Gaussova metóda nemá riešenia. Gaussova metóda pre figuríny: ľahké riešenie slough

Riešenie sústav lineárnych rovníc Gaussovou metódou. Predpokladajme, že potrebujeme nájsť riešenie pre systém z n lineárne rovnice s n neznáme premenné
ktorého determinant hlavnej matice je odlišný od nuly.

Podstata Gaussovej metódy pozostáva z postupného odstraňovania neznámych premenných: najskôr eliminácie x 1 zo všetkých rovníc systému, počnúc druhou, je ďalej vylúčená x 2 zo všetkých rovníc, počnúc treťou a tak ďalej, až kým v poslednej rovnici nezostane len neznáma premenná x n. Tento proces transformácie systémových rovníc na sekvenčnú elimináciu neznámych premenných sa nazýva priama Gaussova metóda. Po dokončení doprednej progresie Gaussovej metódy z poslednej rovnice nájdeme x n, pomocou tejto hodnoty z predposlednej rovnice, ktorú vypočítame xn-1, a tak ďalej, z prvej rovnice, ktorú nájdeme x 1. Proces výpočtu neznámych premenných pri prechode od poslednej rovnice systému k prvej sa nazýva inverzná ku Gaussovej metóde.

Stručne popíšme algoritmus na elimináciu neznámych premenných.

Budeme predpokladať, že , pretože to môžeme vždy dosiahnuť preskupením rovníc systému. Odstráňte neznámu premennú x 1 zo všetkých rovníc sústavy, počnúc druhou. Aby sme to dosiahli, k druhej rovnici systému pridáme prvú, vynásobenú , k tretej rovnici pridáme prvú, vynásobenú , atď. n-tý do rovnice pridáme prvú, vynásobenú . Systém rovníc po takýchto transformáciách nadobudne tvar

kde, a .

Dospeli by sme k rovnakému výsledku, keby sme sa vyjadrili x 1 cez iné neznáme premenné v prvej rovnici systému a výsledný výraz bol dosadený do všetkých ostatných rovníc. Takže premenná x 1 vylúčené zo všetkých rovníc, počnúc druhou.

Ďalej postupujeme podobne, ale len s časťou výslednej sústavy, ktorá je vyznačená na obrázku

Aby sme to dosiahli, do tretej rovnice systému pridáme druhú, vynásobenú , do štvrtej rovnice pridáme druhú, násobenú , atď. n-tý do rovnice pridáme druhú, vynásobenú . Systém rovníc po takýchto transformáciách nadobudne tvar

kde, a . Takže premenná x 2 vylúčené zo všetkých rovníc počnúc treťou.

Ďalej pristúpime k odstraňovaniu neznámeho x 3, v tomto prípade postupujeme podobne s časťou systému označenou na obrázku

Pokračujeme teda v priamom postupe Gaussovej metódy, kým systém nezíska formu

Od tohto momentu začíname obrátene k Gaussovej metóde: počítame x n z poslednej rovnice as pomocou získanej hodnoty x n nájdeme xn-1 z predposlednej rovnice a tak ďalej nájdeme x 1 z prvej rovnice.

Príklad.

Riešiť sústavu lineárnych rovníc Gaussova metóda.

Gaussova metóda, nazývaná aj metóda postupnej eliminácie neznámych, je nasledovná. Pomocou elementárnych transformácií sa systém lineárnych rovníc dostane do takej formy, že jeho matica koeficientov sa ukáže ako lichobežníkový (rovnaký ako trojuholníkový alebo stupňovitý) alebo blízko k lichobežníkovi (priamy ťah Gaussovej metódy, ďalej - jednoducho rovný ťah). Príklad takéhoto systému a jeho riešenie je na obrázku vyššie.

V takomto systéme posledná rovnica obsahuje len jednu premennú a jej hodnotu možno jednoznačne nájsť. Hodnota tejto premennej sa potom dosadí do predchádzajúcej rovnice ( inverzná ku Gaussovej metóde , potom len naopak), z ktorej sa nájde predchádzajúca premenná atď.

V lichobežníkovom (trojuholníkovom) systéme, ako vidíme, tretia rovnica už neobsahuje premenné r A X a druhá rovnica je premenná X .

Potom, čo matica systému nadobudne lichobežníkový tvar, už nie je ťažké pochopiť problematiku kompatibility systému, určiť počet riešení a nájsť riešenia samotné.

Výhody metódy:

pri riešení sústav lineárnych rovníc s viac ako tromi rovnicami a neznámymi nie je Gaussova metóda taká ťažkopádna ako Cramerova metóda, keďže riešenie Gaussovou metódou vyžaduje menej výpočtov;
Gaussova metóda dokáže riešiť neurčité sústavy lineárnych rovníc, teda také, ktoré majú všeobecné riešenie (a v tejto lekcii ich rozoberieme) a pomocou Cramerovej metódy môžeme len konštatovať, že sústava je neurčitá;
môžete riešiť sústavy lineárnych rovníc, v ktorých sa počet neznámych nerovná počtu rovníc (v tejto lekcii ich tiež rozoberieme);
Metóda je založená na elementárnych (školských) metódach - metóde dosadzovania neznámych a metóde sčítania rovníc, ktorých sme sa dotkli v zodpovedajúcom článku.

Aby každý pochopil jednoduchosť, s akou sa riešia lichobežníkové (trojuholníkové, stupňovité) sústavy lineárnych rovníc, uvádzame riešenie takejto sústavy pomocou spätného pohybu. Rýchle riešenie tohto systému bolo znázornené na obrázku na začiatku hodiny.

Príklad 1 Vyriešte systém lineárnych rovníc pomocou inverzných:

Riešenie. V tomto lichobežníkovom systéme premenná z možno jednoznačne nájsť z tretej rovnice. Jej hodnotu dosadíme do druhej rovnice a dostaneme hodnotu premennej r:

Teraz poznáme hodnoty dvoch premenných - z A r. Dosadíme ich do prvej rovnice a dostaneme hodnotu premennej X:

Z predchádzajúcich krokov vypíšeme riešenie sústavy rovníc:

Na získanie takejto lichobežníkovej sústavy lineárnych rovníc, ktorú sme vyriešili veľmi jednoducho, je potrebné použiť dopredný zdvih spojený s elementárnymi transformáciami sústavy lineárnych rovníc. Tiež to nie je veľmi ťažké.

Elementárne transformácie sústavy lineárnych rovníc

Opakovaním školskej metódy algebraického sčítania rovníc sústavy sme zistili, že k jednej z rovníc sústavy môžeme pridať ďalšiu rovnicu sústavy a každú z rovníc možno vynásobiť nejakými číslami. Výsledkom je systém lineárnych rovníc ekvivalentný tomuto systému. V nej už jedna rovnica obsahovala len jednu premennú, ktorej dosadením hodnoty do iných rovníc sa dostávame k riešeniu. Takéto sčítanie je jedným z typov elementárnej transformácie systému. Pri použití Gaussovej metódy môžeme použiť niekoľko typov transformácií.

Animácia vyššie ukazuje, ako sa sústava rovníc postupne mení na lichobežníkový. Teda ten, ktorý ste videli v úplne prvej animácii a presvedčili ste sa, že je ľahké z neho nájsť hodnoty všetkých neznámych. Ako vykonať takúto transformáciu a samozrejme príklady budú ďalej diskutované.

Pri riešení sústav lineárnych rovníc s ľubovoľným počtom rovníc a neznámych v sústave rovníc a v rozšírenej matici sústavy Môcť:

preusporiadať riadky (toto bolo spomenuté na samom začiatku tohto článku);
ak výsledkom iných transformácií sú rovnaké alebo proporcionálne riadky, možno ich vymazať, s výnimkou jedného;
odstrániť „nulové“ riadky, kde sa všetky koeficienty rovnajú nule;
vynásobte alebo vydeľte ľubovoľný reťazec určitým číslom;
k ľubovoľnému riadku pridajte ďalší riadok, vynásobený určitým číslom.

Výsledkom transformácií je sústava lineárnych rovníc ekvivalentná tejto sústave.

Algoritmus a príklady riešenia sústavy lineárnych rovníc so štvorcovou maticou sústavy pomocou Gaussovej metódy

Uvažujme najskôr o riešení sústav lineárnych rovníc, v ktorých sa počet neznámych rovná počtu rovníc. Matica takéhoto systému je štvorcová, to znamená, že počet riadkov v nej sa rovná počtu stĺpcov.

Príklad 2 Riešte sústavu lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy

Pri riešení sústav lineárnych rovníc školskými metódami sme jednu z rovníc člen po člene vynásobili určitým číslom, takže koeficienty prvej premennej v dvoch rovniciach boli opačné čísla. Pri pridávaní rovníc táto premenná odpadá. Gaussova metóda funguje podobne.

Na zjednodušenie vzhľadu riešenia vytvorme rozšírenú maticu systému:

V tejto matici sú koeficienty neznámych umiestnené vľavo pred zvislou čiarou a voľné členy sú umiestnené vpravo za zvislou čiarou.

Pre pohodlie deliacich koeficientov pre premenné (na získanie delenia jednotkou) Vymeňme prvý a druhý riadok matice systému. Získame systém ekvivalentný tomuto systému, pretože v systéme lineárnych rovníc možno rovnice zamieňať:

Pomocou novej prvej rovnice odstrániť premennú X z druhej a všetkých nasledujúcich rovníc. Aby sme to urobili, do druhého riadku matice pridáme prvý riadok vynásobený (v našom prípade ), do tretieho riadku - prvý riadok násobený (v našom prípade ).

Je to možné, pretože

Ak by v našom systéme boli viac ako tri rovnice, potom by sme museli do všetkých nasledujúcich rovníc pridať prvý riadok, vynásobený pomerom zodpovedajúcich koeficientov, braný so znamienkom mínus.

Výsledkom je, že získame maticu ekvivalentnú tomuto systému nového systému rovníc, v ktorom všetky rovnice počnúc od 2. neobsahujú premennú X :

Aby ste zjednodušili druhý riadok výsledného systému, vynásobte ho a znova získajte maticu systému rovníc ekvivalentných tomuto systému:

Teraz, keď ponecháme prvú rovnicu výsledného systému nezmenenú, pomocou druhej rovnice eliminujeme premennú r zo všetkých nasledujúcich rovníc. Aby sme to urobili, do tretieho riadku matice systému pridáme druhý riadok, vynásobený (v našom prípade ).

Ak by v našom systéme existovalo viac ako tri rovnice, museli by sme do všetkých nasledujúcich rovníc pridať druhý riadok, vynásobený pomerom zodpovedajúcich koeficientov so znamienkom mínus.

Výsledkom je, že opäť získame maticu systému ekvivalentného tomuto systému lineárnych rovníc:

Získali sme ekvivalentný lichobežníkový systém lineárnych rovníc:

Ak je počet rovníc a premenných väčší ako v našom príklade, potom proces postupného odstraňovania premenných pokračuje, kým sa matica systému nestane lichobežníkovým, ako v našom demo príklade.

Nájdeme riešenie „od konca“ - spätný pohyb. Pre to z poslednej rovnice určíme z:
.
Nahradením tejto hodnoty do predchádzajúcej rovnice nájdeme r:

Z prvej rovnice nájdeme X:

Odpoveď: riešenie tejto sústavy rovníc je .

: v tomto prípade bude daná rovnaká odpoveď, ak má systém jedinečné riešenie. Ak má systém nekonečný počet riešení, toto bude odpoveď a toto je predmetom piatej časti tejto lekcie.

Vyriešte systém lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy sami a potom sa pozrite na riešenie

Opäť tu máme príklad konzistentného a určitého systému lineárnych rovníc, v ktorom sa počet rovníc rovná počtu neznámych. Rozdiel od nášho ukážkového príkladu z algoritmu je v tom, že už existujú štyri rovnice a štyri neznáme.

Príklad 4. Riešte sústavu lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy:

Teraz musíte použiť druhú rovnicu na odstránenie premennej z nasledujúcich rovníc. Vykonajte prípravné práce. Aby to bolo pohodlnejšie s pomerom koeficientov, musíte jeden získať v druhom stĺpci druhého riadku. Ak to chcete urobiť, odpočítajte tretí od druhého riadku a vynásobte výsledný druhý riadok -1.

Urobme teraz samotnú elimináciu premennej z tretej a štvrtej rovnice. Ak to chcete urobiť, pridajte druhý riadok vynásobený , do tretieho riadku a druhý, násobený , do štvrtého riadku.

Teraz pomocou tretej rovnice odstránime premennú zo štvrtej rovnice. Ak to chcete urobiť, pridajte tretí riadok k štvrtému riadku, vynásobte ho . Získame rozšírenú trapézovú matricu.

Získali sme sústavu rovníc, ktorej je daná sústava ekvivalentná:

Následne sú výsledné a dané systémy kompatibilné a jednoznačné. Konečné riešenie nájdeme „od konca“. Zo štvrtej rovnice môžeme priamo vyjadriť hodnotu premennej „x-štyri“:

Túto hodnotu dosadíme do tretej rovnice sústavy a dostaneme

Nakoniec, nahradenie hodnoty

Prvá rovnica dáva

kde nájdeme „x prvé“:

Odpoveď: tento systém rovníc má jedinečné riešenie .

Riešenie systému môžete skontrolovať aj na kalkulačke Cramerovou metódou: v tomto prípade dostanete rovnakú odpoveď, ak má systém jedinečné riešenie.

Riešenie aplikovaných úloh pomocou Gaussovej metódy na príklade úlohy o zliatinách

Systémy lineárnych rovníc sa používajú na modelovanie reálnych objektov vo fyzickom svete. Poďme vyriešiť jeden z týchto problémov - zliatiny. Podobnými problémami sú problémy so zmesami, náklady alebo podiel jednotlivých tovarov v skupine tovarov a pod.

Príklad 5. Tri kusy zliatiny majú celkovú hmotnosť 150 kg. Prvá zliatina obsahuje 60% medi, druhá - 30%, tretia - 10%. Okrem toho je v druhej a tretej zliatine spolu o 28,4 kg medi menej ako v prvej zliatine a v tretej zliatine je o 6,2 kg menej medi ako v druhej. Nájdite hmotnosť každého kusu zliatiny.

Riešenie. Zostavíme sústavu lineárnych rovníc:

Vynásobíme druhú a tretiu rovnicu 10, dostaneme ekvivalentný systém lineárnych rovníc:

Vytvárame rozšírenú maticu systému:

Pozor, priamo vpred. Pričítaním (v našom prípade odčítaním) jedného riadku vynásobeného číslom (aplikujeme ho dvakrát) dochádza s rozšírenou maticou systému k nasledujúcim transformáciám:

Priamy ťah sa skončil. Získali sme expandovanú lichobežníkovú matricu.

Aplikujeme spätný pohyb. Nájdeme riešenie od konca. To vidíme.

Z druhej rovnice zistíme

Z tretej rovnice -

Riešenie systému si môžete skontrolovať aj na kalkulačke Cramerovou metódou: v tomto prípade dostanete rovnakú odpoveď, ak má systém jedinečné riešenie.

O jednoduchosti Gaussovej metódy svedčí fakt, že jej vynájdenie trvalo nemeckému matematikovi Carlovi Friedrichovi Gaussovi iba 15 minút. Okrem metódy pomenovanej po ňom je z Gaussových diel známy výrok „Nemali by sme si zamieňať to, čo sa nám zdá neuveriteľné a neprirodzené s absolútne nemožným“ – akýsi stručný návod na objavovanie.

V mnohých aplikovaných úlohách nemusí byť tretie obmedzenie, teda tretia rovnica, potom musíte riešiť sústavu dvoch rovníc s tromi neznámymi pomocou Gaussovej metódy, alebo naopak, neznámych je menej ako rovníc. Teraz začneme riešiť takéto sústavy rovníc.

Pomocou Gaussovej metódy môžete určiť, či je niektorý systém kompatibilný alebo nekompatibilný n lineárne rovnice s n premenných.

Gaussova metóda a sústavy lineárnych rovníc s nekonečným počtom riešení

Ďalším príkladom je konzistentný, ale neurčitý systém lineárnych rovníc, ktorý má nekonečný počet riešení.

Po vykonaní transformácií v rozšírenej matici systému (preusporiadanie riadkov, vynásobenie a delenie riadkov určitým číslom, pridanie ďalšieho k jednému riadku) sa mohli objaviť riadky formulára

Ak vo všetkých rovniciach majú tvar

Voľné členy sa rovnajú nule, to znamená, že systém je neurčitý, to znamená, že má nekonečný počet riešení a rovnice tohto typu sú „nadbytočné“ a vylúčime ich zo systému.

Príklad 6.

Riešenie. Vytvorme rozšírenú maticu systému. Potom pomocou prvej rovnice odstránime premennú z nasledujúcich rovníc. Ak to chcete urobiť, pridajte do druhého, tretieho a štvrtého riadku prvý, vynásobený:

Teraz pridajme druhý riadok k tretiemu a štvrtému.

V dôsledku toho sa dostávame do systému

Posledné dve rovnice sa zmenili na rovnice tvaru. Tieto rovnice sú splnené pre akúkoľvek hodnotu neznámych a môžu byť vyradené.

Aby sme splnili druhú rovnicu, môžeme zvoliť ľubovoľné hodnoty pre a , potom bude hodnota pre určená jednoznačne: . Z prvej rovnice je hodnota pre tiež nájdená jednoznačne: .

Daný aj posledný systém sú konzistentné, ale neisté a vzorce

pre ľubovoľné a dajte nám všetky riešenia daného systému.

Gaussova metóda a sústavy lineárnych rovníc bez riešení

Ďalším príkladom je nekonzistentný systém lineárnych rovníc, teda taký, ktorý nemá riešenia. Odpoveď na takéto problémy je formulovaná takto: systém nemá riešenia.

Ako už bolo spomenuté v súvislosti s prvým príkladom, po vykonaní transformácií by sa v rozšírenej matici systému mohli objaviť riadky formulára

zodpovedajúca rovnici tvaru

Ak medzi nimi existuje aspoň jedna rovnica s nenulovým voľným členom (t.j. ), potom je táto sústava rovníc nekonzistentná, to znamená, že nemá riešenia a jej riešenie je úplné.

Príklad 7. Riešte sústavu lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy:

Riešenie. Zostavíme rozšírenú maticu systému. Pomocou prvej rovnice vylúčime premennú z nasledujúcich rovníc. Ak to chcete urobiť, pridajte prvý riadok vynásobený k druhému riadku, prvý riadok vynásobený tretím riadkom a prvý riadok vynásobený štvrtým riadkom.

Teraz musíte použiť druhú rovnicu na odstránenie premennej z nasledujúcich rovníc. Aby sme získali celočíselné pomery koeficientov, prehodíme druhý a tretí riadok rozšírenej matice systému.

Ak chcete vylúčiť tretiu a štvrtú rovnicu, pridajte druhú vynásobenú , do tretieho riadku a druhú násobenú , do štvrtého riadku.

Teraz pomocou tretej rovnice odstránime premennú zo štvrtej rovnice. Ak to chcete urobiť, pridajte tretí riadok k štvrtému riadku, vynásobte ho .

Daný systém je teda ekvivalentný nasledovnému:

Výsledný systém je nekonzistentný, pretože jeho posledná rovnica nemôže byť splnená žiadnymi hodnotami neznámych. Preto tento systém nemá žiadne riešenia.

Nech je daný systém lineárnych algebraických rovníc, ktorý je potrebné vyriešiť (nájdite také hodnoty neznámych xi, ktoré menia každú rovnicu systému na rovnosť).

Vieme, že systém lineárnych algebraických rovníc môže:

1) Nemať žiadne riešenia (buď nekĺbové).
2) Mať nekonečne veľa riešení.
3) Mať jediné riešenie.

Ako si pamätáme, Cramerovo pravidlo a maticová metóda nie sú vhodné v prípadoch, keď má systém nekonečne veľa riešení alebo je nekonzistentný. Gaussova metóda – najvýkonnejší a najuniverzálnejší nástroj na hľadanie riešení akéhokoľvek systému lineárnych rovníc, ktorý v každom prípade nás privedie k odpovedi! Samotný algoritmus metódy funguje vo všetkých troch prípadoch rovnako. Ak Cramerova a maticová metóda vyžadujú znalosť determinantov, potom na aplikáciu Gaussovej metódy potrebujete len znalosť aritmetických operácií, vďaka čomu je dostupná aj pre žiakov základných škôl.

Rozšírené maticové transformácie ( toto je matica systému - matica zložená iba z koeficientov neznámych plus stĺpec voľných členov) sústavy lineárnych algebraických rovníc v Gaussovej metóde:

1) s troki matice Môcť preusporiadať na niektorých miestach.

2) ak sa v matici objavia (alebo existujú) proporcionálne (ako špeciálny prípad – identické) riadky, mali by ste vymazať z matice všetky tieto riadky okrem jedného.

3) ak sa pri transformáciách objaví v matici nulový riadok, tak by mal byť tiež vymazať.

4) riadok matice môže byť násobiť (deliť) na akékoľvek číslo iné ako nula.

5) do riadku matice môžete pridajte ďalší reťazec vynásobený číslom, odlišný od nuly.

V Gaussovej metóde elementárne transformácie nemenia riešenie sústavy rovníc.

Gaussova metóda pozostáva z dvoch fáz:

„Priamy pohyb“ - pomocou elementárnych transformácií priveďte rozšírenú maticu systému lineárnych algebraických rovníc do tvaru „trojuholníkového“ kroku: prvky rozšírenej matice umiestnené pod hlavnou uhlopriečkou sa rovnajú nule (pohyb zhora nadol). Napríklad k tomuto typu:

Ak to chcete urobiť, vykonajte nasledujúce kroky:

1) Uvažujme prvú rovnicu sústavy lineárnych algebraických rovníc a koeficient pre x 1 sa rovná K. Druhá, tretia atď. rovnice transformujeme takto: každú rovnicu (koeficienty neznámych vrátane voľných členov) vydelíme koeficientom neznámej x 1, ktorý je v každej rovnici, a vynásobíme K. Potom odčítame prvú od druhá rovnica (koeficienty neznámych a voľných členov). Pre x 1 v druhej rovnici získame koeficient 0. Od tretej transformovanej rovnice odčítame prvú rovnicu, kým všetky rovnice okrem prvej, pre neznáme x 1, nebudú mať koeficient 0.

2) Prejdime k ďalšej rovnici. Nech je to druhá rovnica a koeficient pre x 2 sa rovná M. So všetkými „nižšími“ rovnicami postupujeme tak, ako je popísané vyššie. Teda „pod“ neznámou x 2 budú vo všetkých rovniciach nuly.

3) Prejdite na ďalšiu rovnicu a tak ďalej, kým nezostane posledná neznáma a transformovaný voľný člen.

„Spätným pohybom“ Gaussovej metódy je získanie riešenia systému lineárnych algebraických rovníc (pohyb „zdola nahor“). Z poslednej „dolnej“ rovnice dostaneme prvé riešenie – neznámu x n. Riešime na to elementárnu rovnicu A * x n = B. Vo vyššie uvedenom príklade x 3 = 4. Nájdenú hodnotu dosadíme do „hornej“ nasledujúcej rovnice a riešime ju vzhľadom na ďalšiu neznámu. Napríklad x 2 – 4 = 1, t.j. x 2 = 5. A tak ďalej, kým nenájdeme všetky neznáme.

Príklad.

Poďme riešiť sústavu lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy, ako radia niektorí autori:

Zapíšme si rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju priveďme do stupňovitého tvaru:

Pozeráme sa na ľavý horný „krok“. Mali by sme tam jeden mať. Problém je, že v prvom stĺpci nie sú vôbec žiadne jednotky, takže preskupenie riadkov nič nevyrieši. V takýchto prípadoch musí byť jednotka organizovaná pomocou elementárnej transformácie. Zvyčajne sa to dá urobiť niekoľkými spôsobmi. Poďme to spraviť:
1 krok . K prvému riadku pridáme druhý riadok, vynásobený –1. To znamená, že druhý riadok sme v duchu vynásobili –1 a pridali prvý a druhý riadok, pričom druhý riadok sa nezmenil.

Teraz vľavo hore je „mínus jedna“, čo nám celkom vyhovuje. Každý, kto chce získať +1, môže vykonať ďalšiu akciu: vynásobiť prvý riadok –1 (zmeniť jeho znamienko).

Krok 2 . Prvý riadok vynásobený číslom 5 bol pridaný k druhému riadku a prvý riadok vynásobený číslom 3 bol pridaný k tretiemu riadku.

Krok 3 . Prvý riadok bol vynásobený –1, v zásade ide o krásu. Zmenilo sa aj znamienko tretieho riadku a posunulo sa na druhé miesto, aby sme na druhom „kroku“ mali požadovanú jednotku.

Krok 4 . Tretí riadok bol pridaný k druhému riadku, vynásobený 2.

Krok 5 . Tretí riadok bol rozdelený 3.

Znak, ktorý označuje chybu vo výpočtoch (zriedkavejšie preklep), je „zlý“ spodný riadok. To znamená, že ak dostaneme niečo ako (0 0 11 |23) nižšie, a teda 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, potom s vysokou pravdepodobnosťou môžeme povedať, že došlo k chybe počas základného transformácií.

Urobme to naopak; pri navrhovaní príkladov sa často neprepisuje samotný systém, ale rovnice sa „preberajú priamo z danej matice“. Pripomínam vám, že spätný pohyb funguje zdola nahor. V tomto príklade bol výsledkom darček:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, teda x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Odpoveď:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Vyriešme rovnaký systém pomocou navrhovaného algoritmu. Dostaneme

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Vydeľte druhú rovnicu 5 a tretiu 3. Dostaneme:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Vynásobením druhej a tretej rovnice číslom 4 dostaneme:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Odčítaním prvej rovnice od druhej a tretej rovnice máme:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Vydeľte tretiu rovnicu číslom 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Vynásobte tretiu rovnicu číslom 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Odčítaním druhej od tretej rovnice získame „odstupňovanú“ rozšírenú maticu:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Keďže sa chyba nahromadila počas výpočtov, dostaneme x 3 = 0,96 alebo približne 1.

x 2 = 3 a x 1 = –1.

Takýmto riešením sa nikdy vo výpočtoch nezamotáte a aj napriek chybám vo výpočtoch dostanete výsledok.

Tento spôsob riešenia sústavy lineárnych algebraických rovníc je ľahko programovateľný a nezohľadňuje špecifické vlastnosti koeficientov pre neznáme, pretože v praxi (v ekonomických a technických výpočtoch) sa treba zaoberať neceločíselnými koeficientmi.

Prajem ti úspech! Uvidíme sa v triede! Tútor Dmitrij Aystrachanov.

webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti sa vyžaduje odkaz na pôvodný zdroj.

Nech je daný systém lineárnych algebraických rovníc, ktorý je potrebné vyriešiť (nájdite také hodnoty neznámych xi, ktoré menia každú rovnicu systému na rovnosť).

Vieme, že systém lineárnych algebraických rovníc môže:

1) Nemať žiadne riešenia (buď nekĺbové).
2) Mať nekonečne veľa riešení.
3) Mať jediné riešenie.

1) s troki matice Môcť preusporiadať na niektorých miestach.

2) ak sa v matici objavia (alebo existujú) proporcionálne (ako špeciálny prípad – identické) riadky, mali by ste vymazať z matice všetky tieto riadky okrem jedného.

3) ak sa pri transformáciách objaví v matici nulový riadok, tak by mal byť tiež vymazať.

4) riadok matice môže byť násobiť (deliť) na akékoľvek číslo iné ako nula.

5) do riadku matice môžete pridajte ďalší reťazec vynásobený číslom, odlišný od nuly.

V Gaussovej metóde elementárne transformácie nemenia riešenie sústavy rovníc.

Gaussova metóda pozostáva z dvoch fáz:

„Priamy pohyb“ - pomocou elementárnych transformácií priveďte rozšírenú maticu systému lineárnych algebraických rovníc do tvaru „trojuholníkového“ kroku: prvky rozšírenej matice umiestnené pod hlavnou uhlopriečkou sa rovnajú nule (pohyb zhora nadol). Napríklad k tomuto typu:

Ak to chcete urobiť, vykonajte nasledujúce kroky:

3) Prejdite na ďalšiu rovnicu a tak ďalej, kým nezostane posledná neznáma a transformovaný voľný člen.

„Spätným pohybom“ Gaussovej metódy je získanie riešenia systému lineárnych algebraických rovníc (pohyb „zdola nahor“). Z poslednej „dolnej“ rovnice dostaneme prvé riešenie – neznámu x n. Riešime na to elementárnu rovnicu A * x n = B. Vo vyššie uvedenom príklade x 3 = 4. Nájdenú hodnotu dosadíme do „hornej“ nasledujúcej rovnice a riešime ju vzhľadom na ďalšiu neznámu. Napríklad x 2 – 4 = 1, t.j. x 2 = 5. A tak ďalej, kým nenájdeme všetky neznáme.

Príklad.

Poďme riešiť sústavu lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy, ako radia niektorí autori:

Zapíšme si rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju priveďme do stupňovitého tvaru:

Teraz vľavo hore je „mínus jedna“, čo nám celkom vyhovuje. Každý, kto chce získať +1, môže vykonať ďalšiu akciu: vynásobiť prvý riadok –1 (zmeniť jeho znamienko).

Krok 2 . Prvý riadok vynásobený číslom 5 bol pridaný k druhému riadku a prvý riadok vynásobený číslom 3 bol pridaný k tretiemu riadku.

Krok 4 . Tretí riadok bol pridaný k druhému riadku, vynásobený 2.

Krok 5 . Tretí riadok bol rozdelený 3.

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, teda x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Odpoveď:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Vyriešme rovnaký systém pomocou navrhovaného algoritmu. Dostaneme

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Vydeľte druhú rovnicu 5 a tretiu 3. Dostaneme:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Vynásobením druhej a tretej rovnice číslom 4 dostaneme:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Odčítaním prvej rovnice od druhej a tretej rovnice máme:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Vydeľte tretiu rovnicu číslom 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Vynásobte tretiu rovnicu číslom 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Odčítaním druhej od tretej rovnice získame „odstupňovanú“ rozšírenú maticu:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Keďže sa chyba nahromadila počas výpočtov, dostaneme x 3 = 0,96 alebo približne 1.

x 2 = 3 a x 1 = –1.

Takýmto riešením sa nikdy vo výpočtoch nezamotáte a aj napriek chybám vo výpočtoch dostanete výsledok.

Prajem ti úspech! Uvidíme sa v triede! Tútor.

blog.site, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na pôvodný zdroj.

Od začiatku 16. – 18. storočia sa matematici intenzívne začali zaoberať funkciami, vďaka ktorým sa v našich životoch toľko zmenilo. Počítačová technika by bez týchto znalostí jednoducho neexistovala. Na riešenie zložitých problémov, lineárnych rovníc a funkcií boli vytvorené rôzne koncepty, vety a techniky riešenia. Jednou z takýchto univerzálnych a racionálnych metód a techník na riešenie lineárnych rovníc a ich sústav bola Gaussova metóda. Matice, ich poradie, determinant - všetko sa dá vypočítať bez použitia zložitých operácií.

Čo je SLAU

V matematike existuje pojem SLAE – systém lineárnych algebraických rovníc. Aká je? Ide o súbor m rovníc s požadovanými n neznámymi veličinami, ktoré sa zvyčajne označujú ako x, y, z alebo x 1, x 2 ... x n alebo iné symboly. Riešenie daného systému pomocou Gaussovej metódy znamená nájsť všetky neznáme. Ak má systém rovnaký počet neznámych a rovníc, potom sa nazýva systém n-tého rádu.

Najpopulárnejšie metódy riešenia SLAE

Vo vzdelávacích inštitúciách stredného vzdelávania sa študujú rôzne metódy riešenia takýchto systémov. Najčastejšie ide o jednoduché rovnice pozostávajúce z dvoch neznámych, takže akákoľvek existujúca metóda na nájdenie odpovede na ne nezaberie veľa času. Môže to byť ako substitučná metóda, keď je z jednej rovnice odvodená iná a dosadená do pôvodnej. Alebo metóda odčítania a sčítania po členoch. Ale Gaussova metóda je považovaná za najjednoduchšiu a najuniverzálnejšiu. Umožňuje riešiť rovnice s ľubovoľným počtom neznámych. Prečo sa táto konkrétna technika považuje za racionálnu? Je to jednoduché. Dobrá vec na maticovej metóde je, že nevyžaduje niekoľkokrát prepisovanie nepotrebných symbolov ako neznámych, stačí vykonať aritmetické operácie s koeficientmi - a dostanete spoľahlivý výsledok.

Kde sa SLAE používajú v praxi?

Riešením SLAE sú priesečníky čiar na grafoch funkcií. V našej high-tech počítačovej dobe ľudia, ktorí sú úzko spätí s vývojom hier a iných programov, potrebujú vedieť, ako takéto systémy riešiť, čo predstavujú a ako kontrolovať správnosť výsledného výsledku. Programátori najčastejšie vyvíjajú špeciálne programy na kalkulačky lineárnej algebry, ktoré obsahujú aj systém lineárnych rovníc. Gaussova metóda umožňuje vypočítať všetky existujúce riešenia. Používajú sa aj iné zjednodušené vzorce a techniky.

Kritérium kompatibility SLAU

Takýto systém je možné vyriešiť len vtedy, ak je kompatibilný. Pre prehľadnosť uvádzame SLAE v tvare Ax=b. Má riešenie, ak sa rang(A) rovná rang(A,b). V tomto prípade (A,b) je matica rozšíreného tvaru, ktorú možno získať z matice A jej prepísaním voľnými členmi. Ukazuje sa, že riešenie lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy je celkom jednoduché.

Možno niektoré symboly nie sú úplne jasné, preto je potrebné všetko zvážiť na príklade. Povedzme, že existuje systém: x+y=1; 2x-3y=6. Pozostáva len z dvoch rovníc, v ktorých sú 2 neznáme. Systém bude mať riešenie iba vtedy, ak sa hodnosť jeho matice rovná hodnosti rozšírenej matice. čo je hodnosť? Toto je počet nezávislých riadkov systému. V našom prípade je poradie matice 2. Matica A bude pozostávať z koeficientov umiestnených v blízkosti neznámych a koeficienty umiestnené za znakom „=“ tiež zapadajú do rozšírenej matice.

Prečo môžu byť SLAE zastúpené v maticovej forme?

Na základe kritéria kompatibility podľa osvedčenej Kronecker-Capelliho vety je možné systém lineárnych algebraických rovníc reprezentovať v maticovej forme. Pomocou metódy Gaussovej kaskády môžete vyriešiť maticu a získať jedinú spoľahlivú odpoveď pre celý systém. Ak sa hodnosť obyčajnej matice rovná hodnosti jej rozšírenej matice, ale je menšia ako počet neznámych, potom má systém nekonečný počet odpovedí.

Maticové transformácie

Predtým, ako pristúpite k riešeniu matíc, musíte vedieť, aké akcie je možné vykonať s ich prvkami. Existuje niekoľko základných transformácií:

Prepísaním systému do maticového tvaru a jeho riešením môžete vynásobiť všetky prvky radu rovnakým koeficientom.
Ak chcete transformovať maticu do kanonickej formy, môžete vymeniť dva paralelné riadky. Kanonická forma znamená, že všetky prvky matice, ktoré sa nachádzajú pozdĺž hlavnej uhlopriečky, sa stanú jednotkami a zvyšné sa stanú nulami.
Zodpovedajúce prvky rovnobežných radov matice môžu byť navzájom sčítané.

Jordan-Gaussova metóda

Podstatou riešenia sústav lineárnych homogénnych a nehomogénnych rovníc Gaussovou metódou je postupné odstraňovanie neznámych. Povedzme, že máme systém dvoch rovníc, v ktorých sú dve neznáme. Ak ich chcete nájsť, musíte skontrolovať kompatibilitu systému. Rovnica je riešená veľmi jednoducho Gaussovou metódou. Koeficienty nachádzajúce sa pri každej neznámej je potrebné zapísať v maticovom tvare. Na vyriešenie systému budete musieť vypísať rozšírenú maticu. Ak jedna z rovníc obsahuje menší počet neznámych, potom sa namiesto chýbajúceho prvku musí vložiť „0“. Na maticu sa aplikujú všetky známe transformačné metódy: násobenie, delenie číslom, sčítanie zodpovedajúcich prvkov radu k sebe a iné. Ukazuje sa, že v každom riadku je potrebné ponechať jednu premennú s hodnotou „1“, zvyšok by sa mal znížiť na nulu. Pre presnejšie pochopenie je potrebné zvážiť Gaussovu metódu s príkladmi.

Jednoduchý príklad riešenia systému 2x2

Na začiatok si zoberme jednoduchú sústavu algebraických rovníc, v ktorej budú 2 neznáme.

Prepíšme to do rozšírenej matice.

Na vyriešenie tohto systému lineárnych rovníc sú potrebné iba dve operácie. Potrebujeme priviesť maticu do kanonickej formy, aby na hlavnej diagonále boli jedničky. Takže prenesením z maticového tvaru späť do systému dostaneme rovnice: 1x+0y=b1 a 0x+1y=b2, kde b1 a b2 sú výsledné odpovede v procese riešenia.

Prvá akcia pri riešení rozšírenej matice bude takáto: prvý riadok treba vynásobiť -7 a do druhého riadku pridať zodpovedajúce prvky, aby sme sa zbavili jednej neznámej v druhej rovnici.
Keďže riešenie rovníc pomocou Gaussovej metódy zahŕňa redukciu matice na kanonickú formu, potom je potrebné vykonať rovnaké operácie s prvou rovnicou a odstrániť druhú premennú. Aby sme to urobili, odpočítame druhý riadok od prvého a získame požadovanú odpoveď - riešenie SLAE. Alebo, ako je znázornené na obrázku, vynásobíme druhý riadok koeficientom -1 a pripočítame prvky druhého riadku k prvému riadku. To je to isté.

Ako vidíme, náš systém bol vyriešený Jordan-Gaussovou metódou. Prepíšeme ho do požadovaného tvaru: x=-5, y=7.

Príklad riešenia 3x3 SLAE

Predpokladajme, že máme zložitejší systém lineárnych rovníc. Gaussova metóda umožňuje vypočítať odpoveď aj pre zdanlivo najprehľadnejší systém. Preto, aby ste sa hlbšie ponorili do metodiky výpočtu, môžete prejsť na zložitejší príklad s tromi neznámymi.

Rovnako ako v predchádzajúcom príklade prepíšeme systém do podoby rozšírenej matice a začneme ho uvádzať do kanonickej podoby.

Na vyriešenie tohto systému budete musieť vykonať oveľa viac akcií ako v predchádzajúcom príklade.

Najprv musíte urobiť prvý stĺpec jedným jednotkovým prvkom a zvyšok nulami. Ak to chcete urobiť, vynásobte prvú rovnicu -1 a pridajte k nej druhú rovnicu. Je dôležité si zapamätať, že prvý riadok prepisujeme do pôvodnej podoby a druhý do upravenej podoby.
Ďalej odstránime tú istú prvú neznámu z tretej rovnice. Za týmto účelom vynásobte prvky prvého riadku -2 a pridajte ich do tretieho riadku. Teraz sú prvý a druhý riadok prepísané do pôvodnej podoby a tretí - so zmenami. Ako vidíte z výsledku, prvú sme dostali na začiatok hlavnej uhlopriečky matice a zvyšné nuly. Ešte pár krokov a systém rovníc Gaussovou metódou bude spoľahlivo vyriešený.
Teraz musíte vykonať operácie na iných prvkoch riadkov. Tretiu a štvrtú akciu je možné spojiť do jednej. Druhý a tretí riadok musíme vydeliť -1, aby sme sa zbavili mínusových na uhlopriečke. Tretí riadok sme už priviedli do požadovanej podoby.
Ďalej uvedieme druhý riadok do kanonickej podoby. Aby sme to urobili, vynásobíme prvky tretieho riadku -3 a pridáme ich do druhého riadku matice. Z výsledku je zrejmé, že aj druhý riadok je zredukovaný do podoby, akú potrebujeme. Zostáva vykonať niekoľko ďalších operácií a odstrániť koeficienty neznámych z prvého riadku.
Ak chcete vytvoriť 0 z druhého prvku v rade, musíte vynásobiť tretí riadok -3 a pridať ho do prvého riadku.
Ďalším rozhodujúcim krokom bude pridanie potrebných prvkov druhého radu do prvého radu. Takto dostaneme kanonickú formu matice, a teda aj odpoveď.

Ako vidíte, riešenie rovníc pomocou Gaussovej metódy je celkom jednoduché.

Príklad riešenia sústavy rovníc 4x4

Niektoré zložitejšie sústavy rovníc je možné riešiť pomocou Gaussovej metódy pomocou počítačových programov. Koeficienty pre neznáme je potrebné zadať do existujúcich prázdnych buniek a program sám krok za krokom vypočíta požadovaný výsledok s podrobným popisom každej akcie.

Pokyny krok za krokom na riešenie takéhoto príkladu sú popísané nižšie.

V prvom kroku sa do prázdnych buniek zadajú voľné koeficienty a čísla pre neznáme. Dostaneme teda rovnakú rozšírenú maticu, ktorú napíšeme ručne.

A vykonajú sa všetky potrebné aritmetické operácie, aby sa rozšírená matica dostala do jej kanonickej formy. Je potrebné pochopiť, že odpoveďou na systém rovníc nie sú vždy celé čísla. Niekedy môže byť riešenie zo zlomkových čísel.

Kontrola správnosti riešenia

Jordan-Gaussova metóda umožňuje kontrolu správnosti výsledku. Aby ste zistili, či sú koeficienty vypočítané správne, stačí výsledok dosadiť do pôvodnej sústavy rovníc. Ľavá strana rovnice sa musí zhodovať s pravou stranou za znamienkom rovnosti. Ak sa odpovede nezhodujú, musíte systém prepočítať alebo naň skúsiť použiť inú metódu riešenia SLAE, ktorú poznáte, ako je substitúcia alebo odčítanie a sčítanie po členoch. Matematika je predsa veda, ktorá má obrovské množstvo rôznych metód riešenia. Ale pamätajte: výsledok by mal byť vždy rovnaký, bez ohľadu na to, aký spôsob riešenia ste použili.

Gaussova metóda: najčastejšie chyby pri riešení SLAE

Pri riešení lineárnych sústav rovníc najčastejšie dochádza k chybám ako je nesprávny prenos koeficientov do maticového tvaru. Existujú systémy, v ktorých niektoré neznáme chýbajú v jednej z rovníc; potom sa pri prenose údajov do rozšírenej matice môžu stratiť. Výsledkom je, že pri riešení tohto systému nemusí výsledok zodpovedať skutočnosti.

Ďalšou veľkou chybou môže byť nesprávne vypísanie konečného výsledku. Je potrebné jasne pochopiť, že prvý koeficient bude zodpovedať prvému neznámemu zo systému, druhému - druhému atď.

Gaussova metóda podrobne popisuje riešenie lineárnych rovníc. Vďaka nemu je ľahké vykonať potrebné operácie a nájsť správny výsledok. Navyše ide o univerzálny nástroj na nájdenie spoľahlivej odpovede na rovnice akejkoľvek zložitosti. Možno aj preto sa tak často používa pri riešení SLAE.