अंकगणित प्रगतीमध्ये n च्या बरोबरी. प्रगतीसह शब्द समस्या

अंकगणित आणि भूमितीय प्रगती

सैद्धांतिक माहिती

	अंकगणित प्रगती	भौमितिक प्रगती
व्याख्या	अंकगणित प्रगती एक एनएक असा क्रम आहे ज्यामध्ये प्रत्येक सदस्य, दुसऱ्यापासून सुरू होणारा, त्याच संख्येमध्ये जोडलेल्या मागील सदस्याच्या समान असतो d (d- प्रगती फरक)	भौमितिक प्रगती b nशून्य नसलेल्या संख्यांचा क्रम आहे, ज्याची प्रत्येक संज्ञा, दुसऱ्यापासून सुरू होणारी, समान संख्येने गुणाकार केलेल्या मागील पदाच्या समान असते q (q- प्रगतीचा भाजक)
पुनरावृत्ती सूत्र	कोणत्याही नैसर्गिक साठी n a n + 1 = a n + d	कोणत्याही नैसर्गिक साठी n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
सूत्र n व्या पद	a n = a 1 + d (n - 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
वैशिष्ट्यपूर्ण गुणधर्म
पहिल्या n अटींची बेरीज

टिप्पण्यांसह कार्यांची उदाहरणे

व्यायाम १

अंकगणित प्रगतीमध्ये ( एक एन) a 1 = -6, a 2

नवव्या पदाच्या सूत्रानुसार:

एक 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ २१ दि

अटीनुसार:

a 1= -6, नंतर एक 22= -6 + 21 दि .

प्रगतीचा फरक शोधणे आवश्यक आहे:

d = a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2

एक 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

उत्तर: एक 22 = -48.

कार्य २

भौमितिक प्रगतीचे पाचवे पद शोधा: -3; ६;....

पहिली पद्धत (n-टर्म सूत्र वापरून)

भौमितिक प्रगतीच्या nव्या पदाच्या सूत्रानुसार:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

कारण ब १ = -3,

दुसरी पद्धत (वारंवार सूत्र वापरून)

प्रगतीचा भाजक -2 (q = -2) असल्याने:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

उत्तर: b 5 = -48.

कार्य 3

अंकगणित प्रगतीमध्ये ( a n) a 74 = 34; एक 76= 156. या प्रगतीचे पंचाहत्तरवे पद शोधा.

अंकगणित प्रगतीसाठी, वैशिष्ट्यपूर्ण गुणधर्माचे स्वरूप असते .

म्हणून:

.

चला डेटाला सूत्रामध्ये बदलू:

उत्तर: ९५.

कार्य 4

अंकगणित प्रगतीमध्ये ( a n ) a n= 3n - 4. पहिल्या सतरा संज्ञांची बेरीज शोधा.

अंकगणिताच्या प्रगतीच्या पहिल्या n पदांची बेरीज शोधण्यासाठी, दोन सूत्रे वापरली जातात:

.

या प्रकरणात वापरण्यासाठी त्यापैकी कोणते अधिक सोयीस्कर आहे?

स्थितीनुसार, मूळ प्रगतीच्या nव्या पदाचे सूत्र ज्ञात आहे ( एक एन) एक एन= 3n - 4. आपण लगेच शोधू शकता आणि a 1, आणि एक 16न शोधता डी. म्हणून, आपण प्रथम सूत्र वापरू.

उत्तर: ३६८.

कार्य 5

अंकगणित प्रगतीमध्ये ( एक एन) a 1 = -6; a 2= -8. प्रगतीचा बावीसवा टर्म शोधा.

नवव्या पदाच्या सूत्रानुसार:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ २१ दि.

अटीनुसार, जर a 1= -6, नंतर एक 22= -6 + 21d . प्रगतीचा फरक शोधणे आवश्यक आहे:

d = a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2

एक 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

उत्तर: एक 22 = -48.

कार्य 6

भौमितिक प्रगतीच्या अनेक सलग संज्ञा लिहिल्या आहेत:

x ने दर्शविलेल्या प्रगतीची संज्ञा शोधा.

सोडवताना आपण nव्या पदासाठी सूत्र वापरू b n = b 1 ∙ q n - 1भौमितिक प्रगतीसाठी. प्रगतीची पहिली टर्म. प्रगती q चा भाजक शोधण्यासाठी, तुम्हाला प्रगतीच्या दिलेल्या कोणत्याही संज्ञा घ्याव्या लागतील आणि मागील एकाने भागाव्या लागतील. आमच्या उदाहरणात, आपण घेऊ आणि भागू शकतो. आम्हाला ते q = 3 मिळते. n च्या ऐवजी, आम्ही सूत्रामध्ये 3 बदलतो, कारण दिलेल्या भूमितीय प्रगतीची तिसरी संज्ञा शोधणे आवश्यक आहे.

सापडलेल्या मूल्यांना सूत्रामध्ये बदलून, आम्हाला मिळते:

.

उत्तर :.

कार्य 7

नवव्या पदाच्या सूत्राने दिलेल्या अंकगणितीय प्रगतीमधून, ज्यासाठी अट समाधानी आहे ते निवडा. एक 27 > 9:

प्रगतीच्या 27 व्या टर्मसाठी दिलेली अट पूर्ण करणे आवश्यक असल्याने, आम्ही प्रत्येक चार प्रगतीमध्ये n ऐवजी 27 बदलतो. चौथ्या प्रगतीमध्ये आम्हाला मिळते:

.

उत्तर: ४.

कार्य 8

अंकगणित प्रगती मध्ये a 1= 3, d = -1.5. n चे सर्वात मोठे मूल्य निर्दिष्ट करा ज्यासाठी असमानता आहे एक एन > -6.

बरं, मित्रांनो, जर तुम्ही हा मजकूर वाचत असाल, तर अंतर्गत कॅप-पुरावा मला सांगतो की अंकगणित प्रगती म्हणजे काय हे तुम्हाला अजून माहित नाही, पण तुम्हाला खरोखर (नाही, तसे: SOOOOO!) जाणून घ्यायचे आहे. म्हणून, मी तुम्हाला लांबलचक प्रस्तावना देऊन त्रास देणार नाही आणि थेट मुद्द्यापर्यंत पोहोचेन.

प्रथम, काही उदाहरणे. चला संख्यांचे अनेक संच पाहू:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

या सर्व संचांमध्ये काय साम्य आहे? पहिल्या दृष्टीक्षेपात, काहीही नाही. पण प्रत्यक्षात काहीतरी आहे. म्हणजे: प्रत्येक पुढील घटक मागील घटकापेक्षा समान संख्येने भिन्न असतो.

स्वत: साठी न्यायाधीश. पहिला संच फक्त सलग संख्या आहे, प्रत्येक पुढील मागील एकापेक्षा एक जास्त आहे. दुसऱ्या प्रकरणात, समीप संख्यांमधील फरक आधीच पाच आहे, परंतु हा फरक अजूनही स्थिर आहे. तिसऱ्या प्रकरणात, पूर्णपणे मुळे आहेत. तथापि, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, आणि $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, उदा. आणि या प्रकरणात, प्रत्येक पुढील घटक फक्त $\sqrt(2)$ ने वाढतो (आणि घाबरू नका की ही संख्या तर्कहीन आहे).

तर: अशा सर्व क्रमांना अंकगणितीय प्रगती म्हणतात. चला एक कठोर व्याख्या देऊ:

व्याख्या. संख्यांचा क्रम ज्यामध्ये प्रत्येक पुढील संख्या मागील एकापेक्षा अगदी समान प्रमाणात भिन्न असते त्याला अंकगणितीय प्रगती म्हणतात. संख्या ज्या प्रमाणात भिन्न असते त्याला प्रगती फरक म्हणतात आणि बहुतेक वेळा $d$ या अक्षराने दर्शविले जाते.

नोटेशन: $\left(((a)_(n)) \right)$ ही प्रगती आहे, $d$ हा त्याचा फरक आहे.

आणि फक्त दोन महत्वाच्या नोट्स. प्रथम, केवळ प्रगतीचा विचार केला जातो आज्ञा केलीसंख्यांचा क्रम: ते ज्या क्रमाने लिहिले आहेत त्या क्रमाने त्यांना काटेकोरपणे वाचण्याची परवानगी आहे - आणि दुसरे काहीही नाही. संख्यांची पुनर्रचना किंवा अदलाबदल करता येत नाही.

दुसरे म्हणजे, क्रम स्वतः एकतर मर्यादित किंवा अनंत असू शकतो. उदाहरणार्थ, संच (1; 2; 3) स्पष्टपणे एक मर्यादित अंकगणित प्रगती आहे. परंतु जर तुम्ही आत्म्याने काहीतरी लिहित असाल (1; 2; 3; 4; ...) - ही आधीच एक अमर्याद प्रगती आहे. चार नंतरचे लंबवर्तुळ असे सूचित करते की आणखी काही संख्या येणे बाकी आहे. असीम अनेक, उदाहरणार्थ :)

मी हे देखील लक्षात घेऊ इच्छितो की प्रगती वाढत किंवा कमी होऊ शकते. आम्ही आधीच वाढणारे पाहिले आहेत - समान संच (1; 2; 3; 4; ...). येथे प्रगती कमी होण्याची उदाहरणे आहेत:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

ठीक आहे, ठीक आहे: शेवटचे उदाहरण जास्त क्लिष्ट वाटू शकते. पण बाकीचे, मला वाटते, तुम्ही समजता. म्हणून, आम्ही नवीन व्याख्या सादर करतो:

व्याख्या. अंकगणित प्रगती म्हणतात:

1. प्रत्येक पुढील घटक मागील घटकापेक्षा मोठा असल्यास वाढणे;
2. त्याउलट, प्रत्येक पुढील घटक मागील घटकापेक्षा कमी असल्यास कमी होत आहे.

याव्यतिरिक्त, तथाकथित "स्थिर" अनुक्रम आहेत - त्यामध्ये समान पुनरावृत्ती संख्या असते. उदाहरणार्थ, (3; 3; 3; ...).

फक्त एक प्रश्न उरतो: वाढत्या प्रगतीला कमी होत असलेल्या प्रगतीपासून वेगळे कसे करावे? सुदैवाने, येथे सर्व काही फक्त $d$ या संख्येच्या चिन्हावर अवलंबून आहे, म्हणजे. प्रगती फरक:

1. जर $d \gt 0$, तर प्रगती वाढते;
2. जर $d \lt 0$, तर प्रगती स्पष्टपणे कमी होत आहे;
3. शेवटी, केस $d=0$ आहे - या प्रकरणात संपूर्ण प्रगती समान संख्यांच्या स्थिर क्रमापर्यंत कमी केली जाते: (1; 1; 1; 1; ...), इ.

वर दिलेल्या तीन घटत्या प्रगतीसाठी $d$ फरक मोजण्याचा प्रयत्न करूया. हे करण्यासाठी, कोणतेही दोन समीप घटक घेणे पुरेसे आहे (उदाहरणार्थ, पहिला आणि दुसरा) आणि उजवीकडील संख्येपासून डावीकडील संख्या वजा करा. हे असे दिसेल:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

जसे आपण पाहू शकतो, तिन्ही प्रकरणांमध्ये फरक प्रत्यक्षात नकारात्मक असल्याचे दिसून आले. आणि आता आम्ही कमी-अधिक प्रमाणात व्याख्या शोधल्या आहेत, प्रगतीचे वर्णन कसे केले जाते आणि त्यांचे गुणधर्म काय आहेत हे शोधण्याची वेळ आली आहे.

प्रगती अटी आणि पुनरावृत्ती सूत्र

आमच्या अनुक्रमांचे घटक स्वॅप केले जाऊ शकत नाहीत म्हणून, त्यांना क्रमांकित केले जाऊ शकते:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \योग्य\)\]

या संचाच्या वैयक्तिक घटकांना प्रगतीचे सदस्य म्हणतात. ते एका संख्येद्वारे सूचित केले जातात: पहिला सदस्य, दुसरा सदस्य इ.

याव्यतिरिक्त, आपल्याला आधीच माहित आहे की, प्रगतीच्या शेजारच्या अटी सूत्रानुसार संबंधित आहेत:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

थोडक्यात, प्रगतीचा $n$th टर्म शोधण्यासाठी, तुम्हाला $n-1$th टर्म आणि $d$ फरक माहित असणे आवश्यक आहे. या सूत्राला आवर्ती म्हणतात, कारण त्याच्या मदतीने तुम्ही कोणतीही संख्या केवळ मागील (आणि खरं तर, मागील सर्व) जाणून घेऊन शोधू शकता. हे खूप गैरसोयीचे आहे, म्हणून एक अधिक धूर्त सूत्र आहे जे कोणतीही गणना पहिल्या टर्म आणि फरकापर्यंत कमी करते:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

तुम्हाला कदाचित हे सूत्र आधीच आले असेल. त्यांना ते सर्व प्रकारच्या संदर्भ पुस्तके आणि उपाय पुस्तकांमध्ये द्यायला आवडते. आणि कोणत्याही समजूतदार गणिताच्या पाठ्यपुस्तकात ते पहिल्यापैकी एक आहे.

तथापि, मी तुम्हाला थोडा सराव सुचवतो.

कार्य क्रमांक १. अंकगणित प्रगती $\left(((a)_(n)) \right)$ जर $((a)_(1))=8,d=-5$ असेल तर पहिल्या तीन संज्ञा लिहा.

उपाय. तर, आम्हाला प्रथम संज्ञा $((a)_(1))=8$ आणि प्रगती $d=-5$ मधील फरक माहित आहे. नुकतेच दिलेले सूत्र वापरू आणि $n=1$, $n=2$ आणि $n=3$ बदलू.

\[\begin(संरेखित) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(संरेखित)\]

उत्तर: (8; 3; −2)

इतकंच! कृपया लक्षात ठेवा: आमची प्रगती कमी होत आहे.

अर्थात, $n=1$ बदलले जाऊ शकत नाही - पहिली संज्ञा आम्हाला आधीच ज्ञात आहे. मात्र, एकीची जागा घेऊन, पहिल्या टर्मसाठीही आमचा फॉर्म्युला कामी येतो, याची आम्हाला खात्री पटली. इतर प्रकरणांमध्ये, सर्वकाही सामान्य अंकगणितावर आले.

कार्य क्रमांक 2. अंकगणिताच्या प्रगतीच्या पहिल्या तीन पदांची सातवी संज्ञा −40 आणि सतरावी पद −50 च्या बरोबरीची असल्यास ती लिहा.

उपाय. चला समस्या स्थिती परिचित शब्दात लिहू:

\[(a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(संरेखित) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(संरेखित) \योग्य.\]

मी सिस्टम चिन्ह ठेवले कारण या आवश्यकता एकाच वेळी पूर्ण केल्या पाहिजेत. आता आपण लक्षात घेऊया की जर आपण दुसऱ्या समीकरणातून पहिले वजा केले (आपल्याकडे प्रणाली असल्यामुळे हे करण्याचा अधिकार आपल्याला आहे), आपल्याला हे मिळेल:

\[\begin(संरेखित) आणि ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(संरेखित)\]

प्रगतीतील फरक शोधणे किती सोपे आहे! सिस्टीमच्या कोणत्याही समीकरणामध्ये सापडलेल्या संख्येला बदलणे बाकी आहे. उदाहरणार्थ, पहिल्यामध्ये:

\[\begin(मॅट्रिक्स) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(मॅट्रिक्स)\]

आता, पहिली संज्ञा आणि फरक जाणून घेतल्यास, दुसरी आणि तिसरी संज्ञा शोधणे बाकी आहे:

\[\begin(संरेखित) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(संरेखित)\]

तयार! समस्या सुटली आहे.

उत्तर: (−34; −35; −36)

आम्ही शोधलेल्या प्रगतीच्या मनोरंजक गुणधर्माकडे लक्ष द्या: जर आम्ही $n$th आणि $m$th संज्ञा घेतल्या आणि त्या एकमेकांमधून वजा केल्या, तर आम्हाला प्रगतीचा फरक $n-m$ संख्येने गुणाकार केला जातो:

\[(a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

एक साधी परंतु अतिशय उपयुक्त मालमत्ता जी तुम्हाला निश्चितपणे माहित असणे आवश्यक आहे - त्याच्या मदतीने तुम्ही प्रगतीच्या अनेक समस्यांचे निराकरण लक्षणीयरीत्या वेगवान करू शकता. याचे स्पष्ट उदाहरण येथे आहे:

कार्य क्रमांक 3. अंकगणिताच्या प्रगतीची पाचवी टर्म 8.4 आहे आणि दहावी टर्म 14.4 आहे. या प्रगतीचे पंधरावे पद शोधा.

उपाय. कारण $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, आणि आम्हाला $((a)_(15))$ शोधण्याची आवश्यकता आहे, आम्ही खालील लक्षात ठेवतो:

\[\begin(संरेखित) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(संरेखित)\]

परंतु अटीनुसार $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, म्हणून $5d=6$, ज्यातून आमच्याकडे आहे:

\[\begin(संरेखित) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \end(संरेखित)\]

उत्तर: 20.4

इतकंच! आम्हाला समीकरणांची कोणतीही प्रणाली तयार करण्याची आणि प्रथम पद आणि फरक मोजण्याची आवश्यकता नव्हती - सर्वकाही फक्त दोन ओळींमध्ये सोडवले गेले.

आता दुसऱ्या प्रकारची समस्या पाहू - प्रगतीसाठी नकारात्मक आणि सकारात्मक संज्ञा शोधणे. हे गुपित नाही की जर प्रगती वाढली आणि त्याची पहिली टर्म नकारात्मक असेल, तर लवकरच किंवा नंतर त्यामध्ये सकारात्मक संज्ञा दिसून येतील. आणि त्याउलट: कमी होत असलेल्या प्रगतीच्या अटी लवकर किंवा नंतर नकारात्मक होतील.

त्याच वेळी, घटकांमधून अनुक्रमे जाऊन हा क्षण "हेड-ऑन" शोधणे नेहमीच शक्य नसते. बऱ्याचदा, समस्या अशा प्रकारे लिहिल्या जातात की सूत्रे जाणून घेतल्याशिवाय, गणनेसाठी कागदाच्या अनेक पत्रक लागतील - आम्हाला उत्तर सापडत असतानाच आम्ही झोपी जातो. म्हणून, या समस्या जलद मार्गाने सोडवण्याचा प्रयत्न करूया.

कार्य क्रमांक 4. अंकगणिताच्या प्रगतीमध्ये किती नकारात्मक संज्ञा आहेत −38.5; −35.8; ...?

उपाय. तर, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, जिथून आम्हाला लगेच फरक सापडतो:

लक्षात घ्या की फरक सकारात्मक आहे, त्यामुळे प्रगती वाढते. पहिली संज्ञा ऋणात्मक आहे, त्यामुळे खरोखरच कधीतरी आपण सकारात्मक संख्यांवर अडखळतो. हे कधी होणार हा एकच प्रश्न आहे.

अटींची नकारात्मकता किती काळ (म्हणजे कोणत्या नैसर्गिक संख्येपर्यंत $n$ पर्यंत) राहते हे शोधण्याचा प्रयत्न करूया:

\[\begin(संरेखित) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \योग्य. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(संरेखित)\]

शेवटच्या ओळीत काही स्पष्टीकरण आवश्यक आहे. तर आपल्याला माहित आहे की $n \lt 15\frac(7)(27)$. दुसरीकडे, आम्ही संख्येच्या केवळ पूर्णांक मूल्यांवर समाधानी आहोत (शिवाय: $n\in \mathbb(N)$), त्यामुळे सर्वात मोठी परवानगी असलेली संख्या तंतोतंत $n=15$ आहे आणि कोणत्याही परिस्थितीत 16 नाही .

कार्य क्रमांक 5. अंकगणित प्रगतीमध्ये $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. या प्रगतीच्या पहिल्या सकारात्मक पदाची संख्या शोधा.

ही मागील समस्या सारखीच असेल, परंतु आम्हाला $((a)_(1))$ माहित नाही. परंतु शेजारच्या संज्ञा ज्ञात आहेत: $((a)_(5))$ आणि $((a)_(6))$, त्यामुळे आपण प्रगतीचा फरक सहज शोधू शकतो:

याव्यतिरिक्त, मानक सूत्र वापरून पाचवे पद प्रथम आणि फरकाद्वारे व्यक्त करण्याचा प्रयत्न करूया:

\[\begin(संरेखित) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(संरेखित)\]

आता आपण मागील कार्याशी साधर्म्य ठेवून पुढे जाऊ. आपल्या क्रमातील धनात्मक संख्या कोणत्या बिंदूवर दिसून येतील ते शोधूया:

\[\begin(संरेखित) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt १६५; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \end(संरेखित)\]

या असमानतेचे किमान पूर्णांक उपाय म्हणजे संख्या 56.

कृपया लक्षात ठेवा: शेवटच्या कार्यात सर्व काही कठोर असमानतेवर आले, त्यामुळे $n=55$ हा पर्याय आम्हाला शोभणार नाही.

आता आपण साध्या समस्यांचे निराकरण कसे करावे हे शिकलो आहोत, चला अधिक जटिल समस्यांकडे जाऊया. परंतु प्रथम, अंकगणित प्रगतीच्या आणखी एक उपयुक्त गुणधर्माचा अभ्यास करूया, ज्यामुळे भविष्यात आपला बराच वेळ आणि असमान पेशी वाचतील :)

अंकगणित सरासरी आणि समान इंडेंटेशन

$\left(((a)_(n)) \right)$ या वाढत्या अंकगणित प्रगतीच्या अनेक सलग संज्ञांचा विचार करू या. चला त्यांना क्रमांक रेषेवर चिन्हांकित करण्याचा प्रयत्न करूया:

मी विशेषत: $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, आणि काही $((a)_(1)) नाही,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, इ. कारण मी तुम्हाला आता सांगेन तो नियम कोणत्याही “सेगमेंट्स” साठी समान कार्य करतो.

आणि नियम अगदी सोपा आहे. चला आवर्ती सूत्र लक्षात ठेवू आणि सर्व चिन्हांकित अटींसाठी ते लिहू:

\[\begin(संरेखित) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(संरेखित)\]

तथापि, या समानता वेगळ्या पद्धतीने पुन्हा लिहिल्या जाऊ शकतात:

\[\begin(संरेखित) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(संरेखित)\]

बरं, मग काय? आणि हे सत्य आहे की $((a)_(n-1))$ आणि $((a)_(n+1))$ हे $((a)_(n)) $ पासून समान अंतरावर आहेत . आणि हे अंतर $d$ इतके आहे. $((a)_(n-2))$ आणि $((a)_(n+2))$ बद्दलही असेच म्हणता येईल - ते $((a)_(n) मधून देखील काढले आहेत. )$ समान अंतरावर $2d$. आम्ही जाहिरात अनंत सुरू ठेवू शकतो, परंतु अर्थ चित्राद्वारे चांगल्या प्रकारे स्पष्ट केला आहे

याचा आमच्यासाठी काय अर्थ आहे? याचा अर्थ असा की $((a)_(n))$ शेजारील संख्या ज्ञात असल्यास शोधले जाऊ शकते:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

आम्ही एक उत्कृष्ट विधान काढले आहे: अंकगणिताच्या प्रगतीची प्रत्येक संज्ञा त्याच्या शेजारच्या संज्ञांच्या अंकगणितीय मध्याशी समान असते! शिवाय: आम्ही आमच्या $((a)_(n))$ वरून डावीकडे आणि उजवीकडे एका पायरीने नाही तर $k$ पावले मागे जाऊ शकतो - आणि सूत्र अद्याप बरोबर असेल:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

त्या. आम्हाला $((a)_(100))$ आणि $((a)_(200))$ माहित असल्यास आम्ही काही $((a)_(150))$ सहज शोधू शकतो, कारण $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. पहिल्या दृष्टीक्षेपात, असे दिसते की ही वस्तुस्थिती आपल्याला काही उपयुक्त देत नाही. तथापि, सराव मध्ये, अंकगणित सरासरी वापरण्यासाठी अनेक समस्या विशेषतः तयार केल्या जातात. इथे बघ:

कार्य क्रमांक 6. $x$ ची सर्व मूल्ये शोधा ज्यासाठी $-6((x)^(2))$, $x+1$ आणि $14+4((x)^(2))$ या सलग संज्ञा आहेत एक अंकगणित प्रगती (निर्देशित क्रमाने).

उपाय. या संख्या प्रगतीचे सदस्य असल्याने, त्यांच्यासाठी अंकगणित सरासरी स्थिती समाधानी आहे: केंद्रीय घटक $x+1$ शेजारच्या घटकांच्या संदर्भात व्यक्त केला जाऊ शकतो:

\[\begin(संरेखित) आणि x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-(x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(संरेखित)\]

परिणाम म्हणजे क्लासिक चतुर्भुज समीकरण. त्याची मुळे: $x=2$ आणि $x=-3$ ही उत्तरे आहेत.

उत्तर: -3; 2.

कार्य क्रमांक 7. $$ ची मूल्ये शोधा ज्यासाठी $-1;4-3;(()^(2))+1$ अंकगणित प्रगती बनवतात (त्या क्रमाने).

उपाय. शेजारच्या संज्ञांच्या अंकगणितीय माध्यमाद्वारे मधली संज्ञा पुन्हा व्यक्त करूया:

\[\begin(संरेखित) आणि 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(संरेखित)\]

पुन्हा चतुर्भुज समीकरण. आणि पुन्हा दोन मुळे आहेत: $x=6$ आणि $x=1$.

उत्तरः १; 6.

जर एखादी समस्या सोडवण्याच्या प्रक्रियेत तुम्ही काही क्रूर संख्या घेऊन येत असाल, किंवा सापडलेल्या उत्तरांच्या अचूकतेबद्दल तुम्हाला पूर्ण खात्री नसेल, तर एक अद्भुत तंत्र आहे जे तुम्हाला तपासण्याची परवानगी देते: आम्ही समस्येचे योग्य निराकरण केले आहे का?

समस्या क्रमांक 6 मध्ये आम्हाला −3 आणि 2 ही उत्तरे मिळाली आहेत असे समजू. ही उत्तरे बरोबर आहेत हे कसे तपासता येईल? चला त्यांना मूळ स्थितीत प्लग करूया आणि काय होते ते पाहूया. मी तुम्हाला आठवण करून देतो की आमच्याकडे तीन संख्या आहेत ($-6(()^(2))$, $+1$ आणि $14+4(()^(2))$), ज्यांनी अंकगणित प्रगती करणे आवश्यक आहे. चला $x=-3$ बदलू:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(संरेखित)\]

आम्हाला −54 क्रमांक मिळाले; −2; 50 जे 52 ने भिन्न आहे हे निःसंशयपणे अंकगणितीय प्रगती आहे. तीच गोष्ट $x=2$ साठी होते:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(संरेखित)\]

पुन्हा एक प्रगती, परंतु 27 च्या फरकाने. अशा प्रकारे, समस्या योग्यरित्या सोडवली गेली. ज्यांना इच्छा आहे ते स्वतःहून दुसरी समस्या तपासू शकतात, परंतु मी लगेच सांगेन: तिथेही सर्व काही बरोबर आहे.

सर्वसाधारणपणे, शेवटच्या समस्यांचे निराकरण करताना, आम्हाला आणखी एक मनोरंजक तथ्य आढळून आले जे देखील लक्षात ठेवणे आवश्यक आहे:

जर तीन संख्या अशा असतील की दुसरी ही पहिली आणि शेवटची अंकगणितीय सरासरी असेल, तर या संख्या अंकगणितीय प्रगती बनवतात.

भविष्यात, हे विधान समजून घेणे आम्हाला समस्येच्या परिस्थितीवर आधारित आवश्यक प्रगती अक्षरशः "बांधणी" करण्यास अनुमती देईल. परंतु आपण अशा "बांधकाम" मध्ये गुंतण्यापूर्वी, आपण आणखी एका वस्तुस्थितीकडे लक्ष दिले पाहिजे, जे आधीपासून चर्चा केलेल्या गोष्टींचे थेट अनुसरण करते.

घटकांचे समूहीकरण आणि सारांश

पुन्हा संख्या अक्षावर परत येऊ. आपण प्रगतीचे अनेक सदस्य लक्षात घेऊ या, ज्या दरम्यान, कदाचित. इतर सदस्यांसाठी खूप उपयुक्त आहे:

चला "डावी शेपूट" $(a)_(n))$ आणि $d$ आणि "उजवी शेपूट" $((a)_(k))$ आणि $d$ द्वारे व्यक्त करण्याचा प्रयत्न करूया. हे खूप सोपे आहे:

\[\begin(संरेखित) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(संरेखित)\]

आता लक्षात घ्या की खालील रक्कम समान आहेत:

\[\begin(संरेखित) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= एस; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= एस. \end(संरेखित)\]

सोप्या भाषेत सांगायचे तर, जर आपण सुरुवातीच्या प्रगतीच्या दोन घटकांचा विचार केला, जे एकूण काही $S$ च्या बरोबरीचे आहेत, आणि नंतर या घटकांपासून विरुद्ध दिशेने पाऊल टाकू लागलो (एकमेकांच्या दिशेने किंवा त्याउलट दूर जाण्यासाठी), नंतर ज्या घटकांवर आपण अडखळणार आहोत त्यांची बेरीज देखील समान असेल$S$. हे सर्वात स्पष्टपणे ग्राफिक पद्धतीने दर्शविले जाऊ शकते:

ही वस्तुस्थिती समजून घेतल्याने आम्ही वर विचार केलेल्या समस्यांपेक्षा मूलभूतपणे उच्च पातळीच्या जटिलतेच्या समस्या सोडवता येतील. उदाहरणार्थ, हे:

कार्य क्रमांक 8. अंकगणिताच्या प्रगतीचा फरक निश्चित करा ज्यामध्ये पहिली संज्ञा 66 आहे आणि दुसऱ्या आणि बाराव्या पदांचा गुणाकार शक्य तितका लहान आहे.

उपाय. आम्हाला माहित असलेली प्रत्येक गोष्ट लिहूया:

\[\begin(संरेखित) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(संरेखित)\]

त्यामुळे, आम्हाला प्रगती फरक $d$ माहित नाही. वास्तविक, संपूर्ण सोल्यूशन या फरकाभोवती तयार केले जाईल, कारण उत्पादन $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ खालीलप्रमाणे पुन्हा लिहिले जाऊ शकते:

\[\begin(संरेखित) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(संरेखित)\]

टाकीत असलेल्यांसाठी: मी दुसऱ्या ब्रॅकेटमधून एकूण 11 गुणक घेतले. अशा प्रकारे, इच्छित उत्पादन हे $d$ व्हेरिएबलच्या संदर्भात एक द्विघाती कार्य आहे. म्हणून, $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ या फंक्शनचा विचार करा - त्याचा आलेख वरच्या फांद्या असलेला पॅराबोला असेल, कारण जर आपण कंस विस्तृत केला तर आपल्याला मिळेल:

\[\begin(संरेखित) आणि f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(संरेखित)\]

जसे आपण पाहू शकता, सर्वोच्च पदाचा गुणांक 11 आहे - ही एक सकारात्मक संख्या आहे, म्हणून आम्ही खरोखर वरच्या शाखा असलेल्या पॅराबोलाशी व्यवहार करीत आहोत:

चतुर्भुज कार्याचा आलेख - पॅराबोला

कृपया लक्षात ठेवा: हे पॅराबोला त्याच्या शिरोबिंदूवर abscissa $((d)_(0))$ सह त्याचे किमान मूल्य घेते. अर्थात, आम्ही मानक योजना वापरून या abscissa गणना करू शकतो (सूत्र आहे $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), परंतु हे लक्षात घेणे अधिक वाजवी असेल इच्छित शिरोबिंदू पॅराबोलाच्या अक्षाच्या सममितीवर आहे, म्हणून $((d)_(0))$ हा बिंदू $f\left(d \right)=0$ या समीकरणाच्या मुळापासून समान अंतरावर आहे:

\[\begin(संरेखित) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(संरेखित)\]

म्हणूनच मला कंस उघडण्याची घाई नव्हती: त्यांच्या मूळ स्वरूपात, मुळे शोधणे खूप सोपे होते. म्हणून, abscissa −66 आणि −6 या संख्यांच्या अंकगणितीय मध्याशी समान आहे:

\[(d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

शोधलेली संख्या आपल्याला काय देते? यासह, आवश्यक उत्पादन सर्वात लहान मूल्य घेते (तसे, आम्ही कधीही $((y)_(\min ))$ मोजले नाही - हे आम्हाला आवश्यक नाही). त्याच वेळी, ही संख्या मूळ प्रगतीचा फरक आहे, म्हणजे. आम्हाला उत्तर सापडले. :)

उत्तर: -36

कार्य क्रमांक 9. $-\frac(1)(2)$ आणि $-\frac(1)(6)$ या संख्यांमध्ये तीन संख्या घाला जेणेकरून या संख्यांसह त्यांची एक अंकगणितीय प्रगती तयार होईल.

उपाय. मूलत:, आपल्याला पहिल्या आणि शेवटच्या संख्येसह पाच संख्यांचा क्रम तयार करणे आवश्यक आहे. चला हरवलेल्या संख्यांना $x$, $y$ आणि $z$ या व्हेरिएबल्सद्वारे दर्शवू:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

लक्षात घ्या की $y$ ही संख्या आमच्या क्रमाचा "मध्यम" आहे - ती $x$ आणि $z$ आणि $-\frac(1)(2)$ आणि $-\frac या संख्यांपासून समान अंतरावर आहे. (१)(६)$. आणि जर आपण सध्या $x$ आणि $z$ या अंकांमधून $y$ मिळवू शकत नसाल, तर प्रगतीच्या शेवटी परिस्थिती वेगळी आहे. चला अंकगणिताचा अर्थ लक्षात ठेवूया:

आता, $y$ जाणून घेतल्यावर, आपण उर्वरित संख्या शोधू. लक्षात घ्या की $x$ हे $-\frac(1)(2)$ आणि $y=-\frac(1)(3)$ या आकड्यांमध्ये आहे. म्हणून

समान तर्क वापरून, आम्ही उर्वरित संख्या शोधतो:

तयार! आम्हाला तिन्ही क्रमांक सापडले. मूळ संख्यांमध्ये ते ज्या क्रमाने घालायचे त्या क्रमाने उत्तरात लिहू.

उत्तर: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

कार्य क्रमांक 10. संख्या 2 आणि 42 मध्ये, अनेक संख्या घाला ज्या, या संख्यांसह, एक अंकगणित प्रगती तयार करतात, जर तुम्हाला माहित असेल की घातलेल्या संख्यांपैकी पहिल्या, द्वितीय आणि शेवटच्या संख्यांची बेरीज 56 आहे.

उपाय. एक आणखी जटिल समस्या, जी, तथापि, मागील सारख्याच योजनेनुसार सोडविली जाते - अंकगणित माध्यमाद्वारे. अडचण अशी आहे की आपल्याला नेमके किती नंबर घालायचे आहेत हे माहित नाही. म्हणून, आपण निश्चिततेसाठी असे गृहीत धरू की सर्वकाही समाविष्ट केल्यावर अचूक $n$ संख्या असतील, आणि त्यापैकी पहिला 2 असेल आणि शेवटचा 42 असेल. या प्रकरणात, आवश्यक अंकगणित प्रगती फॉर्ममध्ये दर्शविली जाऊ शकते:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]

\[(a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

तथापि, लक्षात ठेवा की $((a)_(2))$ आणि $((a)_(n-1))$ या संख्या 2 आणि 42 वरून कडांवर एकमेकांच्या दिशेने एक पाऊल टाकून मिळवल्या जातात, म्हणजे क्रमाच्या मध्यभागी. आणि याचा अर्थ असा आहे

\[(a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

परंतु नंतर वर लिहिलेली अभिव्यक्ती खालीलप्रमाणे पुन्हा लिहिली जाऊ शकते:

\[\begin(संरेखित) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(संरेखित)\]

$((a)_(3))$ आणि $((a)_(1))$ जाणून घेतल्यास, आम्ही प्रगतीचा फरक सहज शोधू शकतो:

\[\begin(संरेखित) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rightarrow d=5. \\ \end(संरेखित)\]

उर्वरित अटी शोधणे बाकी आहे:

\[\begin(संरेखित) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(संरेखित)\]

अशाप्रकारे, आधीच 9व्या पायरीवर आपण अनुक्रमाच्या डाव्या टोकाला पोहोचू - क्रमांक 42. एकूण, फक्त 7 संख्या घालायची होती: 7; 12; 17; 22; 27; 32; ३७.

उत्तर: 7; 12; 17; 22; 27; 32; ३७

प्रगतीसह शब्द समस्या

शेवटी, मी काही तुलनेने सोप्या समस्यांचा विचार करू इच्छितो. बरं, तितकंच सोपं आहे: बहुतेक विद्यार्थ्यांसाठी जे शाळेत गणिताचा अभ्यास करतात आणि वर लिहिलेले वाचलेले नाहीत, त्यांना या समस्या कठीण वाटू शकतात. तरीसुद्धा, गणितातील ओजीई आणि युनिफाइड स्टेट परीक्षेत या समस्यांचे प्रकार आहेत, म्हणून मी शिफारस करतो की आपण त्यांच्याशी परिचित व्हा.

कार्य क्रमांक 11. संघाने जानेवारीमध्ये 62 भागांचे उत्पादन केले आणि त्यानंतरच्या प्रत्येक महिन्यात त्यांनी मागील महिन्याच्या तुलनेत 14 अधिक भागांचे उत्पादन केले. नोव्हेंबरमध्ये संघाने किती भाग तयार केले?

उपाय. अर्थात, महिन्यानुसार सूचीबद्ध केलेल्या भागांची संख्या वाढत्या अंकगणित प्रगती दर्शवेल. शिवाय:

\[\begin(संरेखित) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(संरेखित)\]

नोव्हेंबर हा वर्षाचा 11वा महिना आहे, म्हणून आम्हाला $((a)_(11))$ शोधण्याची आवश्यकता आहे:

\[(a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

त्यामुळे नोव्हेंबरमध्ये 202 भागांची निर्मिती होणार आहे.

कार्य क्रमांक 12. पुस्तकबांधणी कार्यशाळेने जानेवारीमध्ये 216 पुस्तके बांधली आणि त्यानंतरच्या प्रत्येक महिन्यात मागील महिन्यापेक्षा 4 अधिक पुस्तके बांधली. डिसेंबरमध्ये कार्यशाळेने किती पुस्तके बांधली?

उपाय. सर्व समान:

$\begin(संरेखित) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(संरेखित)$

डिसेंबर हा वर्षाचा शेवटचा, १२ वा महिना आहे, म्हणून आम्ही $((a)_(12))$ शोधत आहोत:

\[(a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

हे आहे उत्तर - डिसेंबरमध्ये 260 पुस्तके बांधली जातील.

बरं, जर तुम्ही इथपर्यंत वाचलं असेल, तर मी तुमचे अभिनंदन करायला घाई करत आहे: तुम्ही अंकगणिताच्या प्रगतीमध्ये "तरुण सैनिकांचा कोर्स" यशस्वीपणे पूर्ण केला आहे. तुम्ही सुरक्षितपणे पुढच्या धड्याकडे जाऊ शकता, जिथे आम्ही प्रगतीच्या बेरीजसाठीचे सूत्र, तसेच त्यातील महत्त्वाचे आणि अतिशय उपयुक्त परिणामांचा अभ्यास करू.

I. व्ही. याकोव्लेव्ह | गणित साहित्य | MathUs.ru

अंकगणित प्रगती

अंकगणित प्रगती हा एक विशेष प्रकारचा क्रम आहे. म्हणून, अंकगणित (आणि नंतर भौमितिक) प्रगतीची व्याख्या करण्यापूर्वी, आपल्याला संख्या क्रमाच्या महत्त्वाच्या संकल्पनेची थोडक्यात चर्चा करणे आवश्यक आहे.

त्यानंतरचा

स्क्रीनवर एका उपकरणाची कल्पना करा ज्यावर एकामागून एक विशिष्ट संख्या प्रदर्शित केली जाते. चला 2 म्हणूया; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : संख्यांचा हा संच तंतोतंत अनुक्रमाचे उदाहरण आहे.

व्याख्या. संख्या क्रम हा संख्यांचा संच आहे ज्यामध्ये प्रत्येक संख्येला एक अद्वितीय संख्या नियुक्त केली जाऊ शकते (म्हणजे, एका नैसर्गिक संख्येशी संबंधित) 1. n या संख्येला अनुक्रमाची nवी संज्ञा म्हणतात.

तर, वरील उदाहरणात, पहिली संख्या 2 आहे, हा अनुक्रमाचा पहिला सदस्य आहे, जो a1 ने दर्शविला जाऊ शकतो; क्रमांक पाचमध्ये क्रमांक 6 ही अनुक्रमाची पाचवी संज्ञा आहे, जी a5 ने दर्शविली जाऊ शकते. सर्वसाधारणपणे, अनुक्रमाची nवी संज्ञा an (किंवा bn, cn, इ.) द्वारे दर्शविली जाते.

एक अतिशय सोयीस्कर परिस्थिती असते जेव्हा अनुक्रमाची nवी संज्ञा काही सूत्राद्वारे निर्दिष्ट केली जाऊ शकते. उदाहरणार्थ, सूत्र an = 2n 3 अनुक्रम निर्दिष्ट करते: 1; 1; 3; 5; 7; : : : सूत्र an = (1)n क्रम निर्दिष्ट करते: 1; 1; 1; 1; :::

संख्यांचा प्रत्येक संच हा क्रम नसतो. अशा प्रकारे, एक खंड एक क्रम नाही; त्यामध्ये पुन्हा क्रमांकित करण्यासाठी "खूप जास्त" संख्या आहेत. सर्व वास्तविक संख्यांचा संच R देखील एक क्रम नाही. गणितीय विश्लेषणामध्ये ही तथ्ये सिद्ध होतात.

अंकगणित प्रगती: मूलभूत व्याख्या

आता आम्ही अंकगणित प्रगती परिभाषित करण्यास तयार आहोत.

व्याख्या. अंकगणितीय प्रगती हा एक असा क्रम आहे ज्यामध्ये प्रत्येक पद (दुसऱ्यापासून सुरू होणारी) मागील पदाच्या बेरीज आणि काही निश्चित संख्या (याला अंकगणिताच्या प्रगतीचा फरक म्हणतात) समान असते.

उदाहरणार्थ, अनुक्रम 2; 5; 8; अकरा; : : : प्रथम पद 2 आणि फरक 3 असलेली अंकगणितीय प्रगती आहे. अनुक्रम 7; 2; 3; 8; : : : प्रथम पद 7 आणि फरक 5 असलेली अंकगणितीय प्रगती आहे. अनुक्रम 3; 3; 3; : : : शून्याच्या बरोबरीने फरक असलेली अंकगणितीय प्रगती आहे.

समतुल्य व्याख्या: अनुक्रम an ला अंकगणितीय प्रगती म्हणतात जर फरक an+1 an हे स्थिर मूल्य असेल (n पासून स्वतंत्र).

अंकगणिताच्या प्रगतीस त्याचे फरक सकारात्मक असल्यास वाढणे आणि फरक नकारात्मक असल्यास कमी होणे म्हणतात.

1 परंतु येथे एक अधिक संक्षिप्त व्याख्या आहे: अनुक्रम म्हणजे नैसर्गिक संख्यांच्या संचावर परिभाषित केलेले कार्य. उदाहरणार्थ, वास्तविक संख्यांचा क्रम म्हणजे f: N ! आर.

डीफॉल्टनुसार, अनुक्रमांना अनंत मानले जाते, म्हणजे, अनंत संख्येचा समावेश आहे. परंतु मर्यादित अनुक्रमांचा विचार करण्यास कोणीही आपल्याला त्रास देत नाही; खरं तर, संख्यांच्या कोणत्याही मर्यादित संचाला मर्यादित अनुक्रम म्हणता येईल. उदाहरणार्थ, शेवटचा क्रम 1 आहे; 2; 3; 4; 5 मध्ये पाच संख्या असतात.

अंकगणित प्रगतीच्या nव्या पदासाठी सूत्र

हे समजणे सोपे आहे की अंकगणित प्रगती पूर्णपणे दोन संख्यांद्वारे निर्धारित केली जाते: पहिली संज्ञा आणि फरक. म्हणून, प्रश्न उद्भवतो: प्रथम संज्ञा आणि फरक जाणून, अंकगणित प्रगतीची अनियंत्रित संज्ञा कशी शोधायची?

अंकगणित प्रगतीच्या नवव्या पदासाठी आवश्यक सूत्र प्राप्त करणे कठीण नाही. द्या एक

समस्या 1. अंकगणित प्रगती 2 मध्ये; 5; 8; अकरा; : : : nव्या पदासाठी सूत्र शोधा आणि शंभरव्या पदाची गणना करा.

उपाय. सूत्रानुसार (1) आमच्याकडे आहे:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

अंकगणिताच्या प्रगतीचे गुणधर्म आणि चिन्ह

अंकगणित प्रगतीचा गुणधर्म. अंकगणित प्रगती मध्ये an for any

दुसऱ्या शब्दांत, अंकगणित प्रगतीचा प्रत्येक सदस्य (दुसऱ्यापासून सुरू होणारा) हा त्याच्या शेजारच्या सदस्यांचा अंकगणितीय सरासरी असतो.

जे आवश्यक होते.

अधिक सामान्यतः, अंकगणित प्रगती समानतेचे समाधान करते

a n = a n k+ a n+k

कोणत्याही n > 2 आणि कोणत्याही नैसर्गिक k साठी< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

असे दिसून आले की फॉर्म्युला (2) केवळ एक आवश्यकच नाही तर क्रमाची अंकगणितीय प्रगती होण्यासाठी एक पुरेशी अट देखील आहे.

अंकगणित प्रगती चिन्ह. जर समानता (2) सर्व n > 2 साठी धरली असेल, तर अनुक्रम an ही अंकगणितीय प्रगती आहे.

पुरावा. खालीलप्रमाणे सूत्र (2) पुन्हा लिहू:

a na n 1 = a n+1a n:

यावरून आपण हे पाहू शकतो की an+1 an हा फरक n वर अवलंबून नाही आणि याचा अर्थ असा की अनुक्रमांक ही अंकगणितीय प्रगती आहे.

अंकगणिताच्या प्रगतीचे गुणधर्म आणि चिन्ह एका विधानाच्या स्वरूपात तयार केले जाऊ शकतात; सोयीसाठी, आम्ही हे तीन संख्यांसाठी करू (ही अशी परिस्थिती आहे जी बर्याचदा समस्यांमध्ये येते).

अंकगणिताच्या प्रगतीचे वैशिष्ट्य. तीन संख्या a, b, c एक अंकगणितीय प्रगती बनवतात जर आणि फक्त 2b = a + c असेल तर.

समस्या 2. (MSU, अर्थशास्त्र विद्याशाखा, 2007) तीन संख्या 8x, 3 x2 आणि 4 दर्शविलेल्या क्रमाने कमी होत जाणारी अंकगणितीय प्रगती तयार करतात. x शोधा आणि या प्रगतीचा फरक दर्शवा.

उपाय. अंकगणित प्रगतीच्या गुणधर्मानुसार आमच्याकडे आहे:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x = 5:

जर x = 1, तर आपल्याला 6 च्या फरकाने 8, 2, 4 ची कमी होत जाणारी प्रगती मिळते. जर x = 5, तर आपल्याला 40, 22, 4 ची वाढती प्रगती मिळते; हे प्रकरण योग्य नाही.

उत्तर: x = 1, फरक 6 आहे.

अंकगणिताच्या प्रगतीच्या पहिल्या n पदांची बेरीज

आख्यायिका आहे की एके दिवशी शिक्षकांनी मुलांना 1 ते 100 पर्यंतच्या संख्येची बेरीज शोधण्यास सांगितले आणि ते वर्तमानपत्र वाचण्यासाठी शांतपणे बसले. मात्र, एका मुलाने समस्या सोडवल्याचे सांगायला काही मिनिटेही उलटली नाहीत. हा 9 वर्षांचा कार्ल फ्रेडरिक गॉस होता, जो नंतर इतिहासातील महान गणितज्ञांपैकी एक होता.

लिटल गॉसची कल्पना खालीलप्रमाणे होती. द्या

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

ही रक्कम उलट क्रमाने लिहू:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

आणि ही दोन सूत्रे जोडा:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

कंसातील प्रत्येक पद 101 च्या बरोबरीचे आहे आणि एकूण 100 अशा संज्ञा आहेत

2S = 101 100 = 10100;

बेरीज फॉर्म्युला काढण्यासाठी आम्ही ही कल्पना वापरतो

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n : (3)

सूत्र (3) मध्ये एक उपयुक्त बदल प्राप्त होतो जर आपण nव्या पदाचे सूत्र an = a1 + (n 1)d मध्ये बदलले:

समस्या 3. सर्व धनात्मक तीन अंकी संख्यांची बेरीज 13 ने भागा.

उपाय. 13 च्या गुणाकार असलेल्या तीन-अंकी संख्या एक अंकगणितीय प्रगती बनवतात ज्यात पहिली संज्ञा 104 असते आणि फरक 13 असतो; या प्रगतीच्या nव्या पदाचे स्वरूप आहे:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

आपल्या प्रगतीमध्ये किती संज्ञा आहेत ते शोधूया. हे करण्यासाठी, आम्ही असमानता सोडवतो:

एक 6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13 ; n ६ ६९:

तर, आमच्या प्रगतीमध्ये 69 सदस्य आहेत. सूत्र (4) वापरून आम्हाला आवश्यक रक्कम सापडते:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

सूत्राचे मुख्य सार काय आहे?

हे सूत्र आपल्याला शोधण्याची परवानगी देते कोणतेही त्याच्या नंबरनुसार " n" .

अर्थात, आपल्याला प्रथम पद देखील माहित असणे आवश्यक आहे a 1आणि प्रगती फरक d, तसेच, या पॅरामीटर्सशिवाय तुम्ही विशिष्ट प्रगती लिहू शकत नाही.

हे सूत्र लक्षात ठेवणे (किंवा क्रिबिंग) पुरेसे नाही. आपल्याला त्याचे सार समजून घेणे आणि विविध समस्यांमध्ये सूत्र लागू करणे आवश्यक आहे. आणि योग्य क्षणी विसरू नका, होय...) कसे विसरू नका- मला माहित नाही. आणि इथे कसे लक्षात ठेवायचेआवश्यक असल्यास, मी तुम्हाला नक्कीच सल्ला देईन. जे शेवटपर्यंत धडा पूर्ण करतात त्यांच्यासाठी.)

तर, अंकगणिताच्या प्रगतीच्या nव्या पदाचे सूत्र पाहू.

सर्वसाधारणपणे सूत्र म्हणजे काय? तसे, तुम्ही ते वाचले नसेल तर पहा. तेथे सर्व काही सोपे आहे. ते काय आहे हे शोधणे बाकी आहे nवी टर्म.

सर्वसाधारणपणे प्रगती ही संख्यांची मालिका म्हणून लिहिली जाऊ शकते:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1- अंकगणित प्रगतीची पहिली संज्ञा दर्शवते, a 3- तिसरा सदस्य, a 4- चौथा, आणि असेच. आम्हाला पाचव्या टर्ममध्ये स्वारस्य असल्यास, आम्ही सोबत काम करत आहोत असे म्हणूया a 5, जर एकशे विसावा - एस एक 120.

सर्वसाधारण शब्दात आपण त्याची व्याख्या कशी करू शकतो? कोणतेहीअंकगणित प्रगतीची संज्ञा, सह कोणतेहीसंख्या? अगदी साधे! याप्रमाणे:

एक एन

तेच आहे अंकगणिताच्या प्रगतीची nवी संज्ञा. n अक्षर एकाच वेळी सर्व सदस्य संख्या लपवते: 1, 2, 3, 4, आणि असेच.

आणि असा रेकॉर्ड आपल्याला काय देतो? जरा विचार करा, एका संख्येऐवजी त्यांनी एक पत्र लिहिले ...

अंकगणिताच्या प्रगतीसह कार्य करण्यासाठी हे नोटेशन आम्हाला एक शक्तिशाली साधन देते. नोटेशन वापरणे एक एन, आम्ही पटकन शोधू शकतो कोणतेहीसदस्य कोणतेहीअंकगणित प्रगती. आणि इतर प्रगती समस्यांचा समूह सोडवा. आपण पुढे स्वत: साठी पहाल.

अंकगणित प्रगतीच्या nव्या पदासाठी सूत्रामध्ये:

a 1- अंकगणित प्रगतीची पहिली संज्ञा;

n- सदस्य संख्या.

सूत्र कोणत्याही प्रगतीचे मुख्य पॅरामीटर्स जोडते: a n ; a 1 ; dआणि n. सर्व प्रगती समस्या या पॅरामीटर्सभोवती फिरतात.

विशिष्ट प्रगती लिहिण्यासाठी nth शब्द सूत्र देखील वापरला जाऊ शकतो. उदाहरणार्थ, समस्या असे म्हणू शकते की प्रगती स्थितीनुसार निर्दिष्ट केली आहे:

a n = 5 + (n-1) 2.

अशी समस्या डेड एंड असू शकते... मालिका किंवा फरक नाही... पण, फॉर्म्युलाशी स्थितीची तुलना केल्यास, हे समजणे सोपे आहे की या प्रगतीमध्ये a 1 =5, आणि d=2.

आणि ते आणखी वाईट असू शकते!) जर आपण तीच स्थिती घेतली तर: a n = 5 + (n-1) 2,होय, कंस उघडून सारखे आणायचे का? आम्हाला एक नवीन सूत्र मिळेल:

a n = 3 + 2n.

या फक्त सामान्य नाही, परंतु विशिष्ट प्रगतीसाठी. इथेच खड्डा लपून बसतो. काही लोकांना असे वाटते की प्रथम पद तीन आहे. प्रत्यक्षात पहिली संज्ञा पाच असली तरी... थोडं कमी आपण अशा सुधारित सूत्रासह कार्य करू.

प्रगतीच्या समस्यांमध्ये आणखी एक नोटेशन आहे - एक n+1. हा, तुम्ही अंदाज लावल्याप्रमाणे, प्रगतीचा “एन प्लस फर्स्ट” टर्म आहे. त्याचा अर्थ साधा आणि निरुपद्रवी आहे.) हा प्रगतीचा सदस्य आहे ज्याची संख्या एकाने n पेक्षा मोठी आहे. उदाहरणार्थ, काही समस्या असल्यास आपण घेतो एक एननंतर पाचवी टर्म एक n+1सहावा सदस्य असेल. इ.

बहुतेकदा पदनाम एक n+1पुनरावृत्ती सूत्रांमध्ये आढळते. या भितीदायक शब्दाला घाबरू नका!) हा अंकगणित प्रगतीचा सदस्य व्यक्त करण्याचा फक्त एक मार्ग आहे मागील माध्यमातून.एक आवर्ती सूत्र वापरून या फॉर्ममध्ये आम्हाला अंकगणितीय प्रगती दिली आहे असे समजा:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

चौथा - तिसऱ्याद्वारे, पाचवा - चौथ्याद्वारे, आणि असेच. आपण लगेच कसे मोजू शकतो, म्हणा, विसाव्या पद? एक 20? पण कोणताही मार्ग नाही!) जोपर्यंत आम्हाला 19 वी टर्म सापडत नाही तोपर्यंत आम्ही 20 वी मोजू शकत नाही. आवर्ती सूत्र आणि न्व्या पदाचे सूत्र यांच्यातील हा मूलभूत फरक आहे. आवर्ती कार्ये फक्त माध्यमातून मागीलटर्म, आणि nव्या पदाचे सूत्र आहे पहिलाआणि परवानगी देते लगेचकोणत्याही सदस्याला त्याच्या क्रमांकावरून शोधा. संख्यांच्या संपूर्ण मालिकेची क्रमाने गणना न करता.

अंकगणिताच्या प्रगतीमध्ये, आवर्ती सूत्राला नियमित स्वरूपात बदलणे सोपे आहे. सलग पदांची जोडी मोजा, ​​फरक मोजा ड,आवश्यक असल्यास, प्रथम पद शोधा a 1, फॉर्म्युला त्याच्या नेहमीच्या स्वरूपात लिहा आणि त्यावर कार्य करा. स्टेट ॲकॅडमी ऑफ सायन्सेसमध्ये, अशी कार्ये अनेकदा येतात.

अंकगणित प्रगतीच्या nव्या पदासाठी सूत्राचा वापर.

प्रथम, सूत्राचा थेट वापर पाहू. मागील धड्याच्या शेवटी एक समस्या होती:

एक अंकगणित प्रगती (a n) दिली आहे. 1 =3 आणि d=1/6 असल्यास 121 शोधा.

ही समस्या कोणत्याही सूत्रांशिवाय सोडवली जाऊ शकते, फक्त अंकगणित प्रगतीच्या अर्थावर आधारित. जोडा आणि जोडा... एक किंवा दोन तास.)

आणि सूत्रानुसार, उपाय एक मिनिटापेक्षा कमी वेळ घेईल. तुम्ही वेळ काढू शकता.) चला ठरवू.

अटी सूत्र वापरण्यासाठी सर्व डेटा प्रदान करतात: a 1 =3, d=1/6.समान काय आहे हे शोधणे बाकी आहे nकाही हरकत नाही! आम्हाला शोधण्याची गरज आहे एक 121. म्हणून आम्ही लिहितो:

कृपया लक्ष द्या! निर्देशांक ऐवजी nएक विशिष्ट संख्या दिसली: 121. जी अगदी तार्किक आहे.) आम्हाला अंकगणित प्रगतीच्या सदस्यामध्ये रस आहे संख्या एकशे एकवीस.हे आमचे असेल nहा अर्थ आहे n= 121 आपण पुढे कंसात सूत्रात बदलू. आम्ही सर्व संख्या सूत्रामध्ये बदलतो आणि गणना करतो:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

बस एवढेच. एखाद्याला पाचशे आणि दहावे पद आणि हजार आणि तिसरे, कोणतेही एक सापडेल. आम्ही त्याऐवजी ठेवले nअक्षराच्या अनुक्रमणिकेत इच्छित संख्या " एक"आणि कंसात, आणि आम्ही मोजतो.

मी तुम्हाला मुद्दा आठवण करून देतो: हे सूत्र तुम्हाला शोधण्याची परवानगी देते कोणतेहीअंकगणित प्रगती संज्ञा त्याच्या नंबरनुसार " n" .

चला समस्या अधिक धूर्त मार्गाने सोडवूया. चला खालील समस्या पाहू या:

अंकगणित प्रगतीची पहिली संज्ञा शोधा (a n), जर a 17 =-2; d=-0.5.

तुम्हाला काही अडचण असल्यास, मी तुम्हाला पहिली पायरी सांगेन. अंकगणिताच्या प्रगतीच्या nव्या पदासाठी सूत्र लिहा!होय होय. आपल्या नोटबुकमध्ये, आपल्या हातांनी लिहा:

आणि आता, सूत्राची अक्षरे पाहता, आम्हाला समजते की आमच्याकडे कोणता डेटा आहे आणि काय गहाळ आहे? उपलब्ध d=-0.5,एक सतरावा सदस्य आहे... तो आहे का? जर तुम्हाला असे वाटत असेल, तर तुम्ही समस्या सोडवणार नाही, होय...

आमच्याकडे अजून एक नंबर आहे n! स्थितीत a 17 =-2लपलेले दोन पॅरामीटर्स.हे सतराव्या पदाचे मूल्य (-2) आणि त्याची संख्या (17) दोन्ही आहे. त्या. n=17.ही “क्षुल्लक गोष्ट” बऱ्याचदा डोक्यावरून सरकते आणि त्याशिवाय, (“क्षुल्लक” शिवाय, डोके नाही!) समस्या सोडवता येत नाही. जरी... आणि तेही डोक्याशिवाय.)

आता आम्ही फक्त मूर्खपणे आमच्या डेटाला सूत्रामध्ये बदलू शकतो:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0.5)

अरे हो, a 17आम्हाला माहित आहे की ते -2 आहे. ठीक आहे, चला बदलू:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0.5)

मुळात एवढेच. सूत्रातून अंकगणिताच्या प्रगतीची पहिली संज्ञा व्यक्त करणे आणि त्याची गणना करणे बाकी आहे. उत्तर असेल: a 1 = 6.

हे तंत्र - एक सूत्र लिहून आणि फक्त ज्ञात डेटा बदलणे - सोप्या कार्यांमध्ये एक उत्तम मदत आहे. बरं, अर्थातच, तुम्ही सूत्रातून व्हेरिएबल व्यक्त करू शकत असाल, पण काय करायचं!? या कौशल्याशिवाय, तुम्ही गणिताचा अजिबात अभ्यास करू शकत नाही...

आणखी एक लोकप्रिय कोडे:

अंकगणित प्रगतीचा फरक शोधा (a n), जर a 1 =2; a 15 = 12.

आपण काय करत आहेत? तुम्हाला आश्चर्य वाटेल, आम्ही सूत्र लिहित आहोत!)

आम्हाला काय माहित आहे याचा विचार करूया: a 1 = 2; a 15 = 12; आणि (मी विशेषतः हायलाइट करेन!) n=15. हे सूत्रामध्ये बदलण्यास मोकळ्या मनाने:

12=2 + (15-1)d

आम्ही अंकगणित करतो.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

हे योग्य उत्तर आहे.

तर, साठी कार्ये a n, a 1आणि dठरवले. नंबर कसा शोधायचा हे शिकणे बाकी आहे:

संख्या 99 अंकगणित प्रगतीचा सदस्य आहे (a n), जिथे a 1 =12; d=3. या सदस्याचा नंबर शोधा.

आम्ही न्या टर्मच्या फॉर्म्युलामध्ये आम्हाला ज्ञात असलेले प्रमाण बदलतो:

a n = 12 + (n-1) 3

पहिल्या दृष्टीक्षेपात, येथे दोन अज्ञात प्रमाण आहेत: a n आणि n.परंतु एक एन- हा क्रमांकासह प्रगतीचा काही सदस्य आहे n...आणि आम्ही प्रगतीचा हा सदस्य ओळखतो! तो 99 आहे. आम्हाला त्याचा क्रमांक माहित नाही. n,तर हा नंबर तुम्हाला शोधायचा आहे. आम्ही फॉर्म्युलामध्ये प्रगती 99 ची संज्ञा बदलतो:

99 = 12 + (n-1) 3

आम्ही सूत्रातून व्यक्त करतो n, आम्ही विचार करतो. आम्हाला उत्तर मिळते: n=30.

आणि आता त्याच विषयावरील समस्या, परंतु अधिक सर्जनशील):

संख्या 117 अंकगणित प्रगतीचा सदस्य आहे की नाही हे निश्चित करा (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

पुन्हा सूत्र लिहू. काय, कोणतेही पॅरामीटर्स नाहीत? हम्म... आपल्याला डोळे का दिले जातात?) आपण प्रगतीची पहिली टर्म पाहतो का? आम्ही ते पाहू. हे -3.6 आहे. आपण सुरक्षितपणे लिहू शकता: a 1 = -3.6.फरक dतुम्ही मालिकेवरून ठरवू शकता का? अंकगणिताच्या प्रगतीचा फरक काय आहे हे आपल्याला माहित असल्यास हे सोपे आहे:

d = -2.4 - (-3.6) = 1.2

तर, आम्ही सर्वात सोपी गोष्ट केली. अनोळखी नंबरला सामोरे जाणे बाकी आहे nआणि अनाकलनीय संख्या 117. मागील समस्येत, किमान हे ज्ञात होते की ही प्रगतीची संज्ञा आहे जी दिली होती. पण इथे आपल्याला कळतही नाही... काय करायचं!? बरं, कसं व्हायचं, कसं व्हायचं... तुमची सर्जनशील क्षमता चालू करा!)

आम्ही समजाते 117, शेवटी, आपल्या प्रगतीचा सदस्य आहे. अज्ञात क्रमांकासह n. आणि, मागील समस्येप्रमाणेच, हा नंबर शोधण्याचा प्रयत्न करूया. त्या. आम्ही सूत्र लिहितो (होय, होय!)) आणि आमची संख्या बदलतो:

117 = -3.6 + (n-1) 1.2

पुन्हा आपण सूत्रातून व्यक्त करतोn, आम्ही मोजतो आणि मिळवतो:

अरेरे! नंबर निघाला अंशात्मकएकशे दीड. आणि प्रगतीत अपूर्णांक संख्या असू शकत नाही.आपण कोणता निष्कर्ष काढू शकतो? होय! क्रमांक 117 नाहीआमच्या प्रगतीचा सदस्य. हे शंभर आणि पहिल्या आणि शंभर आणि द्वितीय पदांच्या दरम्यान कुठेतरी आहे. जर संख्या नैसर्गिक निघाली, म्हणजे. एक धन पूर्णांक आहे, तर संख्या सापडलेल्या संख्येसह प्रगतीचा सदस्य असेल. आणि आमच्या बाबतीत, समस्येचे उत्तर असेल: नाही.

जीआयएच्या वास्तविक आवृत्तीवर आधारित कार्य:

अंकगणित प्रगती अटींद्वारे दिली जाते:

a n = -4 + 6.8n

प्रगतीची पहिली आणि दहावी संज्ञा शोधा.

येथे प्रगती असामान्य मार्गाने सेट केली आहे. काही प्रकारचे सूत्र... असे घडते.) तथापि, हे सूत्र (मी वर लिहिले आहे) - अंकगणित प्रगतीच्या nव्या पदाचे सूत्र देखील!तीही परवानगी देते प्रगतीचा कोणताही सदस्य त्याच्या संख्येनुसार शोधा.

आम्ही पहिल्या सदस्याच्या शोधात आहोत. जो विचार करतो. की पहिली संज्ञा उणे चार आहे हे जीवघेणे चुकीचे आहे!) कारण समस्येतील सूत्र सुधारित केले आहे. त्यातील अंकगणिताच्या प्रगतीचे पहिले पद लपलेलेहे ठीक आहे, आम्ही ते आता शोधू.)

मागील समस्यांप्रमाणेच, आम्ही पर्यायी करतो n=1या सूत्रात:

a 1 = -4 + 6.8 1 = 2.8

येथे! पहिली टर्म 2.8 आहे, -4 नाही!

आम्ही दहाव्या पदासाठी तशाच प्रकारे शोधतो:

a 10 = -4 + 6.8 10 = 64

बस एवढेच.

आणि आता, ज्यांनी या ओळी वाचल्या आहेत त्यांच्यासाठी वचन दिलेला बोनस.)

समजा, राज्य परीक्षा किंवा युनिफाइड स्टेट एक्झामिनेशनच्या कठीण लढाऊ परिस्थितीत, तुम्ही अंकगणिताच्या प्रगतीच्या नवव्या टर्मसाठी उपयुक्त सूत्र विसरला आहात. मला काहीतरी आठवतं, पण कसं तरी अनिश्चितपणे... किंवा nतेथे, किंवा n+1, किंवा n-1...कसे असावे!?

शांत! हे सूत्र मिळवणे सोपे आहे. हे फार कठोर नाही, परंतु आत्मविश्वास आणि योग्य निर्णयासाठी हे निश्चितपणे पुरेसे आहे!) निष्कर्ष काढण्यासाठी, अंकगणिताच्या प्रगतीचा प्राथमिक अर्थ लक्षात ठेवणे आणि काही मिनिटे वेळ असणे पुरेसे आहे. आपल्याला फक्त एक चित्र काढण्याची आवश्यकता आहे. स्पष्टतेसाठी.

एक संख्या रेषा काढा आणि त्यावर प्रथम चिन्हांकित करा. दुसरा, तिसरा, इ. सदस्य आणि आम्ही फरक लक्षात घेतो dसदस्य दरम्यान. याप्रमाणे:

आम्ही चित्र पाहतो आणि विचार करतो: दुसरी संज्ञा काय समान आहे? दुसरा एक d:

a 2 =a 1 + 1 d

तिसरे पद काय आहे? तिसऱ्याटर्म पहिल्या टर्म प्लसच्या बरोबरीचे आहे दोन d.

a 3 =a 1 + 2 d

तुम्हाला ते समजते का? मी काही शब्द ठळकपणे ठळकपणे मांडतो असे नाही. ठीक आहे, आणखी एक पाऊल).

चौथी पद काय आहे? चौथाटर्म पहिल्या टर्म प्लसच्या बरोबरीचे आहे तीन d.

a 4 =a 1 + 3 d

हे लक्षात घेण्याची वेळ आली आहे की अंतरांची संख्या, म्हणजे. d, नेहमी तुम्ही शोधत असलेल्या सदस्याच्या संख्येपेक्षा एक कमी n. म्हणजेच संख्येपर्यंत n, रिक्त स्थानांची संख्याइच्छा n-1.म्हणून, सूत्र असेल (भिन्नतांशिवाय!):

सर्वसाधारणपणे, गणितातील अनेक समस्या सोडवण्यासाठी दृश्य चित्रे खूप उपयुक्त ठरतात. चित्रांकडे दुर्लक्ष करू नका. परंतु जर चित्र काढणे अवघड असेल, तर... फक्त एक सूत्र!) याव्यतिरिक्त, nth टर्मचे सूत्र तुम्हाला गणिताच्या संपूर्ण शक्तिशाली शस्त्रागाराला समाधानाशी जोडण्याची परवानगी देते - समीकरणे, असमानता, प्रणाली इ. तुम्ही समीकरणात चित्र टाकू शकत नाही...

स्वतंत्र समाधानासाठी कार्ये.

उबदार करण्यासाठी:

1. अंकगणित प्रगतीमध्ये (a n) a 2 =3; a 5 = 5.1. 3 शोधा.

इशारा: चित्रानुसार, समस्या 20 सेकंदात सोडवली जाऊ शकते... सूत्रानुसार, ते अधिक कठीण होते. परंतु सूत्रात प्रभुत्व मिळविण्यासाठी ते अधिक उपयुक्त आहे.) कलम ५५५ मध्ये चित्र आणि सूत्र दोन्ही वापरून ही समस्या सोडवली आहे. फरक जाणा!)

आणि हे आता सराव नाही.)

2. अंकगणित प्रगतीमध्ये (a n) a 85 =19.1; a २३६ = ४९, ३. ३ शोधा.

काय, तुम्हाला चित्र काढायचे नाही?) नक्कीच! सूत्रानुसार उत्तम, होय...

3. अंकगणिताची प्रगती अटीनुसार दिली जाते:a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5. या प्रगतीचे एकशे पंचवीसवे पद शोधा.

या कार्यामध्ये, प्रगती वारंवार रीतीने निर्दिष्ट केली जाते. पण एकशे पंचवीसव्या टर्मपर्यंत मोजत... प्रत्येकजण असा पराक्रम करण्यास सक्षम नाही.) पण नवव्या टर्मचे सूत्र प्रत्येकाच्या सामर्थ्यात आहे!

4. एक अंकगणित प्रगती दिली (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

प्रगतीच्या सर्वात लहान सकारात्मक संज्ञाची संख्या शोधा.

5. कार्य 4 च्या अटींनुसार, प्रगतीच्या सर्वात लहान सकारात्मक आणि सर्वात मोठ्या नकारात्मक संज्ञांची बेरीज शोधा.

6. वाढत्या अंकगणित प्रगतीच्या पाचव्या आणि बाराव्या पदांचा गुणाकार -2.5 सारखा आहे आणि तिसऱ्या आणि अकराव्या पदांची बेरीज शून्य आहे. 14 शोधा.

सर्वात सोपा काम नाही, होय...) "फिंगरटिप" पद्धत येथे कार्य करणार नाही. तुम्हाला सूत्रे लिहावी लागतील आणि समीकरणे सोडवावी लागतील.

उत्तरे (अस्वस्थपणे):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

झाले? हे मस्त आहे!)

सर्वकाही कार्य करत नाही? घडते. तसे, शेवटच्या कार्यात एक सूक्ष्म मुद्दा आहे. समस्या वाचताना काळजी घेणे आवश्यक आहे. आणि तर्क.

या सर्व समस्यांचे निराकरण कलम 555 मध्ये तपशीलवार चर्चा केले आहे. आणि चौथ्यासाठी कल्पनारम्य घटक, आणि सहाव्यासाठी सूक्ष्म बिंदू, आणि नवव्या पदाच्या सूत्राचा समावेश असलेल्या कोणत्याही समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी सामान्य दृष्टीकोन - सर्वकाही वर्णन केले आहे. मी शिफारस करतो.

जर तुम्हाला ही साइट आवडली असेल तर...

तसे, माझ्याकडे तुमच्यासाठी आणखी काही मनोरंजक साइट्स आहेत.)

तुम्ही उदाहरणे सोडवण्याचा सराव करू शकता आणि तुमची पातळी शोधू शकता. त्वरित पडताळणीसह चाचणी. चला जाणून घेऊ - स्वारस्याने!)

आपण फंक्शन्स आणि डेरिव्हेटिव्ह्जसह परिचित होऊ शकता.

उदाहरणार्थ, अनुक्रम \(2\); \(5\); \(8\); \(अकरा\); \(14\)... ही अंकगणितीय प्रगती आहे, कारण प्रत्येक पुढील घटक मागील घटकापेक्षा तीनने भिन्न असतो (तीन जोडून मागील घटकापासून मिळवता येतो):

या प्रगतीमध्ये, फरक \(d\) धनात्मक आहे (\(3\) च्या बरोबरीचा), आणि म्हणून प्रत्येक पुढील पद मागील एकापेक्षा मोठे आहे. अशा प्रगती म्हणतात वाढत आहे.

तथापि, \(d\) ही ऋण संख्या देखील असू शकते. उदाहरणार्थ, अंकगणित प्रगती \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... प्रगतीचा फरक \(d\) वजा सहा इतका आहे.

आणि या प्रकरणात, प्रत्येक पुढील घटक मागील घटकापेक्षा लहान असेल. या प्रगती म्हणतात कमी होत आहे.

अंकगणित प्रगती नोटेशन

प्रगती एका लहान लॅटिन अक्षराने दर्शविली जाते.

ज्या संख्यांची प्रगती होते त्यांना म्हणतात सदस्य(किंवा घटक).

ते अंकगणिताच्या प्रगतीच्या समान अक्षराने दर्शविले जातात, परंतु क्रमाने घटकांच्या संख्येच्या समान संख्यात्मक निर्देशांकासह.

उदाहरणार्थ, अंकगणितीय प्रगती \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) घटकांचा समावेश होतो \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) आणि असेच.

दुसऱ्या शब्दांत, प्रगतीसाठी \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

अंकगणित प्रगती समस्या सोडवणे

तत्वतः, वर सादर केलेली माहिती जवळजवळ कोणत्याही अंकगणित प्रगती समस्येचे निराकरण करण्यासाठी आधीच पुरेशी आहे (OGE वर ऑफर केलेल्यांसह).

उदाहरण (OGE). अंकगणित प्रगती अटींद्वारे निर्दिष्ट केली जाते \(b_1=7; d=4\). \(b_5\) शोधा.
उपाय:

उत्तर: \(b_5=23\)

उदाहरण (OGE). अंकगणिताच्या प्रगतीच्या पहिल्या तीन संज्ञा दिल्या आहेत: \(62; 49; 36…\) या प्रगतीच्या पहिल्या नकारात्मक पदाचे मूल्य शोधा..
उपाय:

उत्तर: \(-3\)

उदाहरण (OGE). अंकगणित प्रगतीचे अनेक सलग घटक दिले आहेत: \(…5; x; 10; 12.5...\) \(x\) अक्षराने नियुक्त केलेल्या घटकाचे मूल्य शोधा.
उपाय:

उत्तर: \(7,5\).

उदाहरण (OGE). अंकगणित प्रगती खालील अटींद्वारे परिभाषित केली जाते: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) या प्रगतीच्या पहिल्या सहा संज्ञांची बेरीज शोधा.
उपाय:

उत्तर: \(S_6=9\).

उदाहरण (OGE). अंकगणित प्रगतीमध्ये \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). या प्रगतीचा फरक शोधा.
उपाय:

उत्तर: \(d=7\).

अंकगणिताच्या प्रगतीसाठी महत्त्वाची सूत्रे

तुम्ही बघू शकता, अंकगणित प्रगतीवरील अनेक समस्या फक्त मुख्य गोष्ट समजून घेऊन सोडवल्या जाऊ शकतात - म्हणजे अंकगणित प्रगती ही संख्यांची साखळी असते आणि या साखळीतील प्रत्येक पुढील घटक मागील एकास समान संख्या जोडून प्राप्त केला जातो ( प्रगतीचा फरक).

तथापि, कधीकधी अशी परिस्थिती असते जेव्हा “हेड-ऑन” ठरवणे खूप गैरसोयीचे असते. उदाहरणार्थ, कल्पना करा की पहिल्याच उदाहरणात आपल्याला पाचवा घटक \(b_5\) नाही, तर तीनशे ऐंशी-सहावा \(b_(386)\) शोधायचा आहे. आपल्याला चार \(३८५\) वेळा जोडण्याची गरज आहे का? किंवा कल्पना करा की उपांत्य उदाहरणामध्ये तुम्हाला पहिल्या त्रेहत्तर घटकांची बेरीज शोधायची आहे. तुम्ही मोजून थकून जाल...

म्हणून, अशा प्रकरणांमध्ये ते "हेड-ऑन" गोष्टी सोडवत नाहीत, परंतु अंकगणित प्रगतीसाठी व्युत्पन्न केलेले विशेष सूत्र वापरतात. आणि मुख्य म्हणजे प्रगतीच्या nव्या पदासाठीचे सूत्र आणि \(n\) पहिल्या पदांच्या बेरजेचे सूत्र.

\(n\)व्या पदाचे सूत्र: \(a_n=a_1+(n-1)d\), जेथे \(a_1\) ही प्रगतीची पहिली संज्ञा आहे;
\(n\) - आवश्यक घटकांची संख्या;
\(a_n\) – क्रमांकासह प्रगतीची संज्ञा \(n\).

हे सूत्र आपल्याला तीन-शतवा किंवा दशलक्षवा घटक पटकन शोधण्याची परवानगी देते, फक्त पहिला आणि प्रगतीचा फरक जाणून.

उदाहरण. अंकगणित प्रगती अटींद्वारे निर्दिष्ट केली जाते: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). \(b_(246)\) शोधा.
उपाय:

उत्तर: \(b_(246)=1850\).

पहिल्या n पदांच्या बेरजेसाठी सूत्र: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), कुठे

\(a_n\) - शेवटची बेरीज केलेली संज्ञा;

उदाहरण (OGE). अंकगणित प्रगती अटींद्वारे निर्दिष्ट केली जाते \(a_n=3.4n-0.6\). या प्रगतीच्या पहिल्या \(25\) संज्ञांची बेरीज शोधा.
उपाय:

उत्तर: \(S_(25)=1090\).

पहिल्या पदांच्या बेरीज \(n\) साठी, तुम्हाला दुसरे सूत्र मिळू शकते: तुम्हाला फक्त \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) \(a_n\) ऐवजी त्याचे सूत्र \(a_n=a_1+(n-1)d\). आम्हाला मिळते:

पहिल्या n पदांच्या बेरजेसाठी सूत्र: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), कुठे

\(S_n\) – \(n\) प्रथम घटकांची आवश्यक बेरीज;
\(a_1\) – प्रथम बेरीज केलेले पद;
\(d\) - प्रगती फरक;
\(n\) – एकूण घटकांची संख्या.

उदाहरण. अंकगणिताच्या प्रगतीच्या पहिल्या \(33\)-ex पदांची बेरीज शोधा: \(17\); \(15.5\); \(१४\)…
उपाय:

उत्तर: \(S_(33)=-231\).

अधिक जटिल अंकगणित प्रगती समस्या

आता आपल्याकडे जवळजवळ कोणतीही अंकगणित प्रगती समस्या सोडवण्यासाठी आवश्यक असलेली सर्व माहिती आहे. ज्या समस्यांमध्ये तुम्हाला केवळ सूत्रे लागू करण्याची गरज नाही, तर थोडासा विचारही करा (गणितात हे उपयुक्त ठरू शकते ☺) विचार करून विषय संपवू.

उदाहरण (OGE). प्रगतीच्या सर्व नकारात्मक संज्ञांची बेरीज शोधा: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
उपाय:

उत्तर: \(S_(65)=-630.5\).

उदाहरण (OGE). अंकगणित प्रगती अटींद्वारे निर्दिष्ट केली जाते: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(२६\)व्या पासून \(४२\) घटकापर्यंतची बेरीज शोधा.
उपाय:

उत्तर: \(S=1683\).

अंकगणिताच्या प्रगतीसाठी, आणखी काही सूत्रे आहेत जी त्यांच्या कमी व्यावहारिक उपयुक्ततेमुळे आम्ही या लेखात विचारात घेतली नाहीत. तथापि, आपण त्यांना सहजपणे शोधू शकता.