주어진 이차형의 표준형을 구합니다. 이중선형 및 2차 형태

220400 대수학 및 기하학 Tolstikov A.V.

강의 16. 이중선형 및 2차 형태.

계획

1. 이중선형 형태와 그 속성.

2. 이차 모양. 이차 형태의 행렬. 좌표 변환.

3. 이차 형식을 표준 형식으로 줄입니다. 라그랑주 방법.

4. 이차 형태의 관성의 법칙.

5. 고유값 방법을 사용하여 2차 형식을 표준 형식으로 줄입니다.

6. 이차 형태의 양의 명확성에 대한 은중 기준.

1. 분석기하학 및 선형대수학 과정. M.: 나우카, 1984년.

2. Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. 선형 대수학 및 분석 기하학의 요소. 1997.

3. Voevodin V.V. 선형대수학. M.: Nauka 1980.

4. 대학 문제 수집. 선형 대수학 및 수학적 분석의 기초. 에드. Efimova A.V., Demidovich B.P.. M.: Nauka, 1981.

5. Butuzov V.F., Krutitskaya N.Ch., Shishkin A.A. 질문과 문제에 대한 선형 대수학. M .: Fizmatlit, 2001.

, , , ,

1. 이중선형 형태와 그 속성.허락하다 다섯 - N-필드 위의 차원 벡터 공간 피.

정의 1.이중선형 형식, 정의됨 다섯,이러한 매핑을 호출합니다. g: V 2 ® 피, 각 주문쌍에 대한 ( 엑스 , 와이 ) 벡터 엑스 , 와이 넣어에서 다섯필드의 숫자와 일치 피, 표시 g(엑스 , 와이 ), 각 변수에서 선형 엑스 , 와이 , 즉. 속성이 있는 것:

1) ("엑스 , 와이 , 지 Î 다섯)g(엑스 + 와이 , 지 ) = g(엑스 , 지 ) + g(와이 , 지 );

2) ("엑스 , 와이 Î 다섯) ("a О 피)g(에이 엑스 , 와이 ) = 에 g(엑스 , 와이 );

3) ("엑스 , 와이 , 지 Î 다섯)g(엑스 , 와이 + 지 ) = g(엑스 , 와이 ) + g(엑스 , 지 );

4) ("엑스 , 와이 Î 다섯) ("a О 피)g(엑스 , 와이 ) = 에 g(엑스 , 와이 ).

실시예 1. 벡터 공간에 정의된 모든 내적 다섯이중선형 형식입니다.

2 . 기능 시간(엑스 , 와이 ) = 2엑스 1 와이 1 - 엑스 2 와이 2 +엑스 2 와이 1 곳 엑스 = (엑스 1 ,엑스 2), 와이 = (와이 1 ,와이 2)О 아르 자형 2, 이중선형 형식 아르 자형 2 .

정의 2.허락하다 다섯 = (다섯 1 , 다섯 2 ,…, 다섯 N 다섯.이중선형 행렬g(엑스 , 와이 ) 기초에 비해다섯매트릭스라고 불리는 비=(비 ij)N ´ N, 그 요소는 공식에 의해 계산됩니다 비 ij = g(다섯 나, 다섯 j):

실시예 3. 이중선형 행렬 시간(엑스 , 와이 ) (예 2 참조) 베이시스 대비 이자형 1 = (1,0), 이자형 2 = (0,1)은 와 같습니다.

정리 1. 허락하다X, Y - 각각 벡터의 좌표 열엑스 , 와이기초에v, B - 이중선형 행렬g(엑스 , 와이 ) 기초에 비해다섯. 그러면 이중선형 형식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

g(엑스 , 와이 )=X t BY. (1)

증거.우리는 이중 선형 형태의 속성으로부터

실시예 3. 이중선형 형식 시간(엑스 , 와이 )(예제 2 참조)는 다음 형식으로 작성할 수 있습니다. 시간(엑스 , 와이 )=.

정리 2. 허락하다 다섯 = (다섯 1 , 다섯 2 ,…, 다섯 N), 유 = (유 1 , 유 2 ,…, 유 N) - 두 개의 벡터 공간 베이스V, T - 기초로부터의 전이 행렬v 기초로유. 허락하다 비= (비 ij)N ´ N 그리고 와 함께=(ij와 함께)N ´ N - 이중선형 행렬g(엑스 , 와이 ) 베이스에 대해 각각 상대적인v 및유. 그 다음에

와 함께=ㅜㅜ BT.(2)

증거.전이 행렬과 이중선형 행렬의 정의를 통해 다음을 찾을 수 있습니다.

정의 2.이중선형 형식 g(엑스 , 와이 ) 라고 한다 대칭, 만약에 g(엑스 , 와이 ) = g(와이 , 엑스 ) 누구에게나 엑스 , 와이 Î 다섯.

정리 3. 이중선형 형식g(엑스 , 와이 )- 쌍선형 형식의 행렬이 어떤 기저에 대해서도 대칭인 경우에만 대칭입니다.

증거.허락하다 다섯 = (다섯 1 , 다섯 2 ,…, 다섯 N) - 벡터 공간의 기초 V,B= (비 ij)N ´ N- 이중선형 행렬 g(엑스 , 와이 ) 기초에 상대적 다섯.이중 선형 형태를 보자 g(엑스 , 와이 ) - 대칭. 그런 다음 정의에 따라 2 나, 제이 = 1, 2,…, N우리는 비 ij = g(다섯 나, 다섯 j) = g(다섯 j, 다섯 나) = b 지. 그런 다음 매트릭스 비- 대칭.

반대로, 행렬을 보자 비- 대칭. 그 다음에 Bt= 비그리고 모든 벡터에 대해 엑스 = 엑스 1 다섯 1 + …+ xn 다섯 N =vX, 와이 = 와이 1 다섯 1 + 와이 2 다섯 2 +…+ 응 다섯 N =vY Î 다섯, 공식 (1)에 따르면, 우리는 숫자가 1차 행렬이고 전치 중에 변경되지 않는다는 점을 고려합니다.

g(엑스 , 와이 ) =g(엑스 , 와이 )티 = (X t BY)티 = YtBtX = g(와이 , 엑스 ).

2. 이차 모양. 이차 형태의 행렬. 좌표 변환.

정의 1.이차형에 정의됨 다섯,매핑이라고 함 에프:V® 피, 이는 모든 벡터에 대해 엑스 ~에서 다섯평등에 의해 결정된다 에프(엑스 ) = g(엑스 , 엑스 ), 어디 g(엑스 , 와이 )는 다음에 정의된 대칭 이중선형 형식입니다. 다섯 .

속성 1.주어진 이차 형태에 따르면에프(엑스 )이중선형 형식은 공식에 의해 고유하게 발견됩니다.

g(엑스 , 와이 ) = 1/2(에프(엑스 + 와이 ) - 에프(엑스 )-에프(와이 )). (1)

증거.모든 벡터의 경우 엑스 , 와이 Î 다섯우리는 이중선형 형태의 속성으로부터 얻습니다

에프(엑스 + 와이 ) = g(엑스 + 와이 , 엑스 + 와이 ) = g(엑스 , 엑스 + 와이 ) + g(와이 , 엑스 + 와이 ) = g(엑스 , 엑스 ) + g(엑스 , 와이 ) + g(와이 , 엑스 ) + g(와이 , 와이 ) = 에프(엑스 ) + 2g(엑스 , 와이 ) + 에프(와이 ).

이로부터 공식 (1)이 나온다.

정의 2.이차 형태의 행렬에프(엑스 ) 기초에 비해다섯 = (다섯 1 , 다섯 2 ,…, 다섯 N)는 해당 대칭 이중선형 형식의 행렬입니다. g(엑스 , 와이 ) 기초에 상대적 다섯.

정리 1. 허락하다엑스= (엑스 1 ,엑스 2 ,…, xn)티- 벡터의 좌표 열엑스 기초에v, B - 2차 형태의 행렬에프(엑스 ) 기초에 비해다섯. 그런 다음 이차 형태에프(엑스 )

정의 10.4.정식 보기이차 형식(10.1)을 다음 형식이라고 합니다: . (10.4)

고유벡터에 기초하여 이차 형식(10.1)이 표준 형식을 취함을 보여드리겠습니다. 허락하다

고유값에 대응하는 정규화된 고유벡터 람 1 , 람 2 , 람 3정규 직교 기반의 행렬(10.3). 그런 다음 이전 기초에서 새 기초로의 전환 행렬은 다음과 같습니다.

. 새로운 기초에서는 매트릭스 에이(고유벡터의 특성에 따라) 대각선 형태(9.7)를 취합니다. 따라서 다음 공식을 사용하여 좌표를 변환합니다.

새로운 기초에서 우리는 고유값과 동일한 계수를 갖는 이차 형식의 정식 형식을 얻습니다. 람 1, 람 2, 람 3:

비고 1. 기하학적 관점에서 고려되는 좌표 변환은 이전 좌표축과 새 좌표축을 결합하는 좌표계의 회전입니다.

비고 2. 행렬(10.3)의 고유값이 일치하면 각각에 직교하는 단위 벡터를 해당 직교 고유벡터에 추가하여 2차 형식이 정규 형식을 취하는 기저를 구성할 수 있습니다.

이차형을 정규형으로 바꾸자

엑스² + 5 와이² + 지² + 2 xy + 6xz + 2yz.

그 행렬은 다음과 같은 형태를 갖습니다. 강의 9에서 논의된 예에서, 이 행렬의 고유값과 직교 고유벡터가 발견됩니다:

다음 벡터로부터 기본으로의 전환 행렬을 만들어 보겠습니다.

(벡터의 순서가 오른쪽 트리플을 형성하도록 변경됩니다.) 공식을 사용하여 좌표를 변환해 보겠습니다.

따라서 이차 형식은 이차 형식 행렬의 고유값과 동일한 계수를 갖는 표준 형식으로 축소됩니다.

강의 11.

2차 곡선. 타원, 쌍곡선 및 포물선, 해당 속성 및 표준 방정식. 2차 방정식을 정식 형식으로 줄입니다.

정의 11.1.2차 곡선평면 위의 원뿔과 꼭지점을 통과하지 않는 평면의 교차선이라고 합니다.

그러한 평면이 원뿔의 한 공동의 모든 생성선과 교차하면 섹션에서 다음과 같이 나타납니다. 타원, 두 공동의 생성선 교차점에서 – 쌍곡선, 절단면이 모선과 평행하면 원뿔 단면은 다음과 같습니다. 포물선.

논평. 모든 2차 곡선은 두 변수의 2차 방정식으로 지정됩니다.

타원.

정의 11.2.타원두 고정점까지의 거리의 합이 다음과 같은 평면상의 점들의 집합입니다. 에프 1과 에프 트릭는 상수 값입니다.

논평. 포인트가 일치하는 경우 에프 1과 에프 2 타원이 원으로 변합니다.

데카르트 시스템을 선택하여 타원 방정식을 유도해 보겠습니다.

yM(x,y)축이 되도록 조정 오직선과 일치 에프 1 에프 2, 시작

r 1 r 2 좌표 – 세그먼트 중간 에프 1 에프 2. 이것의 길이를 보자

세그먼트는 2와 같습니다. 와 함께, 선택한 좌표계에서

F 1 O F 2 x 에프 1 (-기음, 0), 에프 2 (기음, 0). 요점을 보자 M(x, y)는 타원 위에 있고,

그 곳까지의 거리의 합 에프 1과 에프 2는 2와 같습니다 에이.

그 다음에 아르 자형 1 + 아르 자형 2 = 2에이, 하지만 ,

그러므로 표기법을 도입하면 비² = 에이²- 기음² 간단한 대수 변환을 수행한 후 다음을 얻습니다. 표준 타원 방정식: (11.1)

정의 11.3.이심률타원의 크기를 크기라고 부른다 e=s/a (11.2)

정의 11.4.여자 교장 디 나는초점에 해당하는 타원 나는 나는축을 기준으로 오축에 수직 오멀리서 a/e원산지에서.

논평. 다른 좌표계를 선택하면 타원은 표준 방정식(11.1)이 아닌 다른 유형의 2차 방정식으로 지정될 수 있습니다.

타원 속성:

1) 타원에는 서로 수직인 두 개의 대칭축(타원의 주축)과 대칭 중심(타원의 중심)이 있습니다. 타원이 표준 방정식으로 제공되면 주축은 좌표축이고 중심은 원점입니다. 타원과 주축의 교차점에 의해 형성된 세그먼트의 길이는 2와 같기 때문에 에이그리고 2 비 (2에이>2비), 초점을 통과하는 주축을 타원의 장축이라고 하고 두 번째 주축을 단축이라고 합니다.

2) 전체 타원이 직사각형 안에 포함됩니다.

3) 타원 이심률 이자형< 1.

정말,

4) 타원의 준선은 타원 외부에 위치합니다(타원의 중심에서 준선까지의 거리가 a/e, 에이 이자형<1, следовательно, a/e>a, 전체 타원은 직사각형 안에 있습니다)

5) 거리 비율 나는타원 점에서 초점까지 나는먼 곳으로 디 나는이 지점에서 초점에 해당하는 준선까지의 길이는 타원의 이심률과 같습니다.

증거.

지점으로부터의 거리 M(x, y)타원의 초점까지 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

준선 방정식을 만들어 보겠습니다.

(디 1), (디 2). 그 다음에 여기에서 r i / d i = e, 이는 입증이 필요한 것이었습니다.

쌍곡선.

정의 11.5.과장법두 고정점까지의 거리 차이 계수가 다음과 같은 평면의 점 집합입니다. 에프 1과 에프이 비행기의 2대 트릭는 상수 값입니다.

동일한 표기법을 사용하여 타원 방정식의 유도와 유사하게 쌍곡선의 표준 방정식을 유도해 보겠습니다.

|r 1 - r 2 | = 2에이, 어디에서 우리가 표시하면 비² = 기음² - 에이², 여기에서 다음을 얻을 수 있습니다.

- 표준 쌍곡선 방정식. (11.3)

정의 11.6.이심률쌍곡선은 양이라고 불린다 e = c/a.

정의 11.7.여자 교장 디 나는초점에 해당하는 쌍곡선 나는, 과 동일한 반평면에 위치한 직선이라고 합니다. 나는축을 기준으로 오축에 수직 오멀리서 a/e원산지에서.

쌍곡선의 속성:

1) 쌍곡선에는 두 개의 대칭축(쌍곡선의 주축)과 대칭 중심(쌍곡선의 중심)이 있습니다. 이 경우, 이들 축 중 하나는 쌍곡선의 정점이라고 불리는 두 지점에서 쌍곡선과 교차합니다. 쌍곡선의 실수축(축)이라고 합니다. 오좌표계의 정식 선택을 위해). 다른 축은 쌍곡선과 공통점이 없으며 허수 축이라고 합니다(표준 좌표계에서는 축 오). 그것의 양쪽에는 쌍곡선의 오른쪽과 왼쪽 가지가 있습니다. 쌍곡선의 초점은 실수 축에 위치합니다.

2) 쌍곡선의 가지에는 다음 방정식에 의해 결정되는 두 개의 점근선이 있습니다.

3) 쌍곡선(11.3)과 함께 표준 방정식으로 정의되는 소위 공액 쌍곡선을 고려할 수 있습니다.

동일한 점근선을 유지하면서 실수 축과 허수 축이 교체됩니다.

4) 쌍곡선의 이심률 이자형> 1.

5) 거리 비율 나는쌍곡선 점에서 초점까지 나는먼 곳으로 디 나는이 지점에서 초점에 해당하는 준선까지의 값은 쌍곡선의 이심률과 같습니다.

증명은 타원의 경우와 같은 방식으로 수행될 수 있습니다.

포물선.

정의 11.8.포물선어떤 고정점까지의 거리가 다음과 같은 평면상의 점들의 집합이다. 에프이 평면은 고정된 직선까지의 거리와 같습니다. 점 에프~라고 불리는 집중하다포물선이고 직선은 그것입니다. 여자 교장.

포물선 방정식을 도출하기 위해 데카르트식을 선택합니다.

원점이 중심이 되도록 좌표계

D M(x,y) 수직 FD, 지시문의 초점에서 생략됨

r su, 좌표축은 평행하게 위치하고