Zakoni raspodjele funkcija slučajnih varijabli. Funkcija jednog i dva slučajna argumenta

Konvolucijska formula. Stabilnost normalne distribucije.

o Ako svaki par mogućih vrijednosti slučajnih varijabli X i Y odgovara jednoj mogućoj vrijednosti slučajne varijable Z, tada se Z naziva funkcija dvaju slučajnih argumenata X i Y:

Daljnji primjeri pokazat će kako pronaći distribuciju funkcije iz poznatih distribucija članova. Ovaj problem se često javlja u praksi. Na primjer, ako je X pogreška u očitanjima mjernog uređaja (jednoliko raspoređena), tada se postavlja zadatak pronaći zakon raspodjele zbroja pogrešaka.

Slučaj 1. Neka X i Y- diskretne nezavisne slučajne varijable. Da bi se sastavio zakon raspodjele za funkciju Z=X+Y, potrebno je pronaći sve moguće vrijednosti Z i njihove vjerojatnosti. Drugim riječima, sastavlja se serija distribucije slučajne varijable Z.

Primjer 1. Diskretne neovisne slučajne varijable X i Y, specificirane distribucijama

Napravite distribuciju slučajne varijable Z=X+Y.

Moguće vrijednosti Z su zbroj svake moguće vrijednosti X sa svim mogućim vrijednostima X.

Nađimo vjerojatnost ovih mogućih vrijednosti. Da bi bilo Z=4 dovoljno je da vrijednost X poprimi vrijednosti x 1 =1, a vrijednost Y-vrijednost y 1 =3. Vjerojatnosti ovih mogućih vrijednosti, kao što proizlazi iz ovih zakona raspodjele, jednake su 0,4 odnosno 0,2.

Budući da su slučajne varijable X i Y neovisne, događaji X=1 i Y=3 su neovisni i stoga je vjerojatnost njihovog zajedničkog pojavljivanja (tj. vjerojatnost događaja Z=1+3=4) prema množenju teorema je jednaka 0,4 0, 2=0,08.

Slično možemo pronaći

Napišimo traženu distribuciju tako da prvo zbrojimo vjerojatnosti nekompatibilnih događaja Z=z 2 i Z=z 3 . (0,32+0,12=0,44)

Kontrola: 0,08+0,44+0,48=1.

Razmotrimo opći slučaj:

Neka su X i Y neovisne slučajne varijable koje poprimaju vrijednosti. Označimo sa,.

Z=X+H. Označimo sa

Dakle, - konvolucijska formula.

Slučaj 2. Neka su X i Y kontinuirane slučajne varijable.

Teorema. Ako su X i Y nezavisne kontinuirane slučajne varijable, tada je slučajna varijabla Z=X+Y također kontinuirana, a gustoća distribucije slučajne varijable Z je konvolucijska formula.

o Gustoća distribucije sume nezavisne slučajne varijable naziva se sastav.

Komentar. Ako su moguće vrijednosti X i Y nenegativne, tada konvolucijska formula .

o Zakon distribucije vjerojatnosti naziva se održivi , ako je sastav takvih zakona isti zakon raspodjele (različitih, općenito govoreći, u parametrima). Normalni zakon ima svojstva stabilnosti, tj. kompozicija normalnih zakona također ima normalnu distribuciju, a matematičko očekivanje i varijanca ove kompozicije jednaki su zbrojevima matematičkih očekivanja i varijanci članova, redom:

Konkretno, ako X~N(0,1) i Y~N(0,1), tada je Z=X+Y~N(0,2).

Primjer 2. Neka su slučajne varijable X 1,...,X k nezavisne i imaju eksponencijalnu distribuciju s parametrom λ>0, tj. .

Pronađite gustoću distribucije.

Ako je x≤0, tada.

Provodeći slično razmišljanje, dobivamo:

Numeričke karakteristike sustava

Dvije slučajne varijable.

Za opisivanje sustava dviju slučajnih varijabli, osim matematičkih očekivanja i varijanci, koriste se i druge karakteristike. To uključuje kovarijancu i faktor korekcije.

o Kovarijanca između slučajnih varijabli X i Y naziva se broj, gdje.

Za kontinuirane slučajne varijable X i Y koristite formulu.

Pokažimo da ako su slučajne varijable X i Y neovisne, onda. Neka su X i Y kontinuirane slučajne varijable

o Koeficijent korelacije između slučajnih varijabli X i Y naziva se broj.

Korelacijska svojstva.

Svojstvo 1. Apsolutna vrijednost koeficijenta korelacije ne prelazi jedinicu, tj. .

Svojstvo 2. Da bi bilo potrebno i dovoljno da slučajne varijable X i Y budu povezane linearnom vezom. one. s vjerojatnošću 1.

Svojstvo 3. Ako su slučajne varijable nezavisne, onda su nekorelirane, tj. r=0.

Neka su X i Y neovisni, tada po svojstvu matematičkog očekivanja

o Pozivaju se dvije slučajne varijable X i Y korelirani, ako je njihov koeficijent korelacije različit od nule.

o Slučajne varijable X i Y nazivamo nekoreliranima ako im je koeficijent korelacije 0.

Komentar. Korelacija dviju slučajnih varijabli implicira njihovu ovisnost, ali ovisnost još ne implicira korelaciju. Iz neovisnosti dviju slučajnih varijabli proizlazi da su nekorelirane, ali iz nekorelacije ipak nije moguće zaključiti da su te varijable neovisne.

Koeficijent korelacije karakterizira tendenciju slučajnih varijabli prema linearnoj ovisnosti. Što je veća apsolutna vrijednost koeficijenta korelacije, veća je tendencija prema linearnoj ovisnosti.

Svaka slučajna varijabla u potpunosti je određena svojom distribucijska funkcija.

Ako je x slučajna varijabla, tada je funkcija F(x) = F x(x) = P(x< x) se zove distribucijska funkcija slučajna varijabla x. Ovdje P(x<x) - vjerojatnost da slučajna varijabla x poprimi vrijednost manju od x.

Važno je razumjeti da je distribucijska funkcija "putovnica" slučajne varijable: sadrži sve informacije o slučajnoj varijabli i stoga proučavanje slučajne varijable sastoji se od proučavanja njene distribucijske funkcije, koji se često jednostavno naziva distribucija.

Funkcija distribucije bilo koje slučajne varijable ima sljedeća svojstva:

funkcija dva slučajna argumenta:IfSvaki par mogućih vrijednosti slučajnih varijabli odgovara jednoj mogućoj vrijednosti slučajne varijable, tada se nazivaju funkcija dva slučajna argumenta i i napiši:

Ako su i diskretne neovisne slučajne varijable, tada je za pronalaženje distribucije funkcije potrebno pronaći sve moguće vrijednosti, za što je dovoljno svaku moguću vrijednost zbrojiti sa svim mogućim vrijednostima; vjerojatnosti pronađenih vrijednosti jednake su umnošcima vjerojatnosti zbrojenih iz vrijednosti I.

19. Zakon velikih brojeva. Teoremi zakona velikih brojeva utvrđuju odnos između slučajnosti i nužnosti.

Zakon velikih brojeva je općenito ime za nekoliko teorema, iz kojih proizlazi da s neograničenim povećanjem broja testova prosječne vrijednosti teže određenim konstantama.

Čebiševljeva nejednakost.

Lema: Ako slučajna varijabla X ima konačno očekivanje M(X) i varijancu D(X), tada je za bilo koje pozitivno e ​​nejednakost istinita

Chebyshevljev teorem: Za dovoljno velik broj neovisnih slučajnih varijabli X 1, X 2, X 3, ..., X n, od kojih varijanca svake od njih ne prelazi isti konstantni broj B, za proizvoljno proizvoljno mali broj e vrijedi sljedeća nejednakost:

Iz teorema proizlazi da aritmetička sredina slučajnih varijabli, kako njihov broj raste, pokazuje svojstvo stabilnosti, tj. teži u vjerojatnosti nekoj neslučajnoj vrijednosti, koja je aritmetička sredina matematičkih očekivanja tih veličina, tj. vjerojatnost odstupanja apsolutne vrijednosti aritmetičke sredine slučajnih varijabli od aritmetičke sredine njihovih matematičkih očekivanja manja je od e kako n neograničeno raste, teži 1, tj. postaje gotovo izvjestan događaj.

poseban slučaj Čebiševljevog teorema: Neka u n pokusa promatra se n vrijednosti slučajne varijable X, imati matematičko očekivanje M(X) i varijanca D(X). Dobivene vrijednosti mogu se smatrati slučajnim varijablama X 1, X 2, X 3, ..., X n,. To treba ovako shvatiti. serija od n testovi se provode više puta. Dakle, kao rezultat i-tog testa, i=l, 2, 3, ..., p, u svakoj seriji testova pojavit će se jedna ili druga vrijednost slučajne varijable X, nije poznato unaprijed. Stoga, i-e vrijednost xi slučajne varijable dobivene u i-tom testu mijenja se nasumično pri prelasku iz jedne serije testova u drugu. Stoga se svaka vrijednost x i može smatrati slučajnom varijablom Xi.

Bernoullijev teorem. Bernoullijev teorem: Ako je vjerojatnost događaja A u svakom od n neovisnih pokušaja konstantna i jednaka p, tada za dovoljno veliko n za proizvoljno e>0 nejednakost je istinita

Prolazeći do granice, imamo Bernoullijev teorem uspostavlja vezu između vjerojatnosti događanja događaja i njegove relativne učestalosti pojavljivanja te omogućuje približno predviđanje kolika će ta učestalost biti u n testovi. Iz teorema je jasno da omjer t/n ima svojstvo stabilnosti uz neograničeno povećanje broja testova.

Ponekad je (pri rješavanju praktičnih problema) potrebno procijeniti vjerojatnost da odstupanje broja m pojavljivanja događaja u n pokusa od očekivanog rezultata pr neće prijeći određeni broj e. Za ovu procjenu, nejednakost se prepisuje kao

20. Središnji granični teoremi (C.L.T.)- klasa teorema u teoriji vjerojatnosti koja tvrdi da zbroj dovoljno velikog broja slabo ovisnih slučajnih varijabli koje imaju približno iste skale (nijedan od članova ne dominira niti daje odlučujući doprinos zbroju) ima distribuciju blisku normalnoj.

Budući da se mnoge slučajne varijable u primjenama formiraju pod utjecajem nekoliko slabo ovisnih slučajnih čimbenika, njihova se distribucija smatra normalnom. U tom slučaju mora biti ispunjen uvjet da nijedan faktor nije dominantan. Centralni granični teoremi u ovim slučajevima opravdavaju upotrebu normalne distribucije.

Ako svaki par slučajnih varijabli
I odgovara jednoj od mogućih vrijednosti slučajne varijable , To
naziva se funkcija dva slučajna argumenta
I . U praksi je najčešći zadatak pronaći zakon raspodjele funkcije
prema poznatim raspodjelama pojmova.
Na primjer, ako je pogreška očitanja nekog mjernog uređaja (obično raspoređena normalno), i
.

- pogreška zaokruživanja očitanja ovog uređaja (jednoliko raspoređena), tada se postavlja zadatak - pronaći zakon raspodjele zbroja pogrešaka
koji su određeni njihovim zakonima raspodjele.
I Zatim moguće vrijednosti slučajne varijable nalaze se kao produkti odgovarajućih vjerojatnosti vrijednosti
I uključeno u

i kao zbroj tih umnožaka, ako jedna vrijednost zbroja odgovara različitim kombinacijama vrijednosti
I .

Primjer 1. Neka je zadan niz distribucije diskretnih slučajnih varijabli
I .

Zatim funkcija
poprima vrijednosti: 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9. Vjerojatnosti ovih vrijednosti nalazimo koristeći teoreme množenja i zbrajanja vjerojatnosti na sljedeći način:

Dobivamo niz distribucije slučajne varijable :

Zbroj vjerojatnosti u donjem retku jednak je 1, tako da ova tablica zapravo specificira niz distribucije slučajne varijable
.

7.2.
I -Neka sada kontinuirane slučajne varijable.
I Ako
I -
- su neovisni, tada poznavajući gustoće distribucije slučajnih varijabli

, odnosno gustoća distribucije slučajne varijable

;

.

može se pronaći pomoću jedne od sljedećih formula:
Konkretno, ako
uzeti samo pozitivne vrijednosti na intervalu

, a zatim ispunjava sljedeće formule: PRIMJER 2.
I Neka su nezavisne slučajne varijable

dati su njihovim gustoćama distribucije:
.

Pronađite zakon distribucije slučajne varijable

dakle,

Lako je provjeriti da je zadovoljeno glavno svojstvo gustoće raspodjele, naime,

8.1 § 8. Sustavi slučajnih varijabli

Zakoni raspodjele sustava slučajnih varijabli.
Sve do sada razmatrane slučajne varijable definirane su jednim brojem (jednim argumentom) – jednodimenzionalne slučajne varijable. No, osim njih, možemo smatrati i veličine koje ovise o dva, tri ili više argumenata, tzv. višedimenzionalne slučajne varijable, koje možemo smatrati sustavima jednodimenzionalnih slučajnih varijabli.
I Kroz - označavaju dvodimenzionalnu slučajnu varijablu, a svaku od vrijednosti .

- pozvao komponenta (komponenta) Dvodimenzionalna slučajna varijabla naziva se

diskretan , ako su njegove komponente diskretne slučajne varijable.

Stalan naziva se dvodimenzionalna slučajna varijabla, čije su komponente kontinuirane slučajne varijable.

Zakon distribucije diskretne dvodimenzionalne slučajne varijable
,

zove se tablica oblika:

Od događaja

čine potpunu skupinu nekompatibilnih događaja, tada je zbroj svih vjerojatnosti u tablici jednak jedan.

Poznavajući zakon raspodjele dvodimenzionalne slučajne varijable, možete pronaći zakon raspodjele svake komponente:

(zbroj vjerojatnosti u stupcu tablice);(zbroj vjerojatnosti u retku tablice). Primjer 1

.
I .

Zakon raspodjele dvodimenzionalnih slučajnih
ima distribuciju:

Definicija. Funkcija distribucije dvodimenzionalne slučajne varijable naziva se funkcija koja ima smisla i za diskretne i za kontinuirane slučajne varijable. Geometrijski, ova se jednakost može tumačiti kao vjerojatnost da slučajna točka
pada u beskonačni kvadrat s vrhom u točki
, koji se nalazi lijevo i ispod ovog vrha.

OSNOVNA SVOJSTVA FUNKCIJE DISTRIBUCIJE:

Svojstvo 1.
.

Svojstvo 2. Funkcija distribucije je neopadajuća funkcija za oba argumenta, tj.

Svojstvo 3. Za sve I vrijede sljedeće relacije:

Svojstvo 4. Funkcije raspodjele komponenata mogu se pronaći iz jednakosti:

Definicija.Gustoća distribucije zglobova Vjerojatnosti dvodimenzionalne kontinuirane slučajne varijable nazivaju se druga mješovita derivacija funkcije razdiobe, tj.

.

Primjer 2. Dana je funkcija distribucije sustava slučajnih varijabli
:
Nađite njegovu gustoću distribucije.

Neka je poznata gustoća distribucije sustava slučajnih varijabli
-
.

,

Tada se funkcija distribucije može pronaći pomoću jednakosti:

To izravno proizlazi iz definicije gustoće distribucije.
Vjerojatnost pogotka
u regiju

je određen jednakošću

Svojstvo 1. SVOJSTVA DVODIMENZIONALNE RASPODJELE GUSTOĆE.

Svojstvo 2. Dvodimenzionalna gustoća distribucije uvijek je pozitivna:

Dvostruki nepravi integral s beskonačnim granicama integracije na gustoću distribucije jednak je jedinici
Ako je poznata zajednička gustoća distribucije vjerojatnosti sustava dviju slučajnih varijabli, tada se mogu pronaći gustoće distribucije svake komponente.
Ali

.

.

,

Zatim Na sličan način dobivamo

Primjer 3.
I

Neka je dana dvodimenzionalna gustoća distribucije
Odredite gustoću distribucije slučajnih varijabli
na I i jednaka je nuli izvan ovog intervala. Slično, zbog simetričnosti funkcije

relativno

, dobivamo:
Uvjetni zakoni raspodjele.

Koncept sličan konceptu uvjetne vjerojatnosti za slučajne događaje

, može se uvesti za karakterizaciju ovisnosti između slučajnih varijabli. Razmotrimo zasebno slučajeve diskretnih i kontinuiranih dvodimenzionalnih slučajnih varijabli. A)

Za diskretnu dvodimenzionalnu slučajnu količinu,

Komentar. data tablica:

uvjetne vjerojatnosti izračunavaju se pomoću formula: Zbrojevi odgovarajućih uvjetnih vjerojatnosti jednaki su jedinici, tj.

Primjer 4.
Neka je diskretna slučajna varijabla dana tablicom: Nađite uvjetni zakon raspodjele komponente .

uz uvjet da slučajna varijabla

poprimilo značenje Kontinuirana dvodimenzionalna slučajna varijabla uvjetna gustoća distribucije
komponenta
na zadanu vrijednost
zove stav

,

slično, uvjetna gustoća distribucije
na zadanu vrijednost
-
.

Primjer 5. Neka je zajednička gustoća distribucije kontinuirane dvodimenzionalne slučajne varijable
dano funkcijom:
.

Nađite uvjetne gustoće raspodjele komponenata.

U izračunima je korišten Poissonov integral

Tada uvjetne gustoće distribucije imaju oblik:

Definicija.Uvjetno matematičko očekivanje. Uvjetno matematičko očekivanje Neka je dana dvodimenzionalna gustoća distribucije
diskretna slučajna varijabla je zbroj umnožaka mogućih vrijednosti

na njihove uvjetne vjerojatnosti:

na sličan način Primjer 6.

Neka je dvodimenzionalna diskretna slučajna varijabla dana tablicom: Pronađite uvjetna matematička očekivanja:
I
Pronađite uvjetna matematička očekivanja:

na

na

Zatim

Za kontinuirane količine:

Definicija. Zavisne i nezavisne slučajne varijable. Pozivaju se dvije slučajne varijable nezavisna

, ako zakon distribucije jedne od njih ne ovisi o mogućim vrijednostima koje je uzela druga slučajna varijabla. Iz ove definicije proizlazi da su uvjetni zakoni raspodjele nezavisnih slučajnih varijabli jednaki njihovim bezuvjetnim zakonima raspodjele.
I TEOREMA.

bili neovisni, potrebno je i dovoljno da vrijedi jednakost:

Nećemo dokazivati ​​teorem, ali kao posljedicu dobivamo: Posljedica.
I Kako bi slučajne varijable
bili neovisni, potrebno je i dovoljno da gustoća zajedničke distribucije sustava

bila jednaka umnošku gustoća distribucije komponenata, tj.

Numeričke karakteristike sustava dva slučajna

količinama

Definicija.Trenutak korelacije. Koeficijent
korelacije.
I Trenutak korelacije

sustavi slučajnih varijabli Matematičko očekivanje umnoška odstupanja ovih veličina naziva se:

Napomena 1. Lako je vidjeti da se korelacijski moment može napisati u obliku:

Napomena 2.

Moment korelacije dviju neovisnih slučajnih varijabli jednak je nuli. To proizlazi iz uvjeta neovisnosti slučajnih varijabli.
I Napomena 3.

Definicija.Za korelacijski moment slučajnih varijabli
nejednakost vrijedi
I Koeficijent korelacije

(2)

slučajne varijable

naziva se omjer korelacijskog momenta i umnoška standardnih odstupanja tih veličina, tj.

(3)

Ako su slučajne varijable nezavisne, tada je njihov korelacijski moment jednak nuli, a prema tome i koeficijent korelacije jednak nuli. Razmotrimo slučaj sustava diskretnih slučajnih varijabli čija je distribucija dana u tablici:

Odredite matematička očekivanja i varijance komponenata i za njih odredite koeficijent korelacije .

Pronađimo jednodimenzionalne zakone raspodjele komponenti

i njihove numeričke karakteristike.

Za

Za

Matematičko očekivanje proizvoda:

Tada je korelacijski moment jednak:

I konačno, koeficijent korelacije je:

To znači da slučajne varijable
I imaju vrlo slabu ovisnost.

Razmotrimo sličan problem za slučaj kontinuiranih slučajnih varijabli.

Primjer 8. Neka sustav slučajnih varijabli
podliježe zakonu distribucije s gustoćom:

gdje je područje. Pronađite vrijednost parametra
I , numeričke karakteristike slučajnih varijabli .

i njihov koeficijent korelacije
Regija

0 2

- ovo je trokut: Prvo pronalazimo vrijednost parametra

, uzimajući u obzir osnovni uvjet gustoće raspodjele:

U našem slučaju,
Odavde,

a gustoća raspodjele ima oblik:

Pronađimo numeričke karakteristike komponenata.
Budući da funkcija
i regija I simetričan u odnosu na
I , zatim numeričke karakteristike slučajnih vrijednosti

podudaraju se, tj.

Matematičko očekivanje umnoška slučajnih varijabli

Moment korelacije jednak je:

I konačno,

Korelacija i ovisnost slučajnosti

Definicija. količinama
I Dvije slučajne varijable korelirani nazvao

, ako je njihov korelacijski moment (ili, ekvivalentno, koeficijent korelacije) različit od nule.

Korelirane veličine su ovisne. Suprotna pretpostavka ne vrijedi uvijek, tj. ovisne slučajne varijable mogu biti korelirane ili nekorelirane. Ako su slučajne varijable neovisne, onda su nužno nekorelirane.

Pogledajmo na primjeru da dvije ovisne veličine mogu biti nekorelirane. Primjer
.

Neka je dvodimenzionalna slučajna varijabla
I za – dano gustoćom distribucije:

Dokažite to

- nekorelirane količine.
I Gustoće distribucije komponenata, kao što je lako vidjeti, unutar dane elipse dane su odgovarajućim formulama i jednake su nuli izvan elipse.

Pronađimo numeričke karakteristike komponenata.
Od tada
- ovisne slučajne varijable.
onda je simetričan u odnosu na os Oy
, slično,

, zbog simetrije

u odnosu na os Ox (parne funkcije).

sustavi slučajnih varijabli budući da je unutarnji integral jednak nuli (integral neparne funkcije jednak je parnoj funkciji, a granice integracije su simetrične). Zatim

Napomena 1. Ako komponente
I povezani su linearnom ovisnošću, tj.
, To

BIBLIOGRAFSKI POPIS

Gmurman V.E. Teorija vjerojatnosti i matematička statistika - M.: Vyssh. škola, 2001. (enciklopedijska natuknica).

Gmurman V.E. Vodič za rješavanje problema iz teorije vjerojatnosti i matematičke statistike - M.: Vyssh. škola , 2001. (enciklopedijska natuknica).

Gurski E.I. Teorija vjerojatnosti s elementima matematičke statistike - M.: Vyssh.

škola, 1971.

Izosova L.A., Izosov A.V. Slučajne varijable //metoda indikacije// - Magnitogorsk, 2003.

Izosova L.A., Izosov A.V. Slučajne varijable i zakoni njihove distribucije //samostalni zadaci// - Magnitogorsk, 2004.

Kremer N.Sh. Teorija vjerojatnosti i matematička statistika - M.: Unity, 2000.