Vektorové diagramy predstavujúce harmonické vibrácie. a) A - maximálna hodnota kmitajúcej veličiny, nazývaná amplitúda kmitania

Nútené vibrácie. Rezonancia.

Doteraz sme považovali prirodzené kmity, kmity, ktoré sa vyskytujú pri absencii vonkajších vplyvov. Vonkajší vplyv bol potrebný len na to, aby sa systém dostal z rovnováhy, potom bol ponechaný sám na seba. Diferenciálna rovnica vlastných kmitov neobsahuje žiadne stopy vonkajšieho vplyvu na systém: tento vplyv sa prejavuje iba v počiatočných podmienkach.

Vznik oscilácií.

Ale veľmi často sa človek musí vysporiadať s výkyvmi, ktoré sa vyskytujú s neustále prítomným vonkajším vplyvom. Obzvlášť dôležitý a zároveň celkom jednoduchý na štúdium je prípad, keď je vonkajšia sila periodická. Spoločným znakom vynútených kmitov, ktoré sa vyskytujú pod vplyvom periodickej vonkajšej sily, je, že po určitom čase po nástupe vonkajšej sily systém úplne „zabudne“ na svoj počiatočný stav, oscilácie sa stanú stacionárnymi a nezávisia od počiatočných podmienok. . Počiatočné podmienky sa objavujú až počas obdobia vytvárania oscilácií, ktoré sa zvyčajne nazýva prechodový proces.

Sínusový efekt.

Uvažujme najskôr o najjednoduchšom prípade vynútených kmitov oscilátora pod vplyvom vonkajšej sily meniacej sa podľa sínusového zákona.

Takýto vonkajší vplyv na systém možno vykonať rôznymi spôsobmi. Môžete napríklad vziať kyvadlo vo forme gule na dlhej tyči a dlhej pružine s nízkou tuhosťou a pripevniť ju k tyči kyvadla v blízkosti závesného bodu, ako je znázornené na obr. 178. Druhý koniec horizontálnej pružiny by sa mal pohybovať podľa zákona B pomocou kľukového mechanizmu poháňaného elektromotorom. Hnacia sila pôsobiaca na kyvadlo od pružiny bude prakticky sínusová, ak rozsah pohybu ľavého konca pružiny B bude oveľa väčší ako amplitúda kmitania tyče kyvadla v mieste, kde je pružina pripevnená.

Pohybová rovnica.

U Pohybovú rovnicu pre tento a ďalšie podobné systémy, v ktorých spolu s vratnou silou a odporovou silou pôsobí na oscilátor hnacia vonkajšia sila, meniaca sa sínusovo s časom, možno zapísať v tvare Tu ľavá strana, v v súlade s druhým Newtonovým zákonom, je súčinom hmotnosti a zrýchlenia. Prvý člen na pravej strane predstavuje vratnú silu, úmernú posunutiu z rovnovážnej polohy. Pre bremeno zavesené na pružine je to elastická sila a vo všetkých ostatných prípadoch, keď je jej fyzikálna podstata iná, sa táto sila nazýva kvázi elastická. Druhým pojmom je trecia sila, úmerná rýchlosti, napríklad sila odporu vzduchu alebo trecia sila v osi. Amplitúdu a frekvenciu hnacej sily kývajúcej sústavou budeme považovať za konštantnú Vydelíme obe strany rovnice hmotnosťou a zavedieme zápis Pri absencii hnacej sily pravá strana rovnice zanikne. ako by sa dalo očakávať, redukuje sa na rovnicu vlastných tlmených kmitov Skúsenosti ukazujú, že vo všetkých systémoch sa vplyvom sínusovej vonkajšej sily nakoniec vytvoria kmity, ktoré sa vyskytujú aj podľa sínusového zákona s frekvenciou . hnacia sila co a s konštantnou amplitúdou a, ale s určitým fázovým posunom vzhľadom na hnaciu silu. Takéto oscilácie sa nazývajú vynútené oscilácie v ustálenom stave. Uvažujme najskôr o ustálených vynútených osciláciách a pre jednoduchosť zanedbáme trenie. V tomto prípade rovnica nebude mať člen obsahujúci rýchlosť Skúsme hľadať riešenie zodpovedajúce ustáleným vynúteným osciláciám v tvare Vypočítajme druhú deriváciu a dosadíme ju spolu do rovnice platné kedykoľvek, koeficienty vľavo a vpravo musia byť rovnaké. Z tejto podmienky zistíme amplitúdu kmitov. Preštudujme si závislosť amplitúdy a od frekvencie c hnacej sily. Graf tejto závislosti je na obr. 179. Nahradením hodnôt tu vidíme, že konštanta sily v čase jednoducho posunie oscilátor do novej rovnovážnej polohy, posunutej zo starej. Z toho vyplýva, že keď dôjde k posunu, fázové vzťahy. Keď sa frekvencia zvyšuje s hnacou silou z kolesa v ustálenom stave. 179. grafe, závislosti sa vyskytujú vo fáze s hnacou silou a ich amplitúda sa neustále zvyšuje, najskôr pomaly, a ako sa približuje rýchlejšie a rýchlejšie, amplitúda oscilácií sa zvyšuje na neurčito pre hodnoty presahujúce frekvenciu vlastných oscilácií , vzorec dáva zápornú hodnotu pre a ( ryža. 179). Zo vzorca je zrejmé, že keď sa oscilácie vyskytujú v protifáze s hnacou silou: keď sila pôsobí v jednom smere, oscilátor sa posúva v opačnom smere. Pri neobmedzenom zvyšovaní frekvencie hnacej sily má amplitúda kmitov tendenciu k nule.

Je vhodné považovať amplitúdu kmitov za kladnú vo všetkých prípadoch, čo sa dá ľahko dosiahnuť zavedením fázového posunu medzi hnacím a tu je stále dané vzorcom a fázový posun je rovný nule. Grafy závislosti hnacej sily na frekvencii sú znázornené na obr. 180.

Rezonancia.

Závislosť amplitúdy vynútených kmitov od frekvencie hnacej sily je nemonotónna. Prudký nárast amplitúdy vynútených kmitov, keď sa frekvencia hnacej sily blíži k vlastnej frekvencii co0 oscilátora, sa nazýva rezonancia. Vzorec vyjadruje amplitúdu vynútených kmitov pri zanedbaní trenia. Práve pri tomto zanedbaní sa amplitúda kmitov mení do nekonečna s presnou zhodou frekvencií. V skutočnosti amplitúda kmitov samozrejme nemôže ísť do nekonečna, čo znamená, že pri popise vynútených kmitov v blízkosti rezonancie je zásadne potrebné brať do úvahy trenie. Keď sa vezme do úvahy trenie, amplitúda vynútených kmitov pri rezonancii sa ukáže ako konečná. Čím väčšie je trenie v systéme, tým menšie bude. Ďaleko od rezonancie možno vzorec použiť na nájdenie amplitúdy kmitov aj v prítomnosti trenia, ak nie je príliš silné. Navyše tento vzorec získaný bez zohľadnenia trenia má fyzikálny význam iba vtedy, keď existuje trenie. Faktom je, že samotný koncept ustálených vynútených oscilácií je použiteľný iba pre systémy, v ktorých dochádza k treniu.

Ak by vôbec žiadne trenie nebolo, potom by proces vytvárania oscilácií pokračoval donekonečna. V skutočnosti to znamená, že výraz pre amplitúdu vynútených kmitov získaný bez zohľadnenia trenia bude správne opisovať kmitanie v systéme až po dostatočne dlhom čase od začiatku pôsobenia hnacej sily. Slová „dostatočne dlhé časové obdobie“ tu znamenajú, že sa už skončil prechodový proces, ktorého trvanie sa zhoduje s charakteristickou dobou doznievania prirodzených oscilácií v systéme. Pri nízkom trení sa vynútené oscilácie v ustálenom stave vyskytujú vo fáze s hnacou silou pri co a v protifáze pri, ako pri absencii trenia. V blízkosti rezonancie sa však fáza nemení náhle, ale nepretržite a pri presnej zhode frekvencií posun fázovo zaostáva za hnacou silou o (štvrtinu periódy). Rýchlosť sa mení vo fáze s hnacou silou, čo poskytuje najpriaznivejšie podmienky pre prenos energie zo zdroja vonkajšej hnacej sily do oscilátora.

Aký fyzikálny význam má každý z výrazov v rovnici opisujúcej vynútené kmitanie oscilátora?

Čo sú vynútené oscilácie v ustálenom stave?

Za akých podmienok môžeme použiť vzorec pre amplitúdu vynútených kmitov v ustálenom stave, získaných bez zohľadnenia trenia?

Čo je rezonancia? Uveďte vám známe príklady prejavu a využitia fenoménu rezonancie.

Opíšte fázový posun medzi hnacou silou a miešaním pre rôzne pomery medzi frekvenciou v hnacej sile a vlastnou frekvenciou oscilátora.

Čo určuje trvanie procesu vytvárania nútených oscilácií? Uveďte dôvody svojej odpovede.

Vektorové diagramy.

Platnosť vyššie uvedených tvrdení môžete overiť, ak získate riešenie rovnice, ktorá popisuje vynútené oscilácie v ustálenom stave v prítomnosti trenia. Keďže ustálené oscilácie nastávajú s frekvenciou hnacej sily c a určitým fázovým posunom, riešenie rovnice zodpovedajúcej takýmto osciláciám treba hľadať v tvare V tomto prípade sa samozrejme zmení aj rýchlosť a zrýchlenie s časom podľa harmonického zákona Amplitúda a ustálených vynútených kmitov a fáz posunu sa vhodne určujú pomocou vektorových diagramov. Využime skutočnosť, že okamžitú hodnotu ľubovoľnej veličiny premenlivej podľa harmonického zákona možno znázorniť ako priemet vektora do nejakého vopred zvoleného smeru a samotný vektor sa otáča rovnomerne v rovine s frekvenciou co, a jeho konštantná dĺžka sa rovná hodnote amplitúdy tejto oscilujúcej veličiny. V súlade s tým spájame s každým členom rovnice vektor rotujúci s uhlovou rýchlosťou, ktorého dĺžka sa rovná hodnote amplitúdy tohto člena, pretože priemet súčtu niekoľkých vektorov sa rovná súčtu projekcií týchto vektorov rovnica znamená, že súčet vektorov spojených s členmi na ľavej strane sa rovná vektoru spojenému s veličinou na pravej strane. Na zostrojenie týchto vektorov zapíšeme okamžité hodnoty všetkých členov na ľavej strane rovnice, berúc do úvahy vzťahy, zo vzorcov je zrejmé, že dĺžkový vektor spojený s množstvom je o uhol vektor spojený s množstvom. Vektor dĺžky mapovaný na prvok je pred vektorom dĺžky. tieto vektory sú nasmerované v opačných smeroch.

Relatívna poloha týchto vektorov pre ľubovoľný časový okamih je znázornená na obr. 181. Celý systém vektorov sa otáča ako celok uhlovou rýchlosťou c proti smeru hodinových ručičiek okolo bodu. Okamžité hodnoty všetkých veličín sa získajú premietnutím zodpovedajúcich vektorov do vopred zvoleného smeru. Vektor spojený s pravou stranou rovnice sa rovná súčtu vektorov znázornených na obr. 181. Toto doplnenie je znázornené na obr. 182. Aplikovaním Pytagorovej vety dostaneme z kde nájdeme amplitúdu vynútených kmitov v ustálenom stave Fázový posun medzi hnacou silou a posunom, ako je vidieť z vektorového diagramu na obr. 182 je záporné, pretože vektor dĺžky zaostáva za vektorom. Preto sa ustálené vynútené kmity vyskytujú podľa harmonického zákona, kde sú určené vzorcami.

Rezonančné krivky.

Amplitúda vytvorených vynútených kmitov je úmerná amplitúde hnacej sily. Pozrime sa na závislosť amplitúdy kmitania od frekvencie hnacej sily. Pri nízkom útlme má táto závislosť veľmi ostrý charakter. Ak potom, ako ko inklinuje k frekvencii voľných oscilácií, amplitúda vynútených oscilácií a smeruje k nekonečnu, čo sa zhoduje s predtým získaným výsledkom. V prítomnosti tlmenia už amplitúda kmitov pri rezonancii nejde do nekonečna, hoci výrazne prekračuje amplitúdu kmitov pod vplyvom vonkajšej sily rovnakej veľkosti, ale s frekvenciou ďaleko od rezonančnej. Rezonančné krivky pre rôzne hodnoty konštanty tlmenia y sú znázornené na obr. 183.

Ak chcete nájsť medznú rezonančnú frekvenciu, musíte nájsť, pri ktorej má radikálny výraz vo vzorci minimum. Prirovnaním derivácie tohto výrazu k nule alebo jej doplnením na úplný štvorec sme presvedčení, že maximálna amplitúda vynútených kmitov nastane, keď je rezonančná frekvencia menšia ako frekvencia voľných kmitov systému. Pri malom y je rezonančná frekvencia takmer identická. Pretože frekvencia hnacej sily má tendenciu k nekonečnu, amplitúda a, ako je možné vidieť, má tendenciu k nule pri pôsobení konštantnej vonkajšej sily. Ide o statické vychýlenie oscilátora z rovnovážnej polohy pod vplyvom maximálnej amplitúdy. Amplitúdu vynútených kmitov pri rezonancii zistíme dosadením frekvencie z do výrazu Čím menšia je konštanta tlmenia, tým väčšia je amplitúda kmitov pri rezonancii. Pri štúdiu vynútených kmitov v blízkosti rezonancie nemožno zanedbať trenie, bez ohľadu na to, aké malé môže byť: iba keď sa berie do úvahy tlmenie, je amplitúda pri rezonancii konečná. Je zaujímavé porovnať hodnotu so statickým posunom pod vplyv sily. Zložením pomeru získame pri nízkom tlmení Ak tu nahradíme a vezmeme do úvahy, že existuje životnosť vlastných tlmených kmitov pre ten istý systém v neprítomnosti vonkajších síl, zistíme, že je počet kmitov vykonaných tlmeným oscilátorom. počas životnosti oscilácií. Rezonančné vlastnosti systému sú teda charakterizované rovnakým parametrom ako jeho vlastné tlmené fázové vzťahy. Vzorec umožňuje analyzovať zmenu fázového posunu medzi vonkajšou silou a posunom počas nútených kmitov. Keď je hodnota d blízka nule. To znamená, že pri nízkych frekvenciách dochádza k posunu oscilátora vo fáze s vonkajšou silou. Keď sa kľuka pomaly otáča na obr. 178 kyvadlo sa pohybuje v čase s pravým koncom ojnice Ak smeruje k nule zo strany záporných hodnôt, fázový posun je rovnaký a oscilátor sa posúva v protifáze s hnacou silou. V rezonancii, ako je z toho zrejmé, posunutie fázovo zaostáva za vonkajšou silou. Druhý zo vzorcov ukazuje, že v tomto prípade sa vonkajšia sila mení vo fáze s rýchlosťou a pôsobí vždy v smere pohybu. To, že to tak má byť, je jasné z intuitívnych úvah o rýchlosti. Zo vzorca je vidieť, že amplitúda rýchlostných kmitov počas ustálených vynútených kmitov je rovnaká. Pomocou získame je závislosť amplitúdy rýchlosti od frekvencie vonkajšej sily znázornená na obr. 184. Rezonančná krivka pre rýchlosť, aj keď je podobná rezonančnej krivke pre posun, sa od nej v niektorých ohľadoch líši. Pri pôsobení konštantnej sily teda oscilátor zaznamená statický posun z rovnovážnej polohy a jeho rýchlosť po ukončení procesu prechodu je nulová. Zo vzorca je zrejmé, že amplitúda rýchlosti v zaniká. K rýchlostnej rezonancii dochádza, keď sa frekvencia vonkajšej sily presne zhoduje s frekvenciou voľných kmitov.

Vektorový diagram. Pridanie vibrácií.

Riešenie mnohých problémov v teórii oscilácií sa stáva oveľa jednoduchším a názornejším, ak sú oscilácie znázornené graficky pomocou metódy vektorové diagramy. Vyberme si nejakú os X. Z bodu 0 na os nanesieme vektor dĺžky , ktorý spočiatku zviera s osou uhol (obr. 2.14.1). Ak privedieme tento vektor do rotácie uhlovou rýchlosťou, potom sa premieta koniec vektora na os X sa časom podľa zákona zmení

.

V dôsledku toho bude projekcia konca vektora na os vykonávať harmonické kmitanie s amplitúdou rovnou dĺžke vektora, s kruhovou frekvenciou rovnou uhlovej rýchlosti rotácie vektora a s počiatočnou fázou rovnou na uhol, ktorý zviera vektor s osou v počiatočnom časovom okamihu. Uhol, ktorý zviera vektor s osou v danom časovom okamihu, určuje fázu kmitania v danom okamihu - .

Z vyššie uvedeného vyplýva, že harmonické kmitanie možno znázorniť pomocou vektora, ktorého dĺžka sa rovná amplitúde kmitania a jeho smer zviera s určitou osou uhol rovný fáze kmitania. Toto je podstata metódy vektorového diagramu.

Sčítanie kmitov rovnakého smeru.

Zvážte pridanie dvoch harmonických kmitov, ktorých smery sú paralelné:

. (2.14.1)

Výsledný posun X bude súčet a . Toto bude oscilácia s amplitúdou.

Využime metódu vektorového diagramu (obr. 2.14.2). Na obrázku a - fázy výsledných a pridaných kmitov, resp. Je ľahké zistiť, čo možno nájsť pridaním vektorov a . Ak sú však frekvencie pridaných kmitov rozdielne, potom sa výsledná amplitúda v čase mení na veľkosti a vektor rotuje premenlivou rýchlosťou, t.j. oscilácia nebude harmonická, ale bude predstavovať nejaký zložitý oscilačný proces. Aby bolo výsledné kmitanie harmonické, musia byť frekvencie pridaných kmitov rovnaké

a výsledné kmitanie nastáva s rovnakou frekvenciou

.

Z konštrukcie je zrejmé, že

Analyzujme výraz (2.14.2) pre amplitúdu výsledného kmitania. Ak fázový rozdiel pridaných kmitov je nulový(oscilácie sú vo fáze), amplitúda sa rovná súčtu amplitúd pridaných kmitov, t.j. má maximálnu možnú hodnotu . Ak fázový rozdiel je(oscilácie sú v protifáze), potom výsledná amplitúda sa rovná rozdielu amplitúdy, t.j. má minimálnu možnú hodnotu .

Sčítanie vzájomne kolmých vibrácií.

Nechajte časticu vykonávať dve harmonické kmity s rovnakou frekvenciou: jedno v smere, ktorý označujeme X, druhý - v kolmom smere r. V tomto prípade sa častica bude pohybovať po nejakej, vo všeobecnom prípade, krivočiarej trajektórie, ktorej tvar závisí od rozdielu fáz oscilácií.

Zvoľme začiatok odpočtu času tak, aby počiatočná fáza jednej oscilácie bola rovná nule:

. (2.14.3)

Na získanie rovnice trajektórie častíc je potrebné vylúčiť z (2.14.3) t. Z prvej rovnice a. znamená, . Prepíšeme druhú rovnicu

alebo

.

Prenesením prvého člena z pravej strany rovnice doľava, kvadratúrou výslednej rovnice a vykonaním transformácií dostaneme

. (2.14.4)

Táto rovnica je rovnicou elipsy, ktorej osi sú vzhľadom na osi otočené X A r v nejakom uhle. V niektorých špeciálnych prípadoch sa však dosiahnu jednoduchšie výsledky.

1. Fázový rozdiel je nulový. Potom z (2.14.4) získame

alebo . (2.14.5)

Toto je rovnica priamky (obr. 2.14.3). Častica teda kmitá pozdĺž tejto priamky s frekvenciou a amplitúdou rovnou .

Komplexná amplitúdová metóda

Poloha bodu v rovine môže byť jednoznačne určená komplexným číslom:

Ak sa bod ($A$) otáča, súradnice tohto bodu sa menia v súlade so zákonom:

Napíšme $z$ v tvare:

kde $Re(z)=x$, teda fyzikálna veličina x sa rovná reálnej časti komplexného výrazu (4). V tomto prípade sa modul komplexného výrazu rovná amplitúde kmitania - $a$, jeho argument sa rovná fáze ($(\omega )_0t+\delta $). Niekedy, keď vezmeme skutočnú časť $z$, znamienko operácie Re sa vynechá a získa sa symbolický výraz:

Výraz (5) by sa nemal brať doslovne. Často formálne zjednodušené (5):

kde $A=ae^(i \delta)$ je komplexná amplitúda kmitania. Komplexný charakter amplitúdy $A$ znamená, že oscilácia má počiatočnú fázu, ktorá sa nerovná nule.

Aby sme odhalili fyzikálny význam výrazu ako (6), predpokladáme, že frekvencia oscilácií ($(\omega )_0$) má skutočnú a imaginárnu časť a môže byť reprezentovaná ako:

Potom výraz (6) možno zapísať ako:

Ak $(\omega )2>0,$, potom výraz (8) popisuje tlmené harmonické kmity s kruhovou frekvenciou $\omega1$ a tlmiacim exponentom $(\omega )_2$. Ak $(\omega )_2

Komentujte

Mnoho matematických operácií je možné vykonávať s komplexnými veličinami, ako keby veličiny boli skutočné. Operácie sú možné, ak sú samy osebe lineárne a reálne (napríklad sčítanie, násobenie, diferenciácia vzhľadom na reálnu premennú a iné, ale nie všetky). Musíme si uvedomiť, že samotné komplexné veličiny nezodpovedajú žiadnym fyzikálnym veličinám.

Metóda vektorového diagramu

Nech bod $A$ rotuje rovnomerne po kružnici s polomerom $r$ (obr. 1), jeho rýchlosť rotácie $(\omega )_0$.

Obrázok 1

Polohu bodu $A$ na kružnici je možné určiť pomocou uhla $\varphi $. Tento uhol sa rovná:

kde $\delta =\varphi (t=0)$ je uhol natočenia vektora polomeru $\overrightarrow(r)$ v počiatočnom čase. Ak sa bod $M$ otáča, potom sa jeho projekcia na $os X$ pohybuje pozdĺž priemeru kružnice, pričom medzi bodmi $M$ $N$ dochádza k harmonickým osciláciám. Abcisa bodu $A$ môže byť napísaná ako:

Podobným spôsobom môžete znázorniť výkyvy ľubovoľnej veľkosti.

Stačí akceptovať obraz veličiny, ktorá kmitá s osou bodu $A$, ktorá sa rovnomerne otáča po kružnici. Môžete samozrejme použiť ordinát:

Poznámka 1

Aby sme mohli reprezentovať tlmené oscilácie, musíme vziať nie kruh, ale logaritmickú špirálu, ktorá sa blíži k ohnisku. Ak je rýchlosť priblíženia bodu pohybujúceho sa v špirále konštantná a bod sa pohybuje smerom k ohnisku, potom projekcia tohto bodu na os X poskytne vzorce pre tlmené oscilácie.

Poznámka 2

Namiesto bodu môžete použiť vektor polomeru, ktorý sa bude rovnomerne otáčať okolo počiatku. Potom bude veličina, ktorá vykonáva harmonické kmity, znázornená ako projekcia tohto vektora na os X. V tomto prípade sú matematické operácie s veličinou $x$ nahradené operáciami s vektorom.

Takže operácia sčítania dvoch veličín:

výhodnejšie je nahradiť sčítaním dvoch vektorov (pomocou pravidla rovnobežníka). Vektory by mali byť zvolené tak, aby ich projekcie na zvolenú $os X$ boli výrazmi $x_1\ a\ x_2$. Potom výsledok operácie sčítania vektorov v projekcii na vodorovnú os bude rovný $x_1+\ x_2$.

Príklad 1

Ukážme si použitie metódy vektorového diagramu.

Predstavme si teda komplexné čísla ako vektory v komplexnej rovine. Veličina, ktorá sa mení podľa harmonického zákona, je reprezentovaná vektorom, ktorý rotuje s frekvenciou $(\omega )0$ okolo svojho začiatku proti smeru hodinových ručičiek. Dĺžka vektora sa rovná amplitúde kmitov.

Grafická metóda na riešenie napríklad rovnice:

kde $Z=R+i(\omega L-\frac(1)(\omega C))$ je impedancia znázornená na obr. Tento obrázok znázorňuje vektorový diagram napätí v obvode striedavého prúdu.

Obrázok 2

Zoberme si, že násobenie komplexnej hodnoty komplexnou jednotkou znamená jej otočenie o uhol $90^0$ proti smeru hodinových ručičiek a násobenie ($-i$) rovnakým uhlom v smere hodinových ručičiek. Z obr. 2 vyplýva, že:

kde $-\frac(\pi )(2)\le \varphi \le \frac(\pi )(2).$ Zmena uhla $\varphi $ závisí od vzťahu medzi impedanciami prvkov obvodu a frekvencie. Vonkajšie napätie sa môže meniť vo fáze, od zhody s napätím na indukčnosti až po zhodu s napätím na kondenzátore. Toto sa zvyčajne vyjadruje vo forme vzťahu medzi fázami napätí na prvkoch obvodu a fázou vonkajšieho napätia:

Fáza napätia na indukčnosti $((U)L=i\omega LI)$ vedie fázu vonkajšieho napätia vždy o uhol od $0$ do $\pi .$

Fáza napätia na kapacite $((U)C=-\frac(iI)(\omega C)$) vždy zaostáva za fázou externého napätia o uhol medzi $0$ a --$\ \pi .$

V tomto prípade môže fáza na odpore buď viesť alebo zaostávať za fázou vonkajšieho napätia o uhol medzi $\frac(\pi )(2)$ a $\frac(\pi )(2)$.

Vektorový diagram (obr. 2) nám umožňuje formulovať nasledovné:

Fáza napätia na indukčnosti predbieha fázu prúdu o $\frac(\pi )(2)$.

Fáza napätia cez kapacitu zaostáva $\frac(\eth )(2)\ $ od aktuálnej fázy.

Fáza napätia na odpore sa zhoduje s fázou prúdu.

Príklad 2

Cvičenie: Ukážte, že kvadratúru nemožno použiť na komplexné veličiny ako na reálne čísla.

Riešenie:

Predpokladajme, že potrebujeme odmocniť reálne číslo $x$. Správna odpoveď: $x^2$. Formálne aplikujeme komplexnú metódu. Urobme náhradu:

$x\to x+iy$. Utvorme druhú mocninu výsledného výrazu a získame:

\[(\left(x+iy\right))^2=x^2-y^2+2xyi\ \left(2.1\right).\]

Reálna časť výrazu (2.1) sa rovná:

\[(Späť\vľavo(x+iy\vpravo))^2=Späť\vľavo(x^2-y^2+2xyi\vpravo)=x^2-y^2\ne x^2.\]

Dôvodom chyby je, že operácia kvadratúry nie je lineárna.

To isté telo sa môže súčasne zúčastniť dvoch alebo viacerých pohybov. Jednoduchým príkladom je pohyb lopty hodenej pod uhlom k horizontále. Môžeme predpokladať, že loptička sa zúčastňuje dvoch nezávislých vzájomne kolmých pohybov: rovnomerného horizontálneho a rovnomerne premenlivého vertikálneho. Jedno a to isté teleso (hmotný bod) sa môže zúčastniť dvoch (alebo viacerých) oscilačných pohybov.

Pod pridanie oscilácií porozumieť definícii zákona výslednej vibrácie, ak sa oscilačný systém súčasne zúčastňuje viacerých oscilačných procesov. Existujú dva obmedzujúce prípady: sčítanie kmitov v jednom smere a sčítanie vzájomne kolmých kmitov.

2.1. Sčítanie harmonických vibrácií jedného smeru

1. Sčítanie dvoch kmitov rovnakého smeru(kosmerné oscilácie)

možno vykonať pomocou metódy vektorového diagramu (obrázok 9) namiesto pridávania dvoch rovníc.

Obrázok 2.1 ukazuje amplitúdové vektory A 1(t) a A 2 (t) pridané kmity v ľubovoľnom časovom okamihu t, keď sú fázy týchto kmitov rovnaké A . Pridanie oscilácií sa týka definície . Využime skutočnosť, že vo vektorovom diagrame sa súčet priemetov sčítaných vektorov rovná priemetu vektorového súčtu týchto vektorov.

Výsledná oscilácia zodpovedá vo vektorovom diagrame amplitúdovému vektoru a fáze.

Obrázok 2.1 – Pridanie ko-smerných kmitov.

Vektorová veľkosť A(t) možno nájsť pomocou kosínusovej vety:

Fáza výslednej oscilácie je daná vzorcom:

.

Ak frekvencie pridaných kmitov ω 1 a ω 2 nie sú rovnaké, potom fáza φ(t) aj amplitúda A(t) Výsledné výkyvy sa budú časom meniť. Pridané oscilácie sú tzv nesúvislý v tomto prípade.

2. Volajú sa dve harmonické vibrácie x 1 a x 2 koherentný, ak ich fázový rozdiel nezávisí od času:

Ale keďže, aby bola splnená podmienka koherencie týchto dvoch kmitov, ich cyklické frekvencie musia byť rovnaké.

Amplitúda výslednej oscilácie získaná pridaním kosmerných oscilácií s rovnakými frekvenciami (koherentné oscilácie) sa rovná:

Počiatočnú fázu výslednej oscilácie je ľahké nájsť, ak premietnete vektory A 1 a A 2 na súradnicových osiach OX a OU (pozri obrázok 9):

.

takže, výsledné kmitanie získané pridaním dvoch harmonických ko-smerných kmitov s rovnakými frekvenciami je tiež harmonické kmitanie.

3. Preštudujme si závislosť amplitúdy výsledného kmitania od rozdielu počiatočných fáz pridaných kmitov.

If , kde n je ľubovoľné nezáporné celé číslo

(n = 0, 1, 2...), potom minimálne. Pridané oscilácie v momente pridávania boli in antifáza. Keď je výsledná amplitúda nulová.

Ak , To , t.j. výsledná amplitúda bude maximálne. V momente pridania boli pridané kmity v jednej fáze, t.j. boli vo fáze. Ak sú amplitúdy pridaných kmitov rovnaké , To .

4. Pridanie ko-smerných kmitov s nerovnakými, ale podobnými frekvenciami.

Frekvencie pridaných kmitov nie sú rovnaké, ale frekvenčný rozdiel oveľa menej ako ω 1 a ω 2. Podmienku blízkosti pridaných frekvencií píšu vzťahy.

Príkladom pridania spolunasmerovaných kmitov s blízkymi frekvenciami je pohyb horizontálneho kyvadla pružiny, ktorého tuhosť pružiny je mierne odlišná k 1 a k 2.

Nech sú amplitúdy pridaných kmitov rovnaké a počiatočné fázy sa rovnajú nule. Potom rovnice pridaných kmitov majú tvar:

, .

Výsledná oscilácia je opísaná rovnicou:

Výsledná oscilačná rovnica závisí od súčinu dvoch harmonických funkcií: jednej s frekvenciou , druhý – s frekvenciou , kde ω je blízke frekvenciám pridaných kmitov (ω 1 alebo ω 2). Výsledné kmitanie možno považovať za harmonické kmitanie s amplitúdou meniacou sa podľa harmonického zákona. Tento oscilačný proces sa nazýva bije. Presne povedané, výsledné kmitanie vo všeobecnom prípade nie je harmonické kmitanie.

Absolútna hodnota kosínusu sa berie, pretože amplitúda je kladná veličina. Charakter závislosti x res. počas tepovania je znázornené na obrázku 2.2.

Obrázok 2.2 – Závislosť posunu od času počas tepovania.

Amplitúda úderov sa mení pomaly s frekvenciou. Absolútna hodnota kosínusu sa opakuje, ak sa jeho argument zmení o π, čo znamená, že hodnota výslednej amplitúdy sa bude opakovať po časovom intervale τ b, tzv. beat period(Pozri obrázok 12). Hodnotu doby tepu možno určiť z nasledujúceho vzťahu:

Hodnota je doba bitia.

Veľkosť je perióda výslednej oscilácie (obrázok 2.4).

2.2. Sčítanie vzájomne kolmých vibrácií

1. Model, na ktorom je možné demonštrovať sčítanie vzájomne kolmých kmitov je na obrázku 2.3. Kyvadlo (hmotný bod s hmotnosťou m) môže kmitať pozdĺž osí OX a OU pôsobením dvoch pružných síl smerujúcich navzájom kolmo.

Obrázok 2.3

Zložené kmity majú tvar:

Frekvencie kmitania sú definované ako , , kde , sú koeficienty tuhosti pružiny.

2. Zvážte prípad pridania dvoch vzájomne kolmé kmity s rovnakými frekvenciami , čo zodpovedá stavu (identické pružiny). Potom rovnice pridaných oscilácií budú mať tvar:

Keď je bod zapojený do dvoch pohybov súčasne, jeho trajektória môže byť odlišná a pomerne zložitá. Rovnicu pre trajektóriu výsledných kmitov v rovine OXY pri sčítaní dvoch vzájomne kolmých s rovnakými frekvenciami možno určiť vylúčením času t z pôvodných rovníc pre x a y:

Typ trajektórie je určený rozdielom v počiatočných fázach pridaných kmitov, ktoré závisia od počiatočných podmienok (pozri § 1.1.2). Zvážme možné možnosti.

a) Ak , kde n = 0, 1, 2…, t.j. pridané oscilácie sú vo fáze, potom rovnica trajektórie bude mať tvar:

(Obrázok 2.3 a).

b) Ak (n = 0, 1, 2...), t.j. pridané oscilácie sú v protifáze, potom je rovnica trajektórie napísaná takto:

(Obrázok 2.3b).

V oboch prípadoch (a, b) bude výsledným pohybom bodu kmitanie po priamke prechádzajúcej bodom O. Frekvencia výsledného kmitania sa rovná frekvencii pridaných kmitov ω 0, určí sa amplitúda vzťahom.

Môže sa stať, že oscilátor sa zúčastní dvoch identicky smerovaných kmitov s rôznymi amplitúdami, frekvenciami a počiatočnými fázami. Uvažujme o pridaní takýchto oscilácií.

Sčítanie kmitov s rovnakými frekvenciami

Pre jednoduchosť uvažujme najskôr o prípade, keď sú frekvencie pridaných kmitov rovnaké. Všeobecné riešenia pridaných harmonických kmitov majú tvar:

Kde x 1, x 2- premenné popisujúce výkyvy, A1, A2 sú ich amplitúdy a sú počiatočné fázy. Výsledný švih

ľahko nájsť pomocou vektorový diagram. Táto metóda využíva analógiu medzi rotáciou a oscilačným procesom.

Zoberme si všeobecné riešenie (1.23) pre harmonickú vibráciu. Vyberme si os 0x. Z bodu 0 nakreslíme vektor dĺžky A tvarovanie s os 0x kútik . Ak uvedieme tento vektor do rotácie uhlovou rýchlosťou, potom sa projekcia konca tohto vektora bude pohybovať pozdĺž osi 0x od +A do –A, pričom veľkosť premietania sa bude meniť podľa zákona

Teda priemet konca vektora na os 0x bude vykonávať harmonické kmity s amplitúdou rovnajúcou sa dĺžke vektora, s kruhovou frekvenciou rovnajúcou sa uhlovej rýchlosti otáčania vektora a s počiatočnou fázou rovnou uhlu, ktorý zviera vektor s osou v počiatočnom okamihu. času (obr. 1.12).

Ryža. 1.12. Vektorový diagram pre všeobecné riešenie (1.23)

Aplikujme teraz túto techniku ​​na sčítanie kmitov (1.34). Znázornime obe oscilácie pomocou vektorov A 1 A A 2 Zoberme si ich vektorový súčet (obr. 1.13)

Ryža. 1.13. Vektorový diagram na sčítanie identicky smerovaných kmitov rovnakej frekvencie

Vektorová projekcia A 1 na os 0x rovná súčtu projekcií zodpovedajúcich vektorov

Takže vektor A predstavuje výsledné kmitanie. Tento vektor sa otáča rovnakou uhlovou rýchlosťou, takže výsledný pohyb bude harmonické kmitanie s frekvenciou , amplitúda A a počiatočná fáza a. Podľa kosínusovej vety:

Najmä, ak sú fázy pridaných oscilácií rovnaké alebo sa líšia o násobok (tj. ), potom sa amplitúda výsledného kmitania rovná súčtu amplitúd

Ak sú pridané oscilácie v protifáze (t.j. ), To

Beats

V tejto časti sa budeme zaoberať prípadom pridania identicky smerovaných harmonických kmitov s rôznymi frekvenciami. V praxi je obzvlášť zaujímavý prípad, keď sa pridané kmity líšia vo frekvencii málo. Ako uvidíme, v dôsledku sčítania týchto kmitov sa získajú kmity s periodicky sa meniacou amplitúdou, tzv. bije.

Pre jednoduchosť uvažujeme prípad, keď sú amplitúdy pridaných kmitov rovnaké A a počiatočné fázy oboch kmitov sú nulové. Frekvencie pridaných kmitov sa rovnajú a . takže,

Pridáme tieto výrazy a berieme do úvahy známy trigonometrický vzorec:

Ak potom v argumente druhého kosínusu môžeme zanedbať frekvenčný posun:

Navyše, násobiteľ v zátvorke sa v porovnaní s . Preto výsledná oscilácia x možno vidieť ako modulovaný harmonické kmitanie s frekvenciou w, ktorého efektívna amplitúda sa mení s časom podľa zákona (1.40) (obr. 1.14):

Zdôraznime, že v užšom zmysle takéto kmitanie nie je harmonické a ešte raz si pripomeňme, že podľa definície je kmitanie harmonické, ak k nemu dôjde podľa zákona. a všetky tri jeho parametre sú striktne konštantné v čase.

Ryža. 1.14. Údery pri pridávaní kmitov s blízkymi frekvenciami

Frekvencia amplitúdovej pulzácie (tzv frekvencia tepu) sa rovná rozdielu frekvencií pridaných kmitov. Obdobie rytmu je