Jednoduchý algoritmus na určenie priesečníka dvoch segmentov. Do priamky sa pretínajú: priesečník segmentov v rovine

Téma 3. Teória

Analytická geometria v priestore.

Rovnice roviny a priamky.

 Všeobecná rovnica lietadlo je algebraická rovnica prvého poriadku vzhľadom na súradnice (x; r; z)

- normálne , vektor kolmý na rovinu.

Podmienky rovnobežnosti a kolmosti rovín sú určené podmienkami kolinearity a kolmosti normáln.

Niektoré štandardné typy rovinných rovníc:

Skutočné rovnice roviny získame, ak rozšírime príslušný determinant v prvom riadku.

 Vzorec na výpočet vzdialenostiach od daný bod M 1 (x 1 , r 1 , z 1 ) do lietadlo, daný rovnicou Ah+Autor:+ Cz+ D=0 :

.

Je zrejmé, že ak d=0 , potom bod M 1 patrí do lietadla.

 Rovná čiara v priestore je definovaná ako priesečník dvoch nerovnobežných rovín (akýchkoľvek rovín prechádzajúcich priamkou).

Typy rovníc priamky v priestore:

Podmienky rovnobežnosti a kolmosti priamok v priestore sú definované ako podmienky kolinearity a kolmosti ich smerových vektorov, resp. Nech sú teda priamky (1) a (2) dané v kanonickej alebo parametrickej forme

.

 Podmienka pre priesečník dvoch čiar v priestore – toto je podmienka komponarity troch vektorov:

 Prechod zo všeobecných rovníc priamej čiary na rovnice v kanonickej alebo parametrickej forme sa vykonáva nasledovne (je možný aj spätný prechod).

Rovnice priamky sú uvedené vo všeobecnom tvare:
.

Nájdite súradnice smerového vektora:
ako vektorový súčin normál rovín definujúcich priamku.

nájdeme akékoľvek bod patriaci k priamke. Patrí tiež do oboch rovín, ktoré definujú priamku, takže jej súradnice (x 0, y 0, z 0) možno zistiť zo sústavy rovníc:

,

v ktorej jedna zo súradníc musí byť špecifikovaná ľubovoľne (keďže nájdeme akékoľvek bod), ale tak, aby mal systém jedinečné riešenie. Vektorové súradnice a nájdený bod sa dosadí do kanonických alebo parametrických rovníc.

Podmienky rovnobežnosti a kolmosti priamky a roviny sú formulované ako podmienky kolmosti a rovnobežnosti normály a smerového vektora.

V dvojrozmernom priestore sa dve priamky pretínajú iba v jednom bode, definovanom súradnicami (x,y). Keďže obe priamky prechádzajú ich priesečníkom, súradnice (x,y) musia spĺňať obe rovnice, ktoré tieto priamky opisujú. S niektorými ďalšími schopnosťami môžete nájsť priesečníky parabol a iných kvadratických kriviek.

Kroky

Priesečník dvoch čiar

Napíšte rovnicu každého riadku, pričom izolujte premennú „y“ na ľavej strane rovnice. Ostatné členy rovnice by mali byť umiestnené na pravej strane rovnice. Možno, že rovnica, ktorá vám bola poskytnutá, bude obsahovať premennú f(x) alebo g(x) namiesto „y“; v tomto prípade izolujte takúto premennú. Ak chcete izolovať premennú, vykonajte príslušné výpočty na oboch stranách rovnice.

• Ak vám nie sú dané rovnice čiar, na základe informácií, ktoré poznáte.
• Príklad. Dané priamky opísané rovnicami a y − 12 = − 2 x (\displaystyle y-12=-2x). Ak chcete izolovať „y“ v druhej rovnici, pridajte číslo 12 na obe strany rovnice:

1. Hľadáte priesečník oboch priamok, teda bod, ktorého súradnice (x, y) spĺňajú obe rovnice. Keďže premenná „y“ sa nachádza na ľavej strane každej rovnice, výrazy nachádzajúce sa na pravej strane každej rovnice možno prirovnať. Napíšte novú rovnicu.

   • Príklad. Pretože y = x + 3 (\displaystyle y=x+3) A y = 12 − 2 x (\displaystyle y=12-2x), potom môžeme napísať nasledujúcu rovnosť: .

2. Nájdite hodnotu premennej "x". Nová rovnica obsahuje iba jednu premennú, "x". Ak chcete nájsť "x", izolujte túto premennú na ľavej strane rovnice vykonaním príslušného výpočtu na oboch stranách rovnice. Mali by ste dostať rovnicu v tvare x = __ (ak to nedokážete, pozrite si túto časť).

   • Príklad. x + 3 = 12 − 2 x (\displaystyle x+3=12-2x)
   • Pridať 2 x (\displaystyle 2x) na každú stranu rovnice:
   • 3 x + 3 = 12 (\displaystyle 3x+3=12)
   • Odčítajte 3 z každej strany rovnice:
   • 3 x = 9 (\displaystyle 3x=9)
   • Vydeľte každú stranu rovnice 3:
   • x = 3 (\displaystyle x=3).

3. Zistenú hodnotu premennej "x" použite na výpočet hodnoty premennej "y". Za týmto účelom nahraďte nájdenú hodnotu „x“ do rovnice (akejkoľvek) priamky.

   • Príklad. x = 3 (\displaystyle x=3) A y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)
   • y = 3 + 3 (\displaystyle y=3+3)
   • y = 6 (\displaystyle y=6)

4. Skontrolujte odpoveď. Ak to chcete urobiť, nahraďte hodnotu „x“ do inej rovnice riadku a nájdite hodnotu „y“. Ak získate rôzne hodnoty y, skontrolujte, či sú vaše výpočty správne.

   • Príklad: x = 3 (\displaystyle x=3) A y = 12 − 2 x (\displaystyle y=12-2x)
   • y = 12 − 2 (3) (\displaystyle y=12-2(3))
   • y = 12 − 6 (\displaystyle y=12-6)
   • y = 6 (\displaystyle y=6)
   • Dostali ste rovnakú hodnotu pre y, takže vo výpočtoch nie sú žiadne chyby.

5. Zapíšte si súradnice (x,y). Po vypočítaní hodnôt „x“ a „y“ ste našli súradnice priesečníka dvoch čiar. Zapíšte súradnice priesečníka v tvare (x,y).

   • Príklad. x = 3 (\displaystyle x=3) A y = 6 (\displaystyle y=6)
   • Dve priamky sa teda pretínajú v bode so súradnicami (3,6).

6. Výpočty v špeciálnych prípadoch. V niektorých prípadoch nie je možné nájsť hodnotu premennej "x". To však neznamená, že ste urobili chybu. Špeciálny prípad nastáva, keď je splnená jedna z nasledujúcich podmienok:

   • Ak sú dve čiary rovnobežné, nepretínajú sa. V tomto prípade sa premenná „x“ jednoducho zníži a vaša rovnica sa zmení na nezmyselnú rovnosť (napr. 0 = 1 (\displaystyle 0=1)). V takom prípade do odpovede napíšte, že sa čiary nepretínajú alebo neexistuje žiadne riešenie.
   • Ak obe rovnice opisujú jednu priamku, potom bude existovať nekonečný počet priesečníkov. V tomto prípade sa premenná „x“ jednoducho zníži a vaša rovnica sa zmení na prísnu rovnosť (napr. 3 = 3 (\displaystyle 3=3)). V takom prípade do odpovede napíšte, že tieto dva riadky sa zhodujú.

   Problémy s kvadratickými funkciami

   1. Definícia kvadratickej funkcie. V kvadratickej funkcii má jedna alebo viac premenných druhý stupeň (ale nie vyšší), napr. x 2 (\displaystyle x^(2)) alebo y 2 (\displaystyle y^(2)). Grafy kvadratických funkcií sú krivky, ktoré sa nemusia pretínať alebo sa môžu pretínať v jednom alebo dvoch bodoch. V tejto časti vám povieme, ako nájsť priesečník alebo body kvadratických kriviek.

   2. Prepíšte každú rovnicu izoláciou premennej „y“ na ľavej strane rovnice. Ostatné členy rovnice by mali byť umiestnené na pravej strane rovnice.

      • Príklad. Nájdite bod(y) priesečníka grafov x 2 + 2 x − y = − 1 (\displaystyle x^(2)+2x-y=-1) A
      • Izolujte premennú "y" na ľavej strane rovnice:
      • A y = x + 7 (\displaystyle y=x+7) .
      • V tomto príklade dostanete jednu kvadratickú funkciu a jednu lineárnu funkciu. Pamätajte, že ak dostanete dve kvadratické funkcie, výpočty sú podobné krokom uvedeným nižšie.

   3. Prirovnajte výrazy na pravej strane každej rovnice. Keďže premenná „y“ sa nachádza na ľavej strane každej rovnice, výrazy nachádzajúce sa na pravej strane každej rovnice možno prirovnať.

      • Príklad. y = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle y=x^(2)+2x+1) A y = x + 7 (\displaystyle y=x+7)

   4. Preneste všetky členy výslednej rovnice na jej ľavú stranu a na pravú stranu napíšte 0. Ak to chcete urobiť, urobte základnú matematiku. To vám umožní vyriešiť výslednú rovnicu.

      • Príklad. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\displaystyle x^(2)+2x+1=x+7)
      • Odčítajte „x“ od oboch strán rovnice:
      • x 2 + x + 1 = 7 (\displaystyle x^(2)+x+1=7)
      • Odčítajte 7 od oboch strán rovnice:

   5. Vyriešte kvadratickú rovnicu. Presunutím všetkých členov rovnice na jej ľavú stranu získate kvadratickú rovnicu. Dá sa vyriešiť tromi spôsobmi: pomocou špeciálneho vzorca a.

      • Príklad. x 2 + x − 6 = 0 (\displaystyle x^(2)+x-6=0)
      • Keď vynásobíte rovnicu, dostanete dva binomy, ktoré po vynásobení dostanete pôvodnú rovnicu. V našom príklade prvý termín x 2 (\displaystyle x^(2)) možno rozložiť na x * x. Napíšte toto: (x) (x) = 0
      • V našom príklade môže byť voľný člen -6 faktorizovaný do nasledujúcich faktorov: − 6 ∗ 1 (\displaystyle -6*1), − 3 ∗ 2 (\displaystyle -3*2), − 2 ∗ 3 (\displaystyle -2*3), − 1 ∗ 6 (\displaystyle -1*6).
      • V našom príklade je druhým členom x (alebo 1x). Pridajte každý pár faktorov fiktívneho výrazu (v našom príklade -6), kým nezískate 1. V našom príklade sú vhodnou dvojicou faktorov fiktívneho výrazu čísla -2 a 3 ( − 2 ∗ 3 = − 6 (\displaystyle -2*3=-6)), pretože − 2 + 3 = 1 (\displaystyle -2+3=1).
      • Do prázdnych políčok doplňte nájdenú dvojicu čísel: .

   6. Nezabudnite na druhý priesečník dvoch grafov. Ak problém vyriešite rýchlo a nie veľmi opatrne, môžete zabudnúť na druhý priesečník. Tu je návod, ako nájsť súradnice x dvoch priesečníkov:

      • Príklad (faktorizácia). Ak v rov. (x − 2) (x + 3) = 0 (\displaystyle (x-2)(x+3)=0) jeden z výrazov v zátvorkách sa bude rovnať 0, potom sa celá rovnica bude rovnať 0. Preto ju môžeme zapísať takto: x − 2 = 0 (\displaystyle x-2=0) → x = 2 (\displaystyle x=2) A x + 3 = 0 (\displaystyle x+3=0) → x = − 3 (\displaystyle x=-3) (to znamená, že ste našli dva korene rovnice).
      • Príklad (použitie vzorca alebo dokončenie dokonalého štvorca). Pri použití jednej z týchto metód sa v procese riešenia objaví druhá odmocnina. Napríklad rovnica z nášho príkladu bude mať tvar x = (− 1 + 25) / 2 (\displaystyle x=(-1+(\sqrt (25)))/2). Pamätajte, že pri odmocnení dostanete dve riešenia. V našom prípade: 25 = 5 ∗ 5 (\displaystyle (\sqrt (25))=5*5), A 25 = (− 5) ∗ (− 5) (\displaystyle (\sqrt (25))=(-5)*(-5)). Napíšte teda dve rovnice a nájdite dve hodnoty x.

   7. Grafy sa pretínajú v jednom bode alebo sa nepretínajú vôbec. Takéto situácie nastanú, ak sú splnené nasledujúce podmienky:

      • Ak sa grafy pretínajú v jednom bode, potom sa kvadratická rovnica rozloží na identické faktory, napríklad (x-1) (x-1) = 0, a druhá odmocnina z 0 sa objaví vo vzorci ( 0 (\displaystyle (\sqrt (0)))). V tomto prípade má rovnica len jedno riešenie.
      • Ak sa grafy vôbec nepretínajú, rovnica sa nerozloží a vo vzorci sa objaví druhá odmocnina záporného čísla (napr. − 2 (\displaystyle (\sqrt (-2)))). V takom prípade do odpovede napíšte, že neexistuje riešenie.

Úloha

Riešenie

Ľavý obrázok (1) zobrazuje dva segmenty, pre oba je splnená podmienka a segmenty sa pretínajú. Na obrázku vpravo (2) je podmienka splnená pre segment b, ale pre segment a nie je splnená, a preto sa segmenty nepretínajú.
Môže sa zdať, že určiť, na ktorej strane čiary bod leží, je netriviálna úloha, ale strach má veľké oči a všetko nie je také ťažké. Vieme, že vektorové násobenie dvoch vektorov nám dáva tretí vektor, ktorého smer závisí od toho, či je uhol medzi prvým a druhým vektorom kladný alebo záporný, takáto operácia je antikomutatívna. A keďže všetky vektory ležia v rovine X-Y, ich vektorový súčin (ktorý musí byť kolmý na násobené vektory) bude mať len nenulovú zložku Z, a teda rozdiel medzi súčinmi vektorov bude len v tomto komponent. Navyše pri zmene poradia násobenia vektorov (čítaj: uhla medzi násobenými vektormi) bude spočívať výlučne v zmene znamienka tohto komponentu.
Preto môžeme vektor deliaceho segmentu vynásobiť v pároch vektormi smerujúcimi od začiatku deliaceho segmentu do oboch bodov kontrolovaného segmentu.

Ak majú zložky Z oboch produktov odlišné znamienko, potom jeden z uhlov je menší ako 0, ale väčší ako -180 a druhý je väčší ako 0 a menší ako 180, body ležia na opačných stranách priamky. . Ak majú zložky Z oboch produktov rovnaké znamienko, ležia teda na tej istej strane čiary.
Ak je jedna zo zložiek Z nulová, potom máme hraničný prípad, keď bod leží presne na testovanej priamke. Nechajme na používateľovi, aby sa rozhodol, či to chce považovať za križovatku.
Potom musíme operáciu zopakovať pre ďalší segment a čiaru a uistiť sa, že aj umiestnenie jej koncových bodov spĺňa podmienku.
Ak je teda všetko v poriadku a oba segmenty spĺňajú podmienku, potom priesečník existuje. Poďme to nájsť a pomôže nám v tom aj vektorový produkt.
Keďže vo vektorovom súčine máme len nenulovú zložku Z, tak jej modul (dĺžka vektora) sa bude číselne rovnať presne tejto zložke. Pozrime sa, ako nájsť priesečník.

Dĺžka vektorového súčinu vektorov a a b (ako sme zistili, je číselne rovná jeho zložke Z) sa rovná súčinu absolútnych hodnôt týchto vektorov a sínusu uhla medzi nimi (|a |. |b|. Podľa toho máme pre konfiguráciu na obrázku nasledovné: |AB x AC| = |AB||AC|sin(α) a |AB x AD| = |AB||AD| hriech(β). |AC|sin(α) je kolmica z bodu C na segment AB a |AD|sin(β) je kolmica z bodu D na segment AB (noha ADD“). Keďže uhly γ a δ sú vertikálne uhly, potom sú rovnaké, čo znamená, že trojuholníky PCC" a PDD" sú podobné, a preto sú dĺžky všetkých ich strán úmerné v rovnakých pomeroch.
Ak máme Z1 (AB x AC, čo znamená |AB||AC|sin(α)) a Z2 (AB x AD, čo znamená |AB||AD|sin(β)), môžeme vypočítať CC"/DD" ( ktorá sa bude rovnať Z1/Z2) a tiež s vedomím, že CC"/DD" = CP/DP, si ľahko vyrátate polohu bodu P. Osobne to robím nasledovne:

Px = Cx + (Dx-Cx)*|Z1|/|Z2-Z1|;
Py = Cy + (Dy-Cy)*|Z1|/|Z2-Z1|;

To je všetko. Myslím, že je to naozaj veľmi jednoduché a elegantné. Na záver by som rád uviedol funkčný kód, ktorý implementuje tento algoritmus. Funkcia používa domácu vektorovú šablónu , čo je vektorová šablóna veľkej veľkosti s komponentmi typu typename. Záujemcovia si môžu funkciu jednoducho prispôsobiť svojim vektorovým typom.

1 šablóna 2 bool are_crossing(vektor const &v11, vektor const &v12, vektor const &v21, vektor const &v22, vektor *prekríženie) 3 (4 vektor cut1(v12-v11), cut2(v22-v21); 5 vektor

Na vyriešenie geometrickej úlohy súradnicovou metódou je potrebný priesečník, ktorého súradnice sú použité pri riešení. Nastane situácia, keď potrebujete hľadať súradnice priesečníka dvoch čiar v rovine alebo určiť súradnice tých istých čiar v priestore. Tento článok sa zaoberá prípadmi hľadania súradníc bodov, kde sa dané čiary pretínajú.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Je potrebné definovať priesečníky dvoch priamok.

Časť o vzájomnej polohe čiar v rovine ukazuje, že sa môžu zhodovať, byť rovnobežné, pretínať sa v jednom spoločnom bode alebo sa môžu pretínať. Dve čiary v priestore sa nazývajú pretínajúce sa, ak majú jeden spoločný bod.

Definícia priesečníka čiar znie takto:

Definícia 1

Bod, v ktorom sa dve priamky pretínajú, sa nazýva ich priesečník. Inými slovami, bod pretínajúcich sa čiar je priesečník.

Pozrime sa na obrázok nižšie.

Pred nájdením súradníc priesečníka dvoch čiar je potrebné zvážiť nižšie uvedený príklad.

Ak má rovina súradnicový systém O x y, potom sú určené dve priamky a a b. Čiara a zodpovedá všeobecnej rovnici tvaru A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, pre čiaru b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Potom M 0 (x 0 , y 0) je určitý bod roviny, treba určiť, či bod M 0 bude priesečníkom týchto priamok.

Na vyriešenie problému je potrebné dodržať definíciu. Potom sa priamky musia pretínať v bode, ktorého súradnice sú riešením daných rovníc A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 a A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. To znamená, že súradnice priesečníka sú dosadené do všetkých daných rovníc. Ak po substitúcii dajú správnu identitu, potom sa za ich priesečník považuje M 0 (x 0 , y 0).

Príklad 1

Dané dve pretínajúce sa čiary 5 x - 2 y - 16 = 0 a 2 x - 5 y - 19 = 0. Bude bod M 0 so súradnicami (2, - 3) priesečníkom.

Riešenie

Aby bol priesečník priamok platný, je potrebné, aby súradnice bodu M 0 spĺňali rovnice priamok. Dá sa to skontrolovať ich nahradením. Chápeme to

5 2 - 2 (- 3) - 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 2 - 5 (- 3) - 19 = 0 ⇔ 0 = 0

Obe rovnosti sú pravdivé, čo znamená, že M 0 (2, - 3) je priesečníkom daných čiar.

Znázornime toto riešenie na súradnicovej čiare na obrázku nižšie.

odpoveď: daný bod so súradnicami (2, - 3) bude priesečníkom daných čiar.

Príklad 2

Budú sa priamky 5 x + 3 y - 1 = 0 a 7 x - 2 y + 11 = 0 pretínať v bode M 0 (2, - 3)?

Riešenie

Ak chcete problém vyriešiť, musíte do všetkých rovníc nahradiť súradnice bodu. Chápeme to

5 2 + 3 (- 3) - 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 2 - 2 (- 3) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0

Druhá rovnosť nie je pravdivá, to znamená, že daný bod nepatrí do priamky 7 x - 2 y + 11 = 0. Z toho máme, že bod M 0 nie je priesečníkom priamok.

Nákres jasne ukazuje, že M 0 nie je priesečník čiar. Majú spoločný bod so súradnicami (- 1, 2).

odpoveď: bod so súradnicami (2, - 3) nie je priesečníkom daných čiar.

Pristúpime k hľadaniu súradníc priesečníkov dvoch priamok pomocou daných rovníc v rovine.

Dve pretínajúce sa čiary a a b sú špecifikované rovnicami v tvare A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 a A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, ktoré sa nachádzajú na O x y. Pri označení priesečníka M 0 zistíme, že by sme mali pokračovať v hľadaní súradníc pomocou rovníc A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 a A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.

Z definície je zrejmé, že M 0 je spoločný priesečník priamok. V tomto prípade musia jeho súradnice spĺňať rovnice A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 a A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Inými slovami, toto je riešenie výslednej sústavy A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.

To znamená, že na nájdenie súradníc priesečníka je potrebné pridať všetky rovnice do systému a vyriešiť ho.

Príklad 3

Dané dve priamky x - 9 y + 14 = 0 a 5 x - 2 y - 16 = 0 v rovine. je potrebné nájsť ich priesečník.

Riešenie

Údaje o podmienkach rovnice sa musia zhromaždiť do systému, potom získame x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0. Aby sme to vyriešili, prvá rovnica sa vyrieši pre x a výraz sa nahradí do druhej:

x - 9 r + 14 = 0 5 x - 2 r - 16 = 0 ⇔ x = 9 r - 14 5 x - 2 r. - 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 r. - 14 5 9 r. - 14 - 2 r. 16 = 0 ⇔ x = 9 r - 14 43 r - 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 r - 14 r = 2 ⇔ x = 9 2 - 14 r = 2 ⇔ x = 4 r = 2

Výsledné čísla sú súradnice, ktoré bolo potrebné nájsť.

odpoveď: M 0 (4, 2) je priesečník priamok x - 9 y + 14 = 0 a 5 x - 2 y - 16 = 0.

Hľadanie súradníc vedie k riešeniu systému lineárnych rovníc. Ak je podmienkou daný iný typ rovnice, potom by sa mala zredukovať na normálnu formu.

Príklad 4

Určte súradnice priesečníkov priamok x - 5 = y - 4 - 3 a x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R.

Riešenie

Najprv musíte uviesť rovnice do všeobecného tvaru. Potom dostaneme, že x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R sa transformuje takto:

x = 4 + 9 λ y = 2 + λ ⇔ λ = x - 4 9 λ = y - 2 1 ⇔ x - 4 9 = y - 2 1 ⇔ ⇔ 1 (x - 4) = 9 (y - 2) ⇔ x - 9 y + 14 = 0

Potom vezmeme rovnicu kanonického tvaru x - 5 = y - 4 - 3 a transformujeme. Chápeme to

x - 5 = y - 4 - 3 ⇔ - 3 x = - 5 r - 4 ⇔ 3 x - 5 r + 20 = 0

Odtiaľ máme, že súradnice sú priesečníkom

x - 9 r + 14 = 0 3 x - 5 r + 20 = 0 ⇔ x - 9 r = - 14 3 x - 5 r = - 20

Na nájdenie súradníc použijeme Cramerovu metódu:

∆ = 1 - 9 3 - 5 = 1 · (- 5) - (- 9) · 3 = 22 ∆ x = - 14 - 9 - 20 - 5 = - 14 · (- 5) - (- 9) · ( - 20) = - 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 110 22 = - 5 ∆ y = 1 - 14 3 - 20 = 1 · (- 20) - (- 14) · 3 = 22 ⇒ y = ∆ y = 22 22 = 1

odpoveď: M° (- 5, 1).

Existuje aj spôsob, ako nájsť súradnice priesečníka čiar umiestnených v rovine. Je použiteľné, keď je jedna z priamok daná parametrickými rovnicami v tvare x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , λ ∈ R . Potom namiesto hodnoty x dosadíme x = x 1 + a x λ a y = y 1 + a y λ, kde dostaneme λ = λ 0, čo zodpovedá priesečníku so súradnicami x 1 + a x λ 0, y 1 + ay λ0.

Príklad 5

Určte súradnice priesečníka priamky x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R a x - 5 = y - 4 - 3.

Riešenie

Je potrebné vykonať substitúciu v x - 5 = y - 4 - 3 výrazom x = 4 + 9 · λ, y = 2 + λ, potom dostaneme:

4 + 9 λ - 5 = 2 + λ - 4 - 3

Pri riešení zistíme, že λ = -1. Z toho vyplýva, že medzi priamkami x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R a x - 5 = y - 4 - 3 je priesečník. Na výpočet súradníc je potrebné do parametrickej rovnice dosadiť výraz λ = - 1. Potom dostaneme, že x = 4 + 9 · (- 1) y = 2 + (- 1) ⇔ x = - 5 y = 1.

odpoveď: M° (- 5, 1).

Ak chcete plne pochopiť tému, musíte poznať niektoré nuansy.

Najprv musíte pochopiť umiestnenie čiar. Keď sa pretnú, zistíme súradnice v iných prípadoch nebude riešenie. Aby ste sa vyhli tejto kontrole, môžete vytvoriť systém v tvare A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 + C 2 = 0 Ak existuje riešenie, dôjdeme k záveru, že čiary sa pretínajú. Ak neexistuje riešenie, potom sú paralelné. Keď má systém nekonečný počet riešení, hovorí sa, že sa zhodujú.

Príklad 6

Dané čiary x 3 + y - 4 = 1 a y = 4 3 x - 4. Zistite, či majú spoločný bod.

Riešenie

Zjednodušením daných rovníc dostaneme 1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 a 4 3 x - y - 4 = 0.

Rovnice by sa mali zhromaždiť do systému pre následné riešenie:

1 3 x - 1 4 r - 1 = 0 1 3 x - y - 4 = 0 ⇔ 1 3 x - 1 4 r = 1 4 3 x - y = 4

Z toho vidíme, že rovnice sú vyjadrené cez seba, potom dostaneme nekonečný počet riešení. Potom rovnice x 3 + y - 4 = 1 a y = 4 3 x - 4 definujú rovnakú čiaru. Preto neexistujú žiadne priesečníky.

odpoveď: dané rovnice definujú rovnakú priamku.

Príklad 7

Nájdite súradnice bodu pretínajúcich sa čiar 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 a 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0.

Riešenie

Podľa stavu je to možné, linky sa nebudú pretínať. Je potrebné vytvoriť sústavu rovníc a riešiť. Na riešenie je potrebné použiť Gaussovu metódu, pretože s jej pomocou je možné skontrolovať kompatibilitu rovnice. Dostaneme systém tvaru:

2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 2 (3 + 2) x - 7 r - 1 = 0 ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 r. = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 - 3 y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y + (2 x + (2 - 3) y) · (- (3 + 2)) = 1 + - 7 · (- (3 + 2)) ⇔ ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 0 = 22 - 7 2

Dostali sme nesprávnu rovnosť, čo znamená, že systém nemá žiadne riešenia. Dospeli sme k záveru, že čiary sú rovnobežné. Neexistujú žiadne priesečníky.

Druhé riešenie.

Najprv musíte určiť prítomnosť priesečníkov čiar.

n 1 → = (2, 2 - 3) je normálový vektor priamky 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0, potom vektor n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7 je normálový vektor pre priamku 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 .

Je potrebné skontrolovať kolinearitu vektorov n 1 → = (2, 2 - 3) a n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7). Získame rovnosť v tvare 2 2 (3 + 2) = 2 - 3 - 7. Je to správne, pretože 2 2 3 + 2 - 2 - 3 - 7 = 7 + 2 - 3 (3 + 2) 7 (3 + 2) = 7 - 7 7 (3 + 2) = 0. Z toho vyplýva, že vektory sú kolineárne. To znamená, že čiary sú rovnobežné a nemajú žiadne priesečníky.

odpoveď: neexistujú žiadne priesečníky, čiary sú rovnobežné.

Príklad 8

Nájdite súradnice priesečníka daných priamok 2 x - 1 = 0 a y = 5 4 x - 2 .

Riešenie

Na vyriešenie zostavíme sústavu rovníc. dostaneme

2 x - 1 = 0 5 4 x - y - 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x - y = 2

Nájdite determinant hlavnej matice. Na to platí 2 0 5 4 - 1 = 2 · (- 1) - 0 · 5 4 = - 2. Keďže sa nerovná nule, sústava má 1 riešenie. Z toho vyplýva, že čiary sa pretínajú. Poďme vyriešiť systém na hľadanie súradníc priesečníkov:

2 x = 1 5 4 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 1 2 - y = 2 ⇔ x = 1 2 y = - 11 8

Zistili sme, že priesečník daných čiar má súradnice M 0 (1 2, - 11 8).

odpoveď: M 0 (1 2 , - 11 8) .

Nájdenie súradníc priesečníka dvoch priamok v priestore

Rovnakým spôsobom sa nájdu priesečníky priamych čiar v priestore.

Keď sú priamky a a b dané v súradnicovej rovine O x y z rovnicami pretínajúcich sa rovín, potom existuje priamka a, ktorú je možné určiť pomocou danej sústavy A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 1 = 0 a priamka b - A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D4 = 0.

Keď je bod M 0 priesečníkom priamok, potom jeho súradnice musia byť riešeniami oboch rovníc. Získame lineárne rovnice v systéme:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B4y + C4z + D4 = 0

Pozrime sa na podobné úlohy pomocou príkladov.

Príklad 9

Nájdite súradnice priesečníka daných priamok x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 a 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0

Riešenie

Poskladáme sústavu x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 a vyriešime. Ak chcete nájsť súradnice, musíte vyriešiť pomocou matice. Potom získame hlavnú maticu tvaru A = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 - 2 a rozšírenú maticu T = 1 0 0 1 0 1 2 - 3 4 0 - 2 4 . Určíme Gaussovu hodnosť matice.

Chápeme to

1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 - 3 3 2 0 - 3 4 0 - 2 4 = 0

Z toho vyplýva, že poradie rozšírenej matice má hodnotu 3. Potom zo sústavy rovníc x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 27 - 4 = 0 vyplýva len jedno riešenie.

Základ minor má determinant 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0, potom posledná rovnica neplatí. Získame, že x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y - 3. Riešenie sústavy x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 1 + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ ⇔ x = 1 - 3 + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = - 3 .

To znamená, že priesečník x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 a 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 má súradnice (1, - 3, 0).

odpoveď: (1 , - 3 , 0) .

Sústava tvaru A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 má len jedno riešenie. To znamená, že čiary a a b sa pretínajú.

V iných prípadoch rovnica nemá riešenie, teda ani spoločné body. To znamená, že nie je možné nájsť bod so súradnicami, pretože neexistuje.

Preto sústava tvaru A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 sa rieši Gaussovou metódou. Ak je nekompatibilný, čiary sa nepretínajú. Ak existuje nekonečný počet riešení, potom sa zhodujú.

Môžete to vyriešiť výpočtom hlavných a rozšírených radov matice a potom použiť Kroneckerovu-Capelliho vetu. Dostávame jedno, veľa riešení alebo žiadne.

Príklad 10

Sú uvedené rovnice priamok x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 a x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0. Nájdite priesečník.

Riešenie

Najprv si vytvoríme sústavu rovníc. Dostaneme, že x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0. Riešime to Gaussovou metódou:

1 2 - 3 4 2 - 1 0 - 5 1 0 - 3 0 3 - 2 2 1 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 - 2 0 - 4 0 - 8 11 - 11 ~ ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 7 5 - 159 5 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 0 311 10

Je zrejmé, že systém nemá žiadne riešenia, čo znamená, že čiary sa nepretínajú. Neexistuje žiadny priesečník.

odpoveď: neexistuje žiadny priesečník.

Ak sú čiary dané pomocou kužeľových alebo parametrických rovníc, musíte ich zredukovať na formu rovníc pretínajúcich sa rovín a potom nájsť súradnice.

Príklad 11

Dané dve priamky x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ, λ ∈ R a x 2 = y - 3 0 = z 5 v O x y z. Nájdite priesečník.

Riešenie

Priamky definujeme rovnicami dvoch pretínajúcich sa rovín. Chápeme to

x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ ⇔ λ = x + 3 - 1 λ = y - 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 x + 3 - 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y - 3 0 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0

Nájdeme súradnice 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0, preto vypočítame poradie matice. Hodnosť matice je 3 a menší základ je 3 - 1 0 3 0 1 0 1 0 = - 3 ≠ 0, čo znamená, že posledná rovnica musí byť zo systému vylúčená. Chápeme to

3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0

Riešime systém Cramerovou metódou. Dostaneme, že x = - 2 y = 3 z = - 5. Odtiaľto dostaneme, že priesečník daných čiar dáva bod so súradnicami (- 2, 3, - 5).

odpoveď: (- 2 , 3 , - 5) .

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Pri riešení niektorých geometrických úloh pomocou súradnicovej metódy musíte nájsť súradnice priesečníka čiar. Najčastejšie musíte hľadať súradnice priesečníka dvoch priamok v rovine, ale niekedy je potrebné určiť súradnice priesečníka dvoch priamok v priestore. V tomto článku sa budeme zaoberať hľadaním súradníc bodu, v ktorom sa pretínajú dve priamky.

Navigácia na stránke.

Priesečník dvoch čiar je definícia.

Najprv definujme priesečník dvoch priamok.

V časti o vzájomnej polohe priamok v rovine je ukázané, že dve priamky v rovine sa môžu buď zhodovať (a majú nekonečne veľa spoločných bodov), alebo byť rovnobežné (a dve priamky nemajú žiadne spoločné body), alebo sa môžu pretínať. , ktoré majú jeden spoločný bod. Možností vzájomnej polohy dvoch priamok v priestore je viac – môžu sa zhodovať (majú nekonečne veľa spoločných bodov), môžu byť rovnobežné (teda ležať v rovnakej rovine a nepretínajú sa), môžu sa pretínať (nie ležia v rovnakej rovine) a môžu mať aj jeden spoločný bod, teda pretínať sa. Takže dve čiary v rovine aj v priestore sa nazývajú pretínajúce sa, ak majú jeden spoločný bod.

Z definície pretínajúcich sa čiar to vyplýva určenie priesečníka čiar: Bod, v ktorom sa pretínajú dve priamky, sa nazýva priesečník týchto priamok. Inými slovami, jediným spoločným bodom dvoch pretínajúcich sa čiar je priesečník týchto čiar.

Pre názornosť uvádzame grafické znázornenie priesečníka dvoch priamok v rovine a v priestore.

Začiatok stránky

Nájdenie súradníc priesečníka dvoch priamok v rovine.

Pred nájdením súradníc priesečníka dvoch priamok v rovine pomocou ich známych rovníc zvážte pomocnú úlohu.

Oxy a A b. Budeme predpokladať, že rovno a zodpovedá všeobecnej rovnici priamky formulára , a priamky b– typ . Nech je nejaký bod na rovine a musíme zistiť, či je bod M 0 priesečník daných čiar.

Poďme vyriešiť problém.

Ak M0 a A b, potom podľa definície tiež patrí do riadku a a rovno b, to znamená, že jeho súradnice musia vyhovovať rovnici aj rovnici. Preto musíme nahradiť súradnice bodu M 0 do rovníc daných čiar a zistite, či to vedie k dvom správnym rovnostiam. Ak súradnice bodu M 0 spĺňajú obe rovnice a , potom je priesečník čiar a A b, inak M 0 .

Ide o pointu M 0 so súradnicami (2, -3) priesečník čiar 5x-2y-16=0 A 2x-5y-19=0?

Ak M 0 je skutočne priesečníkom daných priamok, potom jeho súradnice spĺňajú rovnice priamok. Skontrolujeme to dosadením súradníc bodu M 0 do uvedených rovníc:

Máme teda dve skutočné rovnosti, M 0 (2, -3)- priesečník čiar 5x-2y-16=0 A 2x-5y-19=0.

Pre prehľadnosť uvádzame nákres, ktorý zobrazuje priame čiary a sú viditeľné súradnice ich priesečníkov.

áno, bodka M 0 (2, -3) je priesečník čiar 5x-2y-16=0 A 2x-5y-19=0.

Pretínajú sa čiary? 5x+3y-1=0 A 7x-2y+11=0 v bode M 0 (2, -3)?

Dosadíme súradnice bodu M 0 do rovníc priamok, táto akcia skontroluje, či bod patrí M 0 obe rovné čiary súčasne:

Od druhej rovnice pri dosadzovaní súradníc bodu do nej M 0 nepremenila na skutočnú rovnosť, potom bod M 0 nepatrí do radu 7x-2y+11=0. Z tejto skutočnosti môžeme usúdiť, že bod M 0 nie je priesečníkom daných čiar.

Nákres tiež jasne ukazuje, že bod M 0 nie je priesečníkom čiar 5x+3y-1=0 A 7x-2y+11=0. Je zrejmé, že dané čiary sa pretínajú v bode so súradnicami (-1, 2) .

M 0 (2, -3) nie je priesečníkom čiar 5x+3y-1=0 A 7x-2y+11=0.

Teraz môžeme prejsť k úlohe nájsť súradnice priesečníka dvoch priamok pomocou daných rovníc priamok v rovine.

Nech je na rovine pripevnený pravouhlý karteziánsky súradnicový systém Oxy a dané dve pretínajúce sa čiary a A b rovnice a resp. Priesečník daných priamok označme ako M 0 a vyriešte nasledujúci problém: nájdite súradnice priesečníka dvoch priamok a A b podľa známych rovníc týchto čiar a .

Bodka M0 patrí každej z pretínajúcich sa čiar a A b podľa definície. Potom súradnice priesečníka čiar a A b splniť rovnicu aj rovnicu . Preto súradnice priesečníka dvoch čiar a A b sú riešením sústavy rovníc (pozri článok riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc).

Aby ste teda našli súradnice priesečníka dvoch priamok definovaných v rovine všeobecnými rovnicami, musíte vyriešiť sústavu zloženú z rovníc daných priamok.

Pozrime sa na príklad riešenia.

Nájdite priesečník dvoch priamok definovaných v pravouhlom súradnicovom systéme v rovine pomocou rovníc x-9y+14=0 A 5x-2y-16=0.

Sú nám dané dve všeobecné rovnice priamok, urobme z nich sústavu: . Riešenia výsledného systému rovníc sa dajú ľahko nájsť vyriešením jeho prvej rovnice vzhľadom na premennú x a dosaďte tento výraz do druhej rovnice:

Nájdené riešenie sústavy rovníc nám dáva požadované súradnice priesečníka dvoch priamok.

M 0 (4, 2)– priesečník čiar x-9y+14=0 A 5x-2y-16=0.

Takže nájdenie súradníc priesečníka dvoch priamok, definovaných všeobecnými rovnicami v rovine, vedie k riešeniu systému dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi premennými. Čo ak však priamky v rovine nie sú dané všeobecnými rovnicami, ale rovnicami iného typu (pozri typy rovníc priamky v rovine)? V týchto prípadoch môžete najskôr zredukovať rovnice čiar do všeobecného tvaru a až potom nájsť súradnice priesečníka.

Pred nájdením súradníc priesečníka daných priamok zredukujeme ich rovnice do všeobecného tvaru. Prechod z parametrických rovníc čiary na všeobecnú rovnicu tejto čiary vyzerá takto:

Teraz vykonajte potrebné kroky s kanonickou rovnicou priamky:

Požadované súradnice priesečníka čiar sú teda riešením systému rovníc tvaru . Na jeho vyriešenie používame Cramerovu metódu:

M 0 (-5, 1)

Existuje ďalší spôsob, ako nájsť súradnice priesečníka dvoch priamok v rovine. Je vhodné použiť, keď je jedna z čiar daná parametrickými rovnicami tvaru a druhá čiarovou rovnicou iného typu. V tomto prípade v inej rovnici namiesto premenných x A r môžete dosadiť výrazy a , odkiaľ získate hodnotu, ktorá zodpovedá priesečníku daných čiar. V tomto prípade má priesečník čiar súradnice.

Pomocou tejto metódy nájdime súradnice priesečníka čiar z predchádzajúceho príkladu.

Určte súradnice priesečníka čiar a .

Dosadíme do rovnice priamkový výraz:

Po vyriešení výslednej rovnice dostaneme . Táto hodnota zodpovedá spoločnému bodu čiar a . Súradnice priesečníka vypočítame dosadením priamky do parametrických rovníc:
.

M 0 (-5, 1).

Na dokončenie obrazu je potrebné prediskutovať ešte jeden bod.

Pred zistením súradníc priesečníka dvoch priamok na rovine je vhodné sa presvedčiť, či sa dané priamky skutočne pretínajú. Ak sa ukáže, že pôvodné čiary sa zhodujú alebo sú rovnobežné, potom nemôže byť reč o nájdení súradníc priesečníka takýchto čiar.

Môžete sa, samozrejme, zaobísť bez takejto kontroly, ale okamžite vytvorte systém rovníc formulára a vyriešte ho. Ak má systém rovníc jedinečné riešenie, potom udáva súradnice bodu, v ktorom sa pôvodné priamky pretínajú. Ak systém rovníc nemá žiadne riešenia, potom môžeme dospieť k záveru, že pôvodné čiary sú rovnobežné (keďže takýto pár reálnych čísel neexistuje x A r, čo by súčasne spĺňalo obe rovnice daných čiar). Z prítomnosti nekonečného počtu riešení sústavy rovníc vyplýva, že pôvodné priamky majú nekonečne veľa spoločných bodov, čiže sa zhodujú.

Pozrime sa na príklady, ktoré zodpovedajú týmto situáciám.

Zistite, či sa čiary a pretínajú, a ak sa pretínajú, potom nájdite súradnice priesečníka.

Uvedené rovnice čiar zodpovedajú rovnicam a . Poďme vyriešiť systém zložený z týchto rovníc.

Je zrejmé, že rovnice sústavy sú lineárne vyjadrené cez seba (druhá rovnica sústavy sa získa z prvej vynásobením oboch jej častí číslom 4 ), preto má sústava rovníc nekonečný počet riešení. Rovnice teda definujú rovnakú priamku a nemôžeme hovoriť o hľadaní súradníc priesečníka týchto priamok.

rovníc a sú definované v pravouhlom súradnicovom systéme Oxy rovnakú priamku, takže nemôžeme hovoriť o hľadaní súradníc priesečníka.

Nájdite súradnice priesečníka čiar a , ak je to možné.

Stav problému umožňuje, že čiary sa nemusia pretínať. Vytvorme systém z týchto rovníc. Na jeho vyriešenie použijeme Gaussovu metódu, pretože nám umožňuje určiť kompatibilitu alebo nekompatibilitu systému rovníc, a ak je kompatibilný, nájsť riešenie:

Posledná rovnica sústavy sa po priamom prechode Gaussovou metódou zmenila na nesprávnu rovnosť, preto sústava rovníc nemá riešenia. Z toho môžeme usúdiť, že pôvodné čiary sú rovnobežné a nemôžeme hovoriť o hľadaní súradníc priesečníka týchto čiar.

Druhé riešenie.

Poďme zistiť, či sa dané čiary pretínajú.

Normálny vektor je čiara a vektor je normálny vektor čiary. Skontrolujme, či platí podmienka kolinearity vektorov a : rovnosť, keďže , teda normálové vektory daných priamok sú kolineárne. Potom sú tieto čiary rovnobežné alebo zhodné. Nemôžeme teda nájsť súradnice priesečníka pôvodných čiar.

nie je možné nájsť súradnice priesečníka daných čiar, pretože tieto čiary sú rovnobežné.

Nájdite súradnice priesečníka čiar 2x-1=0 a , ak sa pretínajú.

Zostavme sústavu rovníc, ktoré sú všeobecnými rovnicami daných čiar: . Determinant hlavnej matice tejto sústavy rovníc je nenulový, preto sústava rovníc má jedinečné riešenie, ktoré udáva priesečník daných priamok.

Aby sme našli súradnice priesečníka čiar, musíme vyriešiť systém:

Výsledné riešenie nám dáva súradnice priesečníka čiar, teda priesečník čiar 2x-1=0 A .

Začiatok stránky

Nájdenie súradníc priesečníka dvoch priamok v priestore.

Súradnice priesečníka dvoch priamok v trojrozmernom priestore sa nachádzajú podobne.

Nechajte pretínajúce sa čiary a A bšpecifikované v pravouhlom súradnicovom systéme Oxyz rovnice dvoch pretínajúcich sa rovín, teda priamky a je určená systémom tvaru a priamky b- . Nechaj M 0– priesečník čiar a A b. Potom bod M 0 podľa definície tiež patrí do radu a a rovno b, preto jeho súradnice spĺňajú rovnice oboch priamok. Teda súradnice priesečníka čiar a A b predstavujú riešenie sústavy lineárnych rovníc tvaru . Tu budeme potrebovať informácie z časti o riešení sústav lineárnych rovníc, v ktorých sa počet rovníc nezhoduje s počtom neznámych premenných.

Pozrime sa na riešenia príkladov.

Nájdite súradnice priesečníka dvoch priamok definovaných v priestore rovnicami a .

Zostavme sústavu rovníc z rovníc daných čiar: . Riešenie tohto systému nám poskytne požadované súradnice priesečníka priamok v priestore. Poďme nájsť riešenie napísanej sústavy rovníc.

Hlavná matica systému má tvar a rozšírená - .

Poďme určiť hodnosť matice A a maticová hodnosť T. Používame metódu ohraničenia maloletých, ale nebudeme podrobne popisovať výpočet determinantov (v prípade potreby si pozrite článok Výpočet determinantu matice):

Hodnosť hlavnej matice sa teda rovná hodnote rozšírenej matice a rovná sa trom.

V dôsledku toho má systém rovníc jedinečné riešenie.

Determinant budeme brať ako základ moll, preto by mala byť posledná rovnica zo sústavy rovníc vylúčená, keďže sa nezúčastňuje na tvorbe základu moll. takže,

Riešenie pre výsledný systém je ľahké nájsť:

Priesečník čiar má teda súradnice (1, -3, 0) .

(1, -3, 0) .

Je potrebné poznamenať, že systém rovníc má jedinečné riešenie práve vtedy, ak sú priamky a A b pretínajú. Ak rovno A A b rovnobežka alebo kríženie, potom posledná sústava rovníc nemá riešenia, keďže v tomto prípade priamky nemajú spoločné body. Ak rovno a A b sa zhodujú, potom majú nekonečný počet spoločných bodov, preto má uvedený systém rovníc nekonečný počet riešení. V týchto prípadoch však nemôžeme hovoriť o hľadaní súradníc priesečníka čiar, pretože čiary sa nepretínajú.

Ak teda vopred nevieme, či sa dané čiary pretínajú a A b alebo nie, potom je rozumné vytvoriť sústavu rovníc tvaru a vyriešiť ju Gaussovou metódou. Ak dostaneme jedinečné riešenie, potom bude zodpovedať súradniciam priesečníka čiar a A b. Ak sa ukáže, že systém je nekonzistentný, tak ten priamy a A b nepretínajú sa. Ak má sústava nekonečný počet riešení, potom priamky a A b zápas.

Môžete to urobiť bez použitia Gaussovej metódy. Prípadne môžete vypočítať poradie hlavných a rozšírených matíc tohto systému a na základe získaných údajov a Kronecker-Capelliho vety dospieť k záveru buď o existencii jediného riešenia, alebo o existencii mnohých riešení, alebo o absencii riešenia. Je to vec vkusu.

Ak sa čiary pretínajú, určte súradnice priesečníka.

Zo zadaných rovníc vytvoríme sústavu: . Poďme to vyriešiť pomocou Gaussovej metódy v maticovom tvare:

Ukázalo sa, že sústava rovníc nemá riešenia, preto sa dané priamky nepretínajú a o nájdení súradníc priesečníka týchto priamok nemôže byť ani reči.

nemôžeme nájsť súradnice priesečníka daných čiar, keďže tieto čiary sa nepretínajú.

Keď sú pretínajúce sa priamky dané kanonickými rovnicami priamky v priestore alebo parametrickými rovnicami priamky v priestore, mali by sa najprv získať ich rovnice vo forme dvoch pretínajúcich sa rovín a až potom nájsť súradnice priesečníka.

V pravouhlom súradnicovom systéme sú definované dve pretínajúce sa čiary Oxyz rovnice a . Nájdite súradnice priesečníka týchto čiar.

Definujme počiatočné priamky rovnicami dvoch pretínajúcich sa rovín:

Na nájdenie súradníc priesečníka priamok zostáva vyriešiť sústavu rovníc. Hodnosť hlavnej matice tohto systému sa rovná hodnote rozšírenej matice a je rovná trom (odporúčame túto skutočnosť skontrolovať). Vezmime si za základ moll, preto môžeme poslednú rovnicu zo systému vylúčiť. Po vyriešení výsledného systému pomocou akejkoľvek metódy (napríklad Cramerovej metódy) získame riešenie. Priesečník čiar má teda súradnice (-2, 3, -5) .