भिन्न सह लॉगरिदम सोल्यूशनची उदाहरणे. लॉगरिदमचे गुणधर्म वापरून अभिव्यक्ती रूपांतरित करणे: उदाहरणे, उपाय

आदिम पातळीच्या बीजगणितातील एक घटक म्हणजे लॉगरिथम. हे नाव ग्रीक भाषेतून "संख्या" किंवा "पॉवर" या शब्दावरून आले आहे आणि याचा अर्थ अंतिम संख्या शोधण्यासाठी बेसमधील संख्या वाढवणे आवश्यक आहे.

लॉगरिदमचे प्रकार

• लॉग a b - बेस a (a > 0, a ≠ 1, b > 0) करण्यासाठी b संख्याचा लॉगरिदम;
• log b – दशांश लॉगरिदम (लोगॅरिथम ते बेस 10, a = 10);
• ln b – नैसर्गिक लॉगरिदम (लोगॅरिथम ते बेस e, a = e).

लॉगरिदम कसे सोडवायचे?

b ते बेस a चे लॉगरिदम हा एक घातांक आहे ज्याला b ला बेस a वर वाढवणे आवश्यक आहे. प्राप्त झालेला परिणाम असा उच्चारला जातो: "b ते बेस a चे लॉगरिदम." लॉगरिदमिक समस्यांचे निराकरण म्हणजे आपल्याला निर्दिष्ट संख्यांमधून संख्यांमध्ये दिलेली शक्ती निश्चित करणे आवश्यक आहे. लॉगरिदम निश्चित करण्यासाठी किंवा सोडवण्यासाठी काही मूलभूत नियम आहेत, तसेच नोटेशन स्वतःच रूपांतरित करतात. त्यांचा वापर करून, लॉगरिदमिक समीकरणे सोडवली जातात, व्युत्पन्न शोधले जातात, अविभाज्यांचे निराकरण केले जाते आणि इतर अनेक ऑपरेशन्स केल्या जातात. मूलभूतपणे, लॉगरिथमचे निराकरण हे त्याचे सरलीकृत नोटेशन आहे. खाली मूलभूत सूत्रे आणि गुणधर्म आहेत:

कोणत्याही साठी; a > 0; a ≠ 1 आणि कोणत्याही x साठी; y > 0.

• a log a b = b - मूलभूत लॉगरिदमिक ओळख
• लॉग a 1 = 0
• loga a = 1
• log a (x y) = log a x + log a y
• लॉग a x/ y = लॉग a x - लॉग a y
• लॉग a 1/x = -लॉग a x
• log a x p = p log a x
• k ≠ 0 साठी लॉग a k x = 1/k लॉग a x
• log a x = log a c x c
• log a x = log b x/ log b a – नवीन बेसवर जाण्यासाठी सूत्र
• log a x = 1/log x a

लॉगरिदम कसे सोडवायचे - सोडवण्यासाठी चरण-दर-चरण सूचना

• प्रथम, आवश्यक समीकरण लिहा.

कृपया लक्षात ठेवा: जर बेस लॉगॅरिथम 10 असेल, तर एंट्री लहान केली जाईल, परिणामी दशांश लॉगरिदम होईल. जर नैसर्गिक संख्या e असेल, तर आम्ही ती लिहून ठेवतो, ती नैसर्गिक लॉगरिदममध्ये कमी करतो. याचा अर्थ असा की सर्व लॉगरिदमचा परिणाम ही संख्या b प्राप्त करण्यासाठी मूळ संख्या वाढवलेली शक्ती आहे.

थेट, या पदवीची गणना करण्यातच उपाय आहे. लॉगॅरिथमसह अभिव्यक्ती सोडवण्यापूर्वी, ते नियमानुसार, म्हणजे सूत्र वापरून सरलीकृत करणे आवश्यक आहे. लेखात थोडे मागे जाऊन तुम्ही मुख्य ओळखी शोधू शकता.

दोन भिन्न संख्या असलेल्या परंतु समान आधारांसह लॉगरिदम जोडताना आणि वजा करताना, अनुक्रमे b आणि c संख्यांच्या गुणाकार किंवा भागासह एक लॉगरिदम बदला. या प्रकरणात, आपण दुसर्या बेसवर जाण्यासाठी सूत्र लागू करू शकता (वर पहा).

लॉगरिथम सुलभ करण्यासाठी तुम्ही अभिव्यक्ती वापरत असल्यास, विचारात घेण्यासाठी काही मर्यादा आहेत. आणि ते म्हणजे: लॉगरिदम a चा आधार फक्त एक धन संख्या आहे, परंतु एक समान नाही. b ही संख्या, a सारखी, शून्यापेक्षा मोठी असणे आवश्यक आहे.

अशी प्रकरणे आहेत जिथे, अभिव्यक्ती सरलीकृत करून, तुम्ही लॉगरिथमची संख्यात्मक गणना करू शकणार नाही. असे घडते की अशा अभिव्यक्तीला अर्थ नाही, कारण अनेक शक्ती अपरिमेय संख्या आहेत. या स्थितीत, लॉगरिदम म्हणून संख्येची शक्ती सोडा.

तुम्हाला माहिती आहेच की, अभिव्यक्तींचा शक्तींसह गुणाकार करताना, त्यांचे घातांक नेहमी जोडतात (a b *a c = a b+c). हा गणिती नियम आर्किमिडीजने काढला आणि नंतर, 8 व्या शतकात, गणितज्ञ विरासेनने पूर्णांक घातांकांची तक्ता तयार केली. त्यांनीच लॉगरिदमच्या पुढील शोधासाठी काम केले. हे फंक्शन वापरण्याची उदाहरणे जवळजवळ कोठेही आढळू शकतात जेथे साध्या बेरीज करून अवजड गुणाकार सुलभ करणे आवश्यक आहे. तुम्ही हा लेख वाचण्यात 10 मिनिटे घालवल्यास, आम्ही तुम्हाला लॉगरिदम काय आहेत आणि त्यांच्यासह कसे कार्य करावे हे समजावून सांगू. सोप्या आणि सुलभ भाषेत.

गणितातील व्याख्या

लॉगॅरिथम ही खालील स्वरूपाची अभिव्यक्ती आहे: लॉग a b=c, म्हणजेच कोणत्याही नॉन-नकारात्मक संख्येचा (म्हणजे कोणताही धनात्मक) “b” त्याच्या बेस “a” ची घात “c” मानली जाते. " ज्यासाठी शेवटी "b" मूल्य मिळविण्यासाठी आधार "a" वाढवणे आवश्यक आहे. उदाहरणे वापरून लॉगरिथमचे विश्लेषण करू या, एक अभिव्यक्ती लॉग आहे असे म्हणू या 2 8. उत्तर कसे शोधायचे? हे अगदी सोपे आहे, तुम्हाला अशी पॉवर शोधावी लागेल की 2 ते आवश्यक पॉवरपर्यंत तुम्हाला 8 मिळतील. तुमच्या डोक्यात काही आकडेमोड केल्यावर, आम्हाला 3 क्रमांक मिळेल! आणि ते खरे आहे, कारण 2 ते 3 च्या घाताने 8 असे उत्तर मिळते.

लॉगरिदमचे प्रकार

बऱ्याच विद्यार्थी आणि विद्यार्थ्यांसाठी, हा विषय क्लिष्ट आणि अनाकलनीय वाटतो, परंतु प्रत्यक्षात लॉगरिदम इतके भयानक नाहीत, मुख्य गोष्ट म्हणजे त्यांचे सामान्य अर्थ समजून घेणे आणि त्यांचे गुणधर्म आणि काही नियम लक्षात ठेवणे. लॉगरिदमिक अभिव्यक्तीचे तीन स्वतंत्र प्रकार आहेत:

1. नैसर्गिक लॉगॅरिथम ln a, जेथे आधार हा यूलर क्रमांक आहे (e = 2.7).
2. दशांश a, जेथे पाया 10 आहे.
3. बेस a>1 पर्यंत b कोणत्याही संख्येचा लॉगरिदम.

लॉगरिदमिक प्रमेयांचा वापर करून एकल लॉगॅरिथममध्ये सरलीकरण, घट आणि त्यानंतरची घट यासह, त्यापैकी प्रत्येक मानक पद्धतीने सोडवला जातो. लॉगरिदमची योग्य मूल्ये प्राप्त करण्यासाठी, आपण त्यांचे गुणधर्म आणि त्यांचे निराकरण करताना क्रियांचा क्रम लक्षात ठेवावा.

नियम आणि काही निर्बंध

गणितामध्ये असे अनेक नियम-अवरोध आहेत जे स्वयंसिद्ध म्हणून स्वीकारले जातात, म्हणजेच ते चर्चेच्या अधीन नसतात आणि सत्य असतात. उदाहरणार्थ, संख्यांना शून्याने विभाजित करणे अशक्य आहे आणि ऋण संख्यांचे सम मूळ काढणे देखील अशक्य आहे. लॉगरिदमचे देखील स्वतःचे नियम आहेत, ज्याचे अनुसरण करून तुम्ही लांब आणि क्षमता असलेल्या लॉगरिदमिक अभिव्यक्तीसह देखील कार्य करणे सहजपणे शिकू शकता:

• बेस "a" नेहमी शून्यापेक्षा मोठा असावा आणि 1 च्या बरोबरीचा नसावा, अन्यथा अभिव्यक्तीचा अर्थ गमावला जाईल, कारण "1" आणि "0" कोणत्याही प्रमाणात त्यांच्या मूल्यांच्या समान असतात;
• जर a > 0, नंतर a b > 0, असे दिसून येते की "c" देखील शून्यापेक्षा जास्त असणे आवश्यक आहे.

लॉगरिदम कसे सोडवायचे?

उदाहरणार्थ, 10 x = 100 या समीकरणाचे उत्तर शोधण्याचे कार्य दिले आहे. हे खूप सोपे आहे, आपल्याला 100 प्राप्त होणारी संख्या दहा वाढवून घात निवडणे आवश्यक आहे. हे अर्थातच 10 2 = आहे. 100.

आता ही अभिव्यक्ती लॉगरिदमिक स्वरूपात दर्शवू. आम्हाला लॉग 10 100 = 2 मिळतो. लॉगरिदम सोडवताना, दिलेली संख्या मिळविण्यासाठी लॉगरिदमच्या बेसमध्ये प्रवेश करणे आवश्यक असलेली शक्ती शोधण्यासाठी सर्व क्रिया व्यावहारिकरित्या एकत्रित होतात.

अज्ञात पदवीचे मूल्य अचूकपणे निर्धारित करण्यासाठी, आपल्याला पदवीच्या सारणीसह कसे कार्य करावे हे शिकण्याची आवश्यकता आहे. हे असे दिसते:

तुम्ही बघू शकता, तुमच्याकडे तांत्रिक मन आणि गुणाकार सारणीचे ज्ञान असल्यास काही घातांकांचा अंतर्ज्ञानाने अंदाज लावला जाऊ शकतो. तथापि, मोठ्या मूल्यांसाठी आपल्याला पॉवर टेबलची आवश्यकता असेल. ज्यांना क्लिष्ट गणिती विषयांबद्दल काहीच माहिती नाही अशांनाही याचा वापर करता येतो. डाव्या स्तंभात संख्या (बेस a) आहेत, संख्यांची वरची पंक्ती ही संख्या a वाढवलेली शक्ती c चे मूल्य आहे. छेदनबिंदूवर, सेलमध्ये संख्या मूल्ये असतात जी उत्तरे असतात (a c =b). उदाहरणार्थ, 10 क्रमांकाचा पहिला सेल घ्या आणि त्याचा वर्ग करा, आपल्याला 100 मूल्य मिळेल, जे आपल्या दोन पेशींच्या छेदनबिंदूवर सूचित केले आहे. सर्व काही इतके सोपे आणि सोपे आहे की अगदी खऱ्या मानवतावादीलाही समजेल!

समीकरणे आणि असमानता

असे दिसून आले की विशिष्ट परिस्थितींमध्ये घातांक हा लॉगरिथम आहे. म्हणून, कोणतीही गणितीय संख्यात्मक अभिव्यक्ती लॉगरिदमिक समानता म्हणून लिहिली जाऊ शकते. उदाहरणार्थ, 3 4 =81 हे 81 समान चार (लॉग 3 81 = 4) चा आधार 3 लॉगरिदम म्हणून लिहिता येईल. नकारात्मक शक्तींसाठी नियम समान आहेत: 2 -5 = 1/32 आपण लॉगरिदम म्हणून लिहू, आपल्याला लॉग 2 (1/32) = -5 मिळेल. गणितातील सर्वात आकर्षक विभागांपैकी एक म्हणजे “लोगॅरिथम” हा विषय. समीकरणांच्या गुणधर्मांचा अभ्यास केल्यावर लगेचच त्यांची उदाहरणे आणि निराकरणे आपण खाली पाहू. आता असमानता कशा दिसतात आणि त्यांना समीकरणांमधून कसे वेगळे करायचे ते पाहू.

खालील अभिव्यक्ती दिली आहे: लॉग 2 (x-1) > 3 - ही लॉगरिदमिक असमानता आहे, कारण अज्ञात मूल्य "x" लॉगरिदमिक चिन्हाखाली आहे. आणि अभिव्यक्तीमध्ये देखील दोन प्रमाणांची तुलना केली जाते: इच्छित संख्या ते बेस दोनचा लॉगरिदम क्रमांक तीनपेक्षा मोठा आहे.

लॉगरिदमिक समीकरणे आणि असमानता यांच्यातील सर्वात महत्त्वाचा फरक म्हणजे लॉगरिदमसह समीकरणे (उदाहरणार्थ, लॉगरिदम 2 x = √9) उत्तरामध्ये एक किंवा अधिक विशिष्ट संख्यात्मक मूल्ये दर्शवतात, तर असमानता सोडवताना, दोन्ही स्वीकार्य श्रेणी मूल्ये आणि बिंदू हे कार्य खंडित करून निर्धारित केले जातात. परिणामी, उत्तर हे समीकरणाच्या उत्तराप्रमाणे वैयक्तिक संख्यांचा साधा संच नसून सतत मालिका किंवा संख्यांचा संच आहे.

लॉगरिदम बद्दल मूलभूत प्रमेये

लॉगरिदमची मूल्ये शोधण्याची आदिम कार्ये सोडवताना, त्याचे गुणधर्म ज्ञात नसतील. तथापि, जेव्हा लॉगरिदमिक समीकरणे किंवा असमानता येतात, तेव्हा सर्व प्रथम, लॉगरिदमचे सर्व मूलभूत गुणधर्म स्पष्टपणे समजून घेणे आणि व्यवहारात लागू करणे आवश्यक आहे. आपण समीकरणांची उदाहरणे नंतर पाहू; प्रथम प्रत्येक गुणधर्म अधिक तपशीलवार पाहू.

1. मुख्य ओळख यासारखी दिसते: a logaB =B. हे फक्त तेव्हाच लागू होते जेव्हा a 0 पेक्षा मोठा असतो, एकाच्या बरोबरीचा नसतो आणि B शून्यापेक्षा मोठा असतो.
2. उत्पादनाचा लॉगरिदम खालील सूत्रामध्ये दर्शविला जाऊ शकतो: लॉग d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. या प्रकरणात, अनिवार्य अट आहे: d, s 1 आणि s 2 > 0; a≠1. तुम्ही उदाहरणे आणि सोल्यूशनसह या लॉगरिदमिक सूत्रासाठी पुरावा देऊ शकता. लॉग a s 1 = f 1 आणि log a s 2 = f 2, नंतर a f1 = s 1, a f2 = s 2. आम्हाला मिळते की s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (चे गुणधर्म अंश ), आणि नंतर व्याख्येनुसार: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, जे सिद्ध करणे आवश्यक आहे.
3. भागाचे लॉगरिदम असे दिसते: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. सूत्राच्या रूपातील प्रमेय खालील फॉर्म घेते: लॉग a q b n = n/q लॉग a b.

या सूत्राला "लोगॅरिथमच्या अंशाची मालमत्ता" असे म्हणतात. हे सामान्य अंशांच्या गुणधर्मांसारखे आहे आणि हे आश्चर्यकारक नाही, कारण सर्व गणिते नैसर्गिक पोस्ट्युलेट्सवर आधारित आहेत. चला पुरावा पाहू.

लॉग a b = t करू द्या, ते t = b निघेल. जर आपण दोन्ही भागांना m पॉवर वर वाढवले: a tn = b n ;

पण a tn = (a q) nt/q = b n असल्याने, म्हणून a q b n = (n*t)/t लॉग करा, नंतर a q b n = n/q लॉग a b ला लॉग करा. प्रमेय सिद्ध झाले आहे.

समस्या आणि असमानतेची उदाहरणे

लॉगरिदमवरील समस्यांचे सर्वात सामान्य प्रकार म्हणजे समीकरणे आणि असमानतेची उदाहरणे. ते जवळजवळ सर्व समस्यांच्या पुस्तकांमध्ये आढळतात आणि ते गणिताच्या परीक्षांचा आवश्यक भाग देखील आहेत. विद्यापीठात प्रवेश करण्यासाठी किंवा गणितातील प्रवेश परीक्षा उत्तीर्ण करण्यासाठी, आपल्याला अशी कार्ये योग्यरित्या कशी सोडवायची हे माहित असणे आवश्यक आहे.

दुर्दैवाने, लॉगरिदमचे अज्ञात मूल्य सोडवण्यासाठी आणि निर्धारित करण्यासाठी कोणतीही एक योजना किंवा योजना नाही, परंतु प्रत्येक गणितीय असमानता किंवा लॉगरिदमिक समीकरणासाठी काही नियम लागू केले जाऊ शकतात. सर्व प्रथम, आपण अभिव्यक्ती सरलीकृत किंवा सामान्य स्वरूपात कमी केली जाऊ शकते की नाही हे शोधले पाहिजे. जर तुम्ही त्यांचे गुणधर्म योग्यरित्या वापरत असाल तर तुम्ही लांब लॉगरिदमिक अभिव्यक्ती सुलभ करू शकता. चला त्यांना लवकर ओळखू या.

लॉगरिदमिक समीकरणे सोडवताना, आपण कोणत्या प्रकारचे लॉगरिदम आहे हे निर्धारित केले पाहिजे: उदाहरणाच्या अभिव्यक्तीमध्ये नैसर्गिक लॉगरिथम किंवा दशांश असू शकतात.

येथे ln100, ln1026 उदाहरणे आहेत. त्यांचे समाधान या वस्तुस्थितीवर उकळते की त्यांना बेस 10 अनुक्रमे 100 आणि 1026 च्या बरोबरीची शक्ती निश्चित करणे आवश्यक आहे. नैसर्गिक लॉगरिदम सोडवण्यासाठी, तुम्हाला लॉगरिदमिक ओळख किंवा त्यांचे गुणधर्म लागू करणे आवश्यक आहे. विविध प्रकारच्या लॉगरिदमिक समस्या सोडवण्याची उदाहरणे पाहू.

लॉगरिदम सूत्र कसे वापरावे: उदाहरणे आणि उपायांसह

तर, लॉगरिदम बद्दल मूलभूत प्रमेय वापरण्याची उदाहरणे पाहू.

1. उत्पादनाच्या लॉगरिदमचा गुणधर्म अशा कार्यांमध्ये वापरला जाऊ शकतो जेथे b संख्याचे मोठ्या मूल्याचे सोप्या घटकांमध्ये विघटन करणे आवश्यक आहे. उदाहरणार्थ, लॉग 2 4 + लॉग 2 128 = लॉग 2 (4*128) = लॉग 2 512. उत्तर 9 आहे.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - जसे तुम्ही पाहू शकता, लॉगरिदम पॉवरच्या चौथ्या गुणधर्माचा वापर करून, आम्ही एक जटिल आणि न सोडवता येणारी अभिव्यक्ती सोडवण्यात व्यवस्थापित केले. तुम्हाला फक्त बेस फॅक्टर करणे आवश्यक आहे आणि नंतर लॉगरिदमच्या चिन्हातून घातांक मूल्ये काढणे आवश्यक आहे.

युनिफाइड स्टेट परीक्षेतील असाइनमेंट

लॉगरिदम बहुतेकदा प्रवेश परीक्षांमध्ये आढळतात, विशेषत: युनिफाइड स्टेट परीक्षा (सर्व शालेय पदवीधरांसाठी राज्य परीक्षा) मध्ये अनेक लॉगरिदमिक समस्या. सामान्यतः, ही कार्ये केवळ भाग A (परीक्षेतील सर्वात सोपा चाचणी भाग) मध्येच नसतात तर भाग C (सर्वात जटिल आणि विपुल कार्ये) मध्ये देखील उपस्थित असतात. परीक्षेसाठी “नैसर्गिक लॉगरिदम” या विषयाचे अचूक आणि परिपूर्ण ज्ञान आवश्यक आहे.

युनिफाइड स्टेट परीक्षेच्या अधिकृत आवृत्त्यांमधून उदाहरणे आणि समस्यांचे निराकरण केले जाते. अशी कार्ये कशी सोडवली जातात ते पाहूया.

दिलेला लॉग 2 (2x-1) = 4. उपाय:
चला अभिव्यक्ती पुन्हा लिहू, थोडेसे लॉग 2 (2x-1) = 2 2 सोपे करून, लॉगरिदमच्या व्याख्येनुसार आपल्याला 2x-1 = 2 4 मिळेल, म्हणून 2x = 17; x = 8.5.

• सर्व लॉगरिदम समान बेसवर कमी करणे चांगले आहे जेणेकरून समाधान अवजड आणि गोंधळात टाकणार नाही.
• लॉगरिदम चिन्हाखालील सर्व अभिव्यक्ती सकारात्मक म्हणून दर्शविल्या जातात, म्हणून जेव्हा लॉगरिथम चिन्हाखाली असलेल्या अभिव्यक्तीचा घातांक आणि त्याचा आधार गुणक म्हणून काढला जातो, तेव्हा लॉगरिदम अंतर्गत उरलेली अभिव्यक्ती सकारात्मक असणे आवश्यक आहे.

समस्या B7 काही अभिव्यक्ती देते जी सरलीकृत करणे आवश्यक आहे. निकाल हा नियमित क्रमांक असावा जो उत्तरपत्रिकेवर लिहिता येईल. सर्व अभिव्यक्ती पारंपारिकपणे तीन प्रकारांमध्ये विभागल्या जातात:

1. लॉगरिदमिक,
2. सूचक,
3. एकत्रित.

घातांक आणि लॉगरिदमिक अभिव्यक्ती त्यांच्या शुद्ध स्वरूपात व्यावहारिकपणे कधीही आढळत नाहीत. तथापि, त्यांची गणना कशी केली जाते हे जाणून घेणे पूर्णपणे आवश्यक आहे.

सर्वसाधारणपणे, समस्या B7 अगदी सोप्या पद्धतीने सोडवली जाते आणि सरासरी पदवीधरांच्या क्षमतेमध्ये असते. स्पष्ट अल्गोरिदमची कमतरता त्याच्या मानकीकरण आणि एकसंधतेने भरून काढली जाते. अशा समस्या सोडवायला तुम्ही खूप प्रशिक्षण घेऊन शिकू शकता.

लॉगरिदमिक अभिव्यक्ती

बहुसंख्य B7 समस्यांमध्ये एक किंवा दुसऱ्या स्वरूपात लॉगरिदमचा समावेश होतो. हा विषय पारंपारिकपणे कठीण मानला जातो, कारण त्याचा अभ्यास सामान्यतः 11 व्या वर्गात होतो - अंतिम परीक्षांच्या मोठ्या तयारीचा युग. परिणामी, अनेक पदवीधरांना लॉगरिदमची अस्पष्ट समज असते.

परंतु या कार्यात कोणालाही सखोल सैद्धांतिक ज्ञानाची आवश्यकता नाही. आम्ही फक्त सर्वात सोप्या अभिव्यक्तींचा सामना करू ज्यांना साध्या तर्काची आवश्यकता असते आणि ते सहजपणे स्वतंत्रपणे प्रभुत्व मिळवू शकतात. लॉगरिदमचा सामना करण्यासाठी तुम्हाला खालील मूलभूत सूत्रे माहित असणे आवश्यक आहे:

याव्यतिरिक्त, आपण तर्कसंगत घातांकासह मुळे आणि अपूर्णांकांना शक्तीसह पुनर्स्थित करण्यास सक्षम असणे आवश्यक आहे, अन्यथा काही अभिव्यक्तींमध्ये लॉगरिथम चिन्हाच्या खाली काढण्यासाठी काहीही होणार नाही. बदली सूत्रे:

कार्य. अभिव्यक्तींचा अर्थ शोधा:
लॉग 6 270 − लॉग 6 7.5
लॉग ५ ७७५ − लॉग ५ ६.२

प्रथम दोन अभिव्यक्ती लॉगरिदमच्या फरक म्हणून रूपांतरित केल्या जातात:
लॉग 6 270 − लॉग 6 7.5 = लॉग 6 (270: 7.5) = लॉग 6 36 = 2;
लॉग 5 775 − लॉग 5 6.2 = लॉग 5 (775: 6.2) = लॉग 5 125 = 3.

तिसऱ्या अभिव्यक्तीची गणना करण्यासाठी, तुम्हाला शक्ती वेगळ्या कराव्या लागतील - मूळ आणि युक्तिवाद दोन्हीमध्ये. प्रथम, अंतर्गत लॉगरिदम शोधूया:

मग - बाह्य:

log a log b x फॉर्मची रचना गुंतागुंतीची वाटते आणि अनेकांना गैरसमज आहे. दरम्यान, हे लॉगरिथमचे फक्त एक लॉगरिथम आहे, म्हणजे. log a (लॉग b x ). प्रथम, अंतर्गत लॉगरिदम मोजला जातो (चला लॉग b x = c ठेवूया), आणि नंतर बाह्य: log a c.

प्रात्यक्षिक अभिव्यक्ती

आम्ही घातांकीय अभिव्यक्तीला k फॉर्मचे कोणतेही बांधकाम म्हणू, जेथे a आणि k संख्या अनियंत्रित स्थिरांक आहेत आणि a > 0. अशा अभिव्यक्तीसह कार्य करण्याच्या पद्धती अगदी सोप्या आहेत आणि 8 व्या वर्गातील बीजगणिताच्या धड्यांमध्ये चर्चा केल्या आहेत.

खाली मूलभूत सूत्रे आहेत जी आपल्याला निश्चितपणे माहित असणे आवश्यक आहे. सराव मध्ये या सूत्रांचा वापर, एक नियम म्हणून, समस्या निर्माण करत नाही.

1. a n · a m = a n + m ;
2. a n / a m = a n − m ;
3. (a n ) m = a n · m ;
4. (a · b ) n = a n · b n ;
5. (a : b ) n = a n : b n .

जर तुम्हाला सामर्थ्यांसह एक जटिल अभिव्यक्ती आढळली आणि त्याकडे कसे जायचे ते स्पष्ट नसेल, तर एक सार्वत्रिक तंत्र वापरा - साध्या घटकांमध्ये विघटन. परिणामी, शक्तींच्या तळांमध्ये मोठ्या संख्येने साध्या आणि समजण्यायोग्य घटकांद्वारे बदलले जातात. मग फक्त वरील सूत्रे लागू करणे बाकी आहे - आणि समस्या सोडवली जाईल.

कार्य. अभिव्यक्तींची मूल्ये शोधा: 7 9 · 3 11: 21 8, 24 7: 3 6: 16 5, 30 6: 6 5: 25 2.

उपाय. आपण सर्व शक्तींच्या पायाचे सोप्या घटकांमध्ये विघटन करूया:
7 9 3 11: 21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11: 7 8: 3 8 = 7 3 3 = 189.
24 7: 3 6: 16 5 = (3 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21: 3 6: 2 20 = 3 2 = 6.
30 6: 6 5: 25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 3 2 = 150 .

एकत्रित कार्ये

जर तुम्हाला सूत्रे माहित असतील, तर सर्व घातांक आणि लॉगरिदमिक अभिव्यक्ती एका ओळीत शब्दशः सोडवल्या जाऊ शकतात. तथापि, प्रॉब्लेम B7 मध्ये पॉवर्स आणि लॉगरिदम एकत्र करून जोरदार कॉम्बिनेशन बनवता येतात.