스톡스의 정리. 벡터 필드 순환

연속 벡터 필드 a) k와 닫힌 방향의 윤곽선 L이 일부 도메인 G에 있다고 가정합니다. 정의 1. 닫힌 윤곽선 L을 따라 벡터 a의 순환은 윤곽선을 따라 2종 벡터 a의 곡선 적분입니다. L. 여기서 dr은 길이가 미분 호 L과 동일한 벡터이고 방향은 L에 대한 접선 방향과 일치합니다. 31은 윤곽의 방향에 따라 결정됩니다(그림 31). 기호 f는 대체 윤곽선 L을 따라 적분이 취해진다는 것을 의미합니다. b 예 1. 타원 L을 따라 벡터장의 순환을 계산합니다. 순환의 정의에 따라 이 타원의 매개변수 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다. 그러므로, . 이러한 표현식을 공식 (2)에 대입하면 벡터장의 순환을 찾을 수 있습니다. 벡터 로터 스톡스 정리 벡터 필드의 로터(와류) 필드 로터의 불변 정의 필드 로터의 물리적 의미 로터 계산 규칙 8.1. 벡터장의 회전자(와류) 벡터 P, Q, R이 연속이고 모든 인수에 대해 1차 연속 부분 도함수를 갖는 벡터 필드를 생각해 보세요. 정의 2. 벡터 "(M)의 회전자는 기호 rot a로 표시되고 등식으로 정의되는 벡터입니다. 또는 기호적이고 기억하기 쉬운 형식으로 이 행렬식은 첫 번째 행의 요소로 확장됩니다. , 두 번째 행의 요소와 세 번째 행의 요소를 곱하는 연산은 정의 3과 같은 미분 연산으로 이해됩니다. 일부 도메인 G에서 rot a = 0이면 벡터 a의 필드 영역 G에서는 비회전이라고 합니다. 예 2. 벡터 4의 회전자 찾기 공식 (3)에 따르면 회전 a는 벡터이므로 벡터 장, 즉 벡터 a의 회전자의 자기장을 고려할 수 있습니다. 벡터 a의 좌표가 2차 연속 부분 도함수를 갖는다고 가정하면 벡터 rot a의 발산을 계산합니다. 따라서 벡터 로타의 장은 솔레노이드입니다. 정리 7(스토크스). 닫힌 윤곽 L을 따라 벡터 a의 순환은 윤곽 L에 의해 확장되는 임의의 표면 E를 통과하는 이 벡터의 회전자 자속과 동일합니다. 벡터 a의 좌표는 다음의 일부 영역 G에서 연속적인 편도함수를 갖는다고 가정됩니다. 표면 E를 포함하는 공간, 표면 EC G에 대한 법선 점의 단위 벡터 방향은 윤곽 L의 방향과 조정되어 노름의 끝에서 주어진 방향으로 윤곽 주위의 회로 시계 반대 방향으로 진행되는 것으로 보입니다. 이를 고려하고 회전자 (3)의 정의를 사용하여 공식 (4)를 다음 형식으로 다시 작성합니다. 먼저 매끄러운 표면 E와 그 윤곽 L이 xOy의 영역 D에 고유하게 투영되는 경우를 고려해 보겠습니다. 평면과 그 경계 - 각각 윤곽선 A(그림 1) 32). 윤곽선 L의 방향은 윤곽선 A의 특정 방향을 발생시킵니다. 명확성을 위해 윤곽선 L의 방향이 표면 E가 왼쪽에 유지되도록 가정하고 표면 E에 대한 법선 벡터 n은 다음과 같습니다. 예각 7(cos 7 > 0). 표면 E의 방정식과 함수 ψ(x)y)는 연속적이고 닫힌 도메인 D에서 연속 부분 도함수 gf 및 ^를 갖습니다. 적분 선 L이 표면 E에 있다고 가정합니다. 따라서 방정식을 사용하여 이 표면에서 ^(zh, y)의 적분 기호 아래에 있는 r을 대체할 수 있습니다. 곡선 A의 가변점 좌표는 곡선 L의 해당 점 좌표와 동일하므로 L에 대한 적분은 A에 대한 적분으로 대체될 수 있습니다. 오른쪽 적분에 Green의 공식을 적용해 보겠습니다. 이제 영역 D에 대한 적분에서 표면 E에 대한 적분으로 이동합니다. dS = cos 7 da이므로 식 (8)에서 표면 E에 대한 법선 벡터 n°가 표현식 k에 의해 결정된다는 것을 얻습니다. 이것으로부터 그것은 분명합니다. 따라서 등식(9)은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다. E가 세 개의 좌표 평면 모두에 고유하게 투영되는 매끄러운 표면을 고려하면 벡터 필드의 순환 공식의 타당성을 유사하게 확신합니다. 벡터 로터 스톡스의 정리 벡터 필드의 로터 (와류) 필드 로터의 불변 정의 필드 로터의 물리적 의미 로터 계산 규칙 항별로 등식 항을 추가하여 스톡스 공식 ( 5) 또는 짧게 설명 1과 같습니다. 벡터 회전의 장은 솔레노이드이므로 벡터 회전의 흐름은 윤곽선 L에 의해 확장되는 표면 E의 유형에 의존하지 않는다는 것을 보여주었습니다. 설명 2 식 (4)는 표면 ￡이 세 좌표 평면 모두에 고유하게 투영된다는 가정 하에 도출되었습니다. 이 조건이 충족되지 않으면 £를 여러 부분으로 나누어 각 부분이 지정된 조건을 만족하도록 한 다음 적분의 덧셈을 사용합니다. 예 3. 정의를 사용하여 선 1)을 따라 벡터의 순환을 계산합니다. 2) 스톡스의 정리에 따르면. 4 1) 매개변수적으로 선 L을 정의합시다. 그런 다음 2) 로타를 찾습니다. 평면 조각을 윤곽선 L 위로 늘립니다. 그런 다음. 필드 로터의 불변 정의 Stokes의 정리로부터 좌표계 선택과 관련되지 않은 필드 로터의 불변 정의를 얻을 수 있습니다. 정리 8. 어떤 방향으로든 로터 a의 투영은 좌표계의 선택에 의존하지 않으며 이 방향에 수직인 영역의 윤곽을 따라 벡터 a의 표면 순환 밀도와 같습니다. 여기서 (E)는 벡터 l에 수직인 평평한 영역; 5 - 이 사이트의 영역 L - 회로 우회가 벡터 n의 끝에서 시계 반대 방향으로 보이도록 방향이 지정된 사이트의 윤곽입니다. (E) M은 면적 (E)가 벡터 rot a를 고려한 점 M으로 축소되고 이 면적에 대한 법선 벡터 n이 항상 동일하게 유지됨을 의미합니다(그림 2). 33). 4 먼저 스톡스 정리를 벡터 a의 순환 (a,dr)에 적용한 다음 결과 이중 적분에 적용해 보겠습니다. 평균값 정리: 어디에서 (스칼라 곱은 영역의 일부 중간점 Mf에서 가져옵니다( 이자형)). 면적 (E)가 점 M에 끌리면 중간 점 A/c도 점 M으로 향하는 경향이 있으며, 벡터 a 좌표의 편도함수 연속성 가정으로 인해(따라서 회전 a의 연속성) 벡터 rota를 임의의 방향으로 투영하는 것은 좌표계의 선택에 의존하지 않으므로 벡터 rota 자체는 이 선택에 대해 불변입니다. 여기에서 우리는 필드 로터에 대한 다음과 같은 불변 정의를 얻습니다. 필드 로터는 길이가 주어진 지점에서 가장 높은 표면 순환 밀도와 동일한 벡터이며, 이 최고 순환 밀도가 달성되는 영역에 수직으로 향합니다. 이 경우 벡터 로타의 방향은 오른쪽 나사 규칙에 따라 순환이 양수인 윤곽선의 방향과 일치합니다. 8.3. 필드 로터의 물리적 의미 강체가 각속도 u로 고정 축 I를 중심으로 회전한다고 가정합니다. 일반성을 잃지 않으면서 I 축이 Oz 축과 일치한다고 가정할 수 있습니다(그림 34). M(g)를 연구 중인 물체의 점으로 가정하고, 여기서 각속도 벡터는 = wk와 같습니다. 점 M의 선형 속도의 벡터 v를 계산해 보겠습니다. 따라서 벡터 필드의 순환 . 벡터 로터 스톡스 정리 벡터 필드의 로터 (와류) 필드 로터의 불변 정의 필드 로터의 물리적 의미 로터 계산 규칙 따라서 회전하는 강체의 속도 필드의 소용돌이는 다음과 같습니다. 필드의 모든 지점에서 동일하고 회전축과 평행하며 회전 각속도의 두 배와 같습니다. 8.4. 로터 계산 규칙 1. 상수 벡터 c의 로터는 영 벡터 2와 같습니다. 로터는 상수의 선형 특성을 갖습니다. 3. 스칼라 함수 u(M)과 벡터 a(M)의 곱의 컬은 다음 공식으로 계산됩니다.

이 정리를 사용하면 이 벡터의 회전자를 사용하여 유한 길이의 윤곽선을 따라 벡터의 순환을 계산할 수 있습니다.

순환 닫힌 양의 방향 윤곽선을 따른 벡터장 엘 동일 로터 흐름 매끄러운 표면을 통과하는 이 필드 에스 , 다음 윤곽선을 기반으로 합니다.

. (2.12)

정리를 증명하려면 해당 정리가 포함하는 영역의 등고선을 고려하십시오(그림 2.6). 전체 윤곽은 동일한 방향의 기본 윤곽으로 나뉩니다(그림 2.10).

기본 회로를 따른 순환은 다음과 같습니다.
.

모든 인접 윤곽선( 1 그리고 2 그림에서 2.10)에는 다음과 같은 특징이 있습니다. 동일한 필드 값을 가진 공통 경계에서 인접한 각 윤곽선을 따라 순환에 대한 기여는 부호 변경으로 발생합니다(윤곽선의 경우). 1 -ㅏ  비 , 그리고 2 - 비  ㅏ ). 결과적으로 회로의 모든 내부 섹션의 순환에 대한 기여도는 상호 보상되며 회로에 속한 섹션만 보상되지 않은 상태로 유지됩니다. 엘 , 이는 궁극적으로 (2.12)를 제공합니다. .

평면에 위치한 윤곽의 경우 (2.12)의 특별한 경우는 D. Green(M. Ostrogradsky-D. Green)의 공식입니다.

. (2.13)

공식 (2.12)과 (2.13)을 사용하면 두 번째 종류의 곡선 적분 계산을 영역에 대한 이중 적분 계산으로 줄일 수 있습니다. 에스 .

(2.12)에 따른 역전이는 (2.8)과 유사하게 수행됩니다.

2.4. 관찰자 연산자와 라플라스 연산자

다음을 사용하면 벡터 분석 공식 작성이 단순화됩니다. 레이더 운영자 (연산자 W. Hamilton), 이는 벡터입니다.
. 이 벡터 자체는 의미가 없지만 공식 (2.3), (2.5) 및 (2.9)를 간결하게 작성할 수 있습니다.

;
;
. (2.14)

또한, nabla 연산자를 사용하면 고차 미분 연산자의 계산을 단순화할 수 있습니다.

주목해야 할 점은  조심스럽게 다루어야 하며, 사용할 때 이 연산자는 벡터 , 그러나 또한 미분 .

예를 들어 찾아보자
. 를 사용하여 우리는 얻습니다.
. 규칙에 따르면 분화 제품 운영자가 먼저 조치를 취합니다. 첫 번째 승수 다음으로 두번째: . 결과적으로 우리는 얻습니다. 벡터 좌표를 통한 계산 절차에는 훨씬 더 많은 작업이 필요합니다.

(2.15)에 포함되지 않은 전개 공식을 스스로 구해 보십시오.
. 정답은 마지막에 알려드려요 응용 프로그램 1 .

일부 신원 및 2차 작업.

;
;

;
;

라플라스 연산자 ( , 라플라시안 )는 2차 연산자입니다.

좋다  ,  스칼라와 벡터 모두에 적용됩니다.

. (2.17)

데카르트 좌표계(2.18)의 경우 다음과 같이 단순화됩니다.

EMF 이론에서 자주 사용되는 곡선 좌표계에 대한 정보( 원통형 그리고 구의 ) 및 벡터 연산은 다음과 같습니다. 부록 2 .

2.5. 벡터장의 분류

벡터 필드 로터와 발산이 공간 좌표의 함수로 알려진 경우 고유하게 제공됩니다.

이 함수의 값에 따라 다음이 있습니다. 잠재적인 , 와동 (솔레노이드의 ) 필드 및 일반 필드 .

벡터 필드 잠재적으로 , 스칼라 함수가 있는 경우 유 , 이는 다음과 같은 방법으로:
. 기능 유 ~라고 불리는 스칼라 필드 전위 .

필요조건과 충분조건 잠재력 ~이다 0과 같은 로터 (
).

솔레노이드 (와동 )를 벡터장이라고 합니다. , 각 지점에서
(필요조건과 충분조건),
.

솔레노이드 벡터장 다음과 같이 표현될 수 있다
. 이 경우 벡터량은 ~라고 불리는 벡터장 전위 (
).

이 유형의 분야의 이름은 그것이 발견되었다는 사실로 설명될 수 있습니다. 솔레노이드 , – 길이가 직경을 크게 초과하는 인덕터(코어가 있거나 없을 수 있음).

벡터장이 있는 경우
그리고
, 그건 - 일반 필드 .

일반적인 유형의 임의의 벡터장은 전위와 소용돌이 부분의 합으로 표현될 수 있습니다.
, - 어디에 포함됨 현장 소스 (
) 및 –필드 소용돌이 (
).

이제 적분 및 미분 연산과 벡터 분석의 기본 정리를 연구한 후 EMF 이론의 기초 연구를 시작할 수 있습니다. 맥스웰의 방정식 시스템 .

모든 지점에서 알기 에스, 다음을 통해 순환을 찾을 수 있습니다. G약 에스. 그것을 분해하자 에스~에  에스:

그리고

- 표면 요소에 수직  에스.

모두 보자  에스 0 , 그 다음에:

스톡스의 정리:

순환 벡터 임의의 윤곽선을 따라 G벡터의 플럭스와 동일
임의의 표면을 통해 에스, 이 윤곽에 의해 제한됩니다.

3.7 정전기장의 순환과 회전자

모든 폐쇄 회로를 따른 정전기력의 작용은 0입니다.

저것들. 모든 회로를 따른 정전기장의 순환은 0입니다.

어떤 표면이든 가져가자 에스, 윤곽선을 기준으로 G.

스톡스의 정리에 따르면:

;

이것은 어떤 표면에도 적용되기 때문에 에스, 저것

정체성이 있습니다 :

저것들. 정전기장선은 공간에서 순환하지 않습니다.

3.8 가우스의 정리

우리는 찾을 것이다
정전기장. 점 전하의 경우 선 밀도는 수치적으로 다음과 같습니다.

흐름 닫힌 표면을 통과하는 선의 수는 나가는 선의 수와 같습니다. "+"로 시작하여 "-"로 끝나는 경우:

흐름의 부호가 부호와 일치합니다. 큐, 치수는 동일합니다.

있게 해주세요 N포인트 요금 큐 나 .

닫힌 표면을 통과하는 정전기장 강도 벡터의 흐름은 이 표면 내부에 포함된 전하의 대수적 합을  0으로 나눈 값과 같습니다.

4 가우스 정리를 이용한 장 계산

4.1 균일하게 대전된 무한판의 장.

4.2 균일하게 전하를 띤 구면의 장.

4.3 두 개의 무한 평행 반대 전하 평면의 장

4.4 부피가 큰 공의 장

4.1 균일하게 전하를 띤 무한판의 장

안에 표면밀도의 개념을 소개하다

- 단위 표면당 전하.

일정한 표면 밀도로 충전된 무한 플레이트 +  . 인장선은 고려되는 평면에 수직이며 양방향으로 향합니다.

닫힌 표면으로서 우리는 밑면이 평면에 평행하고 축이 평면에 수직인 원통을 구성할 것입니다. 실린더의 생성선은 평행하다 이자형, 저것 코사인 =0 측면을 통과하는 플럭스는 0이고 원통을 통과하는 총 플럭스는 밑면을 통과하는 플럭스의 합과 같습니다.

E'=E''=E,

저것 에프= 2E 에스;

q = 에스

그것은 다음과 같습니다 이자형실린더의 길이에 의존하지 않습니다. 모든 거리의 필드 표면은 절대값이 동일합니다. 균일하게 대전된 판의 장은 균일합니다.

4.2 균일하게 전하를 띤 구면의 장

와 함께 구형 표면 반경 아르 자형공통 요금으로 큐.

왜냐하면 전하가 균일하게 분포되면 필드는 구형 대칭을 갖습니다. 평면선은 방사형으로 향합니다.

반경의 구를 정신적으로 구성해 봅시다 아르 자형 아르 자형. 왜냐하면 아르 자형 아르 자형가우스의 정리에 따르면 전체 전하는 표면 내부로 떨어집니다.

~에 아르 자형 아르 자형필드는 거리에 따라 감소합니다. 아르 자형포인트 요금과 동일한 법률에 따라.

만약에 아르 자형' 아르 자형, 그러면 닫힌 표면에는 내부에 전하가 포함되어 있지 않습니다. 균일하게 전하를 띤 구면 내부에는 정전기장이 없습니다. E=0.

4.3 두 개의 무한 평행 반대 전하 평면의 장

평면이 표면 밀도와 반대 전하로 균일하게 충전되도록 하세요. +  그리고 -  .

우리는 필드를 각 평면에 의해 개별적으로 생성된 중첩으로 찾습니다.

접시에서 벗어나 전자 = 0(선이 서로를 향하기 때문에 여백은 뺍니다.)

비행기 사이의 공간

E = E + + E -

그 다음에

일부(반드시 편평하지는 않은) 표면 S의 각 지점에서 벡터 a의 회전자를 알면 윤곽선 Г 경계 S를 따라 이 벡터의 순환을 계산할 수 있습니다(윤곽선은 평평하지 않을 수도 있음). 이를 위해 표면을 매우 작은 요소로 나눕니다. 크기가 작기 때문에 이러한 요소는 평평한 것으로 간주될 수 있습니다.

따라서 (11.23)에 따라 경계 윤곽선을 따른 벡터 a의 순환은 다음과 같은 형식으로 표현될 수 있습니다.

표면 요소의 양의 법선은 어디에 있습니까?

식 (11.21), 식 (11.29)을 모두 합산하여 , 우리는 윤곽선 Г를 따라 벡터 a의 순환을 얻습니다.

모든 AS가 0이 되는 경향이 있는 한계까지 통과한 후(그 수는 제한 없이 증가함) 공식에 도달합니다.

(11.30)

관계식(11.30)을 스톡스의 정리라고 합니다. 그 의미는 임의의 윤곽선 Г를 따른 벡터 a의 순환이 주어진 윤곽선으로 둘러싸인 임의의 표면 S를 통과하는 벡터 회전의 흐름과 동일하다는 것입니다.

관측소 운영자 기호로 표시되고 Nabla 연산자 또는 Hamilton 연산자라고 하는 벡터 미분 연산자를 도입하면 벡터 분석 공식 작성이 크게 단순화되고 용이해집니다. 이 연산자는 구성요소가 포함된 벡터를 의미합니다. 따라서

이 벡터 자체로는 의미가 없습니다. 이는 기호적으로 곱해지는 스칼라 또는 벡터 함수와 결합될 때 의미를 갖습니다. 따라서 벡터 y에 스칼라를 곱하면 다음 벡터를 얻게 됩니다.

이는 함수의 기울기입니다((11.1) 참조).

벡터 y에 벡터 a를 스칼라 곱하면 결과는 스칼라입니다.

이는 벡터 a의 발산에 지나지 않습니다((11.14) 참조).

마지막으로, y에 벡터적으로 곱하면 구성 요소 등이 포함된 벡터를 얻게 됩니다. 이는 구성 요소 로타와 일치합니다((11.25) - (11.27) 참조).

따라서 행렬식을 사용하는 벡터 곱의 표기법을 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

(11-34)

따라서 기울기, 발산 및 회전자를 표기하는 두 가지 방법이 있습니다.

y를 사용한 표기법에는 여러 가지 장점이 있습니다. 따라서 다음에서는 이러한 표기법을 사용하겠습니다. "gradient"라는 단어(즉, "nabla"가 아니라 "gradient phi"라고 말함)로 기호를 식별하고, "divergence a"라는 단어로 기호를 식별하고, 마지막으로 "rotor a"로 기호를 식별하는 데 익숙해져야 합니다. ".

벡터 y를 사용할 때, 이 벡터는 그 오른쪽에 있는 모든 함수에 작용하는 미분 연산자라는 점을 기억해야 합니다. 따라서 y가 포함된 표현식을 변환할 때는 벡터 대수학의 규칙과 미분학의 규칙을 모두 고려해야 합니다. 예를 들어, 함수 곱의 미분은 다음과 같습니다.

이에 따르면

비슷하게

일부 함수의 기울기는 벡터 함수입니다. 따라서 발산(divergence)과 로터(rotor) 연산을 적용할 수 있습니다.