ユークリッド空間。 線形代数

第4章
ユークリッド空間

読者は、解析幾何学の過程で、2 つの自由ベクトルのスカラー積の概念と、指定されたスカラー積の 4 つの主な特性についてよく知っています。 この章では、任意の 2 つの要素をこれらの要素のスカラー積と呼ばれる数値に関連付ける何らかの方法 (内容は関係ありません) でルールが定義されている要素について、あらゆる性質の線形空間を研究します。 この場合、このルールが 2 つの自由ベクトルのスカラー積を構成するためのルールと同じ 4 つのプロパティを持つことだけが重要です。 指定されたルールが定義されている線形空間はユークリッド空間と呼ばれます。 この章では、任意のユークリッド空間の基本的な性質について説明します。

§ 1. 実ユークリッド空間とその最も単純な性質

1. 実ユークリッド空間の定義。実線形空間 R と呼ばれる 実ユークリッド空間(または単に ユークリッド空間) 以下の 2 つの要件が満たされる場合。
I. この空間 x と y の任意の 2 つの要素が、と呼ばれる実数に関連付けられる規則があります。 スカラー積これらの要素は記号 (x, y) で表されます。
P. この規則は、次の 4 つの公理に従います。
1°。 (x, y) = (y, x) (可換性または対称性);
2°。 (x 1 + x 2, y) = (x 1, y) + (x 2, y) (分布特性);
3°。 任意の実数 λ に対して (λ x, y) = λ (x, y)。
4°。 x がゼロ以外の要素の場合は (x, x) > 0。 x がゼロ要素の場合、(x, x) = 0。
ユークリッド空間の概念を導入するとき、研究対象のオブジェクトの性質だけでなく、要素の合計、要素と数値の積、および要素の和を形成するための特定の種類の規則も抽象化することを強調します。要素のスカラー積 (これらの規則が線形空間の 8 つの公理と 4 つの公理のスカラー積を満たすことのみが重要です)。
研究対象のオブジェクトの性質とリストされたルールのタイプが示されている場合、ユークリッド空間は次のように呼ばれます。 特定の.
具体的なユークリッド空間の例を挙げてみましょう。
例 1. すべての自由ベクトルの線形空間 B 3 を考えます。 解析幾何学で行われたように、任意の 2 つのベクトルのスカラー積を定義します (つまり、これらのベクトルの長さとそれらの間の角度の余弦の積として)。 解析幾何学の過程で、このように定義された公理 1° ～ 4° のスカラー積の妥当性が証明されました (問題「解析幾何学」、第 2 章、§2、項目 3 を参照)。 したがって、そのように定義されたスカラー積を持つ空間 B 3 はユークリッド空間です。
例 2. セグメント a ≤ t ≤ b 上で定義され連続するすべての関数 x(t) の無限次元線形空間 C [a, b] を考えます。 このような 2 つの関数 x(t) と y(t) のスカラー積を、これらの関数の積の積分 (a から b の範囲) として定義します。

このように定義された公理 1° ～ 4° のスカラー積の妥当性は、初歩的な方法でチェックされます。 実際、公理 1° の妥当性は明らかです。 公理 2° と 3° の妥当性は、定積分の線形特性から得られます。 公理 4° の妥当性は、連続非負関数 x 2 (t) の積分が非負であり、この関数がセグメント a ≤ t ≤ b 上でまったくゼロに等しい場合にのみ消滅するという事実から導かれます ( を参照)問題「数学解析の基礎」、パート I、第 10 章 1 §6 のプロパティ 1° および 2°) (つまり、考慮中の空間のゼロ要素です)。
したがって、そのように定義されたスカラー積を持つ空間 C[a, b] は次のようになります。 無限次元ユークリッド空間.
例 3. 次のユークリッド空間の例は、n 個の実数の順序付けされたコレクションの n 次元線形空間 A n、任意の 2 つの要素のスカラー積 x = (x 1, x 2,..., x n) および y を与えます。 = (y 1, y 2 ,...,y n) は次の等式で定義されます。

(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ... + x n y n. (4.2)

このように定義されたスカラー積に対する公理 1° の妥当性は明らかです。 公理 2° と 3° の妥当性は簡単に検証できます。要素の加算と数値の乗算の演算の定義を覚えておくだけです。

(x 1 , x 2 ,...,x n) + (y 1 , y 2 ,...,y n) = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 ,...,x n + y n) 、

λ (x 1, x 2,..., x n) = (λ x 1, λ x 2,..., λ x n);

最後に、公理 4° の妥当性は、(x, x) = x 1 2 + x 2 2 + ...+ x n 2 は常に非負の数であり、x 1 = x の条件下でのみ消滅するという事実から導かれます。 2 = . .. = x n = 0.
この例で考慮されるユークリッド空間は、多くの場合、記号 E n で表されます。
例 4. 同じ線形空間 A n に、任意の 2 つの要素 x = (x 1, x 2,..., x n) と y = (y 1, y 2,..., y n) のスカラー積を導入します。 ) 関係 (4.2) ではなく、別のより一般的な方法で。
これを行うには、次数 n の正方行列を考慮します。

行列 (4.3) を使用して、n 個の変数 x 1, x 2,..., x n に関して 2 次の同次多項式を構成しましょう。

今後、このような多項式は次のように呼ばれることに注意してください。 二次形式(行列 (4.3) によって生成されます) (二次形式については、本書の第 7 章で体系的に学習されています)。
二次形式 (4.4) は次のように呼ばれます。 正定値、同時にゼロに等しくない変数 x 1、x 2、...、x n のすべての値が厳密に正の値を取る場合 (本書の第 7 章では、必要かつ十分二次形式の正定値性の条件が示されます)。
x 1 = x 2 = ... = x n = 0 の場合、二次形式 (4.4) は明らかにゼロに等しいため、次のように言えます。 正定値
二次形式は条件 x の下でのみ消滅します。 1 = x 2 = ... = x n = 0.
行列 (4.3) が 2 つの条件を満たす必要があります。
1°。 正定二次形式 (4.4) を生成しました。
2°。 それは（主対角線に対して）対称でした。 すべての i = 1, 2,..., n および k = I, 2,..., n について条件 a ik = a ki を満たしました。
条件 1° と 2° を満たす行列 (4.3) を使用して、任意の 2 つの要素のスカラー積 x = (x 1, x 2,..., x n) および y = (y 1, y 2,...) を定義します。 .,y n) の関係による空間 A n

このように定義されたすべての公理 1° ～ 4° のスカラー積の妥当性をチェックするのは簡単です。 実際、公理 2° と 3° は完全に任意の行列 (4.3) に対して明らかに有効です。 公理 1° の妥当性は行列 (4.3) の対称条件から得られ、公理 4° の妥当性はスカラー積 (x, x) である二次形式 (4.4) が正であるという事実から得られます。明確な。
したがって、行列 (4.3) が対称であり、行列 (4.3) によって生成される 2 次形式が正定値である場合、式 (4.5) によって定義されるスカラー積を持つ空間 A n はユークリッド空間です。
単位行列を行列 (4.3) とすると、関係 (4.4) は (4.2) になり、例 3 で考慮したユークリッド空間 E n が得られます。
2. 任意のユークリッド空間の最も単純な性質。この段落で確立されたプロパティは、有限次元と無限次元の両方の完全に任意のユークリッド空間に対して有効です。
定理4.1。任意のユークリッド空間の任意の 2 つの要素 x および y について、次の不等式が成り立ちます。

(x, y ) 2 ≤ (x, x )(y, y ), (4.6)

コーシー・ブニャコフスキー不等式と呼ばれる。
証拠。任意の実数 λ について、スカラー積の公理 4° により、不等式 (λ x - y, λ x - y) > 0 が真になります。公理 1° ～ 3° により、最後の不等式は次のようになります。のように書き換えられた

λ 2 (x, x) - 2 λ (x, y) + (y, y) ≤ 0

最後の二乗三項式が非負であるための必要十分条件は、その判別式、つまり不等式が非正であることです ((x, x) = 0 の場合、二乗三項式は線形関数に縮退しますが、この場合、要素 x はゼロであるため、 (x, y ) = 0 となり、不等式 (4.7) も真になります)

(x, y ) 2 - (x, x )(y, y ) ≤ 0. (4.7)

不等式 (4.6) は (4.7) の直後に続きます。 定理は証明されました。
次のタスクは、コンセプトを導入することです。 規範（または 長さ）各要素の。 これを行うために、線形標準空間の概念を導入します。
意味。線形空間 R は次のように呼ばれます。 正規化された, 以下の2つの要件を満たしている場合。
I. 空間 R の各要素 x が、と呼ばれる実数に関連付けられる規則があります。 標準（または 長さ) は、指定された要素の記号 ||x|| で示されます。
P. この規則は、次の 3 つの公理に従います。
1°。 ||×|| x がゼロ以外の要素の場合は > 0。 ||×|| = 0 (x がゼロ要素の場合)。
2°。 ||λ x|| = |λ | ||×|| 任意の要素 x および任意の実数 λ に対して。
3°。 任意の 2 つの要素 x および y に対して、次の不等式が成り立ちます。

||x + y || ≤ ||х|| + ||y ||、(4.8)

三角不等式（またはミンコフスキー不等式）と呼ばれる.
定理4.2。 任意のユークリッド空間は、その中の要素 x のノルムが等式によって定義されている場合にノルム化されます。

証拠。関係 (4.9) によって定義されたノルムについて、ノルム空間の定義から 1° ～ 3° の公理が有効であることを証明するだけで十分です。
公理 1° のノルムの妥当性は、スカラー積の公理 4° の直後に続きます。 公理 2° のノルムの妥当性は、スカラー積の公理 1° および 3° からほぼ直接的に導き出されます。
ノルム、つまり不等式 (4.8) に対する公理 3° の妥当性を検証することが残っています。 コーシー-ブニャコフスキーの不等式 (4.6) に依存します。これを次の形式に書き換えます。

最後の不等式、スカラー積の公理 1° ～ 4° とノルムの定義を使用すると、次の結果が得られます。

定理は証明されました。
結果。関係 (4.9) によって決定される要素のノルムを持つ任意のユークリッド空間では、任意の 2 つの要素 x および y に対して、三角不等式 (4.8) が成り立ちます。

さらに、実際のユークリッド空間では、この空間の 2 つの任意の要素 x と y の間に角度の概念を導入できることに注意してください。 ベクトル代数と完全に類似して、次のように呼びます。 角度要素間のφ バツそして でコサインが次の関係によって決定される (0 から π まで変化する) 角度

コーシー-ブニャコフスキーの不等式 (4.7 インチ) により、最後の等式の右側の分数は係数で 1 を超えないため、角度の定義は正しいです。
次に、ユークリッド空間 E の 2 つの任意の要素 x と y のスカラー積 (x, y) がゼロ (この場合、要素間の角度 (φ) の余弦) に等しい場合、それらを直交と呼ぶことに同意します。 x と y はゼロに等しくなります)。
再びベクトル代数にアピールします。2 つの直交する要素 x と y の和 x + y を、要素 x と y に基づいて構築される直角三角形の斜辺と呼びましょう。
どのユークリッド空間でもピタゴラスの定理が有効であることに注意してください。つまり、斜辺の二乗は脚の二乗の和に等しいということです。 実際、x と y は直交しており、(x, y) = 0 であるため、公理とノルムの定義により、

||x + y || 2 = ( x+y, x+y ) = (x, x ) + 2(x, y ) + (y, y) = (x,x) + (y, y) =||×|| 2 + ||y || 2.

この結果は、n 個のペアごとの直交要素 x 1、x 2、...、x n に一般化されます。 z = x 1 + x 2 + ...+ x n の場合、

||×|| 2 = (x 1 + x 2 + ...+ x n, x 1 + x 2 + ...+ x n) = (x 1, x 1) + (x 2, x 2) + .... + ( x n,x n) = ||x 1 || 2 + ||x 1 || 2 +... +||x 1 || 2.

結論として、前の段落で検討した特定のユークリッド空間のそれぞれにおけるノルム、コーシー-ブニャコフスキーの不等式、および三角不等式を書き留めます。
スカラー積の通常の定義を持つすべての自由ベクトルのユークリッド空間では、ベクトル a のノルムはその長さ |a| と一致し、コーシー ブニャコフスキーの不等式は次の形式に短縮されます ((a,b) 2 ≤ | a| 2 |b | 2、および三角形不等式 - |a + b| ≤ |a| + |b | の形式になります (三角形の法則に従ってベクトル a と b を加算すると、この不等式は次のようになります。三角形の一辺が他の 2 つの辺の合計を超えないという事実)。
スカラー積 (4.1) を持つセグメント a ≤ t ≤ b 上で連続するすべての関数 x = x(t) のユークリッド空間 C [a, b] では、要素 x = x(t) のノルムは に等しくなります。コーシー-ブニャコフスキーと三角不等式は次の形式になります。

これらの不等式は両方とも、数学的分析のさまざまな分野で重要な役割を果たします。
スカラー積 (4.2) を持つ n 個の実数の順序集合のユークリッド空間 E n では、任意の要素 x = (x 1 , x 2 ,..., x n) のノルムは等しい

最後に、スカラー積 (4.5) を持つ n 個の実数の順序集合のユークリッド空間では、任意の要素 x = (x 1, x 2,..., x n) のノルムは 0 に等しくなります (次のことを思い出してください)。この場合の行列 (4.3) は対称であり、正定二次形式 (4.4) を生成します。

コーシー-ブニャコフスキーと三角不等式は次の形式になります。

このようなベクトル空間に対応します。 この記事では、最初の定義を開始点として取り上げます。

$n$-次元ユークリッド空間は次のように表されます。 $\backslash mathbb\; E^n、$という表記もよく使われます $\backslash mathbb\; R^n$(空間がユークリッド構造を持っていることが文脈から明らかな場合)。

正式な定義

ユークリッド空間を定義する最も簡単な方法は、スカラー積を主概念として取ることです。 ユークリッド ベクトル空間は、実数フィールド上の有限次元ベクトル空間として定義され、そのベクトル上で実数値関数が指定されます。 $(\backslash cdot,\; \backslash cdot),$次の 3 つのプロパティがあります。

• 双線形性: 任意のベクトルに対して $う、う、わ$そして任意の実数に対して $a,\; b\backslash quad\; (au+bv,\; w)=a(u,w)+b(v,w)$そして $(u,\; av+bw)=a(u,v)+b(u,w);$
• 対称性: あらゆるベクトルに対して $u,v\backslash quad\; (u,v)=(v,u);$
• 確実な確実性: 誰にとっても $u\backslash quad\; (u,u)\backslash geqslant\; 0,$そして $(u,u)\; =\; 0\backslash Rightarrow\; u=0。$

ユークリッド空間 - 座標空間の例 $\backslash mathbb\; R^n、$考えられるすべての実数タプルで構成される $(x\_1,\; x\_2,\; \backslash ldots,\; x\_n),$次の式で決定されるスカラー積 $(x,y)\; =\; \backslash sum\_(i=1)^n\; x\_iy\_i\; =\; x\_1y\_1+x\_2y\_2+\backslash cdots+x\_ny\_n。$

長さと角度

ユークリッド空間上で定義されるスカラー積は、長さと角度の幾何学的概念を導入するのに十分です。 ベクトルの長さ $あなた$として定義される $\backslash sqrt((u,u))$そして指定されている $|う|。$スカラー積の正定性により、非ゼロ ベクトルの長さが非ゼロであることが保証され、双線形性から次のことがわかります。 $|au|=|a||u|、$つまり、比例ベクトルの長さは比例します。

ベクトル間の角度 $あなた$そして $v$式によって決定される $\backslash varphi=\backslash arccos\; \backslash left(\backslash frac((x,y))(|x||y|)\backslash right)。$コサイン定理から、2 次元ユークリッド空間 ( ユークリッド平面) この角度の定義は通常の角度の定義と一致します。 直交ベクトルは、3 次元空間と同様に、間の角度が次の値に等しいベクトルとして定義できます。 $\backslash frac(\backslash pi)(2)。$

コーシー・ブニャコフスキー・シュワルツ不等式と三角不等式

上記の角度の定義にはギャップが 1 つ残っています。 $\backslash arccos\; \backslash left(\backslash frac((x,y))(|x||y|)\backslash right)$が定義されている場合、不等式が成り立つ必要があります。 $\backslash left|\backslash frac((x,y))(|x||y|)\backslash right|\backslash leqslant\; 1.$この不等式は任意のユークリッド空間で成立し、コーシー-ブニャコフスキー-シュワルツの不等式と呼ばれます。 この不等式から、次の三角不等式が導かれます。 $|u+v|\backslash leqslant\; |u|+|v|。$三角不等式は、上記の長さのプロパティとともに、ベクトルの長さがユークリッド ベクトル空間上のノルムであり、関数が $d(x,y)=|x-y|$ユークリッド空間上の計量空間の構造を定義します（この関数をユークリッド計量と呼びます）。 特に要素（点）間の距離 $バツ$そして $y$座標空間 $\backslash mathbb\; R^n$は次の式で与えられます $d(\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y))\; =\; \backslash |\backslash mathbf(x)\; -\; \backslash mathbf(y)\backslash |\; =\; \backslash sqrt(\backslash sum\_(i=1)^n\; (x\_i\; -\; y\_i)^2)。$

代数的性質

正規直交基底

共役空間と演算子

任意のベクトル $バツ$ユークリッド空間は線形関数を定義します $x^*$この空間上で、次のように定義されます $x^*(y)=(x,y)。$この比較は、ユークリッド空間とその双対空間の間の同型写像であり、計算を損なうことなくそれらを識別できるようになります。 特に、共役演算子は双対ではなく元の空間に作用すると考えることができ、自己随伴演算子はその共役と一致する演算子として定義できます。 正規直交基底では、随伴演算子の行列は元の演算子の行列に転置され、自己随伴演算子の行列は対称になります。

ユークリッド空間の運動

例

ユークリッド空間の例としては、次の空間があります。

• $\backslash mathbb\; E^1$寸法 $1$ (実線)
• $\backslash mathbb\; E^2$寸法 $2$ (ユークリッド平面)
• $\backslash mathbb\; E^3$寸法 $3$ (ユークリッド三次元空間)

より抽象的な例:

• 実多項式の空間 $p(x)$を超えない程度 $n$、スカラー積は、有限セグメント (またはライン全体) にわたる積の積分として定義されますが、たとえば、急速に減衰する重み関数を使用します。 $e^(-x^2)$).

多次元ユークリッド空間における幾何学的形状の例

• 正多次元多面体（具体的にはN次元立方体、N次元八面体、N次元四面体）

関連する定義

• 下 ユークリッド計量は、上記の計量および対応するリーマン計量として理解できます。

• 局所ユークリッド性とは、通常、リーマン多様体の各接空間が、その後のすべての特性を備えたユークリッド空間であることを意味します。たとえば、(計量の滑らかさにより) ある点の小さな近傍に座標を導入できる機能などです。距離は、上で説明したように (最大で数桁まで) 表現されます。

• 計量空間は、どこでも (または少なくとも有限領域上で) 計量が (2 番目の定義の意味で) ユークリッドになる座標を導入することができる場合、ローカル ユークリッドとも呼ばれます。曲率ゼロのリーマン多様体。

バリエーションと一般化

• 基本体を実数体から複素数体に置き換えると、ユニタリー (またはエルミート) 空間の定義が得られます。
• 有限次元要件を拒否すると、プレヒルベルト空間の定義が得られます。
• スカラー積の正定性の要件を拒否すると、擬似ユークリッド空間が定義されます。

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ノート

文学

• ゲルファント I.M.線形代数について講義します。 - 5番目。 - M.: ドブロスベット、MTsNMO、1998。 - 319 p。 - ISBN 5-7913-0015-8。
• コストリキン A. I.、マニン ユ I.線形代数と幾何学。 - M.: ナウカ、1986年。 - 304 p。

ユークリッド空間を特徴づける抜粋

「それはあなたの身に起こることなのよ」とナターシャはソファに座った弟に言いました。 何が良かったのですか？ 退屈なだけでなく、悲しいですか？
- そしてどうやって！ - 彼は言った。 「すべてが順調で、みんなが陽気だったと思ったのですが、もうこんなことにうんざりしていて、みんな死ななければいけないのではないかということが頭に浮かびました。」 一度、連隊に散歩に行かなかったのですが、そこで音楽が流れていて…それで急に退屈になってしまいました…。
- ああ、それは知っています。 わかってる、わかってる」ナターシャが声を上げた。 – 私はまだ小さかったので、これは私に起こりました。 覚えていますか、かつて私がプラムの罰を受けて、みんなで踊り、教室に座ってすすり泣いたことを決して忘れません。私は悲しくて、みんなと自分自身に申し訳なく思って、みんなに申し訳なく思いました。 そして最も重要なことは、それは私のせいではなかったのです」とナターシャは言いました。「覚えていますか？
「覚えています」とニコライは言った。 「後であなたを慰めようと思ってあなたのところに来たのを覚えています、そして、ご存知のとおり、私は恥ずかしかったです。 私たちはとても面白かったです。 その時私はボブルヘッドのおもちゃを持っていたので、それをあなたにあげたいと思っていました。 覚えていますか？
「覚えていますか」ナターシャは思慮深い笑みを浮かべて言った、遠い昔、私たちがまだ小さかったころ、おじさんが私たちをオフィスに呼び、古い家に戻っていました、そして真っ暗でした - 私たちは突然そこに来ましたそこに立っていたのは…
「アラップ」とニコライはうれしそうな笑みを浮かべて語った。「どうして思い出せないのでしょう？」 それがブラックアムーアだったのか、夢で見たのか、それとも言われたのか、今でもわかりません。
- 彼は灰色で、白い歯をしていました - 彼は立って私たちを見つめていました...
– 覚えていますか、ソーニャ？ - ニコライは尋ねました...
「はい、はい、私も覚えていることがあります」ソーニャは恐る恐る答えた...
「父と母に、このブラックアムーアについて尋ねました」とナターシャは言いました。 - 彼らはブラックアムーアは存在しなかったと言います。 しかし、あなたは覚えています！
- ああ、今では彼の歯をよく覚えています。
- 不思議ですね、夢のようでした。 私はそれが好きです。
- 私たちがホールで卵を転がしていたところ、突然二人の老婦人がカーペットの上でクルクルと回り始めたことを覚えていますか? そうでしたか？ どれだけ良かったか覚えていますか？
- はい。 青い毛皮のコートを着たお父さんがポーチで銃を発砲したのを覚えていますか? 「彼らはひっくり返って、楽しい思い出、悲しい古い記憶ではなく、詩的な若い頃の記憶、夢と現実が融合する最も遠い過去からの印象、そして何かを喜びながら静かに笑いました。
ソーニャはいつものように彼らに遅れをとっていましたが、彼らの記憶は共通していました。
ソーニャは彼らが覚えていたことの多くを覚えていませんでした、そして彼女が覚えていたことは彼らが経験したような詩的な感情を彼女の中に呼び起こしませんでした。 彼女はただ彼らの喜びを味わい、それを真似しようとしただけでした。
彼女が参加したのは、彼らがソーニャの最初の訪問を覚えていたときだけでした。 ソーニャは、ニコライの上着に紐が付いているので、ニコライが怖かったと話しました。乳母は、彼女にも紐を縫い付けると言ったそうです。
「そして、覚えています。あなたはキャベツの下で生まれたと言われました」とナターシャは言いました。 」
この会話中に、ソファの部屋の裏口からメイドの頭が突き出た。 「お嬢さん、雄鶏を連れてきたのよ」少女はささやき声で言いました。
「その必要はありません、ポリア、運ぶように言ってください」とナターシャは言いました。
ソファで会話が行われている最中に、ディムラーが部屋に入り、隅に立っているハープに近づきました。 彼が布を脱ぐと、ハープが偽りの音を立てた。
「エドゥアルド・カーリッチ、私の愛するムッシュ・フィールドのノクトゥリエンを弾いてください」居間から老伯爵夫人の声が聞こえた。
ディムラーは共感を覚え、ナターシャ、ニコライ、ソーニャに向かってこう言った。「若者たち、なんて静かに座っているのでしょう！」
「はい、私たちは哲学をしているのです」とナターシャは言い、しばらく周りを見回して会話を続けました。 会話は夢についてになりました。
ディマーが遊び始めました。 ナターシャは黙ってつま先立ちでテーブルに上がり、ろうそくを取り、それを取り出し、戻って静かに自分の場所に座りました。 部屋、特に彼らが座っているソファの上は暗かったが、大きな窓から満月の銀色の光が床に降り注いだ。
「ご存知の通り、ナターシャはニコライとソーニャに近づきながらささやき声で言った。ディムラーはすでに仕事を終えてまだ座って、弱々しく弦を弾いていて、離れるか何か新しいことを始めるか迷っているようだった。」そう、あなたは覚えている、あなたはすべてを覚えている」、あなたはとても覚えていて、私がこの世に生まれる前に何が起こったのかを覚えています...
「これはメタンプシックです」とソーニャは言いました。ソーニャはいつもよく勉強し、すべてを覚えていました。 – エジプト人は、私たちの魂は動物の中にあり、動物に戻ると信じていました。
「いや、ほら、信じられないよ、私たちが動物だったなんて」音楽は終わっていたが、ナターシャは同じささやき声で言った。私たちはすべてを覚えています。」
- 参加してもいいですか？ - ディムラーは静かに近づき、彼らの隣に座った。
- 私たちが天使だったら、なぜ私たちは下に落ちたのですか？ -ニコライは言いました。 - いいえ、そんなはずはありません！
「それより低いわけではありません。誰がそんな低いことをあなたに言いましたか？...なぜ私が以前の自分を知っているのですか？」ナターシャは確信を持って反対しました。 - 結局のところ、魂は不滅です...したがって、私が永遠に生きるなら、それは私が以前に生き、永遠に生きた方法です。
「そうだね、でも私たちにとって永遠を想像するのは難しいよ」とディムラーは言い、柔和で軽蔑的な笑みを浮かべながら若者たちに近づいたが、今は彼らと同じように静かに真剣に話した。
– 永遠を想像することが難しいのはなぜですか? – ナターシャは言いました。 - 今日もそうだし、明日もそうだし、いつもそうだし、昨日もそうだったし、昨日もそうだった...
- ナターシャ！ 今ではあなたの番です。 「何か歌ってください」伯爵夫人の声が聞こえた。 - あなたは共謀者のように座っていたと。
- 母親！ 「そんなことはしたくない」とナターシャは言ったが、同時に立ち上がった。
中年のディムラーも含め、全員が会話を中断してソファの隅から立ち去りたくなかったが、ナターシャは立ち上がり、ニコライはクラヴィコードの前に座った。 いつものように、ホールの真ん中に立って、共鳴に最も有利な場所を選んで、ナターシャは母親のお気に入りの曲を歌い始めました。
彼女は歌いたくなかったと言いましたが、その夜の歌い方はこれまで長い間歌っていなかったし、その後も長い間歌っていませんでした。 イリヤ・アンドライヒ伯爵は、ミティンカと話している事務所から彼女の歌声を聞き、レッスンを終えて急いで遊びに行く学生のように、言葉に混乱してマネージャーに命令し、ついには黙ってしまった。そしてミティンカもまた、微笑みながら黙って聞いており、伯爵の前に立った。 ニコライは妹から目を離さず、一緒に息をついた。 ソーニャはそれを聞きながら、自分とその友人の間には大きな違いがあること、そして自分がいとことほど魅力的であることなど不可能であることについて考えました。 老伯爵夫人は幸せそうな悲しげな笑みを浮かべ、目に涙を浮かべて座り、時折首を振った。 彼女はナターシャのこと、そして彼女の若い頃のこと、そしてナターシャとアンドレイ王子との今度の結婚に何か不自然で恐ろしいことがあったことについて考えた。
ディムラーは伯爵夫人の隣に座り、目を閉じて耳を傾けた。
「いいえ、伯爵夫人」と彼は最後に言いました、「これはヨーロッパの才能です。学ぶべきことは何もありません、この柔らかさ、優しさ、強さ…」
- ああ！ 「私は彼女のことをどれほど恐れているのでしょう、私はどれほど恐れているのでしょう」と伯爵夫人は言ったが、誰と話していたのか思い出せなかった。 彼女の母性本能は、ナターシャには何かが多すぎる、そしてこれでは彼女を幸せにできないだろうと告げました。 熱心な14歳のペティアが、ママたちが到着したという知らせを持って部屋に駆け込んできたとき、ナターシャはまだ歌い終えていなかった。
ナターシャは突然立ち止まった。
- バカ！ -彼女は兄に叫び、椅子に駆け寄り、椅子に倒れ込み、あまりにも泣きすぎたので、長い間立ち止まることができませんでした。
「何もない、ママ、本当に何もない、ただこのように。ペティアが私を怖がらせた」と彼女は微笑もうと努めたが、涙は流れ続け、嗚咽が喉を詰まらせた。
着飾った使用人、熊、トルコ人、宿屋の主人、女性たちは、怖くて面白くて、冷たさと楽しさを持ち込んでいて、最初はおずおずと廊下に群がっていました。 それから、彼らはお互いの後ろに隠れて、ホールに押し込まれました。 最初は恥ずかしそうに、そしてますます明るく友好的に、歌、踊り、合唱、クリスマスゲームが始まりました。 伯爵夫人は彼らの顔を認識し、着飾った人々を笑いながらリビングルームに入っていった。 イリヤ・アンドライヒ伯爵は晴れやかな笑顔でホールに座り、選手たちを承認した。 青年はどこかへ消えた。

学校でも、すべての生徒は「ユークリッド幾何学」の概念を紹介されます。その主な規定は、点、平面、直線、運動などの幾何学的要素に基づくいくつかの公理に焦点を当てています。 それらすべてが一緒になって、長い間「ユークリッド空間」として知られているものを形成します。

ベクトルのスカラー倍算の原理に基づくユークリッドは、多くの要件を満たす線形 (アフィン) 空間の特殊なケースです。 まず、ベクトルのスカラー積は完全に対称です。つまり、座標 (x;y) のベクトルは、座標 (y;x) のベクトルと量的に同一ですが、方向が逆です。

次に、ベクトルのスカラー積がそれ自体で実行される場合、このアクションの結果は正になります。 唯一の例外は、このベクトルの最初と最後の座標が 0 に等しい場合です。この場合、ベクトルとそれ自体の積も 0 に等しくなります。

第三に、スカラー積は分配的です。つまり、座標の 1 つを 2 つの値の合計に分解する可能性があり、ベクトルのスカラー倍算の最終結果は変更されません。 最後に、4 番目に、ベクトルに同じものを乗算すると、そのスカラー積も同じ量だけ増加します。

これら 4 つの条件がすべて満たされていれば、これはユークリッド空間であると自信を持って言えます。

実用的な観点から、ユークリッド空間は次の特定の例によって特徴付けることができます。

1. 最も単純なケースは、幾何学の基本法則に従って定義されたスカラー積を持つベクトルのセットが存在する場合です。
2. ユークリッド空間は、スカラーの和または積を表す特定の式を使用して、特定の実数の有限集合をベクトルによって理解する場合にも得られます。
3. ユークリッド空間の特殊なケースは、両方のベクトルのスカラー長がゼロに等しい場合に取得される、いわゆるヌル空間として認識される必要があります。

ユークリッド空間には多くの固有の特性があります。 まず、スカラー係数は、スカラー積の 1 番目と 2 番目の係数の両方から括弧から取り出すことができ、結果は変わりません。 次に、スカラー積の最初の要素の分配性とともに、2 番目の要素の分配性も働きます。 また、ベクトルのスカラー和だけでなく、ベクトルの減算の場合にも分配性が生じます。 最後に、3 番目に、ベクトルにゼロをスカラー乗算すると、結果もゼロになります。

したがって、ユークリッド空間は、ベクトルの互いの相対位置の問題を解決する際に使用される最も重要な幾何学的概念であり、スカラー積などの概念が使用されることを特徴づけます。

ユークリッド空間

T.A. ヴォルコバ、T.P. クニシュ。

および正方形の形状

ユークリッド空間

セントピーターズバーグ

査読者: 技術科学候補者、Shkadova A.R. 准教授

ユークリッド空間と二次形式: 講義ノート。 – サンクトペテルブルク: SPGUVK、2012 – p.

講義ノートは、学士号 010400.62「応用数学とコンピュータ サイエンス」の 2 年生および学士号 090900.62「情報セキュリティ」の 1 年生を対象としています。

このマニュアルには、指導 010400.62 の分野「幾何学と代数」および指導 090900.62 の分野「代数と幾何」のセクションの 1 つに関する完全な講義ノートが含まれています。教科書は、分野の作業プログラム、これらの基準に対応しています。専門分野を網羅しており、学生や教師による試験の準備に使用できます。

©サンクトペテルブルク州

水通信大学、2012 年

ジオメトリに見られるオブジェクトの多くのプロパティは、セグメントの長さと直線間の角度を測定する機能と密接に関連しています。 線形空間ではまだそのような測定を行うことができません。その結果、線形空間の一般理論を幾何学や他の多くの数学分野に適用できる範囲はかなり狭くなっています。 ただし、この問題は 2 つのベクトルの内積の概念を導入することで解決できます。 すなわち、 を 1 次元実空間とする。 ベクトルの各ペアを実数に関連付けて、この数値を呼び出しましょう スカラー積ベクトルであり、次の要件が満たされている場合:

1. (交換法則).

3. あらゆる本物の.

4. ゼロ以外のベクトルに対して.

スカラー積はこの概念の特殊なケースです 2 つのベクトル引数の数値関数、つまり、値が数値である関数です。 したがって、スカラー積をベクトル引数 , の数値関数と呼ぶことができます。その値は、引数の任意の値に対して有効であり、要件 1 〜 4 が満たされます。

スカラー積が定義される実線形空間は次のように呼ばれます。 ユークリッドで表されます。

ユークリッド空間では、ゼロ ベクトルと任意のベクトルのスカラー積はゼロに等しいことに注意してください。 確かに、要件 3 によるものです。 と仮定すると、それがわかります。 したがって、特に、 。

1. を、点 に共通の原点を持つ幾何学的ベクトルの通常の 3 次元空間としましょう。 解析幾何学では、このような 2 つのベクトルのスカラー積は に等しい実数です。ここで、 と はベクトル と の長さ、 はベクトル と の間の角度であり、この数については、すべての要件 1 − 4 が満たされることが証明されています。満足しています。

したがって、私たちが導入したスカラー積の概念は、幾何ベクトルのスカラー積の概念を一般化したものです。

2. 実座標を持つ次元行の空間を考慮し、そのような行ベクトルの各ペアに実数を割り当てます。

この数値について、要件 1 から 4 がすべて満たされていることを確認するのは簡単です。

そして同様に。 ついに、

なぜなら、 の数値の少なくとも 1 つはゼロではないからです。

ここから、この数値は文字列ベクトル と のスカラー積であり、そのようなスカラー積を導入した後、空間はユークリッドになることがわかります。

3. を線形実次元空間とし、その基礎の一部とする。 ベクトルの各ペアを実数に関連付けてみましょう。 次に、空間はユークリッドに変わります。つまり、数値はベクトルと のスカラー積になります。 確かに：

他の方法で空間をユークリッド空間に変えることもできます。たとえば、ベクトルのペア、実数を割り当てることができます。

そして、そのような数について、スカラー積を特徴付けるすべての要件 1 〜 4 が満たされていることを確認するのは簡単です。 しかし、ここでは (同じ基底で) 異なる数値関数を定義しているため、異なる「測度定義」を持つ異なるユークリッド空間が得られます。

4. 最後に、同じ空間に目を向けて、 について、等式 によって定義される数値関数を考えてみましょう。 要件 4 に違反しているため、この関数はもはやスカラー積ではありません。つまり、 のとき、ベクトルは 、 a に等しいです。 したがって、ここではユークリッド空間を取得できません。

スカラー積の定義に含まれる要件 2 と 3 を使用すると、次の式を簡単に取得できます。

ここで、 、 は 2 つの任意のベクトル系です。 ここから、特に任意の基底とベクトルの任意のペアについて、次のことがわかります。

どこ 。 等式 (1) の右辺の式は と の多項式であり、次のように呼ばれます。 双一次形式と から (その各項は線形、つまり と の両方に関して 1 次のものです)。 双一次形式は次のように呼ばれます。 対称的な、その係数のそれぞれについて対称条件が満たされる場合。 したがって、 スカラー積 恣意的な基準で ベクトル座標の双一次対称形式として表現されます。 , 実際の確率で。 しかし、これではまだ十分ではありません。 つまり、 を設定すると、式 (1) から次のことが得られます。

§3. ベクトル空間の次元と基底

ベクトルの線形結合

自明な線形結合と自明ではない線形結合

線形依存ベクトルと線形独立ベクトル

ベクトルの線形依存性に関連するベクトル空間の特性

P-次元ベクトル空間

ベクトル空間の次元

ベクトルの基底への分解

§4. 新たな基盤への移行

古い基準から新しい基準への遷移行列

新しい基底でのベクトル座標

§5. ユークリッド空間

スカラー積

ユークリッド空間

ベクトルの長さ (ノルム)

ベクトルの長さの性質

ベクトル間の角度

直交ベクトル

正規直交基底

§3. ベクトル空間の次元と基底

フィールド上のベクトル空間 (V、Å、∘) を考慮します。 R。 集合 V のいくつかの要素を次のようにします。 ベクトル。

線形結合ベクトルは、これらのベクトルとフィールドの任意の要素の積の合計に等しい任意のベクトルです。 R(つまり、スカラー上):

すべてのスカラーがゼロに等しい場合、そのような線形結合は次のように呼ばれます。 つまらない(最も単純な)、および 。

少なくとも 1 つのスカラーがゼロ以外の場合、線形結合が呼び出されます。 重要な.

ベクトルは次のように呼ばれます 線形独立、これらのベクトルの自明な線形結合のみが次と等しい場合:

ベクトルは次のように呼ばれます 線形依存性に等しいこれらのベクトルの自明でない線形結合が少なくとも 1 つある場合。

例。 実数の 4 倍の順序集合のセットを考えてみましょう。これは実数フィールド上のベクトル空間です。 タスク: ベクトルが , そして 直線的に依存します。

解決.

これらのベクトルの線形結合を作成してみましょう: 、ここで、 は未知の数です。 この線形結合がゼロ ベクトルに等しいことが必要です: 。

この等式では、ベクトルを数値の列として記述します。

この等式が成り立つ数値があり、その数値の少なくとも 1 つがゼロに等しくない場合、これは自明ではない線形結合であり、ベクトルは線形に依存します。

次のことをやってみましょう:

したがって、問題は連立一次方程式を解くことに帰着します。

これを解くと、次のようになります。

システムの拡張行列と主行列のランクは等しいが、未知数の数よりも少ないため、システムには無限の数の解があります。

しましょう、そして、そして。

したがって、これらのベクトルには、自明ではない線形結合が存在します。たとえば、 で、これはゼロ ベクトルに等しくなります。これは、これらのベクトルが線形依存していることを意味します。

いくつかメモしてみましょう ベクトルの線形依存性に関連するベクトル空間の特性:

1. ベクトルが線形依存している場合、それらの少なくとも 1 つは他のベクトルの線形結合です。

2. ベクトルの中にゼロ ベクトルがある場合、これらのベクトルは線形依存します。

3. 一部のベクトルが線形依存する場合、これらのベクトルはすべて線形依存します。

ベクトル空間 V は次のように呼ばれます。 P-次元ベクトル空間が含まれている場合 P線形独立ベクトル、および ( P+ 1) ベクトルは線形依存します。

番号 P呼ばれた ベクトル空間の次元、と表されます ディム(V)英語の「dimension」から - 寸法（寸法、サイズ、寸法、サイズ、長さなど）。

全体性 P線形独立ベクトル P-次元ベクトル空間と呼ばれます 基礎.

式 (*) は次のように呼ばれます。 ベクトル分解 根拠によって、そして数字 – ベクトル座標この根拠に基づいて .

ベクトル空間には、複数の塩基、または無限に多くの塩基を含めることができます。 新しい基底ごとに、同じベクトルが異なる座標を持ちます。

§4. 新たな基盤への移行

線形代数では、古い基底でのベクトルの座標がわかっている場合に、新しい基底でベクトルの座標を見つけるという問題がよく発生します。

いくつか見てみましょう Pフィールド上の - 次元ベクトル空間 (V、+、·) R。 この空間に古い拠点と新しい拠点の 2 つがあるとしましょう .

タスク: 新しい基底でベクトルの座標を見つけます。

古い基底の新しい基底のベクトルに展開を持たせます。

,

ベクトルの座標を、システムに書き込まれるように行ではなく列に行列に書き込みましょう。

結果の行列は次のように呼ばれます 遷移行列古い基盤から新しい基盤へ。

遷移行列は、次の関係によって古い基底と新しい基底のベクトルの座標を接続します。

,

ここで、 は新しい基底のベクトルの目的の座標です。

したがって、新しい基底でベクトル座標を見つけるタスクは、行列方程式を解くことに帰着します。 バツ– 古い基底のベクトル座標の行列-列、 あ– 古い基底から新しい基底への遷移行列、 バツ* – 新しい基底で必要なベクトル座標の行列列。 行列方程式から次のことが得られます。

それで、 ベクトル座標 新しい基盤では等式から求められます。

.

例。特定の基底でのベクトル分解は次のように与えられます。

基底内のベクトルの座標を見つけます。

解決.

1. 遷移行列を新しい基底に書き出してみましょう。 古い基底のベクトルの座標を列に書き込みます。

2. マトリックスを見つける あ –1:

3. 乗算を実行します。ここで、 はベクトルの座標です。

答え: .

§5. ユークリッド空間

いくつか見てみましょう P実数体上の - 次元ベクトル空間 (V、+、・) R。 この空間の基礎にしてみましょう。

このベクトル空間で導入しましょう メトリック、つまり 長さと角度を測定する方法を決定しましょう。 これを行うために、スカラー積の概念を定義します。