함수의 극점을 찾아 탐색해 보세요. 함수 극값의 두 번째 부호

이러한 불평등을 Δ의 한계까지 전달 엑스→ 0이고 미분을 고려하면 에프 "(엑스 0)이 존재하므로 왼쪽의 극한은 Δ가 어떻게 되는가에 의존하지 않습니다. 엑스→ 0, 우리는 다음을 얻습니다: Δ에서 엑스 → 0 – 0 에프"(엑스 0) Δ에서 ≥ 0a 엑스 → 0 + 0 에프"(엑스 0) ≤ 0. 이후 에프"(엑스 0) 숫자를 정의하면 이 두 부등식은 다음과 같은 경우에만 호환됩니다. 에프"(엑스 0) = 0.

입증된 정리에 따르면 최대값과 최소값은 도함수가 0이 되는 인수 값 사이에만 있을 수 있습니다.

함수가 특정 세그먼트의 모든 지점에서 도함수를 갖는 경우를 고려했습니다. 파생 상품이 존재하지 않는 경우 상황은 무엇입니까? 예를 살펴 보겠습니다.

예.

1. 와이=|엑스|.

   함수에는 해당 점에 도함수가 없습니다. 엑스=0(이 시점에서 함수의 그래프에는 정의된 접선이 없습니다.) 그러나 이 시점에서 함수는 최소값을 갖습니다. 와이(0)=0, 그리고 모두에 대해 엑스≠ 0와이 > 0.



함수에는 도함수가 없습니다. 엑스=0, 무한대로 가기 때문에 엑스=0. 그러나 이 시점에서 함수는 최대값을 갖습니다.



함수에는 도함수가 없습니다. 엑스=0, 이후 ~에 엑스→0. 이 시점에서 함수에는 최대값이나 최소값이 없습니다. 정말, 에프엑스(f(x))=0 및 엑스<0에프엑스(f(x))<0, а при 엑스>0에프엑스(f(x))>0.



따라서 주어진 예와 공식화된 정리를 통해 함수는 다음 두 가지 경우에만 극값을 가질 수 있음이 분명합니다. 1) 도함수가 존재하고 0과 같은 지점에서; 2) 파생상품이 존재하지 않는 지점에서.

그러나 어느 시점에 이르면 엑스 0 우리는 그걸 알아요 f "(x 0 ) =0이면 이로부터 다음과 같은 결론을 내릴 수 없습니다. 엑스 0 함수에 극한값이 있습니다.

예를 들어. .



그러나 기간 엑스=0은 극점이 아닙니다. 이 점의 왼쪽에는 함수 값이 축 아래에 위치하기 때문입니다. 황소, 그리고 오른쪽 위.

함수의 도함수가 사라지거나 존재하지 않는 함수의 영역에서 인수의 값을 호출합니다. 임계점.




위의 모든 것에서 함수의 극단점이 임계점에 속하지만 모든 임계점이 극단점이 되는 것은 아닙니다. 따라서 함수의 극값을 찾으려면 함수의 모든 임계점을 찾은 다음 각 점을 개별적으로 최대값과 최소값으로 검사해야 합니다. 다음 정리는 이러한 목적을 달성합니다.

정리 2. (극값이 존재하기 위한 충분조건)임계점을 포함하는 일정 구간에서 함수가 연속되도록 하세요. 엑스 0이며 이 구간의 모든 지점에서 미분 가능합니다(아마도 지점 자체는 제외). 엑스 0). 이 점을 통해 왼쪽에서 오른쪽으로 이동할 때 도함수의 부호가 플러스에서 마이너스로 바뀌면 그 점에서 엑스 = 엑스 0 함수에는 최대값이 있습니다. 그렇다면 통과할 때 엑스왼쪽에서 오른쪽으로 0이면 도함수는 부호를 마이너스에서 플러스로 변경하고 이 지점에서 함수는 최소값을 갖습니다.

따라서 만약

증거. 먼저 통과할 때 가정해보자. 엑스 0 도함수는 부호를 플러스에서 마이너스로 변경합니다. 즉, 모두들 앞에서 엑스, 지점에 가깝습니다 엑스 0 f "(x)> 0 엑스< x 0 , f "(x)< 0 엑스>엑스 0 . 라그랑주의 정리를 차이에 적용해보자 에프(엑스) - 에프(엑스) 0 ) = f "(c)(x- x 0), 여기서 씨사이에 있다 엑스그리고 엑스 0 .

1. 허락하다 엑스< x 0 . 그 다음에 씨< x 0과 f "(c)> 0. 그렇기 때문에 f "(c)(x-x 0)< 0이므로

   에프(엑스) - 에프(엑스) 0 )< 0, 즉 에프엑스(f(x))< f(x 0 ).

2. 허락하다 엑스 > 엑스 0 . 그 다음에 c>x 0과 f "(c)< 0. 수단 f "(c)(x-x 0)< 0. 그렇기 때문에 에프(엑스) - 에프(엑스) 0 ) <0,т.е.에프엑스(f(x))< 에프(엑스 0 ) .

따라서 모든 값에 대해 엑스충분히 가깝다 엑스 0 에프엑스(f(x))< 에프(엑스 0 ) . 그리고 이것은 그 시점에서 엑스 0 함수에는 최대값이 있습니다.

최소 정리의 두 번째 부분도 비슷한 방식으로 증명됩니다.



이 정리의 의미를 그림으로 설명해 보겠습니다. 허락하다 f "(x 1 ) =0 및 모든 경우 엑스,충분히 가깝다 엑스 1, 부등식이 충족됩니다.

f "(x)< 0에서 엑스< x 1 , f "(x)> 0에서 엑스>엑스 1 .

그럼 포인트 왼쪽으로 엑스 1 함수는 오른쪽에서 증가하고 감소하므로, 엑스 = 엑스 1 함수는 증가에서 감소로 이동합니다. 즉, 최대값을 갖습니다.

마찬가지로, 우리는 포인트를 고려할 수 있습니다 엑스 2 및 엑스 3 .


위의 모든 내용은 그림에 개략적으로 설명되어 있습니다.

극값에 대한 함수 y=f(x)를 연구하기 위한 규칙

1. 함수의 영역 찾기 에프엑스(f(x)).
2. 함수의 1차 도함수 찾기 f "(x).
3. 이에 대한 중요한 사항을 결정합니다.
   1. 방정식의 실제 근을 찾아보세요 f "(x)=0;
   2. 모든 값을 찾아보세요 엑스파생 상품 f "(x)존재하지 않는다.
4. 임계점의 왼쪽과 오른쪽에 대한 도함수의 부호를 결정합니다. 도함수의 부호는 두 임계점 사이에서 일정하게 유지되므로 임계점의 왼쪽 한 지점과 오른쪽 한 지점에서 도함수의 부호를 결정하는 것으로 충분합니다.
5. 극점에서 함수의 값을 계산합니다.

예. 최소값과 최대값에 대한 함수를 살펴보세요.




세그먼트에 대한 함수의 최대값과 최소값

가장 큰구간의 함수 값은 이 구간의 모든 값 중 가장 큰 값입니다. 가장 작은– 모든 값 중 가장 작은 값입니다.

기능을 고려하십시오 y=f(x)세그먼트에서 연속 [ 에, 비]. 알려진 바와 같이, 이러한 함수는 세그먼트 경계 또는 세그먼트 내부에서 최대값과 최소값에 도달합니다. 함수의 최대 또는 최소값이 세그먼트 내부 지점에서 달성되면 이 값은 함수의 최대 또는 최소값, 즉 임계 지점에서 달성됩니다.

따라서 우리는 다음을 얻습니다. 세그먼트에서 함수의 최대값과 최소값을 찾는 규칙[ 에, 비] :

1. 구간( 에, 비) 이 지점에서 함수의 값을 계산합니다.
2. 다음과 같은 경우 세그먼트 끝의 함수 값을 계산합니다. x = a, x = b.
3. 얻은 모든 값 중에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 선택합니다.

$z=f(x,y)$ 함수가 $(x_0,y_0)$ 점 근처에 정의되어 있다고 가정합니다. $(x_0,y_0)$는 $(x_0,y_0)$ $(x_0,y_0)$ $f(x,y) 지점 근처의 모든 지점에 대해 $(x,y)$에 대해 (로컬) 최대 지점이라고 말합니다. 만족하다< f(x_0,y_0)$. Если же для всех точек этой окрестности выполнено условие $f(x,y)>f(x_0,y_0)$이면 $(x_0,y_0)$ 지점을 (로컬) 최소 지점이라고 합니다.

최대점과 최소점은 종종 일반 용어인 극단점이라고 불립니다.

$(x_0,y_0)$가 최대 지점인 경우 이 지점에서 $f(x_0,y_0)$ 함수의 값을 $z=f(x,y)$ 함수의 최대값이라고 합니다. 따라서 최소점에서의 함수값을 $z=f(x,y)$ 함수의 최소값이라고 합니다. 함수의 최소값과 최대값은 함수의 극값이라는 공통 용어로 통합됩니다.

극값에 대한 함수 $z=f(x,y)$를 연구하기 위한 알고리즘

1. 편도함수 $\frac(\partial z)(\partial x)$와 $\frac(\partial z)(\partial y)$를 구하세요. 연립방정식 $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0을 구성하고 푼다. . \ end(aligned) \right.$ 좌표가 지정된 시스템을 만족하는 점을 정지점이라고 합니다.
2. $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$, $\frac(\partial^2z)(\partial x\partial y)$, $\frac(\partial^2z)(\partial 찾기 y^2)$ $\Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(의 값을 계산합니다. 각 정지점에서 \frac (\partial^2z)(\partial x\partial y) \right)^2$. 그 후에는 다음 구성표를 사용하십시오.
   1. $\Delta > 0$이고 $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$(또는 $\frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$)이면, 연구중인 포인트가 최소 포인트입니다.
   2. $\Delta > 0$ 및 $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)인 경우< 0$ (или $\frac{\partial^2z}{\partial y^2} < 0$), то в исследуемая точка есть точкой максимума.
   3. $\Delta인 경우< 0$, то в расматриваемой стационарной точке экстремума нет.
   4. $\Delta = 0$이면 극값의 존재에 대해 명확하게 말할 수 없습니다. 추가 연구가 필요합니다.

참고(텍스트를 보다 완벽하게 이해하는 데 바람직함): 표시\숨기기

$\Delta > 0$이면 $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\ 부분^2z)(\부분 x\부분 y) \right)^2 > 0$. 그리고 $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2) > \left(\frac(\partial^2z) ( \부분 x\부분 y)\right)^2 ≥ 0$. 저것들. $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$. 특정 수량의 곱이 0보다 크면 해당 수량은 동일한 부호를 갖습니다. 예를 들어 $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$이면 $\frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$입니다. 즉, $\Delta > 0$이면 $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$와 $\frac(\partial^2z)(\partial y^2)$의 부호가 일치합니다. .

예 1

$z=4x^2-6xy-34x+5y^2+42y+7$ 함수의 극값을 살펴보세요.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=8x-6y-34; \frac(\partial z)(\partial y)=-6x+10y+42. $$

$$ \left \( \begin(정렬) & 8x-6y-34=0;\\ & -6x+10y+42=0. \end(정렬) \right. $$

이 시스템의 각 방정식을 $2$만큼 줄이고 숫자를 방정식의 오른쪽으로 이동해 보겠습니다.

$$ \left \( \begin(aligned) & 4x-3y=17;\\ & -3x+5y=-21. \end(aligned) \right. $$

우리는 선형 대수 방정식 시스템을 얻었습니다. 이 상황에서는 결과 시스템을 해결하기 위해 Cramer 방법을 사용하는 것이 가장 편리한 것 같습니다.

$$ \begin(정렬) & \Delta=\left| \begin(배열) (cc) 4 & -3\\ -3 & 5 \end(배열)\right|=4\cdot 5-(-3)\cdot (-3)=20-9=11;\ \& \Delta_x=\left| \begin(배열) (cc) 17 & -3\\ -21 & 5 \end(배열)\right|=17\cdot 5-(-3)\cdot (-21)=85-63=22;\ \& \Delta_y=\left| \begin(배열) (cc) 4 & 17\\ -3 & -21 \end(배열)\right|=4\cdot (-21)-17\cdot (-3)=-84+51=-33 .\end(정렬) \\ x=\frac(\Delta_(x))(\Delta)=\frac(22)(11)=2; \; y=\frac(\Delta_(y))(\Delta)=\frac(-33)(11)=-3. $$

$x=2$, $y=-3$ 값은 정지점 $(2;-3)$의 좌표입니다.

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=8; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=10; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=-6. $$

$\Delta$의 값을 계산해 보겠습니다.

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \부분 x\부분 y) \right)^2= 8\cdot 10-(-6)^2=80-36=44. $$

$\Delta > 0$ 및 $\frac(\partial^2 z)(\partial x^2) > 0$이므로 점에 따라 $(2;-3)$는 함수 $의 최소점입니다. z$. $(2;-3)$ 점의 좌표를 주어진 함수에 대입하여 $z$ 함수의 최소값을 찾습니다.

$$ z_(최소)=z(2;-3)=4\cdot 2^2-6\cdot 2 \cdot (-3)-34\cdot 2+5\cdot (-3)^2+42\ cdot (-3)+7=-90. $$

답변: $(2;-3)$ - 최소 포인트; $z_(분)=-90$.

예 2

$z=x^3+3xy^2-15x-12y+1$ 함수의 극값을 살펴보세요.

위의 내용을 따르겠습니다. 먼저 1차 편도함수를 찾아보겠습니다.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=3x^2+3y^2-15; \frac(\partial z)(\partial y)=6xy-12. $$

연립방정식 $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0을 만들어 보겠습니다. \end( 정렬됨) \right.$:

$$ \left \( \begin(정렬) & 3x^2+3y^2-15=0;\\ & 6xy-12=0. \end(정렬) \right. $$

첫 번째 방정식을 3으로 줄이고 두 번째 방정식을 6으로 줄이겠습니다.

$$ \left \( \begin(aligned) & x^2+y^2-5=0;\\ & xy-2=0.\end(aligned) \right. $$

$x=0$이면 두 번째 방정식은 $0\cdot y-2=0$, $-2=0$라는 모순으로 이어집니다. 따라서 결론은 $x\neq 0$입니다. 그런 다음 두 번째 방정식에서 $xy=2$, $y=\frac(2)(x)$를 얻습니다. $y=\frac(2)(x)$를 첫 번째 방정식에 대입하면 다음과 같습니다.

$$ x^2+\left(\frac(2)(x) \right)^2-5=0;\\ x^2+\frac(4)(x^2)-5=0;\\ x^4-5x^2+4=0. $$

우리는 2차 방정식을 얻었습니다. $t=x^2$를 대체합니다($t > 0$을 의미).

$$ t^2-5t+4=0;\\ \begin(정렬) & D=(-5)^2-4\cdot 1 \cdot 4=9;\\ & t_1=\frac(-(- 5)-\sqrt(9))(2)=\frac(5-3)(2)=1;\\ & t_2=\frac(-(-5)+\sqrt(9))(2)= \frac(5+3)(2)=4.\end(정렬) $$

$t=1$이면 $x^2=1$입니다. 따라서 $x$에는 $x_1=1$, $x_2=-1$라는 두 가지 값이 있습니다. $t=4$이면 $x^2=4$입니다. 즉, $x_3=2$, $x_4=-2$. $y=\frac(2)(x)$를 기억하면 다음을 얻습니다.

\begin(정렬) & y_1=\frac(2)(x_1)=\frac(2)(1)=2;\\ & y_2=\frac(2)(x_2)=\frac(2)(-1 )=-2;\\ & y_3=\frac(2)(x_3)=\frac(2)(2)=1;\\ & y_4=\frac(2)(x_4)=\frac(2)( -2)=-1. \end(정렬됨)

따라서 $M_1(1;2)$, $M_2(-1;-2)$, $M_3(2;1)$, $M_4(-2;-1)$의 네 가지 고정 점이 있습니다. 이것으로 알고리즘의 첫 번째 단계가 완료됩니다.

이제 알고리즘을 시작해 보겠습니다. 2차 편도함수를 찾아보겠습니다.

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=6x; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=6x; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=6y. $$

$\Delta$를 찾아봅시다:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \부분 x\부분 y) \right)^2= 6x\cdot 6x-(6y)^2=36x^2-36y^2=36(x^2-y^2). $$

이제 이전에 찾은 각 정지점에서 $\Delta$ 값을 계산하겠습니다. $M_1(1;2)$ 지점부터 시작하겠습니다. 이 시점에서 $\Delta(M_1)=36(1^2-2^2)=-108$이 됩니다. $\Delta(M_1) 이후< 0$, то согласно в точке $M_1$ экстремума нет.

$M_2(-1;-2)$ 지점을 살펴보겠습니다. 이 시점에서 $\Delta(M_2)=36((-1)^2-(-2)^2)=-108$이 됩니다. $\Delta(M_2) 이후< 0$, то согласно в точке $M_2$ экстремума нет.

$M_3(2;1)$ 지점을 살펴보겠습니다. 이 시점에서 우리는 다음을 얻습니다:

$$ \델타(M_3)=36(2^2-1^2)=108;\;\; \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=6\cdot 2=12. $$

$\Delta(M_3) > 0$ 및 $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$이므로 $M_3(2; 1)$는 $z$ 함수의 최소점입니다. $M_3$ 점의 좌표를 주어진 함수에 대입하여 $z$ 함수의 최소값을 찾습니다.

$$ z_(최소)=z(2;1)=2^3+3\cdot 2\cdot 1^2-15\cdot 2-12\cdot 1+1=-27. $$

$M_4(-2;-1)$ 지점을 탐색하는 것이 남아 있습니다. 이 시점에서 우리는 다음을 얻습니다:

$$ \델타(M_4)=36((-2)^2-(-1)^2)=108;\;\; \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4)=6\cdot (-2)=-12. $$

$\Delta(M_4) > 0$ 및 $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4)< 0$, то согласно $M_4(-2;-1)$ есть точкой максимума функции $z$. Максимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_4$:

$$ z_(최대)=z(-2;-1)=(-2)^3+3\cdot (-2)\cdot (-1)^2-15\cdot (-2)-12\cdot (-1)+1=29. $$

극한의 연구가 완료되었습니다. 남은 것은 답을 적는 것뿐입니다.

답변:

• $(2;1)$ - 최소 포인트, $z_(min)=-27$;
• $(-2;-1)$ - 최대 포인트, $z_(max)=29$.

메모

일반적인 경우에는 $\Delta$ 값을 계산할 필요가 없습니다. 왜냐하면 이 매개변수의 특정 값이 아니라 부호에만 관심이 있기 때문입니다. 예를 들어 위에서 고려한 2번의 경우 $M_3(2;1)$ 지점에 $\Delta=36\cdot(2^2-1^2)$이 있습니다. 여기서는 $\Delta > 0$(두 요소 $36$ 및 $(2^2-1^2)$가 모두 양수이므로)임이 분명하며 $\Delta$의 특정 값을 찾지 못할 수도 있습니다. 사실, 표준 계산의 경우 이 설명은 쓸모가 없습니다. 계산을 숫자로 가져와야 합니다. :)

예 3

$z=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2+3$ 함수의 극값을 살펴보세요.

우리는 따라갈 것입니다. 먼저 1차 편도함수를 찾아보겠습니다.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=4x^3-4x+4y; \frac(\partial z)(\partial y)=4y^3+4x-4y. $$

연립방정식 $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0을 만들어 보겠습니다. \end( 정렬됨) \right.$:

$$ \left \( \begin(정렬) & 4x^3-4x+4y=0;\\ & 4y^3+4x-4y=0. \end(정렬) \right. $$

두 방정식을 모두 $4$만큼 줄이겠습니다.

$$ \left \( \begin(aligned) & x^3-x+y=0;\\ & y^3+x-y=0. \end(aligned) \right. $$

첫 번째 방정식을 두 번째 방정식에 추가하고 $y$를 $x$로 표현해 보겠습니다.

$$ y^3+x-y+(x^3-x+y)=0;\\ y^3+x^3=0; y^3=-x^3; y=-x. $$

$y=-x$를 시스템의 첫 번째 방정식으로 대체하면 다음과 같습니다.

$$ x^3-x-x=0;\\ x^3-2x=0;\\ x(x^2-2)=0. $$

결과 방정식에서 $x=0$ 또는 $x^2-2=0$을 얻습니다. 방정식 $x^2-2=0$에서 $x=-\sqrt(2)$ 또는 $x=\sqrt(2)$가 됩니다. 따라서 $x$의 세 가지 값, 즉 $x_1=0$, $x_2=-\sqrt(2)$, $x_3=\sqrt(2)$가 발견됩니다. $y=-x$이므로 $y_1=-x_1=0$, $y_2=-x_2=\sqrt(2)$, $y_3=-x_3=-\sqrt(2)$입니다.

솔루션의 첫 번째 단계가 완료되었습니다. 세 개의 고정된 점을 얻었습니다: $M_1(0;0)$, $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ .

이제 알고리즘을 시작해 보겠습니다. 2차 편도함수를 찾아보겠습니다.

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=12x^2-4; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=12y^2-4; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=4. $$

$\Delta$를 찾아봅시다:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \partial x\partial y) \right)^2= (12x^2-4)(12y^2-4)-4^2=\\ =4(3x^2-1)\cdot 4(3y^2 -1)-16=16(3x^2-1)(3y^2-1)-16=16\cdot((3x^2-1)(3y^2-1)-1). $$

이제 이전에 찾은 각 정지점에서 $\Delta$ 값을 계산하겠습니다. $M_1(0;0)$ 지점부터 시작하겠습니다. 이 시점에서 $\Delta(M_1)=16\cdot((3\cdot 0^2-1)(3\cdot 0^2-1)-1)=16\cdot 0=0$이 됩니다. $\Delta(M_1) = 0$이므로, 고려 중인 지점에서 극값의 존재에 대해 명확하게 말할 수 있는 것이 없기 때문에 추가 연구가 필요합니다. 지금은 이 점을 그대로 두고 다른 점으로 넘어가겠습니다.

$M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$ 지점을 살펴보겠습니다. 이 시점에서 우리는 다음을 얻습니다:

\begin(정렬) & \Delta(M_2)=16\cdot((3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2)=12\cdot (-\sqrt(2) )^2-4=24-4=20. \end(정렬됨)

$\Delta(M_2) > 0$ 및 $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2) > 0$이므로 $M_2(-\ sqrt(2),\sqrt(2))$는 $z$ 함수의 최소점입니다. $M_2$ 점의 좌표를 주어진 함수에 대입하여 $z$ 함수의 최소값을 찾습니다.

$$ z_(최소)=z(-\sqrt(2),\sqrt(2))=(-\sqrt(2))^4+(\sqrt(2))^4-2(-\sqrt( 2))^2+4\cdot (-\sqrt(2))\sqrt(2)-2(\sqrt(2))^2+3=-5. $$

이전 지점과 유사하게 $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ 지점을 조사합니다. 이 시점에서 우리는 다음을 얻습니다:

\begin(정렬) & \Delta(M_3)=16\cdot((3\cdot (\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=12\cdot (\sqrt(2)) ^2-4=24-4=20. \end(정렬됨)

$\Delta(M_3) > 0$ 및 $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$이므로 $M_3(\sqrt에 따라) (2),-\sqrt(2))$는 $z$ 함수의 최소점입니다. $M_3$ 점의 좌표를 주어진 함수에 대입하여 $z$ 함수의 최소값을 찾습니다.

$$ z_(최소)=z(\sqrt(2),-\sqrt(2))=(\sqrt(2))^4+(-\sqrt(2))^4-2(\sqrt(2) ))^2+4\cdot \sqrt(2)(-\sqrt(2))-2(-\sqrt(2))^2+3=-5. $$

이제 $\Delta(M_1) = 0$인 $M_1(0;0)$ 지점으로 돌아갈 시간입니다. 이에 따라 추가적인 연구가 필요하다. 이 회피 문구는 "원하는 대로 하세요"를 의미합니다 :). 이러한 상황을 해결하는 일반적인 방법은 없으며 이는 이해할 수 있습니다. 이런 방법이 있었다면 오래전 모든 교과서에 수록됐을 것이다. 그동안 우리는 $\Delta = 0$인 각 지점에 대한 특별한 접근 방식을 찾아야 합니다. 자, $M_1(0;0)$ 지점 부근에서 함수의 동작을 살펴보겠습니다. $z(M_1)=z(0;0)=3$을 즉시 살펴보겠습니다. $M_1(0;0)$이 최소점이라고 가정해 보겠습니다. 그런 다음 $M_1(0;0)$ 지점 근처의 모든 지점 $M$에 대해 $z(M) > z(M_1)$을 얻습니다. 즉, $z(M) > 3$. 어떤 이웃에 $z(M)이 되는 지점이 포함되어 있다면 어떻게 될까요?< 3$? Тогда в точке $M_1$ уж точно не будет минимума.

$y=0$인 점을 고려해 보겠습니다. $(x,0)$ 형식의 포인트입니다. 이 시점에서 $z$ 함수는 다음 값을 사용합니다.

$$ z(x,0)=x^4+0^4-2x^2+4x\cdot 0-2\cdot 0^2+3=x^4-2x^2+3=x^2(x ^2-2)+3. $$

충분히 작은 모든 동네 $M_1(0;0)$에는 $x^2-2가 있습니다.< 0$, посему $x^2(x^2-2) < 0$, откуда следует $x^2(x^2-2)+3 < 3$. Вывод: любая окрестность точки $M_1(0;0)$ содержит точки, в которых $z < 3$, посему точка $M_1(0;0)$ не может быть точкой минимума.

그런데 $M_1(0;0)$ 지점이 최대 지점이 아닐까요? 이것이 그렇다면, $M_1(0;0)$ 지점 근처의 모든 지점 $M$에 대해 $z(M)를 얻습니다.< z(M_1) $, т.е. $z(M) < 3$. А вдруг любая окрестность содержит точки, в которых $z(M) >3$? 그러면 $M_1$ 지점에는 확실히 최대값이 없습니다.

$y=x$인 점을 고려해 보겠습니다. $(x,x)$ 형식의 포인트입니다. 이 시점에서 $z$ 함수는 다음 값을 사용합니다.

$$ z(x,x)=x^4+x^4-2x^2+4x\cdot x-2\cdot x^2+3=2x^4+3. $$

$M_1(0;0)$ 지점 근처에는 $2x^4 > 0$이 있고 $2x^4+3 > 3$가 있습니다. 결론: $M_1(0;0)$ 지점의 모든 이웃에는 $z > 3$인 지점이 포함되어 있으므로 $M_1(0;0)$ 지점은 최대 지점이 될 수 없습니다.

$M_1(0;0)$ 포인트는 최대 포인트도 최소 포인트도 아닙니다. 결론: $M_1$은 전혀 극점이 아닙니다.

답변: $(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $(\sqrt(2),-\sqrt(2))$는 $z$ 함수의 최소 점입니다. 두 지점 모두에서 $z_(min)=-5$.

x 0 점을 호출합니다. 최대 포인트(최저한의) 함수 f(x), x 0 지점 근처에서 부등식 f(x) ≤f(x 0) (f(x) ≥f(x 0))이 충족되는 경우.

이 시점의 함수 값은 그에 따라 호출됩니다. 최고또는 최저한의기능. 최대 및 최소 기능은 공통 이름으로 통합됩니다. 극한의기능.

이러한 의미에서 함수의 극값은 종종 다음과 같이 불립니다. 국소 극값, 이 개념이 x 0 지점의 충분히 작은 이웃과만 연관되어 있다는 사실을 강조합니다. 동일한 간격에서 함수는 반드시 일치하지 않는 여러 로컬 최대값과 최소값을 가질 수 있습니다. 전역 최대값또는 최저한의(즉, 전체 구간에 걸쳐 함수의 가장 큰 값 또는 가장 작은 값)

극한의 필요조건. 함수가 한 점에서 극값을 갖기 위해서는 이 점에서의 도함수가 0이거나 존재하지 않아야 합니다.

미분 가능 함수의 경우 이 조건은 페르마의 정리를 따릅니다. 또한, 함수가 미분 불가능한 지점에서 극값을 갖는 경우도 제공합니다.

필요한 극한 조건이 만족되는 지점을 호출합니다. 비판적인(또는 변화 없는미분 가능한 함수의 경우). 이러한 점은 함수 영역 내에 있어야 합니다.

따라서 어떤 지점에 극한이 있으면 이 지점이 중요합니다(필요 조건). 그 반대는 사실이 아닙니다. 임계점이 반드시 극점일 필요는 없습니다. 명시된 조건으로는 충분하지 않습니다.

극한값에 대한 첫 번째 충분조건. 특정 지점을 통과할 때 미분 함수의 미분 함수의 부호가 플러스에서 마이너스로 변경되면 이것이 함수의 최대 지점이고, 마이너스에서 플러스로이면 이것이 최소 지점입니다.

이 조건의 증명은 단조성의 충분 조건(미분의 부호가 변경되면 함수의 증가에서 감소로 또는 감소에서 증가로 전환이 발생함)에서 따릅니다.

극한값에 대한 두 번째 충분조건. 어떤 점에서 두 번 미분 가능한 함수의 1차 도함수는 0이고 이 점의 2차 도함수는 양수이면 이것이 함수의 최소점입니다. 2차 도함수가 음수이면 이것이 최대점입니다.

이 조건의 증명은 단조성의 충분조건에 기초합니다. 실제로 2차 도함수가 양수이면 1차 도함수는 증가 함수입니다. 문제의 지점에서 0과 같기 때문에 이를 통과할 때 부호가 마이너스에서 플러스로 변경되어 지역 최소값에 대한 첫 번째 충분 조건으로 돌아갑니다. 마찬가지로, 2차 도함수가 음수이면 첫 번째 도함수는 감소하고 부호가 플러스에서 마이너스로 변경됩니다. 이는 로컬 최대값에 대한 충분 조건입니다.

극값에 대한 함수 연구공식화 된 정리에 따라 다음 단계가 포함됩니다.

1. 함수 f`(x)의 1차 도함수를 구합니다.

2. 필요한 극한 조건의 충족을 확인합니다. 도함수 f`(x) = 0이거나 존재하지 않는 함수 f(x)의 임계점을 찾습니다.

3. 극값에 대한 충분조건이 충족되는지 확인합니다. 즉, 각 임계점의 왼쪽과 오른쪽에 있는 도함수의 부호를 조사하거나 2차 도함수 f``(x)를 찾아 각 임계점에서 해당 부호를 결정합니다. 함수의 극값 존재에 대한 결론을 도출합니다.

4. 함수의 극값(극값)을 찾습니다.

함수의 전역 최대값과 최소값 찾기일정 기간이 지나면 이는 실질적인 의미도 크다. 세그먼트에서 이 문제에 대한 해결책은 연속 함수가 세그먼트에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 취하는 Weierstrass의 정리를 기반으로 합니다. 이는 극한 지점과 세그먼트 끝 모두에서 달성될 수 있습니다. 따라서 솔루션에는 다음 단계가 포함됩니다.

1. 함수 f`(x)의 도함수를 구합니다.

2. 도함수 f`(x) = 0이거나 존재하지 않는 함수 f(x)의 임계점을 찾습니다.

3. 임계점과 세그먼트 끝에서 함수 값을 찾아 그 중에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 선택합니다.

이것은 절대적으로 모든 졸업생과 학생이 만나는 다소 흥미로운 수학 섹션입니다. 그러나 모든 사람이 마탄을 좋아하는 것은 아닙니다. 어떤 사람들은 겉보기에 표준적인 기능 연구와 같은 기본적인 것조차 이해하지 못합니다. 이 글은 그러한 실수를 바로잡기 위한 것입니다. 기능 분석에 대해 더 자세히 알고 싶으십니까? 극한점이 무엇인지, 그리고 이를 찾는 방법을 알고 싶으십니까? 그렇다면 이 글은 당신을 위한 것입니다.

함수 그래프 연구

첫째, 그래프를 분석해야 하는 이유를 이해하는 것이 좋습니다. 그리기 어렵지 않은 간단한 기능도 있습니다. 그러한 기능의 놀라운 예는 포물선입니다. 그래프를 그리는 것은 어렵지 않을 것이다. 필요한 것은 간단한 변환을 사용하여 함수가 값 0을 취하는 숫자를 찾는 것입니다. 그리고 원칙적으로 이것은 포물선 그래프를 그리기 위해 알아야 할 전부입니다.

하지만 그래프에 필요한 함수가 훨씬 더 복잡하다면 어떻게 될까요? 복잡한 기능의 속성은 명확하지 않기 때문에 전체적인 분석이 필요합니다. 그 후에야 기능을 그래픽으로 묘사할 수 있습니다. 어떻게 해야 하나요? 이 기사에서 이 질문에 대한 답을 찾을 수 있습니다.

기능 분석 계획

우리가 가장 먼저 해야 할 일은 정의의 영역을 찾는 동안 함수에 대한 피상적인 연구를 수행하는 것입니다. 그럼 순서대로 시작해 보겠습니다. 정의 영역은 함수가 정의되는 값 집합입니다. 간단히 말해서 함수에서 x 대신 사용할 수 있는 숫자입니다. 범위를 결정하려면 기록을 보면 됩니다. 예를 들어, 함수 y (x) = x 3 + x 2 - x + 43은 실수 집합인 정의 영역을 갖는다는 것이 명백합니다. 음, (x 2 - 2x)/x와 같은 함수를 사용하면 모든 것이 약간 다릅니다. 분모의 숫자는 0이 아니어야 하므로 이 함수의 정의 영역은 0이 아닌 모든 실수가 됩니다.

다음으로 소위 함수의 0을 찾아야 합니다. 이는 전체 함수가 값 0을 취하는 인수 값입니다. 이렇게 하려면 함수를 0과 동일시하고 자세히 고려한 후 몇 가지 변환을 수행해야 합니다. 이미 익숙한 함수 y(x) = (x 2 - 2x)/x를 살펴보겠습니다. 학교 과정에서 우리는 분자가 0일 때 분수는 0과 같다는 것을 알고 있습니다. 따라서 분모를 버리고 분자 작업을 시작하여 0과 동일시합니다. x 2 - 2x = 0을 구하고 x를 괄호 안에 넣습니다. 따라서 x (x - 2) = 0입니다. 결과적으로 x가 0 또는 2일 때 함수는 0과 같다는 것을 알 수 있습니다.

함수 그래프를 검토할 때 많은 사람들이 극점 형태의 문제에 직면합니다. 그리고 그것은 이상합니다. 결국 극단은 상당히 간단한 주제입니다. 나를 믿지 못합니까? 최소 및 최대 포인트에 대해 설명하는 기사의 이 부분을 읽고 직접 확인하십시오.

첫째, 극단이 무엇인지 이해하는 것이 좋습니다. 극값은 함수가 그래프에서 도달하는 한계 값입니다. 최대값과 최소값이라는 두 가지 극단값이 있는 것으로 나타났습니다. 명확성을 위해 위의 그림을 볼 수 있습니다. 연구 영역에서 -1 지점은 함수 y(x) = x 5 - 5x의 최대값이고, 따라서 지점 1은 최소값입니다.

또한 개념을 혼동하지 마십시오. 함수의 극점은 주어진 함수가 극단값을 얻는 인수입니다. 또한 극값은 함수의 최소값과 최대값입니다. 예를 들어, 위의 그림을 다시 생각해 보세요. -1과 1은 함수의 극값이고, 4와 -4는 극값 자체입니다.

극점 찾기

그런데 함수의 극점을 어떻게 찾나요? 모든 것이 아주 간단합니다. 가장 먼저 할 일은 방정식의 미분을 찾는 것입니다. "함수 y(x)의 극점을 찾으세요. x는 인수입니다. 명확성을 위해 함수 y(x) = x 3 + 2x 2 + x + 54를 사용하겠습니다. 미분하고 다음 방정식을 얻습니다: 3x 2 + 4x + 1. 결과적으로 표준 이차 방정식이 생겼습니다. 다음에 해야 할 일은 이를 0과 동일시하고 근을 찾는 것입니다. 판별식이 0보다 크므로(D = 16 - 12 = 4), 이 방정식은 두 개의 근에 의해 결정됩니다. 이를 찾아 두 값(1/3과 -1)을 얻습니다. 이것이 함수의 극점이 됩니다. 그러나 누가 누구인지 어떻게 알 수 있습니까? 어떤 점이 최대이고 어느 점이 최소인가요?이렇게 하려면 이웃한 점을 가져와 그 값을 알아내야 합니다.예를 들어 -1에서 좌표선을 따라 왼쪽에 있는 숫자 -2를 가져옵니다. . 이 값을 방정식 y(-2) = 12 - 8 + 1 = 5로 대체합니다. 결과적으로 양수를 얻습니다. 이는 함수의 간격이 1/3에서 -1로 증가한다는 것을 의미합니다. , 차례로 마이너스 무한대에서 1/3까지, 그리고 -1에서 플러스 무한대까지의 간격에서 함수가 감소한다는 것을 의미합니다. 따라서 우리는 연구 구간에서 함수의 최소점은 1/3이고 최대점은 -1이라고 결론을 내릴 수 있습니다.

통합 상태 시험에서는 극점을 찾는 것뿐만 아니라 극점을 사용하여 일종의 작업(덧셈, 곱셈 등)을 수행해야 한다는 점도 주목할 가치가 있습니다. 이러한 이유로 문제의 조건에 특별한 주의를 기울일 가치가 있습니다. 결국 부주의로 인해 점수를 잃을 수 있습니다.