Definícia Pascalovho trojuholníka. Výskumná práca z matematiky na tému "Pascalov trojuholník" (7. ročník)

História trojuholníka. Prvá zmienka o trojuholníkovej postupnosti binomických koeficientov nazývaných meru-prastaara sa vyskytuje v komentári indického matematika Halayudhu z 10. storočia k prácam iného matematika Pingala. Trojuholník preskúmal aj Omar Khayyam okolo roku 1100, a preto sa tento vzor v Iráne nazýva Khayyamský trojuholník. V roku 1303 vyšla kniha „Jasper Mirror of the Four Elements“ od čínskeho matematika Zhu Shijie, v ktorej bol na jednej z ilustrácií zobrazený Pascalov trojuholník; Verí sa, že ho vynašiel iný čínsky matematik Yang Hui (preto ho Číňania nazývajú Yang Huiov trojuholník). Pascalov trojuholník zobrazuje aj titulná strana učebnice aritmetiky, ktorú v roku 1529 napísal Peter Apian, astronóm z univerzity v Ingoltstadte. A v roku 1653 (v iných zdrojoch v roku 1655) vyšla kniha Blaise Pascala „Pojednanie o aritmetickom trojuholníku“.

Vlastnosti Pascalovho trojuholníka. Ak načrtnete Pascalov trojuholník, dostanete rovnoramenný trojuholník. V tomto trojuholníku sú na vrchu a po stranách jedničky. Každé číslo sa rovná súčtu dvoch čísel nad ním. V trojuholníku možno pokračovať donekonečna. Čiary trojuholníka sú symetrické okolo zvislej osi. Má aplikácie v teórii pravdepodobnosti a má zaujímavé vlastnosti.

Vlastnosti Pascalovho trojuholníka. Čísla trojuholníka sú symetrické (rovnaké) okolo zvislej osi. prvé a posledné číslo sa rovná 1. druhé a predposledné číslo sa rovná n. tretie číslo sa rovná trojuholníkovému číslu, ktoré sa tiež rovná súčtu čísel predchádzajúcich riadkov. štvrté číslo je štvorstenné. Súčet čísel vzostupnej diagonály od prvého prvku (n-1) riadku je n-tým Fibonacciho číslom. Ak odpočítate susedné číslo z rovnakého riadku od centrálneho čísla v párnom rade, dostanete katalánske číslo. Súčet čísel v n-tom riadku Pascalovho trojuholníka je 2n. Prvočísli delitelia čísel Pascalovho trojuholníka tvoria symetrické sebepodobné štruktúry. Ak sú v Pascalovom trojuholníku všetky nepárne čísla zafarbené na čierno a párne čísla na biele, potom sa vytvorí Sierpinského trojuholník. Všetky čísla v n-tom riadku, okrem jednotiek, sú deliteľné n práve vtedy, ak n je prvočíslo. Ak v rade s nepárnym číslom spočítame všetky čísla s poradovými číslami v tvare 3n, 3n+1, 3n+2, prvé dva súčty sa budú rovnať a tretí bude o 1 menej. Každé číslo v trojuholníku sa rovná počtu spôsobov, ako sa k nemu dostať z vrcholu, pohybom doprava-nadol alebo doľava-nadol.

Slávny americký vedec Martin Gardner povedal: „Pascalov trojuholník je taký jednoduchý, že ho dokáže zapísať aj desaťročné dieťa. Zároveň ukrýva nevyčerpateľné poklady a spája rôzne aspekty matematiky, ktoré na prvý pohľad nemajú nič spoločné. Takéto nezvyčajné vlastnosti nám umožňujú považovať Pascalov trojuholník za jednu z najelegantnejších schém v celej matematike.

S cieľom prijať Pascalov trojuholník, prepisujeme tabuľku 1 z časti „Skrátené vzorce na násobenie: stupeň súčtu a stupeň rozdielu“ v tejto podobe (tabuľka P.):

Tabuľka P. – Prirodzené mocniny dvojčlenu x + y

Teraz pomocou tretieho stĺpca tabuľky P. zostavíme nasledujúcu tabuľku - Pascalov trojuholník:

Teraz, keď do súčtu monočlenov zapíšeme iba koeficienty expanzií binomických mocnín, získame nasledujúcu tabuľku - Pascalov trojuholník:

Tabuľka - Pascalov trojuholník

Len pre každý prípad si pripomeňme, že Blaise Pascal je slávny fyzik a matematik, ktorý žil vo Francúzsku pred viac ako tromi storočiami.

V Pascalovom trojuholníku každý riadok zodpovedá riadku s rovnakým číslom v tabuľke P. V každom riadku Pascalovho trojuholníka však na rozdiel od tabuľky P iba expanzných koeficientov do súčtu monočlenov zodpovedajúceho stupňa dvojčlenu x + y.

Po vyplnení čiar Pascalovho trojuholníka číslami 0 a 1 zvážte čiary s číslami 2 a ďalej.

Hlavná vlastnosť Pascalovho trojuholníka, ktorý vám umožní postupne vyplniť jeho riadky, počnúc riadkom číslo 2, je ďalšia nehnuteľnosť :

Každý z riadkov , počnúc riadkom číslo 2, po prvé, začína a končí číslom 1, a po druhé, medzi číslami 1 sú čísla, každý z ktorých rovná súčtu dvoch čísel nad ním v predchádzajúcom riadku.

V skutočnosti sa číslo 2 v riadku číslo dva rovná súčtu čísel 1 plus 1 v prvom riadku. Rovnakým spôsobom sa čísla 3 a 3 v riadku číslo tri rovnajú súčtu čísel 1 plus 2 a súčtu čísel 2 plus 1 v druhom riadku.

To isté pre ostatné linky.

Vlastnosť Pascalovho trojuholníka teda umožňuje po vyplnení jednej z čiar ľahko vyplniť ďalšiu, t.j. získajte potrebné expanzné koeficienty do súčtu monočlenov ďalšieho stupňa dvojčlenu x + y.

Príklad. Napíšte rozklad formulára:

(x + r) 7 .

Riešenie . Použitím priamky Pascalovho trojuholníka s číslom 6 a použitím hlavnej vlastnosti Pascalovho trojuholníka dostaneme priamku s číslom 7:

Na našej stránke sa môžete zoznámiť aj so vzdelávacími materiálmi, ktoré vypracovali učitelia školiaceho strediska Resolventa na prípravu na Jednotnú štátnu skúšku a Jednotnú štátnu skúšku z matematiky.

Pre školákov, ktorí sa chcú dobre pripraviť a zložiť Jednotnú štátnu skúšku

Odbor školstva, športu a cestovného ruchu Okresného riaditeľstva Borisov

Štátna vzdelávacia inštitúcia

"Stredná škola č. 16 v Borisove"

Pascalov trojuholník

žiak 7. ročníka "A"

Aboyan Elizaveta Alexandrovna,

adresa bydliska: Borisov,

Smolevičiskaja ul., 8, 76-51-80

vedúci:

Ishchuk Olga Eduardovna, učiteľka matematiky

Borisov, 2016

Obsah

Úvod

V tomto školskom roku sme začali študovať nový predmet „geometria“.

Jedna z kapitol kurzu geometrie sa nazýva „Trojuholníky“. Táto téma ma veľmi zaujala. Vždy som sa chcel dozvedieť veľa nových vecí o trojuholníkoch, ich pôvode a význame v našom živote. Koniec koncov, svet trojuholníkov je veľmi tajomný a zaujímavý.

Trojuholník je prvý geometrický útvar nájdený v starovekých ozdobách. Pri štúdiu literatúry som sa dozvedel, že v Egypte symbolizoval triádu duchovnej vôle, lásky, intuície a vyššej mysle človeka, teda jeho osobnosti či duše.

Aztékovia používali ako symbol časového cyklu obraz trojuholníka s vrcholom navrchu spojeným s obráteným trojuholníkom. Trojuholník kombinovaný s krížom tvorí alchymistické znamenie síry.

Rovnostranný trojuholník, symbolizujúci podľa hebrejskej tradície dokonalosť, medzi kresťanmi znamená Trojicu – Otec, Syn a Duch Svätý.

Existuje veľa druhov trojuholníkov, no najviac ma zaujal Pascalov trojuholník.

Výskumný problém:

Problém môjho výskumu spočíva v tom, že som sa snažil identifikovať a ukázať, ako široko sa trojuholníky využívajú v praktickom živote.

Praktický význam štúdie:

Táto výskumná práca môže byť použitá ako doplnkový materiál na hodiny geometrie, na mimoškolskú prácu v matematike.

Účel štúdie:

Oboznámte sa s Pascalovým trojuholníkom a jeho aplikáciou ako typu trojuholníka;

hypotéza:

Ak majú čísla Pascalovho trojuholníka špeciálne vlastnosti, možno ho považovať za jedinečný na riešenie rôznych problémov

Úlohy:

Určite uplatnenie vlastností čísel Pascalovho trojuholníka;

Preštudujte si literatúru na tému „Pascalov trojuholník“;

Identifikujte vlastnosti čísel, ktoré tvoria Pascalov trojuholník;

Formulovať záver a výsledky štúdie;

Predmet štúdia: trojuholník ako geometrický útvar

Predmet výskumu: vlastnosti Pascalovho trojuholníka

Metódy výskumu:

Analytická a štatistická práca s referenčnou, vedeckou, náučnou a odbornou literatúrou;

Hľadanie informácií o internetových zdrojoch.

Pracovné oblasti:

Výber problému, literárnych zdrojov, vypracovanie plánu;

Práca s literatúrou a inými zdrojmi;

Spracovanie prijatých údajov;

Analýza výsledkov, formulácia záverov;

Multimediálne školenie.

Hlavné fázy štúdia: prípravné; aktívny;

Priebeh štúdia: reflexívne; analytické; prezentačný.

Teoretická časť práce

Úvod do Pascalovho trojuholníka

Moje prvé zoznámenie s Pascalovým trojuholníkom sa udialo pri štúdiu témy „Umocnenie dvojčlenu“ na hodine algebry.Už poznám vzorce na druhú mocninu súčtu a druhú mocninu rozdielu, kocku súčtu a druhú mocninu rozdielu. Všimol som si, že môžete získať vzorce na zvýšenie dvojčlenu na štvrtú, piatu atď. stupeň je možný vzhľadom na určitý vzor v koeficientoch a stupňoch každého termínu.

Koeficienty všetkých čiar môžu byť usporiadané vo forme trojuholníka:

Tak som sa zoznámil s Pascalovým trojuholníkom a rozhodol som sa pokračovať v štúdiu aritmetického trojuholníka.

Blaise Pascal - francúzsky matematik

B Les Pascal (19. jún 1623, Clermont-Ferrand, - 19. august 1662, Paríž) – francúzsky matematik, fyzik, spisovateľ a filozof.

Pascal bol prvotriedny matematik. Pomohol vytvoriť dve hlavné nové oblasti matematického výskumu. Ako šestnásťročný napísal pozoruhodné pojednanie na tému projektívna geometria a v roku 1654 si dopisoval s Pierrom de Fermatom o teórii pravdepodobnosti, ktorá mala následne zásadný vplyv na rozvoj modernej ekonómie.

Pascalov trojuholník ako typ trojuholníka

Pri štúdiu typov trojuholníkov som zistil, že Pascalov trojuholník je aritmetický trojuholník tvorený binomickými koeficientmi. Pomenovaný po Blaise Pascalovi. V skutočnosti bol Pascalov trojuholník známy dávno pred rokom 1653, dátumom vydania Pojednania o aritmetickom trojuholníku. Tento trojuholník je teda reprodukovaný na titulnej strane učebnice aritmetiky, ktorú na začiatku 16. storočia napísal Peter Apian, astronóm z univerzity v Ingoltstadte. Trojuholník je znázornený aj na ilustrácii v knihe čínskeho matematika vydanej v roku 1303. Omar Khayyam, ktorý bol nielen filozofom a básnikom, ale aj matematikom, vedel o existencii trojuholníka už okolo roku 1100, pričom si ho požičal zo skorších čínskych alebo indických zdrojov.

Z knihy „Matematické romány“ (M., Mir, 1974) od Martina Gardnera som sa dozvedel aj to, že „Pascalov trojuholník je taký jednoduchý, že ho dokáže zapísať aj desaťročné dieťa a zároveň v sebe skrýva nevyčerpateľné množstvo poklady a spájajú rôzne aspekty matematiky, ktoré na prvý pohľad nemajú nič spoločné. Takéto nezvyčajné vlastnosti nám umožňujú považovať Pascalov trojuholník za jednu z najelegantnejších schém v celej matematike.

Pozrel som sa na schému zostrojenia trojuholníka, ktorú navrhol Hugo Steinhaus vo svojom klasickom „Matematickom kaleidoskope“: Predpokladajme, že vstúpite do mesta, ako je znázornené na diagrame modrou šípkou, a môžete sa pohybovať len dopredu, alebo lepšie povedané, neustále si vyberať, dopredu doľava alebo dopredu doprava. Uzly, na ktoré sa dá dostať len jedným spôsobom, sú označené zelenými emotikonmi, bod, ktorý je možné dosiahnuť dvoma spôsobmi, je znázornený červeným emotikonom a tri ružovými emotikonmi. Toto je jedna z možností konštrukcie trojuholníka.

(Obrázok 1)

Pri štúdiu odbornej literatúry som sa naučil, že štruktúra Pascalovho trojuholníka sa dá ešte jednoduchšie vysvetliť slovami: každé číslo sa rovná súčtu dvoch čísel nad ním .

Všetko je elementárne, no skrýva sa v tom toľko zázrakov. Ak načrtnete Pascalov trojuholník, dostanete rovnoramenný trojuholník. V tomto trojuholníku sú na vrchu a po stranách jedničky. Každé číslo sa rovná súčtu dvoch čísel nad ním. V trojuholníku možno pokračovať donekonečna. Je symetrický okolo zvislej osi prechádzajúcej jeho vrcholom. Pozdĺž uhlopriečok (pokiaľ trojuholník môže mať uhlopriečky, ale nehádajme sa, takáto terminológia sa nachádza v publikáciách), rovnobežne so stranami trojuholníka (na obrázku sú označené zelenými čiarami), trojuholníkové čísla a ich zovšeobecnenia na prípade sú postavené priestory všetkých rozmerov. Trojuholníkové čísla v najbežnejšej a najznámejšej forme ukazujú, koľko kruhov, ktoré sa dotýkajú, môže byť usporiadaných vo forme trojuholníka - ako klasický príklad počiatočné usporiadanie guľôčok v biliarde. K jednej minci môžete pripevniť ďalšie dve - spolu tri - k dvom môžete pripojiť ďalšie tri - spolu šesť.

Získali sme trojuholníkové čísla na obrázku: 3; 6; 10; 15.

Pokračujúc vo zväčšovaní riadkov pri zachovaní tvaru trojuholníka dostaneme riadok 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66..., čo ukazuje druhá zelená čiara. Tento nádherný rad, ktorého každý člen sa rovná súčtu prirodzeného radu čísel (55 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10), obsahuje aj veľa známych známe milovníkom matematiky: 6 a 28 - dokonalé čísla, 36 je štvorcové číslo, 8 a 21 sú Fibonacciho čísla.

Ďalšia zelená čiara nám ukáže štvorstenné čísla – jednu guľu môžeme dať na tri – celkom štyri, šesť pod tri – spolu desať atď.

Ak chcete nájsť súčet čísel na ľubovoľnej uhlopriečke od začiatku po miesto, ktoré nás zaujíma, stačí sa pozrieť na číslo nachádzajúce sa dole a naľavo od posledného výrazu (vľavo pre pravú uhlopriečku, vpravo pre ľavú uhlopriečka a vo všeobecnosti - bližšie k stredu trojuholníka). Napríklad, chceme vypočítať súčet čísel v prirodzenom rade od 1 do 9. Keď „zostúpime“ diagonálne k číslu 9, uvidíme vľavo dole od neho číslo 45 požadovanú sumu. Aký je súčet prvých ôsmich trojuholníkových čísel? Nájdeme ôsme číslo na druhej diagonále a posunieme sa dole a doľava. odpoveď: 120.

(Obrázok 2)

Pascalov trojuholník má aplikácie v teórii pravdepodobnosti a má pozoruhodné vlastnosti.

Vlastnosti Pascalovho trojuholníka a ich uplatnenie pri riešení úloh

Pascal podrobne preskúmal vlastnosti a aplikácie svojho „trojuholníka“. Ako príklad uvediem iba 3 vlastnosti „trojuholníka“, ktoré našiel sám Pascal; v tomto prípade budem postupovať od umiestnenia „trojuholníka“ v rovine, ktorý označil Pascal, a budem hovoriť o horizontálnych a vertikálnych radoch.

Vlastnosť 1: Každé číslo A v tabuľke sa rovná súčtu čísel predchádzajúceho vodorovného riadku, počínajúc od ľavého až po číslo bezprostredne nad číslom A (v ktorom sú bunky obsahujúce výrazy, ktoré tvoria súčet A, tieňované).(Obrázok 4)

(Obrázok 4)(Obrázok 5)(Obrázok 6)

Vlastnosť 2: Každé číslo A v tabuľke sa rovná súčtu čísel v predchádzajúcom zvislom riadku, počnúc od horného až po číslo A hneď naľavo.(Obrázok 5)

Vlastnosť 3:Každé číslo v tabuľke, zmenšené o jedno, sa rovná súčtu všetkých čísel vypĺňajúcich obdĺžnik ohraničený tými zvislými a vodorovnými riadkami, na ktorých priesečníku stojí číslo A (tieto riadky samotné nie sú zahrnuté v obdĺžniku v otázka).(Obrázok 6)

Pascalov trojuholník a teória pravdepodobnosti.

Blaise Pascal a ďalší veľký Francúz Pierre Fermat sa stali zakladateľmi teórie pravdepodobnosti, keď Pascal a Fermat nezávisle poskytli správne vysvetlenie takzvaného stávkového paradoxu. Dvaja hráči hrajú „neškodnú“ hru (to znamená, že obaja majú rovnakú šancu na výhru), pričom sa dohodnú, že prvý, kto vyhrá šesť hier, získa celú cenu. Predpokladajme, že hra sa zastavila skôr, ako jeden z nich vyhral cenu (napríklad prvý hráč vyhral päť hier a druhý hráč vyhral tri). Ako spravodlivo rozdeliť výhru? Teda podľa jedného rozhodnutia mala byť výhra rozdelená v pomere 5:3, t.j. v pomere k vyhratým partiám, podľa iného - v pomere 2:1 (tu sa zdôvodnenie zrejme uskutočnilo takto: keďže prvý hráč vyhral ďalšie dve hry, čo je tretina zo šiestich hier potrebných na víťazstvo, by mal dostať jednu tretinu z ceny a zvyšok sa musí rozdeliť na polovicu).

Medzitým je potrebné rozdeliť v pomere 7: 1. Pascal aj Fermat považovali paradox rozdelenia stávok za problém pravdepodobnosti a stanovili, že spravodlivé rozdelenie bolo úmerné šancám prvého hráča na výhru ceny. Predpokladajme, že prvému hráčovi zostáva už len jedna hra na víťazstvo a druhému treba vyhrať ďalšie tri hry, aby vyhral, ​​a hráči pokračujú v hre a hrajú všetky tri hry, aj keď sa niektoré z nich ukážu ako zbytočné na určenie víťaza. . Na takéto pokračovanie všetky 2 3 = 8 možných výsledkov bude rovnako pravdepodobných. Keďže druhý hráč získa cenu iba v jednom výsledku (ak vyhrá všetky tri hry) a prvý hráč vyhrá v ostatných prípadoch, pomer je 7:1.

Vo vede a praxi sa často vyskytujú problémy, pri ktorých riešení je potrebné vytvárať rôzne kombinácie z konečného počtu prvkov a spočítať počet kombinácií. Takéto problémy sa nazývajú kombinatorické problémy..

Pozrime sa na základné vzorce kombinatoriky:

Toto je akákoľvek usporiadaná podmnožinamz prvkov súpravyn.

.

V Pascalovom trojuholníkučíslo označujúce, koľko spôsobov si môžete vybraťkprvky zo sady obsahujúcejnrôzne prvky, stojí na križovatkek-tá uhlopriečka an-tý riadok. Na výpočet kombinácie , nZhora idem na siedmu uhlopriečku a počítam tri čísla vodorovne. Dostanem číslo 35.

Na výpočet umiestnení môžete použiť aj Pascalov trojuholník.

.Ak potrebujeme počítať, potom to vedieť a 3!=6, dostaneme hodnotu tohto umiestnenia 210.

Dospel som k záveru, že uvažované vlastnosti Pascalovho trojuholníka potvrdzujú slová Martina Gardnera, že Pascalov trojuholník je jednou z najelegantnejších schém v celej matematike.

Relevantnosť štúdie je spôsobená každoročnou komplikáciou úloh CT, ktorá si vyžaduje hlboké znalosti nielen z algebry, ale aj z geometrie.

Praktická časť práce

Vo svojej praktickej práci som vybral niekoľko problémov na tému „Pascalov trojuholník“

Úloha 1. V predajni Filatelia sa predáva 8 rôznych sád známok venovaných športovej tematike. Koľkými spôsobmi si z nich môžete vybrať 3 sady?

Riešenie:

V Pascalovom trojuholníku číslo, ktoré ukazuje, koľkými spôsobmi možno vybrať k prvkov z množiny obsahujúcej n rôznych prvkov, stojí na priesečníku k-tej uhlopriečky a n-tého radu.

Nájdem ôsmu uhlopriečku zhora a spočítam tri čísla vodorovne. Dostal som číslo 56.(Obrázok 8)

Úloha 2. Zo šiestich lekárov na klinike je potrebné poslať dvoch do kurzov ďalšieho vzdelávania. Koľkými spôsobmi sa to dá urobiť?

Riešenie:

Zhora nájdem šiestu uhlopriečku a vodorovne spočítam dve čísla. Dostanem číslo 15.

(P(obrázok 9)

Úloha 3. Balenie obsahuje 7 linajkových a 5 štvorčekových zošitov rovnakej veľkosti. Z balenia si náhodne vyberte 3 zošity. Aká je pravdepodobnosť, že všetky tri zošity skončia v štvorci?

Riešenie. Najprv zistime celkový počet možných výsledkov, t.j. koľkými spôsobmi môžeme vybrať 3 zošity z 12 zošitov?

Úloha 4. V rovine je 10 priamych čiar a medzi nimi nie sú žiadne rovnobežné čiary a práve dve priame čiary prechádzajú každým bodom ich priesečníka. Koľko majú priesečníkov?

Riešenie: Odpoveď je na priesečníku -45 bodov!

Úloha 5.Vo vrecúšku je 10 loptičiek očíslovaných 1 až 10. Náhodne sa vyžrebujú 2 loptičky. Aká je pravdepodobnosť, že to budú loptičky s číslami 7 a 3?

Môžete odobrať 2 loptičky z 10 dostupných 45 spôsobmi. Pravdepodobnosť našej udalosti je 2 zo 45.(Obrázok 11)

Pri praktickom výskume som dospel k nasledujúcim záverom: pri riešení kombinatorických úloh a problémov v teórii pravdepodobnosti môžete použiť nielen kombinatorické vzorce, ale aj vlastnosti Pascalovho trojuholníka.

Záver

Práca na zvolenej téme prebiehala plne v súlade s výskumným zámerom, a to: bol stanovený predmet a predmet štúdie, ciele a zámery a stanovené očakávané výsledky. Boli naznačené použité výskumné metódy a definovaný problém.

V tejto práci bol uvedený všeobecný opis trojuholníka ako geometrického útvaru, podrobne bol skúmaný Pascalov trojuholník a jeho vlastnosti.

Dospel som k záveru, že jednou z najznámejších a najelegantnejších numerických schém v celej matematike je Pascalov trojuholník. Pascalov trojuholník je oveľa širší pojem, ako som si predstavoval. Nielenže má úžasné vlastnosti, ale v stredovekej architektúre ho používali aj geodeti a architekti na stavbu proporčných schém a na zostrojenie pravých uhlov. Pomocou Pascalovho trojuholníka môžete riešiť problémy z teórie pravdepodobnosti a kombinatoriky.S kombinatorickými úlohami som sa stretol na hodinách matematiky v 6. ročníku a pri riešení úloh z olympiády

Praktický význam tejto práce je nasledovný: po preštudovaní množstva literatúry o tejto problematike som získal ďalšie poznatky z oblasti matematiky a upevnil som si záujem o túto vedu.

Dozvedel som sa, že sa používa Pascalov trojuholník:

vedomý algebry

Pri riešení kombinatorických úloh

Riešiť rôzne úlohy z oblasti fyziky

S príchodom počítačov sa zostrojenie Pascalovho trojuholníka stalo obľúbeným problémom začiatočníkov pri učení základov programovania.

Práca na túto tému sa ukázala ako zaujímavá a užitočná.

Zoznam použitých zdrojov a literatúry

1. Abachiev S.K., Rainbow fraktalita Pascalovho trojuholníka / S.K Abachiev, - Minsk, 1999.-168s.

2. Galkin E.V. Neštandardné úlohy z matematiky. Logické úlohy. Kniha pre študentov ročníkov 5-11 Moskva, „Osvietenie“, 1996. – 194 s.

3. Martin Gardner. Kapitola 17. Nevyčerpateľné čaro Pascalovho trojuholníka / Matematické romány. - Minsk: Mir, 1974.- 456 s.

4. Pascalov trojuholník. V. A. Uspensky. - 2. vyd. – Moskva: Nauka, 1979. – 48 s.

5. Fuchs D., Fuchs M., Aritmetika binomických koeficientov / Quantum. - 1970. - Číslo 6. - S.17-25.

6. Encyklopédia pre deti. T 11. Matematika / Ch. vyd. M. Aksenová; metóda. a resp. vyd. V. Volodin. – M.: Avanta+, 2004. – 688 rokov.

7.

8. http:// davaiknam. ru/ text/ volshebnij- treugolenik.

Numerický Pascalov trojuholník

V hornej línii trojuholníka je osamelá jednotka. Vo zvyšných riadkoch je každé číslo súčtom jeho dvoch susedov na poschodí vyššie - vľavo a vpravo. Ak niektorý sused chýba, považuje sa za nulu. Trojuholník sa nekonečne rozširuje smerom nadol; uvádzame iba prvých osem riadkov: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 ...

Označme písmenom n číslo riadku trojuholníka a písmenom k ​​číslo čísla v riadku (číslovanie začína v oboch prípadoch od nuly). Najčastejšie sa číslo v n-tom riadku a na k-tom mieste v tomto riadku označuje C n k , menej často - n k .

Uveďme len pár faktov súvisiacich s Pascalovým trojuholníkom.

Čísla v n-tom riadku trojuholníka sú binomické koeficienty, teda koeficienty v expanzii n-tého stupňa Newtonov binom: a + b n = c k = 0 n Cn k ak k b n - k.

Súčet všetkých čísel v n-tom riadku sa rovná n-tej mocnine dvoch: ∑ k = 0 n C n k = 2 n . Tento vzorec získame z binomického vzorca, ak dáme a = b = 1.

Je možné dokázať explicitný vzorec na výpočet binomického koeficientu: C n k = n !

k! n - k !.

Ak sú riadky v Pascalovom trojuholníku zarovnané doľava, potom sú súčty čísel umiestnených pozdĺž uhlopriečok zľava doprava a zdola nahor rovnaké.

Fibonacciho čísla - 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 … (každé číslo v tejto sekvencii sa rovná súčtu predchádzajúcich dvoch a dve začínajú sekvenciu): 1 ⬃ 1 2 1 ⬃ ⬃ ⬃ 3 5 1 1 ⬃ ⬃ 8 13 1 2 1 ⬃ ⬃ 21 34 1 3 3 1 ⬃ ⬃ 55 89 1 4 6 4 1 ⬃ ⬃ 144 233 1 5 35 10 15 20 15 6 1 ⬃ ⬃ 987 1597 1 7 21 35 35 21 7 1 ⬃ ⬃ 2584 4181 … ⬃ ⬃Ak vyfarbíte nepárne čísla v Pascalovom trojuholníku jednou farbou a párne čísla druhou, získate nasledujúci obrázok (na obrázku 10.1. „Pascalov-Sierpinského trojuholník“ sú takto vyfarbené čísla v prvých 128 riadkoch) : Podobný obrázok je možné zostaviť nasledovne. V tieňovanom trojuholníku premaľte jeho stredný trojuholník (tvorený stredmi strán pôvodného trojuholníka) inou farbou. Tri malé trojuholníky umiestnené v rohoch veľkého zostanú namaľované v rovnakej farbe. Urobme s každým z nich presne tak, ako sme to urobili s veľkým, to znamená, že v každom prefarbíme stredný trojuholník. To isté urobíme so zvyšnými trojuholníkmi starej farby. Ak sa tento postup opakuje donekonečna, na mieste pôvodného trojuholníka zostane dvojfarebná postava. Jeho časť, ktorá nie je prefarbená, sa nazýva

Sierpinského trojuholník . Prvých niekoľko fáz konštrukcie Sierpinského trojuholníka je znázornených na obrázku- koniec koncov pozostáva z troch kópií seba samého, zmenšených na polovicu (sú to časti trojuholníka Sierpinského, obsiahnuté v malých trojuholníkoch susediacich s rohmi). Sebapodobnosť je jednou z charakteristických vlastností fraktály , o ktorom si povieme v kapitole 44." L-systémy". V tejto kapitole bude spomenutý aj Sierpinského trojuholník.

O záhadnom spojení Pascalovho trojuholníka a prvočísel sa dočítame v knihe v krátkej poznámke od Yu. Nahraďme čísla v Pascalovom trojuholníku ich zvyškami z delenia číslom riadku. Usporiadajme čiary vo výslednom trojuholníku tak, aby nasledujúci riadok začínal dva stĺpce napravo od začiatku predchádzajúceho (pozri obrázok 10.3. „Vzťah Pascalovho trojuholníka s prvočíslami“). Potom budú stĺpce s prvočíslami pozostávať iba z núl a stĺpce so zloženými číslami budú obsahovať nenulové číslo.

Binomické koeficienty sú koeficienty v expanzii (1 + x)n v mocninách x (tzv. Newtonov binomik): Inými slovami, (1 + x)n je generujúca funkcia pre binomické koeficienty. Hodnota binomického koeficientu je určená pre všetky celé čísla... ... Wikipedia

Wikislovník má článok „trojuholník“ Trojuholník v širšom zmysle je objekt trojuholníkového tvaru alebo trojica objektov spojených do párov ... Wikipedia

Tabuľka čísel, ktoré sú binomickými koeficientmi. V tejto tabuľke sú jednotky na stranách rovnoramenného trojuholníka a každé zo zostávajúcich čísel sa rovná súčtu dvoch čísel nad ním vľavo a vpravo: V riadku s číslom n+1... .. . Matematická encyklopédia

Fraktál Sierpinského trojuholníka, jeden z dvojrozmerných analógov Cantorovej množiny, navrhnutý poľským matematikom Sierpinskim ... Wikipedia

Konštrukcia Reuleauxovho trojuholníka Reuleauxov trojuholník [* 1] je reprezentovaný ... Wikipedia

Tabuľka trojuholníkových čísel na zostavenie binomických koeficientov (pozri Newtonov binom). P. t. navrhol B. Pascal (Pozri Pascal). Pozri aritmetický trojuholník...

Pascalov trojuholník, tabuľka trojuholníkových čísel na zostrojenie binomických koeficientov (pozri Newtonov binom). Po stranách A. t sú jednotky, vo vnútri súčtu dvoch horných čísel. V (n + 1) riadku binomických koeficientov... ... Veľká sovietska encyklopédia

Rovnako ako Pascalov trojuholník... Matematická encyklopédia

V matematike sú binomické koeficienty koeficienty v expanzii Newtonovho binomu v mocninách x. Koeficient pre sa označuje alebo a číta sa „binomický koeficient od n po k“ (alebo „ze od n po k“): V ... Wikipedia

Koeficienty v expanzii (1 + x)n v mocninách x (tzv. Newtonov binom): Inými slovami, (1 + x)n je generujúca funkcia pre binomické koeficienty. Hodnota binomického koeficientu je definovaná pre všetky celé čísla n a k. Explicitné vzorce ... Wikipedia

knihy

• Pascalov trojuholník. Kniha 102, V. A. Uspensky. Táto prednáška pojednáva o jednej dôležitej numerickej tabuľke (ktorá sa nazýva Pascalov trojuholník), ktorá je užitočná pri riešení množstva výpočtových problémov. Spolu s riešením takýchto problémov...
• Pascalov trojuholník. Kniha č. 102, Uspensky V.A.. Táto prednáška pojednáva o jednej dôležitej numerickej tabuľke (ktorá sa nazýva Pascalov trojuholník), ktorá je užitočná pri riešení množstva výpočtových problémov. Spolu s riešením takýchto problémov...