Rumus luas segitiga, jajar genjang, trapesium, lingkaran. Cara menghitung dan memberi label luas

Luas bangun geometri- karakteristik numerik suatu bangun geometri yang menunjukkan ukuran bangun tersebut (bagian permukaan yang dibatasi oleh kontur tertutup bangun tersebut). Luas suatu wilayah dinyatakan dengan banyaknya satuan persegi yang terdapat di dalamnya.

Rumus luas segitiga

1. Rumus luas segitiga menurut sisi dan tingginya
   Luas segitiga sama dengan setengah hasil kali panjang salah satu sisi segitiga dan panjang tinggi yang ditarik ke sisi tersebut
   
2. Rumus luas segitiga berdasarkan tiga sisi dan jari-jari lingkaran luar
   
3. Rumus luas segitiga berdasarkan ketiga sisinya dan jari-jari lingkaran yang tertulis
   Luas segitiga sama dengan hasil kali setengah keliling segitiga dan jari-jari lingkaran yang tertulis.
   
dimana S adalah luas segitiga,
- panjang sisi-sisi segitiga,
- tinggi segitiga,
- sudut antara sisi dan,
- jari-jari lingkaran yang tertulis,
R - jari-jari lingkaran yang dibatasi,

Rumus luas persegi

1. Rumus luas persegi menurut panjang sisinya
   Daerah persegi sama dengan kuadrat panjang sisinya.
2. Rumus luas persegi sepanjang diagonalnya
   Daerah persegi sama dengan setengah kuadrat panjang diagonalnya.
   

   S=	1	2
   	2

dimana S adalah luas persegi,
- panjang sisi persegi,
- panjang diagonal persegi.

Rumus luas persegi panjang

Luas persegi panjang sama dengan hasil kali panjang kedua sisi yang berdekatan

dimana S - Luas persegi panjang,
- panjang sisi persegi panjang.

Rumus luas jajar genjang

1. Rumus luas jajar genjang berdasarkan panjang sisi dan tinggi
   Luas jajar genjang
2. Rumus luas jajar genjang berdasarkan dua sisi dan sudut di antara keduanya
   Luas jajar genjang sama dengan hasil kali panjang sisi-sisinya dikalikan sinus sudut di antara keduanya.
   

   ab dosa α

dimana S adalah luas jajar genjang,
- panjang sisi jajar genjang,
- panjang tinggi jajaran genjang,
- sudut antara sisi-sisi jajar genjang.

Rumus luas belah ketupat

1. Rumus luas belah ketupat berdasarkan panjang sisi dan tinggi
   Luas belah ketupat sama dengan hasil kali panjang sisinya dan panjang tinggi yang diturunkan ke sisi tersebut.
2. Rumus luas belah ketupat berdasarkan panjang sisi dan sudutnya
   Luas belah ketupat sama dengan hasil kali kuadrat panjang sisinya dan sinus sudut antara sisi belah ketupat.
3. Rumus luas belah ketupat berdasarkan panjang diagonalnya
   Luas belah ketupat sama dengan setengah hasil kali panjang diagonal-diagonalnya.
dimana S adalah luas belah ketupat,
- panjang sisi belah ketupat,
- panjang tinggi belah ketupat,
- sudut antara sisi belah ketupat,
1, 2 - panjang diagonal.

Rumus luas trapesium

1. Rumus Heron untuk trapesium

   Dimana S adalah luas trapesium,
   - panjang alas trapesium,
   - panjang sisi trapesium,
   

Rumus luas diperlukan untuk menentukan luas suatu bangun, yang merupakan fungsi bernilai riil yang ditentukan pada kelas bangun tertentu pada bidang Euclidean dan memenuhi 4 kondisi:

1. Positif - Luas tidak boleh kurang dari nol;
2. Normalisasi - persegi dengan satuan sisi memiliki luas 1;
3. Kesesuaian - bangun-bangun yang kongruen mempunyai luas yang sama;
4. Aditivitas - luas gabungan 2 bangun tanpa titik dalam yang sama sama dengan jumlah luas bangun-bangun tersebut.

Luas bangun geometri adalah nilai numerik yang mencirikan ukurannya dalam ruang dua dimensi. Nilai ini dapat diukur dalam satuan sistem dan non sistem. Jadi, misalnya, satuan luas non-sistemik adalah seperseratus, satu hektar. Hal ini terjadi jika permukaan yang diukur adalah sebidang tanah. Satuan sistem luas adalah kuadrat panjang. Dalam sistem SI, satuan luas permukaan datar adalah meter persegi. Dalam GHS, satuan luas dinyatakan dalam sentimeter persegi.

Rumus geometri dan luas saling terkait erat. Hubungan ini terletak pada kenyataan bahwa penghitungan luas bangun datar didasarkan tepat pada penerapannya. Untuk banyak gambar, beberapa opsi diturunkan dari mana dimensi persegi dihitung. Berdasarkan data dari rumusan masalah, kita dapat menentukan solusi yang paling sederhana. Hal ini akan memudahkan perhitungan dan meminimalkan kemungkinan kesalahan perhitungan. Untuk melakukan ini, pertimbangkan bidang utama bentuk dalam geometri.

Rumus mencari luas segitiga apa pun disajikan dalam beberapa pilihan:

1) Luas segitiga dihitung dari alas a dan tinggi h. Basis dianggap sebagai sisi gambar yang tingginya diturunkan. Maka luas segitiga tersebut adalah:

2) Luas segitiga siku-siku dihitung dengan cara yang sama jika sisi miring dianggap alasnya. Jika kita mengambil kaki sebagai alasnya, maka luas segitiga siku-siku akan sama dengan hasil kali kaki-kakinya dibelah dua.

Rumus untuk menghitung luas segitiga apa pun tidak berakhir di situ. Ekspresi lain berisi sisi a,b dan fungsi sinusoidal dari sudut γ antara a dan b. Nilai sinus ditemukan di tabel. Anda juga bisa mengetahuinya menggunakan kalkulator. Maka luas segitiga tersebut adalah:

Dengan menggunakan persamaan ini, Anda juga dapat memastikan bahwa luas segitiga siku-siku ditentukan melalui panjang kaki-kakinya. Karena sudut γ merupakan sudut siku-siku, sehingga luas segitiga siku-siku dihitung tanpa dikalikan dengan fungsi sinus.

3) Pertimbangkan kasus khusus - segitiga beraturan, yang sisi anya diketahui dengan syarat atau panjangnya dapat ditemukan saat menyelesaikannya. Tidak ada lagi yang diketahui tentang gambar dalam soal geometri. Lalu bagaimana cara mencari luas pada kondisi seperti ini? Dalam hal ini, rumus luas segitiga beraturan diterapkan:

Persegi panjang

Bagaimana cara mencari luas persegi panjang dan menggunakan dimensi sisi-sisi yang memiliki titik sudut yang sama? Ekspresi perhitungannya adalah:

Jika Anda perlu menggunakan panjang diagonal untuk menghitung luas persegi panjang, Anda memerlukan fungsi sinus sudut yang terbentuk pada perpotongannya. Rumus luas persegi panjang ini adalah:

Persegi

Luas persegi ditentukan sebagai pangkat dua dari panjang sisinya:

Buktinya mengikuti definisi bahwa persegi adalah persegi panjang. Semua sisi yang membentuk persegi mempunyai ukuran yang sama. Oleh karena itu, menghitung luas persegi panjang seperti itu berarti mengalikan satu dengan yang lain, yaitu pangkat kedua sisinya. Dan rumus menghitung luas persegi akan mengambil bentuk yang diinginkan.

Luas persegi dapat dicari dengan cara lain, misalnya menggunakan diagonal:

Bagaimana cara menghitung luas bangun datar yang dibentuk oleh bagian bidang yang dibatasi lingkaran? Untuk menghitung luas, rumusnya adalah:

Genjang

Untuk jajar genjang, rumusnya berisi dimensi linier sisi, tinggi, dan operasi matematika - perkalian. Jika tingginya tidak diketahui, lalu bagaimana cara mencari luas jajar genjang? Ada cara lain untuk menghitung. Diperlukan nilai tertentu, yang diambil dari fungsi trigonometri sudut yang dibentuk oleh sisi-sisi yang berdekatan, serta panjangnya.

Rumus luas jajar genjang adalah:

Belah ketupat

Bagaimana cara mencari luas segiempat yang disebut belah ketupat? Luas belah ketupat ditentukan dengan menggunakan matematika sederhana dengan diagonal. Pembuktiannya didasarkan pada kenyataan bahwa ruas diagonal pada d1 dan d2 berpotongan tegak lurus. Tabel sinus menunjukkan bahwa untuk sudut siku-siku fungsi ini sama dengan satu. Oleh karena itu, luas belah ketupat dihitung sebagai berikut:

Luas belah ketupat juga dapat dicari dengan cara lain. Hal ini juga tidak sulit untuk dibuktikan, mengingat panjang sisi-sisinya sama. Kemudian substitusikan hasil perkaliannya ke dalam ekspresi serupa untuk jajar genjang. Bagaimanapun, kasus khusus dari figur khusus ini adalah belah ketupat. Di sini γ adalah sudut dalam belah ketupat. Luas belah ketupat ditentukan sebagai berikut:

Trapesium

Bagaimana cara mencari luas trapesium melalui alas (a dan b), jika soal menunjukkan panjangnya? Di sini, tanpa nilai panjang dan tinggi h yang diketahui, tidak mungkin menghitung luas trapesium tersebut. Karena nilai ini berisi ekspresi untuk perhitungan:

Luas persegi trapesium persegi panjang juga dapat dihitung dengan cara yang sama. Perlu diperhatikan bahwa dalam trapesium persegi panjang, konsep tinggi dan sisi digabungkan. Oleh karena itu, untuk trapesium persegi panjang, Anda perlu menentukan panjang sisinya, bukan tingginya.

Silinder dan paralelepiped

Mari kita pertimbangkan apa yang diperlukan untuk menghitung permukaan seluruh silinder. Luas bangun datar ini adalah sepasang lingkaran yang disebut alas dan permukaan samping. Lingkaran yang membentuk lingkaran mempunyai panjang jari-jari sama dengan r. Untuk luas silinder dilakukan perhitungan sebagai berikut:

Bagaimana cara mencari luas jajar genjang yang terdiri dari tiga pasang muka? Pengukurannya cocok dengan pasangan tertentu. Wajah yang berlawanan memiliki parameter yang sama. Pertama, carilah S(1), S(2), S(3) - dimensi persegi dari sisi-sisi yang tidak sama. Maka luas permukaan parallelepiped adalah:

Cincin

Dua lingkaran yang mempunyai pusat yang sama membentuk sebuah cincin. Mereka juga membatasi luas cincin. Dalam hal ini, kedua rumus perhitungan memperhitungkan dimensi masing-masing lingkaran. Yang pertama, menghitung luas cincin, berisi jari-jari R yang lebih besar dan jari-jari r yang lebih kecil. Lebih sering mereka disebut eksternal dan internal. Dalam persamaan kedua, luas cincin dihitung melalui diameter D yang lebih besar dan diameter d yang lebih kecil. Jadi, luas cincin berdasarkan jari-jari yang diketahui dihitung sebagai berikut:

Luas cincin, dengan menggunakan panjang diameternya, ditentukan sebagai berikut:

Poligon

Bagaimana cara mencari luas poligon yang bentuknya tidak beraturan? Tidak ada rumus umum untuk luas bangun-bangun tersebut. Namun jika digambarkan pada bidang koordinat, misalnya kertas kotak-kotak, lalu bagaimana cara mencari luas permukaan dalam kasus ini? Di sini mereka menggunakan metode yang tidak memerlukan pengukuran angka secara kasar. Mereka melakukan ini: jika mereka menemukan titik-titik yang berada di sudut sel atau memiliki koordinat bilangan bulat, maka hanya titik tersebut yang diperhitungkan. Untuk kemudian mengetahui luasnya, gunakan rumus yang telah dibuktikan oleh Peake. Jumlah titik yang terletak di dalam garis putus-putus harus dijumlahkan dengan setengah titik terletak di atasnya, dan dikurangi satu, yaitu dihitung sebagai berikut:

dimana B, G - masing-masing jumlah titik yang terletak di dalam dan di seluruh garis putus-putus.

Pengetahuan tentang cara mengukur bumi muncul pada zaman dahulu dan lambat laun terbentuk dalam ilmu geometri. Kata ini diterjemahkan dari bahasa Yunani sebagai “survei tanah”.

Ukuran panjang dan lebar suatu bagian bumi yang datar adalah luas. Dalam matematika, biasanya dilambangkan dengan huruf Latin S (dari bahasa Inggris “square” - “area”, “square”) atau huruf Yunani σ (sigma). S menunjukkan luas bangun pada bidang atau luas permukaan suatu benda, dan σ adalah luas penampang kawat dalam fisika. Ini adalah simbol utama, meskipun mungkin ada yang lain, misalnya di bidang kekuatan bahan, A adalah luas penampang profil.

Dalam kontak dengan

Rumus perhitungan

Mengetahui luas bangun sederhana, Anda dapat menemukan parameter bangun yang lebih kompleks.. Matematikawan kuno mengembangkan rumus yang dapat digunakan untuk menghitungnya dengan mudah. Bentuk-bentuk tersebut adalah segitiga, segi empat, poligon, lingkaran.

Untuk mencari luas bangun datar kompleks dipecah menjadi beberapa bangun datar sederhana seperti segitiga, trapesium, atau persegi panjang. Kemudian, dengan menggunakan metode matematika, rumus untuk luas gambar tersebut diturunkan. Metode serupa digunakan tidak hanya dalam geometri, tetapi juga dalam analisis matematis untuk menghitung luas bangun datar yang dibatasi oleh kurva.

Segi tiga

Mari kita mulai dengan gambar paling sederhana - segitiga. Bentuknya persegi panjang, sama kaki dan sama sisi. Ambil sembarang segitiga ABC dengan sisi AB=a, BC=b dan AC=c (∆ ABC). Untuk mencari luasnya, mari kita ingat kembali teorema sinus dan kosinus yang diketahui dari pelajaran matematika sekolah. Melepaskan semua perhitungan, kita sampai pada rumus berikut:

• S=√ - Rumus Heron, yang diketahui semua orang, dengan p=(a+b+c)/2 adalah setengah keliling segitiga;
• S=a h/2, dimana h adalah ketinggian yang diturunkan ke sisi a;
• S=a b (sin γ)/2, dimana γ adalah sudut antara sisi a dan b;
• S=a b/2, jika ∆ ABC berbentuk persegi panjang (di sini a dan b adalah kaki);
• S=b² (sin (2 β))/2, jika ∆ ABC sama kaki (di sini b adalah salah satu “pinggul”, β adalah sudut antara “pinggul” segitiga);
• S=a² √¾, jika ∆ ABC sama sisi (di sini a adalah sisi segitiga).

Segi empat

Misalkan ada segi empat ABCD dengan AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. Untuk mencari luas S dari 4-gon sembarang, Anda perlu membaginya dengan diagonal menjadi dua segitiga, yang luasnya S1 dan S2 secara umum tidak sama.

Kemudian gunakan rumus untuk menghitung dan menjumlahkannya, yaitu S=S1+S2. Namun, jika suatu 4-gon termasuk dalam kelas tertentu, maka luasnya dapat dicari dengan menggunakan rumus yang telah diketahui sebelumnya:

• S=(a+c) h/2=eh h, jika segi empat adalah trapesium (di sini a dan c adalah alasnya, e adalah garis tengah trapesium, h adalah tinggi yang diturunkan ke salah satu alas trapesium;
• S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, jika ABCD adalah jajar genjang (di sini φ adalah sudut antara sisi a dan b, h adalah tinggi turun ke sisi a, d1 dan d2 adalah diagonal);
• S=a b=d²/2, jika ABCD adalah persegi panjang (d adalah diagonal);
• S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2, jika ABCD belah ketupat (a adalah sisi belah ketupat, φ adalah salah satu sudutnya, P adalah kelilingnya);
• S=a²=P²/16=d²/2, jika ABCD persegi.

Poligon

Untuk mencari luas n-gon, ahli matematika memecahnya menjadi bangun datar yang paling sederhana - segitiga, mencari luas masing-masing segitiga, lalu menjumlahkannya. Namun jika poligon tersebut termasuk dalam kelas beraturan, maka gunakan rumus:

S=a n h/2=a² n/=P²/, dengan n adalah jumlah simpul (atau sisi) poligon, a adalah sisi n-gon, P adalah kelilingnya, h adalah apotema, yaitu a segmen yang ditarik dari pusat poligon ke salah satu sisinya dengan sudut 90°.

Lingkaran

Lingkaran adalah poligon sempurna yang jumlah sisinya tak terhingga. Kita perlu menghitung limit ekspresi di sebelah kanan dalam rumus luas poligon dengan jumlah sisi n cenderung tak terhingga. Dalam hal ini, keliling poligon akan berubah menjadi panjang lingkaran berjari-jari R, yang akan menjadi batas lingkaran kita, dan akan menjadi sama dengan P=2 π R. Substitusikan persamaan ini ke dalam rumus di atas. Kita akan mendapatkan:

S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).

Mari kita cari limit ekspresi ini sebagai n→∞. Untuk melakukan ini, kita memperhitungkan bahwa lim (cos (180°/n)) untuk n→∞ sama dengan cos 0°=1 (lim adalah tanda limit), dan lim = lim untuk n→∞ adalah sama dengan 1/π (kami mengubah besaran derajat menjadi radian, menggunakan relasi π rad=180°, dan menerapkan batas luar biasa pertama lim (sin x)/x=1 di x→∞). Mengganti nilai yang diperoleh ke dalam ekspresi terakhir untuk S, kita sampai pada rumus terkenal:

S=π² R² 1 (1/π)=π R².

Satuan

Unit pengukuran sistemik dan non-sistemik digunakan. Satuan sistem milik SI (Sistem Internasional). Ini adalah meter persegi (meter persegi, m²) dan satuan turunannya: mm², cm², km².

Dalam milimeter persegi (mm²), misalnya, luas penampang kabel dalam teknik elektro diukur, dalam sentimeter persegi (cm²) - penampang balok dalam mekanika struktural, dalam meter persegi (m²) - di apartemen atau rumah, dalam kilometer persegi (km²) - dalam geografi .

Namun terkadang digunakan satuan ukuran non-sistemik, seperti: tenun, ar (a), hektar (ha) dan acre (as). Mari kita sajikan hubungan berikut:

• 100 meter persegi=1 a=100 m²=0,01 hektar;
• 1 ha=100 a=100 hektar=10.000 m²=0,01 km²=2,471 ac;
• 1 ac = 4046,856 m² = 40,47 a = 40,47 hektar = 0,405 hektar.