युक्लिडियन जागा. रेखीय बीजगणित

धडा 4
युक्लिडन स्पेसेस

विश्लेषणात्मक भूमितीच्या अभ्यासक्रमावरून, वाचक दोन मुक्त सदिशांच्या स्केलर उत्पादनाच्या संकल्पनेशी आणि निर्दिष्ट स्केलर उत्पादनाच्या चार मुख्य गुणधर्मांसह परिचित आहे. या प्रकरणात, कोणत्याही निसर्गाच्या रेषीय अवकाशांचा अभ्यास केला जातो, ज्या घटकांसाठी एक नियम काही प्रकारे परिभाषित केला जातो (आणि याने काही फरक पडत नाही) जे कोणत्याही दोन घटकांना या घटकांचे स्केलर उत्पादन म्हणतात अशा संख्येसह संबद्ध करते. या प्रकरणात, दोन मुक्त सदिशांचे स्केलर उत्पादन तयार करण्याच्या नियमाप्रमाणेच या नियमात समान चार गुणधर्म असणे महत्त्वाचे आहे. ज्या रेषीय अवकाशांमध्ये हा नियम परिभाषित केला आहे त्यांना युक्लिडियन स्पेस म्हणतात. हा धडा अनियंत्रित युक्लिडियन स्पेसचे मूलभूत गुणधर्म स्पष्ट करतो.

§ 1. वास्तविक युक्लिडियन जागा आणि त्याचे सर्वात सोपे गुणधर्म

1. वास्तविक युक्लिडियन जागेची व्याख्या.वास्तविक रेखीय अंतराळ R म्हणतात वास्तविक युक्लिडियन जागा(किंवा फक्त युक्लिडियन जागा) खालील दोन आवश्यकता पूर्ण झाल्यास.
I. एक नियम आहे ज्याद्वारे या स्पेसचे कोणतेही दोन घटक x आणि y म्हणतात वास्तविक संख्येशी संबंधित आहेत स्केलर उत्पादनया घटकांपैकी आणि चिन्हाने दर्शविलेले (x, y).
P. हा नियम खालील चार स्वयंसिद्धांच्या अधीन आहे:
1°. (x, y) = (y, x) (कम्युटेटिव्ह प्रॉपर्टी किंवा सममिती);
2° (x 1 + x 2, y) = (x 1, y) + (x 2, y) (वितरण गुणधर्म);
३°. (λ x, y) = λ (x, y) कोणत्याही वास्तविक λ साठी;
४°. (x, x) > 0 जर x हा शून्य नसलेला घटक असेल; (x, x) = 0 जर x हा शून्य घटक असेल.
आम्ही यावर जोर देतो की युक्लिडियन स्पेसची संकल्पना मांडताना, आम्ही केवळ अभ्यासाधीन वस्तूंच्या स्वरूपाचाच नाही तर घटकांच्या बेरजेच्या निर्मितीसाठी विशिष्ट प्रकारच्या नियमांचा, एका घटकाच्या संख्येद्वारे आणि घटकाचा गुणाकार यावरून देखील अमूर्त करतो. घटकांचे स्केलर उत्पादन (हे नियम केवळ रेखीय जागेचे आठ स्वयंसिद्ध आणि चार स्वयंसिद्ध स्केलर उत्पादनाचे समाधान करतात हे महत्त्वाचे आहे).
जर अभ्यासल्या जाणाऱ्या वस्तूंचे स्वरूप आणि सूचीबद्ध नियमांचा प्रकार दर्शविला असेल, तर युक्लिडियन स्पेस म्हणतात. विशिष्ट.
विशिष्ट युक्लिडियन स्पेसची उदाहरणे देऊ.
उदाहरण 1. सर्व मुक्त सदिशांपैकी रेखीय जागा B 3 विचारात घ्या. आम्ही कोणत्याही दोन सदिशांचे स्केलर गुणाकार जसे विश्लेषणात्मक भूमितीमध्ये केले होते (म्हणजे, या सदिशांच्या लांबी आणि त्यांच्यामधील कोनाच्या कोसाइनचे गुणाकार म्हणून) परिभाषित करतो. विश्लेषणात्मक भूमितीच्या कोर्समध्ये, स्वयंसिद्ध 1°-4° च्या तथाकथित परिभाषित स्केलर उत्पादनाची वैधता सिद्ध झाली (अंक “विश्लेषणात्मक भूमिती”, अध्याय 2, §2, आयटम 3 पहा). म्हणून, अशा प्रकारे परिभाषित केलेल्या स्केलर उत्पादनासह स्पेस B 3 ही युक्लिडियन स्पेस आहे.
उदाहरण 2. सर्व फंक्शन्सच्या x(t) च्या अनंत-आयामी रेषीय जागा C [a, b] विचारात घ्या, a ≤ t ≤ b खंडावरील परिभाषित आणि निरंतर. आम्ही अशा दोन फंक्शन्सचे स्केलर गुणाकार x(t) आणि y(t) या फंक्शन्सच्या गुणाकाराचे अविभाज्य (a ते b श्रेणीतील) म्हणून परिभाषित करतो.

स्वयंसिद्ध 1°-4° च्या तथाकथित परिभाषित स्केलर उत्पादनाची वैधता प्राथमिक पद्धतीने तपासली जाते. खरंच, स्वयंसिद्ध 1° ची वैधता स्पष्ट आहे; स्वयंसिद्ध 2° आणि 3° ची वैधता निश्चित पूर्णांकाच्या रेखीय गुणधर्मांवरून येते; स्वयंसिद्ध 4° ची वैधता या वस्तुस्थितीवरून येते की सतत गैर-ऋणात्मक फंक्शन x 2 (t) चे अविभाज्य अविभाज्य असते आणि केवळ तेव्हाच अदृश्य होते जेव्हा हे कार्य a ≤ t ≤ b या खंडावरील शून्याच्या समान असते (पहा परिच्छेद 1 §6 धडा 10 मधील "गणितीय विश्लेषणाची मूलभूत तत्त्वे", भाग I, गुणधर्म 1° आणि 2° हा मुद्दा) (म्हणजे तो विचाराधीन जागेचा शून्य घटक आहे).
अशा प्रकारे, स्केलर उत्पादनासह C[a, b] जागा अशी परिभाषित केली आहे अनंत-आयामी युक्लिडियन जागा.
उदाहरण 3. युक्लिडियन स्पेसचे खालील उदाहरण n-आयामी रेषीय जागा देते n वास्तविक संख्यांच्या क्रमबद्ध संग्रहांचे A n, x = (x 1, x 2,..., x n) आणि y या दोन घटकांचे स्केलर उत्पादन = (y 1, y 2,...,y n) जी समानतेद्वारे परिभाषित केली जाते

(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ... + x n y n. (4.2)

अशा परिभाषित स्केलर उत्पादनासाठी स्वयंसिद्ध 1° ची वैधता स्पष्ट आहे; स्वयंसिद्ध 2° आणि 3° ची वैधता सहजपणे सत्यापित केली जाऊ शकते.

(x 1 , x 2 ,...,x n) + (y 1 , y 2 ,...,y n) = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 ,...,x n + y n) ,

λ (x 1, x 2,..., x n) = (λ x 1, λ x 2,..., λ x n);

शेवटी, स्वयंसिद्ध 4° ची वैधता या वस्तुस्थितीवरून येते की (x, x) = x 1 2 + x 2 2 + ... x n 2 ही नेहमीच नॉन-ऋणात्मक संख्या असते आणि केवळ x 1 = x या स्थितीतच नाहीशी होते. 2 = .. = x n = 0.
या उदाहरणात विचारात घेतलेली युक्लिडियन जागा अनेकदा E n या चिन्हाने दर्शविली जाते.
उदाहरण 4. त्याच रेखीय जागेत A n, आम्ही x = (x 1, x 2,..., x n) आणि y = (y 1, y 2,..., y n) कोणत्याही दोन घटकांचे स्केलर उत्पादन सादर करतो. ) संबंध नाही (4.2), परंतु दुसर्या, अधिक सामान्य मार्गाने.
हे करण्यासाठी, क्रम n चा चौरस मॅट्रिक्स विचारात घ्या

मॅट्रिक्स (4.3) वापरून, x 1, x 2,..., x n या चलांच्या संदर्भात दुसऱ्या क्रमाचा एकसंध बहुपद बनवू.

पुढे पाहताना, आम्ही लक्षात घेतो की अशा बहुपदी म्हणतात चतुर्भुज फॉर्म(मॅट्रिक्स (4.3 टक्के) द्वारे व्युत्पन्न केलेले (चतुर्भुज फॉर्म या पुस्तकाच्या अध्याय 7 मध्ये पद्धतशीरपणे अभ्यासले आहेत).
चतुर्भुज फॉर्म (4.4) म्हणतात सकारात्मक निश्चित, जर ते x 1, x 2,..., x n या व्हेरिएबल्सच्या सर्व मूल्यांसाठी काटेकोरपणे सकारात्मक मूल्ये घेतात, जे एकाच वेळी शून्याच्या समान नसतात (या पुस्तकाच्या अध्याय 7 मध्ये आवश्यक आणि पुरेसे चतुर्भुज स्वरूपाच्या सकारात्मक निश्चिततेसाठी स्थिती दर्शविली जाईल).
x 1 = x 2 = ... = x n = 0 साठी चतुर्भुज रूप (4.4) स्पष्टपणे शून्य आहे, आपण असे म्हणू शकतो की सकारात्मक निश्चित
चतुर्भुज रूप केवळ x स्थितीत नाहीसे होते 1 = x 2 = ... = x n = 0.
आम्हाला आवश्यक आहे की मॅट्रिक्स (4.3) दोन अटी पूर्ण करेल.
1°. सकारात्मक निश्चित चतुर्भुज फॉर्म व्युत्पन्न केले (4.4).
2° हे सममितीय होते (मुख्य कर्णाच्या सापेक्ष), म्हणजे. सर्व i = 1, 2,..., n आणि k = I, 2,..., n साठी a ik = a ki ही अट पूर्ण केली.
मॅट्रिक्स (4.3), समाधानकारक परिस्थिती 1° आणि 2° वापरून, आम्ही x = (x 1, x 2,..., x n) आणि y = (y 1, y 2,..) कोणत्याही दोन घटकांचे स्केलर उत्पादन परिभाषित करतो. ,y n) अंतराळ A n संबंधानुसार

सर्व स्वयंसिद्ध 1°-4° च्या तथाकथित परिभाषित स्केलर उत्पादनाची वैधता तपासणे सोपे आहे. खरंच, स्वयंसिद्ध 2° आणि 3° पूर्णपणे अनियंत्रित मॅट्रिक्स (4.3) साठी वैध आहेत; स्वयंसिद्ध 1° ची वैधता मॅट्रिक्स (4.3) च्या सममिती स्थितीचे अनुसरण करते, आणि स्वयंसिद्ध 4° ची वैधता या वस्तुस्थितीवरून येते की चतुर्भुज स्वरूप (4.4), जे स्केलर उत्पादन (x, x), सकारात्मक आहे निश्चित
अशा प्रकारे, समानता (4.5) द्वारे परिभाषित केलेल्या स्केलर उत्पादनासह जागा A n, जर मॅट्रिक्स (4.3) सममित असेल आणि त्याद्वारे निर्माण होणारे चतुर्भुज स्वरूप सकारात्मक निश्चित असेल, तर ती युक्लिडियन स्पेस आहे.
जर आपण ओळख मॅट्रिक्स मॅट्रिक्स (4.3) म्हणून घेतो, तर संबंध (4.4) (4.2) मध्ये बदलतो आणि आपल्याला उदाहरण 3 मध्ये विचारात घेतलेल्या युक्लिडियन स्पेस E n प्राप्त होतो.
2. अनियंत्रित युक्लिडियन जागेचे सर्वात सोपे गुणधर्म.या परिच्छेदामध्ये स्थापित केलेले गुणधर्म मर्यादित आणि अनंत दोन्ही परिमाणांच्या पूर्णपणे अनियंत्रित युक्लिडियन जागेसाठी वैध आहेत.
प्रमेय 4.1.अनियंत्रित युक्लिडियन स्पेसच्या x आणि y या दोन घटकांसाठी, खालील असमानता आहे:

(x, y ) 2 ≤ (x, x )(y, y ), (4.6)

कॉची-बुन्याकोव्स्की असमानता म्हणतात.
पुरावा.कोणत्याही वास्तविक संख्येसाठी, स्केलर उत्पादनाच्या स्वयंसिद्ध 4° च्या आधारे, असमानता (λ x - y, λ x - y) > 0 ही स्वयंसिद्ध 1°-3° च्या सद्गुणानुसार, शेवटची असमानता असू शकते म्हणून पुन्हा लिहिले

λ 2 (x, x) - 2 λ (x, y) + (y, y) ≤ 0

शेवटच्या चौरस त्रिपदाच्या गैर-नकारात्मकतेसाठी आवश्यक आणि पुरेशी अट म्हणजे त्याच्या भेदभावाची गैर-सकारात्मकता, म्हणजे असमानता (केसमध्ये (x, x) = 0, स्क्वेअर ट्रिनॉमीअल एका रेखीय कार्यात क्षीण होते, परंतु मध्ये या प्रकरणात x हा घटक शून्य आहे, म्हणून (x, y ) = 0 आणि असमानता (4.7) देखील सत्य आहे)

(x, y ) 2 - (x, x )(y, y ) ≤ 0. (4.7)

असमानता (4.6) लगेच (4.7) पासून येते. प्रमेय सिद्ध झाले आहे.
आमचे पुढील कार्य संकल्पना सादर करणे आहे नियम(किंवा लांबी) प्रत्येक घटकाचे. हे करण्यासाठी, आम्ही एक रेखीय मानक जागेची संकल्पना सादर करतो.
व्याख्या.रेषीय जागा R म्हणतात सामान्यीकृत, खालील दोन आवश्यकता पूर्ण झाल्यास.
I. एक नियम आहे ज्याद्वारे अंतराळ R मधील प्रत्येक घटक x हा वास्तविक संख्येशी संबंधित आहे ज्याला म्हणतात सर्वसामान्य प्रमाण(किंवा लांबी) निर्दिष्ट केलेल्या घटकाचा आणि ||x|| चिन्हाने दर्शविला जातो.
P. हा नियम खालील तीन स्वयंसिद्धांच्या अधीन आहे:
1°. ||x|| > 0 जर x हा शून्य नसलेला घटक असेल; ||x|| = 0 जर x शून्य घटक असेल;
2° ||λ x|| = |λ | ||x|| x आणि कोणत्याही वास्तविक संख्येसाठी λ;
३°. x आणि y कोणत्याही दोन घटकांसाठी खालील असमानता सत्य आहे

||x + y || ≤ ||x|| + ||y ||, (4.8)

त्रिकोण असमानता (किंवा मिन्कोव्स्की असमानता) म्हणतात.
प्रमेय 4.2. कोणत्याही युक्लिडियन स्पेसचे प्रमाण मानले जाते जर त्यातील कोणत्याही घटक x चे प्रमाण समानतेने परिभाषित केले असेल

पुरावा.हे सिद्ध करण्यासाठी पुरेसे आहे की रिलेशन (4.9) द्वारे परिभाषित केलेल्या नॉर्मसाठी, मानक स्पेसच्या व्याख्येतील 1°-3° स्वयंसिद्ध आहेत.
स्वयंसिद्ध 1° च्या मानकाची वैधता स्केलर उत्पादनाच्या स्वयंसिद्ध 4° पासून लगेच येते. स्वयंसिद्ध 2° च्या मानकाची वैधता स्केलर उत्पादनाच्या स्वयंसिद्ध 1° आणि 3° पासून जवळजवळ थेट येते.
सर्वसामान्य प्रमाणासाठी, म्हणजे, असमानता (4.8) साठी Axiom 3° ची वैधता सत्यापित करणे बाकी आहे. आम्ही Cauchy-Bunyakovsky असमानता (4.6) वर अवलंबून राहू, जे आम्ही फॉर्ममध्ये पुन्हा लिहू.

शेवटची असमानता, स्केलर उत्पादनाच्या स्वयंसिद्ध 1°-4° आणि सर्वसामान्य प्रमाणाची व्याख्या वापरून, आम्ही प्राप्त करतो

प्रमेय सिद्ध झाले आहे.
परिणाम.रिलेशन (4.9) द्वारे निर्धारित केलेल्या घटकांचे प्रमाण असलेल्या कोणत्याही युक्लिडियन जागेत, कोणत्याही दोन घटकांसाठी x आणि y त्रिकोण असमानता (4.8) धारण करते.

आम्ही पुढे लक्षात घेतो की कोणत्याही वास्तविक युक्लिडियन जागेत आपण या जागेच्या x आणि y या दोन अनियंत्रित घटकांमधील कोनाची संकल्पना मांडू शकतो. व्हेक्टर बीजगणिताच्या पूर्ण सादृश्यामध्ये, आम्ही कॉल करतो कोनघटकांमधील φ एक्सआणि येथेतो (0 ते π पर्यंत बदलणारा) कोन ज्याचा कोसाइन संबंधांद्वारे निर्धारित केला जातो

आमची कोनाची व्याख्या बरोबर आहे, कारण Cauchy-Bunyakovsky असमानता (4.7") मुळे, शेवटच्या समानतेच्या उजव्या बाजूचा अपूर्णांक मॉड्यूलसमध्ये एकापेक्षा जास्त नाही.
पुढे, जर या घटकांचे (x, y) स्केलर गुणाकार शून्य असेल तर आपण युक्लिडियन स्पेस E ऑर्थोगोनलच्या x आणि y या दोन अनियंत्रित घटकांना संबोधण्यास सहमती देऊ. x आणि y शून्याच्या समान असतील).
सदिश बीजगणिताला पुन्हा आवाहन करून, x आणि y या मूलद्रव्यांवर बांधलेल्या काटकोन त्रिकोणाचे कर्ण x आणि y या दोन ऑर्थोगोनल घटकांची बेरीज x + y म्हणू.
लक्षात घ्या की कोणत्याही युक्लिडियन जागेत पायथागोरियन प्रमेय वैध आहे: कर्णाचा वर्ग पायांच्या वर्गांच्या बेरजेइतका असतो. खरं तर, x आणि y ऑर्थोगोनल असल्याने आणि (x, y) = 0, नंतर स्वयंसिद्ध आणि सर्वसामान्य प्रमाणाच्या व्याख्येनुसार

||x + y || २ = ( x+y, x+y ) = (x, x) + 2(x, y) + (y, y) = (x, x) + (y, y) =||x|| 2 + ||y || 2.

हा परिणाम n जोडीनुसार ऑर्थोगोनल घटक x 1, x 2,..., x n वर सामान्यीकृत करतो: जर z = x 1 + x 2 + ... x n, तर

||x|| 2 = (x 1 + x 2 + ... x n, x 1 + x 2 + ... x n) = (x 1, x 1) + (x 2, x 2) + .... + ( x n, x n) = ||x 1 || 2 + ||x 1 || 2 +... +||x 1 || 2.

शेवटी, आम्ही मागील परिच्छेदामध्ये विचारात घेतलेल्या प्रत्येक विशिष्ट युक्लिडियन स्पेसमधील सर्वसामान्य प्रमाण, कॉची-बुन्याकोव्स्की असमानता आणि त्रिकोण असमानता लिहितो.
स्केलर उत्पादनाच्या नेहमीच्या व्याख्येसह सर्व मुक्त सदिशांच्या युक्लिडियन जागेत, सदिशाचा आदर्श त्याच्या लांबी |a|शी एकरूप होतो, Cauchy-Bunyakovsky असमानता (a,b) 2 ≤ | a| 2 | b | , आणि त्रिकोण असमानता | a + b | त्रिकोणाची एक बाजू त्याच्या इतर दोन बाजूंच्या बेरीजपेक्षा जास्त नाही हे तथ्य).
स्केलर गुणाकार (4.1) सह a ≤ t ≤ b खंडावर सतत x = x(t) सर्व फंक्शन्सच्या C [a, b] च्या युक्लिडियन स्पेसमध्ये, x = x(t) घटकाचे प्रमाण , आणि Cauchy-Bunyakovsky आणि त्रिकोण असमानता फॉर्म आहे

या दोन्ही असमानता गणितीय विश्लेषणाच्या विविध शाखांमध्ये महत्त्वाची भूमिका बजावतात.
स्केलर गुणाकार (4.2) सह n वास्तविक संख्यांच्या क्रमबद्ध संकलनाच्या युक्लिडियन स्पेस E n मध्ये, x = (x 1, x 2,..., x n) कोणत्याही घटकाचे प्रमाण समान आहे.

शेवटी, स्केलर उत्पादन (4.5) सह n वास्तविक संख्यांच्या क्रमबद्ध संग्रहांच्या युक्लिडियन जागेत, कोणत्याही घटकाचे प्रमाण x = (x 1, x 2,..., x n) 0 च्या बरोबरीचे आहे (आम्ही तुम्हाला आठवण करून देतो की हा केस मॅट्रिक्स (4.3) सममितीय आहे आणि सकारात्मक निश्चित चतुर्भुज स्वरूप (4.4 टक्के) निर्माण करतो.

आणि Cauchy-Bunyakovsky आणि त्रिकोण असमानता फॉर्म आहे

अशा वेक्टर स्पेसशी संबंधित. या लेखात, पहिली व्याख्या प्रारंभिक बिंदू म्हणून घेतली जाईल.

$n$-आयामी युक्लिडियन स्पेस द्वारे दर्शविले जाते $\backslash mathbb\; E^n,$नोटेशन देखील अनेकदा वापरले जाते $\backslash mathbb\; R^n$(स्पेसमध्ये युक्लिडियन रचना आहे हे संदर्भावरून स्पष्ट असल्यास).

औपचारिक व्याख्या

युक्लिडियन स्पेसची व्याख्या करण्यासाठी, सर्वात सोपा मार्ग म्हणजे स्केलर उत्पादन ही मुख्य संकल्पना म्हणून घेणे. युक्लिडियन व्हेक्टर स्पेसची व्याख्या वास्तविक संख्यांच्या क्षेत्रावरील मर्यादित-आयामी वेक्टर स्पेस म्हणून केली जाते, ज्याच्या व्हेक्टरवर वास्तविक-मूल्य असलेले कार्य निर्दिष्ट केले जाते. $(\backslash cdot,\; \backslash cdot),$खालील तीन गुणधर्म आहेत:

• द्विरेखीयता: कोणत्याही वेक्टरसाठी $u,v,w$आणि कोणत्याही वास्तविक संख्येसाठी $a,\; b\backslash quad\; (au+bv,\; w)=a(u,w)+b(v,w)$आणि $(u,\; av+bw)=a(u,v)+b(u,w);$
• सममिती: कोणत्याही वेक्टरसाठी $u,v\backslash quad\; (u,v)=(v,u);$
• सकारात्मक निश्चितता: कोणासाठीही $u\backslash quad\; (u,u)\backslash geqslant\; 0,$आणि $(u,u)\; =\; 0\backslash Rightarrow\; u=0.$

युक्लिडियन स्पेसचे उदाहरण - समन्वय जागा $\backslash mathbb\; R^n,$वास्तविक संख्यांच्या सर्व संभाव्य ट्युपल्सचा समावेश आहे $(x\_1,\; x\_2,\; \backslash ldots,\; x\_n),$स्केलर उत्पादन ज्यामध्ये सूत्राद्वारे निर्धारित केले जाते $(x,y)\; =\; \backslash sum\_(i=1)^n\; x\_iy\_i\; =\; x\_1y\_1+x\_2y\_2+\backslash cdots+x\_ny\_n.$

लांबी आणि कोन

युक्लिडियन स्पेसवर परिभाषित केलेले स्केलर उत्पादन लांबी आणि कोनाच्या भौमितिक संकल्पना सादर करण्यासाठी पुरेसे आहे. वेक्टर लांबी $u$म्हणून परिभाषित केले आहे $\backslash sqrt((u,u))$आणि नियुक्त केले आहे $|u|$स्केलर उत्पादनाची सकारात्मक निश्चितता अशी हमी देते की शून्य सदिशाची लांबी शून्य आहे आणि द्विरेषीयतेवरून ते खालीलप्रमाणे आहे. $|au|=|a||u|,$म्हणजेच आनुपातिक वेक्टरची लांबी आनुपातिक आहे.

वेक्टरमधील कोन $u$आणि $v$सूत्राद्वारे निर्धारित $\backslash varphi=\backslash arccos\; \backslash left(\backslash frac((x,y))(|x||y|)\backslash right).$कोसाइन प्रमेयावरून असे दिसते की द्विमितीय युक्लिडियन जागेसाठी ( युक्लिडियन विमान) कोनाची ही व्याख्या नेहमीच्या एकाशी जुळते. ऑर्थोगोनल व्हेक्टर, त्रिमितीय स्पेसप्रमाणे, व्हेक्टर म्हणून परिभाषित केले जाऊ शकते ज्याच्या दरम्यानचा कोन समान आहे $\backslash frac(\backslash pi)(2).$

कॉची-बुन्याकोव्स्की-श्वार्ट्झ असमानता आणि त्रिकोण असमानता

वर दिलेल्या कोनाच्या व्याख्येत एक अंतर बाकी आहे: क्रमाने $\backslash arccos\; \backslash left(\backslash frac((x,y))(|x||y|)\backslash right)$परिभाषित केले आहे, असमानता आवश्यक आहे $\backslash left|\backslash frac((x,y))(|x||y|)\backslash right|\backslash leqslant\; 1.$ही असमानता अनियंत्रित युक्लिडियन जागेत असते आणि तिला कॉची-बुन्याकोव्स्की-श्वार्ट्झ असमानता म्हणतात. या असमानतेपासून, यामधून, त्रिकोण असमानता खालीलप्रमाणे आहे: $|u+v|\backslash leqslant\; |u|+|v|.$त्रिकोण असमानता, वर सूचीबद्ध केलेल्या लांबीच्या गुणधर्मांसह, याचा अर्थ व्हेक्टरची लांबी युक्लिडियन वेक्टर स्पेस आणि फंक्शनवर एक सर्वसामान्य प्रमाण आहे. $d(x,y)=|x-y|$युक्लिडियन स्पेसवरील मेट्रिक स्पेसची रचना परिभाषित करते (या फंक्शनला युक्लिडियन मेट्रिक म्हणतात). विशेषतः, घटकांमधील अंतर (बिंदू) $x$आणि $y$समन्वय जागा $\backslash mathbb\; R^n$सूत्राद्वारे दिले जाते $d(\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y))\; =\; \backslash |\backslash mathbf(x)\; -\; \backslash mathbf(y)\backslash |\; =\; \backslash sqrt(\backslash sum\_(i=1)^n\; (x\_i\; -\; y\_i)^2).$

बीजगणितीय गुणधर्म

ऑर्थोनॉर्मल बेस

संयुग्मित जागा आणि ऑपरेटर

कोणताही वेक्टर $x$युक्लिडियन स्पेस रेखीय कार्यात्मक परिभाषित करते $x^*$या जागेवर, म्हणून परिभाषित $x^*(y)=(x,y).$ही तुलना युक्लिडियन स्पेस आणि तिची दुहेरी जागा यांच्यातील समरूपता आहे आणि गणनेशी तडजोड न करता त्यांना ओळखता येते. विशेषतः, संयुग्मित ऑपरेटर हे मूळ जागेवर कार्य करणारे मानले जाऊ शकतात, आणि त्याच्या दुहेरीवर नाही, आणि स्व-संलग्न ऑपरेटर त्यांच्या संयुग्मांशी जुळणारे ऑपरेटर म्हणून परिभाषित केले जाऊ शकतात. ऑर्थोनॉर्मल आधारावर, संलग्न ऑपरेटरचा मॅट्रिक्स मूळ ऑपरेटरच्या मॅट्रिक्समध्ये बदलला जातो आणि स्व-संलग्न ऑपरेटरचा मॅट्रिक्स सममित असतो.

युक्लिडियन स्पेसच्या हालचाली

उदाहरणे

युक्लिडियन स्पेसची स्पष्ट उदाहरणे खालील स्पेस आहेत:

• $\backslash mathbb\; E^1$परिमाणे $1$ (वास्तविक ओळ)
• $\backslash mathbb\; E^2$परिमाणे $2$ (युक्लिडियन विमान)
• $\backslash mathbb\; E^3$परिमाणे $3$ (युक्लिडियन त्रिमितीय जागा)

अधिक अमूर्त उदाहरण:

• वास्तविक बहुपदांची जागा $p(x)$पदवी पेक्षा जास्त नाही $n$, स्केलर उत्पादनासह परिमित सेगमेंटवर (किंवा संपूर्ण रेषेवर, परंतु वेगाने क्षीण होत असलेल्या वजन कार्यासह, उदाहरणार्थ $e^(-x^2)$).

बहुआयामी युक्लिडियन अवकाशातील भौमितिक आकारांची उदाहरणे

• नियमित बहुआयामी पॉलिहेड्रा (विशेषत: एन-डायमेंशनल क्यूब, एन-डायमेंशनल ऑक्टाहेड्रॉन, एन-डायमेंशनल टेट्राहेड्रॉन)

संबंधित व्याख्या

• अंतर्गत युक्लिडियन मेट्रिकवर वर्णन केलेले मेट्रिक तसेच संबंधित रिमेनियन मेट्रिक म्हणून समजले जाऊ शकते.

• स्थानिक युक्लिडियनिटी द्वारे आमचा सामान्यतः असा अर्थ होतो की रीमेनियन मॅनिफोल्डची प्रत्येक स्पर्शक जागा ही पुढील सर्व गुणधर्मांसह युक्लिडियन जागा असते, उदाहरणार्थ, बिंदूच्या छोट्या शेजारच्या भागात समन्वय सादर करण्याची शक्यता (मेट्रिकच्या गुळगुळीतपणामुळे) वर वर्णन केल्याप्रमाणे अंतर (प्रमाणाच्या काही क्रमापर्यंत) व्यक्त केले आहे.

• मेट्रिक स्पेसला स्थानिक पातळीवर युक्लिडियन देखील म्हटले जाते जर त्यावर निर्देशांक सादर करणे शक्य असेल ज्यामध्ये मेट्रिक सर्वत्र (किंवा कमीतकमी मर्यादित डोमेनवर) युक्लिडियन असेल (दुसऱ्या व्याख्येच्या अर्थाने) - जे, उदाहरणार्थ, आहे शून्य वक्रतेचा रिमेनियन मॅनिफोल्ड.

भिन्नता आणि सामान्यीकरण

• वास्तविक संख्यांच्या फील्डपासून जटिल संख्यांच्या फील्डमध्ये मूलभूत फील्ड बदलल्याने एकात्मक (किंवा हर्मिटियन) स्पेसची व्याख्या मिळते.
• मर्यादित-आयामी आवश्यकता नाकारल्याने प्री-हिल्बर्ट स्पेसची व्याख्या मिळते.
• स्केलर उत्पादनाच्या सकारात्मक निश्चिततेची आवश्यकता नाकारल्याने स्यूडो-युक्लिडियन स्पेसची व्याख्या होते.

"युक्लिडियन स्पेस" या लेखाबद्दल पुनरावलोकन लिहा

नोट्स

साहित्य

• गेलफँड आय. एम.रेखीय बीजगणितावरील व्याख्याने. - 5 वा. - एम.: डोब्रोस्वेट, एमटीएसएनएमओ, 1998. - 319 पी. - ISBN 5-7913-0015-8.
• कोस्ट्रिकिन ए., मनिन यू.रेखीय बीजगणित आणि भूमिती. - एम.: नौका, 1986. - 304 पी.

युक्लिडियन स्पेसचे वैशिष्ट्य दर्शविणारा उतारा

“हे तुझ्यासोबत घडते,” नताशा तिच्या भावाला म्हणाली जेव्हा ते सोफ्यात बसले, “तुला असे घडते की तुला असे वाटते की काहीही होणार नाही - काहीही नाही; ते सर्व चांगले काय होते? आणि फक्त कंटाळवाणे नाही, पण दुःखी?
- होय! - तो म्हणाला. "माझ्या बाबतीत असे घडले की सर्व काही ठीक होते, प्रत्येकजण आनंदी होता, परंतु माझ्या मनात हे येईल की मी या सर्व गोष्टींनी आधीच कंटाळलो आहे आणि प्रत्येकाला मरणे आवश्यक आहे." एकदा मी रेजिमेंटमध्ये फिरायला गेलो नव्हतो, पण तिथे संगीत वाजत होते... आणि त्यामुळे मला अचानक कंटाळा आला...
- अरे, मला ते माहित आहे. मला माहित आहे, मला माहित आहे," नताशाने उचलले. "मी अजून लहान होतो आणि हे माझ्या बाबतीत घडले." तुम्हाला आठवत असेल, एकदा मला प्लम्ससाठी शिक्षा झाली आणि तुम्ही सर्वांनी नाचले आणि मी वर्गात बसलो आणि रडलो, मी कधीही विसरणार नाही: मी दुःखी होतो आणि मला प्रत्येकासाठी आणि माझ्यासाठी वाईट वाटले आणि मला प्रत्येकासाठी वाईट वाटले. आणि, सर्वात महत्त्वाचे म्हणजे, ही माझी चूक नव्हती," नताशा म्हणाली, "तुला आठवते का?
"मला आठवते," निकोलाई म्हणाला. “मला आठवतं की मी नंतर तुझ्याकडे आलो होतो आणि मला तुझे सांत्वन करायचे होते आणि तुला माहिती आहे, मला लाज वाटली. आम्ही भयंकर मजेदार होतो. तेव्हा माझ्याकडे एक बॉबलहेड टॉय होते आणि मला ते तुला द्यायचे होते. आठवतंय का?
“तुला आठवतं का,” नताशा विचारपूर्वक हसत म्हणाली, किती दिवस झाले, आम्ही अजून खूप लहान होतो, एका काकांनी आम्हाला ऑफिसमध्ये, जुन्या घरात परत बोलावलं, आणि अंधार पडला होता - आम्ही आलो आणि अचानक तिथे आला. तिथे उभा...
“अरप,” निकोलाईने आनंदी स्मितहास्य पूर्ण केले, “मला कसे आठवत नाही?” आताही मला माहित नाही की तो ब्लॅकमूर होता, किंवा आम्ही तो स्वप्नात पाहिला किंवा आम्हाला सांगण्यात आले.
- तो राखाडी होता, लक्षात ठेवा आणि त्याचे दात पांढरे होते - त्याने उभे राहून आमच्याकडे पाहिले ...
- तुला आठवतंय, सोन्या? - निकोलाईने विचारले ...
"हो, हो, मलाही काहीतरी आठवतंय," सोन्याने घाबरट उत्तर दिलं...
"मी माझ्या वडिलांना आणि आईला या ब्लॅकमूरबद्दल विचारले," नताशा म्हणाली. - ते म्हणतात की ब्लॅकमूर नव्हता. पण तुला आठवतंय!
- अरे, आता मला त्याचे दात कसे आठवतात.
- हे किती विचित्र आहे, ते स्वप्नासारखे होते. मला ते आवडते.
“तुम्हाला आठवतंय का आम्ही हॉलमध्ये अंडी कशी फिरवत होतो आणि अचानक दोन वृद्ध स्त्रिया कार्पेटवर फिरू लागल्या?” होती की नाही? ते किती चांगले होते ते आठवते का?
- होय. निळ्या फर कोटमधील वडिलांनी पोर्चवर बंदूक कशी चालवली हे तुम्हाला आठवते का? “ते उलटले, आनंदाने हसत, आठवणी, दु: खी जुन्या आठवणी नव्हे, तर काव्यमय तरूण आठवणी, सर्वात दूरच्या भूतकाळातील त्या छाप, जिथे स्वप्ने वास्तवात विलीन होतात आणि शांतपणे हसले, काहीतरी आनंद झाला.
सोन्या, नेहमीप्रमाणे, त्यांच्या मागे मागे पडल्या, जरी त्यांच्या आठवणी सामान्य होत्या.
सोन्याला त्यांना जे आठवले ते फारसे आठवत नव्हते आणि तिला जे आठवत होते ते तिच्यात त्यांनी अनुभवलेली काव्यात्मक भावना जागृत केली नाही. तिने फक्त त्यांचा आनंद लुटला, त्याचे अनुकरण करण्याचा प्रयत्न केला.
जेव्हा त्यांना सोन्याची पहिली भेट आठवली तेव्हाच तिने भाग घेतला. सोन्याने सांगितले की तिला निकोलाईची भीती कशी वाटत होती, कारण त्याच्या जाकीटवर तार आहेत आणि आयाने तिला सांगितले की ते तिला देखील तारांमध्ये शिवतील.
"आणि मला आठवते: त्यांनी मला सांगितले की तुझा जन्म कोबीखाली झाला आहे," नताशा म्हणाली, "आणि मला आठवते की तेव्हा मी यावर विश्वास ठेवण्याची हिंमत केली नाही, परंतु मला माहित आहे की ते खरे नव्हते आणि मला खूप लाज वाटली. "
या संभाषणादरम्यान, मोलकरणीचे डोके सोफाच्या खोलीच्या मागील दारातून बाहेर पडले. "मिस, त्यांनी कोंबडा आणला," मुलगी कुजबुजत म्हणाली.
“काही गरज नाही, पोल्या, मला घेऊन यायला सांग,” नताशा म्हणाली.
सोफ्यावर चाललेल्या संभाषणाच्या मध्येच डिमलर खोलीत शिरला आणि कोपऱ्यात उभ्या असलेल्या वीणाजवळ गेला. त्याने कापड काढले आणि वीणाने खोटा आवाज काढला.
लिव्हिंग रूममधून जुन्या काउंटेसचा आवाज आला, “एडुआर्ड कार्लिच, प्लीज माय लाड नोक्चुरीन बाई मॉन्सियर फील्ड वाजवा.
डिमलरने एक तार मारला आणि नताशा, निकोलाई आणि सोन्याकडे वळून म्हणाला: "तरुण लोक, ते किती शांतपणे बसले आहेत!"
"होय, आम्ही तत्वज्ञान करत आहोत," नताशा म्हणाली, एक मिनिट इकडे तिकडे पाहत आणि संभाषण सुरू ठेवत. संवाद आता स्वप्नांबद्दल होता.
डिमर खेळू लागला. नताशा शांतपणे, टिपोवर, टेबलावर गेली, मेणबत्ती घेतली, ती बाहेर काढली आणि परत येऊन शांतपणे तिच्या जागी बसली. खोलीत अंधार होता, विशेषत: ज्या सोफ्यावर ते बसले होते, पण मोठ्या खिडक्यांमधून पौर्णिमेचा चांदीचा प्रकाश जमिनीवर पडला.
“तुम्हाला माहित आहे, मला वाटते,” नताशा कुजबुजत म्हणाली, निकोलाई आणि सोन्याच्या जवळ जात, जेव्हा डिमलर आधीच संपला होता आणि अजूनही बसला होता, कमकुवतपणे तार तोडत होता, वरवर पाहता काहीतरी नवीन सुरू करण्यास किंवा सोडण्यास अनिर्णायक होता, “जेव्हा तुम्हाला आठवते. त्याप्रमाणे, तुला आठवते, तुला सर्व काही आठवते, तुला इतके आठवते की मी जगात येण्यापूर्वी काय घडले ते तुला आठवते.
"हे मेटाम्पिक आहे," सोन्या म्हणाली, जी नेहमी चांगला अभ्यास करते आणि सर्वकाही लक्षात ठेवते. - इजिप्शियन लोकांचा असा विश्वास होता की आपले आत्मा प्राण्यांमध्ये आहेत आणि ते प्राण्यांमध्ये परत जातील.
“नाही, तुला माहित आहे, माझा विश्वास नाही की आपण प्राणी होतो,” नताशा त्याच कुजबुजत म्हणाली, जरी संगीत संपले होते, “पण मला खात्री आहे की आपण इथे आणि तिथे कुठेतरी देवदूत होतो आणि म्हणूनच आम्हाला सर्व काही आठवते...
- मी तुमच्यात सामील होऊ शकतो का? - डिमलर म्हणाला, जो शांतपणे जवळ आला आणि त्यांच्या शेजारी बसला.
- जर आपण देवदूत असतो, तर मग आपण खाली का पडलो? - निकोलाई म्हणाले. - नाही, हे असू शकत नाही!
“नीच नाही, तुला हे खालचे कोणी सांगितले?... मी आधी काय होते हे मला का माहीत,” नताशाने खात्रीने आक्षेप घेतला. - शेवटी, आत्मा अमर आहे ... म्हणून, जर मी सदैव जगलो, तर मी पूर्वी असेच जगलो, अनंतकाळ जगलो.
“होय, पण आपल्यासाठी अनंतकाळची कल्पना करणे कठीण आहे,” डिमलर म्हणाला, जो नम्र, तिरस्कारयुक्त स्मिताने तरुण लोकांकडे गेला, परंतु आता त्यांच्याप्रमाणेच शांतपणे आणि गंभीरपणे बोलला.
- अनंतकाळची कल्पना करणे कठीण का आहे? - नताशा म्हणाली. - आज ते असेल, उद्या ते असेल, ते नेहमीच असेल आणि काल ते होते आणि काल ते होते ...
- नताशा! आता तुमची पाळी आहे. “मला काहीतरी गा,” काउंटेसचा आवाज ऐकू आला. - की तुम्ही षड्यंत्रकर्त्यांसारखे बसलात.
- आई! "मला ते करायचे नाही," नताशा म्हणाली, पण त्याच वेळी ती उभी राहिली.
ते सर्व, अगदी मध्यमवयीन डिमलर, संभाषणात व्यत्यय आणू इच्छित नव्हते आणि सोफाचा कोपरा सोडू इच्छित नव्हते, परंतु नताशा उठून उभी राहिली आणि निकोलाई क्लॅविचॉर्डवर बसली. नेहमीप्रमाणे, हॉलच्या मध्यभागी उभे राहून आणि अनुनादासाठी सर्वात फायदेशीर जागा निवडून, नताशाने तिच्या आईची आवडती गाणी गाण्यास सुरुवात केली.
ती म्हणाली की तिला गाण्याची इच्छा नाही, परंतु त्यापूर्वी तिने बरेच दिवस गायले नव्हते आणि त्या संध्याकाळी तिने ज्या पद्धतीने गायले होते. काउंट इल्या आंद्रीच, ज्या ऑफिसमध्ये तो मिटिन्काशी बोलत होता, तिचं गाणं ऐकलं आणि एखाद्या विद्यार्थ्याप्रमाणे धडा संपवून खेळायला जायच्या घाईत तो त्याच्या बोलण्यात गोंधळून गेला आणि मॅनेजरला आदेश देऊन शेवटी गप्प बसला. , आणि मिटिंका सुद्धा शांतपणे हसत ऐकत गणाच्या समोर उभी राहिली. निकोलईने आपल्या बहिणीवरून डोळे काढले नाहीत आणि तिच्याबरोबर श्वास घेतला. सोन्याने ऐकून विचार केला की तिच्यात आणि तिच्या मैत्रिणीमध्ये किती मोठा फरक आहे आणि तिच्या चुलत भावासारखे दूरस्थपणे मोहक असणे तिच्यासाठी किती अशक्य आहे. म्हातारी काउंटेस आनंदाने उदास स्मितहास्य आणि डोळ्यांत अश्रू घेऊन बसली, अधूनमधून डोके हलवत. तिने नताशाबद्दल आणि तिच्या तारुण्याबद्दल आणि प्रिन्स आंद्रेईबरोबरच्या नताशाच्या या आगामी लग्नात काहीतरी अनैसर्गिक आणि भयानक कसे होते याबद्दल विचार केला.
डिमलर काउंटेसच्या शेजारी बसला आणि डोळे मिटून ऐकत होता.
"नाही, काउंटेस," तो शेवटी म्हणाला, "ही एक युरोपियन प्रतिभा आहे, तिच्याकडे शिकण्यासारखे काही नाही, ही कोमलता, कोमलता, सामर्थ्य ..."
- आह! "मला तिच्यासाठी किती भीती वाटते, मला किती भीती वाटते," काउंटेस म्हणाली, ती कोणाशी बोलत होती हे आठवत नाही. तिच्या मातृभावनेने तिला सांगितले की नताशात काहीतरी खूप आहे आणि यामुळे तिला आनंद होणार नाही. नताशाचे गाणे अजून संपले नव्हते जेव्हा एक उत्साही चौदा वर्षांचा पेट्या ममर्स आल्याची बातमी घेऊन खोलीत धावला.
नताशा अचानक थांबली.
- मूर्ख! - ती तिच्या भावावर ओरडली, खुर्चीकडे धावली, त्यावर पडली आणि इतकी रडली की ती फार काळ थांबू शकली नाही.
“काही नाही, मामा, खरंच काही नाही, असंच: पेट्याने मला घाबरवलं,” ती हसण्याचा प्रयत्न करत म्हणाली, पण अश्रू वाहत होते आणि रडणे तिचा गळा दाबत होते.
कपडे घातलेले नोकर, अस्वल, तुर्क, सराईत, स्त्रिया, भितीदायक आणि मजेदार, त्यांच्याबरोबर थंडपणा आणि मजा आणत, सुरुवातीला घाबरून हॉलवेमध्ये अडकले; मग, एकमेकांच्या मागे लपून, त्यांना हॉलमध्ये जबरदस्तीने आणले गेले; आणि प्रथम लाजाळूपणे, आणि नंतर अधिकाधिक आनंदाने आणि सौहार्दपूर्णपणे, गाणी, नृत्य, कोरल आणि ख्रिसमस खेळ सुरू झाले. काउंटेस, चेहरे ओळखून आणि कपडे घातलेल्या लोकांकडे हसत, दिवाणखान्यात गेली. काउंट इल्या आंद्रेइच खेळाडूंना मान्यता देत तेजस्वी हास्याने हॉलमध्ये बसला. तरुण कुठेतरी गायब झाला.

अगदी शाळेतही, सर्व विद्यार्थ्यांना "युक्लिडियन भूमिती" या संकल्पनेची ओळख करून दिली जाते, ज्यातील मुख्य तरतुदी बिंदू, एक समतल, सरळ रेषा आणि गती अशा भौमितिक घटकांवर आधारित अनेक स्वयंसिद्धांवर केंद्रित आहेत. त्या सर्वांनी मिळून जे फार पूर्वीपासून "युक्लिडियन स्पेस" म्हणून ओळखले जाते ते तयार केले आहे.

युक्लिडियन, जे व्हेक्टरच्या स्केलर गुणाकाराच्या तत्त्वावर आधारित आहे, हे रेखीय (अफिन) स्पेसचे एक विशेष प्रकरण आहे जे अनेक आवश्यकता पूर्ण करते. प्रथम, सदिशांचे स्केलर उत्पादन पूर्णपणे सममितीय असते, म्हणजे, निर्देशांक (x;y) सह सदिश परिमाणात्मकपणे निर्देशांक (y;x) असलेल्या सदिशाशी एकसारखे असतात, परंतु दिशेने विरुद्ध असतात.

दुसरे म्हणजे, जर वेक्टरचे स्केलर उत्पादन स्वतःसह केले गेले तर या क्रियेचा परिणाम सकारात्मक असेल. अपवाद फक्त तेव्हाच असेल जेव्हा या वेक्टरचे प्रारंभिक आणि अंतिम निर्देशांक शून्याच्या समान असतील: या प्रकरणात, त्याचे स्वतःचे उत्पादन देखील शून्याच्या समान असेल.

तिसरे म्हणजे, स्केलर उत्पादन वितरणात्मक आहे, म्हणजे, दोन मूल्यांच्या बेरजेमध्ये त्याच्या समन्वयांपैकी एक विघटित होण्याची शक्यता आहे, ज्यामुळे वेक्टरच्या स्केलर गुणाकाराच्या अंतिम परिणामामध्ये कोणतेही बदल होणार नाहीत. शेवटी, चौथे, व्हेक्टर्सचा एकाच गोष्टीने गुणाकार करताना, त्यांचे स्केलर उत्पादन देखील त्याच प्रमाणात वाढेल.

या चारही अटींची पूर्तता झाली तर ही युक्लिडियन अवकाश आहे असे आपण आत्मविश्वासाने म्हणू शकतो.

व्यावहारिक दृष्टिकोनातून, युक्लिडियन जागा खालील विशिष्ट उदाहरणांद्वारे दर्शविली जाऊ शकते:

1. सर्वात सोपा केस म्हणजे भूमितीच्या मूलभूत नियमांनुसार परिभाषित केलेल्या स्केलर उत्पादनासह वेक्टरच्या संचाची उपस्थिती.
2. युक्लिडियन स्पेस देखील प्राप्त होईल जर व्हेक्टरद्वारे आपल्याला वास्तविक संख्यांचा एक निश्चित मर्यादित संच त्यांच्या स्केलर बेरीज किंवा गुणाकाराचे वर्णन करणाऱ्या दिलेल्या सूत्रासह समजला.
3. युक्लिडियन स्पेसचे एक विशेष प्रकरण तथाकथित शून्य जागा म्हणून ओळखले पाहिजे, जे दोन्ही सदिशांची स्केलर लांबी शून्याच्या समान असल्यास प्राप्त होते.

युक्लिडियन अवकाशात अनेक विशिष्ट गुणधर्म आहेत. प्रथम, स्केलर उत्पादनाच्या पहिल्या आणि द्वितीय दोन्ही घटकांमधून स्केलर घटक कंसातून बाहेर काढला जाऊ शकतो, परिणामात कोणतेही बदल होणार नाहीत. दुसरे म्हणजे, स्केलर उत्पादनाच्या पहिल्या घटकाच्या वितरणासह, दुसऱ्या घटकाची वितरणक्षमता देखील कार्य करते. या व्यतिरिक्त, सदिशांच्या स्केलर बेरीज व्यतिरिक्त, वेक्टरच्या वजाबाकीच्या बाबतीत वितरकता देखील उद्भवते. शेवटी, तिसरे म्हणजे, जेव्हा स्केलर सदिशाचा शून्याने गुणाकार करतो तेव्हा त्याचा परिणामही शून्यासारखाच असेल.

अशाप्रकारे, युक्लिडियन स्पेस ही सर्वात महत्वाची भौमितीय संकल्पना आहे जी एकमेकांच्या सापेक्ष वेक्टरच्या सापेक्ष स्थितीसह समस्या सोडवण्यासाठी वापरली जाते, स्केलर उत्पादनासारखी संकल्पना कोणती आहे हे दर्शवण्यासाठी.

युक्लिडियन जागा

टी.ए. वोल्कोवा, टी.पी. Knysh.

आणि चौरस आकार

युक्लिडियन जागा

सेंट पीटर्सबर्ग

समीक्षक: तांत्रिक विज्ञानाचे उमेदवार, सहयोगी प्राध्यापक श्काडोवा ए.आर.

युक्लिडियन स्पेस आणि चतुर्भुज फॉर्म: लेक्चर नोट्स. – सेंट पीटर्सबर्ग: SPGUVK, 2012 – p.

लेक्चर नोट्स बॅचलर पदवी 010400.62 "उपयुक्त गणित आणि संगणक विज्ञान" च्या द्वितीय वर्षाच्या विद्यार्थ्यांसाठी आणि बॅचलर पदवी 090900.62 "माहिती सुरक्षा" च्या प्रथम वर्षाच्या विद्यार्थ्यांसाठी आहेत.

मॅन्युअलमध्ये 010400.62 दिशासाठी "भूमिती आणि बीजगणित" आणि 090900.62 साठी "बीजगणित आणि भूमिती" या विषयातील एका विभागावरील संपूर्ण व्याख्यान नोट्स आहेत, पाठ्यपुस्तक या विषयांच्या कार्य कार्यक्रमांशी संबंधित आहे वैशिष्ट्ये आणि विद्यार्थी आणि शिक्षकांद्वारे परीक्षेची तयारी करण्यासाठी वापरली जाऊ शकतात.

©सेंट पीटर्सबर्ग राज्य

युनिव्हर्सिटी ऑफ वॉटर कम्युनिकेशन्स, 2012

भूमितीमध्ये आढळणाऱ्या वस्तूंचे अनेक गुणधर्म हे विभागांची लांबी आणि सरळ रेषांमधील कोन मोजण्याच्या क्षमतेशी जवळून संबंधित आहेत. रेखीय जागेत आपण अद्याप अशी मोजमाप करू शकत नाही, परिणामी भूमिती आणि इतर अनेक गणिती विषयांमध्ये रेखीय अवकाशांच्या सामान्य सिद्धांताच्या वापराची व्याप्ती खूपच संकुचित आहे. तथापि, ही अडचण दोन सदिशांच्या स्केलर उत्पादनाची संकल्पना सादर करून दूर केली जाऊ शकते. बहुदा, एक रेखीय-आयामी वास्तविक जागा असू द्या. चला प्रत्येक वेक्टर जोडीला वास्तविक संख्येशी जोडू या आणि या क्रमांकावर कॉल करूया स्केलर उत्पादनवेक्टर आणि खालील आवश्यकता पूर्ण झाल्यास:

1. (परिवर्तनीय कायदा).

3. कोणत्याही वास्तविक साठी.

4. कोणत्याही शून्य नसलेल्या वेक्टरसाठी.

स्केलर उत्पादन ही संकल्पनेची एक विशेष बाब आहे दोन वेक्टर वितर्कांचे संख्यात्मक कार्य, म्हणजे फंक्शन्स ज्यांची मूल्ये संख्या आहेत. म्हणून आम्ही स्केलर उत्पादनास वेक्टर वितर्कांचे संख्यात्मक कार्य म्हणू शकतो, ज्याची मूल्ये वितर्कांच्या कोणत्याही मूल्यांसाठी वैध आहेत आणि ज्यासाठी 1 − 4 आवश्यकता पूर्ण आहेत.

एक वास्तविक रेखीय जागा ज्यामध्ये स्केलर उत्पादन परिभाषित केले आहे असे म्हटले जाईल युक्लिडियनआणि द्वारे दर्शविले जाईल.

लक्षात घ्या की युक्लिडियन स्पेसमध्ये शून्य सदिश आणि कोणत्याही सदिशाचा स्केलर गुणाकार शून्य असतो: . खरंच, आणि आवश्यकतेमुळे 3. गृहीत धरून, आम्हाला ते मिळते. म्हणून, विशेषतः, .

1. बिंदूवर सामान्य मूळ असलेल्या भौमितिक सदिशांची नेहमीची त्रिमितीय जागा असू द्या. विश्लेषणात्मक भूमितीमध्ये, अशा दोन सदिशांचे स्केलर गुणाकार ही एक वास्तविक संख्या आहे, जिथे आणि व्हेक्टरची लांबी आहे आणि , आणि व्हेक्टरमधील कोन आहे, आणि हे सिद्ध झाले आहे की या संख्येसाठी सर्व आवश्यकता 1 − 4 आहेत. समाधानी आहेत.

अशा प्रकारे, आमच्याद्वारे सादर केलेली स्केलर उत्पादनाची संकल्पना ही भूमितीय वेक्टरच्या स्केलर उत्पादनाच्या संकल्पनेचे सामान्यीकरण आहे.

2. वास्तविक निर्देशांकांसह मितीय पंक्तींच्या जागेचा विचार करा आणि अशा पंक्ती वेक्टरच्या प्रत्येक जोडीला वास्तविक संख्या द्या.

या संख्येसाठी सर्व आवश्यकता 1 − 4 पूर्ण झाल्या आहेत हे तपासणे सोपे आहे:

आणि त्याचप्रमाणे. शेवटी,

कारण वरील संख्यांपैकी किमान एक ही शून्यापेक्षा वेगळी आहे.

आपण येथून पाहतो की ही संख्या स्ट्रिंग व्हेक्टरचे स्केलर उत्पादन आहे आणि , आणि आपण असे स्केलर उत्पादन सादर केल्यानंतर, जागा युक्लिडियन बनते.

3. एक रेखीय वास्तविक-आयामी जागा असू द्या आणि त्याचा काही आधार असू द्या. आपण प्रत्येक वेक्टरच्या जोडीला प्रत्यक्ष संख्येशी जोडू या. मग जागा युक्लिडियनमध्ये बदलेल, म्हणजे संख्या व्हेक्टर आणि स्केलर गुणाकार असेल. खरं तर:

आपण इतर मार्गांनी आपली जागा युक्लिडियन स्पेसमध्ये देखील बदलू शकतो, उदाहरणार्थ, आपण व्हेक्टरची जोडी, वास्तविक संख्या नियुक्त करू शकतो.

आणि हे तपासणे सोपे आहे की अशा संख्येसाठी सर्व आवश्यकता 1 − 4, स्केलर उत्पादनाचे वैशिष्ट्य असलेल्या, समाधानी आहेत. परंतु येथे (त्याच आधारावर) आपण भिन्न संख्यात्मक कार्य परिभाषित केले आहे, नंतर आपल्याला भिन्न "माप व्याख्या" सह भिन्न युक्लिडियन जागा मिळेल.

4. शेवटी, त्याच जागेकडे वळताना, संख्यात्मक कार्याचा विचार करा, ज्यासाठी, समानतेने परिभाषित केले आहे. हे फंक्शन यापुढे स्केलर उत्पादन नाही, कारण आवश्यकता 4 चे उल्लंघन केले गेले आहे: जेव्हा , वेक्टर , a च्या बरोबरीचा असतो. त्यामुळे येथे युक्लिडियन जागा मिळू शकत नाही.

स्केलर उत्पादनाच्या व्याख्येमध्ये समाविष्ट असलेल्या आवश्यकता 2 आणि 3 वापरून, खालील सूत्र प्राप्त करणे सोपे आहे:

जेथे, वेक्टरच्या दोन अनियंत्रित प्रणाली आहेत. येथून, विशेषतः, हे अनियंत्रित आधारासाठी आणि कोणत्याही वेक्टरच्या जोडीसाठी वळते, की

कुठे . समानतेच्या उजव्या बाजूला असलेली अभिव्यक्ती (1) बहुपदी आहे आणि त्याला म्हणतात द्विरेखीय फॉर्मपासून आणि (त्यातील प्रत्येक संज्ञा रेखीय आहे, म्हणजे प्रथम पदवीची, संदर्भात आणि संदर्भात दोन्ही). द्विरेखीय स्वरूप म्हणतात सममितीय, जर त्याच्या प्रत्येक गुणांकासाठी सममिती स्थिती समाधानी असेल. अशा प्रकारे, डॉट उत्पादन अनियंत्रित आधारावर वेक्टर निर्देशांकांचे द्विरेखीय सममितीय रूप म्हणून व्यक्त केले जाते , वास्तविक शक्यतांसह. पण तरीही हे पुरेसे नाही. म्हणजे, सेटिंग , आम्ही समानता (1) पासून प्राप्त करतो

§3. वेक्टर स्पेसचे परिमाण आणि आधार

वेक्टरचे रेखीय संयोजन

क्षुल्लक आणि गैर-क्षुल्लक रेखीय संयोजन

रेखीय आश्रित आणि रेखीय स्वतंत्र वेक्टर

वेक्टरच्या रेखीय अवलंबनाशी संबंधित वेक्टर स्पेसचे गुणधर्म

n-आयामी वेक्टर जागा

वेक्टर स्पेसचे परिमाण

वेक्टरचे आधारामध्ये विघटन

§4. नवीन आधारावर संक्रमण

संक्रमण मॅट्रिक्स जुन्या आधारावरून नवीनवर

नवीन आधारामध्ये वेक्टर समन्वय साधतो

§5. युक्लिडियन जागा

डॉट उत्पादन

युक्लिडियन जागा

वेक्टरची लांबी (सर्वसाधारण).

वेक्टर लांबीचे गुणधर्म

वेक्टरमधील कोन

ऑर्थोगोनल वेक्टर

ऑर्थोनॉर्मल आधार

§ 3. वेक्टर स्पेसचे परिमाण आणि आधार

फील्डवरील काही वेक्टर स्पेस (V, Å, ∘) विचारात घ्या आर. संच V चे काही घटक असू द्या, म्हणजे. वेक्टर

रेखीय संयोजनसदिश म्हणजे फील्डच्या अनियंत्रित घटकांद्वारे या सदिशांच्या उत्पादनांच्या बेरजेइतका कोणताही सदिश आर(म्हणजे स्केलरवर):

जर सर्व स्केलर शून्याच्या समान असतील तर अशा रेखीय संयोजनास म्हणतात क्षुल्लक(सर्वात सोपा), आणि .

जर किमान एक स्केलर शून्य-शून्य असेल तर, रेखीय संयोजन म्हणतात क्षुल्लक.

वेक्टर म्हणतात रेखीय स्वतंत्र, जर या सदिशांचे क्षुल्लक रेखीय संयोजन समान असेल तर:

वेक्टर म्हणतात रेखीय अवलंबून, जर या सदिशांचे किमान एक क्षुल्लक रेखीय संयोजन असेल तर .

उदाहरण. वास्तविक संख्यांच्या चतुर्भुजांच्या क्रमबद्ध संचाचा विचार करा - ही वास्तविक संख्यांच्या क्षेत्रावरील वेक्टर स्पेस आहे. कार्य: वेक्टर आहेत की नाही ते शोधा , आणि रेखीय अवलंबून.

उपाय.

चला या सदिशांचे एक रेखीय संयोजन करूया: , अज्ञात संख्या कोठे आहेत. आम्हाला हे रेखीय संयोजन शून्य वेक्टरच्या बरोबरीचे असणे आवश्यक आहे: .

या समानतेमध्ये आपण सदिशांना संख्यांचे स्तंभ म्हणून लिहितो:

जर अशी संख्या असेल ज्यासाठी ही समानता असेल आणि किमान एक संख्या शून्याच्या बरोबर नसेल, तर हे एक क्षुल्लक रेषीय संयोजन आहे आणि वेक्टर रेखीयपणे अवलंबून आहेत.

चला खालील गोष्टी करूया:

अशा प्रकारे, समस्या रेषीय समीकरणांच्या प्रणालीचे निराकरण करण्यासाठी कमी केली जाते:

त्याचे निराकरण करून, आम्हाला मिळते:

सिस्टमच्या विस्तारित आणि मुख्य मॅट्रिक्सची श्रेणी अज्ञातांच्या संख्येपेक्षा समान आणि कमी आहेत, म्हणून, सिस्टममध्ये अनंत संख्येने निराकरणे आहेत.

चला , नंतर आणि .

तर, या सदिशांसाठी एक क्षुल्लक रेखीय संयोजन आहे, उदाहरणार्थ at , जे शून्य सदिशाच्या बरोबरीचे आहे, म्हणजे हे सदिश रेखीयपणे अवलंबून आहेत.

चला काही लक्षात घेऊया वेक्टरच्या रेखीय अवलंबनाशी संबंधित वेक्टर स्पेसचे गुणधर्म:

1. जर सदिश रेषीयरित्या अवलंबून असतील, तर त्यापैकी किमान एक इतरांचा एक रेषीय संयोजन आहे.

2. जर सदिशांमध्ये शून्य सदिश असेल, तर हे सदिश रेषेवर अवलंबून असतात.

3. जर काही सदिश रेखीय अवलंबित असतील, तर हे सर्व सदिश रेखीय अवलंबित आहेत.

वेक्टर स्पेस V म्हणतात n-आयामी वेक्टर जागा, त्यात समाविष्ट असल्यास nरेखीय स्वतंत्र सदिश, आणि कोणताही संच ( n+ 1) सदिश रेषीयरित्या अवलंबून असतात.

क्रमांक nम्हणतात वेक्टर स्पेसचे परिमाण, आणि दर्शविले जाते मंद(V)इंग्रजी "परिमाण" मधून - परिमाण (मापन, आकार, परिमाण, आकार, लांबी इ.).

संपूर्णता nरेखीय स्वतंत्र वेक्टर n-आयामी वेक्टर स्पेस म्हणतात आधार.

सूत्र (*) म्हणतात वेक्टर विघटन आधारावर, आणि संख्या – वेक्टर समन्वयया आधारावर .

वेक्टर स्पेसमध्ये एकापेक्षा जास्त किंवा असीम अनेक बेस असू शकतात. प्रत्येक नवीन आधारावर, समान वेक्टरमध्ये भिन्न समन्वय असतील.

§ 4. नवीन आधारावर संक्रमण

रेखीय बीजगणितामध्ये, सदिशाचे जुन्या आधारावरचे निर्देशांक माहीत असल्यास नवीन आधारावर त्याचे समन्वय शोधण्याची समस्या अनेकदा उद्भवते.

चला काही पाहू n- फील्डवरील डायमेंशनल वेक्टर स्पेस (V, +, ·). आर. या जागेत दोन तळ असू द्या: जुने आणि नवीन .

कार्य: नवीन आधारावर वेक्टरचे निर्देशांक शोधा.

जुन्या आधारावरील नवीन आधाराच्या वेक्टरचा विस्तार होऊ द्या:

,

चला मॅट्रिक्समध्ये वेक्टरचे निर्देशांक ओळींमध्ये लिहूया, जसे ते सिस्टममध्ये लिहिलेले आहेत, परंतु स्तंभांमध्ये:

परिणामी मॅट्रिक्स म्हणतात संक्रमण मॅट्रिक्सजुन्या आधारापासून नवीन.

ट्रान्झिशन मॅट्रिक्स कोणत्याही सदिशाच्या निर्देशांकांना जुन्या आणि नवीन आधारावर खालील संबंधांद्वारे जोडते:

,

नवीन आधारावर व्हेक्टरचे इच्छित निर्देशांक कोठे आहेत.

अशा प्रकारे, नवीन आधारावर वेक्टर समन्वय शोधण्याचे कार्य मॅट्रिक्स समीकरण सोडवण्यासाठी कमी केले जाते: , जेथे एक्स- जुन्या आधारावर वेक्टर निर्देशांकांचे मॅट्रिक्स-स्तंभ, ए- जुन्या आधारावरून नवीनवर संक्रमण मॅट्रिक्स, एक्स* – नवीन आधारावर व्हेक्टर कोऑर्डिनेट्सचा आवश्यक मॅट्रिक्स-स्तंभ. मॅट्रिक्स समीकरणातून आम्हाला मिळते:

तर, वेक्टर समन्वय नवीन आधारावरसमानतेतून आढळतात:

.

उदाहरण.विशिष्ट आधारावर, वेक्टर विघटन दिले जाते:

आधारामध्ये वेक्टरचे निर्देशांक शोधा.

उपाय.

1. संक्रमण मॅट्रिक्स नवीन आधारावर लिहूया, उदा. आम्ही स्तंभांमध्ये जुन्या आधारावर व्हेक्टरचे निर्देशांक लिहू:

2. मॅट्रिक्स शोधा ए –1:

3. गुणाकार करा, वेक्टरचे समन्वय कोठे आहेत:

उत्तर द्या: .

§ 5. युक्लिडियन जागा

चला काही पाहू n-वास्तविक संख्यांच्या फील्डवर डायमेंशनल वेक्टर स्पेस (V, +, ·). आर. या जागेचा काही आधार असू द्या.

या वेक्टर स्पेसमध्ये ओळख करून देऊ मेट्रिक, म्हणजे लांबी आणि कोन कसे मोजायचे ते ठरवू. हे करण्यासाठी, आम्ही स्केलर उत्पादनाची संकल्पना परिभाषित करतो.