方程式 y x の 2 乗をグラフにします。関数 y = x2 とそのグラフ – ナレッジハイパーマーケット

関数y=x二乗+2x-5をグラフにするにはどうすればよいですか? そして最良の答えを得ました

Alexey Popov (Ocean)[guru]さんからの回答
関数は二次関数であり、グラフは放物線です。この放物線の頂点の座標を見つけてみましょう X= -2/2= -1 Y = 1-2-5=-6 (式 y=x 2 乗 + 2x-5 の「-1」を代入する必要があります) Xして計算します）。座標系で放物線 A (-1;-6) の頂点をマークします。そして、この点 (点 A から) から、式 y=x の 2 乗を使用して見つかった点、つまり点 (1;1) (-1;1)(2;4) (-2;4) (3) をマークします。 ;9) ( -3;9) 注意! これらすべての点を放物線の頂点、つまり点 A からプロットします (座標の原点である点 O からではありません)。

からの回答 イェルゲイ・チェレヴァン[マスター]
x=0 を取得します - これがグラフの始まりとなり、次に 4 つの点 x=1、x=-1、x=2、x=-2 を取得してグラフを構築します。これは放物線と呼ばれます。

からの回答 エレナ・フェドゥキナ[教祖]
二次関数、放物線グラフ、上向きの風 x 軸に沿った頂点 = -1、y 軸に沿った頂点 = -5。

からの回答 アンナ・エゴロワ[教祖]
y=x 2 乗 + 2x-5 グラフ放物線、枝が上向き (a=1 はゼロより大きい)、放物線の頂点を見つけます: m= -b を 2a で割った値 - これは、それに沿った座標です。 x 軸は -1 になります。 y 座標: それを関数に代入します。それは放物線の頂点 (-1;-6) を意味する -6 になります。次に、x と y の値を含むテーブルを描画します。たとえば、x=- の場合です。 3、y = -2; x = -2、y = -5; x=-1、y=-6; x=0、y=-5; x=1、y=-2; x=2、y=3、座標平面上でこれらの点をマークし、接続します)))

からの回答ビビ[教祖]
平方根の y=x +2x-5、二項式の二乗を分離すると、y=(x +1)sq が得られます。 -6 ということは、トップは (-1;-6) であるということになります。関数のグラフは放物線です。括弧 (a) の前にマイナスがないため、放物線の枝は垂直上向きになります。

からの回答 2 つの回答[教祖]

こんにちは！ここでは、質問への回答を含むトピックをいくつか紹介します: 関数 y=x 2 乗 + 2x-5 をグラフにするにはどうすればよいですか?

以前、他の関数、たとえば線形関数について学習しましたが、その標準形式を思い出してみましょう。

したがって、明らかな基本的な違いは一次関数にあります。バツ第一級に位置し、私たちが研究し始めている新しい機能において、バツは 2 乗になります。

一次関数のグラフは直線であり、これから説明するように、関数のグラフは放物線と呼ばれる曲線であることを思い出してください。

まずはその公式がどこから来たのかを調べてみましょう。説明は次のとおりです: 辺のある正方形が与えられた場合あの場合、次のように面積を計算できます。

正方形の辺の長さを変えると面積が変わります。

これがこの機能が研究される理由の 1 つです

変数を思い出してください。バツ- これは独立変数または引数であり、物理的な解釈では、たとえば時間になります。逆に、距離は従属変数であり、時間に依存します。従属変数または関数は変数ですで.

これは対応の法則であり、これに従ってそれぞれの値が決まります。バツ単一の値が割り当てられますで.

対応法則は、引数から関数までの一意性の要件を満たさなければなりません。物理的な解釈では、これは時間に対する距離の依存性の例を使用すると非常に明白です。各瞬間において、私たちは出発点から一定の距離にいますが、最初から 10 キロメートルと 20 キロメートルの両方にいることは不可能です。時刻tの同時刻の旅程。

同時に、各関数値は複数の引数値で実現できます。

したがって、関数のグラフを作成する必要があります。そのためにはテーブルを作成する必要があります。次に、グラフを使用して関数とそのプロパティを調べます。しかし、関数のタイプに基づいてグラフを構築する前でも、そのプロパティについて何か言うことができます。で負の値を取ることはできません。

それでは、テーブルを作成しましょう。

米。 1

グラフから、次の特性に簡単に気づくことができます。

軸で- これはグラフの対称軸です。

放物線の頂点は点 (0; 0) です。

この関数は負ではない値のみを受け入れることがわかります。

その間、関数が減少し、関数が増加する間隔。

関数は頂点で最小値を取得します。 ;

関数には最大の値はありません。

例1

状態：

解決：

なぜならバツ特定の間隔で条件が変化することにより、関数については、間隔で増加し、変化すると言えます。関数にはこの間隔の最小値と最大値があります。

米。 2. 関数 y = x 2 , x ∈ のグラフ

例 2

状態：関数の最大値と最小値を見つけます。

解決：

バツ間隔にわたって変化します。つまり、で while の間隔で減少し、 while の間隔で増加します。

つまり、変化の限界はバツ、そして変化の限界でしたがって、特定の間隔では、関数の最小値と最大値の両方が存在します。

米。 3. 関数 y = x 2 , x ∈ [-3; のグラフ 2]

同じ関数値が複数の引数値で実現できるという事実を説明してみましょう。

平面上の直交座標系を選択し、横軸に引数の値をプロットしましょうバツ、縦軸は関数の値です y = f(x).

関数グラフ y = f(x)は、横座標が関数の定義領域に属し、縦座標が関数の対応する値に等しいすべての点の集合です。

言い換えれば、関数 y = f (x) のグラフは、平面、座標のすべての点の集合です。 バツ、 でという関係を満たすもの y = f(x).

図では、図４５および図４６は関数のグラフを示す。 y = 2x + 1そして y = x 2 - 2x.

厳密に言えば、関数のグラフ (正確な数学的定義は上で示したもの) と、常に多かれ少なかれ正確なグラフのスケッチのみを提供する描画された曲線とを区別する必要があります (そして、その場合でも、原則として、グラフ全体ではなく、平面の最後の部分にある部分のみです)。ただし、以下では通常、「グラフスケッチ」ではなく「グラフ」と呼びます。

グラフを使用すると、ある点における関数の値を見つけることができます。つまり、ポイントの場合、 x = a関数の定義領域に属します y = f(x)、次に番号を見つけます f(a)(つまり、その時点での関数値 x = a）これを行うべきです。横座標を経由する必要があります x = a縦軸に平行な直線を引きます。この線は関数のグラフと交差します y = f(x)一点に; この点の縦座標は、グラフの定義により、次のようになります。 f(a)(図47)。

たとえば、関数の場合、 f(x) = x 2 - 2xグラフ (図 46) を使用すると、f(-1) = 3、f(0) = 0、f(1) = -1、f(2) = 0 などがわかります。

関数グラフは、関数の動作とプロパティを明確に示します。たとえば、図の考察から。 46 関数が次のとおりであることは明らかです y = x 2 - 2xのときは正の値をとる バツ< 0 そしてで x > 2、負 - 0< x < 2; наименьшее значение функция y = x 2 - 2xで受け付けます x = 1.

関数をグラフ化するには f(x)平面のすべての点、座標を見つける必要がありますバツ,で方程式を満たすもの y = f(x)。ほとんどの場合、そのような点は無限に存在するため、これを行うことは不可能です。したがって、関数のグラフは、多かれ少なかれ正確に、近似的に描かれています。最も簡単なのは、複数の点を使用してグラフをプロットする方法です。それは、次のような議論があるという事実にある。バツ有限数の値 (x 1、x 2、x 3、...、x k など) を与え、選択した関数値を含むテーブルを作成します。

テーブルは次のようになります。

このような表を作成すると、関数のグラフ上のいくつかの点の概要を示すことができます。 y = f(x)。次に、これらの点を滑らかな線で結ぶと、関数のグラフのおおよその図が得られます。 y = f(x)。

ただし、多点プロット方法は非常に信頼性が低いことに注意してください。実際、意図した点の間のグラフの動作と、取得された極点の間のセグメントの外側でのグラフの動作は不明のままです。

例1。関数をグラフ化するには y = f(x)誰かが引数と関数の値の表を作成しました。

対応する 5 つの点を図に示します。 48.

これらの点の位置に基づいて、彼は関数のグラフは直線であると結論付けました (図 48 に点線で示す)。この結論は信頼できると考えられますか? この結論を裏付ける追加の考慮事項がない限り、この結論は信頼できるとはほとんど考えられません。信頼性のある。

私たちの声明を実証するために、次の関数を考えてみましょう。

計算によると、この関数の点 -2、-1、0、1、2 の値は上の表で正確に記述されています。ただし、この関数のグラフはまったく直線ではありません (図 49 に示されています)。別の例は次の関数です y = x + l + sinπx;その意味は上の表にも記載されています。

これらの例は、「純粋な」形式では、複数の点を使用してグラフをプロットする方法が信頼できないことを示しています。したがって、特定の関数のグラフをプロットするには、通常は次のように進めます。まず、この関数のプロパティを調べて、グラフのスケッチを作成します。次に、いくつかの点で関数の値を計算することによって (どの点を選択するかは関数の確立された特性に依存します)、グラフの対応する点が見つかります。最後に、この関数のプロパティを使用して、構築された点を通る曲線が描画されます。

グラフスケッチを見つけるために使用される関数のいくつかの (最も単純で最も頻繁に使用される) プロパティについては後で説明しますが、ここではグラフを構築するために一般的に使用されるいくつかの方法を見ていきます。

関数 y = |f(x)| のグラフ。

多くの場合、関数をプロットする必要があります。 y = |f(x)|、どこで f(x) -与えられた関数。これがどのように行われるかを思い出してみましょう。数値の絶対値を定義すると、次のように書くことができます。

これは、関数のグラフが y =|f(x)|グラフ、関数から取得できます y = f(x)次のように: 関数のグラフ上のすべての点 y = f(x)縦軸が負ではないので、変更しないでください。さらに、関数のグラフの点の代わりに y = f(x)負の座標がある場合は、関数のグラフ上に対応する点を作成する必要があります。 y = -f(x)(つまり、関数のグラフの一部)
y = f(x)、軸の下にあります バツ、軸に対して対称に反映される必要がありますバツ).

例2。関数をグラフ化する y = |x|。

関数のグラフを見てみましょう y = x(図 50、a) およびこのグラフの一部 バツ< 0 (軸の下に横たわるバツ) 軸に対して対称的に反射バツ。その結果、関数のグラフが得られます。 y = |x|(図50、b)。

例 3。関数をグラフ化する y = |x 2 - 2x|。

まず、関数をプロットしましょう y = x 2 - 2x。この関数のグラフは放物線であり、その枝は上向きであり、放物線の頂点は座標 (1; -1) を持ち、そのグラフは点 0 と点 2 で x 軸と交差します。 2) 関数は負の値を取るため、グラフのこの部分は横軸に対して対称的に反映されます。図 51 に関数のグラフを示します。 y = |x 2 -2x|、関数のグラフに基づいて y = x 2 - 2x

関数 y = f(x) + g(x) のグラフ

関数のグラフを作成する問題を考えてみましょう y = f(x) + g(x)。関数グラフが与えられた場合 y = f(x)そして y = g(x).

関数の定義域 y = |f(x) + g(x)| に注意してください。は、関数 y = f(x) と y = g(x) の両方が定義されている x のすべての値のセットです。つまり、この定義領域は定義領域、関数 f(x) の共通部分です。そしてg(x)。

ポイントをあげましょう (x 0 , y 1）そして (x 0, y 2) はそれぞれ関数のグラフに属します y = f(x)そして y = g(x)、つまりy 1 = f(x 0)、y 2 = g(x 0)。次に、点 (x0;. y1 + y2) は関数のグラフに属します。 y = f(x) + g(x)（のために f(x 0) + g(x 0) = y 1 +y2）、。および関数のグラフ上の任意の点 y = f(x) + g(x)この方法で取得できます。したがって、関数のグラフは、 y = f(x) + g(x)関数グラフから取得できます y = f(x)。そして y = g(x)各点を置き換える ( xn、y 1) ファンクショングラフィックス y = f(x)ドット (x n, y 1 + y 2),どこ y 2 = g(x n)、つまり各点を移動することによって ( xn、y1) 関数グラフ y = f(x)軸に沿ってで金額によって y 1 = g(x n）。この場合、そのような点のみが考慮されますバツ両方の関数が定義されている n y = f(x)そして y = g(x).

関数をプロットするこの方法 y = f(x) + g(x) を関数のグラフの加算といいます。 y = f(x)そして y = g(x)

例 4。図では、グラフを追加する方法を使用して関数のグラフを作成しました。
y = x + sinx.

関数をプロットするとき y = x + sinx私たちはそう思いました f(x) = x、あ g(x) = sinx。関数グラフをプロットするには、横軸が -1.5π、-、-0.5、0、0.5、、1.5、2 の点を選択します。 f(x) = x、g(x) = sinx、y = x + sinx選択した点で計算し、結果を表に配置しましょう。

モジュールを含む関数のグラフを構築することは、通常、学童にとってかなりの困難を引き起こします。ただし、すべてがそれほど悪いわけではありません。このような問題を解決するには、いくつかのアルゴリズムを覚えておくだけで十分であり、最も複雑に見える関数のグラフも簡単に作成できます。これらがどのようなアルゴリズムなのか見てみましょう。

1. 関数 y = |f(x)| のグラフをプロットする

関数値のセット y = |f(x)| に注意してください。 : y ≥ 0。したがって、このような関数のグラフは常に完全に上半平面内に位置します。

関数 y = |f(x)| のグラフをプロットする以下の簡単な 4 つのステップで構成されます。

1) 関数 y = f(x) のグラフを慎重に作成します。

2) グラフ上の 0x 軸上または 0x 軸上のすべての点を変更しないままにします。

3) 0x 軸の下にあるグラフの部分を 0x 軸に対して対称的に表示します。

例 1. 関数 y = |x 2 – 4x + 3| のグラフを描画します。

1) 関数 y = x 2 – 4x + 3 のグラフを作成します。明らかに、この関数のグラフは放物線です。放物線と座標軸のすべての交点の座標と放物線の頂点の座標を求めてみましょう。

x 2 – 4x + 3 = 0。

x 1 = 3、x 2 = 1。

したがって、放物線は点 (3, 0) および (1, 0) で 0x 軸と交差します。

y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3。

したがって、放物線は点 (0, 3) で 0y 軸と交差します。

放物線の頂点座標:

x in = -(-4/2) = 2、y in = 2 2 – 4 2 + 3 = -1。

したがって、点 (2, -1) がこの放物線の頂点になります。

取得したデータを使って放物線を描く (図1)

2) 0x 軸の下にあるグラフの部分は、0x 軸に対して対称的に表示されます。

3) 元の関数のグラフを取得します ( 米。 2、点線で示されています）。

2. 関数 y = f(|x|) をプロットする

y = f(|x|) の形式の関数は偶数であることに注意してください。

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x)。これは、そのような関数のグラフが 0y 軸に関して対称であることを意味します。

関数 y = f(|x|) のグラフのプロットは、次の単純な一連のアクションで構成されます。

1) 関数 y = f(x) をグラフにします。

2) x ≥ 0 であるグラフの部分、つまり右半平面に位置するグラフの部分を残します。

3) (2)で指定したグラフ部分を0y軸に対して対称に表示します。

4) 最終的なグラフとして、ポイント (2) と (3) で得られた曲線の和集合を選択します。

例 2. 関数 y = x 2 – 4 · |x| のグラフを描画します。 +3

x 2 = |x| なので 2 の場合、元の関数は次の形式に書き換えることができます: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. これで、上で提案したアルゴリズムを適用できます。

1) 注意深く慎重に関数 y = x 2 – 4 x + 3 のグラフを作成します (以下も参照) 米。 1).

2) x ≥ 0 であるグラフの部分、つまり右半平面に位置するグラフの部分を残します。

3) グラフの右側を 0y 軸に対して対称に表示します。

(図3).

例 3. 関数 y = log 2 |x| のグラフを描画します。

上記のスキームを適用します。

1) 関数 y = log 2 x のグラフを作成します。 (図4).

3. 関数 y = |f(|x|)| をプロットする

y = |f(|x|)| という形式の関数に注意してください。も均等です。確かに、y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x) であるため、それらのグラフは 0y 軸に関して対称になります。このような関数の値のセット: y ≥ 0. これは、そのような関数のグラフが完全に上半平面に位置していることを意味します。

関数 y = |f(|x|)| をプロットするには、次のことを行う必要があります。

1) 関数 y = f(|x|) のグラフを慎重に作成します。

2) グラフの 0x 軸の上または上の部分は変更しないでください。

3) 0x 軸の下にあるグラフの部分を 0x 軸に対して対称に表示します。

4) 最終的なグラフとして、ポイント (2) と (3) で得られた曲線の和集合を選択します。

例 4. 関数 y = |-x 2 + 2|x| のグラフを描画します。 – 1|。

1) x 2 = |x| であることに注意してください。 2. これは、元の関数の代わりに y = -x 2 + 2|x| を意味します。 - 1

関数 y = -|x| を使用できます。 2 + 2|x| – 1、グラフが一致しているため。

グラフ y = -|x| を作成します。 2 + 2|x| – 1. このために、アルゴリズム 2 を使用します。

a) 関数 y = -x 2 + 2x – 1 をグラフ化します。 (図6).