Pecahan desimal dalam bahasa Rusia. Konsep desimal

Artikel ini tentang desimal. Disini kita akan memahami notasi desimal bilangan pecahan, mengenal konsep pecahan desimal dan memberikan contoh pecahan desimal. Selanjutnya kita akan membahas tentang angka-angka pecahan desimal dan memberikan nama-nama angka tersebut. Setelah ini, kita akan fokus pada pecahan desimal tak hingga, mari kita bicara tentang pecahan periodik dan non-periodik. Selanjutnya kita mencantumkan operasi dasar dengan pecahan desimal. Sebagai kesimpulan, mari kita tentukan posisi pecahan desimal pada sinar koordinat.

Navigasi halaman.

Notasi desimal dari bilangan pecahan

Membaca Desimal

Katakanlah beberapa kata tentang aturan membaca pecahan desimal.

Pecahan desimal, yang sesuai dengan pecahan biasa biasa, dibaca dengan cara yang sama seperti pecahan biasa ini, hanya “bilangan bulat nol” yang ditambahkan terlebih dahulu. Misalnya, pecahan desimal 0,12 sama dengan pecahan biasa 12/100 (dibaca “dua belas perseratus”), oleh karena itu, 0,12 dibaca sebagai “nol koma dua belas perseratus”.

Pecahan desimal yang berhubungan dengan bilangan campuran dibaca sama persis dengan bilangan campuran tersebut. Misalnya, pecahan desimal 56,002 sama dengan bilangan campuran, sehingga pecahan desimal 56,002 dibaca sebagai “lima puluh enam koma dua perseribu”.

Tempat dalam desimal

Dalam penulisan pecahan desimal, maupun dalam penulisan bilangan asli, arti setiap angka bergantung pada posisinya. Memang angka 3 pada pecahan desimal 0,3 berarti tiga persepuluh, pada pecahan desimal 0,0003 - tiga per sepuluh ribu, dan pada pecahan desimal 30.000,152 - tiga per sepuluh ribu. Jadi kita bisa membicarakannya tempat desimal, serta tentang angka-angka dalam bilangan asli.

Nama-nama angka pada pecahan desimal sampai dengan koma sama persis dengan nama-nama angka pada bilangan asli. Dan nama-nama tempat desimal setelah koma dapat dilihat pada tabel berikut.

Misalnya pada pecahan desimal 37.051, angka 3 berada pada tempat puluhan, 7 pada tempat satuan, 0 pada tempat persepuluhan, 5 pada tempat persepuluhan, dan 1 pada tempat perseribu.

Tempat dalam pecahan desimal juga berbeda prioritasnya. Jika dalam penulisan pecahan desimal kita berpindah dari angka ke angka dari kiri ke kanan, maka kita akan berpindah dari senior Ke peringkat junior. Misalnya, tempat ratusan lebih tua dari tempat persepuluhan, dan tempat jutaan lebih rendah dari tempat perseratus. Dalam pecahan desimal akhir tertentu, kita dapat membicarakan tentang angka mayor dan angka minor. Misalnya pada pecahan desimal 604.9387 senior (tertinggi) tempatnya adalah tempat ratusan, dan junior (terendah)- angka sepuluh ribu.

Untuk pecahan desimal, terjadi pemuaian menjadi angka. Hal ini mirip dengan perluasan ke dalam digit bilangan asli. Misalnya, perluasan ke desimal 45,6072 adalah sebagai berikut: 45,6072=40+5+0,6+0,007+0,0002. Dan sifat penjumlahan dari penguraian pecahan desimal menjadi angka memungkinkan Anda beralih ke representasi lain dari pecahan desimal ini, misalnya, 45.6072=45+0.6072, atau 45.6072=40.6+5.007+0.0002, atau 45.6072= 45.0072+ 0,6.

Mengakhiri desimal

Sampai saat ini, kita hanya berbicara tentang pecahan desimal, yang notasinya terdapat sejumlah digit setelah koma desimal. Pecahan seperti ini disebut desimal berhingga.

Definisi.

Mengakhiri desimal- Ini adalah pecahan desimal, yang catatannya berisi sejumlah karakter (digit) yang terbatas.

Berikut beberapa contoh pecahan desimal akhir: 0,317, 3,5, 51.1020304958, 230,032.45.

Namun, tidak semua pecahan dapat direpresentasikan sebagai desimal akhir. Misalnya pecahan 5/13 tidak dapat digantikan dengan pecahan yang sama besar yang salah satu penyebutnya 10, 100, ..., oleh karena itu tidak dapat diubah menjadi pecahan desimal akhir. Kita akan membicarakan hal ini lebih lanjut di bagian teori, mengubah pecahan biasa menjadi desimal.

Desimal Tak Terbatas: Pecahan Berkala dan Pecahan Non Berkala

Dalam penulisan pecahan desimal setelah koma, kita dapat mengasumsikan kemungkinan jumlah digitnya tidak terhingga. Dalam hal ini, kita akan membahas apa yang disebut pecahan desimal tak hingga.

Definisi.

Desimal tak terbatas- Ini adalah pecahan desimal, yang mengandung jumlah digit tak terbatas.

Jelas bahwa kita tidak dapat menuliskan pecahan desimal tak terhingga dalam bentuk lengkapnya, jadi dalam penulisannya kita membatasi diri hanya pada sejumlah digit tertentu setelah koma dan memberi tanda elipsis yang menunjukkan barisan angka-angka yang berlanjut tak terhingga. Berikut beberapa contoh pecahan desimal tak hingga: 0.143940932…, 3.1415935432…, 153.02003004005…, 2.111111111…, 69.74152152152….

Jika diperhatikan lebih dekat dua pecahan desimal tak hingga terakhir, maka pada pecahan 2.111111111... angka 1 yang berulang tanpa henti terlihat jelas, dan pada pecahan 69.74152152152..., mulai dari tempat desimal ketiga, sekelompok angka yang berulang 1, 5 dan 2 terlihat jelas. Pecahan desimal tak hingga disebut periodik.

Definisi.

Desimal periodik(atau hanya pecahan periodik) adalah pecahan desimal tak berujung, yang pencatatannya dimulai dari tempat desimal tertentu, suatu bilangan atau kelompok bilangan diulang terus-menerus, yang disebut periode pecahan.

Misalnya, periode pecahan periodik 2.111111111... adalah angka 1, dan periode pecahan 69.74152152152... adalah sekelompok angka yang berbentuk 152.

Untuk pecahan desimal periodik tak terhingga, digunakan bentuk notasi khusus. Untuk singkatnya, kami sepakat untuk menuliskan titik tersebut satu kali, dengan menyertakannya dalam tanda kurung. Misalnya, pecahan periodik 2.111111111... ditulis sebagai 2,(1) , dan pecahan periodik 69.74152152152... ditulis sebagai 69.74(152) .

Perlu dicatat bahwa untuk pecahan desimal periodik yang sama, Anda dapat menentukan periode yang berbeda. Misalnya, pecahan desimal periodik 0,73333... dapat dianggap sebagai pecahan 0,7(3) dengan periode 3, dan juga sebagai pecahan 0,7(33) dengan periode 33, dan seterusnya 0,7(333), 0,7 (3333), ... Anda juga dapat melihat pecahan periodik 0,73333 ... seperti ini: 0,733(3), atau seperti ini 0,73(333), dst. Di sini, untuk menghindari ambiguitas dan perbedaan, kami sepakat untuk menganggap periode pecahan desimal sebagai periode terpendek dari semua kemungkinan urutan angka berulang, dan dimulai dari posisi terdekat ke titik desimal. Artinya, periode pecahan desimal 0,73333... akan dianggap barisan satu angka 3, dan periodisitasnya dimulai dari posisi kedua setelah koma desimal, yaitu 0,73333...=0,7(3). Contoh lain: pecahan periodik 4.7412121212... mempunyai periode 12, periodisitasnya dimulai dari angka ketiga setelah koma yaitu 4.7412121212...=4.74(12).

Pecahan periodik desimal tak hingga diperoleh dengan mengubah pecahan biasa menjadi pecahan desimal yang penyebutnya mengandung faktor prima selain 2 dan 5.

Di sini perlu disebutkan pecahan periodik dengan periode 9. Mari kita beri contoh pecahan seperti itu: 6.43(9) , 27,(9) . Pecahan ini merupakan sebutan lain untuk pecahan periodik berperiode 0, dan biasanya diganti dengan pecahan periodik berperiode 0. Untuk melakukan ini, periode 9 diganti dengan periode 0, dan nilai digit tertinggi berikutnya ditambah satu. Misalnya, pecahan berperiode 9 berbentuk 7,24(9) diganti dengan pecahan periodik berperiode 0 berbentuk 7,25(0) atau pecahan desimal akhir yang sama dengan 7,25. Contoh lain: 4,(9)=5,(0)=5. Persamaan pecahan berperiode 9 dan pecahan bersesuaian dengan periode 0 mudah ditentukan setelah mengganti pecahan desimal tersebut dengan pecahan biasa yang sama.

Terakhir, mari kita lihat lebih dekat pecahan desimal tak hingga, yang tidak berisi rangkaian angka yang berulang tanpa henti. Mereka disebut non-periodik.

Definisi.

Desimal yang tidak berulang(atau hanya pecahan non-periodik) adalah pecahan desimal tak terhingga yang tidak mempunyai titik.

Terkadang pecahan tak periodik mempunyai bentuk yang mirip dengan pecahan periodik, misalnya 8.02002000200002... adalah pecahan tak periodik. Dalam kasus ini, Anda harus sangat berhati-hati dalam memperhatikan perbedaannya.

Perhatikan bahwa pecahan non-periodik tidak diubah menjadi pecahan biasa; pecahan desimal non-periodik tak terhingga mewakili bilangan irasional.

Operasi dengan desimal

Salah satu operasi dengan pecahan desimal adalah perbandingan, dan empat fungsi aritmatika dasar juga didefinisikan operasi dengan desimal: penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Mari kita pertimbangkan secara terpisah setiap tindakan dengan pecahan desimal.

Perbandingan desimal pada dasarnya didasarkan pada perbandingan pecahan biasa yang sesuai dengan pecahan desimal yang dibandingkan. Namun, mengubah pecahan desimal menjadi pecahan biasa merupakan proses yang memakan waktu lama, dan pecahan non-periodik tak terhingga tidak dapat direpresentasikan sebagai pecahan biasa, sehingga akan lebih mudah jika menggunakan perbandingan pecahan desimal berdasarkan tempat. Perbandingan pecahan desimal berdasarkan tempat mirip dengan perbandingan bilangan asli. Untuk informasi lebih detail, kami sarankan mempelajari materi di artikel: perbandingan pecahan desimal, aturan, contoh, solusi.

Mari kita lanjutkan ke langkah berikutnya - mengalikan desimal. Perkalian pecahan desimal hingga dilakukan sama seperti pengurangan pecahan desimal, aturan, contoh, solusi perkalian dengan kolom bilangan asli. Dalam kasus pecahan periodik, perkalian dapat direduksi menjadi perkalian pecahan biasa. Pada gilirannya, perkalian pecahan desimal non-periodik tak hingga setelah pembulatannya direduksi menjadi perkalian pecahan desimal hingga. Kami merekomendasikan untuk mempelajari lebih lanjut materi dalam artikel: perkalian pecahan desimal, aturan, contoh, solusi.

Desimal pada sinar koordinat

Terdapat korespondensi satu-satu antara titik dan desimal.

Mari kita cari tahu bagaimana titik-titik pada sinar koordinat dibuat yang sesuai dengan pecahan desimal tertentu.

Kita dapat mengganti pecahan desimal berhingga dan pecahan desimal periodik tak hingga dengan pecahan biasa yang sama, lalu membuat pecahan biasa yang bersesuaian pada sinar koordinat. Misalnya, pecahan desimal 1,4 sama dengan pecahan biasa 14/10, sehingga titik dengan koordinat 1,4 dipindahkan dari titik asal ke arah positif sebanyak 14 segmen yang sama dengan sepersepuluh segmen satuan.

Pecahan desimal dapat ditandai pada sinar koordinat, dimulai dari penguraian pecahan desimal tertentu menjadi angka-angka. Misalnya, kita perlu membangun sebuah titik dengan koordinat 16.3007, karena 16.3007=16+0.3+0.0007, maka kita dapat mencapai titik tersebut dengan secara berurutan meletakkan 16 satuan ruas dari titik asal, 3 ruas yang panjangnya sama dengan sepersepuluh a satuan, dan 7 ruas yang panjangnya sama dengan sepersepuluh ribu satuan ruas.

Metode pembuatan bilangan desimal pada sinar koordinat ini memungkinkan Anda untuk sedekat mungkin dengan titik yang berhubungan dengan pecahan desimal tak terhingga.

Terkadang dimungkinkan untuk secara akurat memplot titik yang sesuai dengan pecahan desimal tak hingga. Misalnya, , maka pecahan desimal tak hingga ini 1,41421... sesuai dengan sebuah titik pada sinar koordinat, jauh dari titik asal koordinat sepanjang diagonal persegi dengan sisi 1 satuan segmen.

Proses kebalikan dari memperoleh pecahan desimal yang bersesuaian dengan suatu titik tertentu pada sinar koordinat disebut pengukuran desimal suatu segmen. Mari kita cari tahu bagaimana hal itu dilakukan.

Misalkan tugas kita adalah berpindah dari titik asal ke suatu titik tertentu pada garis koordinat (atau mendekati titik asal tanpa batas jika kita tidak dapat mencapainya). Dengan pengukuran desimal suatu ruas, kita dapat secara berurutan memberhentikan sejumlah ruas satuan dari titik asal, kemudian ruas-ruas yang panjangnya sama dengan sepersepuluh satuan, kemudian ruas-ruas yang panjangnya sama dengan seperseratus satuan, dan seterusnya. Dengan mencatat jumlah segmen dari setiap panjang yang disisihkan, kita memperoleh pecahan desimal yang bersesuaian dengan suatu titik tertentu pada sinar koordinat.

Misalnya, untuk sampai ke titik M pada gambar di atas, Anda perlu menyisihkan 1 satuan ruas dan 4 ruas yang panjangnya sama dengan sepersepuluh satuan. Jadi, titik M sesuai dengan pecahan desimal 1,4.

Jelas bahwa titik-titik sinar koordinat, yang tidak dapat dicapai dalam proses pengukuran desimal, berhubungan dengan pecahan desimal tak hingga.

Referensi.

• Matematika: buku teks untuk kelas 5. pendidikan umum institusi / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - Edisi ke-21, terhapus. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 hal.: sakit. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematika. kelas 6: mendidik. untuk pendidikan umum institusi / [N. Ya.Vilenkin dan lainnya]. - Edisi ke-22, putaran. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Aljabar: buku pelajaran untuk kelas 8. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; diedit oleh S.A.Telyakovsky. - edisi ke-16. - M.: Pendidikan, 2008. - 271 hal. : sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (panduan untuk pelamar ke sekolah teknik): Proc. tunjangan.- M.; Lebih tinggi sekolah, 1984.-351 hal., sakit.

Pecahan biasa (atau bilangan campuran) yang penyebutnya adalah satu diikuti oleh satu atau lebih angka nol (yaitu 10, 100, 1000, dst.):

dapat ditulis dalam bentuk yang lebih sederhana: tanpa penyebut, pisahkan bagian bilangan bulat dan pecahan satu sama lain dengan koma (dalam hal ini, bagian bilangan bulat dari pecahan biasa dianggap sama dengan 0). Pertama, bagian bilangan bulat ditulis, kemudian diberi koma, dan setelah itu bagian pecahan ditulis:

Pecahan biasa (atau bilangan campuran) yang ditulis dalam bentuk ini disebut desimal.

Membaca dan menulis desimal

Pecahan desimal ditulis menggunakan aturan yang sama seperti bilangan asli pada sistem bilangan desimal. Ini berarti bahwa dalam desimal, seperti halnya bilangan asli, setiap digit menyatakan satuan yang sepuluh kali lebih besar dari satuan di sebelahnya di sebelah kanan.

Pertimbangkan entri berikut:

Angka 8 melambangkan satuan prima. Angka 3 berarti satuan yang 10 kali lebih kecil dari satuan sederhana, yaitu sepersepuluh. 4 berarti seperseratus, 2 berarti seperseribu, dst.

Angka-angka yang muncul di sebelah kanan setelah koma disebut desimal.

Pecahan desimal dibaca sebagai berikut: pertama disebut bagian bilangan bulat, kemudian bagian pecahan. Saat membaca seluruh bagian, harus selalu menjawab pertanyaan: berapa banyak satuan yang ada di seluruh bagian? . Kata bilangan bulat (atau bilangan bulat) ditambahkan ke jawabannya, bergantung pada jumlah unit bilangan bulat. Misalnya satu bilangan bulat, dua bilangan bulat, tiga bilangan bulat, dan seterusnya. Saat membaca bagian pecahan, jumlah bagian diberi nama dan di akhir mereka menambahkan nama bagian yang diakhiri dengan bagian pecahan:

3.1 berbunyi seperti ini: tiga koma sepersepuluh.

2.017 berbunyi seperti ini: dua koma tujuh belas ribu.

Untuk lebih memahami aturan penulisan dan pembacaan pecahan desimal, perhatikan tabel angka dan contoh penulisan angka yang diberikan di dalamnya:

Harap dicatat bahwa setelah koma, jumlah digit setelah koma sama banyaknya dengan jumlah nol pada penyebut pecahan biasa yang bersangkutan:

Pecahan desimal sama dengan pecahan biasa, namun disebut dengan notasi desimal. Notasi desimal digunakan untuk pecahan dengan penyebut 10, 100, 1000, dst. Sebagai ganti pecahan, 1/10; 1/100; 1/1000; ... tulis 0,1; 0,01; 0,001;... .

Misalnya, 0,7 ( nol koma tujuh) adalah pecahan 7/10; 5.43 ( lima koma empat puluh tiga) adalah pecahan campuran 5 43/100 (atau, yang sama, pecahan biasa 543/100).

Mungkin saja ada satu atau lebih angka nol tepat setelah koma: 1,03 adalah pecahan 1 3/100; 17.0087 adalah pecahan 17 87/10000. Aturan umumnya adalah: penyebut pecahan biasa harus mempunyai angka nol sebanyak angka setelah koma pada pecahan desimal.

Pecahan desimal dapat diakhiri dengan satu atau lebih angka nol. Ternyata angka nol ini adalah “ekstra” - angka tersebut dapat dihilangkan dengan mudah: 1,30 = 1,3; 5,4600 = 5,46; 3.000 = 3. Cari tahu mengapa demikian?

Desimal secara alami muncul ketika dibagi dengan angka "bulat" - 10, 100, 1000, ... Pastikan untuk memahami contoh berikut:

27:10 = 27/10 = 2 7/10 = 2,7;

579:100 = 579/100 = 5 79/100 = 5,79;

33791:1000 = 33791/1000 = 33 791/1000 = 33,791;

34,9:10 = 349/10:10 = 349/100 = 3,49;

6,35:100 = 635/100:100 = 635/10000 = 0,0635.

Apakah Anda memperhatikan suatu pola di sini? Cobalah untuk merumuskannya. Apa yang terjadi jika pecahan desimal dikalikan dengan 10, 100, 1000?

Untuk mengubah pecahan biasa menjadi desimal, Anda perlu mereduksinya menjadi penyebut “bulat”:

2/5 = 4/10 = 0,4; 11/20 = 55/100 = 0,55; 9/2 = 45/10 = 4,5, dst.

Menjumlahkan desimal jauh lebih mudah daripada menjumlahkan pecahan. Penjumlahan dilakukan dengan cara yang sama seperti bilangan biasa - sesuai dengan angka yang sesuai. Saat menjumlahkan dalam kolom, suku-sukunya harus ditulis sedemikian rupa sehingga komanya berada pada vertikal yang sama. Koma dari jumlah tersebut juga akan berada pada vertikal yang sama. Pengurangan pecahan desimal dilakukan dengan cara yang persis sama.

Jika, pada saat menjumlahkan atau mengurangkan salah satu pecahan, jumlah angka setelah koma lebih kecil dari angka desimal lainnya, maka jumlah nol yang diperlukan harus ditambahkan ke akhir pecahan tersebut. Anda tidak dapat menambahkan angka nol ini, tetapi bayangkan saja dalam pikiran Anda.

Saat mengalikan pecahan desimal, pecahan tersebut harus dikalikan lagi seperti bilangan biasa (tidak perlu lagi menulis koma di bawah koma). Pada hasil yang dihasilkan, Anda perlu memisahkan dengan koma sejumlah digit yang sama dengan jumlah total tempat desimal di kedua faktor.

Saat membagi pecahan desimal, Anda dapat memindahkan titik desimal pada pembagi dan pembagi ke kanan secara bersamaan sebanyak beberapa tempat: ini tidak akan mengubah hasil bagi:

2,8:1,4 = 2,8/1,4 = 28/14 = 2;

4,2:0,7 = 4,2/0,7 = 42/7 = 6;

6:1,2 = 6,0/1,2 = 60/12 = 5.

Jelaskan mengapa demikian?

1. Gambarlah sebuah persegi berukuran 10x10. Pengecatan sebagiannya sama dengan: a) 0,02; b) 0,7; c) 0,57; d) 0,91; e) 0,135 luas seluruh persegi.
2. Berapakah 2,43 persegi? Gambarlah dalam sebuah gambar.
3. Bagilah angka 37 dengan 10; 795; 4; 2.3; 65,27; 0,48 dan tulis hasilnya sebagai pecahan desimal. Bagilah bilangan yang sama dengan 100 dan 1000.
4. Kalikan angka 4,6 dengan 10; 6.52; 23.095; 0,01999. Kalikan angka yang sama dengan 100 dan 1000.
5. Nyatakan desimal sebagai pecahan dan kurangi:
   a) 0,5; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8;
   b) 0,25; 0,75; 0,05; 0,35; 0,025;
   c) 0,125; 0,375; 0,625; 0,875;
   d) 0,44; 0,26; 0,92; 0,78; 0,666; 0,848.
6. Hadir sebagai pecahan campuran: 1,5; 3.2; 6.6; 2.25; 10,75; 4.125; 23.005; 7.0125.
7. Nyatakan pecahan sebagai desimal:
   a) 1/2; 3/2; 7/2; 15/2; 1/5; 3/5; 4/5; 18/5;
   b) 1/4; 3/4; 5/4; 19/4; 1/20; 20/7; 49/20; 1/25; 13/25; 77/25; 1/50; 17/50; 137/50;
   c) 1/8; 3/8; 5/8; 7/8; 11/8; 125/8; 1/16; 16/5; 16/9; 23/16;
   d) 1/500; 3/250; 71/200; 9/125; 27/2500; 1999/2000.
8. Tentukan jumlah: a) 7,3+12,8; b) 65,14+49,76; c) 3.762+12.85; d) 85,4+129.756; e) 1,44+2,56.
9. Bayangkan satu sebagai jumlah dari dua desimal. Temukan dua puluh cara lagi untuk merepresentasikan ini.
10. Temukan perbedaannya: a) 13.4–8.7; b) 74,52–27,04; c) 49.736–43.45; d) 127,24–93,883; e) 67–52,07; e) 35,24–34,9975.
11. Carilah hasil kali: a) 7.6·3.8; b) 4,8·12,5; c) 2,39·7,4; d) 3,74·9,65.

bilangan pecahan.

Notasi desimal dari bilangan pecahan adalah kumpulan dua digit atau lebih dari $0$ hingga $9$, di antaranya terdapat apa yang disebut \textit (titik desimal).

Contoh 1

Misalnya, $35,02$; $100,7$; $123\$456,5; $54,89$.

Digit paling kiri dalam notasi desimal suatu angka tidak boleh nol, satu-satunya pengecualian adalah jika koma desimal berada tepat setelah digit pertama $0$.

Contoh 2

Misalnya, $0,357$; $0,064$.

Seringkali koma desimal diganti dengan koma desimal. Misalnya, $35,02$; $100,7$; $123\456,5$; $54,89$.

Definisi desimal

Definisi 1

Desimal-- ini adalah bilangan pecahan yang direpresentasikan dalam notasi desimal.

Misalnya, $121,05; $67,9$; $345,6700$.

Desimal digunakan untuk menulis pecahan biasa dengan lebih kompak, yang penyebutnya adalah angka $10$, $100$, $1\000$, dst. dan bilangan campuran yang penyebut bagian pecahannya adalah bilangan $10$, $100$, $1\000$, dst.

Misalnya, pecahan biasa $\frac(8)(10)$ dapat ditulis sebagai desimal $0,8$, dan bilangan campuran $405\frac(8)(100)$ dapat ditulis sebagai desimal $405,08$.

Membaca Desimal

Desimal, yang merupakan pecahan biasa, dibaca dengan cara yang sama seperti pecahan biasa, hanya frasa “bilangan bulat nol” yang ditambahkan di depannya. Misalnya, pecahan biasa $\frac(25)(100)$ (dibaca “dua puluh lima perseratus”) sama dengan pecahan desimal $0,25$ (dibaca “nol koma dua puluh lima perseratus”).

Pecahan desimal yang berhubungan dengan bilangan campuran dibaca dengan cara yang sama seperti bilangan campuran. Misalnya, bilangan campuran $43\frac(15)(1000)$ sama dengan pecahan desimal $43.015$ (baca “empat puluh tiga koma lima belas ribu”).

Tempat dalam desimal

Dalam penulisan pecahan desimal, arti tiap angka bergantung pada posisinya. Itu. dalam pecahan desimal konsep ini juga berlaku kategori.

Tempat pada pecahan desimal sampai dengan koma disebut sama dengan tempat pada bilangan asli. Tempat desimal setelah koma tercantum dalam tabel:

Gambar 1.

Contoh 3

Misalnya, pada pecahan desimal $56.328$, angka $5$ berada di tempat puluhan, $6$ di tempat satuan, $3$ di tempat persepuluhan, $2$ di tempat persepuluhan, $8$ di tempat perseribuan tempat.

Tempat dalam pecahan desimal dibedakan berdasarkan prioritasnya. Saat membaca pecahan desimal, berpindah dari kiri ke kanan - dari senior peringkat ke lebih muda.

Contoh 4

Misalnya, pada pecahan desimal $56.328$, tempat paling signifikan (tertinggi) adalah tempat puluhan, dan tempat terendah (terendah) adalah tempat perseribu.

Pecahan desimal dapat diperluas menjadi angka-angka yang mirip dengan penguraian angka suatu bilangan asli.

Contoh 5

Misalnya, mari kita pecahkan pecahan desimal $37.851$ menjadi beberapa digit:

$37,851=30+7+0,8+0,05+0,001$

Mengakhiri desimal

Definisi 2

Mengakhiri desimal disebut pecahan desimal, yang catatannya berisi sejumlah karakter (digit) yang terbatas.

Misalnya, $0,138$; $5,34$; $56,123456$; $350.972,54.

Pecahan desimal berhingga apa pun dapat diubah menjadi pecahan atau bilangan campuran.

Contoh 6

Misalnya, pecahan desimal akhir $7,39$ sama dengan bilangan pecahan $7\frac(39)(100)$, dan pecahan desimal akhir $0,5$ sama dengan pecahan biasa $\frac(5)(10)$ (atau pecahan apa pun yang setara dengannya, misalnya $\frac(1)(2)$ atau $\frac(10)(20)$.

Mengubah pecahan menjadi desimal

Mengonversi pecahan berpenyebut $10, 100, \titik$ ke desimal

Sebelum mengubah beberapa pecahan menjadi desimal, pecahan tersebut harus “dipersiapkan” terlebih dahulu. Hasil penyusunan tersebut harus sama banyaknya angka pada pembilangnya dan sama banyaknya angka nol pada penyebutnya.

Inti dari “persiapan awal” pecahan biasa yang tepat untuk diubah menjadi pecahan desimal adalah menambahkan sejumlah angka nol di sebelah kiri pembilang sehingga jumlah digit menjadi sama dengan jumlah angka nol pada penyebut.

Contoh 7

Misalnya, mari kita siapkan pecahan $\frac(43)(1000)$ untuk dikonversi ke desimal dan mendapatkan $\frac(043)(1000)$. Dan pecahan biasa $\frac(83)(100)$ tidak memerlukan persiapan apa pun.

Mari kita rumuskan aturan untuk mengubah pecahan biasa dengan penyebut $10$, atau $100$, atau $1\000$, $\dots$ menjadi pecahan desimal:

tulis $0$;

setelah itu beri tanda desimal;

tuliskan angka dari pembilangnya (bersama dengan angka nol yang ditambahkan setelah persiapan, jika perlu).

Contoh 8

Ubah pecahan biasa $\frac(23)(100)$ menjadi desimal.

Larutan.

Penyebutnya berisi angka $100$, yang berisi $2$ dan dua angka nol. Pembilangnya berisi angka $23$ yang ditulis dengan $2$.digit. Artinya, pecahan ini tidak perlu disiapkan untuk diubah menjadi desimal.

Mari kita tulis $0$, beri titik desimal dan tuliskan angka $23$ dari pembilangnya. Kami mendapatkan pecahan desimal $0,23$.

Menjawab: $0,23$.

Contoh 9

Tulis pecahan biasa $\frac(351)(100000)$ sebagai desimal.

Larutan.

Pembilang pecahan ini berisi angka $3$, dan jumlah angka nol pada penyebutnya adalah $5$, jadi pecahan biasa ini harus disiapkan untuk diubah menjadi desimal. Untuk melakukannya, Anda perlu menambahkan $5-3=2$ angka nol di sebelah kiri pembilang: $\frac(00351)(100000)$.

Sekarang kita dapat membentuk pecahan desimal yang diinginkan. Caranya, tulis $0$, lalu tambahkan koma dan tuliskan angka dari pembilangnya. Kami mendapatkan pecahan desimal $0,00351$.

Menjawab: $0,00351$.

Mari kita rumuskan aturan untuk mengubah pecahan biasa dengan penyebut $10$, $100$, $\titik$ menjadi pecahan desimal:

tuliskan nomor dari pembilangnya;

Gunakan koma desimal untuk memisahkan angka di sebelah kanan sebanyak angka nol pada penyebut pecahan aslinya.

Contoh 10

Ubah pecahan biasa $\frac(12756)(100)$ menjadi desimal.

Larutan.

Mari kita tuliskan angka dari pembilang $12756$, lalu pisahkan angka $2$ di sebelah kanan dengan koma desimal, karena penyebut pecahan asal $2$ adalah nol. Kami mendapatkan pecahan desimal $127,56$.

Pada artikel ini kita akan memahami apa itu pecahan desimal, apa saja fitur dan sifat yang dimilikinya. Ayo pergi! 🙂

Pecahan desimal adalah kasus khusus dari pecahan biasa (yang penyebutnya adalah kelipatan 10).

Definisi

Desimal adalah pecahan yang penyebutnya berupa bilangan yang terdiri dari satu dan beberapa angka nol yang mengikutinya. Artinya, ini adalah pecahan dengan penyebut 10, 100, 1000, dst. Jika tidak, pecahan desimal dapat dicirikan sebagai pecahan dengan penyebut 10 atau salah satu pangkat sepuluh.

Contoh pecahan:

, ,

Pecahan desimal ditulis berbeda dengan pecahan biasa. Operasi pecahan ini juga berbeda dengan operasi pecahan biasa. Aturan untuk melakukan operasi dengan bilangan bulat dalam banyak hal mirip dengan aturan untuk melakukan operasi dengan bilangan bulat. Hal ini, khususnya, menjelaskan tuntutan mereka untuk memecahkan masalah-masalah praktis.

Mewakili pecahan dalam notasi desimal

Pecahan desimal tidak memiliki penyebut; ia menampilkan nomor pembilangnya. Secara umum pecahan desimal ditulis dengan skema berikut:

dimana X adalah bagian bilangan bulat dari pecahan, Y adalah bagian pecahannya, “,” adalah koma desimal.

Untuk menyatakan pecahan sebagai desimal dengan benar, pecahan tersebut harus berupa pecahan biasa, yaitu bagian bilangan bulat yang disorot (jika memungkinkan) dan pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya. Kemudian pada notasi desimal bagian bilangan bulat ditulis sebelum koma desimal (X), dan pembilang pecahan biasa ditulis setelah koma desimal (Y).

Jika pembilangnya berisi bilangan yang angkanya lebih sedikit dari jumlah angka nol pada penyebutnya, maka pada bagian Y banyaknya angka yang hilang pada notasi desimal diisi dengan angka nol di depan angka pembilangnya.

Contoh:

Jika pecahan biasa kurang dari 1, mis. tidak mempunyai bagian bilangan bulat, maka untuk X dalam bentuk desimal tulis 0.

Pada bagian pecahan (Y), setelah angka penting terakhir (bukan nol), sejumlah angka nol dapat dimasukkan secara sembarang. Hal ini tidak mempengaruhi nilai pecahan. Sebaliknya, semua angka nol di akhir bagian pecahan desimal dapat dihilangkan.

Membaca Desimal

Bagian X umumnya dibaca sebagai berikut: “X bilangan bulat.”

Bagian Y dibaca sesuai dengan angka penyebutnya. Untuk penyebut 10 sebaiknya dibaca: “Y persepuluh”, untuk penyebut 100: “Y perseratus”, untuk penyebut 1000: “Y perseribu” dan seterusnya... 😉

Pendekatan membaca lainnya, berdasarkan penghitungan jumlah digit bagian pecahan, dianggap lebih tepat. Untuk melakukan ini, Anda perlu memahami bahwa angka-angka pecahan terletak pada bayangan cermin terhadap angka-angka seluruh bagian pecahan.

Nama-nama bacaan yang benar diberikan dalam tabel:

Berdasarkan hal tersebut, pembacaan harus didasarkan pada kesesuaian dengan nama digit terakhir bagian pecahan.

• 3.5 berbunyi "tiga koma lima"
• 0,016 berbunyi "nol koma enam belas ribu"

Mengubah pecahan sembarang menjadi desimal

Jika penyebut suatu pecahan biasa adalah 10 atau pangkat sepuluh, maka pecahan tersebut diubah seperti dijelaskan di atas. Dalam situasi lain, diperlukan transformasi tambahan.

Ada 2 metode terjemahan.

Metode transfer pertama

Pembilang dan penyebutnya harus dikalikan dengan bilangan bulat sehingga penyebutnya menghasilkan angka 10 atau salah satu pangkat sepuluh. Dan kemudian pecahan direpresentasikan dalam notasi desimal.

Cara ini berlaku untuk pecahan yang penyebutnya hanya bisa diekspansi menjadi 2 dan 5. Jadi, pada contoh sebelumnya . Jika pemuaian mengandung faktor prima lain (misalnya, ), maka Anda harus menggunakan metode ke-2.

Metode terjemahan kedua

Cara ke-2 adalah dengan membagi pembilang dengan penyebut pada kolom atau pada kalkulator. Seluruh bagian, jika ada, tidak ikut serta dalam transformasi.

Aturan pembagian panjang yang menghasilkan pecahan desimal dijelaskan di bawah ini (lihat Pembagian desimal).

Mengubah pecahan desimal menjadi pecahan biasa

Untuk melakukannya, tuliskan bagian pecahannya (di sebelah kanan koma desimal) sebagai pembilangnya, dan hasil pembacaan bagian pecahan tersebut sebagai bilangan yang sesuai pada penyebutnya. Selanjutnya, jika memungkinkan, Anda perlu mengurangi pecahan yang dihasilkan.

Pecahan desimal berhingga dan tak terhingga

Pecahan desimal disebut pecahan akhir, yang bagian pecahannya terdiri dari sejumlah digit yang berhingga.

Semua contoh di atas mengandung pecahan desimal akhir. Namun, tidak semua pecahan biasa dapat direpresentasikan sebagai desimal akhir. Jika metode konversi pertama tidak dapat diterapkan untuk pecahan tertentu, dan metode kedua menunjukkan bahwa pembagian tidak dapat diselesaikan, maka hanya pecahan desimal tak hingga yang dapat diperoleh.

Tidak mungkin menulis pecahan tak hingga dalam bentuk lengkapnya. Dalam bentuk tidak lengkap, pecahan berikut dapat direpresentasikan:

1. sebagai akibat dari pengurangan jumlah tempat desimal yang diinginkan;
2. sebagai pecahan periodik.

Suatu pecahan disebut periodik jika setelah koma desimal dapat dibedakan barisan angka-angka yang berulang tanpa henti.

Pecahan selebihnya disebut non-periodik. Untuk pecahan non-periodik, hanya cara penyajian pertama (pembulatan) yang diperbolehkan.

Contoh pecahan periodik: 0,8888888... Di sini ada bilangan berulang 8, yang tentunya akan berulang ad infinitum, karena tidak ada alasan untuk berasumsi sebaliknya. Angka ini disebut periode pecahan.

Pecahan periodik dapat murni atau campuran. Pecahan desimal murni adalah pecahan yang periodenya dimulai tepat setelah koma. Pecahan campuran mempunyai 1 angka atau lebih sebelum koma.

54.33333… – pecahan desimal murni periodik

2.5621212121… – pecahan campuran periodik

Contoh penulisan pecahan desimal tak hingga:

Contoh ke-2 menunjukkan cara memformat periode dengan benar dalam penulisan pecahan periodik.

Mengubah pecahan desimal periodik menjadi pecahan biasa

Untuk mengubah pecahan periodik murni menjadi periode biasa, tuliskan ke dalam pembilangnya, dan tuliskan bilangan yang terdiri dari sembilan yang jumlahnya sama dengan banyaknya angka periode tersebut ke dalam penyebutnya.

Pecahan desimal periodik campuran diterjemahkan sebagai berikut:

1. anda perlu membentuk bilangan yang terdiri dari bilangan setelah koma sebelum titik dan titik pertama;
2. Dari angka yang dihasilkan, kurangi angka setelah koma sebelum titik. Hasilnya adalah pembilang pecahan biasa;
3. pada penyebutnya anda harus memasukkan bilangan yang terdiri dari bilangan sembilan sama dengan banyaknya digit periode, diikuti dengan nol, yang banyaknya sama dengan banyaknya digit bilangan setelah koma desimal sebelum tanggal 1 periode.

Perbandingan desimal

Pecahan desimal awalnya dibandingkan dengan seluruh bagiannya. Pecahan yang bagian bilangan bulatnya lebih besar adalah pecahan yang lebih besar.

Jika bagian bilangan bulatnya sama, maka bandingkan angka-angka dari angka-angka yang bersesuaian dari bagian pecahan tersebut, mulai dari yang pertama (dari persepuluhan). Prinsip yang sama berlaku di sini: pecahan yang lebih besar adalah pecahan yang sepersepuluhnya lebih banyak; jika angka persepuluhnya sama, maka angka perseratusnya dibandingkan, dan seterusnya.

Karena

, karena dengan bagian bilangan bulat yang sama dan persepuluhan yang sama pada bagian pecahan, pecahan ke-2 memiliki angka perseratus yang lebih besar.

Penjumlahan dan pengurangan desimal

Desimal dijumlahkan dan dikurang dengan cara yang sama seperti bilangan bulat, yaitu dengan menuliskan angka-angka yang bersesuaian di bawah satu sama lain. Untuk melakukan ini, Anda harus menempatkan koma desimal di bawah satu sama lain. Maka satuan (puluhan, dst.) dari bagian bilangan bulat, serta sepersepuluh (perseratus, dst.) dari bagian pecahan, akan sesuai. Digit yang hilang pada bagian pecahan diisi dengan angka nol. Secara langsung Proses penjumlahan dan pengurangan dilakukan dengan cara yang sama seperti pada bilangan bulat.

Mengalikan Desimal

Untuk mengalikan desimal, Anda perlu menuliskannya satu di bawah yang lain, sejajar dengan angka terakhir dan tidak memperhatikan letak koma desimal. Maka Anda perlu mengalikan angka-angka tersebut dengan cara yang sama seperti saat mengalikan bilangan bulat. Setelah menerima hasilnya, Anda harus menghitung ulang jumlah digit setelah koma di kedua pecahan dan memisahkan jumlah total digit pecahan dari angka yang dihasilkan dengan koma. Jika angkanya tidak cukup, diganti dengan angka nol.

Mengalikan dan membagi desimal dengan 10n

Tindakan ini sederhana dan intinya adalah memindahkan koma desimal. P Saat mengalikan, koma desimal dipindahkan ke kanan (pecahan bertambah) sebanyak digit yang sama dengan jumlah nol dalam 10n, di mana n adalah pangkat bilangan bulat sembarang. Artinya, sejumlah digit tertentu dipindahkan dari bagian pecahan ke bagian bilangan bulat. Oleh karena itu, saat membagi, koma dipindahkan ke kiri (angkanya berkurang), dan beberapa digit dipindahkan dari bagian bilangan bulat ke bagian pecahan. Jika nomor yang akan ditransfer tidak cukup, maka bit yang hilang diisi dengan nol.

Membagi desimal dan bilangan bulat dengan bilangan bulat dan desimal

Pembagian kolom pecahan desimal dengan bilangan bulat mirip dengan pembagian dua bilangan bulat. Selain itu, Anda hanya perlu memperhitungkan posisi koma: saat menghilangkan digit tempat yang diikuti koma, Anda harus menempatkan koma setelah digit saat ini dari jawaban yang dihasilkan. Selanjutnya Anda perlu terus membagi sampai Anda mendapatkan nol. Jika tanda pembagian tidak cukup untuk pembagian lengkap, angka nol harus digunakan sebagai tanda tersebut.

Demikian pula, 2 bilangan bulat dibagi menjadi satu kolom jika semua digit dividen telah dihilangkan dan pembagian lengkap belum selesai. Dalam hal ini, setelah digit terakhir pembagian dihilangkan, koma desimal ditempatkan pada jawaban yang dihasilkan, dan angka nol digunakan sebagai digit yang dihilangkan. Itu. pembagian di sini pada dasarnya direpresentasikan sebagai pecahan desimal dengan bagian pecahan nol.

Untuk membagi pecahan desimal (atau bilangan bulat) dengan angka desimal, Anda harus mengalikan pembagi dan pembagi dengan angka 10 n, yang jumlah nolnya sama dengan jumlah digit setelah koma desimal pada pembagi. Dengan cara ini, Anda menghilangkan koma desimal pada pecahan yang ingin Anda bagi. Selanjutnya, proses pembagiannya bertepatan dengan yang dijelaskan di atas.

Representasi grafis dari pecahan desimal

Pecahan desimal direpresentasikan secara grafis menggunakan garis koordinat. Untuk melakukan ini, masing-masing segmen dibagi lagi menjadi 10 bagian yang sama, seperti sentimeter dan milimeter ditandai secara bersamaan pada penggaris. Hal ini memastikan bahwa desimal ditampilkan secara akurat dan dapat dibandingkan secara objektif.

Agar pembagian pada masing-masing segmen menjadi identik, Anda harus mempertimbangkan dengan cermat panjang dari satu segmen itu sendiri. Hal ini harus sedemikian rupa sehingga kenyamanan pembagian tambahan dapat terjamin.