自動制御システムの安定性のための主要な条件。 自走砲の安定性に対するパラメータの影響

追跡システム (図 1.14、a) は、エラーがあるときは平衡状態にありますが、この状態は安定している場合もあれば、不安定な場合もあります。 駆動力の変化（ドライブシャフトの角度回転）の後、減衰過渡プロセス（図 2.1、a、b）の結果としてシステムが平衡状態に戻る場合、これは次のようになります。平衡状態が安定しており、システムが安定していると呼ばれます。駆動力がわずかに変化した後 (システムが平衡状態から逸脱した後)、システムは元の平衡状態に戻らず、非減衰振動が発生します。制御された量がその中で発生するか（図2.1、c、d）、変化はこの系の平衡状態が不安定であるという事実とは無関係であり、その系は不安定と呼ばれます。

ボール表面システムを考慮することで、安定した平衡状態と不安定な平衡状態を視覚的に表現できます。 くぼみに置かれたボール (図 3.1、a) は、外部の影響でたわんだ後、元の状態に戻るため、安定した平衡状態にあります。 球面系が安定している。 丘の頂上にあるボール (図) は、不安定な平衡位置にあります。つまり、位置からわずかにずれています。

米。 3.1. ボール表面システムの平衡状態の安定性の概念: a - 安定状態。 b - 不安定な状態。 c - 偏差が小さい場合は安定し、偏差が大きい場合は不安定な状態。

この状態ではボールは斜面を転がり落ちて元の位置に戻らなくなります。 検討中のシステムは不安定です。

したがって、安定性とは、システムをこの状態から取り除き、マスターの変化や妨害的な影響の影響を停止した後に、以前の平衡状態に戻る特性として理解されます。

安定したシステムのみが機能します。 したがって、自動制御理論の主なタスクの 1 つは、自動制御システムの安定性を研究することです。 動的システムの安定性に関する厳密な理論の基礎は、Acad によって開発されました。 A. M. リャプノフの著書「動きの安定性の一般問題」（1892 年）。 この取り組みから浮かび上がったサステナビリティの概念は以下の通りです。

システムが線形微分方程式で記述される場合、その安定性は外乱の大きさに依存しません。 小さな外​​乱のもとでも安定する線形システムは、大きな外乱のもとでも安定します。 非線形システムは、小さな外乱の下では安定しますが、大きな外乱の下では不安定になります。 このような非線形システムの例としては、壁掛け時計があります。 静止した振り子に弱い力を与えると、数回のスイングを完了した振り子は停止します。つまり、システムは小さな外乱の下でも安定します。 より強い衝撃が振り子に与えられると、巻き時計の最後のものが非減衰振動を開始します。 その結果、システムは大きな外乱の下では不安定になります。 小さな摂動では安定し、大きな摂動では不安定な非線形システムの明確なアイデアは、凸体の上部にあるくぼみに置かれたボールを考慮することで得られます (図 3.1、c)。 くぼみの端を超えない小さなずれの場合、ボールは元の位置に戻ります。つまり、ボール表面システムは安定しています。 くぼみの端を越えて逸脱すると、ボールは元の位置に戻らず、システムが不安定になります。 したがって、非線形システムの場合、安定性は、小さな外乱の場合、つまり小さな外乱の場合の安定性と、大きな外乱下での安定性、つまり大きな外乱の場合の安定性とに分けて検討されます。

リャプノフの定理によれば、小さな外乱下での非線形システムの安定性は、平衡状態からのわずかな逸脱下でのシステムの挙動を非常に正確に記述する線形化された方程式によって判断できます。 大きな外乱下での非線形システムの安定性を判断するには、元の非線形力学方程式を使用する必要があります。 実際のほとんどの場合、小さな偏差に対して安定しているシステムは、動作中に起こり得るかなり大きな偏差に対しても安定していることが判明します。したがって、これらのシステムの安定性の問題は、線形化された方程式の研究に基づいて解決できます。

密閉式自走砲では通常、フィードバックの影響により安定性の問題が発生します。 したがって、将来的には、安定性を研究する方法は普遍的ではありますが、閉じたシステムの例を使用して安定性が研究されます。

自動制御システムの安定性は、システムの最も重要な特性の 1 つです。 システムのパフォーマンスはそれに依存します。 安定性に欠けるシステムは、制御問題を効率的に解決できません。 安定性の欠如は、制御プロセス中にシステム自体の破壊や制御対象の破壊にもつながる可能性があるため、不安定なシステムの使用は不適切です。

自動制御システムの安定性 - これは空気システムの特性です

システムを初期平衡状態にもたらした影響が停止した後、初期平衡状態に回転します。

安定したシステムと不安定なシステムの例は、図 60 に示す、凹凸のある表面上に配置されたボールのシステムです。

図60。 システムの例: a) 安定している。 b) 不安定

図 60a では、凹面上に位置し、一定の力によって横に移動されたボールは、外部からの影響が終わると元の平衡位置に戻ります。 表面またはその最小値に摩擦がない場合、ボールは元の平衡位置に戻るまで、平衡位置の周りで短い振動を実行します (曲線 1 - 減衰振動プロセス)。 摩擦が大きいと、ボールは振動することなく最初の平衡位置に戻ります (曲線 2 - 非周期的プロセス)。 摩擦値が非常に大きい場合、ボールは初期の平衡位置 (曲線 3) に戻らない可能性がありますが、平衡位置に近い領域に戻ります。 検討したケースでは、安定したシステムが存在します。 安定した自動制御システムでは、同様の過渡プロセス (減衰振動および非周期) が発生します。

図 60b では、凸面上にあるボールが一定の力で横に変位すると、初期の平衡位置 (曲線 4) に戻らないため、システムは不安定になります。 不安定なシステムでは、過渡的なプロセスが発散振動 (曲線 5) または非周期振動 (曲線 4) の形で発生します。

ACS の不安定性は、通常、非常に強いフィードバック効果によって発生します。 動的不安定の原因は通常、閉ループ システムのリンクの重大な慣性特性です。これにより、発振モードのフィードバック信号が入力信号と同位相になるほど遅れます。 ネガティブなフィードバックの性質が性格を反映していることが判明

ポジティブ。

安定性と不安定性を数学的に説明してみましょう。 システムの安定性はその自由運動の性質のみに依存するため、このシステムの自由運動は次の等次微分方程式で説明できます。

特性方程式は次の式で表されます。

次の形式で均一微分方程式 (2.19.) の一般解を提示しましょう。

どこ Ck – 初期条件に応じた定数、 PK は特性方程式の根です。

特性方程式の根は複雑になる場合があります ( p k = α k ± jβ k ）、 有効 （ p k = α k ) または虚数 ( PK = jβ k ）。 複素根は常にペア共役です。 正の虚数部を持つ方程式の根がある場合、同じ絶対値を持つ、負の虚数部を持つ根が確実に存在します。 y(t) で t → ∞ from (2.21.) は、各項が次の場合にのみゼロになる傾向があります。 スキップする → 0. この関数の性質はルートの種類によって異なります。 ルートの場所の考えられるケース PK 複素平面とそれに対応する関数について y(t) = C k e p k t 関数の外観を楕円の内側に示します。

図61。 特性方程式の根の位置が与える影響

システムの自由な動きの構成要素

図 61 は、各実ルートが PK= αk 式 (2.21.) の場合、項は次のようになります。

y k (t) = C k eα k t(2.22.)

それから α～< 0 （根 p 1) での機能 t→ ∞ 次の場合はゼロになる傾向があります α k > 0 （根 3ページ目 ) 機能は際限なく増加します。 α k = 0 （根 p 2) 関数は一定のままです。

特性方程式に複素根がある場合、共役複素根の各ペア p k、k+1 = αk ± jβ k , それらに対応する 2 つの用語があり、これらを組み合わせて次の式として表すことができます。

この関数は、振幅と周波数が指数関数的に変化する正弦波です。 β k . 2 つの複素根の負の実部の場合 α k、k+1< 0 、（根 4ページ目 そして p5 ) 関数の振動成分は減衰し、実数部が正になります。 α k、k+1 > 0 、（根 8ページ そして 9ページ ) 振動の振幅は際限なく増加します。 複素根の実部が存在しない場合 α k、k+1 = 0 （ルーツ 6ページ そして p7 )、つまり 虚数根のみが存在する場合、関数は次の周波数の連続正弦波になります。 β k .

安定性の定義に基づいて、初期の平衡位置がゼロであるとすると、安定したシステムの場合、出力パラメータの値は時間の経過とともにゼロになる傾向があるはずです。 システムは自動的に平衡位置に戻ります。 このための必要十分条件は、微分方程式 (2.21.) の解のすべての項が時間の経過とともにゼロになる傾向があることであり、これは方程式の負の実根で達成でき、複素根は負の実部を持たなければなりません。 少なくとも 1 つの正の実根、または正の実部を持つ複素根のペアが存在すると、システムの出力パラメーターの値が元の値に戻らなくなるという事実が生じます。 システムが不安定になります。

図 62 に示す複素平面上の特性方程式の根の位置を分析すると、特性方程式のすべての根が左半平面内にあり、それらがすべて負の実数または負の場合、ACS が安定していることがわかります。負の実部を持つ複素数。 右半平面に少なくとも 1 つのルートが存在すると、システムの不安定性が特徴付けられます。

システムの安定性はシステムの内部特性であり、システムの特性を記述する特性方程式の根の種類にのみ依存し、外部の影響には依存しません。 システムの安定性のための必要十分条件は、方程式のすべての根が左 (負の) 半平面に位置することです。

特性方程式の正または負の根が位置する正および負の半平面は、システムの安定性または不安定性を保証し、虚軸 ± によって分離されます。 jβ 。 この軸は安定性境界であるため、特性方程式に純粋な仮想根が 1 対ある場合、 p k、k+1 =± jβ k , 他のルートが負の半平面にある場合、システムは、ある周波数の非減衰振動の存在によって特徴付けられます。 ω = β k。 この場合、システムは次の状態にあると一般的に受け入れられています。 振動安定限界 .

ドット β = 0 虚軸上の はゼロルートに対応します。 ゼロ根が 1 つある方程式は、 非周期安定限界 、そして 2 つのゼロ根が存在する場合、システムは不安定になります。

図62。 安定したシステムの特性方程式の根の位置

複素平面

ほとんどすべての実際の自動制御システムの方程式は線形ではなく、線形化を使用して線形方程式に帰着されるため、線形化中に行われる仮定がシステムの安定性の決定の正確さに影響を与える可能性があることを忘れないでください。

A. M. リャプノフは 1892 年、著書「運動の安定性の一般問題」の中で、線形化された方程式に対して次の結論が得られた定理の証明を行いました。

1. システムの特性方程式の実根がすべて負である場合、システムは安定していると見なされます。

2. システムの特性方程式の実根の少なくとも 1 つが正である場合、システムは不安定であると見なされます。

3. 線形化システムの特性方程式に少なくとも 1 つのゼロ根または 1 対の虚数根がある場合、実システムの安定性を線形化方程式から判断することはできません。

したがって、実際のシステムの安定性についての結論は、元の非線形方程式の分析に基づいて作成する必要があり、システムの不安定性または安定性を決定するには、次の実根の正 (負) を特定するだけで十分です。特性方程式。

持続可能性の基準 自動制御の理論において、特性方程式の根の符号を解くことなく決定する特定の規則に名前を付けてください。 安定性には代数的基準と周波数基準があります。

代数的基準 システムの安定性は、特性方程式の係数の特定の値に対して根が負になるための必要十分条件です。

頻度の基準 システムの安定性については、システムの周波数特性の形状に対するシステムの安定性の依存性が確立されています。

安定性とは、システムが何らかの理由でこのモードから逸脱した場合に通常のモードに戻る能力です。

安定性要件はすべての自走砲に必須です。

持続可能性の厳密な定義は、A.M. によって与えられました。 リャプノフの著書「動きの安定性に関する一般的な問題」（19世紀後半）

システムのダイナミクスを次の方程式で説明します。

y - 出力値

バツ- 投入量

y ( 私 ) , バツ ( j ) - 派生製品。

このシステムには公称動作モードがあると仮定します。 で n (t), これは公称入力の影響によって一意に決定されます バツ n (t) そして公称初期条件。

(2)

名目上の初期条件 (2) を実際に維持するのは難しいため、システムには「逸脱した」初期条件が存在します。

(3)

公称モードでは、次の方程式が有効です。

拒否された初期条件は、拒否されたモードに対応します。

拒否されたモードの場合、次の方程式が有効です。

(6)

式(5)から式(4)を引くと、(7)が得られます。

定義を紹介しましょう。

公称モード で n (t) リャプノフ厩舎、公称公称初期条件 (2) とほとんど変わらない、拒否された初期条件 (3) について、すべての t > 0 について、z(t) は小さくなります。

Lyapunov によれば、公称モードが安定しており、同時に限界値が安定している場合
、その後、公称モードが呼び出されます 漸近的に安定.

公称初期条件 (2) との差異が最小限である初期条件 (3) があり、同時に
ある小さな所定の値よりも大きくなると、公称モードになります で n (t) 呼ばれた 不安定。

(7) から、動作は次のようになります。 z(t) 入力の影響の種類に完全に依存しません バツ n (t) .

これにより、次の結論が得られます。システム (1) では、それらは漸近的に安定しています。 全てさまざまな入力に対応する公称モード バツ n (t), あるいはそれらはすべて不安定です。

したがって、システムの安定性または不安定性について話すことができますが、そのモードのいずれかについて話すことはできません。

これは、ACS 研究の範囲を狭める重要な発見です。

残念ながら、これはリニア自走砲にのみ有効です。

リニア自走砲の安定性のための必要十分条件。

線形システムの漸近安定性のためには、特性方程式のすべての根が一致することが必要かつ十分です。

は負の実部を持つことになります。

係数が一定の微分方程式の解は次のとおりであることが知られています。

1。 根を本物にしましょう.

で

- そして、これは公称モードからの逸脱です。

2. ルートが複雑な場合.

安定のための必要条件。

システム (1)、(8) が漸近的に安定するには、特性方程式のすべての係数が同じ符号を持つ必要があります。

安定条件の幾何学的解釈

ACS の安定性のためには、特性方程式の根が根の複素平面の左半平面に位置することが必要かつ十分です。

ACS の安定性基準。

これらは、特性方程式の根を見つけることなく、自走砲の安定性に関する質問に答えることを可能にする人工的な技術です。 根の実部の符号を決定します。

2 種類の安定性基準:

1)。 代数的安定性基準 (Hurwitz 安定性基準)。

特性方程式を与えてみましょう。

自走砲の安定性のためには、次のことが必要かつ十分です。

1)。 特性方程式のすべての係数が同じ符号を持つようにするには、 -
(
システムが不安定です）

2)。 特定のルールに従ってコンパイルされた主なフルヴィッツ行列式とそのすべての副対角は係数の符号を持ち、それらはゼロより大きくなります。

Hurwitz の主な定義を記述するためのルール。

1)。 行列式の主対角に沿って、特性方程式のすべての係数がインデックスの昇順に配置されます。 ある 1 .

2)。 主対角線の上の行列式のスペースには、指数の増加順に特性方程式の係数が入力されます。

3)。 主対角線の下の行列式のスペースには、特性方程式の係数がインデックスの降順で埋められます。

4)。 行列式内で、必要以上のインデックスを持つ係数が出現する場所 n以下 ゼロ、ゼロで埋め尽くされる

したがって、主な Hurwitz 行列式は次の形式になります。

A=
>0

自走砲は次の場合に安定します。

1)。 特性方程式のすべての係数はゼロより大きい ( 0!)

,
, ….

2)。 主な Hurwitz 行列式とそのすべての対角マイナー行列 > 0。

,
,
, ….

例を見てみましょう。

1.

1.

2.

2 次 ACS の安定性の必要十分条件は、特性方程式の係数が正であることです。

1.
i=0…3

2.

3 次システムの安定性のための必要十分条件は、係数と内部項の積が正であることです。
極端な項の積以上のものがあるはずです
特性方程式。

,

,
,

ラウスの代数基準もあります。 これは同じ Hurwitz 基準ですが、安定性を判断するためのプログラムを作成するために使用しやすいように整理されています。

3 次系の Vyshnegradsky 安定性基準。

ヴィシュネグラツキー I.A. いわゆるヴィシュネグラドスキーパラメータ平面上に安定性境界を描くことを提案しました。

3次の特性方程式を考えてみましょう。

置換を使用して変換しましょう。

すると、次のようになります。

あ 1 そしてあ 2 はヴィシュネグラドスキー パラメータ (無次元量) と呼ばれ、その平面内に安定性境界が構築されます。

Hurwitz の安定性基準を変換された方程式に適用してみましょう

または あ 1 あ 2 > 1

安定の限界
.

ここから
- 安定境界における方程式

特性方程式の係数から次のように決定します。 あ 1 そして あ 2 。 点が双曲線よりも下にある場合、自走砲は安定しており、点がより高い場合、自走砲は不安定です。

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講義第4回

自走砲の安定性

外乱が除去された後にシステムが元の状態に戻る性質を安定性と呼びます。

意味。

曲線 1 と 2 は安定したシステムを特徴付け、曲線 3 と 4 は不安定なシステムを特徴付けます。ε

安定性の境界にあるシステム 5 と 6 5 - 中立システム、6 - 振動安定性の限界。

演算子形式の ACS の微分方程式を次の形式にします。

したがって、微分方程式 (システムの運動) の解は 2 つの部分で構成されます。 入力アクションと同種の強制移動。

複数のルートがない場合、C私 - 初期条件から決定される定数積分、

 1 、  2 …、  n 特性方程式の根

特性の根の位置

複素平面上の系の方程式

特性方程式の根は外乱の種類にも依存しません。

初期条件 a は係数 a によってのみ決定されます。 0 、 a 1 、 a 2 、…、 a n 、つまりシステムのパラメータと構造です。

1 根の実数、ゼロより大きい。

2 根の実数、ゼロ未満。

3 根はゼロです。

4-2 つのゼロ根。

5-実部が次の 2 つの複素共役根

ポジティブ;

6 - 2 つの複素共役根、その実数部は負です。

7-2 の虚数共役根。

安定性分析方法:

1. 直接 (微分方程式を解くことに基づく);
2. 間接的（安定性基準）。

A.M.の定理 リャプノワ。

定理1.

定理2.

ノート：

1. 特性方程式の根の中に 2 つ以上のゼロ根がある場合、システムは不安定です。
2. 1 つの根がゼロで、他の根がすべて左半平面内にある場合、システムは中立です。
3. 2 つの根が虚数共役で、残りがすべて左半平面内にある場合、システムは安定性の振動境界上にあります。

ACS の安定性基準。

安定性基準は、特性方程式の根を計算せずにシステムの安定性を決定できるようにする規則です。

1877年 ラウスがインストールされた:

1. フルヴィッツの安定性基準

この基準は 1895 年に開発されました。

閉じたシステムの特性方程式を定義しましょう。方程式を次の形式に縮小します。 0 >0。

次のルールに従って主要な Hurwitz 行列式を作成しましょう。

主対角線に沿って、方程式の係数が最後から 2 番目から順に書き込まれます。対角線から上の列にはインデックスが増加する係数が入り、対角線から下の列にはインデックスが減少する係数が入ります。 方程式に係数が存在せず、0 未満以上のインデックスを持つ係数の代わりに使用される場合 n ゼロを書き込みます。

主要なフルヴィッツ行列式の対角マイナー行列、または最も単純な行列式を強調してみましょう。

基準の策定。

2 次以上のシステムの場合、特性方程式のすべての係数が正であることに加えて、次の不等式も満たさなければなりません。

1. 3 次システムの場合:
2. 4 次システムの場合:
3. 5 次システムの場合:

1. 6 次システムの場合:

例。 Hurwitz に従って、システムの安定性を研究するための特性方程式が与えられます。

安定したシステムには必要であり、

2. ラウス基準

ラウス基準は、高次システムの安定性を研究するために使用されます。

基準の定式化:

ラウンドテーブル。

表に記入するためのアルゴリズム: 1 行目と 2 行目には、偶数と奇数のインデックスを持つ方程式の係数が含まれています。 残りの行の要素は、次のルールに従って計算されます。

この基準の利点: あらゆる次数のシステムの安定性を研究できることです。

2. ナイキスト安定性基準

議論の原則

頻度主義的手法は議論の原則に基づいています。

次の形式の多項式のプロパティを分析してみましょう。

どこでi - 方程式の根

複素平面上では、各ルートは明確に定義された点に対応します。 幾何学的には、すべての根が 原点から点まで描かれたベクトルとして表すことができます 私: |  | - ベクトルの長さ、引数 - ベクトルと x 軸の正の方向の間の角度。 D(p) をフーリエ空間にマッピングしてみましょう。j は次のとおりです。 -  私 - 基本ベクトル。

基本ベクトルの端は虚軸上にあります。

ベクトルの大きさと引数（位相）

ベクトルの反時計回りの回転方向が正とみなされます。 それから着替えるときは から各要素ベクトル ( j  -  i ) 角度 + だけ回転します もしも  私が 左半平面にあります。

D ( )=0 が m であるとします。 右半面に根があり、 n - m 左側に根があり、その後増加します ベクトルの引数を変更するために D(j ) (回転角 D(j )、要素ベクトルの引数の変化の合計に等しい) は次のようになります。

議論の原則:

ナイキスト基準は、ACS の開回路の周波数特性に基づいています。これは、開回路の周波数特性のタイプを使用して閉システムの安定性を判断できるためです。

ナイキスト基準は、次の理由からエンジニアリングの実践で広く使用されています。

1. 閉状態のシステムの安定性は、開回路の周波数伝達関数によって研究されます。この関数は、ほとんどの場合、単純な要素で構成されます。 係数はシステムの実際のパラメータであり、安定条件から係数を選択できます。
2. 安定性を検討するには、システムの最も複雑な要素 (制御オブジェクト、実行本体) の実験的に得られた周波数特性を使用でき、得られる結果の精度が向上します。
3. 安定性は、構造が簡単な LFC を使用して研究できます。
4. 安定余裕を決定するのに便利です。

1. システムはオープン状態で安定します

補助機能を導入して置き換えてみましょう p  j  、すると

引数の原則に従って、引数 D(j ) と 0 における D з (j  )<  <  等しい それならそれがホドグラフです W 1 (j  ) 原点をまたいではいけません。

分析と計算を簡素化するために、動径ベクトルの原点を座標の原点から点 (-1, j 0)、補助関数の代わりに W 1 (j  ) 開ループシステムの AFC を使用します W (j  )。

基準No.1の策定

例。

ポイントの左側の AFC の正と負の遷移の数の差に注意してください (-1、 j 0) はゼロに等しい。

2. 開いた状態で虚軸上に極を持つ系

AFC システムの安定性を分析するために、AFC システムに無限に大きな半径の円が追加されます。 ゼロ極で正の実数半軸に対して反時計回りに 0、純粋な虚数ルートの場合は、AFC の不連続点で時計回りに半円です。

基準2の策定

1. 断続開回路システム

より一般的なケース - 開ループ システムの伝達関数の分母には、右半平面にある根が含まれます。 開ループ システムで不安定性が現れるのは、次の 2 つの理由によって引き起こされます。

1. 不安定なリンクの存在の結果。
2. 正または負のフィードバックによってカバーされるリンクの安定性の損失の結果。

バツ 理論的には、ローカル フィードバック回路に不安定性がある場合でも閉状態のシステム全体が安定する可能性がありますが、実際にはそのようなケースは望ましくないため、安定したローカル フィードバックのみを使用するようにして回避する必要があります。 これは、望ましくない特性の存在、特にシステムに通常存在する非線形性を考慮すると条件安定性の出現によって説明され、モードによっては安定性の喪失や自己発振の出現につながる可能性があります。 したがって、原則として、システムを計算する際には、メイン フィードバックが開いているときに安定するようなローカル フィードバックが選択されます。.

特性多項式を D(p ) 開ループシステムにはメートル 正の実部を持つ根。

それから

交換補助機能 p  j  安定した閉鎖系の議論の原則によれば、次のような議論の変更が必要です。

基準3の策定

Ya.Z.による配合 ツィプキナ

LFC のナイキスト基準

注: 非静的システムの LFC の位相特性は、単調セクション + によって補完されます。 0 で  /2。

絶対に持続可能彼らは、開回路ゲインが減少しても安定を保つシステムを、そうでない場合は条件付きで安定しているシステムと呼びます。

パラメータを変更することで安定化できるシステムを次のように呼びます。構造的に安定した、そうでない場合は構造的に不安定です。

安定余裕

通常の動作では、ACS は安定境界から削除され、十分な安定マージンが確保されている必要があります。 これが必要になるのは次の理由によるものです。

1. ACS 要素の方程式は、原則として理想化されており、コンパイル時に二次要素は考慮されません。
2. 方程式を線形化すると、近似誤差がさらに増加し​​ます。
3. 要素のパラメータは多少の誤差を伴って決定されます。
4. 同じタイプの要素のパラメータには技術的なばらつきがあります。
5. 動作中に、経年変化により要素のパラメータが変化します。

工学計算の実践において、最も広く使用されている安定余裕の決定は、座標 (-1, j 0)、次の 2 つの指標によって評価されます: 位相安定余裕 および弾性率（振幅）での安定余裕 H.

ATS が少なくともとH 、その開回路の AFC は、安定性基準が満たされている場合、図の影付きのリングの部分に入らないはずです。 1、ここで H 関係によって決まります

条件付きで安定したシステムの LFC によって安定性が決まる場合、少なくとも そして h は次のように必要です。

a) h  L  - h の場合 位相周波数特性は不等式を満たしましたθ > -180  +  または θ< -180  -  、つまり 図の斜線領域 1 には入りませんでした。 2;

b) -180  +   θ  -180  -  の場合 振幅周波数特性は不等式を満たしました L< - h или L >h 、つまり 図 2 の 2" と 2" の斜線領域には入りませんでした。

絶対に安定したシステムの場合、安定余裕 と h は図のように決定されます。 3:

1. 位相余裕

1. モジュロマージン h =- L (ω -π)、ここで ω -π θ=-180となる周波数˚ .

安定余裕の必要な値は、ATS のクラスと規制の品質の要件によって異なります。 おおよそそうあるべきです =30  60  および h =6  20dB。

最小許容安定余裕は振幅で 6 dB 以上でなければならず (つまり、開ループ システムの伝達係数は臨界値の半分である)、位相では 25 dB 以上でなければなりません。 30  。

純粋な遅延リンクを備えたシステムの安定性

開ループ システムの AFC が点 (-1、 j 0) の場合、システムは安定しつつあります。

伝達係数が 1 未満の慣性のないリンクが回路に含まれている場合、純粋な遅延のあるシステムを安定させることができます。他のタイプの補正デバイスも可能です。

構造的に安定したシステムと構造的に不安定なシステム

システムの品質 (安定性の観点から) を変更する 1 つの方法は、開ループ システムの伝達係数を変更することです。

k L ( ) 上がったり下がったりします。 もし k が増加すると、L ( ) が増加し、 avg 増加しますが、システムは不安定なままです。 もし k 減少すると、システムを安定させることができます。 これはシステムを修正する方法の 1 つです。

システムパラメータを変更することで安定化できるシステムは、「構造的に持続可能」と呼ばれます。

これらのシステムには、重要な開ループ伝達率があります。 Kクリティカル。 これは、システムが安定しつつあるときの伝達係数です。

構造的に不安定なシステムがあります。これらはシステムのパラメータを変更しても安定させることができないシステムですが、安定させるためにはシステムの構造を変更する必要があります。

例。

3 つのケースを考えてみましょう。

1. させて

それから

システムの動作が安定しているか確認してみましょう。

Δ = a 3 Δ 2 >0。

k rs.cr を決定するには。 ゼロにしましょう 2 .

それから

いつ いつ

検討中のシステムは、リンクのパラメータを変更することで安定化できるため、構造的に安定しています。

1. 最初のケースと同じにしておきます。

これで、制御チャネルに静的エラーはなくなりました。

フルヴィッツの安定条件:

 2 にしましょう =0、システムが不安定な場合。

1 次非統計性を備えたこのシステムは構造的に安定しています。

1. させて

システムは常に不安定です。 このシステムは構造的に不安定です。

自走砲の安定性

伝達関数の零点と極

伝達関数の分子の多項式の根は次のように呼ばれます。 ゼロ、分母の多項式の根は次のようになります。 極伝達関数。 同時に極 特性方程式の根、 または 特性番号.

伝達関数の分子と分母の根が左半平面にある場合 (分子と分母の根が上半平面にある場合)、リンクは次のように呼ばれます。 最小位相.

根元の左半面に対応 R根の上半面 (図 2.2.1) は、次の事実によって説明されます。 、つまり ベクトルは、ベクトルを時計回りにある角度だけ回転させることによって取得されます。 その結果、左半平面のベクトルはすべて上半平面のベクトルになります。

非最小フェーズと不安定なリンク

上で検討した位置および差別化タイプのリンクは、安定リンクまたはセルフレベリング リンクに属します。

下 セルフレベリング入力値の変化や妨害的な影響が限定された状態で、新しい定常状態の値に自発的に到達するリンクの能力を指します。 通常、セルフアライメントという用語は、規制の対象となるリンクに使用されます。

入力値の限定的な変化によってリンクが新しい定常状態に到達せず、出力値が時間の経過とともに無制限に増加する傾向があるリンクがあります。 これらには、たとえば、統合タイプのリンクが含まれます。

このプロセスがさらに顕著になるリンクがあります。 これは、特性方程式に正の実数部を持つ正の実数根または複素数根が存在する (伝達関数の分母がゼロに等しい) ことによって説明され、その結果、リンクは次のように分類されます。 不安定なリンク.

たとえば、微分方程式の場合、 、伝達関数があります 正の実根を持つ特性方程式。 このリンクは、伝達関数を持つ慣性リンクと同じ振幅周波数特性を持ちます。 ただし、これらのリンクの位相周波数特性は同じです。 慣性リンクについては、 。 伝達関数を備えたリンクの場合、

それらの。 絶対値が大きくなります。

この点に関して、不安定なリンクは次のグループに属します。 最小位相リンクではない.

非最小位相リンクには、伝達関数 (微分方程式の右側に相当) の分子に正の実数部を持つ正の実数根または複素数根を持つ安定したリンクも含まれます。

たとえば、伝達関数を使用したリンク 非最小位相リンクのグループに属します。 周波数伝達関数のモジュールは、伝達関数を持つリンクの周波数伝達関数のモジュールと一致します。 。 ただし、最初のリンクの位相シフトの絶対値は大きくなります。

最小位相リンクは、同じ振幅周波数特性を持つ対応するリンクと比較して位相シフトが小さくなります。

彼らは言う、システムは 安定したまたは、外乱を除去した後に元の状態に戻るセルフレベリング機能があります。

自由状態のシステムの運動は同次微分方程式で記述されるため、安定したシステムの数学的定義は次のように定式化できます。

条件が満たされる場合、システムは漸近的に安定していると呼ばれます (2.9.1)

一般解 (1.2.10) の分析から、安定性のための必要十分条件は次のようになります。

システムの安定性のためには、特性方程式のすべての根が厳密に負の実部を持つことが必要かつ十分です。 代表者 私 , 私 = 1…n. (2.9.2)

明確にするために、特性方程式の根は通常、図 2.9.1a の複素平面上に示されます。 必要十分なことをするとき

図8.12。 ルートプレーン

特性

方程式 あ(p) = 0

OU - 安定領域

3 番目の条件 (2.9.2) は、すべての根が虚軸の左側にあることです。つまり、 持続可能性の分野で。

したがって、条件(2.9.2)は次のように定式化できる。

安定性のためには、特性方程式のすべての根が左半平面に位置することが必要かつ十分です。

安定性の厳密な一般定義、非線形システムの安定性を研究する方法、および線形化システムの安定性に関する結論を元の非線形システムに拡張する可能性は、ロシアの科学者 A.M. リャプノフによって与えられました。

実際には、安定性は特性方程式の根を直接見つけることなく、いわゆる安定性基準を使用して間接的に決定されることがよくあります。 これらには、代数基準、Stodola 条件、Hurwitz および Mikhailov 基準、ナイキスト周波数基準が含まれます。 この場合、ナイキスト基準を使用すると、AFC または開ループ システムの対数特性によって閉ループ システムの安定性を判断できます。

ストドラの状態

この条件は、19 世紀末にスロバキアの数学者 Stodola によって得られました。 これは、システムの安定性の条件を理解するための方法論的な観点からすると興味深いものです。

システムの特性方程式を次の形式で書きましょう。

D(p) = a 0 p n +α 1 p n- 1 +…a n = 0. (2.9.3)

Stodol 氏によると、安定性のためには次のことが必要ですが、十分ではありません。 ある 0 > 0 他のすべての係数は厳密に正でした。つまり、

ある 1 > 0 ,..., ある n > 0.

必要性次のように形成できます:

システムが安定している場合、特性方程式の根はすべて になります。つまり、 左翼です。

必要性の証明は初歩的なものです。 ベズーの定理によれば、特性多項式は次のように表すことができます。

を実数とし、 – 複素共役根。 それから

これは、実係数を持つ多項式の場合、複素根がペア共役であることを示しています。 さらに、 の場合、正の係数を持つ多項式の積が得られ、正の係数のみを持つ多項式が得られます。

失敗ストドラの条件は全てを保証するものではありません。 これは、次数の多項式を考慮することによって特定の例で確認できます。

この場合、Stodola 条件は必要かつ十分であることに注意してください。 から続きます。 もし 、それから、それで 。

というのは、二次方程式の根の公式の分析から、条件の十分性もわかります。

ストドラの状態から 2 つの重要な結果が生じます。

1. 条件が満たされ、システムが不安定な場合、移行プロセスは振動的な性質を持ちます。 これは、正の係数を持つ方程式は正の実根を持つことができないという事実からわかります。 定義上、ルートは特徴的な多項式を消滅させる数値です。 正の数は、正の係数を持つ多項式、つまりその根を消すことはできません。

2. 特性多項式の係数の正の性 (それぞれ、Stodola 条件の充足) は、負のフィードバックの場合に保証されます。 閉ループに沿った奇数回の信号反転の場合。 この場合、特性多項式。 そうしないと、同様の係数を持ち込んだ後、一部の係数が負になる可能性があります。

否定的なフィードバックは、Stodola 条件が満たされない可能性を排除するものではないことに注意してください。 たとえば、 if 、 a 、 then が 1 つの負のフィードバックの場合です。 この多項式では、係数 at はゼロに等しくなります。 負の係数はありませんが、不等式を厳密に満たす必要があるため、この条件は満たされていません。

これは次の例で確認されます。

例 2.9.1. Stodola 条件を図の回路に適用します。 2.9.2.

開ループユニット負帰還システムの伝達関数は次の値に等しく、閉ループシステムの特性方程式は分子と分母の和です。

D(p) = p 2 +k 1 k 2 = 0.

持っているメンバーがいないので、 R第一級（ ある 1 = 0) の場合、Stodola 条件は満たされず、システムは不安定になります。 パラメータ値がないため、このシステムは構造的に不安定です k 1と k 2は持続可能ではない。

システムを安定させるには、追加の接続または修正リンクを導入する必要があります。 システムの構造を変える。 これを例を挙げて説明しましょう。 図では、 2.9.3. 直接チェーン リンクは、伝達関数 および と直列に接続されたリンクによって表されます。 最初の紹介と並行して、追加の接続があります。

P
ユニット負接続上のシステム開ループの伝達関数と閉ループ システムの特性方程式は、それぞれ次のようになります。

,

これで、Stodola 条件はすべて満たされました。 。 2 次方程式の場合、これは必要であるだけでなく十分であるため、システムは正のゲイン係数に対して安定しています。

図 2.9.4 では、シーケンシャル強制リンクが回路に導入されています。 この場合の開回路単一マイナス接続システムの伝達関数は次のようになります。 閉じたシステムの特性方程式は次のようになります。

前のものと同様に、システムは任意の正の に対して安定しています。

Rouss-Hurwitz の安定性基準

数学者のラウス (イギリス) とフルヴィッツ (スイス) は、ほぼ同時にこの基準を開発しました。 違いは計算アルゴリズムにありました。 Hurwitz の定式化における基準について学びましょう。

Hurwitz 氏によると、安定性のためには、次のことが必要かつ十分です。 ある 0 > 0 ハーヴィッツ行列式  =  nおよびその主要なマイナーすべて  1 ,  2 ,...,  n -1 厳密にポジティブでした、つまり

(2.9.4)

係数が主対角線に沿って配置されているため、Hurwitz 行列式の構造は覚えやすいです。 あ 1 ,… 、A n、行には 1 で区切られた係数が含まれており、係数が使い果たされた場合、空のスペースはゼロで埋められます。

例2.9.2. Hurwitz の安定性を研究するには、ユニット負帰還を備えたシステムを使用します。その直接チェーンには 3 つの慣性リンクが含まれており、したがって、開ループ システムの伝達関数は次の形式になります (2.9.5)。

閉じたシステムの特性方程式を分子と分母の和として書きましょう (2.9.5):

したがって、

Hurwitz 行列式とその副行列式は次の形式になります。

考慮して ある 0 > 0、Hurwitz 行列式とマイナー (2.9.6) の厳密な肯定性は、Stodola 条件を暗示し、さらに、 ある 1 ある 2 - ある 0 ある 3 > 0、係数の値を代入すると次のようになります。

(T 1 T 2 +T 1 T 3 +T 2 T 3 )(T 1 +T 2 +T 3 ) > T 1 T 2 T 3 (1+ k) . (2.9.7)

このことから、増加するにつれて、 k不等式 (2.9.7) が満たされなくなるため、システムは安定から不安定に変わる可能性があります。

エラーによるシステムの伝達関数は次のようになります。

オリジナルの最終値に関する定理によれば、単一ステップ信号を処理する際の定常状態誤差は 1/(1+ k）。 その結果、安定性と精度の間に矛盾が生じることが明らかになります。 誤差を減らすには、増やす必要があります k、しかしこれは安定性の喪失につながります。

議論の原則とミハイロフの安定基準

ミハイロフ基準は、いわゆる議論の原則に基づいています。

閉ループ システムの特性多項式を考えてみましょう。ベズーの定理によれば、これは次の形式で表すことができます。

D(p) = a 0 p n +α 1 p n- 1 +…+a n =a 0 (p - p 1 )…(p - p n ).

置き換えてみましょう p = j

D(j ) = a 0 (j ) n +α 1 (j ) n- 1 +…+a n =a 0 (j -p 1 )…(j -p n ) = X( )+jY( ).

特定の値については  パラメトリック方程式によって与えられる複素平面上に点があります

E
変化する場合  -からの範囲でミハイロフ曲線、すなわちホドグラフが描かれます。 ベクトルの回転を勉強してみよう D(j ) それが変わるとき  - から  まで、つまりベクトル引数の増分を求めます (引数はベクトルの積の合計に等しい)。 .

で  = -  差分ベクトル、その始まりは点にあります Rｉであり、仮想軸上の端は鉛直下向きである。 成長するにつれて  ベクトルの端が虚軸に沿ってスライドします。  =  ベクトルは垂直上向きになります。 根が残っている場合 (図 2.9.19a)、  引数 = + , そして根が正しければ、  引数 = - .

特性方程式が メートル右根（それぞれ n - m左)、その後 .

これが議論の原則である。 実部を選択する場合 バツ（ ) そして想像上の Y( ) 私たちが帰したのは バツ（ ) を含むすべての用語 j 均等な程度に、そして Y( ) - 奇妙な程度に。 したがって、ミハイロフ曲線は実軸 ( バツ（ ) - 平、 Y( ) – 奇数関数)。 その結果、あなたが変わると、  0 から + までの場合、引数の増分は半分になります。 この点に関しては、最後に、 議論の原則次のように定式化されます . (2.9.29)

システムが安定している場合、つまり メートル= 0 の場合、ミハイロフ安定基準が得られます。

ミハイロフによれば、安定性のためには、次のことが必要かつ十分です。

, (2.9.30)

つまり、ミハイロフ曲線は連続して通過する必要があります。 n

明らかに、ミハイロフ基準を適用するために、曲線を正確かつ詳細に構築する必要はありません。 座標の原点をどのように周回するか、通過順序に違反していないかを確立することが重要です n反時計回りに四分の一ずつ。

例 2.9.6. ミハイロフ基準を適用して、図 2.9.20 に示すシステムの安定性を確認します。

閉ループシステムの特性多項式 k 1 k 2 > 0 は安定したシステムに対応するため、Stodola 条件が満たされます。 n = 1 で十分です。 ルートを直接見つけることができます R 1 = - k 1 k 2 必要かつ十分な安定条件が満たされていることを確認します。 したがって、ミハイロフ基準の適用は例示的なものです。 信じる p= j , 我々が得る

D(j ) = バツ( )+ jY( ),

どこ バツ（ ) = ; Y( ) =  . (2.9.31)

パラメトリック方程式 (2.9.31) を使用して、ミハイロフのホドグラフが図 2.9.21 に構築されました。  0 ～  ベクトル D(j ) +で反時計回りに回転  /2、つまり システムは安定しています。

ナイキスト安定性基準

に すでに述べたように、ナイキスト基準は安定性基準の中で特別な位置を占めています。 これは、開ループ システムの周波数特性に基づいて閉ループ システムの安定性を判断できる周波数基準です。 この場合、単一の負帰還回路ではシステムがオープンであると仮定します(図2.9.22)。

ナイキスト基準の利点の 1 つは、開ループ システムの周波数特性を実験的に取得できることです。

基準の導出は議論の原則の使用に基づいています。 開ループ システム (図 2.9.22 の単一の負帰還回路を介した) の伝達関数は次のようになります。

考えてみましょう。 (2.9.32)

帯域幅が限られた実際のシステムの場合、開ループ伝達関数の分母の次数 P分子のべき乗より大きい、つまり n> 。 したがって、開ループシステムと閉ループシステムの特性多項式の次数は同じであり、等しい n。 開ループ システムの AFC から (2.9.32) による AFC への移行は、実数部が 1 増加することを意味します。 図 2.9.23 に示すように、座標の原点を点 (-1, 0) に移動します。

ここで、閉ループ システムが安定しており、開ループ システムの特性方程式が次のようになっていると仮定します。 A(p) = 0 は持っています メートル正しい根。 次に、引数原理 (2.9.29) に従って、ナイキストによる閉ループ システムの安定性のための必要十分条件を取得します。

それらの。 閉ループシステムベクトルの安定性のため W 1 (j ) しなければならない メートル/2 反時計回りに完全に回転します。これはベクトルを回転するのと同じです Wパズ (j ) 臨界点 (-1.0) を基準にして。

実際には、原則として、開ループ システムは安定しています。 メートル= 0。この場合、引数の増分はゼロです。 開ループ システムの AFC は臨界点 (-1.0) をカバーすべきではありません。

LAC および LFC のナイキスト基準

実際には、開ループ システムの対数特性がよく使用されます。 したがって、ナイキスト基準を定式化して、それに基づいて閉ループ システムの安定性を判断することをお勧めします。 臨界点（-1.0）に対するAFCの回転数とカバーの有無

実軸の区間 (-,-1) の正負の交点の数に依存し、したがって領域内の位相特性による -180° ラインの交点に依存します。 L( )  0 。 図 2.9.24 に AFC を示し、実軸の線分 (-,-1) の交点の符号を示します。

公正なルール

ここで、 は正と負の交差の数です。

図 2.9.24c の AFC に基づいて、図 2.9.25 に示すように LAC と LFC が構築され、LFC 上に正と負の交点がマークされます。 セグメント (-,-1) では、モジュールは 1 より大きく、これは以下に対応します。 L( ) > 0. したがって、ナイキスト基準は次のようになります。

D 閉ループ システムの安定性のために、領域における開ループ システムの LFC L( ) > 0、-180° ラインの正の交点が負の交点よりも多くなるはずです。

開ループ システムが安定している場合、領域内の位相特性による -180° ラインの正と負の交差の数 L( ) > 閉ループ システムの安定性の 0 は同じであるか、交差がない必要があります。

非静的システムのナイキスト基準

特に非静的な注文システムの場合を考慮する必要があります。 r開ループシステム伝達関数は次と等しい

.

この場合 0 では、つまり、開ループ システムの振幅位相特性 (APC) は無限大になります。 以前は、変更時に AFH を構築していました  - から  まで、それは連続曲線であり、次で閉じられました。  =  0。現在は次の時間に閉店します。  = 0 ですが、無限遠で、実軸のどちら側にあるのかは明らかではありません (無限遠では左側でしょうか、それとも右側でしょうか?)。

図 2.9.19c は、この場合、差分ベクトルの引数の増分の計算に不確実性があることを示しています。 常に虚軸に沿って配置されるようになりました ( j ）。 ゼロと交差する場合にのみ方向が変わります (この場合、ベクトルは次のように反時計回りに回転します)  または -? で時計回り)、明確にするために、従来通り、ルートは左にあり、原点の丸めは反時計回りに極小半径の円弧に沿って発生すると仮定します (+ で回転)  ）。 それに伴い近隣では  = 0 は次の形式で表されます。

,

どこ  = +  それが変わるとき  – 0 から + 0 まで。最後の式は、このような不確実性の開示により、AFC が変化を伴って変化することを示しています。  角度ごとに - 0 から + 0 まで - 時計回りに。 対応して構築された AFC は、  = 0 には、角度 、つまり正の実数半軸に対して反時計回りの半径無限大の円弧が追加されます。

弾性率と位相による安定余裕

システムパラメータが変化したときの安定性を保証するために、次のように決定される弾性率と位相に安定性余裕が導入されます。

安定余裕モジュロは、システムが安定した状態を維持する (安定限界内にある) ために、ゲインを何倍または何デシベル増減できるかを示します。 それは min( として定義されます L 3 , L 4) 図2.9.25の。 確かに、LFC を変更しない場合、LFC が上昇すると、 L 4 カットオフ周波数  cpがポイントに移動します  4 になり、システムは安定の境界に達します。 LAX を に下げると、 L 3、その後、カットオフ周波数は左にシフトし、  3 とシステムも安定境界上にあります。 LAX をさらに下げると、この地域では L( ) > 0 は、LFC ライン -180° の負の交点のみが残ります。つまり、 ナイキスト基準によれば、システムは不安定になります。

位相安定余裕は、システムが安定した状態を維持する (安定境界上にある) ために、一定のゲインで位相シフトをどの程度増加させることが許容されるかを示します。 補足として定義されています  ( cf) 最大 -180°。

練習中 L  12 ～ 20 dB、   20 ～ 30°。