例を使用して線形方程式を解きます。 2 つの変数を含む方程式を解く 方程式を解く 2 4

未知数が 1 つある方程式。括弧を開けて同様の項を並べると、次の形式になります。

ax + b = 0、ここで a と b は任意の数です。 一次方程式 1 つは不明です。 今日は、これらの線形方程式を解く方法を考えてみましょう。

たとえば、すべての方程式は次のようになります。

2x + 3= 7 – 0.5x; 0.3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - 線形。

方程式を真の等式に変える未知の値は と呼ばれます。 決断 または 方程式の根 .

たとえば、方程式 3x + 7 = 13 で未知の x の代わりに数値 2 を代入すると、正しい等式 3 2 +7 = 13 が得られます。これは、値 x = 2 が解または根であることを意味します。方程式の。

また、値 x = 3 は、3 2 +7 ≠ 13 であるため、方程式 3x + 7 = 13 を真の等式にはしません。これは、値 x = 3 が方程式の解または根ではないことを意味します。

線形方程式を解くと、次の形式の方程式を解くことになります。

ax + b = 0。

自由項を方程式の左側から右側に移動し、b の前の符号を反対に変更すると、次のようになります。

a ≠ 0 の場合、x = ‒ b/a .

例1. 方程式 3x + 2 =11 を解きます。

方程式の左側の 2 を右に移動し、2 の前の符号を反対に変更すると、次のようになります。
3x = 11 – 2。

それでは引き算をしてみましょう
3x = 9。

x を見つけるには、積を既知の係数で割る必要があります。
×＝９：３。

これは、値 x = 3 が方程式の解または根であることを意味します。

答え: x = 3.

a = 0 かつ b = 0 の場合とすると、方程式 0x = 0 が得られます。この方程式には、任意の数値に 0 を掛けると 0 が得られますが、b も 0 に等しいため、無限に多くの解があります。この方程式の解は、任意の数値になります。

例2。方程式 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1 を解きます。

括弧を展開してみましょう。
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x – 1。

5x – 3x – 2x = – 12 – 1 + 15 – 2。

以下に類似した用語をいくつか示します。
0x = 0。

答え: x - 任意の数字.

a = 0 かつ b ≠ 0 の場合そうすると、方程式 0x = - b が得られます。 任意の数値に 0 を掛けると 0 になりますが、b ≠ 0 であるため、この方程式には解がありません。

例 3.方程式 x + 8 = x + 5 を解きます。

未知を含む用語を左側に、自由用語を右側にグループ化してみましょう。
x – x = 5 – 8。

以下に類似した用語をいくつか示します。
0х = ‒ 3.

答え: 解決策はありません。

の上 図1 線形方程式を解くための図を示します

1 つの変数を使用して方程式を解くための一般的なスキームを作成してみましょう。 例 4 の解決策を考えてみましょう。

例4. 方程式を解く必要があるとします。

1) 方程式のすべての項に、分母の最小公倍数 (12 に等しい) を掛けます。

2) 還元後、次のようになります。
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) – 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)

3) 不明な用語と自由な用語を含む用語を区切るには、括弧を開けます。
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86。

4) 未知の部分を含む用語を 1 つの部分にグループ化し、もう 1 つの自由な用語をグループ化しましょう。
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12。

5) 同様の用語を提示してみましょう。
- 22x = - 154。

6) – 22 で割ると、次のようになります。
x = 7。

ご覧のとおり、方程式の根は 7 です。

一般的にはそのような 方程式は次のスキームを使用して解くことができます:

a) 方程式を整数形式にします。

b) ブラケットを開きます。

c) 方程式の一方の部分に未知数を含む項をグループ化し、もう一方の部分に自由項をグループ化します。

d) 同様のメンバーを連れてくる。

e) 同様の項を導いた後に得られる、aх = b の形式の方程式を解きます。

ただし、このスキームはすべての方程式に必要なわけではありません。 多くの単純な方程式を解くときは、最初の方程式からではなく、2 番目の方程式から始める必要があります ( 例。 2）、 三番目 （ 例。 13)、例 5 のように、第 5 段階からでも。

例5.方程式 2x = 1/4 を解きます。

未知の x = 1/4: 2 を求めます。
x = 1/8 .

主要な州試験で出題されるいくつかの一次方程式を解いてみましょう。

例6。方程式 2 (x + 3) = 5 – 6x を解きます。

2x + 6 = 5 – 6x

2x + 6x = 5 – 6

答え: - 0.125

例7。方程式 – 6 (5 – 3x) = 8x – 7 を解きます。

– 30 + 18x = 8x – 7

18x – 8x = – 7 +30

答え: 2.3

例8。 方程式を解く

3(3x – 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x – 28x = 24 + 12

例9。 f (x + 2) = 3 7 の場合、f(6) を求めます。

解決

f(6) を見つける必要があり、f (x + 2) はわかっているので、
したがって、x + 2 = 6 となります。

一次方程式 x + 2 = 6 を解きます。
x = 6 – 2、x = 4 となります。

x = 4 の場合、
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

答え：27。

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7年生の算数コースで初めて出会う 2 つの変数を含む方程式、しかし、それらは 2 つの未知数を含む方程式系のコンテキストでのみ研究されます。 だからこそ、方程式の係数に特定の条件を導入して係数を制限する一連の問題が見えなくなってしまうのです。 さらに、「自然数または整数で方程式を解く」などの問題を解く方法も無視されますが、この種の問題は統一国家試験の資料や入学試験で頻繁に見られます。

どの方程式を 2 変数の方程式と呼びますか?

したがって、たとえば、方程式 5x + 2y = 10、x 2 + y 2 = 20、または xy = 12 は 2 変数の方程式です。

方程式 2x – y = 1 を考えてみましょう。これは、x = 2 および y = 3 のときに真となるため、この変数値のペアは問題の方程式の解になります。

したがって、2 つの変数を含む方程式の解は、この方程式を真の数値的等式に変える変数の値である順序付きペア (x; y) のセットになります。

2 つの未知数を含む方程式では次のことが可能です。

A) 解決策が 1 つあります。たとえば、方程式 x 2 + 5y 2 = 0 には一意の解 (0; 0) があります。

b) 複数の解決策があります。たとえば、(5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 には 4 つの解があります: (5; 2)、(-5; 2)、(5; -2)、(-5; - 2);

V) 解決策がありません。たとえば、方程式 x 2 + y 2 + 1 = 0 には解がありません。

G) 無限に多くの解決策があります。たとえば、x + y = 3 です。この方程式の解は、合計が 3 に等しい数値になります。この方程式の解のセットは (k; 3 – k) の形式で記述できます。ここで、k は任意の実数です。番号。

2変数方程式を解く主な方法としては、因数分解式による方法、完全な正方形の分離、2次方程式の性質を利用した方法、限定式、推定方法などがあります。 方程式は通常、未知数を見つけるためのシステムを取得できる形式に変換されます。

因数分解

例1.

方程式を解きます: xy – 2 = 2x – y。

解決。

因数分解の目的で項をグループ化します。

(xy + y) – (2x + 2) = 0。各括弧から共通因数を取り出します。

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0。次のようになります。

y = 2、x – 任意の実数、または x = -1、y – 任意の実数。

したがって、 答えは、(x; 2), x € R および (-1; y), y € R の形式のすべてのペアです。

非負の数値とゼロの等価性

例2。

方程式を解きます: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y)。

解決。

グループ化:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0。これで、二乗差の公式を使用して各括弧を折りたたむことができます。

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0。

2 つの非負の式の合計は、3x – 2 = 0 および 2y – 3 = 0 の場合にのみゼロになります。

これは、x = 2/3 および y = 3/2 を意味します。

答え: (2/3; 3/2)。

推定方法

例 3.

方程式を解きます: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2。

解決。

各括弧内で完全な正方形を選択します。

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2。推定してみましょう 括弧内の式の意味。

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 および (y – 2) 2 + 2 ≥ 2 の場合、方程式の左辺は常に 2 以上になります。次の場合、等価性が可能です。

(x + 1) 2 + 1 = 1 および (y – 2) 2 + 2 = 2、つまり x = -1、y = 2 になります。

答え: (-1; 2)。

2 次の 2 つの変数を使用して方程式を解く別の方法を見てみましょう。 この方法は、方程式を次のように扱うことから構成されます。 ある変数に関して二乗する.

例4.

方程式を解きます: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0。

解決。

この方程式を x の二次方程式として解いてみましょう。 判別式を見つけてみましょう。

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . この方程式は、D = 0、つまり y = 4 の場合にのみ解を持ちます。y の値を元の方程式に代入すると、x = 3 であることがわかります。

答え: (3; 4)。

多くの場合、2 つの未知数を含む方程式で示されます。 変数の制限.

例5.

方程式を整数で解きます: x 2 + 5y 2 = 20x + 2。

解決。

方程式を x 2 = -5y 2 + 20x + 2 の形式に書き直してみましょう。得られた方程式の右側を 5 で割ると、余りが 2 になります。したがって、x 2 は 5 で割り切れません。ただし、a の 2 乗は5 で割り切れない数の余りは 1 または 4 になります。したがって、等価性は不可能であり、解はありません。

答え: 根がありません。

例6。

方程式を解きます: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3。

解決。

各括弧内の完全な四角形を強調表示しましょう。

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3。方程式の左辺は常に 3 以上です。|x| の場合、等しいことが可能です。 – 2 = 0、y + 3 = 0。したがって、x = ± 2、y = -3 となります。

答え: (2; -3) および (-2; -3)。

例7。

方程式を満たす負の整数のペア (x;y) ごとに
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33、合計 (x + y) を計算します。 回答には最小金額を記入してください。

解決。

完全な正方形を選択してみましょう。

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37。x と y は整数なので、それらの 2 乗も整数です。 1 + 36 を加算すると、2 つの整数の二乗和は 37 になります。したがって、次のようになります。

(x – y) 2 = 36 および (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 および (y + 2) 2 = 36。

これらの系を解き、x と y が負であることを考慮すると、(-7; -1)、(-9; -3)、(-7; -8)、(-9; -8) の解が見つかります。

答え: -17。

2 つの未知数を含む方程式を解くのが難しくても絶望しないでください。 少し練習すれば、どんな方程式も扱えるようになります。

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1. 代入法を使用して系を解きます。
2. システム方程式の項ごとの加算 (減算) によってシステムを解きます。

連立方程式を解くには 置換法による単純なアルゴリズムに従う必要があります。
1.急行します。 どの方程式からも 1 つの変数を表現します。
2. 代わりに。 結果の値を、表現された変数の代わりに別の方程式に代入します。
3. 結果として得られる方程式を 1 つの変数で解きます。 私たちはシステムの解決策を見つけます。

解決するには 学期ごとの加算（減算）方式次のことが必要です:
1. 同一の係数を作成する変数を選択します。
2. 方程式を加算または減算すると、1 つの変数を含む方程式が得られます。
3. 結果を解く 一次方程式。 私たちはシステムの解決策を見つけます。

このシステムの解は関数グラフの交点です。

例を使用してシステムの解決策を詳しく考えてみましょう。

例 #1:

代入法で解いてみましょう

2x+5y=1 (1 つの方程式)
x-10y=3 (2番目の式)

1.エクスプレス
2 番目の方程式には係数 1 の変数 x があることがわかります。これは、2 番目の方程式から変数 x を表現するのが最も簡単であることを意味します。
x=3+10y

2.表現した後、変数xの代わりに3+10yを最初の方程式に代入します。
2(3+10y)+5y=1

3. 結果として得られる方程式を 1 つの変数で解きます。
2(3+10y)+5y=1 (括弧内を開きます)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2

方程式系の解はグラフの交点です。交点は x と y で構成されるため、x と y を見つける必要があります。x を見つけて、それを表現した最初の点に y を代入します。
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

ポイントを最初に変数 x を書き、次に変数 y を書くのが通例です。
答え: (1; -0.2)

例2:

項ごとの加算（減算）法を使って解きましょう。

3x-2y=1 (1 つの方程式)
2x-3y=-10 (2番目の式)

1. 変数を選択します。たとえば、x を選択するとします。 最初の方程式では、変数 x の係数は 3、2 番目の方程式では 2 です。係数を同じにする必要があります。そのためには、方程式を乗算するか、任意の数で除算する権利があります。 最初の方程式に 2 を掛け、2 番目の方程式に 3 を掛けて、合計の係数は 6 になります。

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. 最初の方程式から 2 番目の方程式を引いて変数 x を取り除き、一次方程式を解きます。
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. x を見つけます。 見つかった y をいずれかの式、たとえば最初の式に代入します。
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

交点は x=4.6 になります。 y=6.4
答え: (4.6; 6.4)

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