예제를 통해 선형 방정식 풀기 두 변수를 사용하여 방정식 풀기 방정식 2 4 풀기

하나의 미지수가 있는 방정식은 괄호를 열고 유사한 용어를 가져온 후 다음 형식을 취합니다.

도끼 + b = 0, 여기서 a와 b는 임의의 숫자라고 합니다. 일차 방정식 알 수 없는 사람과 함께. 오늘 우리는 이러한 선형 방정식을 푸는 방법을 알아 보겠습니다.

예를 들어 모든 방정식은 다음과 같습니다.

2x + 3= 7 – 0.5x; 0.3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - 선형.

방정식을 진정한 평등으로 바꾸는 미지수의 값을 다음과 같이 부릅니다. 결정 또는 방정식의 근본 .

예를 들어 방정식 3x + 7 = 13에서 알 수 없는 x 대신 숫자 2를 대체하면 올바른 평등 3 2 +7 = 13을 얻습니다. 이는 x = 2 값이 해 또는 근임을 의미합니다. 방정식의.

그리고 x = 3 값은 3x + 7 = 13 방정식을 진정한 동등성으로 바꾸지 않습니다. 왜냐하면 3 2 +7 ≠ 13이기 때문입니다. 이는 x = 3 값이 방정식의 해나 근이 아니라는 것을 의미합니다.

선형 방정식을 푸는 것은 다음 형식의 방정식을 푸는 것으로 줄어듭니다.

도끼 + b = 0.

방정식의 왼쪽에서 오른쪽으로 자유 항을 이동하고 b 앞의 기호를 반대쪽으로 변경해 보겠습니다.

a ≠ 0이면 x = − b/a .

예시 1. 방정식 3x + 2 =11을 푼다.

2를 방정식의 왼쪽에서 오른쪽으로 이동하고 2 앞의 기호를 반대쪽으로 바꾸면 다음을 얻습니다.
3x = 11 – 2.

그럼 뺄셈을 해보자
3x = 9.

x를 찾으려면 제품을 알려진 요소로 나누어야 합니다.
x = 9:3.

이는 x = 3 값이 방정식의 해 또는 근이라는 것을 의미합니다.

답: x = 3.

a = 0이고 b = 0인 경우, 그러면 방정식 0x = 0을 얻습니다. 이 방정식에는 무한히 많은 해가 있습니다. 숫자에 0을 곱하면 0이 되지만 b도 0과 같기 때문입니다. 이 방정식의 해는 임의의 숫자입니다.

예시 2.방정식 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x − 1을 풉니다.

대괄호를 확장해 보겠습니다.
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x – 1.

5x – 3x – 2x = – 12 – 1 + 15 – 2.

다음은 유사한 용어입니다.
0x = 0.

답: x - 임의의 숫자.

a = 0이고 b ≠ 0인 경우, 그러면 방정식 0x = - b를 얻습니다. 이 방정식에는 해가 없습니다. 숫자에 0을 곱하면 0이 되지만 b ≠ 0이 되기 때문입니다.

예시 3.방정식 x + 8 = x + 5를 풉니다.

왼쪽에는 알려지지 않은 용어가 포함된 용어를, 오른쪽에는 자유 용어가 포함된 용어를 그룹화해 보겠습니다.
x – x = 5 – 8.

다음은 유사한 용어입니다.
0х = ‐ 3.

답변: 해결책이 없습니다.

~에 그림 1 선형 방정식을 풀기 위한 다이어그램을 보여줍니다.

하나의 변수를 사용하여 방정식을 풀기 위한 일반적인 계획을 작성해 보겠습니다. 예제 4의 솔루션을 고려해 보겠습니다.

예시 4. 방정식을 풀어야 한다고 가정해 보겠습니다.

1) 방정식의 모든 항에 분모의 최소공배수(12)를 곱합니다.

2) 감소 후에 우리는 얻는다
4(x – 4) + 3 2(x + 1) − 12 = 6 5(x – 3) + 24x – 2(11x + 43)

3) 알 수 없는 용어와 자유 용어가 포함된 용어를 구분하려면 괄호를 엽니다.
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.

4) 한 부분에는 알려지지 않은 용어를 포함하고 다른 부분에는 자유 용어를 그룹화합니다.
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‐ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) 비슷한 용어를 제시해 보겠습니다.
- 22х = - 154.

6) – 22로 나누면 다음과 같은 결과가 나옵니다.
x = 7.

보시다시피 방정식의 근은 7입니다.

일반적으로 그런 방정식은 다음 구성표를 사용하여 풀 수 있습니다:

a) 방정식을 정수 형태로 만듭니다.

b) 괄호를 엽니다.

c) 방정식의 한 부분에는 미지수를 포함하는 항을 그룹화하고 다른 부분에는 자유 항을 그룹화합니다.

d) 유사한 회원을 데려옵니다.

e) 유사한 항을 가져온 후 얻은 aх = b 형식의 방정식을 푼다.

그러나 이 방식이 모든 방정식에 필요한 것은 아닙니다. 많은 간단한 방정식을 풀 때는 첫 번째 방정식부터 시작하지 않고 두 번째 방정식부터 시작해야 합니다( 예. 2), 세 번째( 예. 13) 그리고 예 5에서와 같이 다섯 번째 단계에서도 가능합니다.

실시예 5.방정식 2x = 1/4을 푼다.

미지의 x = 1/4: 2를 구하고,
엑스 = 1/8 .

주 상태 시험에서 발견된 몇 가지 선형 방정식을 푸는 방법을 살펴보겠습니다.

실시예 6.방정식 2 (x + 3) = 5 – 6x를 푼다.

2x + 6 = 5 – 6x

2x + 6x = 5 – 6

답: - 0.125

실시예 7.방정식 – 6(5 – 3x) = 8x – 7을 풉니다.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x – 8x = – 7 +30

답: 2.3

실시예 8. 방정식을 풀어보세요

3(3x – 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x – 28x = 24 + 12

실시예 9. f(x + 2) = 3 7이면 f(6)을 구하세요.

해결책

f(6)을 찾아야 하고 f(x + 2)를 알고 있으므로,
그러면 x + 2 = 6입니다.

우리는 선형 방정식 x + 2 = 6을 풀었습니다.
우리는 x = 6 – 2, x = 4를 얻습니다.

x = 4이면
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

답: 27.

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7학년 수학시간에 우리는 처음으로 마주하게 됩니다. 변수가 두 개인 방정식, 그러나 두 개의 미지수가 있는 방정식 시스템의 맥락에서만 연구됩니다. 그렇기 때문에 특정 조건을 제한하는 방정식의 계수에 특정 조건이 도입되는 일련의 문제가 시야에서 사라지는 것입니다. 또한 이러한 종류의 문제는 통합 국가 시험 자료 및 입학 시험에서 점점 더 자주 발견되지만 "자연수 또는 정수로 방정식 풀기"와 같은 문제 해결 방법도 무시됩니다.

어떤 방정식을 변수가 두 개인 방정식이라고 부를까요?

예를 들어 방정식 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 또는 xy = 12는 두 변수의 방정식입니다.

방정식 2x – y = 1을 생각해 보세요. x = 2이고 y = 3일 때 참이 되므로 이 변수 ​​값 쌍은 문제의 방정식에 대한 해입니다.

따라서 두 개의 변수가 있는 방정식에 대한 해법은 이 방정식을 진정한 수치 동등성으로 바꾸는 변수 값인 순서쌍(x; y)의 집합입니다.

두 개의 미지수가 있는 방정식은 다음과 같습니다.

ㅏ) 하나의 해결책을 가지고 있습니다.예를 들어, 방정식 x 2 + 5y 2 = 0에는 고유한 해(0; 0)가 있습니다.

비) 여러 가지 솔루션을 가지고 있습니다.예를 들어, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 에는 (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) 해결책이 없습니다.예를 들어, 방정식 x 2 + y 2 + 1 = 0에는 해가 없습니다.

G) 무한히 많은 솔루션을 가지고 있습니다.예를 들어, x + y = 3입니다. 이 방정식의 해는 합이 3인 숫자입니다. 이 방정식의 해 집합은 (k; 3 – k) 형식으로 작성할 수 있습니다. 여기서 k는 실수입니다. 숫자.

변수가 2개인 방정식을 푸는 주요 방법으로는 인수분해식을 기반으로 한 방법, 완전제곱식을 분리하는 방법, 2차 방정식의 성질을 이용한 유한식, 추정방법 등이 있다. 방정식은 일반적으로 미지수를 찾는 시스템을 얻을 수 있는 형식으로 변환됩니다.

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예시 1.

방정식을 푼다: xy – 2 = 2x – y.

해결책.

인수분해를 위해 용어를 그룹화합니다.

(xy + y) – (2x + 2) = 0. 각 괄호에서 공통 인수를 꺼냅니다.

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. 우리는 다음을 가집니다:

y = 2, x – 임의의 실수 또는 x = -1, y – 임의의 실수.

따라서, 답은 (x; 2), x € R 및 (-1; y), y € R 형식의 모든 쌍입니다.

음수가 아닌 숫자를 0으로 동일화

예시 2.

방정식을 푼다: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

해결책.

그룹화:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. 이제 차이 제곱 공식을 사용하여 각 괄호를 접을 수 있습니다.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

음수가 아닌 두 표현식의 합은 3x – 2 = 0 및 2y – 3 = 0인 경우에만 0입니다.

이는 x = 2/3 및 y = 3/2를 의미합니다.

답: (2/3; 3/2).

추정방법

예시 3.

방정식을 푼다: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

해결책.

각 괄호에서 완전한 정사각형을 선택합니다.

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. 추정해보자 괄호 안의 표현의 의미.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 및 (y – 2) 2 + 2 ≥ 2이면 방정식의 좌변은 항상 2 이상입니다. 다음과 같은 경우 등식이 가능합니다.

(x + 1) 2 + 1 = 1 및 (y – 2) 2 + 2 = 2, 이는 x = -1, y = 2를 의미합니다.

답: (-1; 2).

2차 변수 두 개를 사용하여 방정식을 푸는 또 다른 방법에 대해 알아봅시다. 이 방법은 방정식을 다음과 같이 처리하는 것으로 구성됩니다. 어떤 변수에 대한 정사각형.

예시 4.

방정식을 푼다: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

해결책.

방정식을 x에 대한 이차방정식으로 풀어봅시다. 판별식을 찾아봅시다:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . 방정식은 D = 0, 즉 y = 4인 경우에만 해를 갖게 됩니다. 원래 방정식에 y 값을 대입하여 x = 3임을 알아냅니다.

답: (3; 4).

종종 두 개의 미지수가 있는 방정식에서 다음을 나타냅니다. 변수에 대한 제한.

실시예 5.

방정식을 정수로 풀어보세요: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

해결책.

x 2 = -5y 2 + 20x + 2 형식으로 방정식을 다시 작성해 보겠습니다. 5로 나눈 결과 방정식의 우변은 나머지 2가 됩니다. 따라서 x 2는 5로 나누어지지 않습니다. 그러나 a의 제곱은 5로 나눌 수 없는 숫자는 나머지가 1 또는 4가 됩니다. 따라서 평등은 불가능하며 해결책이 없습니다.

답: 뿌리가 없습니다.

실시예 6.

방정식을 푼다: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

해결책.

각 괄호 안의 완전한 사각형을 강조해 보겠습니다.

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. 방정식의 좌변은 항상 3보다 크거나 같습니다. |x|가 제공되면 동등이 가능합니다. – 2 = 0 및 y + 3 = 0. 따라서 x = ± 2, y = -3입니다.

답: (2; -3) 및 (-2; -3).

실시예 7.

방정식을 만족하는 모든 음의 정수 쌍(x;y)에 대해
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, 합(x + y)을 계산합니다. 귀하의 답변에 가장 적은 금액을 표시해 주십시오.

해결책.

완전한 정사각형을 선택해 보겠습니다.

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. x와 y는 정수이므로 이들의 제곱도 정수입니다. 1 + 36을 더하면 두 정수의 제곱의 합은 37이 됩니다. 따라서:

(x – y) 2 = 36 및 (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 및 (y + 2) 2 = 36.

이러한 시스템을 풀고 x와 y가 음수임을 고려하여 (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8) 솔루션을 찾습니다.

답: -17.

두 개의 미지수가 있는 방정식을 푸는 데 어려움이 있더라도 절망하지 마십시오. 약간의 연습만 하면 어떤 방정식도 다룰 수 있습니다.

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1. 대체 방법을 사용하여 시스템을 해결합니다.
2. 시스템 방정식의 항별 덧셈(뺄셈)으로 시스템을 해결합니다.

연립방정식을 풀기 위해 대체 방법으로간단한 알고리즘을 따라야 합니다.
1. 익스프레스. 모든 방정식에서 우리는 하나의 변수를 표현합니다.
2. 대체. 결과 값을 표현된 변수 대신 다른 방정식으로 대체합니다.
3. 하나의 변수를 사용하여 결과 방정식을 풉니다. 우리는 시스템에 대한 해결책을 찾습니다.

해결하다 항별 덧셈(뺄셈) 방식에 의한 시스템필요하다:
1. 동일한 계수를 만들 변수를 선택합니다.
2. 방정식을 더하거나 빼면 변수가 하나인 방정식이 생성됩니다.
3. 결과를 해결 일차 방정식. 우리는 시스템에 대한 해결책을 찾습니다.

시스템에 대한 해법은 함수 그래프의 교차점입니다.

예제를 사용하여 시스템 솔루션을 자세히 살펴 보겠습니다.

예시 #1:

대체법으로 풀어보자

2x+5y=1 (1개 방정식)
x-10y=3 (두 번째 방정식)

1. 익스프레스
두 번째 방정식에는 계수가 1인 변수 x가 있다는 것을 알 수 있는데, 이는 두 번째 방정식에서 변수 x를 표현하는 것이 가장 쉽다는 것을 의미한다.
x=3+10년

2. 이를 표현한 후 첫 번째 방정식에 변수 x 대신 3+10y를 대체합니다.
2(3+10년)+5년=1

3. 하나의 변수를 사용하여 결과 방정식을 풉니다.
2(3+10y)+5y=1 (괄호 열기)
6+20년+5년=1
25년=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2

방정식 시스템의 해는 그래프의 교점이므로 교점은 x와 y로 구성되므로 x와 y를 찾아야 합니다. x를 구하고, 표현한 첫 번째 점에서 y를 대체합니다.
x=3+10년
x=3+10*(-0.2)=1

먼저 변수 x를 쓰고 두 번째로 변수 y를 쓰는 것이 관례입니다.
답: (1; -0.2)

예시 #2:

항별 덧셈(뺄셈) 방법을 이용하여 풀어보겠습니다.

3x-2y=1 (1 방정식)
2x-3y=-10 (두 번째 방정식)

1. 변수를 선택합니다. x를 선택한다고 가정해 보겠습니다. 첫 번째 방정식에서 변수 x의 계수는 3이고 두 번째 방정식은 2입니다. 계수를 동일하게 만들어야 합니다. 이를 위해 방정식을 곱하거나 임의의 숫자로 나눌 수 있는 권리가 있습니다. 첫 번째 방정식에 2를 곱하고 두 번째 방정식에 3을 곱하여 총 계수 6을 얻습니다.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. 첫 번째 방정식에서 두 번째 방정식을 빼서 변수 x를 제거하고 선형 방정식을 풉니다.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. x를 찾으세요. 발견된 y를 임의의 방정식, 즉 첫 번째 방정식에 대체합니다.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

교차점은 x=4.6입니다. y=6.4
답: (4.6; 6.4)

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