Limita smeruje k 1. Univerzálna definícia limity funkcie

Pozrime sa na niekoľko názorných príkladov.

Nech x je číselná premenná, X oblasť jej zmeny. Ak je každé číslo x patriace do X spojené s určitým číslom y, potom hovoria, že funkcia je definovaná na množine X, a píšu y = f(x).
Množina X je v tomto prípade rovina pozostávajúca z dvoch súradnicových osí – 0X a 0Y. Ukážme si napríklad funkciu y = x 2. Osi 0X a 0Y tvoria X - oblasť jeho zmeny. Obrázok jasne ukazuje, ako sa funkcia správa. V tomto prípade hovoria, že funkcia y = x 2 je definovaná na množine X.

Množina Y všetkých čiastkových hodnôt funkcie sa nazýva množina hodnôt f(x). Inými slovami, množina hodnôt je interval pozdĺž osi 0Y, kde je funkcia definovaná. Znázornená parabola jasne ukazuje, že f(x) > 0, pretože x2 > 0. Preto rozsah hodnôt bude . Na mnohé hodnoty sa pozeráme po 0Y.

Množina všetkých x sa nazýva definičný obor f(x). Pozeráme sa na mnohé definície podľa 0X a v našom prípade je rozsah prijateľných hodnôt [-; +].

Bod a (a patrí do alebo X) sa nazýva limitný bod množiny X, ak v ktoromkoľvek okolí bodu a sú body množiny X odlišné od a.

Nastal čas pochopiť, aká je hranica funkcie?

Zavolá sa čisté b, ku ktorému má funkcia tendenciu ako x smeruje k číslu a limit funkcie. Toto je napísané takto:

Napríklad f(x) = x 2. Musíme zistiť, k čomu má funkcia tendenciu (nerovná sa) pri x 2. Najprv si zapíšeme limitu:

Pozrime sa na graf.

Nakreslíme čiaru rovnobežnú s osou 0Y cez bod 2 na osi 0X. Pretína náš graf v bode (2;4). Pustime kolmicu z tohto bodu na os 0Y a dostaneme sa do bodu 4. O to sa naša funkcia snaží pri x 2. Ak teraz dosadíme hodnotu 2 do funkcie f(x), odpoveď bude rovnaká. .

Teraz, než prejdeme k výpočet limitov, uveďme základné definície.

Zaviedol ho francúzsky matematik Augustin Louis Cauchy v 19. storočí.

Predpokladajme, že funkcia f(x) je definovaná na určitom intervale, ktorý obsahuje bod x = A, ale nie je vôbec potrebné, aby bola definovaná hodnota f(A).

Potom, podľa Cauchyho definície, limit funkcie f(x) bude určité číslo B, pričom x bude smerovať k A, ak pre každé C > 0 existuje číslo D > 0, pre ktoré

Tie. ak je funkcia f(x) v x A obmedzená limitou B, zapíše sa to v tvare

Limit sekvencie určité číslo A sa volá, ak pre ľubovoľne malé kladné číslo B > 0 existuje číslo N, pre ktoré všetky hodnoty v prípade n > N spĺňajú nerovnosť

Táto hranica vyzerá takto.

Postupnosť, ktorá má limitu, sa bude nazývať konvergentná, ak nie, budeme ju nazývať divergentná.

Ako ste si už všimli, limity označuje ikona lim, pod ktorou sa zapíše nejaká podmienka pre premennú a následne sa zapíše samotná funkcia. Takáto množina sa bude čítať ako „limit funkcie podliehajúcej...“. Napríklad:

- limita funkcie, pretože x má tendenciu k 1.

Výraz „približuje sa k 1“ znamená, že x postupne nadobúda hodnoty, ktoré sa nekonečne blížia k 1.

Teraz je jasné, že na výpočet tohto limitu stačí nahradiť x hodnotou 1:

Okrem konkrétnej číselnej hodnoty môže mať x tendenciu k nekonečnu. Napríklad:

Výraz x znamená, že x sa neustále zvyšuje a blíži sa k nekonečnu bez obmedzenia. Preto nahradením nekonečna namiesto x je zrejmé, že funkcia 1-x bude mať tendenciu , ale s opačným znamienkom:

teda výpočet limitov ide o nájdenie jeho konkrétnej hodnoty alebo určitej oblasti, do ktorej spadá funkcia obmedzená limitom.

Na základe vyššie uvedeného vyplýva, že pri výpočte limitov je dôležité použiť niekoľko pravidiel:

Porozumenie podstata limitu a základné pravidlá limitné výpočty, získate kľúčový prehľad o tom, ako ich vyriešiť. Ak vám nejaký limit spôsobuje ťažkosti, tak napíšte do komentárov a my vám určite pomôžeme.

Poznámka: Právna veda je veda o zákonoch, ktorá pomáha pri konfliktoch a iných životných ťažkostiach.

Téma 4.6 Výpočet limitov

Limita funkcie nezávisí od toho, či je definovaná v limitnom bode alebo nie. Ale v praxi výpočtu limitov elementárnych funkcií má táto okolnosť značný význam.

1. Ak je funkcia elementárna a ak limitná hodnota argumentu patrí do jej definičnej oblasti, potom sa výpočet limity funkcie redukuje na jednoduchú substitúciu limitnej hodnoty argumentu, pretože limita elementárnej funkcie f (x) at x snaha oA , ktorý je zahrnutý v definičnom obore, sa rovná parciálnej hodnote funkcie v x = A, t.j. lim f(x)=f( a) .

2. Ak x má tendenciu k nekonečnu alebo argument smeruje k číslu, ktoré nepatrí do oblasti definície funkcie, potom si v každom takomto prípade nájdenie limity funkcie vyžaduje špeciálny výskum.

Nižšie sú uvedené najjednoduchšie limity založené na vlastnostiach limitov, ktoré možno použiť ako vzorce:

Zložitejšie prípady hľadania limity funkcie:

každý sa posudzuje samostatne.

Táto časť načrtne hlavné spôsoby zverejňovania neistôt.

1. Prípad, keď x snaha oA funkcia f(x) predstavuje pomer dvoch infinitezimálnych veličín

a) Najprv sa musíte uistiť, že limitu funkcie nemožno nájsť priamou substitúciou a pri naznačenej zmene argumentu predstavuje pomer dvoch nekonečne malých veličín. Transformácie sa vykonávajú tak, aby sa zlomok zmenšil o faktor smerujúci k 0. Podľa definície limity funkcie argument x smeruje k svojej limitnej hodnote, nikdy sa s ňou nezhoduje.

Vo všeobecnosti, ak hľadáme limitu funkcie pri x snaha oA , potom si musíte pamätať, že x nenaberá žiadnu hodnotu A, t.j. x sa nerovná a.

b) Aplikuje sa Bezoutova veta. Ak hľadáte limitu zlomku, ktorého čitateľ a menovateľ sú polynómy, ktoré zanikajú v limitnom bode x = A, potom podľa vyššie uvedenej vety sú oba polynómy deliteľné x- A.

c) Iracionalita v čitateľovi alebo menovateli sa zničí vynásobením čitateľa alebo menovateľa konjugátom k iracionálnemu výrazu, potom sa po zjednodušení zlomok zníži.

d) Používa sa 1. pozoruhodný limit (4.1).

e) Používa sa veta o ekvivalencii infinitezimál a tieto princípy:

2. Prípad, keď x snaha oA funkcia f(x) predstavuje podiel dvoch nekonečne veľkých veličín

a) Delenie čitateľa a menovateľa zlomku najväčšou mocninou neznámej.

b) Vo všeobecnosti môžete použiť pravidlo

3. Prípad, keď x snaha oA funkcia f (x) predstavuje súčin nekonečne malého množstva a nekonečne veľkého

Zlomok sa transformuje do tvaru, ktorého čitateľ a menovateľ súčasne smerujú k 0 alebo k nekonečnu, t.j. prípad 3 sa redukuje na prípad 1 alebo prípad 2.

4. Prípad, keď x snaha oA funkcia f (x) predstavuje rozdiel dvoch kladných nekonečne veľkých veličín

Tento prípad je zredukovaný na typ 1 alebo 2 jedným z nasledujúcich spôsobov:

a) privedenie zlomkov k spoločnému menovateľovi;

b) prevod funkcie na zlomok;

c) zbavenie sa iracionality.

5. Prípad, keď x snaha oA funkcia f(x) predstavuje mocninu, ktorej základ má tendenciu k 1 a exponent k nekonečnu.

Funkcia je transformovaná tak, aby používala 2. pozoruhodnú limitu (4.2).

Príklad. Nájsť .

Pretože x má tendenciu k 3, potom čitateľ zlomku smeruje k číslu 3 2 +3 *3+4=22 a menovateľ smeruje k číslu 3+8=11. teda

Príklad

Tu je čitateľ a menovateľ zlomku x inklinovať k 2 tendenciu k 0 (neistota typu), rozdelíme čitateľa a menovateľa na faktor, dostaneme lim(x-2)(x+2)/(x-2)(x-5)

Príklad

Vynásobením čitateľa a menovateľa výrazom spojeným s čitateľom dostaneme

Otvorením zátvoriek v čitateli dostaneme

Príklad

Úroveň 2 Príklad. Uveďme príklad aplikácie konceptu limity funkcie v ekonomických výpočtoch. Zoberme si bežnú finančnú transakciu: požičanie sumy S 0 s podmienkou, že po určitom čase T suma bude vrátená S T. Určme hodnotu r relatívny rast vzorec

r = (ST - S 0)/S 0 (1)

Relatívny rast možno vyjadriť v percentách vynásobením výslednej hodnoty r o 100.

Zo vzorca (1) je ľahké určiť hodnotu S T:

S T= S 0 (1 + r)

Pri výpočte dlhodobých úverov pokrývajúcich niekoľko celých rokov sa používa schéma zloženého úročenia. Spočíva v tom, že ak za 1. roč S 0 sa zvýši na (1 + r) krát, potom druhý rok v (1 + r) krát zvýšenie sumy S 1 = S 0 (1 + r), tj S 2 = S 0 (1 + r) 2. Dopadá to podobne S 3 = S 0 (1 + r) 3. Z uvedených príkladov môžeme odvodiť všeobecný vzorec na výpočet rastu sumy za n rokov pri výpočte pomocou schémy zložených úrokov:

S n= S 0 (1 + r) n.

Vo finančných výpočtoch sa používajú schémy, kde sa zložený úrok počíta niekoľkokrát do roka. V tomto prípade je to stanovené ročná sadzba r A počet prírastkov za rok k. Časové rozlíšenie sa spravidla robí v rovnakých intervaloch, to znamená v dĺžke každého intervalu Tk tvorí časť roka. Potom za obdobie v T rokov (tu T nie nevyhnutne celé číslo). S T vypočítané podľa vzorca

(2)

kde je celočíselná časť čísla, ktorá sa zhoduje so samotným číslom, ak napr. T? celé číslo.

Nech je ročná sadzba r a vyrába sa n prírastky za rok v pravidelných intervaloch. Potom za rok sumu S 0 sa zvýši na hodnotu určenú vzorcom

(3)

V teoretickej analýze av praxi finančnej činnosti sa často stretávame s pojmom „priebežne pripisovaný úrok“. Ak chcete prejsť na priebežne nahromadený úrok, musíte vo vzorcoch (2) a (3) neobmedzene zvyšovať čísla k A n(teda riadiť k A n do nekonečna) a vypočítajte, k akej hranici budú funkcie smerovať S T A S 1. Aplikujme tento postup na vzorec (3):

Všimnite si, že limit v zložených zátvorkách sa zhoduje s druhým pozoruhodným limitom. Z toho vyplýva, že pri ročnej sadzbe r s priebežne pripisovaným úrokom, sumu S 0 za 1 rok sa zvýši na hodnotu S 1 *, ktorý sa určí zo vzorca

S 1 * = S 0 e r (4)

Teraz suma S 0 sa poskytuje ako úver s pripísaným úrokom n raz ročne v pravidelných intervaloch. Označme r e ročná sadzba, pri ktorej na konci roka suma S 0 sa zvýši na hodnotu S 1 * zo vzorca (4). V tomto prípade to povieme r e- Toto ročná úroková sadzba n raz ročne, čo zodpovedá ročnému úroku r s priebežným prírastkom. Zo vzorca (3) dostaneme

S*1 = S° (1+re/n) n

Porovnanie pravých strán posledného vzorca a vzorca (4), za predpokladu, že v druhom uvedenom T= 1, môžeme odvodiť vzťahy medzi veličinami r A r e:

Tieto vzorce sú široko používané vo finančných výpočtoch.

Funkcia y = f (X) je zákon (pravidlo), podľa ktorého každý prvok x množiny X je spojený s jedným a len jedným prvkom y množiny Y.

Prvok x ∈ X volal argument funkcie alebo nezávislá premenná.
Prvok y ∈ Y volal funkčná hodnota alebo závislá premenná.

Množina X sa nazýva doména funkcie.
Súbor prvkov y ∈ Y, ktoré majú predobrazy v množine X, sa nazýva oblasť alebo súbor funkčných hodnôt.

Volá sa skutočná funkcia obmedzené zhora (zdola), ak existuje číslo M také, že nerovnosť platí pre všetkých:
.
Zavolá sa funkcia čísla obmedzené, ak existuje číslo M také, že pre všetky:
.

Horný okraj alebo presná horná hranica Skutočná funkcia sa nazýva najmenšie číslo, ktoré obmedzuje rozsah jej hodnôt zhora. To znamená, že toto je číslo s, pre ktoré pre každého a pre kohokoľvek existuje argument, ktorého funkčná hodnota presahuje s′: .
Horná hranica funkcie môže byť označená takto:
.

Respektíve spodný okraj alebo presná spodná hranica Skutočná funkcia sa nazýva najväčšie číslo, ktoré obmedzuje rozsah jej hodnôt zdola. To znamená, že toto je číslo i, pre ktoré pre každého a pre kohokoľvek existuje argument, ktorého funkčná hodnota je menšia ako i′: .
Infimum funkcie možno označiť takto:
.

Určenie limity funkcie

Určenie limity funkcie podľa Cauchyho

Konečné limity funkcie v koncových bodoch

Nech je funkcia definovaná v nejakom okolí koncového bodu, možno s výnimkou samotného bodu. v bode if for any existuje taká vec, v závislosti od , že pre všetky x pre ktoré platí nerovnosť
.
Limita funkcie je označená takto:
.
Alebo na .

Pomocou logických symbolov existencie a univerzálnosti možno definíciu limity funkcie napísať takto:
.

Jednostranné limity.
Ľavý limit v bode (ľavý limit):
.
Pravý limit v bode (pravý limit):
.
Ľavý a pravý limit sa často označujú takto:
; .

Konečné limity funkcie v bodoch v nekonečne

Limity v bodoch v nekonečne sa určujú podobným spôsobom.
.
.
.
Často sa označujú ako:
; ; .

Použitie konceptu okolia bodu

Ak zavedieme koncept prepichnutého okolia bodu, potom môžeme dať jednotnú definíciu konečnej limity funkcie v konečných a nekonečne vzdialených bodoch:
.
Tu pre koncové body
; ;
.
Akékoľvek okolie bodov v nekonečne je prepichnuté:
; ; .

Nekonečné funkčné limity

Definícia
Nech je funkcia definovaná v nejakom punktovanom okolí bodu (konečného alebo v nekonečne). Limita funkcie f (X) ako x → x 0 rovná sa nekonečnu, ak pre ľubovoľne veľké číslo M > 0 , existuje číslo δ M > 0 , v závislosti od M, že pre všetky x patriace do prepichnutého δ M - okolia bodu: platí nerovnosť:
.
Nekonečná hranica je označená takto:
.
Alebo na .

Pomocou logických symbolov existencie a univerzálnosti možno definíciu nekonečnej limity funkcie napísať takto:
.

Môžete tiež zaviesť definície nekonečných limitov určitých znakov rovných a :
.
.

Univerzálna definícia limity funkcie

Pomocou konceptu okolia bodu môžeme poskytnúť univerzálnu definíciu konečnej a nekonečnej limity funkcie, použiteľnú pre konečné (obojstranné a jednostranné) aj nekonečne vzdialené body:
.

Určenie limity funkcie podľa Heineho

Nech je funkcia definovaná na nejakej množine X:.
Číslo a sa nazýva limita funkcie v bode:
,
ak pre akúkoľvek postupnosť konvergujúcu k x 0 :
,
ktorých prvky patria do množiny X: ,
.

Napíšme túto definíciu pomocou logických symbolov existencie a univerzálnosti:
.

Ak vezmeme ľavostranné okolie bodu x ako množinu X 0 , potom získame definíciu ľavej limity. Ak je pravotočivý, dostaneme definíciu správnej hranice. Ak zoberieme okolie bodu v nekonečne ako množinu X, dostaneme definíciu limity funkcie v nekonečne.

Veta
Cauchyho a Heineho definície limity funkcie sú ekvivalentné.
Dôkaz

Vlastnosti a vety limity funkcie

Ďalej predpokladáme, že uvažované funkcie sú definované v zodpovedajúcom okolí bodu, ktorým je konečné číslo alebo jeden zo symbolov: . Môže to byť aj jednostranný hraničný bod, teda mať tvar alebo . Okolie je obojstranné pre obojstranný limit a jednostranné pre jednostranný limit.

Základné vlastnosti

Ak hodnoty funkcie f (X) zmeniť (alebo urobiť nedefinovaným) konečný počet bodov x 1, x 2, x 3, ... x n, potom táto zmena neovplyvní existenciu a hodnotu limity funkcie v ľubovoľnom bode x 0 .

Ak existuje konečná limita, potom existuje prepichnuté okolie bodu x 0 , na ktorom je funkcia f (X) obmedzené:
.

Nech má funkcia v bode x 0 konečná nenulová hranica:
.
Potom pre ľubovoľné číslo c z intervalu existuje takéto prepichnuté okolie bodu x 0 , za čo ,
, Ak ;
, Ak .

Ak je na niektorom prepichnutom okolí bodu , konštanta, potom .

Ak existujú konečné limity a a na nejakom prerazenom okolí bodu x 0
,
To .

Ak , a na niektorom okolí bodu
,
To .
Najmä ak je v niektorom susedstve bodu
,
potom ak , potom a ;
ak , potom a .

Ak na nejakom prerazenom okolí bodu x 0 :
,
a existujú konečné (alebo nekonečné určitého znamienka) rovnaké limity:
, To
.

Dôkazy o hlavných vlastnostiach sú uvedené na stránke
"Základné vlastnosti limity funkcie."

Aritmetické vlastnosti limity funkcie

Nech sú funkcie a definované v niektorom prepichnutom okolí bodu. A nech existujú konečné limity:
A .
A nech C je konštanta, teda dané číslo. Potom
;
;
;
, Ak .

Ak potom.

Dôkazy aritmetických vlastností sú uvedené na stránke
"Aritmetické vlastnosti limity funkcie".

Cauchyho kritérium pre existenciu limity funkcie

Veta
Aby bola funkcia definovaná na nejakom punktovanom okolí konečného alebo v nekonečnom bode x 0 , mal v tomto bode konečnú limitu, je potrebné a postačujúce, aby pre akékoľvek ε > 0 tam bolo také prepichnuté okolie bodu x 0 , že pre všetky body a z tohto okolia platí nasledujúca nerovnosť:
.

Limita komplexnej funkcie

Veta o limite komplexnej funkcie
Nech má funkcia limit a mapuje punktované okolie bodu na punktované okolie bodu. Nech je funkcia definovaná na tomto okolí a má naň limit.
Tu sú konečné alebo nekonečne vzdialené body: . Okolie a im zodpovedajúce limity môžu byť obojstranné alebo jednostranné.
Potom existuje limita komplexnej funkcie a rovná sa:
.

Limitná veta komplexnej funkcie sa aplikuje, keď funkcia nie je definovaná v bode alebo má hodnotu odlišnú od limity. Ak chcete použiť túto vetu, musí existovať prepichnuté okolie bodu, kde množina hodnôt funkcie neobsahuje bod:
.

Ak je funkcia spojitá v bode , znamienko limitu možno použiť na argument spojitej funkcie:
.
Nasleduje veta zodpovedajúca tomuto prípadu.

Veta o limite spojitej funkcie funkcie
Nech existuje limita funkcie g (t) ako t → t 0 a rovná sa x 0 :
.
Tu je bod t 0 môže byť konečná alebo nekonečne vzdialená: .
A nechajte funkciu f (X) je spojitá v bode x 0 .
Potom existuje limita komplexnej funkcie f (g(t)), a rovná sa f (x0):
.

Dôkazy teorémov sú uvedené na stránke
„Limita a kontinuita komplexnej funkcie“.

Nekonečne malé a nekonečne veľké funkcie

Infinitezimálne funkcie

Definícia
O funkcii sa hovorí, že je nekonečne malá, ak
.

Súčet, rozdiel a súčin konečného počtu nekonečne malých funkcií v je nekonečne malá funkcia v .

Súčin funkcie ohraničenej na nejakom punktovanom okolí bodu , k infinitezimálnemu at je nekonečne malá funkcia v .

Na to, aby funkcia mala konečnú limitu, je potrebné a postačujúce, že
,
kde je infinitezimálna funkcia v .

"Vlastnosti nekonečne malých funkcií".

Nekonečne veľké funkcie

Definícia
O funkcii sa hovorí, že je nekonečne veľká, ak
.

Súčet alebo rozdiel obmedzenej funkcie na nejakom prepichnutom okolí bodu a nekonečne veľkej funkcie v je nekonečne veľká funkcia v bode .

Ak je funkcia nekonečne veľká pre a funkcia je ohraničená nejakým prepichnutým okolím bodu, potom
.

Ak funkcia na nejakom prepichnutom okolí bodu spĺňa nerovnosť:
,
a funkcia je nekonečne malá pri:
, a (na niektorom prepichnutom okolí bodu), potom
.

Dôkazy vlastností sú uvedené v časti
"Vlastnosti nekonečne veľkých funkcií".

Vzťah medzi nekonečne veľkými a nekonečne malými funkciami

Z dvoch predchádzajúcich vlastností vyplýva súvislosť medzi nekonečne veľkými a nekonečne malými funkciami.

Ak je funkcia nekonečne veľká v , potom je funkcia nekonečne malá v .

Ak je funkcia nekonečne malá pre , a , potom je funkcia nekonečne veľká pre .

Vzťah medzi nekonečne malou a nekonečne veľkou funkciou možno vyjadriť symbolicky:
, .

Ak má infinitezimálna funkcia určité znamienko v , to znamená, že je kladná (alebo záporná) v niektorom punktovanom okolí bodu , potom túto skutočnosť možno vyjadriť takto:
.
Rovnakým spôsobom, ak má nekonečne veľká funkcia určité znamienko v , potom píšu:
.

Potom možno symbolickú súvislosť medzi nekonečne malými a nekonečne veľkými funkciami doplniť nasledujúcimi vzťahmi:
, ,
, .

Ďalšie vzorce týkajúce sa symbolov nekonečna nájdete na stránke
"Body v nekonečne a ich vlastnosti."

Limity monotónnych funkcií

Definícia
Zavolá sa funkcia definovaná na nejakej množine reálnych čísel X prísne zvyšovať, ak pre všetky platí nasledujúca nerovnosť:
.
V súlade s tým pre prísne klesá funkcia platí nasledujúca nerovnosť:
.
Pre neklesajúci:
.
Pre nerastúce:
.

Z toho vyplýva, že striktne rastúca funkcia je aj neklesajúca. Striktne klesajúca funkcia je tiež nerastúca.

Funkcia sa volá monotónna, ak je neklesajúca alebo nezvyšujúca sa.

Veta
Nech funkcia neklesá na intervale kde .
Ak je hore ohraničený číslom M: potom existuje konečná limita. Ak to nie je obmedzené zhora, potom .
Ak je zdola ohraničená číslom m: tak existuje konečná hranica. Ak nie je obmedzený zdola, potom .

Ak sú body a a b v nekonečne, potom vo výrazoch medzné znamienka znamenajú, že .
Táto veta môže byť formulovaná kompaktnejšie.

Nech funkcia neklesá na intervale kde . Potom existujú jednostranné limity v bodoch a a b:
;
.

Podobná veta pre nerastúcu funkciu.

Nech sa funkcia nezvýši na intervale kde . Potom sú tu jednostranné limity:
;
.

Dôkaz vety je uvedený na stránke
"Limity monotónnych funkcií".

Referencie:
L.D. Kudrjavcev. Kurz matematickej analýzy. Zväzok 1. Moskva, 2003.
CM. Nikolského. Kurz matematickej analýzy. Zväzok 1. Moskva, 1983.

Funkčný limit- číslo a bude limitom nejakej premennej veličiny, ak sa v procese jej zmeny táto premenná veličina neobmedzene približuje a.

Alebo inými slovami, číslo A je hranica funkcie y = f(x) v bode x 0, ak sa pre ľubovoľnú postupnosť bodov z oblasti definície funkcie nerovná x 0, a ktorý konverguje k pointe x 0 (limit x n = x0), postupnosť zodpovedajúcich funkčných hodnôt konverguje k číslu A.

Graf funkcie, ktorej limita za predpokladu argumentu smerujúceho k nekonečnu sa rovná L:

Význam A je limit (limitná hodnota) funkcie f(x) v bode x 0 v prípade akejkoľvek postupnosti bodov , ktorá konverguje k x 0, ktorý však neobsahuje x 0 ako jeden z jeho prvkov (t.j. v prepichnutej blízkosti x 0), postupnosť funkčných hodnôt konverguje k A.

Limit Cauchyho funkcie.

Význam A bude limit funkcie f(x) v bode x 0 ak pre akékoľvek nezáporné číslo prijaté vopred ε nájde sa zodpovedajúce nezáporné číslo δ = δ(ε) tak, že pre každý argument X, splnenie podmienky 0 < | x - x0 | < δ , nerovnosť bude uspokojená | f(x)A |< ε .

Bude to veľmi jednoduché, ak pochopíte podstatu limitu a základné pravidlá na jeho nájdenie. Aká je hranica funkcie f (X) pri X usilovať sa o a rovná sa A, sa píše takto:

Navyše hodnota, ku ktorej premenná smeruje X, môže byť nielen číslo, ale aj nekonečno (∞), niekedy +∞ alebo -∞, alebo nemusí existovať žiadna hranica.

Aby ste pochopili ako nájsť limity funkcie, najlepšie je pozrieť si príklady riešení.

Je potrebné nájsť limity funkcie f (x) = 1/X na:

X→ 2, X→ 0, X→ ∞.

Poďme nájsť riešenie prvého limitu. Ak to chcete urobiť, môžete jednoducho nahradiť Xčíslo, ku ktorému má tendenciu, t.j. 2, dostaneme:

Nájdite druhú hranicu funkcie. Tu namiesto toho nahraďte čistú 0 X je to nemožné, pretože Nemôžete deliť 0. Ale môžeme vziať hodnoty blízke nule, napríklad 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 a tak ďalej a hodnotu funkcie f (X) zvýši sa: 100; 1000; 10 000; 100 000 a tak ďalej. Dá sa teda pochopiť, že keď X→ 0 hodnota funkcie, ktorá je pod medzným znamienkom sa bude zvyšovať neobmedzene, t.j. usilovať sa o nekonečno. Čo znamená:

Čo sa týka tretieho limitu. Rovnakú situáciu ako v predchádzajúcom prípade nie je možné nahradiť ∞ vo svojej najčistejšej forme. Musíme zvážiť prípad neobmedzeného zvýšenia X. Nahrádzame 1000 po jednom; 10 000; 100 000 a tak ďalej, máme hodnotu funkcie f (x) = 1/X bude klesať: 0,001; 0,0001; 0,00001; a tak ďalej, sklon k nule. Preto:

Je potrebné vypočítať limitu funkcie

Keď začneme riešiť druhý príklad, vidíme neistotu. Odtiaľto nájdeme najvyšší stupeň čitateľa a menovateľa - to je x 3, vyberieme ho zo zátvoriek v čitateli a menovateli a potom ho zredukujeme o:

Odpoveď

Prvý krok v nájsť túto hranicu, namiesto toho nahraďte hodnotu 1 X, čo má za následok neistotu. Aby sme to vyriešili, rozložme čitateľa na faktorizáciu a urobme to pomocou metódy hľadania koreňov kvadratickej rovnice x 2 + 2x - 3:

D = 22 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4

x 1,2 = (-2±4)/2→ xi = -3;x 2= 1.

Čitateľ teda bude:

Odpoveď

Ide o definovanie jeho špecifickej hodnoty alebo určitej oblasti, kam funkcia spadá, ktorá je limitovaná.

Ak chcete vyriešiť limity, postupujte podľa pravidiel:

Po pochopení podstaty a hlavného pravidlá riešenia limitu, získate základnú predstavu o tom, ako ich vyriešiť.

Prízrak „mínus nekonečna“ sa v tomto článku vznáša už dlho. Uvažujme limity s polynómami, v ktorých . Princípy a metódy riešenia budú úplne rovnaké ako v prvej časti lekcie, s výnimkou niekoľkých nuancií.

Pozrime sa na 4 triky, ktoré budú potrebné na riešenie praktických úloh:

1) Vypočítajte limit

Hodnota limitu závisí len od termínu, pretože má najvyšší rád rastu. Ak potom nekonečne veľký modul záporné číslo na PÁRNA mocnina, v tomto prípade – vo štvrtom, sa rovná „plus nekonečno“: . Konštantný („dva“) pozitívne, Preto:

2) Vypočítajte limit

Tu je opäť vyšší titul dokonca, Preto: . Ale pred ním je „mínus“ ( negatívne konštanta –1), teda:

3) Vypočítajte limit

Hraničná hodnota závisí len od . Ako si pamätáte zo školy, „mínus“ „vyskočí“ spod nepárneho stupňa, takže nekonečne veľký modul záporné číslo na mocninu ODD rovná sa „mínus nekonečno“, v tomto prípade: .
Konštantný („štyri“) pozitívne, Znamená:

4) Vypočítajte limit

Prvý chlap v dedine má opäť zvláštny stupňa, navyše v lone negatívne konštanta, čo znamená: Teda:
.

Príklad 5

Nájdite hranicu

Použitím vyššie uvedených bodov sme dospeli k záveru, že tu existuje neistota. Čitateľ a menovateľ sú rovnakého rádu rastu, čo znamená, že v limite bude výsledkom konečné číslo. Poďme zistiť odpoveď tým, že vyhodíme všetky potery:

Riešenie je triviálne:

Príklad 6

Nájdite hranicu

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

A teraz možno tie najzáhadnejšie prípady:

Príklad 7

Nájdite hranicu

Vzhľadom na hlavné pojmy dospejeme k záveru, že tu panuje neistota. Čitateľ je vyššieho rádu rastu ako menovateľ, takže môžeme okamžite povedať, že limita sa rovná nekonečnu. Ale aké nekonečno, „plus“ alebo „mínus“? Technika je rovnaká - zbavme sa malých vecí v čitateli a menovateli:

Rozhodujeme sa:

Vydeľte čitateľa a menovateľa podľa

Poďme analyzovať nekonečne malý menovateľ termíny:

Ak , potom podmienky s dokonca stupňa sa bude snažiť nekonečne malý kladné čísla (označené ) a výrazy s zvláštny stupňa sa bude snažiť nekonečne malý záporné čísla (označené ).

Teraz si položme otázku, ktorý z týchto štyroch výrazov bude mať tendenciu k nule (bez ohľadu na to, s akým znamienkom) najpomalšie? Spomeňme si na naivnú techniku: najprv sa „x“ rovná –10, potom –100, potom –1000 atď. Termín sa bude blížiť k nule najpomalšie. Obrazne povedané, toto je „najtučnejšia“ nula, ktorá „absorbuje“ všetky ostatné nuly. Z tohto dôvodu sa záznam objavil v záverečnej fáze.

Treba poznamenať, že znamenia nekonečne malý Pojmy čitateľa nás nezaujímajú, keďže je tam nakreslená hmatateľná kvalitná jednotka. Preto som do čitateľa dal „len nuly“. Mimochodom, na nulových znamienkach nezáleží vo všetkých príkladoch, kde v limite dostaneme konečné číslo (príklady č. 5, 6).

Žiadna zmena, na to slúži matematická analýza, analyzovať =)

Avšak, oh nekonečne malé funkcie neskôr, inak klikneš na malý krížik vpravo hore =)

Príklad 8

Nájdite hranicu

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami.