Уявні парадокси СТО. Парадокс близнюків

Так званий "парадокс годинника" був сформульований (1912 р., Поль Ланжевен) через 7 років після створення спеціальної теорії відносності і вказує на деякі "суперечності" у використанні релятивістксго ефекту уповільнення часу. Для зручності мовлення і для більшої наочності парадокс годинника формулюють також як "парадокс близнюків". Я також використовую це формулювання. Спочатку парадокс активно обговорювався в науковій літературі і особливо багато в популярній. В даний час парадокс близнюків вважається повністю вирішеним, не містить жодних непояснених проблем, і практично зник зі сторінок наукової та навіть популярної літератури.

Я привертаю вашу увагу до парадоксу близнюків тому, що він, всупереч сказаному вище, "все ще містить" непояснені проблеми і не тільки "не дозволено", а й у принципі не може бути дозволено в рамках теорії відносності Ейнштейна, тобто. це феномен не стільки "феномен близнюків у теорії відносності", скільки "феномен самої теорії відносності Ейнштейна".

Суть феномена близнюків ось у чому. Нехай П(мандрівник) та Д(домосід) - брати-близнюки. Пвирушає у тривалу космічну подорож, а Дзалишається вдома. Через деякий час Пповертається. Основну частину шляху Прухається за інерцією, з постійною швидкістю (час на розгін, гальмування, зупинки зневажливо мало в порівнянні із загальним часом подорожі та ним нехтуємо). Рух із постійною швидкістю щодо, тобто. якщо Пвидаляється (наближається, спочиває) щодо Д, то й Дтакож видаляється (наближається, спочиває) щодо ПНазвемо це симетрією близнюків. Далі, відповідно до СТО, час для П, з точки зору Д, тече повільніше, ніж власний час Д, тобто. власний час подорожі Пменше, часу очікування Д. У цьому випадку кажуть, що після повернення Пмолодше Д . Це твердження, само собою, не є парадоксом, це наслідок релятивістського уповільнення часу. Парадокс полягає в тому, що Д, в силу симетрії, може, з таким самим правом , вважати себе мандрівником, а Пдомосідом, і тоді Дмолодше П .

Загальноприйняте сьогодні (канонічне) дозвіл парадоксу зводиться до того, що прискореннями Пне можна нехтувати, тобто. його система відліку не є інерційною, у його системі відліку часом виникають сили інерції, і отже ніякої симетрії немає. Крім того, у системі відліку Пприскорення еквівалентне появі гравітаційного поля, в якому час також уповільнюється (це вже на підставі загальної теорії відносності). Таким чином, час Псповільнюється як у системі відліку Д(по СТО, коли Прухається за інерцією), так і в системі відліку П(по ОТО, що він прискорюється), тобто. уповільнення часу Пстає абсолютним. Остаточний висновок : П, після повернення, молодший Д, І це не є парадоксом!

Так, повторюємо, канонічне дозвіл феномена близнюків. Однак, у всіх відомих нам подібних міркуваннях не враховується один "маленький" нюанс - релятивістський ефект уповільнення часу це КИНЕМАТИЧНИЙ ЕФЕКТ (у статті Ейнштейна перша частина, де виводиться ефект уповільнення часу, так і називається "Кінематична частина"). Стосовно наших близнюків це означає, що, по-перше, є тільки двоє близнюків і НІ НІЧОГО БІЛЬШЕ, зокрема, немає абсолютного простору, і по-друге - близнюки (читай - ейнштейнівський годинник) не мають маси. Це необхідні та достатні умови формулювання феномена близнюків. Будь-які додаткові умови призводять до "іншого парадоксу близнюків". Зрозуміло, можна формулювати і потім дозволяти "інші парадокси близнюків", але тоді треба, відповідно, використовувати "інші релятивістські ефекти уповільнення часу", наприклад, сформулювати і довести , що релятивістський ефект уповільнення часу має місце лише в абсолютному просторі, або лише за умови, що годинник має масу тощо. Як відомо, нічого подібного в ейнштейнівській теорії немає.

Пройдемося знову за канонічними доказами. Піноді прискорюється... Прискорюється щодо чого? Тільки щодо іншого близнюка(Нічого іншого просто немає. Однак, у всіх канонічних міркуваннях за замовчуваннямпередбачається існування ще однієї "діючої особи", якої немає ні у формулюванні парадоксу, ні в теорії Ейнштейна, абсолютного простору, і тоді Пприскорюється щодо цього абсолютного простору, тоді як Дспочиває щодо цього ж абсолютного простору ¦ є порушення симетрії). Але кінематичноприскорення щодо як і, як і швидкість, тобто. якщо близнюк-мандрівник прискорюється (видаляється, наближається або спочиває) щодо свого брата, то й брат-домосід, так само, прискорюється (видаляється, наближається або спочиває) щодо свого брата-мандрівника, симетрія і в цьому випадку не порушується (!). Жодні сили інерції або гравітаційні поля в системі відліку прискореного брата не виникають також через відсутність маси у близнюків. З цієї причини не застосовна тут і загальна теорія відносності. Таким чином симетрія близнюків не порушується, та парадокс близнюків залишається невирішеним . у межах ейнштейнівської теорії відносності. На захист такого висновку можна навести і суто філософський аргумент: кінематичний парадокс має вирішуватися кінематично , і негоже залучати для його вирішення інші, динамічні теорії, як це робиться в канонічних доказах. Зауважу, що парадокс близнюків - це не фізичний парадокс, але парадокс нашої логіки ( апоріятипу апорій Зенона), що застосовується до аналізу конкретної псевдофізичної ситуації. Це, у свою чергу, означає, що будь-які аргументи на кшталт можливості або неможливості технічної реалізації такої подорожі, можливого зв'язку між близнюками за допомогою обміну світловими сигналами з урахуванням ефекту Доплера тощо, також не повинні залучатися для вирішення парадоксу (зокрема, не грішачи проти логіки , можемо вважати час розгону Пвід нуля до крейсерської швидкості, час розвороту, час гальмування при підльоті до Землі як завгодно малими, навіть "миттєвими").

З іншого боку, сама теорія відносності Ейнштейна вказує на ще один, зовсім інший аспект феномена близнюків. У тій же першій статті з теорії відносності (СНТ, т.1, с.8) Ейнштейн пише: "Ми повинні звернути увагу на те, що всі наші судження, в яких час відіграє якусь роль, завжди є судженнями про одночасних подіях(курсив Ейнштейна)". (Ми, у певному сенсі, йдемо далі Ейнштейна, вважаючи одночасність подій необхідною умовою реальностіподій.) Стосовно наших близнюків це означає таке: щодо кожного з них його брат завжди одночасний з ним (тобто реально існує), що б з ним не відбувалося. Це не означає, що час, що минув від початку подорожі, для них однаково, коли вони знаходяться в різних точках простору, але абсолютно необхідно бути однаковим, коли вони знаходяться в одній точці простору. Останнє означає, що їхній вік був однаковий у момент початку подорожі (вони ж близнюки), коли вони перебували в одній точці простору, далі їхній вік взаємно змінювався під час подорожі одного з них залежно від його швидкості (теорію відносності ніхто не скасував), коли вони знаходилися в різних точках простору, і знову став однаковим наприкінці подорожі, коли вони знову опинилися в одній точці простору. зрештою, вони постаріли однаково. Зауважимо, що ця нова ситуація для близнюків, як і раніше, симетрична. Тепер, з урахуванням останніх зауважень, парадокс близнюків стає якісно іншим. принципово нерозв'язним у межах спеціальної теорії відносності Ейнштейна.

Останнє (разом з цілим рядом подібних "претензій" до СТО Ейнштейна, див. розділ XI нашої книги або анотацію до неї в статті "Математичні засади сучасної натуральної філософії" на цьому сайті) неминуче призводить до необхідності перегляду спеціальної теорії відносності. Я не розглядаю свою роботу як спростування СТО і тим більше не закликаю від неї відмовитися взагалі, але я пропоную її подальший розвиток, пропоную нову "Спеціальну теорію відносності(СТО* ¦ нова редакція)", в якій, зокрема, "парадоксу близнюків" просто немає як такого (для тих, хто ще не познайомився зі статтею "«Спеціальні» теорії відносності", повідомляю, що в новій спеціальній теорії відносності час сповільнюється, тільки коли рухома інерційна система наближаєтьсядо нерухомої, і час прискорюється, коли рухома система відліку видаляєтьсявід нерухомої, і в результаті прискорення часу в першій половині шляху (видалення від Землі) компенсується уповільненням часу в другій половині (наближення до Землі), і немає ніяких уповільнених старінь близнюка-мандрівника, ніяких парадоксів. Мандрівники майбутнього можуть не побоюватися, після повернення, потрапити у віддалене майбутнє Землі!). Побудовано також дві принципово нові теорії відносності, що не мають аналогів, "Спеціальна загальна" теорія відносно(СОТО)" та "Квартирний Всесвіт"(Модель Всесвіту як "самостійна теорія відносності"). Статтю ""Спеціальні" теорії відносності" опубліковано на цьому сайті. Я присвятив цю статтю майбутньому 100-річчя теорії відносності . Запрошую вас висловитись з приводу моїх ідей, а також з приводу теорії відносності у зв'язку з її 100-річчям.

М'ясників Володимир Макарович [email protected]
Вересень 2004 р.

Додаток (Додано жовтень 2007)

"Парадокс" близнюків у СТО*. Жодних парадоксів!

Отже, симетрія близнюків є непереборною в задачі про близнюків, що в ейнштейнівській СТО призводить до нерозв'язного парадоксу: стає очевидним, що модифікована СТО без парадоксу близнюків повинна давати результат Т (П) = Т (Д) що, до речі, повністю відповідає нашому здоровому глузду. Саме такі висновки виходять у СТО* – нова редакція.

Нагадаю, що в СТО*, на відміну від ейнштейнівської СТО, час уповільнюється, тільки коли рухома система відліку наближається до нерухомої, і прискорюється, коли рухома система відліку віддаляється від нерухомої. Формулюється це так (див. формули (7) і (8)):

Уточнимо, далі, поняття інерційної системи відліку, яке враховує нерозривну єдність простору та часу у СТО*. Я визначаю інерційну систему відліку (див. Теорія відносності, нові підходи, нові ідеї. або Простір та ефір у математиці та фізиці.) як точку відліку та її околиця, всі точки якої визначені з точки відліку та простір якої однорідно та ізотропно. Але нерозривна єдність простору та часу з необхідністю вимагає, щоб точка відліку, зафіксована у просторі, була також зафіксована і в часі, інакше кажучи – точка відліку у просторі має бути і точкою відліку часу.

Так, я розглядаю дві нерухомі системи відліку, пов'язані з Д: нерухому систему відліку в момент старту (система відліку проводжає Д) та нерухому систему відліку в момент фінішу (система відліку зустрічає Д). Відмінною особливістю цих систем відліку є те, що в системі відліку проводжає Дчас тече від точки відліку в майбутнє, а шлях, пройдений ракетою з Пзростає, незалежно від цього куди і як рухається, тобто. у цій системі відліку Пвіддаляється від Ді у просторі та в часі. У системі відліку зустрічає Д- час тече з минулого до точки відліку та момент зустрічі наближається, а шлях ракети з Пдо відліку зменшується, тобто. у цій системі відліку Пнаближається до Ді у просторі, і у часі.

Повернемося до наших близнюків. Нагадую, що я розглядаю завдання про близнюків як логічне завдання ( апоріютипу апорій Зенона) у псевдофізичних умовах кінематики, тобто. вважаю, що Прухається весь час із постійною швидкістю, вважаючи час на прискорення при розгоні, гальмуванні тощо. зневажливо малим (нульовим).

Два близнюки П(мандрівник) та Д(домосід) обговорюють на Землі майбутній політ Пдо зірки Z, що знаходиться на відстані Lвід Землі, і назад, з постійною швидкістю V. Розрахунковий час польоту, від старту на Землі до фінішу на Землі, для Пв його системі відлікуодно T = 2L / V. Але в системі відліку проводжає Д Пвидаляється і, отже, його час польоту (час очікування його Землі), дорівнює (див. (!!)), і цей час значно менше T, тобто. час очікування менший за час польоту! Парадокс? Зрозуміло, ні, оскільки цей цілком справедливий висновок "залишився" в системі відліку проводжає Д . Тепер Дзустрічає Пвже в іншій системі відліку зустрічає Д , а в цій системі відліку Пнаближається, і його очікування дорівнює, відповідно до (!!!), , тобто. власний час польоту Пта власний час очікування Дзбігаються. Жодних протиріч!

Пропоную розглянути конкретний (зрозуміло, уявний) "експеримент", розписаний за часом для кожного близнюка, та у будь-якій системі відліку. Для певності, нехай зірка Zвіддалена від Землі на відстань L= 6 світлових років. І нехай Пна ракеті летить туди й назад із постійною швидкістю V = 0,6 c. Тоді його час польоту T = 2L/V= 20 років. Обчислимо також і (див. (!!) І (!!!)). Договоримося також, що з інтервалом у 2 роки, у контрольні моменти часу, Пбуде посилати сигнал (зі швидкістю світла) Землю. "Експеримент" полягає у реєстрації часу прийому сигналів на Землі, їх аналізі та порівняння з теорією.

Усі дані вимірювань моментів часу наведені у таблиці:

У стовпцях із номерами 1 - 7 наводяться: 1. Контрольні моменти часу (у роках) у системі відліку ракети. Ці моменти фіксують інтервали часу від моменту старту, або показання годинника на ракеті, на якому встановлено "нуль" в момент старту. Контрольні моменти часу визначають ракеті моменти посилки сигналу Землю. 2. Ті самі контрольні моменти часу, але у системі відліку провожаючогоблизнюка(де "нуль" також встановлено на момент старту ракети). Вони визначаються за (!!) з урахуванням . 3. Відстань від ракети до Землі у світлових роках у контрольні моменти часу або час розповсюдження відповідного сигналу (у роках) від ракети до Землі 4. у системі відліку провожаючогоблизнюка. Визначається як контрольний момент часу в системі відліку близнюка, що проводжає (стовпець 2 3 ). 5. Ті самі контрольні моменти часу, але тепер у системі відліку зустрічаєблизнюка. Особливість цієї системи відліку полягає в тому, що тепер "нуль" часу визначається в момент фінішу ракети, і всі контрольні моменти часу виявляються в минулому. Приписуємо їм знак "мінус", і з урахуванням незмінності напрямку часу (від минулого до майбутнього) змінюємо їх послідовність у стовпці на протилежний. Абсолютні значення цих моментів часу знаходяться за відповідними значеннями у системі відліку провожаючогоблизнюка(стовпець 2 ) множенням на (див. (!!!)). 6. Момент прийому Землі відповідного сигналу у системі відліку зустрічаєблизнюка. Визначається як контрольний момент часу у системі відліку зустрічаєблизнюка(стовпець 5 ) плюс відповідний час поширення сигналу від ракети до Землі (стовпець 3 ). 7. Реальні моменти часу прийому сигналу Землі. Справа в тому що Днерухомий у просторі (на Землі), але рухається в реальному часі, і в момент прийому сигналу він вже не перебуває у системі відліку провожаючогоблизнюка, але у системі відліку моменту часуприйому сигналу. Як визначити момент реального часу? Сигнал, за умовою, поширюється зі швидкістю світла, а це означає, що дві події А = (Земля в момент прийому сигналу) і В = (точка простору, в якій знаходиться ракета в момент відправки сигналу) (нагадую, що подією у просторі- час називається точка в певний момент часу) одночасними, т.к. Δx = cΔt , де Δx - просторова відстань між подіями, а Δt - тимчасова, тобто. час поширення сигналу від ракети до Землі (див. визначення одночасності в "Спеціальні" теорії відносності, формула (5)). А це, у свою чергу, означає, що Д, з рівним правом, може вважати себе як у системі відліку події А, так і в системі відліку події В. В останньому випадку ракета наближається, і відповідно (!!!), всі інтервали часу (до цього контрольного моменту) у системі відліку провожаючогоблизнюка(стовпець 2 ) слід помножити на і потім додати відповідний час поширення сигналу (стовпець 3 ). Сказане справедливо будь-якого контрольного моменту часу, включаючи фінальний, тобто. момент фінішу подорожі П. Так обчислюється стовпець 7 . Звичайно, реальні моменти прийому сигналу не залежать від способу їх обчислення, саме про це говорить фактичний збіг стовпців 6 і 7 .

Розглянутий "експеримент" лише підтверджує основний висновок про те, що власний час польоту близнюка-мандрівника (його вік) та власний час очікування близнюка-домосіда (його вік) збігаються і при цьому немає жодних протиріч! "Протиріччя" виникають лише в деяких системах відліку, наприклад, у системі відліку провожаючогоблизнюкаАле це ніяк не впливає на остаточний результат, оскільки в цій системі відліку близнюки в принципі не можуть зустрітися, тоді як у системі відліку зустрічаєблизнюка, де близнюки реально зустрічаються, вже жодних протиріч немає. Повторюю ще раз: Мандрівники майбутнього можуть не побоюватися, після повернення на Землю, потрапити до її віддаленого майбутнього!

Жовтень 2007

Основним призначенням уявного експерименту під назвою «Парадокс близнюків» було спростування логічності та обґрунтованості спеціальної теорії відносності (СТО). Варто відразу обмовитися, що ні про який парадокс насправді не йдеться, а саме слово фігурує в цій темі тому, що суть уявного експерименту була спочатку неправильно сприйнята.

Основна ідея СТО

Парадокс (парадокс близнюків) говорить, що «нерухомий» спостерігач сприймає процеси об'єктів, що рухаються, як сповільнюються. Відповідно до тієї ж теорією інерційні системи відліку (системи, у яких рух вільних тіл відбувається прямолінійно і рівномірно чи перебувають у стані спокою) рівноправні щодо одне одного.

Парадокс близнюків: коротко

З урахуванням другого постулату виникає припущення про суперечливість Щоб вирішити цю проблему наочно, було запропоновано розглянути ситуацію з двома братами-близнюками. Одного (умовно – мандрівника) відправляють у космічний політ, а іншого (домосіда) залишають на планеті Земля.

Формулювання парадоксу близнюків за таких умов зазвичай звучить так: за оцінкою домосіда, час на тих годинниках, які знаходяться у мандрівника, рухається повільніше, а значить, коли він повернеться, його (мандрівника) годинник буде відставати. Мандрівник, навпаки, бачить, що щодо нього рухається Земля (на якій знаходиться домосід зі своїм годинником), і, на його думку, саме в його брата час йтиме повільніше.

Насправді обидва брати знаходяться в рівних умовах, а значить, коли вони опиняться разом, то на їх годинник час буде однаковим. Одночасно за теорією відносності відставати повинен саме годинник брата-мандрівника. Таке порушення очевидної симетричності було розглянуто як неузгодженість положень теорії.

Парадокс близнюків з теорії відносності Ейнштейна

У 1905 році Альберт Ейнштейн вивів теорему, яка говорить, що при знаходженні в точці А пари синхронізованих один з одним годин можна переміщати одні з них по криволінійній замкнутій траєкторії з незмінною швидкістю доти, поки вони знову не досягнуть точки А (і на це буде витрачено, наприклад, t секунд), але в момент прибуття вони покажуть менше часу, ніж ті години, що залишалися нерухомі.

Через шість років статус парадоксу цієї теорії надав Поль Ланжевен. "Загорнута" в наочну історію, вона незабаром набула популярності навіть серед людей, далеких від науки. На думку самого Ланжевена, нестиковки теорії пояснювалися тим, що, повертаючись на Землю, мандрівник рухався прискорено.

Ще через два роки Максом фон Лауе було висунуто версію про те, що значущі зовсім не моменти прискорення об'єкта, а той факт, що він потрапляє в іншу інерційну систему відліку, коли виявляється на Землі.

Нарешті в 1918 Ейнштейн зміг сам пояснити парадокс двох близнюків через вплив поля гравітації протягом часу.

Пояснення феномена

Парадокс близнюків пояснення має досить просте: початкове припущення рівноправності між двома системами відліку неправильно. Мандрівник перебував в інерційній системі відліку не весь час (це ж стосується й історії з годинником).

Як наслідок, багато хто вважає, що спеціальну теорію відносності не можна використовувати для правильного формулювання парадоксу близнюків, інакше виходять несумісні один з одним передбачення.

Все дозволилося, коли була створена Вона дала точне рішення для наявного завдання і змогла підтвердити, що з пари синхронізованих годин відставатимуть саме ті, що знаходяться в русі. Так спочатку парадоксальне завдання набуло статусу рядового.

Спірні моменти

Існують припущення, що момент прискорення досить значущий зміни швидкості ходу годин. Але в ході численних експериментальних перевірок було доведено, що під впливом прискорення рух часу не прискорюється і сповільнюється.

У результаті відрізок траєкторії, на якому один із братів прискорювався, демонструє лише деяку асиметричність, що виникає між мандрівником та домосідом.

Але дане твердження не може пояснити, чому час уповільнюється саме у об'єкта, що рухається, а не у того, що залишається в спокої.

Перевірка практикою

Парадокс близнюків формули та теореми описують точно, але це для людини некомпетентної досить складно. Для тих, хто більше схильний довіряти практиці, а не теоретичним викладкам, було проведено численні експерименти, які мали на меті довести або спростувати теорію відносності.

В одному з випадків використовувалися. Вони відрізняються надточністю, і для мінімальної розсинхронізації їм знадобиться не один мільйон років. Поміщені в пасажирський літак, вони кілька разів облетіли Землю і після показали цілком помітне відставання від того годинника, який нікуди не літав. І це при тому, що швидкість пересування у першого зразка годинника була далеко не світлова.

Інший приклад: більш тривале життя мюонів (важких електронів). Ці елементарні частинки в кілька сотень разів важчі за звичайні, мають негативний заряд і формуються у верхньому шарі земної атмосфери завдяки дії космічних променів. Швидкість їх руху до Землі лише трохи поступається світловий. За їхньої справжньої тривалості життя (в 2 мікросекунди) вони розпадалися б раніше, ніж торкнуться поверхні планети. Але в процесі польоту вони живуть у 15 разів довше (30 мікросекунд) і таки досягають мети.

Фізична причина парадоксу та обмін сигналами

Парадокс близнюків фізика пояснює і доступнішою мовою. Поки відбувається політ, обидва брати-близнюки знаходяться поза зоною досяжності один для одного і не можуть на практиці переконатися в тому, що їх годинник рухається синхронно. Точно визначити, наскільки сповільнюється рух годинника у мандрівника, можна, якщо проаналізувати сигнали, які вони надсилатимуть один одному. Це умовні сигнали "точного часу", виражені як світлові імпульси або відеотрансляція циферблату годинника.

Потрібно розуміти, що передаватиметься сигнал буде не тепер, а вже в минулому, оскільки поширення сигналу відбувається з певною швидкістю і потрібен певний час, щоб пройти від джерела до приймача.

Правильно оцінювати результат сигнального діалогу можна лише з урахуванням ефекту Доплера: при видаленні джерела від приймача частота сигналу зменшиться, а наближенні - збільшиться.

Формулювання пояснення у парадоксальних ситуаціях

Для пояснення парадоксів подібних історій з близнюками можна застосувати два основні способи:

1. Уважний розгляд наявних логічних побудов щодо протиріч і виявлення логічних помилок у ланцюгу міркувань.
2. Здійснення детальних обчислень для оцінки факту гальмування часу з погляду кожного з братів.

У першу групу потрапляють обчислювальні висловлювання, засновані на СТО і вписані в ньому. Мається на увазі, що моменти, пов'язані з прискоренням руху, настільки малі по відношенню до загальної довжини польоту, що ними можна знехтувати. В окремих випадках можуть вводити третю інерційну систему відліку, яка просувається по зустрічному напрямку щодо мандрівника і використовується для передачі даних з годинника на Землю.

У другу групу входять обчислення, побудовані з урахуванням того, що моменти прискореного руху все ж таки присутні. Сама ця група також поділяється на дві підгрупи: в одній застосовується гравітаційна теорія (ОТО), а в іншій – ні. Якщо ВТО задіяна, то мається на увазі, що в рівнянні фігурує поле гравітації, яке відповідає прискоренню системи, і береться до уваги зміна швидкості часу.

Висновок

Усі обговорення, пов'язані з уявним парадоксом, обумовлені лише логічною помилкою, що здається. Хоч би як були сформульовані умови завдання, домогтися того, щоб брати опинилися в цілком симетричних умовах, неможливо. Важливо врахувати, що час уповільнюється саме на годинниках, що рухаються, яким довелося пройти через зміну систем відліку, тому що одночасність подій відносна.

Розрахувати, наскільки сповільнився час з погляду кожного з братів, можна двома способами: використовуючи найпростіші події у межах спеціальної теорії відносності чи орієнтуючись на неінерційні системи отсчёта. Результати обох ланцюгів обчислень можуть бути взаємно узгоджені і в рівній мірі служать для підтвердження того, що на годинах, що рухаються, час йде повільніше.

На цій підставі можна припускати, що при перенесенні уявного експерименту в реальність той, хто займе місце домосіда, справді постаріє швидше, ніж мандрівник.

Парадокс близнюків

Потім, 1921 року просте пояснення, засноване на інваріантності власного часу, запропонував Вольфганг Паулі.

Якийсь час «парадокс близнюків» майже не привертав до себе уваги. У 1956-1959 роках Герберт Дінгл виступив із низкою статей, у яких стверджувалося, що відомі пояснення «парадоксу» невірні. Незважаючи на помилковість аргументації Дінгла, його роботи викликали численні дискусії у наукових та науково-популярних журналах. В результаті з'явилася низка книг, присвячених цій темі. З російськомовних джерел варто відзначити книги, а також статтю.

Більшість дослідників не вважають «парадокс близнюків» демонстрацією протиріччя теорії відносності, хоча історія появи тих чи інших пояснень «парадоксу» та надання йому нових форм не припиняється до теперішнього часу.

Класифікація пояснень феномена

Пояснити парадокс, подібний до «парадоксу близнюків», можна за допомогою двох підходів:

1) Виявити походження логічної помилки у міркуваннях, що призвели до суперечності; 2) Провести детальні обчислення величини ефекту уповільнення часу з позиції кожного з братів.

Перший підхід залежить від деталей формулювання феномена. У розділах « Найпростіші пояснення» та « Фізична причина феномена» будуть наведені різні версії «парадоксу» і подано пояснення того, чому суперечності насправді не виникає.

В рамках другого підходу розрахунки показань годинника кожного з братів проводяться як з точки зору домосіда (що зазвичай не становить труднощів), так і з точки зору мандрівника. Оскільки останній змінював систему відліку , можливі різні варіанти обліку цього факту. Їх умовно можна розділити на великі групи.

До першої групи ставляться обчислення з урахуванням спеціальної теорії відносності у межах інерційних систем отсчёта. І тут етапи прискореного руху вважаються зневажливо малими проти загальним часом польоту. Іноді вводиться третя інерційна система відліку, що рухається назустріч мандрівникові, за допомогою якої свідчення його годинника «передаються» братові-домоседові. В розділі " Обмін сигналами» буде наведено найпростіший розрахунок, що ґрунтується на ефекті Доплера .

До другої групи належать обчислення, що враховують деталі прискореного руху. У свою чергу вони діляться за ознакою використання або невикористання в них теорії гравітації Ейнштейна (ОТО). Розрахунки з використанням ОТО засновані на введенні ефективного гравітаційного поля , еквівалентного прискоренню системи, та враховуючи зміни в ньому темпу ходу часу. У другому способі неінерційні системи відліку описуються в плоскому просторі-часі і поняття гравітаційного поля не залучається. Основні ідеї цієї групи розрахунків будуть представлені у розділі « Неінерційні системи відліку».

Кінематичні ефекти СТО

При цьому, чим коротший момент прискорення, тим воно більше, і як наслідок більша різниця у швидкості годинника на Землі та космічного корабля, якщо він віддалений від Землі в момент зміни швидкості. Тому прискоренням ніколи не можна знехтувати.

Звичайно, сама по собі констатація несиметричності братів не пояснює, чому сповільнитися повинен годинник саме у мандрівника, а не у домосіда. Крім цього, часто виникає нерозуміння:

«Чому порушення рівноправності братів протягом такого короткого часу (зупинка мандрівника) призводить до такого разючого порушення симетрії?»

Щоб глибше зрозуміти причини несиметричності та наслідки, до яких вони призводять, необхідно ще раз виділити ключові посилки, які явно чи неявно присутні у будь-якому формулюванні парадоксу. Для цього вважатимемо, що вздовж траєкторії руху мандрівника в «нерухомій» системі відліку, пов'язаної з домосідом, розташовані годинники, що синхронно йдуть (у цій системі). Тоді можливий наступний ланцюжок міркувань, які ніби «доводять» суперечливість висновків СТО:

1. Мандрівник, пролітаючи повз будь-який годинник, нерухомий у системі домосіда, спостерігає їх сповільнений хід.
2. Більш повільний темп ходу годинника означає, що його накопиченісвідчення відстануть від показань годинника мандрівника, і при тривалому польоті - скільки завгодно сильно.
3. Швидко зупинившись, мандрівник, як і раніше, повинен спостерігати відставання годинника, розташованого в «точці зупинки».
4. Всі годинники в «нерухомій» системі йдуть синхронно, тому відстане і годинник брата на Землі, що суперечить висновку СТО.

Отже, чому мандрівник насправді спостерігатиме відставання свого годинника від годинника «нерухомої» системи, незважаючи на те, що всі такі годинники з його точки зору йдуть повільніше? Найбільш простим поясненням у рамках СТО є те, що синхронізувати всі годинники у двох інерційних системах відліку неможливо. Розглянемо це пояснення докладніше.

Фізична причина феномена

Під час польоту мандрівник і домосід знаходяться в різних точках простору і не можуть порівнювати свій годинник безпосередньо. Тому, як і вище, будемо вважати, що вздовж траєкторії руху мандрівника в «нерухомій» системі, пов'язаної з домосідом, розставлений однаковий годинник, який може спостерігати мандрівник під час польоту. Завдяки процедурі синхронізації в «нерухомій» системі відліку введено єдиний час, що визначає на даний момент «справжнє» цієї системи.

Після старту мандрівник "переходить" в інерційну систему відліку, що рухається щодо "нерухомої" зі швидкістю. Цей час приймається братами за початковий . Кожен із них спостерігатиме сповільнений хід годинника іншого брата.

Однак, єдина «справжня» система для мандрівника перестає існувати. У системі відліку є своє «справжнє» (множина синхронізованих годин). Для системи , що далі у процесі руху мандрівника перебувають частини системи , то більш віддаленому «майбутньому» (з погляду «справжнього» системи ) вони перебувають.

Саме це майбутнє спостерігати мандрівник не може. Це могли б зробити інші спостерігачі системи, розташовані попереду рухом і мають синхронізований з мандрівником час.

Тому, хоча всі години в нерухомій системі відліку, повз які пролітає мандрівник, йде з його точки зору повільніше, з цього не слід, що вони відстануть від його годинника.

У момент часу, чим далі попереду по курсу знаходиться «нерухомий» годинник, тим більше їх показання з погляду мандрівника. Коли він досягає цього годинника, вони не встигнуть відстати настільки, щоб компенсувати початкову розбіжність часу.

Справді, покладемо координату мандрівника у перетвореннях Лоренца рівної . Закон його руху щодо системи має вигляд. Час, що минув після початку польоту, щогодини в системі менше, ніж у :

Іншими словами, час на годиннику мандрівника відстає від показань годинника системи. У той же час годинник, повз який пролітає мандрівник, нерухомі в: . Тому їх темп ходу для мандрівника виглядає сповільненим:

Таким чином:

незважаючи на те, що всі конкретні годинники в системі йдуть повільніше з точки зору спостерігача в різні години вздовж його траєкторіїпоказуватимуть час, що пішов уперед.

Різниця темпу ходу годинника і - ефект відносний, тоді як значення поточних показань і в одній просторовій точці - мають абсолютний характер. Спостерігачі, що знаходяться в різних інерційних системах відліку, але «в одній» просторовій точці, завжди можуть порівняти поточні показання свого годинника. Мандрівник, пролітаючи повз годинник системи бачить, що вони пішли вперед. Тому, якщо мандрівник вирішить зупинитися (швидко загальмувавши), нічого не зміниться, і він потрапить у «майбутнє» системи. Природно, після зупинки темп ходу його годинника і годинника стане однаковим. Однак годинник мандрівника показуватиме менше часу, ніж годинник системи , що знаходиться в точці зупинки. В силу єдиного часу в системі годинник мандрівника відстане від усіх годинників, у тому числі і від годинника його брата. Після зупинки мандрівник може повернутись додому. І тут весь аналіз повторюється. В результаті, як у точці зупинки та розвороту, так і у вихідній точці при поверненні мандрівник виявляється молодшим за свого брата-домоседа.

Якщо ж замість зупинки мандрівника до його швидкості прискориться домосід, останній «потрапить» у «майбутнє» системи мандрівника. В результаті «домосід» виявиться молодшим за «мандрівника». Таким чином:

хто змінює свою систему відліку, той і виявляється молодшим.

Обмін сигналами

Обчислення уповільнення часу з позиції кожного брата можна з допомогою аналізу обміну сигналами з-поміж них. Хоча брати, перебуваючи в різних точках простору, не можуть безпосередньо порівнювати показання свого годинника, вони можуть передавати сигнали «точного часу» за допомогою світлових імпульсів або відеотрансляції зображення годинника. Зрозуміло, що вони спостерігають не «поточний» час на годиннику брата, а «минуле», оскільки сигналу потрібен час поширення від джерела до приймача.

При обміні сигналами необхідно враховувати ефект Доплера. Якщо джерело віддаляється від приймача, то частота сигналу зменшується, а коли він наближається – збільшується:

де - власна частота випромінювання, а - частота сигналу, що приймається спостерігачем. Ефект Доплера має класичну складову та складову релятивістську, безпосередньо пов'язану із уповільненням часу. Швидкість , що входить у співвідношення зміни частоти, є відносноюшвидкістю джерела та приймача.

Розглянемо ситуацію, в якій брати передають один одному кожну секунду (за своїм годинником) сигнали точного часу. Проведемо спочатку розрахунок із позиції мандрівника.

Розрахунок мандрівника

Поки мандрівник віддаляється від Землі, він, з ефекту Доплера , реєструє зменшення частоти сигналів. Відеотрансляція із Землі виглядає повільнішою. Після швидкого гальмування та зупинки мандрівник перестає віддалятися від земних сигналів, і їхній період відразу виявляється рівним його секунді. Темп відеотрансляції стає «природним», хоча, зважаючи на кінцівку швидкості світла, мандрівник, як і раніше, спостерігає «минуле» свого брата. Розвернувшись і розігнавшись, мандрівник починає «набігати» на сигнали, що йдуть йому назустріч, і їх частота збільшується. "Рухи брата" на відеотрансляції з цього моменту починають виглядати для мандрівника прискореними.

Час польоту по годинах мандрівника в один бік дорівнює, і таке ж у зворотний. Кількістьприйнятих «земних секунд» протягом подорожі і їх частоті , помноженої тимчасово. Тому при віддаленні від Землі мандрівник отримає значно менше «секунд»:

а при наближенні, навпаки, більше:

Сумарна кількість «секунд», отриманих із Землі за час більше, ніж переданих на неї:

у точній відповідності до формули уповільнення часу.

Розрахунок домосіда

Дещо інша арифметика у домосіда. Поки його брат видаляється, він також реєструє збільшений період точного часу, який передає мандрівник. Однак, на відміну від брата, домосід спостерігає таке уповільнення довше. Час польоту на відстань в один бік становить за земним годинником. Гальмування та розворот мандрівника домосід побачить через додатковий час, необхідний світла для проходження відстані від точки розвороту. Тому, тільки через час від початку подорожі домосід зареєструє прискорену роботу годинника брата, що наближається:

Час руху світла від точки розвороту виражається через час польоту до неї мандрівника в такий спосіб (див. рисунок):

Тому кількість "секунд", отриманих від мандрівника, до моменту його розвороту (за спостереженнями домосіда) дорівнює:

Сигнали з підвищеною частотою домосід приймає протягом часу (див. малюнок вище), і отримує «секунд» мандрівника:

Сумарна кількість отриманих «секунд» за час дорівнює:

Таким чином, співвідношення для показання годинника в момент зустрічі мандрівника () і брата-домоседа () не залежить від того, з чиєї точки зору воно розраховується.

Геометрична інтерпретація

Розглянемо гіпотетичний політ до зоряної системи Альфа Центавра, віддаленої від Землі на відстань до 4,3 світлових років. Якщо час вимірюється у роках, а відстані у світлових роках, то швидкість світла дорівнює одиниці, а одиничне прискорення св.год/год близьке до прискорення вільного падіння і приблизно дорівнює 9,5 м/c².

Нехай половину шляху космічний корабель рухається з поодиноким прискоренням, а другу половину - з таким самим прискоренням гальмує (). Потім корабель розгортається і повторює етапи розгону та гальмування. У цій ситуації час польоту в земній системі відліку становитиме приблизно 12 років, тоді як по годинах на кораблі пройде 7,3 роки. Максимальна швидкість корабля досягне 0,95 від швидкості світла.

За 64 роки свого часу космічний корабель з одиничним прискоренням потенційно може здійснити подорож (повернувшись на Землю) до галактики Андромеди, віддаленої на 2,5 млн. св. років. На Землі за час такого польоту пройде близько 5 млн. років. Розвиваючи вдвічі більше прискорення (до якого тренована людина цілком може звикнути при дотриманні низки умов і використання ряду пристосувань, наприклад, анабіозу), можна подумати навіть про експедицію до видимого краю Всесвіту (близько 14 млрд. св. років), який займе у космонавтів порядку 50 років; правда, повернувшись із такої експедиції (через 28 млрд. років по земному годиннику), її учасники ризикують не застати живими не те що Землю і Сонце, а й навіть нашу Галактику. Виходячи з цих розрахунків, розумний радіус доступності для міжзоряних експедицій із поверненням не перевищує кількох десятків світлових років, якщо, звичайно, не будуть відкриті будь-які принципово нові фізичні принципи переміщення у просторі-часі. Втім, виявлення численних екзопланет дає підстави вважати, що планетні системи зустрічаються у досить великої частки зірок, тому космонавтам буде що досліджувати і цьому радіусі (наприклад, планетні системи ε Еридана і Глизе 581).

Розрахунок мандрівника

Для проведення того ж розрахунку з позиції мандрівника необхідно задати метричний тензор , що відповідає його неінерційній системі відліку . Щодо цієї системи швидкість мандрівника нульова, то час на його годиннику дорівнює

Зауважимо, що є координатним часом і в системі мандрівника відрізняється від часу системи відліку домосіда.

Земний годинник вільний, тому він рухається вздовж геодезичної , яка визначається рівнянням :

де - символи Крістоффеля, що виражаються через метричний тензор. При заданому метричному тензорі неінерційної системи відліку ці рівняння дозволяють знайти траєкторію годинника домосіда в системі відліку мандрівника. Її підстановка у формулу для свого часу дає інтервал часу, що пройшов «нерухомим» годинникам:

де - координатна швидкість земного годинника.

Подібний опис неінерційних систем відліку можливий або за допомогою теорії гравітації Ейнштейна, або без посилання на останню. Деталі розрахунку у межах першого способу можна знайти, наприклад, у книзі Фока чи Меллера . Другий спосіб розглянутий у книзі Логунова.

Результат усіх цих обчислень показує, що і з погляду мандрівника його годинник відстане від годинника нерухомого спостерігача. У результаті різниця часу подорожі з обох точок зору буде однакова, і мандрівник виявиться молодшим за домосіда. Якщо тривалість етапів прискореного руху значно менша за тривалість рівномірного польоту, то результат більш загальних обчислень збігається з формулою, отриманою в рамках інерційних систем відліку.

Висновки

Міркування, що проводяться в історії з близнюками, призводять тільки до логічного протиріччя, що здається. За будь-якого формулювання «парадоксу» повної симетричності між братами немає. Крім цього, важливу роль для розуміння того, чому час уповільнюється саме у мандрівника, який змінював свою систему відліку, відіграє відносність одночасності подій.

Розрахунок величини уповільнення часу з позиції кожного брата може бути виконаний як у рамках елементарних обчислень в СТО, так і за допомогою аналізу неінерційних систем відліку. Всі ці обчислення узгоджуються один з одним і показують, що мандрівник виявиться молодшим за свого брата-домоседа.

Парадоксом близнюків часто називають сам висновок теорії відносності про те, що один з близнюків постаріє сильніше іншого. Хоча така ситуація і незвичайна, у ній немає внутрішньої суперечності. Численні експерименти з подовження часу життя елементарних частинок та уповільнення ходу макроскопічних годинників при їх русі підтверджують теорію відносності. Це дає підстави стверджувати, що уповільнення часу, описане в історії з близнюками, станеться при реальному здійсненні цього уявного експерименту.

Див. також

Примітки

Джерела

1. Ейнштейн А. « До електродинаміки тіл, що рухаються», Ann. d. Phys., 1905 b. 17, s. 89, російський переклад на «Ейнштейн А. Збори наукових праць у чотирьох томах. Том 1. Роботи з теорії відносності 1905-1920. М: Наука, 1965.
2. Langevin P. L’evolution de l’espace et du temps». Scientia 10:31-54. (1911)
3. Laue M. (1913) " Das Relativit"atsprinzip". Wissenschaft (No. 38) (2 ed.). (1913)
4. Ейнштейн А. « Діалог щодо заперечень проти теорії відносності», Naturwiss., 6, с.697-702. (1918). Російська переклад «А. Ейнштейн, Збори наукових праць», т. I, М., «Наука» (1965)
5. Паулі В. - « Теорія відносності» М.: Наука, 1991.
6. Dingle Н. « Relativity and Space travel», Nature 177, 4513 (1956).
7. Dingle H. A possible experimental test of Einstein's Second postulate», Nature 183, 4677 (1959).
8. Coawford F. Experimental verification of clock-paradox in relativity», Nature 179, 4549 (1957).
9. Darvin S., « Clock paradox in relativity», Nature 180, 4593 (1957).
10. Бойєр Р., « Парадокс годинника та загальна теорія відносності», Ейнштейнівський збірник, «Наука», (1968).
11. Campbell W. The clock paradox», Canad. Аеропорт. J.4, 9, (1958)
12. Frey R., Brigham V., « Paradox of the twins», Amer. J. Phys. 25, 8 (1957)
13. Leffert С., Donahue T., « Clock paradox and physics of discontinuous gravitational fields», Amer. J. Phys. 26, 8 (1958)
14. McMillan E., « The "clock-paradox" and Space travel», Science, 126, 3270 (1957)
15. Romer R., « Twin paradox in special relativity». Amer. J. Phys. 27, 3 (1957)
16. Schild, A. « Clock paradox in relativity theory», Amer. Math. Mouthly 66, 1, 1-8 (1959).
17. Singer S., « Relativity and space travel», Nature 179,4567 (1957)
18. Скобельцин Д. В., « Парадокс близнюків у теорії відносності», «Наука», (1966).
19. Гольденблат І. І., « Парадокси часу в релятивістській механіці», М. «Наука», (1972).
20. Терлецький Я. П. « Парадокси теорії відносності», М: Наука (1965)
21. Угаров В. А. - « Спеціальна теорія відносності» М.: «Наука», (1977)

Бажаєте здивувати всіх своєю молодістю?Вирушайте у тривалий космічний політ! Хоча, коли повернетеся, дивуватися, швидше за все, вже не буде кому...

Давайте проаналізуємо історіюдвох братів-близнюків.
Один з них – «мандрівник» вирушає в космічний політ (де швидкість руху ракет навколосвітня), другий – «домосід» залишається на Землі. А питання в чому? - У віці братів!
Після космічної подорожі залишаться вони одного віку, чи хтось із них (і хто саме) стане старшим?

Ще 1905 р. Альбертом Ейнштейном у Спеціальній Теорії Відносності (СТО) було сформульовано ефект релятивістського уповільнення часу, згідно з яким годинник, що рухається щодо інерційної системи відліку, йде повільніше за нерухомий годинник і показує менший проміжок часу між подіями. Причому помітно це уповільнення при навколосвітлових швидкостях.

Саме після висунення Ейнштейном СТО французьким фізиком Полем Ланжевеном було сформульовано «парадокс близнюків» (або інакше "парадокс годинника"). Парадокс близнюків (інакше "парадокс годинника") - це уявний експеримент, за допомогою якого намагалися пояснити суперечності, що виникли в СТО.

Отже, повернемося до братів-близнюків!

Домосіду має здатися, що годинник мандрівника, що рухається, має уповільнений хід часу, тому при поверненні вони повинні відстати від годинника домосіда.
А з іншого боку, щодо мандрівника рухається Земля, тому він вважає, що відстати повинен годинник домосіда.

Але, не можуть обидва брати бути одночасно один старший за інший!
Ось у цьому і парадокс...

З погляду існуючої тимчасово виникнення «парадоксу близнюків» у цій ситуації виникало протиріччя.

Проте, феномена, як, насправді немає, т.к. Треба пам'ятати, що СТО – це теорія для інерційних систем відліку! А система відліку принаймні одного з близнюків не була інерційною!

На етапах розгону, гальмування чи розвороту мандрівник зазнавав прискорень, і тому до нього у ці моменти не застосовні положення СТО.

Тут треба скористатися Загальною Теорією Відносності, де за допомогою розрахунків доводиться, що:

Повернемося, До питання про уповільнення часу в польоті!
Якщо світло проходить якийсь шлях за час t.
Тоді тривалість польоту корабля для «домосіда» буде Т=2vt/c

А для «мандрівника» на космічному кораблі по його годиннику (ґрунтуючись на перетворенні Лоренца) пройде всього To=T помножене на корінь квадратний (1-v2/c2)
В результаті, розрахунки (у ВТО) величини уповільнення часу з позиції кожного брата покажуть, що брат-мандрівник виявиться молодшим за свого брата-домосіда.

Для прикладу можна прорахувати подумки політ до зоряної системи Альфа Центавра, віддаленої від Землі на відстань у 4.3 світлових років (світловий рік – відстань, яка проходить світло за рік). Нехай час вимірюється у роках, а відстані у світлових роках.

Нехай половину шляху космічний корабель рухається із прискоренням, близьким до прискорення вільного падіння, а другу половину – з таким самим прискоренням гальмує. Проводячи зворотний шлях, корабель повторює етапи розгону та гальмування.

В цій ситуації час польоту в земній системі відліку становитиме приблизно 12 років, тоді як по годинах на кораблі пройде 7,3 роки.Максимальна швидкість корабля досягне 0,95 від швидкості світла.

За 64 роки свого часу космічний корабельз подібним прискоренням може здійснити подорож до галактики Андромеди (туди й назад). На Землі за час такого польоту пройде близько 5 млн. років.

Міркування, що проводяться в історії з близнюками, призводять тільки до логічного протиріччя, що здається. За будь-якого формулювання «парадоксу» повної симетричності між братами немає.

Важливу роль розуміння того, чому час уповільнюється саме в мандрівника, котрий змінював свою систему відліку, грає відносність одночасності подій.

Вже проведені експерименти з подовження часу життя елементарних частинок та уповільнення ходу годинника при їх русі підтверджують теорію відносності.

Це дає підстави стверджувати, що уповільнення часу, описане в історії з близнюками, станеться при реальному здійсненні цього уявного експерименту.

Уявні парадокси СТО. Парадокс близнюків

Путеніхін П.В.
[email protected]

У літературі та в інтернеті досі точаться численні дискусії щодо цього парадоксу. Запропоновано та продовжує пропонуватися безліч його рішень (пояснень), з яких робляться висновки як про непогрішність СТО, так і її хибність. Вперше теза, що послужила основою для формулювання парадоксу, була викладена Ейнштейном в його основній роботі за спеціальною (приватною) теорією відносності «До електродинаміки тіл, що рухаються» в 1905 році:

«Якщо в точці А знаходяться двоє годин, що синхронно йдуть, і ми переміщаємо один з них по замкнутій кривій з постійною швидкістю до тих пір, поки вони не повернуться в А (...), то цей годинник після прибуття в А буде відставати в порівнянні з годинником, що залишався нерухомим...».

Надалі ця теза отримала власні імена «парадокс годинників», «парадокс Ланжевена» та «парадокс близнюків». Остання назва прижилася, і в даний час частіше зустрічається формулювання не з годинником, а з близнюками і космічними польотами: якщо один з близнюків відлітає на космічному кораблі до зірок, то після повернення він виявляється молодшим за свого брата, що залишався на Землі.

Набагато рідше обговорюється інша, сформульована Ейнштейном у цій же роботі і наступна відразу ж за першою, теза про відставання годинника на екваторі від годинника, що знаходиться на полюсі Землі. Сенси обох тез збігаються:

«…годинник з балансиром, що знаходиться на земному екваторі, повинен йти трохи повільніше, ніж точно такий самий годинник, поміщений на полюсі, але в іншому поставлений в однакові умови».

На перший погляд це твердження може здатися дивним, адже відстань між годинником незмінна і немає відносної швидкості між ними. Але насправді зміну темпу ходу годинника впливає миттєва швидкість, яка, хоч і змінює безперервно свій напрямок (тангенціальна швидкість екватора), але у сумі вони дають очікуване відставання годин.

Парадокс, здавалося б протиріччя в прогнозах теорії відносності виникає, якщо близнюком, що рухається, вважати того, що залишався на Землі. У цьому випадку тепер близнюк, що вже відлітав у космос, повинен очікувати, що брат, що залишався на Землі, виявиться молодшим за нього. Так само і з годинником: з точки зору годинника на екваторі рухомими слід вважати годинник на полюсі. Таким чином, і виникає протиріччя: так хто ж із близнюків виявиться молодшим? Який з годинника покажуть час із відставанням?

Найчастіше парадоксу зазвичай дається просте пояснення: дві системи відліку, що розглядаються, насправді не є рівноправними. Близнюк, який відлітав у космос, у своєму польоті не завжди знаходився в інерційній системі відліку, у ці моменти він не може використовувати рівняння Лоренца. Так само і з годинником.

Звідси слід зробити висновок: у СТО не може бути коректно сформульований «парадокс годинника», спеціальна теорія не робить двох взаємовиключних передбачень. Повне рішення задача отримала після створення загальної теорії відносності, яка вирішила завдання точно і показала, що, дійсно, в описаних випадках відстає годинник, що рухається: годинник близнюка, що відлітав, і годинник на екваторі. «Парадокс близнюків» і годинників, таким чином, є рядовим завданням теорії відносності.

Завдання про відставання годинника на екваторі

Ми спираємося на визначення поняття «парадокс» у логіці як протиріччя, отриманого в результаті логічно формально правильної міркування, що призводить до взаємно суперечливих висновків (Енциплопедичний словник), або як два протилежні твердження, для кожного є переконливі аргументи (Логічний словник). З цієї позиції, «парадокс близнюків, годинників, Ланжевена» парадоксом не є, оскільки немає двох взаємовиключних передбачень теорії.

Спочатку покажемо, що теза в роботі Ейнштейна про годинник на екваторі повністю збігається з тезою про відставання годин, що рухаються. На малюнку показано умовно (вид зверху) годинник на полюсі Т1 та годинник на екваторі Т2. Ми бачимо, що відстань між годинником незмінна, тобто, між ними, здавалося б, немає необхідної відносної швидкості, яку можна підставити в рівняння Лоренца. Однак, додамо третій годинник Т3. Вони знаходяться в ISO полюса, як і годинник Т1, і йдуть, отже, синхронно з ними. Але тепер ми бачимо, що годинник Т2 явно має відносну швидкість по відношенню до годинника Т3: спочатку годинник Т2 знаходиться на близькій відстані від годинника Т3, потім він видаляється і знову наближається. Отже, з точки зору нерухомого годинника Т3 годинник Т2, що рухається, відстає:

Рис.1 Годинник, що рухається по колу, відстає від годинника, що знаходиться в центрі кола. Це стає більш очевидно, якщо додати нерухомий годинник поблизу траєкторії рухомих.

Отже, годинник Т2 відстає також і від годинника Т1. Перемістимо тепер годинник Т3 настільки близько до траєкторії Т2, що в якийсь початковий момент часу вони будуть поруч. І тут ми отримуємо класичний варіант феномена близнюків. На наступному малюнку ми бачимо, що спочатку годинник Т2 і Т3 був в одній точці, потім годинник на екваторі Т2 став віддалятися від годинника Т3 і по замкнутій кривій через деякий час повернувся у вихідну точку:

Рис.2. Годинник Т2, що рухається по колу, спочатку знаходиться поряд з нерухомим годинником Т3, потім видаляється і через деякий час знову зближується з ними.

Це повністю відповідає формулюванню першої тези про відставання годинника, що послужило основою «парадоксу близнюків». Але годинник Т1 і Т3 йде синхронно, отже, годинник Т2 відстав також і від годинника Т1. Таким чином, обидві тези з роботи Ейнштейна однаково можуть бути основою для формулювання «парадоксу близнюків».

Величина відставання годинника в цьому випадку визначається рівнянням Лоренца, в яке ми повинні підставити тангенціальну швидкість годинника, що рухається. Дійсно, у кожній точці траєкторії годинник Т2 має швидкості, рівні за модулем, але різні за напрямками:

Рис.3 Годинник, що рухається, має напрямок швидкості, що постійно змінюється.

Як ці різні швидкості внести до рівняння? Дуже просто. Давайте, в кожну точку траєкторії годинника Т2 помістимо свій власний нерухомий годинник. Всі ці нові годинники йдуть синхронно з годинниками Т1 і Т3, оскільки всі вони знаходяться в одній і тій же нерухомій ІСО. Годинник Т2, проходячи кожного разу повз відповідний годинник, відчуває відставання, викликане відносною швидкістю саме повз цей годинник. За миттєвий інтервал часу цього годинника, годинник Т2 також відстане на миттєво малий час, який можна обчислити за рівнянням Лоренца. Тут і далі ми будемо використовувати одні й ті самі позначення для годинника та їх показань:

Очевидно, що верхньою межею інтегрування є показання годинника Т3 в момент, коли годинник Т2 і Т3 знову зустрінуться. Як бачимо, показання годинника Т2< T3 = T1 = T. Лоренцев множитель мы выносим из-под знака интеграла, поскольку он является константой для всех часов. Введённое множество часов можно рассматривать как одни часы - «распределённые в пространстве часы». Это «пространство часов», в котором часы в каждой точке пространства идут синхронно и обязательно некоторые из них находятся рядом с движущимся объектом, с которым эти часы имеют строго определённое относительное (инерциальное) движение.

Як бачимо, отримано рішення, що повністю збігається з рішенням першої тези (з точністю до величин четвертої та вищих порядків). З цієї причини подальші міркування можна розглядати як такі, що стосуються всіх видів формулювань «парадоксу близнюків».

Варіації на тему «парадоксу близнюків»

Парадокс годинника, як зазначено вище, означає, що спеціальна теорія відносності, начебто, робить два взаємно суперечать один одному передбачення. Справді, як ми тільки - що вирахували, годинник, що рухається по колу, відстає від годинника, що знаходиться в центрі кола. Але й годинник Т2, що рухається по колу, має всі підстави стверджувати, що він знаходиться в центрі кола, навколо якого рухається нерухомий годинник Т1.

Рівняння траєкторії годинників Т2, що рухаються, з точки зору нерухомих Т1:

x, y - координати годин Т2, що рухаються, в системі відліку нерухомих;

R - радіус кола, що описується рухомими годинниками Т2.

Очевидно, що з точки зору годинників Т2, що рухаються, відстань між ними і нерухомими годинниками Т1 також дорівнює R в будь-який момент часу. Але відомо, що геометричним місцем точок, що рівно віддалені від заданої, є коло. Отже, і в системі відліку годин Т2, що рухається, нерухомий годинник Т1 рухається навколо них по колу:

x 1 2 + y 1 2 = R 2

x 1 , y 1 - координати нерухомого годинника Т1 в системі відліку рухомих;

R - радіус кола, що описується нерухомим годинником Т1.

Рис.4 З точки зору годинників Т2, що рухаються, навколо них по колу рухається нерухомий годинник Т1.

А це, у свою чергу, означає, що з точки зору спеціальної теорії відносності і в цьому випадку має виникнути відставання годинника. Очевидно, що в цьому випадку навпаки: Т2 > T3 = T. Виходить, що і насправді спеціальна теорія відносності робить два взаємовиключні передбачення Т2 > T3 і Т2< T3? И это действительно так, если не принять во внимание, что теор ия была создана для инерциальных систем отсчета. Здесь же движущиеся часы Т2 не находятся в инерциальной системе. Само по себе это не запрет, а лишь указание на необходимость учесть это обстоятельство. И это обстоятельство разъясняет общая теор ия относительности . Применять его или нет, можно определить простым опытом. В инерциальной системе отсчета на тела не действуют никакие внешние силы. В неинерциальной системе и согласно принципу эквивалентности общей теор ии относительности на все тела действует сила инерции или тяготения. Следовательно, маятник в ней отклонится, все незакреплённые тела будут стремиться переместиться в одном направлении.

Такий досвід поряд з нерухомим годинником Т1 дасть негативний результат, спостерігатиметься невагомість. А ось поряд з годинником Т2, що рухається по колу, на всі тіла буде діяти сила, що прагне відкинути їх від нерухомого годинника. Ми, зрозуміло, вважаємо, що ніяких інших тіл, що гравітують, поблизу немає. Крім того, годинник Т2, що рухається по колу, сам по собі не обертається, тобто рухається не так, як Місяць навколо Землі, звернений до нього завжди однією і тією ж стороною. Спостерігачі поряд з годинником Т1 і Т2 у своїх системах відліку будуть бачити віддалений від них на нескінченність об'єкт завжди під одним і тим самим кутом.

Таким чином, спостерігач, що рухається з годинником Т2, повинен врахувати факт неінерційності своєї системи відліку відповідно до положень загальної теорії відносності. Ці положення кажуть, що годинник у полі гравітації або в еквівалентному йому полі інерції сповільнює свій хід. Тому щодо нерухомих (за умовами досвіду) годин Т1 він повинен визнати, що цей годинник знаходиться в гравітаційному полі меншої напруженості, тому він йде швидше за його власний і до їх очікуваних показань слід додати гравітаційну поправку.

Навпаки, спостерігач поруч із нерухомим годинником Т1 констатує, що годинник Т2, що рухається, знаходиться в полі інерційної гравітації, тому йде повільніше і від їх очікуваних показань слід відібрати гравітаційну поправку.

Як бачимо, думка обох спостерігачів повністю збіглися в тому, що години Т2, що рухаються у вихідному сенсі, відстануть. Отже, спеціальна теорія відносності в «розширеному» трактуванні робить два строго узгоджені передбачення, що не дає жодних підстав для проголошення парадоксів. Це звичайне завдання, що має цілком конкретне рішення. Парадокс в СТО виникає лише в тому випадку, якщо використовувати її положення до об'єкта, що не є об'єктом спеціальної теорії відносності. Але, як відомо, невірна посилка може призвести як до правильного, так і помилкового результату.

Експеримент, що підтверджує СТО

Слід зазначити, що ці розглянуті уявні парадокси відповідають уявним експериментам з урахуванням математичної моделі під назвою Спеціальна Теорія Відносності. Те, що в цій моделі дані експерименти мають отримані вище рішення, не обов'язково означає, що в реальному фізичному експерименті будуть отримані такі ж результати. Математична модель теорії пройшла багаторічне випробування і в ній не знайдено жодних протиріч. Це означає, що це логічно коректні уявні експерименти неминуче будуть давати результат, підтверджує її .

У цьому представляє особливий інтерес експеримент, який загальновизнано реальних умовах показав такий самий результат, як і розглянутий уявний експеримент. Саме це означає, що математична модель теорії правильно відображає, визначає реальні фізичні процеси.

Це був перший експеримент з перевірки відставання годин, що відомий, відомий як експеримент Хафеле - Кітинга, проведений в 1971 р . Четверо годин, зроблених на основі цезієвих стандартів частоти, були поміщені на два літаки та здійснили кругосвітню подорож. Один годинник подорожував у східному напрямку, інший обігнув Землю в західному напрямку. Різниця у швидкості ходу часу виникала через додаткову швидкість обертання Землі, при цьому враховувався і вплив поля тяжіння на польотній висоті порівняно з рівнем Землі. В результаті експерименту вдалося підтвердити загальну теорію відносності, виміряти відмінність у швидкості ходу годинника на борту двох літаків. Отримані результати було опубліковано у журналі Science 1972 року.

Література

1. Путеніхін П.В., Три помилки анти-СТО [перш, ніж критикувати теорію, її слід добре вивчити; неможливо спростувати бездоганну математику теорії її ж математичними засобами, крім як непомітно відмовившись від її посту - але це вже інша теорія; не використовуються відомі експериментальні протиріччя у СТО - досліди Марінова та інших - їх потрібно багаторазово повторити], 2011, URL:
http://samlib.ru/p/putenihin_p_w/antisto.shtml (дата звернення 12.10.2015)

2. Путеніхін П.В., Отже, феномена (близнюків) більше немає! [анімовані діаграми - рішення феномена близнюків засобами ВТО; рішення має похибку внаслідок використання наближеного рівняння потенціалу; вісь часу - горизонтальна, відстаней - вертикальна], 2014, URL:
http://samlib.ru/editors/p/putenihin_p_w/ddm4-oto.shtml (дата звернення 12.10.2015)

3. Експеримент Хафеле-Кітинга, Вікпієдія, [переконливе підтвердження ефекту СТО про уповільнення ходу годин, що рухається], URL:
https://ua.wikipedia.org/wiki/Експеримент_Хафеле_—_Кітинга (дата звернення 12.10.2015)

4. Путеніхін П.В. Уявні парадокси СТО. Парадокс близнюків [парадокс є уявним, здається, оскільки його формулювання зроблено з помилковими припущеннями; коректні передбачення спеціальної теорії відносності не є суперечливими], 2015, URL:
http://samlib.ru/p/putenihin_p_w/paradox-twins.shtml (дата звернення 12.10.2015)