Stokesova veta. Cirkulácia vektorového poľa

Nech je dané spojité vektorové pole a) k a uzavretý orientovaný obrys L v nejakej oblasti G. Definícia 1. Obeh vektora a pozdĺž uzavretého obrysu L je krivočiary integrál 2. druhu vektora a pozdĺž obrysu. L. Tu dr je vektor, ktorého dĺžka sa rovná diferenciálnemu oblúku L, a smer sa zhoduje so smerom dotyčnice k L, op- Obr. 31 určená orientáciou obrysu (obr. 31); symbol f znamená, že integrál je braný pozdĺž alternatívneho obrysu L. b Príklad 1. vypočítajte cirkuláciu vektorového poľa pozdĺž elipsy L: Podľa definície cirkulácie máme Parametrické rovnice tejto elipsy majú tvar: , a, preto, . Dosadením týchto výrazov do vzorca (2) nájdeme Obeh vektorového poľa. Rotor vektora Stokesova veta Rotor (vír) vektorového poľa Invariantná definícia rotora poľa Fyzikálny význam rotora poľa Pravidlá pre výpočet rotora 8.1. Rotor (vír) vektorového poľa Uvažujme pole vektora P, Q, R, ktoré sú spojité a majú spojité parciálne derivácie prvého rádu vzhľadom na všetky ich argumenty. Definícia 2. Rotor vektora "(M) je vektor označený symbolom rot a a definovaný rovnosťou alebo v symbolickej, ľahko zapamätateľnej forme Tento determinant je rozšírený o prvky prvého riadku. , pričom operácie násobenia prvkov druhého riadku prvkami tretieho riadku chápeme ako operácie diferenciácie, napríklad Definícia 3. Ak v niektorej oblasti G máme rot a = 0, potom pole vektora a v doméne G sa nazýva irotačný. Príklad 2. Nájdite rotor vektora 4 Podľa vzorca (3) máme Keďže rot a je vektor, môžeme uvažovať vektorové pole - pole rotora vektora a. Za predpokladu, že súradnice vektora a majú spojité parciálne derivácie druhého rádu, vypočítame divergenciu vektora rot a. Získame Pole vektorovej roty je teda solenoidové. Veta 7 (Stokes). Cirkulácia vektora a pozdĺž orientovaného uzavretého obrysu L sa rovná rotorovému toku tohto vektora cez ľubovoľnú plochu E preklenutú obrysom L. Predpokladá sa, že súradnice vektora a majú v niektorej oblasti G spojité parciálne derivácie. priestor obsahujúci plochu E, a že orientácia jednotkového vektora normálového bodu k ploche EC G je koordinovaná s orientáciou vrstevnice L tak, že od konca normy je obvod okolo vrstevnice daným smerom. prebieha proti smeru hodinových ručičiek. Vzhľadom na to a pomocou definície rotora (3) prepíšeme vzorec (4) do nasledujúceho tvaru: Najprv uvažujme prípad, keď sa hladký povrch E a jeho obrys L jednoznačne premietajú do oblasti D xOy. rovina a jej hranica - obrys A (obr. 32). Orientácia obrysu L vedie k určitej orientácii obrysu A. Pre definitívnosť budeme predpokladať, že obrys L je orientovaný tak, že plocha E zostáva vľavo, takže normálový vektor n k ploche E je ostrý uhol 7 (cos 7 > 0). Nech je rovnica plochy E a funkcie φ(x)y spojitá a má spojité parciálne derivácie gf a ^ v uzavretej oblasti D. Uvažujme integrál Priamka L leží na ploche E. Preto pomocou rovnice túto plochu môžeme nahradiť r pod znamienkom integrálu na ^(zh, y). Súradnice premenného bodu krivky A sa rovnajú súradniciam príslušného bodu na krivke L, a preto integráciu nad L môžeme nahradiť integráciou nad A. Aplikujme Greenov vzorec na integrál vpravo. Teraz prejdeme od integrálu cez oblasť D k integrálu nad plochou E. Keďže dS = cos 7 da, potom zo vzorca (8) dostaneme, že normálový vektor n° k ploche E je určený výrazom k. Z toho je jasné, že. Rovnosť (9) teda môžeme prepísať nasledovne: Vzhľadom na to, že E je hladký povrch, ktorý sa jednoznačne premieta do všetkých troch súradnicových rovín, sme podobne presvedčení o platnosti vzorcov Obeh vektorového poľa. Rotor vektora Stokesova veta Rotor (vír) vektorového poľa Invariantná definícia rotora poľa Fyzikálny význam rotora poľa Pravidlá pre výpočet rotora Sčítaním rovností člen po člene získame Stokesov vzorec ( 5), alebo v skratke Poznámka 1. Ukázali sme, že pole vektorovej roty je solenoidové, a preto tok vektorovej roty nezávisí od typu plochy E preklenutej obrysom L. Poznámka 2 Vzorec (4) bol odvodený za predpokladu, že povrch £ sa jednoznačne premieta na všetky tri súradnicové roviny. Ak táto podmienka nie je splnená, rozdelíme £ na časti tak, aby každá časť spĺňala zadanú podmienku, a potom použijeme aditivitu integrálov. Príklad 3. Vypočítajte cirkuláciu vektora pozdĺž priamky 1) pomocou definície; 2) podľa Stokesovej vety. 4 1) Definujme čiaru L parametricky: Potom 2) Nájdite rotáciu: Natiahnite kus roviny na obrys L Potom. Invariantná definícia rotora poľa Zo Stokesovej vety je možné získať invariantnú definíciu rotora poľa, ktorá nesúvisí s výberom súradnicového systému. Veta 8. Priemet rotora a do ľubovoľného smeru nezávisí od voľby súradnicového systému a rovná sa plošnej hustote obehu vektora a pozdĺž obrysu plochy kolmej na tento smer. Tu je (E) a plochá plocha kolmá na vektor l; 5 - oblasť tejto lokality; L - obrys miesta, orientovaný tak, aby bol obtok okruhu viditeľný z konca vektora n proti smeru hodinových ručičiek; (E) M znamená, že plocha (E) sa zmršťuje do bodu M, v ktorom sa uvažuje vektor rot a a normálový vektor n k tejto ploche zostáva stále rovnaký (obr. 33). 4 Najprv aplikujme Stokesovu vetu na cirkuláciu (a,dr) vektora a a potom na výsledný dvojitý integrál - teorém o strednej hodnote: odkiaľ (skalárny súčin sa vezme v nejakom strede Mf plochy ( E)). Keďže plocha (E) sa priťahuje k bodu M, stredný bod A/c má tiež tendenciu k bodu M a v dôsledku predpokladanej kontinuity parciálnych derivácií súradníc vektora a (a teda kontinuity rot a) get Keďže projekcia rotácie vektora a do ľubovoľného smeru nezávisí od výberu súradnicového systému, potom je samotná rotácia vektora vzhľadom na túto voľbu invariantná. Odtiaľ dostaneme nasledujúcu invariantnú definíciu rotora poľa: rotor poľa je vektor, ktorého dĺžka sa rovná najvyššej hustote povrchovej cirkulácie v danom bode, nasmerovaná kolmo na oblasť, na ktorej sa dosiahne táto najvyššia hustota cirkulácie; v tomto prípade je orientácia vektorovej rotácie v súlade s orientáciou obrysu, pri ktorej je cirkulácia pozitívna, podľa pravidla pravej skrutky. 8.3. Fyzikálny význam rotora poľa Nech sa tuhé teleso otáča okolo pevnej osi I uhlovou rýchlosťou u. Bez straty všeobecnosti môžeme predpokladať, že os I sa zhoduje s osou Oz (obr. 34). Nech M(g) je bod skúmaného telesa, kde vektor uhlovej rýchlosti je v našom prípade rovný = wk, vypočítajme vektor v lineárnej rýchlosti bodu M. Z toho plynie cirkulácia vektorového poľa . Rotor vektora Stokesova veta Rotor (vír) vektorového poľa Invariantná definícia rotora poľa Fyzikálny význam rotora poľa Pravidlá pre výpočet rotora Takže vír rýchlostného poľa rotujúceho tuhého telesa je rovnaký vo všetkých bodoch poľa, rovnobežný s osou rotácie a rovný dvojnásobku uhlovej rýchlosti rotácie. 8.4. Pravidlá pre výpočet rotora 1. Rotor konštantného vektora c sa rovná nulovému vektoru, 2. Rotor má vlastnosť linearity konštantných čísel. 3. Zvinutie súčinu skalárnej funkcie u(M) a vektora a(M) vypočítame podľa vzorca

Táto veta vám umožňuje vypočítať cirkuláciu vektora pozdĺž obrysu konečnej dĺžky pomocou rotora tohto vektora.

Obeh vektorové pole pozdĺž uzavretého pozitívne orientovaného obrysu L rovná prietok rotora toto pole cez akýkoľvek hladký povrch S , na základe tohto obrysu:

. (2.12)

Na dôkaz vety uvažujme obrys s plochou, ktorú pokrýva (obr. 2.6). Celý obrys je rozdelený na elementárne obrysy rovnakej orientácie (obr. 2.10).

Cirkulácia pozdĺž elementárneho okruhu sa rovná
.

Všetky susedné obrysy ( 1 A 2 na obr. 2.10) majú nasledujúcu vlastnosť: na spoločnej hranici s rovnakou hodnotou poľa sa príspevok k obehu pozdĺž každého zo susedných vrstevníc prejaví zmenou znamienka (pre obrys 1 -a  b , a pre 2 - b  a ). Výsledkom je, že príspevok k obehu všetkých vnútorných častí obvodov je vzájomne kompenzovaný a iba časti patriace do obvodu zostanú nekompenzované. L , čo nakoniec dáva (2.12) .

Špeciálnym prípadom (2.12) v prípade vrstevnice umiestnenej na rovine je vzorec D. Greena (M. Ostrogradsky-D. Green):

. (2.13)

Vzorce (2.12) a (2.13) nám umožňujú zredukovať výpočet krivočiareho integrálu druhého druhu na výpočet dvojitého integrálu cez oblasť S .

Spätný prechod podľa (2.12) sa vykonáva podobne ako (2.8).

2.4. Operátor pozorovateľ a operátor Laplace

Pri používaní sa zjednodušuje písanie vzorcov vektorovej analýzy operátor radaru (operátor W. Hamilton), čo je vektor
. Tento vektor sám o sebe nemá žiadny význam, ale umožňuje nám kompaktne písať vzorce (2.3), (2.5) a (2.9):

;
;
. (2.14)

Operátor nabla navyše umožňuje zjednodušiť výpočet diferenciálnych operátorov vyššieho rádu.

Treba poznamenať, že s  malo by sa s ním zaobchádzať opatrne a pri jeho používaní by ste mali pamätať na to, že tento operátor nie je len vektor , ale tiež diferenciál .

Napríklad nájdime
. Pomocou dostaneme
. Podľa pravidiel diferenciácie ako prvý koná prevádzkovateľ produktu najprv násobiteľom a potom podľa druhý: . V dôsledku toho dostaneme. Postup výpočtu pomocou vektorových súradníc by si vyžadoval rádovo viac operácií.

Skúste sami získať vzorec pre rozšírenie, ktoré nie je zahrnuté v (2.15)
. Správna odpoveď je uvedená na konci prihlášky 1 .

Niektoré identity a operácie druhého rádu.

;
;

;
;

Laplaceov operátor ( , Laplacian ) je operátor druhého rádu.

Páči sa mi to  ,  platí pre skalárne aj vektorové.

. (2.17)

V prípade karteziánskeho súradnicového systému (2.18) je zjednodušené:

Informácie o krivočiarych súradnicových systémoch často používaných v teórii EMF ( cylindrický A guľovitý ) a vektorové operácie v nich sú uvedené v Dodatok 2 .

2.5. Klasifikácia vektorových polí

Vektorové pole je daný jednoznačne, ak jeho rotor a divergencia sú známe ako funkcie priestorových súradníc.

V závislosti od hodnôt týchto funkcií existujú potenciál , vír (solenoidový ) pole a generické pole .

Vektorové pole potenciálne , ak existuje nejaká skalárna funkcia U , ktorý je spojený s nasledujúcim spôsobom:
. Funkcia U volal potenciál skalárneho poľa .

Nevyhnutná a postačujúca podmienka potenciál je rotor rovný nule (
).

Solenoidový (vír ) sa nazýva vektorové pole , v každom bode ktorej
(nutná a postačujúca podmienka),
.

Solenoidové vektorové pole môže byť reprezentovaný ako
. V tomto prípade vektorová veličina volal potenciál vektorového poľa (
).

Názov tohto typu poľa možno vysvetliť tým, že bol objavený v r solenoid , – induktor (môže byť s jadrom alebo bez neho), ktorého dĺžka výrazne presahuje priemer.

Ak je vektorové pole
A
, teda - generické pole .

Ľubovoľné vektorové pole všeobecného typu môže byť reprezentované ako súčet potenciálových a vírivých častí:
, - kde v zahrnuté terénne zdroje (
), a v –poľné víry (
).

Teraz, po preštudovaní integrálnych a diferenciálnych operácií a základných teorémov vektorovej analýzy, môžeme začať študovať základy teórie EMF - Maxwellov systém rovníc .

Vedieť v každom bode S, náklad nájdete podľa G okolo S. Poďme si to rozobrať S na  S:

A

- normálny až povrchový prvok  S.

Nechajte všetkých  S 0 , Potom:

Stokesova veta:

Vektor obehu pozdĺž ľubovoľného obrysu G rovná toku vektora
cez ľubovoľný povrch S, obmedzený týmto obrysom.

3.7 Cirkulácia a rotor elektrostatického poľa

Práca elektrostatických síl pozdĺž akéhokoľvek uzavretého okruhu je nulová.

tie. cirkulácia elektrostatického poľa pozdĺž akéhokoľvek obvodu je nulová.

Zoberme si akýkoľvek povrch S, na základe obrysu G.

Podľa Stokesovej vety:

;

pretože je to pre akýkoľvek povrch S, To

Existuje identita:

tie. elektrostatické siločiary necirkulujú v priestore.

3.8 Gaussova veta

nájdeme
elektrostatické pole. Pre bodový náboj je hustota čiary číselne rovná

Prietok cez ktorýkoľvek uzavretý povrch sa rovná počtu vychádzajúcich čiar, t.j. počnúc nábojom „+“ a končiac nábojom „-“:

Znak toku sa zhoduje so znakom q, rozmery sú rovnaké.

Nech je tam N bodové poplatky q i .

Tok vektora intenzity elektrostatického poľa cez uzavretý povrch sa rovná algebraickému súčtu nábojov obsiahnutých vo vnútri tohto povrchu vydelenému  0.

4 Výpočet polí pomocou Gaussovej vety

4.1 Pole rovnomerne nabitej nekonečnej platne.

4.2 Pole rovnomerne nabitej guľovej plochy.

4.3 Pole dvoch nekonečných rovnobežných opačne nabitých rovín

4.4 Pole objemovo nabitej gule

4.1 Pole rovnomerne nabitej nekonečnej platne

IN zaviesť pojem povrchová hustota

- poplatok za jednotku povrchu.

Nekonečná doska nabitá konštantnou hustotou povrchu +  . Napínacie čiary sú kolmé na uvažovanú rovinu a smerujú z nej v oboch smeroch.

Ako uzavretú plochu zostrojíme valec, ktorého základne sú rovnobežné s rovinou a os je na ňu kolmá, pretože tvoriace priamky valca sú rovnobežné E, To cos =0 a tok cez bočný povrch je 0 a celkový tok cez valec sa rovná súčtu tokov cez jeho základňu.

E'=E''=E,

To F= 2E S;

q = S

Z toho vyplýva E nezávisí od dĺžky valca, t.j. Plocha poľa v akejkoľvek vzdialenosti je v absolútnej hodnote rovnaká, t.j. Pole rovnomerne nabitej platne je rovnomerné.

4.2 Pole rovnomerne nabitej guľovej plochy

S polomer guľového povrchu R so spoločným nábojom q.

Pretože náboj je rozložený rovnomerne, vtedy má pole sférickú symetriu, t.j. rovinné čiary smerujú radiálne.

Poďme mentálne zostrojiť sféru polomeru r R. Pretože r R, potom celý náboj padne do povrchu podľa Gaussovej vety:

O r R pole so vzdialenosťou klesá r podľa rovnakého zákona ako o bodovom poplatku.

Ak r' R, potom uzavretý povrch neobsahuje vo vnútri náboje, z toho vyplýva, že vnútri rovnomerne nabitého guľového povrchu nie je žiadne elektrostatické pole E=0.

4.3 Pole dvoch nekonečných rovnobežných opačne nabitých rovín

Nech sú roviny nabité rovnomerne opačnými nábojmi s povrchovou hustotou +  A -  .

Pole nájdeme ako superpozíciu vytvorenú každou z rovín samostatne.

Z taniera E = 0(okraje sa odpočítajú, pretože čiary sú nasmerované k sebe).

V oblasti medzi rovinami

E = E + + E -

Potom

Keď poznáme rotor vektora a v každom bode nejakého (nie nevyhnutne plochého) povrchu S, môžeme vypočítať cirkuláciu tohto vektora pozdĺž obrysu Г ohraničujúceho S (obrys môže byť aj nerovný). Aby sme to dosiahli, rozdeľujeme povrch na veľmi malé prvky. Vzhľadom na ich drobnosť možno tieto prvky považovať za ploché.

Preto v súlade s (11.23) môže byť cirkulácia vektora a pozdĺž hraničného obrysu znázornená v tvare

kde je kladná normála k povrchovému prvku

V súlade so vzorcom (11.21), súčtom výrazu (11.29) cez všetky dostaneme cirkuláciu vektora a pozdĺž obrysu Г, obmedzujúci

Po prechode na limit, v ktorom majú všetky AS tendenciu k nule (ich počet rastie neobmedzene), dospejeme k vzorcu

(11.30)

Vzťah (11.30) sa nazýva Stokesova veta. Jeho význam spočíva v tom, že obeh vektora a po ľubovoľnom obryse Г sa rovná toku vektora rota cez ľubovoľnú plochu S ohraničenú daným obrysom.

Prevádzkovateľ observatória Písanie vzorcov vektorovej analýzy je výrazne zjednodušené a uľahčené, ak zavediete vektorový diferenciálny operátor označený symbolom a nazývaný operátor Nabla alebo Hamiltonov operátor. Tento operátor znamená vektor s komponentmi.

Samotný tento vektor nemá žiadny význam. Význam nadobúda v kombinácii so skalárnou alebo vektorovou funkciou, ktorou sa symbolicky násobí. Ak teda vynásobíte vektor y skalárom, dostanete vektor

čo je gradient funkcie (pozri (11.1)).

Ak sa vektor y skalárne vynásobí vektorom a, výsledkom je skalár

čo nie je nič iné ako divergencia vektora a (pozri (11.14)).

Nakoniec, ak vynásobíte y vektorovo, dostanete vektor so zložkami: atď., ktoré sa zhodujú so zložkami rota (pozri (11.25) - (11.27)).

Preto pomocou zápisu vektorového súčinu pomocou determinantu môžeme písať

(11-34)

Existujú teda dva spôsoby zaznamenávania gradientu, divergencie a rotora:

Zápis pomocou y má množstvo výhod. Preto v nasledujúcom budeme používať takýto zápis. Mali by ste si zvyknúť identifikovať symbol so slovami „gradient“ (t. j. nehovorte „nabla“, ale „gradient phi“), symbol so slovami „divergencia a“ a nakoniec symbol so slovami „rotor a “.

Pri použití vektora y si treba uvedomiť, že ide o diferenciálny operátor pôsobiaci na všetky funkcie napravo od neho. Preto pri transformácii výrazov, ktoré obsahujú y, musíte brať do úvahy pravidlá vektorovej algebry aj pravidlá diferenciálneho počtu. Napríklad derivácia súčinu funkcií sa rovná

Na základe tohto

Podobne

Gradient nejakej funkcie je vektorová funkcia. Preto je možné naň aplikovať divergenciu a operácie rotora.