G od prostor koji sadrži plohu E, te da je orijentacija jediničnog vektora normalne točke na plohu EC G usklađena s orijentacijom konture L tako da od kraja norme krug oko konture u zadanom smjeru vidi se da se odvija u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Uzimajući to u obzir i koristeći definiciju rotora (3), prepisujemo formulu (4) u sljedećem obliku: Najprije razmotrimo slučaj kada su glatka površina E i njezina kontura L jednoznačno projicirane na područje D od xOy ravnina i njezina granica - kontura A (sl. 32). Orijentacija konture L dovodi do određene orijentacije konture A. Za određenost ćemo pretpostaviti da je kontura L usmjerena tako da površina E ostaje lijevo, tako da je vektor normale n na površinu E šiljasti kut 7 (cos 7 > 0). Neka je jednadžba površine E i funkcija φ(x)y) kontinuirana i ima kontinuirane parcijalne derivacije gf i ^ u zatvorenoj domeni D. Uzmite u obzir da integral Linija L leži na površini E. Stoga, koristeći jednadžbu ovu površinu, možemo zamijeniti r ispod znaka integrala na ^(zh, y). Koordinate varijabilne točke krivulje A jednake su koordinatama odgovarajuće točke na krivulji L, pa se integracija po L može zamijeniti integracijom po A. Primijenimo Greenovu formulu na integral s desne strane. Sada prelazimo s integrala po području D na integral po površini E. Kako je dS = cos 7 da, onda iz formule (8) dobivamo da je normalni vektor n° na površinu E određen izrazom k. Odavde je jasno da. Stoga se jednakost (9) može prepisati na sljedeći način: Smatrajući E glatkom površinom koja se jedinstveno projicira na sve tri koordinatne ravnine, jednako smo uvjereni u valjanost formula Kruženje vektorskog polja. Rotor vektora Stokesov teorem Rotor (vrtlog) vektorskog polja Invarijantna definicija rotora polja Fizičko značenje rotora polja Pravila za izračunavanje rotora Zbrajanjem jednakosti član po član dobivamo Stokesovu formulu ( 5), ili, ukratko, primjedba 1. Pokazali smo da je polje vektorske rotacije solenoidalno, pa prema tome tok vektorske rotacije ne ovisi o vrsti površine E koju obuhvaća kontura L. Primjedba 2 Formula (4) je izvedena pod pretpostavkom da je površina £ jednoznačno projicirana na sve tri koordinatne ravnine. Ako taj uvjet nije ispunjen, tada £ dijelimo na dijelove tako da svaki dio zadovoljava navedeni uvjet, a zatim koristimo aditivnost integrala. Primjer 3. Izračunajte kruženje vektora duž pravca 1) pomoću definicije; 2) prema Stokesovom teoremu. 4 1) Parametarski definirajmo pravac L: Tada 2) Nađi rota: Ispružimo komad ravnine na konturu L Tada. Invarijantna definicija rotora polja Iz Stokesovog teorema može se dobiti invarijantna definicija rotora polja, koja nije vezana uz izbor koordinatnog sustava. Teorem 8. Projekcija rotora a na bilo koji smjer ne ovisi o izboru koordinatnog sustava i jednaka je površinskoj gustoći kruženja vektora a duž konture područja okomitog na ovaj smjer. Ovdje je (E) a ravna površina okomita na vektor l; 5 - područje ove stranice; L - kontura mjesta, orijentirana tako da je obilaznica konture vidljiva s kraja vektora n u smjeru suprotnom od kazaljke na satu; (E) M znači da se površina (E) skuplja u točku M, u kojoj se vektor rot a razmatra, a normalni vektor n na ovu površinu ostaje cijelo vrijeme isti (Sl. 33). 4 Prvo primijenimo Stokesov teorem na kruženje (a,dr) vektora a, a zatim na rezultirajući dvostruki integral - teorem o srednjoj vrijednosti: odakle (skalarni umnožak se uzima u nekoj sredini Mf područja ( E)). Kako površina (E) privlači točku M, središnja točka A/c također teži točki M i, zbog pretpostavljenog kontinuiteta parcijalnih derivacija koordinata vektora a (a time i kontinuiteta rot a), mi dobiti Budući da projekcija vektora rot a na proizvoljan smjer ne ovisi o izboru koordinatnog sustava, tada je sam vektor rot invarijantan u odnosu na ovaj izbor. Odavde dobivamo sljedeću invarijantnu definiciju rotora polja: rotor polja je vektor čija je duljina jednaka najvećoj gustoći površinske cirkulacije u danoj točki, usmjeren okomito na područje na kojem se postiže ta najveća gustoća cirkulacije; u ovom slučaju, orijentacija vektora rotacije je u skladu s orijentacijom konture, na kojoj je cirkulacija pozitivna, prema pravilu desnog vijka. 8.3. Fizikalni smisao rotora polja Neka kruto tijelo rotira oko nepomične osi I kutnom brzinom u. Bez gubitka općenitosti, možemo pretpostaviti da se os I podudara s osi Oz (slika 34). Neka je M(g) točka promatranog tijela, gdje je vektor kutne brzine u našem slučaju jednak = wk, izračunajmo vektor v linearne brzine točke M. Odatle kruženje vektorskog polja . Rotor vektora Stokesov teorem Rotor (vorteks) vektorskog polja Invarijantna definicija rotora polja Fizikalno značenje rotora polja Pravila za proračun rotora Dakle, vrtlog polja brzina rotacijskog krutog tijela je ista u svim točkama polja, paralelna s osi rotacije i jednaka dvostrukoj kutnoj brzini rotacije. 8.4. Pravila za proračun rotora 1. Rotor konstantnog vektora c jednak je nultom vektoru, 2. Rotor ima svojstvo linearnosti konstantnih brojeva. 3. Zavoj umnoška skalarne funkcije u(M) i vektora a(M) izračunava se po formuli

Ovaj teorem omogućuje izračunavanje kruženja vektora duž konture konačne duljine pomoću rotora ovog vektora.

Cirkulacija vektorsko polje duž zatvorene pozitivno orijentirane konture L jednak protok rotora ovo polje kroz bilo koju glatku površinu S , na temelju ove konture:

. (2.12)

Da bismo dokazali teorem, razmotrimo konturu s površinom koju pokriva (slika 2.6). Cijela kontura je podijeljena na elementarne konture iste orijentacije (slika 2.10).

Kruženje po elementarnom krugu jednako je
.

Sve susjedne konture ( 1 I 2 na sl. 2.10) imaju sljedeću značajku: na zajedničkoj granici s istom vrijednošću polja, doprinos cirkulaciji duž svake od susjednih kontura dogodit će se s promjenom predznaka (za konturu 1 -a  b , i za 2 - b  a ). Kao rezultat toga, doprinos cirkulaciji svih unutarnjih dijelova krugova međusobno se kompenzira, a samo dijelovi koji pripadaju krugu ostat će nekompenzirani L , što u konačnici daje (2.12) .

Poseban slučaj (2.12) u slučaju da se kontura nalazi na ravnini je formula D. Greena (M. Ostrogradsky-D. Green):

. (2.13)

Formule (2.12) i (2.13) omogućuju nam da svedemo izračun krivocrtnog integrala druge vrste na izračun dvostrukog integrala po području S .

Obrnuti prijelaz prema (2.12) izvodi se slično kao (2.8).

2.4. Operator promatrača i Laplaceov operator

Pisanje formula vektorske analize pojednostavljeno je korištenjem operater radara (operator W. Hamilton), koji je vektor
. Sam po sebi ovaj vektor nema nikakvog značenja, ali nam omogućuje kompaktno pisanje formula (2.3), (2.5) i (2.9):

;
;
. (2.14)

Uz to, operator nabla omogućuje pojednostavljenje izračuna diferencijalnih operatora višeg reda.

Treba napomenuti da sa  treba pažljivo rukovati, a kada ga koristite, ne zaboravite da ovaj operator nije samo vektor , ali također diferencijal .

Na primjer, pronađimo
. Pomoću dobivamo
. Prema pravilima diferencijacija operater proizvoda djeluje prvi na prvi množitelj i zatim po drugi: . Kao rezultat dobivamo. Postupak izračuna preko vektorskih koordinata zahtijevao bi red veličine više operacija.

Pokušajte sami dobiti formulu za razlaganje koja nije uključena u (2.15)
. Na kraju se daje točan odgovor aplikacije 1 .

Neki identiteti i operacije drugog reda.

;
;

;
;

Laplaceov operator ( , Laplasovac ) je operator drugog reda.

Kao  ,  odnosi se i na skalarne i na vektorske.

. (2.17)

U slučaju kartezijevog koordinatnog sustava (2.18) je pojednostavljeno:

Informacije o krivocrtnim koordinatnim sustavima koji se često koriste u teoriji EMF ( cilindričan I kuglastog ) i vektorske operacije u njima date su u Dodatak 2 .

2.5. Klasifikacija vektorskih polja

Vektorsko polje dana je jedinstveno ako su njezin rotor i divergencija poznati kao funkcije prostornih koordinata.

Ovisno o vrijednostima ovih funkcija, postoje potencijal , vrtlog (solenoidalni ) polje i generičko polje .

Vektorsko polje potencijalno , ako postoji neka skalarna funkcija U , koji je povezan sa na sljedeći način:
. Funkcija U nazvao potencijal skalarnog polja .

Potreban i dovoljan uvjet potencijalnost je rotor jednak nuli (
).

Solenoidno (vrtlog ) naziva se vektorsko polje , u svakoj točki od kojih
(potreban i dovoljan uvjet),
.

Solenoidno vektorsko polje može se predstaviti kao
. U ovom slučaju, vektorska veličina nazvao potencijal vektorskog polja (
).

Naziv ove vrste polja može se objasniti činjenicom da je otkriveno u solenoid , – induktor (može biti sa ili bez jezgre), čija duljina znatno premašuje promjer.

Ako vektorsko polje
I
, to je - generičko polje .

Proizvoljno vektorsko polje općeg tipa može se prikazati kao zbroj potencijalnog i vrtložnog dijela:
, - gdje u uključeno terenski izvori (
), i u –vrtlozi polja (
).

Sada, nakon proučavanja integralnih i diferencijalnih operacija i osnovnih teorema vektorske analize, možemo početi proučavati osnovu teorije EMF - Maxwellov sustav jednadžbi .

Znajući u svakoj točki S, nakladu možete pronaći kod G oko S. Razbijmo to S na  S:

I

- normalan na površinski element  S.

Neka sve  S 0 , zatim:

Stokesov teorem:

Vektor cirkulacije po proizvoljnoj konturi G jednak fluksu vektora
kroz proizvoljnu površinu S, ograničen ovom konturom.

3.7 Kruženje i rotor elektrostatskog polja

Rad elektrostatskih sila duž bilo kojeg zatvorenog strujnog kruga jednak je nuli.

oni. cirkulacija elektrostatskog polja duž bilo kojeg kruga je nula.

Uzmimo bilo koju površinu S, na temelju konture G.

Prema Stokesovom teoremu:

;

budući da je ovo za bilo koju površinu S, To

Postoji identitet:

oni. linije elektrostatskog polja ne kruže u prostoru.

3.8 Gaussov teorem

Naći ćemo
elektrostatičko polje. Za točkasti naboj gustoća linije brojčano je jednaka

Teći kroz bilo koju zatvorenu površinu jednak je broju linija koje izlaze, tj. počevši od naboja “+” do naboja “-“:

Predznak protoka odgovara predznaku q, dimenzije su iste.

Neka bude N točkasti naboji q ja .

Protok vektora jakosti elektrostatskog polja kroz zatvorenu površinu jednak je algebarskom zbroju naboja sadržanih unutar te površine, podijeljenom s  0.

4 Izračunavanje polja pomoću Gaussovog teorema

4.1 Polje jednoliko nabijene beskonačne ploče.

4.2 Polje jednoliko nabijene sferne površine.

4.3 Polje dviju beskonačnih paralelnih suprotno nabijenih ravnina

4.4 Polje volumski nabijene lopte

4.1 Polje jednoliko nabijene beskonačne ploče

U uvesti pojam površinske gustoće

- naboj po jedinici površine.

Beskonačna ploča nabijena konstantnom površinskom gustoćom +  . Linije napetosti su okomite na razmatranu ravninu i usmjerene od nje u oba smjera.

Kao zatvorenu plohu konstruirat ćemo valjak čije su osnovice paralelne s ravninom, a os okomita na nju, jer generatrise cilindra su paralelne E, To cos =0 a tok kroz bočnu plohu je 0, a ukupni tok kroz cilindar jednak je zbroju tokova kroz njegovu bazu.

E'=E''=E,

Da F= 2E S;

q = S

Iz toga slijedi da E ne ovisi o duljini cilindra, tj. Površina polja na bilo kojoj udaljenosti jednaka je u apsolutnoj vrijednosti, tj. Polje jednoliko nabijene ploče je jednoliko.

4.2 Polje jednoliko nabijene sferne površine

S radijus sferne površine R sa zajedničkim nabojem q.

Jer naboj je jednoliko raspoređen, tada polje ima sfernu simetriju, tj. ravninske linije usmjerene su radijalno.

Mentalno konstruirajmo sferu radijusa r R. Jer r R, tada cijeli naboj pada unutar površine, prema Gaussovoj teoremi:

Na r R polje se smanjuje s udaljenošću r prema istom zakonu kao i kod točkastog naboja.

Ako r' R, tada zatvorena površina ne sadrži naboje iznutra, slijedi da unutar jednoliko nabijene sferne površine nema elektrostatskog polja E=0.

4.3 Polje dviju beskonačnih paralelnih suprotno nabijenih ravnina

Neka su ravnine jednoliko nabijene suprotnim nabojima s površinskim gustoćama +  I -  .

Polje nalazimo kao superpoziciju koju stvara svaka od ravnina zasebno.

Izvan ploče E = 0(margine su oduzete jer su linije usmjerene jedna prema drugoj).

U području između ravnina

E = E + + E -

Zatim

Poznavajući rotor vektora a u svakoj točki neke (ne nužno ravne) površine S, može se izračunati kruženje tog vektora duž konture G koja ograničava S (kontura može biti i neravna). Da bismo to učinili, podijelimo površinu u vrlo male elemente. Zbog svoje malenosti, ovi elementi se mogu smatrati ravnim.

Stoga, u skladu s (11.23), kruženje vektora a duž granične konture može se prikazati u obliku

gdje je pozitivna normala na element površine

U skladu s formulom (11.21), zbrajanjem izraza (11.29) preko svih , dobivamo kruženje vektora a duž konture G, ograničavajući

Izvršivši granični prijelaz u kojem svi AS teže nuli (njihov broj neograničeno raste), dolazimo do formule

(11.30)

Relacija (11.30) naziva se Stokesov teorem. Njegovo značenje je da je kruženje vektora a po proizvoljnoj konturi G jednako protoku rotacije vektora kroz proizvoljnu plohu S omeđenu zadanom konturom.

Operater zvjezdarnice Pisanje formula vektorske analize znatno je pojednostavljeno i olakšano ako uvedete vektorski diferencijalni operator, označen simbolom i nazvan Nabla operator ili Hamiltonov operator. Ovaj operator znači vektor s komponentama, dakle,

Sam po sebi, ovaj vektor nema nikakvo značenje. Dobiva značenje kada se kombinira sa skalarnom ili vektorskom funkcijom kojom se simbolički množi. Dakle, ako pomnožite vektor y sa skalarom, dobit ćete vektor

što je gradijent funkcije (vidi (11.1)).

Ako se vektor y skalarno pomnoži s vektorom a, rezultat je skalar

što nije ništa drugo nego divergencija vektora a (vidi (11.14)).

Konačno, ako pomnožite y s a vektorski, dobit ćete vektor s komponentama: itd., koje se podudaraju s komponentama rota (vidi (11.25) - (11.27)).

Stoga, koristeći zapis vektorskog umnoška pomoću determinante, možemo pisati

(11-34)

Dakle, postoje dva načina označavanja gradijenta, divergencije i rotora:

Notacija koja koristi y ima brojne prednosti. Stoga ćemo u nastavku koristiti takve oznake. Trebali biste se naviknuti identificirati simbol s riječima "gradijent" (tj. ne recite "nabla", već "gradijent phi"), simbol s riječima "divergencija a" i, konačno, simbol s riječima "rotor a ”.

Kada koristite vektor y, trebate zapamtiti da je to diferencijalni operator koji djeluje na sve funkcije desno od njega. Stoga, kada transformirate izraze koji uključuju y, trebate uzeti u obzir i pravila vektorske algebre i pravila diferencijalnog računa. Na primjer, derivacija umnoška funkcija jednaka je

Prema tome

Također

Gradijent neke funkcije je vektorska funkcija. Stoga se na njega mogu primijeniti operacije divergencije i rotora.