삼각형, 평행사변형, 사다리꼴, 원의 면적에 대한 공식입니다. 면적을 계산하고 라벨을 붙이는 방법

기하학적 도형의 면적- 이 그림의 크기를 나타내는 기하학적 그림의 수치적 특성(이 그림의 닫힌 윤곽에 의해 제한되는 표면의 일부). 면적의 크기는 그 안에 포함된 평방 단위의 수로 표현됩니다.

삼각형 면적 공식

1. 측면과 높이에 따른 삼각형의 면적에 대한 공식
   삼각형의 면적삼각형의 한 변의 길이와 이 변에 그려진 고도의 길이의 곱의 절반과 같습니다.
   
2. 세 변과 외접원의 반지름을 기준으로 한 삼각형의 면적을 구하는 공식
   
3. 세 변과 내접원의 반지름을 기준으로 한 삼각형의 면적을 구하는 공식
   삼각형의 면적는 삼각형의 반둘레와 내접원의 반지름을 곱한 것과 같습니다.
   
여기서 S는 삼각형의 면적이고,
- 삼각형의 변의 길이,
- 삼각형의 높이,
- 측면 사이의 각도,
- 내접원의 반경,
R - 외접원의 반경,

정사각형 면적 공식

1. 변의 길이에 따른 정사각형의 면적을 구하는 공식
   광장 면적변의 길이의 제곱과 같습니다.
2. 대각선 길이를 따라 정사각형의 면적을 구하는 공식
   광장 면적대각선 길이의 제곱의 절반과 같습니다.
   

   에스=	1	2
   	2

여기서 S는 정사각형의 면적이고,
- 정사각형의 변의 길이,
- 정사각형의 대각선 길이.

직사각형 면적 공식

직사각형의 면적인접한 두 변의 길이의 곱과 같습니다.

여기서 S는 직사각형의 면적이고,
- 직사각형의 변의 길이.

평행사변형 면적 공식

1. 변의 길이와 높이를 기준으로 평행사변형의 면적을 구하는 공식
   평행사변형의 면적
2. 두 변과 그 사이의 각도를 기준으로 한 평행사변형의 면적에 대한 공식
   평행사변형의 면적변의 길이에 변 사이의 각도의 사인을 곱한 것과 같습니다.
   

   a b 죄 α

여기서 S는 평행사변형의 면적이고,
- 평행사변형의 변의 길이,
- 평행사변형 높이의 길이,
- 평행사변형의 변 사이의 각도.

마름모 면적에 대한 공식

1. 변의 길이와 높이를 기준으로 마름모의 면적을 구하는 공식
   마름모의 면적변의 길이와 이쪽으로 낮아진 높이의 길이를 곱한 것과 같습니다.
2. 변의 길이와 각도에 따른 마름모의 면적 공식
   마름모의 면적변의 길이의 제곱과 마름모의 변 사이의 각도의 사인의 곱과 같습니다.
3. 대각선 길이에 따른 마름모의 면적 공식
   마름모의 면적대각선 길이의 곱의 절반과 같습니다.
여기서 S는 마름모의 면적이고,
- 마름모의 변의 길이,
- 마름모 높이의 길이,
- 마름모의 측면 사이의 각도,
1, 2 - 대각선 길이.

사다리꼴 면적 공식

1. 사다리꼴에 대한 헤론의 공식

   여기서 S는 사다리꼴의 면적이고,
   - 사다리꼴 밑면의 길이,
   - 사다리꼴 변의 길이,
   

면적 공식유클리드 평면의 특정 클래스의 도형에 정의되고 4가지 조건을 충족하는 실수 값 함수인 도형의 면적을 결정하는 데 필요합니다.

1. 긍정성 - 면적은 0보다 작을 수 없습니다.
2. 정규화 - 측면 단위가 있는 정사각형의 면적은 1입니다.
3. 합동 - 합동인 도형은 면적이 동일합니다.
4. 가산성(Additivity) - 공통된 내부 점이 없는 2개의 숫자의 합집합 영역은 이 숫자의 영역의 합과 같습니다.

기하학적 도형의 면적은 2차원 공간에서의 크기를 나타내는 수치 값입니다. 이 값은 시스템 단위와 비시스템 단위로 측정할 수 있습니다. 예를 들어 비체계적인 면적 단위는 100분의 1 헥타르입니다. 측정 대상 표면이 토지인 경우에 해당됩니다. 시스템 면적 단위는 길이의 제곱입니다. SI 시스템에서 평평한 표면적의 단위는 평방미터입니다. GHS에서는 면적의 단위를 제곱센티미터로 표시합니다.

기하학과 면적 공식은 불가분하게 연결되어 있습니다. 이러한 연결은 평면 도형의 면적 계산이 정확하게 적용에 기초한다는 사실에 있습니다. 많은 그림의 경우 정사각형 치수를 계산하는 데 사용되는 여러 옵션이 파생됩니다. 문제 설명의 데이터를 기반으로 가장 간단한 가능한 솔루션을 결정할 수 있습니다. 이렇게 하면 계산이 쉬워지고 계산 오류가 발생할 가능성이 최소화됩니다. 이렇게 하려면 기하학 그림의 주요 영역을 고려하십시오.

삼각형의 면적을 찾는 공식은 여러 옵션으로 제공됩니다.

1) 삼각형의 면적은 밑변 a와 높이 h로부터 계산됩니다. 베이스는 높이가 낮아진 그림의 측면으로 간주됩니다. 그러면 삼각형의 면적은 다음과 같습니다.

2) 빗변을 밑변으로 간주하면 직각삼각형의 면적도 같은 방법으로 계산됩니다. 다리를 밑면으로 삼으면 직각 삼각형의 면적은 다리를 절반으로 나눈 값과 같습니다.

삼각형의 면적을 계산하는 공식은 여기서 끝나지 않습니다. 또 다른 표현은 변 a,b와 a와 b 사이의 각도 γ의 정현파 함수를 포함합니다. 사인 값은 표에 나와 있습니다. 계산기를 사용해도 알 수 있습니다. 그러면 삼각형의 면적은 다음과 같습니다.

이 등식을 사용하면 직각삼각형의 면적이 다리 길이에 따라 결정되는지 확인할 수도 있습니다. 왜냐하면 각도 γ는 직각이므로 직각 삼각형의 면적은 사인 함수를 곱하지 않고 계산됩니다.

3) 특별한 경우를 고려하십시오 - 변 a가 조건에 의해 알려지거나 풀 때 길이를 찾을 수 있는 정삼각형입니다. 기하학 문제의 그림에 대해 더 이상 알려진 것은 없습니다. 그렇다면 이 조건에서 면적을 어떻게 찾을 수 있을까요? 이 경우 정삼각형의 면적에 대한 공식이 적용됩니다.

직사각형

직사각형의 면적을 구하고 공통 꼭지점을 갖는 변의 크기를 사용하는 방법은 무엇입니까? 계산식은 다음과 같습니다.

직사각형의 면적을 계산하기 위해 대각선의 길이를 사용해야 하는 경우 교차할 때 형성된 각도의 사인 함수가 필요합니다. 직사각형 면적에 대한 공식은 다음과 같습니다.

정사각형

정사각형의 면적은 변 길이의 두 번째 거듭제곱으로 결정됩니다.

증명은 정사각형이 직사각형이라는 정의에서 나옵니다. 정사각형을 이루는 모든 변의 크기는 동일합니다. 따라서 이러한 직사각형의 면적을 계산하는 것은 서로를 곱하는 것, 즉 측면의 두 번째 거듭 제곱으로 귀결됩니다. 그리고 정사각형의 면적을 계산하는 공식은 원하는 형식을 취합니다.

예를 들어 대각선을 사용하는 경우 정사각형의 면적은 다른 방법으로 찾을 수 있습니다.

원으로 둘러싸인 평면의 일부로 구성된 도형의 면적을 계산하는 방법은 무엇입니까? 면적을 계산하는 공식은 다음과 같습니다.

평행사변형

평행사변형의 경우 공식에는 측면의 선형 치수, 높이 및 수학적 연산(곱셈)이 포함됩니다. 높이를 알 수 없는 경우 평행사변형의 면적을 찾는 방법은 무엇입니까? 계산하는 또 다른 방법이 있습니다. 인접한 변과 그 길이에 의해 형성된 각도의 삼각 함수에 의해 결정되는 특정 값이 필요합니다.

평행사변형의 면적에 대한 공식은 다음과 같습니다.

마름모

마름모라고 불리는 사변형의 면적을 찾는 방법은 무엇입니까? 마름모의 면적은 대각선을 사용한 간단한 수학을 사용하여 결정됩니다. 증명은 d1과 d2의 대각선 세그먼트가 직각으로 교차한다는 사실에 기초합니다. 사인표는 직각의 경우 이 함수가 1과 동일하다는 것을 보여줍니다. 따라서 마름모의 면적은 다음과 같이 계산됩니다.

마름모의 면적은 다른 방법으로도 찾을 수 있습니다. 변의 길이가 동일하다는 점을 고려하면 이를 증명하는 것도 어렵지 않습니다. 그런 다음 그들의 곱을 평행사변형과 유사한 표현으로 대체합니다. 결국, 이 특정 도형의 특별한 경우는 마름모입니다. 여기서 γ는 마름모의 내각입니다. 마름모의 면적은 다음과 같이 결정됩니다.

사다리꼴

문제가 길이를 나타내는 경우 밑면(a 및 b)을 통해 사다리꼴의 면적을 찾는 방법은 무엇입니까? 여기서 높이 길이 h의 알려진 값이 없으면 이러한 사다리꼴의 면적을 계산할 수 없습니다. 왜냐하면 이 값에는 계산 표현식이 포함되어 있습니다.

직사각형 사다리꼴의 정사각형 치수도 같은 방법으로 계산할 수 있습니다. 직사각형 사다리꼴에서는 높이와 측면의 개념이 결합되어 있음을 고려합니다. 따라서 직사각형 사다리꼴의 경우 높이 대신 변의 길이를 지정해야 합니다.

원통형과 평행육면체

전체 원통의 표면을 계산하는 데 필요한 것이 무엇인지 생각해 봅시다. 이 그림의 넓이는 밑면이라고 불리는 한 쌍의 원과 옆면입니다. 원을 형성하는 원의 반지름 길이는 r과 같습니다. 실린더 면적에 대해 다음 계산이 수행됩니다.

세 쌍의 면으로 구성된 평행육면체의 넓이를 구하는 방법은 무엇입니까? 측정값은 특정 쌍과 일치합니다. 반대편 면에는 동일한 매개변수가 있습니다. 먼저 S(1), S(2), S(3) - 같지 않은 면의 정사각형 치수를 찾습니다. 그런 다음 평행 육면체의 표면적은 다음과 같습니다.

반지

공통 중심을 가진 두 개의 원이 고리를 형성합니다. 그들은 또한 링의 면적을 제한합니다. 이 경우 두 계산 공식 모두 각 원의 크기를 고려합니다. 그 중 첫 번째는 링의 면적을 계산하는 데 더 큰 R과 더 작은 r 반경을 포함합니다. 더 자주 그들은 외부 및 내부라고 불립니다. 두 번째 식에서 링 면적은 더 큰 D 직경과 더 작은 d 직경을 통해 계산됩니다. 따라서 알려진 반경을 기준으로 링의 면적은 다음과 같이 계산됩니다.

직경의 길이를 사용하여 링의 면적은 다음과 같이 결정됩니다.

다각형

모양이 규칙적이지 않은 다각형의 면적을 찾는 방법은 무엇입니까? 그러한 수치의 영역에 대한 일반적인 공식은 없습니다. 그러나 예를 들어 체크무늬 종이와 같이 좌표 평면에 표시되는 경우 이 경우 표면적을 찾는 방법은 무엇입니까? 여기에서는 수치를 대략적으로 측정할 필요가 없는 방법을 사용합니다. 그들은 이렇게 합니다: 셀의 모서리에 속하거나 전체 좌표가 있는 점을 찾으면 해당 점만 고려됩니다. 그 지역이 무엇인지 알아내려면 Peake가 증명한 공식을 사용하십시오. 점의 절반이 놓여 있는 파선 내부에 있는 점의 수를 더하고 1을 빼야 합니다. 즉, 다음과 같이 계산됩니다.

여기서 B, G - 각각 파선 내부와 전체에 위치한 점의 수입니다.

지구를 측정하는 방법에 대한 지식은 고대에 나타나 점차 기하학 과학으로 구체화되었습니다. 이 단어는 그리스어에서 "토지 측량"으로 ​​번역됩니다.

지구의 평평한 부분의 길이와 너비를 측정한 것이 면적입니다. 수학에서는 일반적으로 라틴 문자 S(영어 "사각형"- "영역", "사각형") 또는 그리스 문자 σ(시그마)로 표시됩니다. S는 평면 위의 도형의 면적 또는 몸체의 표면적을 나타내고, σ는 물리학에서 도선의 단면적을 나타낸다. 예를 들어 재료 강도 분야에서 다른 기호가 있을 수 있지만 이는 주요 기호입니다. A는 프로파일의 단면적입니다.

접촉 중

계산식

단순한 도형의 영역을 알면 더 복잡한 도형의 매개변수를 찾을 수 있습니다.. 고대 수학자들은 쉽게 계산할 수 있는 공식을 개발했습니다. 이러한 도형은 삼각형, 사각형, 다각형, 원입니다.

복잡한 평면 도형의 넓이를 구하기 위해서는 삼각형, 사다리꼴, 직사각형 등 여러 개의 단순한 도형으로 나누어야 합니다. 그런 다음 수학적 방법을 사용하여 이 그림의 영역에 대한 공식을 도출합니다. 비슷한 방법이 기하학뿐만 아니라 수학적 분석에서도 곡선으로 둘러싸인 도형의 면적을 계산하는 데 사용됩니다.

삼각형

가장 간단한 그림인 삼각형부터 시작해 보겠습니다. 그들은 직사각형, 이등변형 및 정변형입니다. 변 AB=a, BC=b, AC=c(Δ ABC)인 임의의 삼각형 ABC를 선택합니다. 그 면적을 찾기 위해 학교 수학 과정에서 알려진 사인 및 코사인 정리를 떠올려 보겠습니다. 모든 계산을 중단하면 다음 공식에 도달합니다.

• S=√ - 모든 사람에게 알려진 헤론의 공식. 여기서 p=(a+b+c)/2는 삼각형의 반둘레입니다.
• S=a h/2, 여기서 h는 측면 a로 낮아진 높이입니다.
• S = a b (sin γ)/2, 여기서 γ는 변 a와 b 사이의 각도입니다.
• S=a b/2, Δ ABC가 직사각형인 경우(여기서 a와 b는 다리입니다);
• S=b²(sin(2β))/2, Δ ABC가 이등변인 경우(여기서 b는 "엉덩이" 중 하나이고 β는 삼각형의 "엉덩이" 사이의 각도입니다)
• S=a² √½, Δ ABC가 정변인 경우(여기서 a는 삼각형의 한 변입니다).

사각형

AB=a, BC=b, CD=c, AD=d인 사각형 ABCD가 있다고 가정합니다. 임의의 4각형의 면적 S를 찾으려면 이를 대각선으로 두 개의 삼각형으로 나누어야 하며, 일반적으로 S1과 S2의 면적은 동일하지 않습니다.

그런 다음 공식을 사용하여 이를 계산하고 추가합니다(예: S=S1+S2). 그러나 4각형이 특정 클래스에 속하면 이전에 알려진 공식을 사용하여 해당 영역을 찾을 수 있습니다.

• S=(a+c) h/2=e h, 정사각형이 사다리꼴인 경우(여기서 a와 c는 밑면이고, e는 사다리꼴의 중심선이고, h는 사다리꼴 밑면 중 하나로 낮아진 높이입니다.
• S=a h=a b sin Φ=d1 d2 (sin ψ)/2, ABCD가 평행사변형인 경우(여기서 Φ는 변 a와 b 사이의 각도이고, h는 변 a와 b 사이의 각도이고, d1과 d2는 대각선입니다);
• S=a b=d²/2, ABCD가 직사각형인 경우(d는 대각선);
• S=a² sin Φ=P² (sin Φ)/16=d1 d2/2, ABCD가 마름모인 경우(a는 마름모의 변, Φ는 마름모의 각도 중 하나, P는 둘레)
• ABCD가 정사각형인 경우 S=a²=P²/16=d²/2.

다각형

n-gon의 면적을 찾기 위해 수학자들은 그것을 가장 단순한 동일한 숫자인 삼각형으로 나누고, 각각의 면적을 찾은 다음 추가합니다. 그러나 다각형이 일반 클래스에 속하면 다음 공식을 사용하십시오.

S=an h/2=a² n/=P²/, 여기서 n은 다각형의 꼭지점(또는 변) 수, a는 n각형의 변, P는 둘레, h는 변점, 즉 a입니다. 다각형의 중심에서 변 중 하나로 90° 각도로 그려진 세그먼트입니다.

원

원은 변의 수가 무한한 완벽한 다각형입니다. 변의 수 n이 무한대에 가까워지는 다각형의 면적에 대한 공식에서 오른쪽 표현식의 극한을 계산해야 합니다. 이 경우 다각형의 둘레는 우리 원의 경계가 될 반지름 R인 원의 길이로 바뀌고 P=2 π R과 같아집니다. 이 식을 위 공식에 대입합니다. 우리는 얻을 것이다:

S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).

이 식의 극한을 n → π로 구해 봅시다. 이를 수행하기 위해 n→킵에 대한 lim(cos (180°/n))은 cos 0°=1(lim은 극한의 부호)과 동일하고 n→킵에 대한 lim = lim은 다음과 같다는 점을 고려합니다. 1/π와 동일합니다(우리는 π rad=180° 관계를 사용하여 각도 측정을 라디안으로 변환하고 첫 번째 주목할만한 한계 lim(sin x)/x=1을 x→킵에 적용했습니다). 얻은 값을 S의 마지막 표현식에 대입하면 잘 알려진 공식에 도달합니다.

S=π² R² 1 (1/π)=π R².

단위

체계적 및 비체계적 측정 단위가 사용됩니다.. 시스템 단위는 SI(System International)에 속합니다. 이것은 평방 미터(sq.meter, m²)이며 이로부터 파생된 단위는 mm², cm², km²입니다.

예를 들어 제곱 밀리미터(mm²) 단위로 전기 공학에서 와이어의 단면적을 제곱 센티미터(cm²) 단위로 측정합니다. 구조 역학의 빔 단면적은 제곱 미터(m²) 단위로 측정합니다. 아파트 또는 주택의 경우 평방 킬로미터(km²) 단위 - 지리학 .

그러나 직조, ar(a), 헥타르(ha) 및 에이커(as)와 같은 비체계적인 측정 단위가 사용되는 경우도 있습니다. 다음 관계식을 제시해 보겠습니다.

• 1 직조=1a=100m²=0.01헥타르;
• 1ha=100a=100에이커=10000m²=0.01km²=2.471ac;
• 1ac = 4046.856m² = 40.47a = 40.47에이커 = 0.405헥타르.