경제학의 확률론적 모델. 결정론적 모델과 확률론적 모델

경제 및 프로그래밍의 수학적 모델

1. 경제학의 결정론적 및 확률론적 수학적 모델. 장점과 단점

경제 프로세스를 연구하는 방법은 연구되는 프로세스, 시스템 또는 활동 유형을 나타내는 수학적(결정론적 및 확률론적) 모델의 사용을 기반으로 합니다. 이러한 모델은 문제에 대한 정량적 설명을 제공하고 최적의 옵션을 찾을 때 관리 결정을 내리는 기초 역할을 합니다. 이러한 결정이 얼마나 정당한지, 최선인지, 최적의 솔루션을 결정하는 모든 요소를 ​​고려하고 평가하는지, 이 솔루션이 실제로 최고인지 결정하는 기준은 무엇입니까? 이러한 질문의 범위는 다음과 같습니다. 생산 관리자에게 매우 중요하며 운영 연구 방법 [Chesnokov S.V. 사회 경제적 데이터의 결정론적 분석. - M .: Nauka, 1982, p. 45].

제어 시스템을 형성하는 원리 중 하나는 사이버네틱스(수학적) 모델 방법입니다. 수학적 모델링은 실험과 이론 사이의 중간 위치를 차지합니다. 즉, 시스템의 실제 물리적 모델을 구축할 필요가 없으며 수학적 모델로 대체됩니다. 제어 시스템 형성의 특징은 프로세스 제어에 대한 확률적, 통계적 접근 방식에 있습니다. 사이버네틱스에서는 모든 제어 프로세스가 무작위적이고 혼란스러운 영향을 받는다는 것이 인정됩니다. 따라서 생산 공정은 결정론적인 방식으로 고려할 수 없는 수많은 요인의 영향을 받습니다. 따라서 생산 과정은 랜덤 신호의 영향을 받는 것으로 간주됩니다. 이 때문에 기업 계획은 확률론적일 수밖에 없습니다.

이러한 이유로 경제 과정의 수학적 모델링에 대해 말할 때 종종 확률 모델을 의미합니다.

각 유형의 수학적 모델을 설명하겠습니다.

결정론적 수학적 모델은 일부 요소와 유효 지표의 관계를 기능적 의존성으로 설명한다는 사실이 특징입니다. 즉, 결정론적 모델에서 모델의 유효 지표는 곱, 몫, 대수학의 형태로 표시됩니다. 요인의 합이나 다른 함수의 형태로 나타납니다. 이러한 유형의 수학적 모델은 가장 일반적입니다. 왜냐하면 (확률 모델에 비해) 사용이 매우 간단하기 때문에 경제 프로세스 개발에서 주요 요인의 작용 논리를 이해하고 그 영향을 정량화할 수 있기 때문입니다. 생산 효율성을 높이기 위해 어떤 요소와 비율을 변경하는 것이 가능하고 권장되는지 이해합니다.

확률론적 수학적 모델은 확률론적 모델에서 요인과 결과 속성 사이의 관계가 확률론적(확률론적)이라는 점에서 결정론적 모델과 근본적으로 다릅니다. 기능적 종속성(결정론적 모델)을 사용하면 동일한 요인 상태가 결과의 단일 상태에 해당합니다. 속성인 반면, 확률 모델에서는 하나의 동일한 요인 상태가 결과 속성의 전체 상태 세트에 해당합니다 [Tolstova Yu.N. 경제 과정의 수학적 분석 논리. -M .: Nauka, 2001, p. 32-33].

결정론적 모델의 장점은 사용이 쉽다는 것입니다. 가장 큰 단점은 위에서 언급한 것처럼 대부분의 경제적 과정이 본질적으로 확률적이기 때문에 현실의 적절성이 낮다는 것입니다.

확률론적 모델의 장점은 일반적으로 결정론적 모델보다 현실과 더 일치한다는 것(더 적절함)입니다. 그러나 확률 모델의 단점은 적용이 복잡하고 노동 집약적이라는 점입니다. 따라서 많은 상황에서는 결정적 모델로 제한하는 것으로 충분합니다.

2. 식량 배급 문제의 예를 사용한 선형 계획법 문제 설명

처음으로 최적의 운송 계획을 수립하기 위한 제안 형태의 선형 프로그래밍 문제를 공식화했습니다. 총 마일리지를 최소화하는 방법은 1930년 소련 경제학자 A. N. Tolstoy의 연구에서 제시되었습니다.

선형 프로그래밍 문제에 대한 체계적인 연구와 이를 해결하기 위한 일반적인 방법의 개발은 러시아 수학자 L. V. Kantorovich, V. S. Nemchinov 및 기타 수학자 및 경제학자의 작업에서 더욱 발전되었습니다. 또한 외국 과학자들, 특히 미국 과학자들의 많은 작품이 선형 프로그래밍 방법에 전념하고 있습니다.

선형 계획법 문제는 선형 함수를 최대화(최소화)하는 것입니다.

제한을 받고 있는

그리고 다

논평. 불평등은 반대의 의미를 가질 수도 있습니다. 해당 부등식에 (-1)을 곱하면 항상 (*) 형식의 시스템을 얻을 수 있습니다.

제약 조건 시스템의 변수 수와 문제의 수학적 모델의 목적 함수가 2인 경우 그래픽으로 풀 수 있습니다.

따라서 우리는 만족스러운 제약 조건 시스템에 맞게 함수를 최대화해야 합니다.

제한 시스템의 불평등 중 하나를 살펴보겠습니다.

기하학적 관점에서 볼 때, 이 부등식을 만족하는 모든 점은 선 위에 있거나 이 선의 평면이 분할되는 반평면 중 하나에 속해야 합니다. 알아내려면 점()이 포함된 항목을 확인해야 합니다.

참고 2. 이면 점(0;0)을 취하는 것이 더 쉽습니다.

음수가 아닌 조건은 각각 경계선을 사용하여 반평면을 정의합니다. 우리는 불평등 시스템이 일관적이라고 가정하고 교차하는 반평면이 볼록 세트인 공통 부분을 형성하고 좌표가 이 시스템에 대한 솔루션인 점 세트를 나타냅니다. 이것은 허용 가능한 세트입니다. 솔루션. 이러한 점(해)의 집합을 해 다각형이라고 합니다. 점, 광선, 다각형 또는 무한한 다각형 영역이 될 수 있습니다. 따라서 선형 계획법의 임무는 목적 함수가 최대(최소) 값을 취하는 결정 다각형의 지점을 찾는 것입니다. 이 점은 솔루션 다각형이 비어 있지 않고 그 위의 목적 함수가 위에서(아래에서) 제한되어 있을 때 존재합니다. 지정된 조건에서 해 다각형의 정점 중 하나에서 목적 함수는 최대값을 취합니다. 이 꼭지점을 결정하기 위해 직선을 만듭니다(여기서 h는 상수임). 대부분의 경우 직선이 사용됩니다. 이 선의 이동 방향을 알아내는 것이 남아 있습니다. 이 방향은 목적 함수의 기울기(역기울기)에 의해 결정됩니다.

각 점의 벡터는 선에 수직이므로 선이 기울기 방향으로 이동할 때 f 값이 증가합니다(반구배 방향으로 감소). 이렇게 하려면 직선과 평행한 직선을 그려 그라데이션 방향(반그라데이션)으로 이동합니다.

선이 솔루션 다각형의 마지막 꼭지점을 통과할 때까지 이러한 구성을 계속합니다. 이 지점이 최적의 값을 결정합니다.

따라서 기하학적 방법을 사용하여 선형 계획법 문제에 대한 해결책을 찾는 단계는 다음과 같습니다.

제한 사항의 부등호를 정확한 등호로 대체하여 방정식을 얻는 선이 구성됩니다.

문제의 각 제약 조건에 의해 정의된 반평면을 찾습니다.

솔루션 다각형을 찾으십시오.

벡터를 만듭니다.

그들은 직선을 만들고 있습니다.

그들은 기울기 또는 반기울기 방향으로 평행한 직선을 구성하고 그 결과 함수가 최대값 또는 최소값을 취하는 지점을 찾거나 함수가 위에서(아래에서) 무한하다는 것을 설정합니다. 허용되는 세트입니다.

함수의 최대(최소) 지점의 좌표가 결정되고 이 지점의 목적 함수 값이 계산됩니다.

합리적인 영양의 문제(식량배급의 문제)

문제의 공식화

농장은 상업적 목적으로 가축을 살찌웁니다. 단순화를 위해 P1, P2, P3, P4의 네 가지 유형의 제품만 있다고 가정해 보겠습니다. 각 제품의 단가는 각각 C1, C2, C3, C4와 같습니다. 이러한 제품에서 다음을 포함하는 식단을 만들어야 합니다. 단백질 - 최소 b1 단위; 탄수화물 - 최소 b2 단위; 지방 - 최소 b3 단위. 제품 P1, P2, P3, P4의 경우 단백질, 탄수화물 및 지방의 함량(제품 단위당 단위)이 알려져 있으며 표에 명시되어 있습니다. 여기서 aij(i=1,2,3,4; j=1) ,2,3) - 특정 숫자; 첫 번째 색인은 제품 번호를 나타내고 두 번째 색인은 요소 번호(단백질, 탄수화물, 지방)를 나타냅니다.

지금까지 우리가 이야기한 시스템 모델은 결정론적(확실함)이었습니다. 입력 영향을 지정하면 시스템의 출력이 고유하게 결정됩니다. 그러나 실제로는 이런 일이 거의 발생하지 않습니다. 실제 시스템에 대한 설명은 일반적으로 불확실성이 내재되어 있습니다. 예를 들어, 정적 모델의 경우 관계식(2.1)을 작성하여 불확실성을 고려할 수 있습니다.

시스템 출력으로 정규화된 오류는 어디에 있습니까?

불확실성의 이유는 다양합니다.

– 시스템 입력 및 출력 측정의 오류 및 간섭(자연 오류)

– 시스템 모델 자체의 부정확성으로 인해 모델에 인위적으로 오류가 도입됩니다.

– 시스템 매개변수 등에 관한 불완전한 정보

불확실성을 명확히 하고 공식화하는 다양한 방법 중에서 가장 널리 퍼진 방법은 불확실한 양을 무작위로 간주하는 혼돈(확률적) 접근 방식입니다. 확률 이론과 수학적 통계의 개발된 개념 및 계산 장치를 통해 우리는 시스템 구조 선택 및 매개변수 추정에 대한 구체적인 권장 사항을 제공할 수 있습니다. 연구를 위한 시스템 및 방법의 확률론적 모델 분류가 표에 나와 있습니다. 1.4. 결론 및 권장 사항은 평균 효과를 기반으로 합니다. 특정 수량의 측정 결과가 예상 값에서 무작위로 벗어나면 합산 시 서로 상쇄되며, 많은 수의 측정에 대한 산술 평균이 예상 값에 가까운 것으로 나타납니다. . 이 효과의 수학적 공식은 대수의 법칙과 중심 극한 정리에 의해 제공됩니다. 대수의 법칙에 따르면 수학적 기대값(평균값)과 분산이 있는 확률 변수는 다음과 같습니다.

충분히 큰 N. 이는 측정을 기반으로 임의로 정확한 평가를 할 수 있는 근본적인 가능성을 나타냅니다. 중심 극한 정리(2.32)는 다음과 같이 명시합니다.

표준 정규 분포 확률 변수는 어디에 있습니까?

양의 분포는 잘 알려져 있고 표로 작성되어 있기 때문에(예를 들어 관계식 (2.33)을 사용하면 추정 오류를 계산할 수 있다는 것이 알려져 있습니다. 예를 들어 추정할 때 몇 번의 측정에서 오류를 찾으려고 한다고 가정해 보겠습니다. 각 측정값의 분산이 0.25인 경우 확률이 0.95인 수학적 기대값은 0.01보다 작습니다. (2.33)에서 우리는 불평등이 충족되어야 한다는 것을 얻습니다. 엔> 10000.

물론 공식 (2.32), (2.33)은 더 엄격한 형태로 주어질 수 있으며 이는 확률적 수렴의 개념을 사용하여 쉽게 수행할 수 있습니다. 이러한 엄격한 진술의 조건을 테스트하려고 할 때 어려움이 발생합니다. 예를 들어, 대수의 법칙과 중심 극한 정리는 확률 변수의 개별 측정(구현)의 독립성과 해당 분산의 유한성을 요구합니다. 이러한 조건을 위반하면 결론도 위반될 수 있습니다. 예를 들어, 모든 측정값이 일치하는 경우 다른 모든 조건이 충족되더라도 평균화에 대해서는 의문의 여지가 없습니다. 또 다른 예: 확률 변수가 Cauchy의 법칙(유한한 수학적 기대와 분산이 없는 분포 밀도를 사용)에 따라 분포되는 경우 큰 수의 법칙은 불공평합니다. 그러나 그러한 법칙은 삶에서 발견됩니다! 예를 들어 Cauchy에 따르면, 바다(선박)에 위치하고 무작위로 켜지는 균일하게 회전하는 스포트라이트를 통해 직선 둑 위의 지점을 통합적으로 조명합니다.

그러나 "무작위"라는 용어 사용의 타당성을 확인하는 데 훨씬 더 큰 어려움이 발생합니다. 확률변수, 확률사건 등은 무엇인가요? 흔히들 이벤트라고 하던데 ㅏ우연히, 실험의 결과로 그것이 일어날 수 있다면 (확률적으로) 아르 자형)또는 발생하지 않음(확률 1- 아르 자형).그러나 모든 것이 그렇게 간단하지는 않습니다. 확률의 개념 자체는 특정 수(시리즈)의 실험에서 발생 빈도를 통해서만 실험 결과와 연관될 수 있습니다. 해당 없음- 이벤트가 발생한 실험 횟수, N- 총 수; 실험. 숫자가 충분히 크다면 N일정한 숫자에 접근 r A:

그 사건 ㅏ무작위라고 부를 수 있으며 숫자는 아르 자형- 확률. 이 경우, 서로 다른 일련의 실험에서 관찰된 주파수는 서로 가까워야 합니다(이 속성을 통계적 안정성또는 동종).위의 내용은 확률 변수의 개념에도 적용됩니다. 왜냐하면 사건이 무작위인 경우 값도 무작위이기 때문입니다.<£<Ь} для любых чисел ㅏ,비.일련의 긴 실험에서 그러한 사건의 발생 빈도는 특정 상수 값을 중심으로 그룹화되어야 합니다.

따라서 확률론적 접근 방식을 적용하려면 다음 요구 사항을 충족해야 합니다.

1) 수행되고 있는 대규모 실험, 즉 꽤 많은 숫자입니다.

2) 실험 조건의 반복성, 다양한 실험 결과의 비교를 정당화합니다.

3) 통계적 안정성.

확률론적 접근 방식은 분명히 단일 실험에 적용될 수 없습니다. "내일 비가 올 확률", "0.8의 확률로 Zenit가 컵을 이길 확률" 등과 같은 표현은 의미가 없습니다. 그러나 실험이 광범위하고 반복 가능하더라도 통계적 안정성이 없을 수 있으며 이를 확인하는 것은 쉬운 일이 아닙니다. 확률로부터 빈도의 허용 가능한 편차에 대한 알려진 추정치는 중심 극한 정리 또는 체비쇼프의 부등식을 기반으로 하며 측정의 독립성 또는 약한 의존성에 대한 추가 가설이 필요합니다. 독립조건의 실험적 검증은 추가적인 실험이 필요하기 때문에 더욱 어렵다.

확률 이론을 적용하는 방법론과 실제 레시피는 V.N.의 교육서에 자세히 나와 있습니다. Tutubalin은 아래 인용문으로 제공되는 아이디어입니다.

“확률 이론에 충분히 익숙하지 않은 엔지니어와 자연과학자들 사이에서 가끔 발생하는, 어떤 실험의 결과도 확률 변수로 간주될 수 있다는 오해를 근절하는 것이 매우 중요합니다. 특히 심한 경우에는 정규 분포 법칙에 대한 믿음이 동반되며, 확률 변수 자체가 정규적이지 않으면 로그가 정규적이라고 믿습니다.”

“현대 개념에 따르면 확률 이론 방법의 적용 범위는 통계적 안정성을 특징으로 하는 현상으로 제한됩니다. 그러나 통계적 안정성을 테스트하는 것은 어렵고 항상 불완전하며 부정적인 결론을 내리는 경우가 많습니다. 그 결과, 지질학을 비롯한 모든 지식 분야에서 통계적 안정성을 전혀 확인하지 않는 접근 방식이 표준이 되어 심각한 오류가 발생할 수밖에 없습니다. 또한, 우리의 주요 과학자들이 수행한 사이버네틱스 선전은 (어떤 경우에는!) 다소 예상치 못한 결과를 가져왔습니다. 이제는 사람이 아닌 기계만이 객관적인 과학적 결과를 얻을 수 있다고 믿어집니다.

그러한 상황에서 피터 1세가 러시아 상인들에게 주입시키려고 (실패)했던 오래된 진리를 계속해서 전파하는 것은 모든 교사의 의무입니다. 결국에는 더 많은 이익이 되기 때문에 속임수 없이 정직하게 거래해야 한다는 것입니다. 자신."

문제에 불확실성이 있지만 확률론적 접근 방식을 적용할 수 없는 경우 시스템 모델을 어떻게 구축합니까? 아래에서는 퍼지 집합 이론에 기초한 대안적 접근 방식 중 하나를 간략하게 설명합니다.

관계(와 사이의 관계)는 집합의 부분 집합이라는 점을 상기시켜 드립니다. 저것들. 일부 쌍 세트 R=(( 엑스, ~에)), 어디,. 예를 들어, 기능적 연결(종속성)은 쌍( 엑스, ~에), 이를 위해.

가장 간단한 경우 R은 다음과 같은 항등 관계입니다.

표의 예 12-15. 1. 1은 1988년 86학년 292 M. Koroteev 학생이 발명했습니다.

물론 여기서 수학자는 엄밀히 말하면 (1.4)의 최소값이 달성되지 않을 수 있으며 (1.4)의 공식에서는 rnin을 inf로 대체해야 함을 알 수 있습니다("infimum"은 다음의 정확한 극한값입니다). 세트). 그러나 이것이 상황을 바꾸지는 않습니다. 이 경우 공식화는 작업의 본질을 반영하지 않습니다. 잘못 수행되었습니다. 앞으로는 엔지니어를 "두려워"하지 않기 위해 min, max라는 표기법을 사용할 것입니다. 필요한 경우 보다 일반적인 inf, sup로 대체되어야 한다는 점을 명심하세요.

여기서 "구조"라는 용어는 하위 섹션에서와 같이 다소 좁은 의미로 사용됩니다. 1.1 시스템의 하위 시스템 구성 및 연결 유형을 의미합니다. 그들 사이에.

그래프는 쌍( G, 아르 자형), 여기서 G=(g 1 ... g n)는 정점의 유한 집합입니다. - 이진 관계 G.그렇다면 그래프는 방향이 없는 것으로 불리고, 그렇지 않으면 방향이 있는 것으로 불립니다. 쌍을 호(모서리)라고 하며 집합의 요소는 G- 그래프의 정점.

즉, 대수적이거나 초월적입니다.

엄밀히 말하면, 셀 수 있는 집합은 기술 시스템의 유한한 크기와 인간 인식의 한계로 인해 실질적으로 실현될 수 없는 특정한 이상화입니다. 이러한 이상화된 모델(예: 자연수 집합) N=(1, 2,...))은 유한하지만 사전에 무제한(또는 알 수 없는) 수의 요소가 있는 세트에 대해 도입하는 것이 합리적입니다.

공식적으로 연산의 개념은 집합 요소 간의 관계 개념의 특별한 경우입니다. 예를 들어, 두 숫자를 더하는 연산은 3자리(삼항) 관계를 지정합니다. 아르 자형:세 개의 숫자 (x, y, z) 지) 관계에 속한다 아르 자형((x,y,z)라고 씁니다), z인 경우 = x+y.

복소수, 다항식의 인수 ㅏ(), 안에().

이 가정은 실제로 종종 충족됩니다.

수량을 알 수 없는 경우 (2.33)에서 추정값으로 대체해야 합니다. 이 경우 수량은 더 이상 정상적으로 분포되지 않지만 스튜던트의 법칙에 따라 실제적으로 정상과 구별할 수 없습니다.

(2.34)는 (2.32)의 특별한 경우라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. ㅏ와서 제이- m 실험, 그렇지 않으면. 여기서

그리고 오늘은 "... 그리고 컴퓨터 과학"(저자 메모)을 추가할 수 있습니다.

1. 경제학의 결정론적 및 확률론적 수학적 모델. 장점과 단점

경제 프로세스를 연구하는 방법은 연구되는 프로세스, 시스템 또는 활동 유형을 나타내는 수학적(결정론적 및 확률론적) 모델의 사용을 기반으로 합니다. 이러한 모델은 문제에 대한 정량적 설명을 제공하고 최적의 옵션을 찾을 때 관리 결정을 내리는 기초 역할을 합니다. 이러한 결정이 얼마나 정당한지, 최선인지, 최적의 솔루션을 결정하는 모든 요소를 ​​고려하고 평가하는지, 이 솔루션이 실제로 최고인지 결정하는 기준은 무엇입니까? 이러한 질문의 범위는 다음과 같습니다. 생산 관리자에게 매우 중요하며 운영 연구 방법 [Chesnokov S.V. 사회 경제적 데이터의 결정론적 분석. - M .: Nauka, 1982, p. 45].

제어 시스템을 형성하는 원리 중 하나는 사이버네틱스(수학적) 모델 방법입니다. 수학적 모델링은 실험과 이론 사이의 중간 위치를 차지합니다. 즉, 시스템의 실제 물리적 모델을 구축할 필요가 없으며 수학적 모델로 대체됩니다. 제어 시스템 형성의 특징은 프로세스 제어에 대한 확률적, 통계적 접근 방식에 있습니다. 사이버네틱스에서는 모든 제어 프로세스가 무작위적이고 혼란스러운 영향을 받는다는 것이 인정됩니다. 따라서 생산 공정은 결정론적인 방식으로 고려할 수 없는 수많은 요인의 영향을 받습니다. 따라서 생산 과정은 랜덤 신호의 영향을 받는 것으로 간주됩니다. 이 때문에 기업 계획은 확률론적일 수밖에 없습니다.

이러한 이유로 경제 과정의 수학적 모델링에 대해 말할 때 종종 확률 모델을 의미합니다.

각 유형의 수학적 모델을 설명하겠습니다.

결정론적 수학적 모델은 일부 요소와 유효 지표의 관계를 기능적 의존성으로 설명한다는 사실이 특징입니다. 즉, 결정론적 모델에서 모델의 유효 지표는 곱, 몫, 대수학의 형태로 표시됩니다. 요인의 합이나 다른 함수의 형태로 나타납니다. 이러한 유형의 수학적 모델은 가장 일반적입니다. 왜냐하면 (확률 모델에 비해) 사용이 매우 간단하기 때문에 경제 프로세스 개발에서 주요 요인의 작용 논리를 이해하고 그 영향을 정량화할 수 있기 때문입니다. 생산 효율성을 높이기 위해 어떤 요소와 비율을 변경하는 것이 가능하고 권장되는지 이해합니다.

확률론적 수학적 모델은 확률론적 모델에서 요인과 결과 속성 사이의 관계가 확률론적(확률론적)이라는 점에서 결정론적 모델과 근본적으로 다릅니다. 기능적 종속성(결정론적 모델)을 사용하면 동일한 요인 상태가 결과의 단일 상태에 해당합니다. 속성인 반면, 확률 모델에서는 하나의 동일한 요인 상태가 결과 속성의 전체 상태 세트에 해당합니다 [Tolstova Yu.N. 경제 과정의 수학적 분석 논리. -M .: Nauka, 2001, p. 32-33].

결정론적 모델의 장점은 사용이 쉽다는 것입니다. 가장 큰 단점은 위에서 언급한 것처럼 대부분의 경제적 과정이 본질적으로 확률적이기 때문에 현실의 적절성이 낮다는 것입니다.

확률론적 모델의 장점은 일반적으로 결정론적 모델보다 현실과 더 일치한다는 것(더 적절함)입니다. 그러나 확률 모델의 단점은 적용이 복잡하고 노동 집약적이라는 점입니다. 따라서 많은 상황에서는 결정적 모델로 제한하는 것으로 충분합니다.

처음으로 최적의 운송 계획을 수립하기 위한 제안 형태의 선형 프로그래밍 문제를 공식화했습니다. 총 마일리지를 최소화하는 방법은 1930년 소련 경제학자 A. N. Tolstoy의 연구에서 제시되었습니다.

선형 프로그래밍 문제에 대한 체계적인 연구와 이를 해결하기 위한 일반적인 방법의 개발은 러시아 수학자 L. V. Kantorovich, V. S. Nemchinov 및 기타 수학자 및 경제학자의 작업에서 더욱 발전되었습니다. 또한 외국 과학자들, 특히 미국 과학자들의 많은 작품이 선형 프로그래밍 방법에 전념하고 있습니다.

선형 계획법 문제는 선형 함수를 최대화(최소화)하는 것입니다.

제한을 받고 있는

그리고 다

논평. 불평등은 반대의 의미를 가질 수도 있습니다. 해당 부등식에 (-1)을 곱하면 항상 (*) 형식의 시스템을 얻을 수 있습니다.

제약 조건 시스템의 변수 수와 문제의 수학적 모델의 목적 함수가 2인 경우 그래픽으로 풀 수 있습니다.

그래서 우리는 기능을 극대화해야합니다

제한 시스템의 불평등 중 하나를 살펴보겠습니다.

기하학적 관점에서 볼 때, 이 부등식을 만족하는 모든 점은 다음 중 하나에 있어야 합니다.

비고 2. 만약

음수가 아닌 조건

선이 솔루션 다각형의 마지막 꼭지점을 통과할 때까지 이러한 구성을 계속합니다. 이 지점이 최적의 값을 결정합니다.

따라서 기하학적 방법을 사용하여 선형 계획법 문제에 대한 해결책을 찾는 단계는 다음과 같습니다.

제한 사항의 부등호를 정확한 등호로 대체하여 방정식을 얻는 선이 구성됩니다.

문제의 각 제약 조건에 의해 정의된 반평면을 찾습니다.

솔루션 다각형을 찾으십시오.

빌드 벡터

직선을 구축

평행선 구성

함수의 최대(최소) 지점의 좌표가 결정되고 이 지점의 목적 함수 값이 계산됩니다.

합리적인 영양의 문제(식량배급의 문제)

문제의 공식화

농장은 상업적 목적으로 가축을 살찌웁니다. 단순화를 위해 P1, P2, P3, P4의 네 가지 유형의 제품만 있다고 가정해 보겠습니다. 각 제품의 단가는 각각 C1, C2, C3, C4와 같습니다. 이러한 제품에서 다음을 포함하는 식단을 만들어야 합니다. 단백질 - 최소 b1 단위; 탄수화물 - 최소 b2 단위; 지방 - 최소 b3 단위. 제품 P1, P2, P3, P4의 경우 단백질, 탄수화물 및 지방의 함량(제품 단위당 단위)이 알려져 있으며 표에 명시되어 있습니다. 여기서 aij(i=1,2,3,4; j=1) ,2,3) - 특정 숫자; 첫 번째 색인은 제품 번호를 나타내고 두 번째 색인은 요소 번호(단백질, 탄수화물, 지방)를 나타냅니다.

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시나리오 개발은 상황 전개에 있어 가장 가능성 있는 시나리오 목록에 대한 의미 있는 설명과 정의로 시작됩니다. 이 문제를 해결하기 위해 브레인스토밍(Brainstorming) 방법을 사용할 수 있다.

네트워크 조직

증가하는 외부 환경의 불안정성과 판매 시장의 치열한 경쟁, 제조 제품 세대의 상당히 빠른 변화(평균 5년)의 필요성, 정보 및 컴퓨터 혁명이 큰 영향을 미쳤습니다...

효과적인 리더

효과적인 리더는 전략, 전술적 성격의 새로운 문제를 해결하는 능력, 계획, 재무 관리 및 통제, 대인 커뮤니케이션, 전문성 개발 및...

자원 지원

자원 제공은 조직이 직면한 목표와 목표 달성을 위한 작업 및 작업을 모두 결정하는 데 특별한 역할을 합니다. 동시에 전략을 수립할 때...

인사제도의 구조

더 많은 권한을 위임한다는 것은 직장에서 각 직원의 책임도 더 크다는 것을 의미합니다. 이러한 상황에서는 활동을 자극하고 동기를 부여하는 시스템이 점점 더 중요해집니다.

의사결정의 기술

마지막 단계에서는 의사결정 기술이 중요해집니다. 그러나 뛰어난 예술가는 훌륭하게 연마되고 완벽한 기법을 바탕으로 작품을 만든다는 사실을 잊어서는 안됩니다....

다기준 평가, 기준 시스템 요구사항

경영 결정을 내릴 때 조직과 의사 결정자의 목표를 충족하는 가장 효과적인 솔루션을 선택하려면 손상된 상황과 대안 솔루션을 올바르게 평가하는 것이 중요합니다. 정확한 평가...

불확실성과 위험이 있는 상황에서의 결정

위에서 언급한 바와 같이 의사결정 과정은 항상 예상되는 사건 전개에 대한 관리자의 가정과 연관되어 있으며, 내린 결정은 미래를 목표로 하기 때문에...

검사 대상 비교를 수행할 수 있는 일반 규칙은 다음과 같습니다.

a보다 우수한(열등하지 않은) 대체 옵션 o가 없으면 대체 옵션(객체) a는 비지배됩니다. 모든 구성요소(특정 기준)에 대해. 당연히 비교 대상 중에서 가장 선호되는 것은 ...

조직관리에 대한 Fayol의 생각

경영 과학의 획기적인 발전은 Henri Fayol(1841~1925)의 연구와 관련이 있습니다. 30년 동안 Fayol은 프랑스의 대규모 야금 및 광산 회사를 이끌었습니다. 그는 받아들였다...

조직 발전의 외부 및 내부 요인을 고려하고 조정하는 원칙

조직의 발전은 외부 요인과 내부 요인에 의해 결정됩니다. 외부 요인이나 내부 요인만 고려하여 내린 전략적 결정은 필연적으로 부족함을 겪게 됩니다.

경영 의사결정 과학의 출현과 다른 경영 과학과의 관계

경영 결정의 개발은 경영의 주요 기능인 계획, 조직, 동기 부여, 통제를 연결하는 중요한 프로세스입니다. 활동의 효율성뿐만 아니라...

경영 결정의 목적을 특징 짓는 기준 목록 작성

관리 결정을 내리기 위한 개체의 상대적 선호도를 특징짓는 기준 목록은 여러 가지 자연적 요구 사항을 충족해야 합니다. 위에서 언급했듯이 기준의 개념 자체는 다음과 밀접한 관련이 있습니다.

권한 위임의 주요 규칙

우리는 권한을 위임할 때 반드시 준수해야 할 중요한 규칙을 강조하고 싶습니다. 위임된 권한과 직원에게 할당된 업무는 명확하게 정의되고 모호하지 않아야 합니다.

스크립트의 주요 목적은 문제를 이해하는 데 도움이 되는 열쇠를 제공하는 것입니다.

특정 상황을 분석할 때 이를 특성화하는 변수는 각 변수의 언어 숫자 척도의 특정 그라데이션과 같은 해당 값을 취합니다. 사이의 쌍별 상호작용의 모든 값...

채택된 결정 및 계획 실행의 운영 관리 단계

결정 및 승인에 대한 정보를 전송하는 단계가 끝나면 결정 및 계획 구현에 대한 운영 관리 단계가 시작됩니다. 이 단계에서는 진행 상황을 모니터링합니다...

주요 예측 방법의 분류

기술적 예측은 탐색적(때때로 검색이라고도 함) 예측과 규범적 예측으로 구분됩니다. 탐색적 예측의 기본은 기회를 제시하고 상황 발전 추세를 설정하는 방향입니다.

저수지용 댐 건설

몇 년 전, 한 유명 건설 회사가 인도 비하르의 주 저류 댐 프로젝트에 필요한 시설을 제공하려고 했습니다. 그...

물론 모든 사업가는 생산을 계획할 때 수익성이 있고 이익을 얻을 수 있도록 노력합니다. 비용 분담이 상대적으로 크다면 조직의 수익성 있는 활동에 대해 이야기할 수 있습니다.

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기술 시스템. 기술 개체의 매개변수로는 움직이는 개체, 에너지 개체, 화학 산업 개체, 기계 공학 개체, 가전 제품 등이 있습니다. 기술 시스템의 대상은 제어 이론에서 잘 연구됩니다.

경제적 개체. 경제적 대상은 작업장, 공장, 다양한 산업의 기업입니다. 그 변수 중 하나는 이익과 같은 경제 지표입니다.

생물학적 시스템. 살아있는 시스템은 내부에 내장된 제어 메커니즘 덕분에 중요한 기능을 유지합니다.

결정론적 및 확률론적 시스템

시스템에 적용되는 외부 영향(제어 및 방해)이 특정 알려진 시간 함수인 경우 u=f(t). 이 경우 상미분방정식으로 표현되는 계의 임의의 시점 t의 상태는 이전 시점의 계의 상태에 의해 명확하게 표현될 수 있다. 시스템의 상태가 초기 값에 의해 고유하게 결정되고 언제든지 예측할 수 있는 시스템을 결정론적 시스템이라고 합니다.

확률론적 시스템은 변화가 본질적으로 무작위인 시스템입니다. 예를 들어, 다양한 사용자의 전력 시스템에 미치는 영향입니다. 무작위 영향으로 인해 시스템 상태에 대한 데이터만으로는 다음 시점을 예측하기에 충분하지 않습니다.

무작위 영향은 외부에서 시스템에 적용되거나 일부 요소 내부에서 발생할 수 있습니다(내부 소음). 무작위 영향이 있는 시스템에 대한 연구는 무작위 매개변수의 영향을 놓치지 않도록 모델링 단계를 최소화하면서 기존 방법을 사용하여 수행할 수 있습니다. 더욱이 확률변수의 최대값은 드물기 때문에(기술적으로는 정규분포가 지배적임) 대부분의 시점에서 최소 단계를 선택하는 것은 정당화되지 않을 것입니다.

대부분의 경우 시스템을 설계할 때 이는 최대값이 아니라 임의 매개변수의 가장 가능성 있는 값입니다. 이 경우 특정 기간에 시스템 성능이 저하될 것을 미리 예상하여 보다 합리적인 시스템을 학습합니다. 예를 들어 음극 보호 장치를 설치합니다.

무작위 영향을 받는 시스템의 계산은 특별한 통계 방법을 사용하여 수행됩니다. 많은 테스트를 기반으로 한 무작위 매개변수 추정이 도입되었습니다. 예를 들어, 상트페테르부르크의 지하수 표면 지도입니다.

확률 변수의 통계적 특성은 분포 함수 또는 확률 밀도에 의해 결정됩니다.

개방형 및 폐쇄형 시스템

개방형 시스템의 개념은 L. von Bertalanffy에 의해 도입되었습니다. 개방형 시스템의 주요 특징은 외부 환경과 에너지 및 정보를 교환하는 능력입니다. 폐쇄형(폐쇄형) 시스템은 외부 환경으로부터 격리됩니다(모델에서 허용되는 정확도로).

좋은 시스템과 나쁜 시스템

잘 조직된 시스템. 분석된 개체 또는 프로세스를 "잘 구성된 시스템"의 형태로 제시한다는 것은 시스템의 요소, 상호 관계, 더 큰 구성 요소로 결합하기 위한 규칙, 즉 모든 구성 요소와 목표 간의 연결을 결정하는 것을 의미합니다. 객체가 고려되거나 시스템이 생성되는 관점에서 시스템. 문제 상황은 목표와 수단을 연결하는 수학적 표현의 형태로 설명될 수 있습니다. 즉, 효율성 기준, 시스템 기능에 대한 기준의 형태로 복잡한 방정식이나 시스템으로 표현될 수 있습니다. 방정식. 잘 조직된 시스템의 형태로 제시된 문제의 해결은 시스템의 공식화된 표현에 대한 분석 방법을 통해 수행됩니다.

잘 조직된 시스템의 예: 태양 주위의 행성 운동의 가장 중요한 패턴을 설명하는 태양계; 핵과 전자로 구성된 행성계로 원자를 표시합니다. 작동 조건의 특성(소음 존재, 전원 공급 장치의 불안정성 등)을 고려한 방정식 시스템을 사용하여 복잡한 전자 장치의 작동에 대한 설명입니다.

잘 조직된 시스템의 형태로 물체를 표시하려면 필수적인 구성 요소를 강조하고 이러한 고려 목적에 상대적으로 중요하지 않은 구성 요소를 고려하지 않는 것이 필요합니다. 예를 들어 태양계를 고려할 때, 행성에 비해 작은 운석, 소행성 및 기타 행성 간 공간 요소를 고려하지 마십시오.

잘 조직된 시스템 형태의 객체에 대한 설명은 결정론적 설명을 제공하고 적용의 적법성과 실제 프로세스에 대한 모델의 적절성을 실험적으로 증명할 수 있는 경우에 사용됩니다. 복잡한 다중 구성 요소 개체 또는 다중 기준 문제를 나타내기 위해 잘 구성된 시스템 클래스를 적용하려는 시도는 성공하지 못했습니다. 허용할 수 없을 정도로 많은 시간이 필요하고 구현이 사실상 불가능하며 사용된 모델에 적합하지 않습니다.

제대로 조직되지 않은 시스템. 객체를 "잘못 구성되거나 분산된 시스템"으로 제시할 때 작업은 고려된 모든 구성 요소, 해당 속성 및 구성 요소와 시스템 목표 간의 연결을 결정하는 것이 아닙니다. 시스템은 전체 개체나 현상 클래스에 대한 연구를 기반으로 하는 것이 아니라 개체나 프로세스를 특성화하는 구성 요소를 선택하기 위한 특정 규칙을 기반으로 발견되는 특정 매크로 매개변수 및 패턴 세트가 특징입니다. 연구중. 이러한 표본 조사를 바탕으로 특성이나 패턴(통계적, 경제적)을 파악하여 전체 시스템에 배포합니다. 이 경우 적절한 예약이 이루어집니다. 예를 들어, 통계적 규칙성이 획득되면 특정 신뢰 확률을 통해 전체 시스템의 동작으로 확장됩니다.

분산 시스템 형태로 개체를 표시하는 접근 방식은 대기열 시스템 설명, 기업 및 기관의 직원 수 결정, 관리 시스템의 문서 정보 흐름 연구 등에 널리 사용됩니다.

자기 조직화 시스템. 개체를 자체 구성 시스템으로 표시하는 것은 가장 적게 연구된 개체와 프로세스를 탐색할 수 있는 접근 방식입니다. 자기 조직화 시스템은 확률적 행동, 개별 매개변수 및 프로세스의 비정상성 등 확산 시스템의 특성을 갖습니다. 여기에는 행동 예측 불가능성과 같은 징후가 추가됩니다. 변화하는 환경 조건에 적응하고 시스템이 환경과 상호 작용할 때 구조를 변경하면서 무결성 특성을 유지하는 능력; 가능한 행동 옵션을 형성하고 그 중에서 가장 좋은 것을 선택하는 능력 등. 때때로 이 클래스는 하위 클래스로 나누어져 적응형 또는 자가 조정 시스템, 자가 치유, 자가 재생 및 개발 시스템의 다양한 속성에 해당하는 기타 하위 클래스를 강조합니다. .

예: 생물학적 조직, 사람들의 집단 행동, 기업, 산업, 국가 전체 수준의 관리 조직, 즉 반드시 인적 요소가 있는 시스템에서.

자기 조직화 시스템의 형태로 객체 매핑을 사용할 때 목표 결정과 수단 선택 작업은 일반적으로 분리됩니다. 이 경우 목표 선택 작업은 자동 구성 시스템의 형태로 설명될 수 있습니다. 즉, 자동화 제어 시스템의 기능적 부분 구조, 목표 구조, 계획이 깨질 수 있습니다. 자동화 제어 시스템의 지원 부분(자동 제어 시스템의 기술적 수단의 복합체) 또는 조직 관리 시스템 구조의 구조와 동일한 방식으로 내려갑니다.

시스템 분석 적용의 대부분의 예는 자기 조직화 시스템 형태의 객체 표현을 기반으로 합니다.