三角形、平行四辺形、台形、円の面積の公式。 面積を計算してラベルを付ける方法

幾何学図形の面積- この図形のサイズを示す幾何学的図形の数値特性 (この図形の閉じた輪郭によって制限される表面の一部)。 領域のサイズは、その領域に含まれる正方形の単位の数で表されます。

三角形の面積の公式

1. 三角形の辺と高さによる面積の計算式
   三角形の面積三角形の一辺の長さと、この辺に描かれた高度の長さの積の半分に等しい
   
2. 3辺と外接円の半径に基づく三角形の面積の公式
   
3. 3辺と内接円の半径から三角形の面積を求める公式
   三角形の面積三角形の半周長と内接円の半径の積に等しい。
   
ここで、S は三角形の面積、
- 三角形の辺の長さ、
- 三角形の高さ、
- 側面間の角度と、
- 内接円の半径、
R - 外接円の半径、

正方形の面積の公式

1. 正方形の辺の長さによる面積の計算式
   正方形のエリア辺の長さの二乗に等しい。
2. 対角線の長さに沿った正方形の面積の公式
   正方形のエリア対角線の長さの正方形の半分に等しい。
   

   S=	1	2
   	2

ここで、S は正方形の面積、
- 正方形の辺の長さ、
- 正方形の対角線の長さ。

長方形の面積の計算式

長方形の面積隣接する 2 つの辺の長さの積に等しい

ここで、S は長方形の面積、
- 長方形の辺の長さ。

平行四辺形の面積公式

1. 辺の長さと高さに基づく平行四辺形の面積の公式
   平行四辺形の面積
2. 2つの辺とそれらの間の角度に基づく平行四辺形の面積の公式
   平行四辺形の面積は、辺の長さにそれらの間の角度の正弦を乗じた積に等しい。
   

   a b 罪α

ここで、S は平行四辺形の面積、
- 平行四辺形の辺の長さ、
- 平行四辺形の高さの長さ、
- 平行四辺形の辺間の角度。

ひし形の面積の公式

1. 辺の長さと高さに基づくひし形の面積の公式
   ひし形の面積その辺の長さと、こちら側に下がった高さの長さの積に等しい。
2. 辺の長さと角度に基づくひし形の面積の公式
   ひし形の面積は、ひし形の辺の長さの二乗と、ひし形の辺の間の角度の正弦との積に等しい。
3. 対角線の長さに基づいてひし形の面積を求める公式
   ひし形の面積対角線の長さの積の半分に等しい。
ここで、Sはひし形の面積、
- ひし形の辺の長さ、
- ひし形の高さの長さ、
- ひし形の辺間の角度、
1、2 - 対角線の長さ。

台形面積の公式

1. 台形に対するヘロンの公式

   S が台形の面積である場合、
   - 台形の底辺の長さ、
   - 台形の辺の長さ、
   

面積式は、図形の面積を決定するために必要です。これは、ユークリッド平面の図形の特定のクラスで定義され、次の 4 つの条件を満たす実数値関数です。

1. ポジティブ - 面積をゼロ未満にすることはできません。
2. 正規化 - 辺ユニットのある正方形は面積 1 を持ちます。
3. 合同 - 合同な図形の面積は等しい。
4. 加法性 - 共通の内部点を持たない 2 つの図形の和分の面積は、これらの図形の面積の合計に等しい。

幾何学図形の面積は、2次元空間におけるそのサイズを特徴付ける数値です。 この値は、システム単位および非システム単位で測定できます。 したがって、たとえば、非体系的な面積単位は 100 分の 1、つまり 1 ヘクタールです。 これは、測定対象の表面が土地の場合に当てはまります。 面積のシステム単位は長さの 2 乗です。 SI システムでは、平坦な表面積の単位は平方メートルです。 GHS では、面積の単位は平方センチメートルで表されます。

幾何学式と面積式は密接に関係しています。 この関係は、平面図形の面積の計算がその応用に正確に基づいているという事実にあります。 多くの図では、正方形の寸法が計算されるいくつかのオプションが導出されます。 問題ステートメントのデータに基づいて、最も単純な可能な解決策を決定できます。 これにより計算が容易になり、計算エラーの可能性が最小限に抑えられます。 これを行うには、幾何学における図形の主要な領域を考慮します。

三角形の面積を求める公式は、いくつかのオプションで示されています。

1) 三角形の面積は底辺aと高さhから計算されます。 底面は、高さが低くなった図の側とみなされます。 すると、三角形の面積は次のようになります。

2) 直角三角形の面積は、斜辺を底辺とみなした場合と同様に計算されます。 脚を底辺とすると、直角三角形の面積は脚の半分の積に等しくなります。

三角形の面積を計算する公式はこれで終わりではありません。 別の式には、辺 a、b、および a と b の間の角度 γ の正弦関数が含まれます。 サイン値は表に記載されています。 電卓を使って求めることもできます。 すると、三角形の面積は次のようになります。

この等式を使用すると、直角三角形の面積が脚の長さによって決定されることを確認することもできます。 なぜなら 角度γは直角なので、直角三角形の面積はsin関数を掛けずに計算されます。

3) 特別な場合を考えてみましょう。正三角形の辺 a は条件によって既知であるか、または解くときにその長さを見つけることができます。 幾何学問題の図形についてはそれ以上何もわかっていません。 では、このような条件で面積を求めるにはどうすればよいでしょうか？ この場合、正三角形の面積の公式が適用されます。

矩形

長方形の面積を見つけて、共通の頂点を持つ辺の寸法を使用する方法は? 計算式は次のとおりです。

長方形の面積を計算するために対角線の長さを使用する必要がある場合は、対角線が交差するときに形成される角度の正弦の関数が必要になります。 長方形の面積を求める公式は次のとおりです。

四角

正方形の面積は辺の長さの 2 乗で求められます。

証明は、正方形が長方形であるという定義から導き出されます。 正方形を形成するすべての辺は同じ寸法です。 したがって、そのような長方形の面積を計算するには、結局、一方と他方を乗算する、つまり辺の 2 乗を計算することになります。 そして、正方形の面積を計算する式は望ましい形になります。

正方形の面積は、たとえば対角線を使用するなど、別の方法でも求めることができます。

円で囲まれた平面の一部によって形成される図形の面積を計算するにはどうすればよいですか? 面積を計算するには、次の式を使用します。

平行四辺形

平行四辺形の場合、式には辺の長さの寸法、高さ、および数学的演算 (乗算) が含まれます。 高さがわからない場合、平行四辺形の面積を求めるにはどうすればよいでしょうか? 別の計算方法もあります。 特定の値が必要になります。この値は、隣接する辺によって形成される角度の三角関数とその長さによって計算されます。

平行四辺形の面積の公式は次のとおりです。

ひし形

ひし形と呼ばれる四角形の面積を求めるにはどうすればよいですか? ひし形の面積は、対角線を使用した単純な計算を使用して決定されます。 この証明は、d1 と d2 の対角線分が直角に交差するという事実に基づいています。 正弦の表は、直角の場合、この関数が 1 に等しいことを示しています。 したがって、ひし形の面積は次のように計算されます。

ひし形の面積は別の方法でも求めることができます。 辺の長さが同じであることを考えると、これを証明することも難しくありません。 次に、その積を同様の平行四辺形の式に代入します。 結局のところ、この特定の図の特殊なケースはひし形です。 ここで、γはひし形の内角です。 ひし形の面積は次のように求められます。

台形

問題がその長さを示している場合、底辺（aとb）を通る台形の面積を見つけるにはどうすればよいですか？ ここで、高さ長さ h の既知の値がなければ、そのような台形の面積を計算することはできません。 なぜなら この値には計算式が含まれています。

長方形台形の正方形寸法も同様に計算できます。 直方体台形では、高さと辺の概念が組み合わされていることが考慮されます。 したがって、長方形台形の場合は、高さではなく辺の長さを指定する必要があります。

円柱と直方体

円柱全体の表面を計算するには何が必要かを考えてみましょう。 この図の面積は、底辺と呼ばれる一対の円と側面です。 円を形成する円の半径の長さは r に等しい。 円柱の面積については、次の計算が行われます。

3 組の面で構成される平行六面体の面積を求めるにはどうすればよいですか? その測定値は特定のペアと一致します。 反対側の面には同じパラメータがあります。 まず、S(1)、S(2)、S(3)、つまり不均等な面の正方形の寸法を求めます。 この場合、直方体の表面積は次のようになります。

指輪

共通の中心を持つ 2 つの円がリングを形成します。 また、リングの面積も制限されます。 この場合、両方の計算式で各円の寸法が考慮されます。 それらの最初のものは、リングの面積を計算し、より大きな R 半径とより小さな R 半径を含みます。 多くの場合、それらは外部および内部と呼ばれます。 2 番目の式では、リングの面積は、大きい D 直径と小さい d 直径を通じて計算されます。 したがって、既知の半径に基づくリングの面積は次のように計算されます。

リングの面積は、直径の長さを使用して次のように決定されます。

ポリゴン

形が規則的ではない多角形の面積を求めるにはどうすればよいですか? このような数値の面積を表す一般的な公式はありません。 しかし、それが座標平面上に描かれている場合、たとえば市松模様の紙である場合、この場合の表面積はどのように見つければよいのでしょうか? ここでは、おおよその数値を測定する必要のない方法が使用されています。 これは、セルの隅に該当する点、または全体の座標を持つ点を見つけた場合、それらのみが考慮されます。 次に、その領域が何であるかを調べるには、Peake によって証明された公式を使用します。 点の半分が破線上にある破線の内側にある点の数を加算し、1 を引く必要があります。つまり、次のように計算されます。

ここで、B、G - それぞれ破線の内側と破線全体にある点の数です。

地球の測定方法に関する知識は古代に現れ、幾何学の科学の中で徐々に形をとっていきました。 この言葉はギリシャ語から「土地測量」と訳されています。

地球の平らな部分の長さと幅の尺度は面積です。 数学では通常、ラテン文字 S (英語の「square」-「area」、「square」に由来) またはギリシャ文字 σ (シグマ) で表されます。 Sは平面上の図形の面積または物体の表面積を表し、σは物理学におけるワイヤーの断面積を表します。 これらは主な記号ですが、他にもある可能性があります。たとえば、材料の強度の分野では、A はプロファイルの断面積です。

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計算式

単純な図形の領域がわかれば、より複雑な図形のパラメータを見つけることができます。。 古代の数学者は、それらを簡単に計算するために使用できる公式を開発しました。 そのような図形は、三角形、四角形、多角形、円です。

複雑な平面図形の面積を求めるには、三角形、台形、長方形などの多くの単純な図形に分解します。 次に、数学的手法を使用して、この図の面積の式が導出されます。 同様の方法は、幾何学だけでなく、曲線で囲まれた図形の面積を計算する数学的解析でも使用されます。

三角形

最も単純な図形である三角形から始めましょう。 それらは長方形、二等辺、正三角形です。 辺 AB=a、BC=b、AC=c を持つ三角形 ABC を考えます (ΔABC)。 その面積を求めるために、学校の数学の授業で知られるサイン定理とコサイン定理を思い出してみましょう。 すべての計算を放棄すると、次の式が得られます。

• S=√ - 誰もが知っているヘロンの公式。p=(a+b+c)/2 は三角形の半周長です。
• S=a h/2、ここで h は a 側まで下がった高さです。
• S=a b (sin γ)/2、ここで γ は辺 a と b の間の角度です。
• S=a b/2、∆ ABC が長方形の場合 (ここで a と b は脚です)。
• S=b² (sin (2 β))/2、Δ ABC が二等辺の場合 (ここで b は「ヒップ」の 1 つ、β は三角形の「ヒップ」の間の角度です)。
• ∆ ABC が正三角形の場合、S=a² √¾ (ここで a は三角形の一辺)。

四角形

AB=a、BC=b、CD=c、AD=d の四角形 ABCD があるとします。 任意の 4 角形の面積 S を求めるには、それを対角線で 2 つの三角形に分割する必要があります。一般に、その面積 S1 と S2 は等しくありません。

次に、式を使用してそれらを計算し、追加します (つまり、S=S1+S2)。 ただし、4 角形が特定のクラスに属している場合、その面積は既知の公式を使用して求めることができます。

• S=(a+c) h/2=e h、四角形が台形の場合 (ここで、a と c は底辺、e は台形の中線、h は台形の底辺の 1 つまで下げた高さです。
• S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2、ABCD が平行四辺形の場合 (ここで、φ は辺 a と b の間の角度、h は辺 a までの高さ、d1 と d2 は対角線です)。
• S=a b=d²/2、ABCD が長方形 (d が対角線) の場合。
• S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2、ABCD が菱形の場合 (a は菱形の辺、φ はその角の 1 つ、P は周長)。
• ABCD が正方形の場合、S=a²=P²/16=d²/2。

ポリゴン

n 角形の面積を求めるために、数学者はそれを最も単純な等しい図形である三角形に分解し、それぞれの面積を求めて加算します。 ただし、多角形が通常のクラスに属している場合は、次の式を使用します。

S=a n h/2=a² n/=P²/、ここで、n は多角形の頂点 (または辺) の数、a は n 角形の辺、P はその周囲長、h は頂点、つまり a多角形の中心からその辺の 1 つに 90° の角度で描かれたセグメント。

丸

円は無限の数の辺を持つ完全な多角形です。 辺の数 n が無限大に近づく多角形の面積の式の右側の式の制限を計算する必要があります。 この場合、多角形の周囲は、円の境界となる半径 R の円の長さになり、P=2 π R に等しくなります。この式を上の式に代入します。 私たちは得るだろう：

S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n))。

この式の極限をn→∞として求めてみましょう。 これを行うには、n→∞の lim (cos (180°/n)) が cos 0°=1 (lim は極限の符号) に等しいことを考慮し、n→∞ の lim = lim は次のようになります。 1/π に等しい (関係 π rad=180° を使用して、度の尺度をラジアンに変換し、x→∞ で最初の注目すべき限界 lim (sin x)/x=1 を適用しました)。 取得した値を S の最後の式に代入すると、よく知られた公式が得られます。

S=π² R² 1 (1/π)=π R²。

単位

体系的および非体系的な測定単位が使用されます。 システムユニットは SI (System International) に属します。 これは平方メートル (sq. meter、m²) とそこから派生した単位です: mm²、cm²、km²。

たとえば、電気工学におけるワイヤの断面積は平方センチメートル (cm²) で測定されますが、構造力学では梁の断面積は平方メートル (m²) で測定されます。アパートや家の中、平方キロメートル (km²) 単位 - 地理 。

ただし、場合によっては、ウィーブ、アー (a)、ヘクタール (ha)、エーカー (as) などの非体系的な測定単位が使用されることがあります。 次の関係を示しましょう。

• 1 織り = 1 a = 100 平方メートル = 0.01 ヘクタール。
• 1 ヘクタール = 100 a = 100 エーカー = 10000 平方メートル = 0.01 平方キロメートル = 2.471 ac;
• 1 ac = 4046.856 平方メートル = 40.47 a = 40.47 エーカー = 0.405 ヘクタール。